บทที่ 5 อนุพันธ์ย่อย5.1 ฟังก์ชัน 2 ตัวแปร

หมายถึง ฟังก์ชันที่มีค่าขึ้นอยู่กับตัวแปร 2 ตัวแปร

ให้ เป็นฟังก์ชันของตัวแปร เช่น ซึ่งจะหมายถึง จุด ที่สอดคล้องกับ ซึ่งก็จะแทนจุดบนพื้นผิวในปริภูมิ 3 มิตินั่นเอง

,z f x y ,x y 2, 3z f x y x xy

, ,x y z ,z f x y

MTH2103 Unit5 1

ลิมิตและความต่อเนื่อง (Limit and Continuity)

นิยาม ก าหนด เรากล่าวว่า มีค่าเข้าใกล้จ านวนจริงในขณะที่ ในโดเมนของ เข้าใกล้ แทนด้วย

กล่าวอีกอย่างได้ว่า ส าหรับทุก ๆ จ านวนจริง จะมีจ านวนจริง ซึ่งส าหรับทุก ๆ ในโดเมนของ

ถ้า แล้ว

f

L

0 0, yx

0 0, ,lim ,

x y x yf x y L

0 0

,f x y L

f

2 2

0 00 x x y y

,z f x y ,f x y

,x y

,x y

MTH2103 Unit5 2

สมบัติของลิมิตของฟังก์ชัน 2 ตัวแปร

ก าหนด และ แล้ว

0 0, ,

lim ,x y x y

f x y L

0 0, ,

lim ,x y x y

g x y M

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

1. lim , ,

2. lim , ,

3. lim , ,

4. lim , ,

,5. lim , 0

,

6. lim , , ,

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

mm

nn

x y x y

f x y g x y L M

f x y g x y L M

f x y g x y LM

kf x y kL k

f x y LM

g x y M

f x y L m n

MTH2103 Unit5 3

ตัวอย่าง จงหา

2 3, 0,1

2 2

, 3,4

2

, 0,0

31. lim

5

2. lim

3. lim

x y

x y

x y

x xy

x y xy y

x y

x xy

x y

MTH2103 Unit5 4

ตัวอย่าง ก าหนด จงแสดงว่า หาค่าไม่ได้ 2

2 2, , , 0,0

xf x y x y

x y

, 0,0lim ,

x yf x y

ตัวอย่าง ก าหนด จงแสดงว่า หาค่าไม่ได้ 2

4 2

2, , , 0,0

x yf x y x y

x y

, 0,0lim ,

x yf x y

MTH2103 Unit5 5

นิยาม ฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ ถ้า1. นิยามที่

2. หาค่าได้

3.

0 0, yx

0 0, ,lim ,

x y x yf x y

f

,f x y

0 0, yx

0 0

0 0, ,

lim , ,x y x y

f x y f x y

MTH2103 Unit5 6

อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของฟังก์ชัน 2 ตัวแปร แทนด้วย และ

ต้องการหา ให้มอง เป็นค่าคงที่ต้องการหา ให้มอง เป็นค่าคงที่

คือ ค่าความชันของ 1) เส้นโค้ง ที่จุด บนระนาบ2) เส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด

คือ ค่าความชันของ 1) เส้นโค้ง ที่จุด บนระนาบ2) เส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด

,f x y xf

xf

yf

yf x

y

0 0,xf x y 0,z f x y 0 0 0 0, , ,P x y f x y0y y

0,z f x y P

0 0,yf x y 0 ,z f x y

0 ,z f x y

0 0 0 0, , ,P x y f x y 0x x

P

5.2 อนุพันธ์ย่อย

MTH2103 Unit5 7

ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ย่อยของ 2 3, 3 2f x y x xy y

MTH2103 Unit5 8

นิยาม สมมติ ฟังก์ชันค่าจริง บน คือ กฎเกณฑ์ที่ก าหนดค่าจริง ส าหรับแต่ละ ใน เรียก ว่า ฟังก์ชันตัวแปรอิสระ

ตัวแปร ( independent variables) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า ฟังก์ชัน ตัวแปรเรียกว่า โดเมน (domain) ของฟังก์ชัน

เซตของค่า เรียกว่า พิสัย (range) ของเรียก ตัวแปรตาม (dependent variable) ของ ขึ้นกับตัวแปรอิสระ โดยทั่วไปส าหรับ

ฟังก์ชัน 2 ตัวแปร และฟังก์ชัน 3 ตัวแปร จะแทนด้วย และ ตามล าดับ

1 2, , , | 1, 2, , ,n iD x x x i n x f D

1 2, , , nw f x x x D

D

f

f

f

f

n n

w

w

n

1 2, , , nx x x

,z f x y , ,w f x y z

1 2, , , nx x x

หมายถึง ฟังก์ชันที่มีค่าขึ้นอยู่กับตัวแปรมากกว่าสองตัวแปร

5.3 ฟังก์ชันตัวแปรมากกว่า 2 ตัวแปร

MTH2103 Unit5 9

ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดของ sinw x yz

MTH2103 Unit5 10

อนุพันธ์ย่อยอันดับสองอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชัน 2 ตัวแปร จะประกอบไปด้วย

เราสามารถหาค่าของอนุพันธ์อันดับสองได้โดยใช้หลักการเดียวกันกับการหาอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง

,f x y

, , ,xx xy yx yyf f f f

ทฤษฎีบท ถ้า และอนุพันธ์ย่อยของ ได้แก่ หาค่าได้ทุกจุดในบริเวณเปิดที่คลุมจุด ในโดเมนของ และต่อเนื่องที่ แล้วจะได้ว่า

f

, , ,x y xy yxf f f f

, ,xy yxf a b f a b

f ,f x y

,a b , , , ,x y xy yxf f f f f

,a b

5.4 อนุพันธ์อันดับสูงกว่า 1

MTH2103 Unit5 11

ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสองทั้งหมดของ 2, sinf x y x y

MTH2103 Unit5 12

5.5 ระนาบสัมผัสและเส้นปกติ

ก าหนดพื้นผิว และ เป็นจุดบนพื้นผิวนี้แล้ว สมการระนาบสัมผัสพื้นผิว คือโดยที่และสมการเส้นปกติ คือ

,z f x y 0 0 0 0, ,P x y z

0 0 00A x x B y y C z z

0 0 0 0, , , , 1

x yA f x y B f x y C

0 0 0x x y y z z

A B C

MTH2103 Unit5 13

ตัวอย่าง ก าหนดให้ จงหาสมการระนาบสัมผัส และสมการเส้นปกติในรูปสมการอิงตัวแปรเสริม ที่จุด 1,2,23

2 3, 3 2z f x y x xy y

MTH2103 Unit5 14

นิยาม ก าหนดผิวระดับ แล้วระนาบที่ผ่านจุดและมี เป็นเวกเตอร์ปกติ เรียกว่า ระนาบสัมผัสผิว ที่จุด โดยจะมีสมการระนาบ คือ

ดังนั้น จะได้ว่า สมการเส้นปกติของระนาบสัมผัสผิวที่จุด คือ

, ,F x y z c

0 0 0 0 0 0 0x y zF P x x F P y y F P z z

, ,F x y z c

0 0 0 0, ,P x y z

0F P

0P

0P

0 0 0

0 0 0x y z

x x y y z z

F P F P F P

MTH2103 Unit5 15

5.6 ค่าประมาณ

ค่าประมาณ หรือ

กรณีที่ คือ จะได้

z 0 0 0 0, ,f x x y y f x y

0 0 0 0 0 0 0 0, , , ,

,

x yf x x y y f x y f x y x f x y y

f x y

0 0,x y 0,0

, 0,0 0,0 0,0x y

f x y f xf yf

MTH2103 Unit5 16

ตัวอย่าง จงหาค่าประมาณของ 2 3

1.05 2.99

MTH2103 Unit5 17

5.7 อนุพันธแ์ละดิฟเฟอเรนเชียล

ถ้า แล้ว

ถ้า แล้ว

ตัวอย่าง จงหา ในรูปเวกเตอร์ของฟังก์ชัน ที่จุด

,z f x y ,f f

fx y

x

1 2 3, ,y f f x x x x

1 2 3

, ,f f f

fx x x

x

2, , 2f x y z x yz f 4, 1,2

MTH2103 Unit5 18

ถ้า แล้วเราจะนิยามดิฟเฟอเรนเชียล โดย ,z f x y dz

, ,x y

dz f x y dx f x y dy

ตัวอย่าง จงหาดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน 3 2 2, 2f x y x y x y

MTH2103 Unit5 19

ทฤษฎีบท ก าหนด โดยที่ แล้ว

ก าหนด โดยที่ แล้ว

,x x t y y t ,z f x y

dz f dx f dy

dt x dt y dt

, ,w f x y z , ,x x t y y t z z t

dw f dx f dy f dz

dt x dt y dt z dt

5.8 กฎลูกโซ่

MTH2103 Unit5 20

ตัวอย่าง ก าหนด โดยที่ จงหา3z x y 22 ,x t y t dz

dt

ตัวอย่าง ก าหนด โดยที่ จงหา เมื่อz xy cos , sinx t y t dz

dt 2t

ตัวอย่าง ก าหนด โดยที่ จงหา เมื่อ2w x y y xz 2cos , sin ,x y z

dw

d 3

MTH2103 Unit5 21

กฎลูกโซ่ส าหรับฟังก์ชนันิยามบนผิว

ก าหนด และ แล้วอนุพันธ์ย่อยอันดับที่หนึ่งของ จะเท่ากับ

และ

, , ,x x s t y y s t ,z f x y

dz z dx z dy

dt x dt y dt

z

dz z dx z dy

ds x ds y ds

ตัวอย่าง ก าหนด โดยที่ จงหา2 23z x y 2 7 , 5x s t y st ,dz dz

ds dt

MTH2103 Unit5 22

คือ การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ ที่จุด ในทิศทางของเวกเตอร์

พิจารณาสมการเส้นตรง

อนุพันธ์ระบุทิศทางของ ที่ ในทิศทางของเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย

ต้องเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

0Pf u

0

0

0

:

x x at

L y y bt

z z ct

f 0 0 0 0, ,P x y z u ai bj ck

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,u x y zD f P af x y z bf x y z cf x y z

u

5.9 อนุพันธ์ที่มีทิศทางและเกรเดียนท์

MTH2103 Unit5 23

นิยาม ก าหนด เวกเตอรแ์กรเดียนต์ (gradient vector) แทนด้วย

จะเห็นได้ว่า

, ,f x y z

f f ff i j k

x y z

uD f f u

MTH2103 Unit5 24

ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ระบุทิศทางของ ที่จุด ในทิศทางของเวกเตอร์

, cosyf x y xe xy 2,0P

3 4A i j

ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ระบุทิศทางของ ที่จุด ในทิศทางของเวกเตอร์

2, , zf x y z x y xe 2, 1,0P

2 4A i j k

MTH2103 Unit5 25

ค่าสูงสุดและค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันหลายตัวแปร

การทดสอบค่าสุดขีดด้วยอนุพันธ์อันดับสอง

ระเบียบวิธีก าลังสองน้อยที่สุด

การหาจุดวิกฤตโดยใช้วิธีการของลากรานจ์

5.10 การประยุกต์ของอนุพันธ์ย่อย

ค่าสูงสุดและค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันหลายตัวแปรนิยาม มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (relative maximum) ที่จุด ถ้า ,f x y 0 0,x y

0 0, ,f x y f x y

นิยาม มีค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ (relative minimum) ที่จุด ถ้า ,f x y 0 0,x y

0 0, ,f x y f x y

นิยาม ถ้า มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือมีค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด แล้วจะเรียก ว่า มคี่าสุดขีดสัมพัทธ์ (relative extremum)

,f x y 0 0,x y

,f x y

ทฤษฎีบท ถ้า มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่จุด แล้ว

และจะเรียกจุด นั้นว่าเป็น จุดวิกฤต (critical point)

,f x y 0 0,x y

0 0 0 0, , 0x yf x y f x y

0 0,x y

ตัวอย่าง จงหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน 2 2, 3 5 5 27 20 2f x y x y xy x y

ถ้าอนุพันธ์ของ หาค่าไม่ได้ที่จุด แล้วจุดนั้นก็จะถือว่าเป็นจุดวิกฤตด้วย เราจะเรียกจุดที่อนุพันธ์หาค่าไม่ได้น้ีว่า จุดอานม้า (saddle point)

,f x y 0 0,x y

ตัวอย่าง จงหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน ,f x y x x y

วิธีทดสอบจุดวิกฤตให้พิจารณาค่า

ถ้า แล้ว เป็นจุดต่ าสุด

ถ้า แล้ว เป็นจุดสูงสุด

ถ้าสรุปไม่ได้ แสดงว่า เป็นจุดอานม้า

0D 0 0,x y

0 0 0 0h, ,D f x y k f x y

0 0,x y

0 0,x y

0D

ตัวอย่าง จงหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน พร้อมทั้งตรวจสอบจุดวิกฤตที่ได้ว่าเป็นจุดชนิดใด

2 2, 2 5 1f x y x y

วิธีทดสอบว่าจุดวิกฤตที่หาได้ เป็นจุดอานม้า จุดสูงสุดสัมพัทธ์ หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ โดยการใช้วิธีดังข้างต้นน้ันค่อนข้างยุ่งยาก ส่วนใหญ่เราจึงใช้การทดสอบด้วยอนุพันธ์อันดับสองจะง่ายกว่า

การทดสอบค่าสุดขีดด้วยอนุพันธ์อันดับสอง

ทฤษฎีบท ให้ เป็นจุดวิกฤต และก าหนดให้

แล้วจะได้ว่า และ แล้ว เป็นจุดสูงสุด

และ แล้ว เป็นจุดต่ าสุด

แล้ว เป็นจุดอานม้า

สรุปไม่ได้ ให้กลับไปใช้วิธีทดสอบโดยการพิจารณาค่า

2 0AC B

0 0,x y

0 0

0 0

0 0

,

,

,

xx

xy

yy

A f x y

B f x y

C f x y

2 0AC B

2 0AC B

2 0AC B

0A

0A

D

0 0,x y

0 0,x y

0 0,x y

ตัวอย่าง จงตรวจสอบจุดวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับสองเพื่อหาจุดสุดขีดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน 2 2, 4 6 3 2f x y x y x

ระเบียบวิธีก าลังสองน้อยที่สุด

เป็นวิธีที่ใช้อนุพันธ์ย่อยมาเพ่ือช่วยหาสมการเส้นตรง ที่สามารถน ามาประมาณค่าข้อมูลที่มีได้ใกล้เคียงที่สุด

y mx b

ผลต่างระหว่างค่า บนเส้นตรง กับค่า ของแต่ละจุด เรียกว่า ค่าเบี่ยงเบน (deviation)y y

เราจะใช้วิธีก าลังสองน้อยที่สุดเพ่ือหาค่า และ ที่ท าให้ผลบวกของก าลังสองของค่าเบี่ยงเบนมีค่าน้อยที่สุด

bm

สมการ ที่ได้ จะเรียกว่า สมการของเส้นตรงก าลังสองน้อยสุด (least-squares line) หรือ เส้นถดถอย (regression line)

y mx b

ขั้นตอนของวิธีก าลังสองน้อยสุด1. หาค่าเบี่ยงเบนของแต่ละจุด แล้วน าแต่ละค่ามายกก าลังสอง2. ก าหนดฟังก์ชัน3. หาอนุพันธ์ย่อย และ4. แก้ระบบสมการ เพื่อหาค่า และ ที่จะท าให้ มีค่าต่ าสุด5. ตรวจสอบว่าค่า และ ที่ได้จะให้ค่าต่ าสุดโดยหาอนุพันธ์อันดับสอง

แล้วพิจารณาค่า

2

,f m b devmf bf

0m bf f m b ,f m b

m b

A, B,mm mb bbf f f C 2AC B

ตัวอย่าง จงหาสมการของเส้นถดถอยที่เหมาะสมส าหรับจุดต่อไปนี้ 1,8 , 2,5 , 3,4 , 4,0

การหาจุดวิกฤตโดยใช้วิธีการของลากรานจ์ (Lagrange Multipliers)

ใช้ส าหรับหาจุดวิกฤต เพื่อน าไปหาค่าสูงสุดหรือต่ าสุดของฟังก์ชัน 3 ตัวแปร (ฟังก์ชันพื้นผิว) ที่สอดคล้องกับเง่ือนไข , ,w f x y z , , 0g x y z

ฟังก์ชันลากรานจ์ (Lagrange function) นิยามโดย

เรียกว่า ตัวคูณลากรานจ์ (Lagrange multiplier) สามารถหาค่าได้จากการแก้ระบบสมการ

, , , , , , ,L x y z f x y z g x y z

, , , , , , , , , 0x y zL x y z L x y z L x y z L x y z

เงื่อนไข สามารถมีได้มากกว่า 1 เงื่อนไข โดยถ้าเงื่อนไขมีจ านวนเท่าไหร่ ก็ต้องเพิ่มตัวคูณลากรานจ์ ให้มีจ านวนเท่านั้น

, , 0g x y z

ตัวอย่าง จงหาจุดบนระนาบ ที่อยู่ใกล้จุดก าเนิดมากที่สุดโดยใช้ตัวคูณลากรานจ์2 5 0x y z