หน่�วยที่�� 1ฟั�งก์�ชั�น่ ลิ�มิ�ต ความิต�อเน่��อง

แลิะจำ�าน่วน่เชั�งซ้�อน่

อ.ปิ!ยพร น่$ราร�ก์ษ์�

ตอน่ที่�� 1.1

ฟั�งก์�ชั�น่

น่�ยามิความิสั�มิพ�น่ธ์� f เปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่ก์)ต�อเมิ��อถ้�า (x, y ) แลิะ (x,z) เปิ(น่

สัมิาชั�ก์ของ f แลิ�ว จำะได้�ว�า y = z

y f (x)

ให� f เปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่ใด้ๆ แลิะ (x,y) เปิ(น่สัมิาชั�ก์ของ f จำะเร�ยก์ y ว�าเปิ(น่ค�าของฟั�งก์�ชั�น่ f ที่�� x แลิะเข�ยน่

โดยที่�� x คือ ตั�วแปรอ�สระ (independent variable)

y คือ ตั�วแปรตัาม (dependent variable)

ก์ารพ�จำารณาว�าความิสั�มิพ�น่ธ์�ใด้เปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่หร�อไมิ� สัามิารถ้พ�จำารณาได้�โด้ย

ว�ธ์�ที่�� 1 ก์ารพ�จำารณาโด้ยอาศั�ยบที่น่�ยามิ

ว�ธ์�ที่�� 2 ก์ารพ�จำารณาจำาก์ก์ราฟั

ว�ธ์�ที่�� 1 ก์ารพ�จำารณาโด้ยอาศั�ยบที่น่�ยามิ

•ความิสั�มิพ�น่ธ์� r จำะเปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่ก์)ต�อเมิ��อ สัมิาชั�ก์ต�วหน่�าแต�ลิะต�วของค4�อ�น่ด้�บใน่ r ไมิ�ซ้�5าก์�น่หร�อ

•ความิสั�มิพ�น่ธ์� r จำะไมิ�เปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่ก์)ต�อเมิ��อ สัมิาชั�ก์ต�วหน่�าแต�ลิะต�วของค4�อ�น่ด้�บใน่ r ซ้�5าก์�น่ ขณะที่��สัมิาชั�ก์ต�วหลิ�งต�างก์�น่

ว�ธ์�ที่�� 2 ก์ารพ�จำารณาจำาก์ก์ราฟั

•ถ้�ามิ�เสั�น่ตรงที่��ขน่าน่ก์�บแก์น่ y ต�ด้ก์ราฟัของความิสั�มิพ�น่ธ์� มิาก์ก์ว�า 1 จำ$ด้ แลิ�ว ความิสั�มิพ�น่ธ์�น่�5 ไมิ�เปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่หร�อ•ถ้�าไมิ�มิ�เสั�น่ตรงที่��ขน่าน่ก์�บแก์น่ y ต�ด้ก์ราฟัของความิสั�มิพ�น่ธ์�มิาก์ก์ว�า 1 จำ$ด้ แลิ�ว ความิสั�มิพ�น่ธ์�น่�5 เปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่

ต�วอย�างกำ�าหนดให�คืวามส�มพั�นธ์� r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)} และ r2 = {(3,4),(3,5),(7,8)} จงพั�จารณาว#า r1, r2 เป%นฟั'งกำ�ชั�นหรอไม# โดย

1) พั�จารณาโดยอาศั�ยบที่น�ยาม2) พั�จารณาจากำกำราฟั

ว�ธ์�ที่�า1) พ�จำารณาโด้ยอาศั�ยบที่น่�ยาม

r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)}

เปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่เพราะที่$ก์ๆ ค4�อ�น่ด้�บไมิ�มิ�สัมิาชั�ก์ต�วหน่�าซ้�5าก์�น่

r2 = {(3,4),(3,6),(7,8)}

ไมิ�เปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่เพราะต�วหน่�าของค4�อ�น่ด้�บใน่ r2 ซ้�5าก์�น่ ขณะที่��ต�วหลิ�งต�างก์�น่

2) พ�จำารณาจำาก์ก์ราฟั

r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)}

เปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่เพราะที่$ก์ๆ ค4�อ�น่ด้�บไมิ�มิ�สัมิาชั�ก์ต�วหน่�าซ้�5าก์�น่

r2 = {(3,4),(3,6),(7,8)}

ไมิ�เปิ(น่ฟั�งก์�ชั�น่เพราะต�วหน่�าของค4�อ�น่ด้�บใน่ r2 ซ้�5าก์�น่ ขณะที่��ต�วหลิ�งต�างก์�น่

โด้เมิน่แลิะเรน่จำ�ของฟั�งก์�ชั�น่

fD x (x, y) f

fR y (x, y) f

ถ้�า คืวามส�มพั�นธ์� f เป%นฟั'งกำ�ชั�นแล�ว

เรนจ�ของ f คือ

โดเมนของ f คือ

บที่น่�ยามิ f จะเป%นฟั'งกำ�ชั�นจากำเซตั X ไปเซตั Y กำ/ตั#อเม�อโดเมนของ f เที่#ากำ�บ X และ เรนจ�ของ f เป%นส�บเซตัของ Y เราจะเข�ยน f : X Y

แที่นฟั'งกำ�ชั�น f จากำเซตั X ไปย�งเซตั Y

ฟั�งก์�ชั�น่ไปิที่��วถ้6ง

fR Y

บที่น่�ยามิ f เป%นฟั'งกำ�ชั�นจากำเซตั X ไปที่��วถ้0งเซตั Y (onto function) กำ/ตั#อเม�อ fD X

YX

4

6

8

a

b

f

ฟั�งก์�ชั�น่หน่6�งต�อหน่6�งบที่น่�ยามิ f เป%นฟั'งกำ�ชั�นหน0�งตั#อหน0�ง (one to one function) กำ/ตั#อเม�อ ถ้�า x1, x2 X และ f(x1)= f(x2) แล�วจะได�

x1 = x2

X Y

f

x1

x2

x3

f(x1)

f(x2)

f(x3)

ฟั�งก์�ชั�น่ผก์ผ�น่เน�องจากำฟั'งกำ�ชั�นเป%นคืวามส�มพั�นธ์� ด�งน�1นเราสามารถ้หาคืวามส�มพั�นธ์�ผกำผ�นของฟั'งกำ�ชั�นใดๆ ที่��กำ�าหนดให�ได�เสมอ โดยที่��คืวามส�มพั�นธ์�ของฟั'งกำ�ชั�นอาจม�คื4ณสมบ�ตั�เป%นฟั'งกำ�ชั�นหรอไม#เป%นฟั'งกำ�ชั�นกำ/ได�ข�อสั�งเก์ต เราพับว#าฟั'งกำ�ชั�น f จะม�ฟั'งกำ�ชั�นผกำผ�น เม�อ f เป%นฟั'งกำ�ชั�นแบบหน0�งตั#อหน0�ง และจะได�ว#าฟั'งกำ�ชั�น f-1 เป%นฟั'งกำ�ชั�นหน0�งตั#อหน0�งด�วย

เป%นฟั'งกำ�ชั�นที่��คื#าของฟั'งกำ�ชั�นเข�ยนในร5ปส�ญล�กำษณ�ที่างพั�ชัคืณ�ตัที่��ประกำอบด�วยคื#าคืงตั�ว ตั�วแปร และเคืร�องหมาย บวกำ ลบ คื5ณ หาร กำรณฑ์� หรอยกำกำ�าล�ง เชั#น

ฟั�งก์�ชั�น่พ�ชัคณ�ต

y 2x 1, f (x) 3, 2y 5x x , y 3x x 1,

3

2x 1y

3x

ฟั�งก์�ชั�น่พ�ชัคณ�ตที่��น่�ามิาใชั�ใน่ว�ชัาแคลิค4ลิ�สัได้�แก์�1.ฟั�งก์�ชั�น่พห$น่ามิ (polynomial functions) 2.ฟั�งก์�ชั�น่ตรรก์ยะ (rational

functions)

ฟั�งก์�ชั�น่พ�ชัคณ�ตที่��น่�ามิาใชั�ใน่ว�ชัาแคลิค4ลิ�สัได้�แก์�1.ฟั�งก์�ชั�น่พห$น่ามิ (polynomial functions) n n 1 n 2 2

n n 1 n 2 2 1 0f (x) a x a x a x ... a x a x a

0 1 2 n 1 na ,a ,a ,...,a ,a na 0โดยที่�� ซ0�งเร�ยกำว#า สั�มิปิระสั�ที่ธ์�8ของพห$น่ามิและ n เป%นจ�านวนเตั/มบวกำหรอศั5นย� เราจะเร�ยกำ f ว#าเป%นฟั�งก์�ชั�น่พห$น่ามิด้�ก์ร� n

เป%นจ�านวนจร�ง และ

3g(x) 3x 2x 2 f (x) 2x 1

2.ฟั�งก์�ชั�น่ตรรก์ยะ (rational functions) คือ ฟั'งกำ�ชั�นที่��เข�ยนอย5#ในร5ปผลหารของฟั'งกำ�ชั�นพัห4นาม ถ้�า f(x) เป%นฟั'งกำ�ชั�นตัรรกำยะ จะได�ว#า

P(x)f (x)

Q(x)

โดยที่�� P(x) และ Q(x) เป%นฟั'งกำ�ชั�นพัห4นาม และ Q(x) ≠ 0

4

2x 2f (x)

x 9

2

3

2x 3x 9g(x)

x (x 3)

ฟั�งก์�ชั�น่อด้�ศั�ย (transcendental functions) คือฟั'งกำ�ชั�นที่��ไม#ใชั#ฟั'งกำ�ชั�นพั�ชัคืณ�ตั เชั#น 1. ฟั'งกำ�ชั�นเอ/กำซ�โปเนนเชั�ยล

2. ฟั'งกำ�ชั�นลอกำาร�ที่0ม

3. ฟั'งกำ�ชั�นตัร�โกำณม�ตั�

yf { x, y R R / x a ,a 0,a 1}

xf { x, y R R / y a ,a 0,a 1}

xf { x, y R R / y log a ,a 0,a 1}

ฟั'งกำ�ชั�น sin, cos, tan, sec, cosec หรอ cot

ตอน่ที่�� 1.2

ลิ�มิ�ตแลิะความิต�อเน่��องของฟั�งก์�ชั�น่

ที่ฤษ์ฎี�บที่ ฟั'งกำ�ชั�น f(x)ม�ล�ม�ตัที่�� x=a เที่#ากำ�บ L กำ/ตั#อเม�อล�ม�ตัซ�ายและล�ม�ตัขวาของ f ที่�� a หาคื#าและม�คื#าเที่#ากำ�บ L น��นคือ

x alimf (x) L

x a x alim f (x) lim f (x) L

กำ/ตั#อเม�อ

ต�วอย�าง จงพั�จารณาล�ม�ตัที่�� x= 0, 1, 2, 3, 4

0x 0;x 0lim f (x) 2

0x 1;x 1lim f (x) 0

x 1lim f (x) 2

x 1 x 1lim f (x) lim f (x)

0x 2;x 2lim f (x) 2

x 2lim f (x) 2

x 2lim f (x) 2 f (2)

0x 3;x 3limf (x) 4 f (3)

0x 4;

x 4lim f (x) 2

ความิต�อเน่��องของฟั�งก์�ชั�น่

x alimf (x)

x alimf (x) f (a)

บที่น่�ยามิ ฟั'งกำ�ชั�น f ตั#อเน�องที่�� x = a กำ/ตั#อเม�อ เง�อนไขตั#อไปน�1เป%นจร�งที่4กำข�อ

1. f(a) หาคื#าได�เป%นจ�านวนจร�ง

2.3.

หาคื#าได�เป%นจ�านวนจร�ง

ต�วอย�าง จงที่ดสอบคืวามตั#อเน�องที่�� x= 1, 2, 3 f ไม#ตั#อเน�องที่�� x = 1

เพัราะว#า f(1) = 1 หาคื#าได� แตั#

x 1lim f (x) 0 f (1)

f ไม#ตั#อเน�องที่�� x = 2 เพัราะว#า f(2) = 2 หาคื#าได� แตั#

x 2limf (x) 1 f (2)

f ตั#อเน�องที่�� x = 3 เพัราะว#า f(3) = 2 หาคื#าได� และ x 3

limf (x) 2 f (3)

ตอน่ที่�� 1.3

จำ�าน่วน่เชั�งซ้�อน่เบ�5องต�น่

ในระบบจ�านวนจร�ง ถ้�า แล�ว เสมอ ด�งน�1นสมกำาร เชั#น หรอ จ0งไม#สามารถ้หาคื�าตัอบได�ในระบบจ�านวนจร�งจ0งตั�องสร�างจ�านวนที่��ไม#ใชั#จ�านวนจร�งข01นมา ซ0�งเราเร�ยกำว#า จ�านวนจ�นตัภาพั (imaginary number) โดยกำ�าหนดให� และ และเร�ยกำจ�านวนที่��อย5#ในร5ป a+bi เม�อ ว#า จำ�าน่วน่เชั�งซ้�อน่

x R 2x 02x 1 0 2x 1

i 1 2i 1

a,b R

จ�านวนเชั�งซ�อน (complex number) เข�ยนแที่นด�วย z และในบางคืร�1งสามารถ้เข�ยนแที่นด�วยคื5#ล�าด�บ (a,b) โดยจะได�ว#า z = a + bi เร�ยกำ a ว#า เป%นสั�วน่จำร�งของจ�านวนเชั�งซ�อน z

b ว#า เป%นสั�วน่จำ�น่ตภาพของจ�านวนเชั�งซ�อน z

ก์ารด้�าเน่�น่ก์ารของจำ�าน่วน่เชั�งซ้�อน่1. กำารเที่#ากำ�นของจ�านวนเชั�งซ�อน

ให� z1 = a + bi และ z2 = c + di z1 = z2 กำ/ตั#อเม�อ a = c และ b = d

2. กำารบวกำจ�านวนเชั�งซ�อนให� z1 = a + bi และ z2 = c + di z1 + z2 = (a+c) + (b+d)i

3. กำารคื5ณจ�านวนเชั�งซ�อนด�วยจ�านวนจร�งให� z = a + bi และ k เป%นจ�านวนจร�งใดๆkz = ka + kbi

1

2

z a bi c di

z c di c di

2 2

(ac bd) (bc ad)i

c d

4. กำารคื5ณจ�านวนเชั�งซ�อนด�วยจ�านวนเชั�งซ�อนให� z1 = a + bi และ z2 = c + di z1 z2 = (a + bi)( c + di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

5. กำารหารจ�านวนเชั�งซ�อนด�วยจ�านวนเชั�งซ�อนให� z1 = a + bi และ z2 = c + di และ

2z 0

2 2

a bi c di

c d

2 2z a b z

z a bi z a bi

6. คื#าส�มบ5รณ�ของจ�านวนเชั�งซ�อน a + biให� z = a + bi คื#าส�มบ5รณ�ของจ�านวนเชั�งซ�อนของ z คือ

7. คือนจ5เกำตั (conjugate) ของจ�านวนเชั�งซ�อน z คือ ถ้�า จะได�

ต�วอย�าง

จำงหา

ก์�าหน่ด้ให� 1z 3 2i 2z 2 i

(3 2i) (2 i)

(3 2) (2i ( i))

(2 3) (2 1)i

5 i

1 2z z

2 1z z (2 i) (3 2i)

(2 3) ( i 2i)

(2 3) ( 1 2)i

1 3i

23z 3(2 i)

3(2) 3(1)i

6 3i

1 2z z (3 2i) (2 i)

[(3)(2) (2)( 1)] [(2)(2) (3)( 1)]i

[6 ( 2)] [4 ( 3)]i

[6 2] [4 3]i

8 i

2z 2 22 ( 1)

4 1 5

2z 2 i

2 i

2

1

z

z2 1

2 21 1

Z Z [(2)(3) ( 1)(2)] [( 1)(3) (2)(2)]i

Z Z 3 2

[(6) ( 2)] [( 3) (4)]i

9 44 7i 4 7

i13 13 13