第第 11 章 章 电磁场的数学物理基础电磁场的数学物理基础

第第 11 章 章 电磁场的数学物理基础电磁场的数学物理基础

§1.1 矢量分析

1. 标量场和矢量场

标量：只有大小而没有方向的量。如电压 U 、电荷量 Q 、电流 I 、面积 S 。

矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。

标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。

矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。

2. 场的 "场图 "表示 对矢量场，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力

线或流线。力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同。

对标量场，用等值面图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。

3.矢量的通量、散度

一个开表面上的面元，其方向与围成该开表面的闭合回路的方向呈右螺旋关系。

一个闭合面上的面元，其方向为该闭合面的外法线方向。

通量定义：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分为 A 通过 S 的通量，即 。

物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。 散度定义：在矢量场 A 中，围绕 P 点做一闭合面，所围体

积为，若穿过闭合面的通量与之比的极限存在，则该极限称为矢量场 A 在 P 点的散度 , 即

物理定义：包围单位体积闭合面的通量。 计算公式 ：

散度（高斯）定理 ：

4. 矢量的环流、旋度

定义：矢量 A 沿某一有向闭合曲线 C 的线积分为 A 沿 C 的环流，即

物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质 。

矢量的旋度：在矢量场 A 中，围绕 P点做一闭合回路 c ，所围面积为 S ，其法线方向单位矢量为 n ； A 的旋度是矢量，其大小为 S0 时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即

nAlA

)rotS

dc

s(lim

0

物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向无关。

计算公式 ：

斯托克斯定理 ：

5. 标量的梯度

定义：标量场 u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为 u 增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于 u 在该方向上的增加率，即最大增加率。

物理意义：标量的梯度表示了标量 u 增加率的最大值及方向。

计算公式：

标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影，即

证明：

6. 矢量恒等式

7. 亥姆霍兹定理

定理：位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度和旋度唯一确定。

几个场的名称和性质 ：

保守场：场强沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。

无旋场： 旋度为零的矢量场叫做无旋场。 标量场的梯度场是无旋场，如静电场。

无散场： 散度为零的矢量场叫做无散场。矢量场的旋度场是无散场，如恒定磁场。

由亥姆霍兹定理可知，对矢量场的研究应从散度和旋度两方面进行。散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程，通量方程和环流方程组成了矢量场的基本积分方程 。

§1.2 时变电磁场的基本方程 1. 时变磁场产生有旋、无散电场

法拉第电磁感应定律 :

sin dSdt

d

dt

dnB

式中， in 为感应电势， S 为以闭合回路为边界的曲面，n 为 S 的单位法向量，为穿过曲面 S 的磁通。它们之间的关系如图 1 所示。式中的负号可由楞次定律说明，即感应电流产生的磁场将抵抗原来磁场的变化 。

对应感应电势 in ，存在感应电场 Ein ，且感应电势 in 等于感应电场 Ein 沿闭合回路的线积分，即：

c inin dlE

可以看出，感应电场 Ein 沿闭合回路的线积分不为零。换句话说，感应电场为非保守场。

假设在随时间变化的磁场中，闭合回路 C以速度 v 在 t的时间间隔内位移了 vt的距离，则闭合回路中磁通的变化率为：

])()()()([1

lim )()(0

tSttSt

tdtttdtttdt

dSBSB

闭合回路 C的一个线元 dl也在 t的时间间隔内位移了 vt的距离，它扫过一个面元，整个回路扫过一个侧面 S （ t）。

S （ t）， S （ t）和 S （ t+t）构成一个闭合曲面，令其为 S0 ，则由磁通连续性原理，在 t+t时刻，应有：

0)()()()()()(

ttStStSdttdttdtt SBSBSB

用泰勒公式展开为： 略去二阶以上的无穷小项，带入上式，得：

tt

(t)ttB

BB )(

0)()()(])([ )()(

ttSctS dttttdtdtt

t SBvl BSB

B

移项，可得：])()([)()( )()()(

ctStSttS dttdt

tdtdtt lBvSB

SBSB

由此可得：

cSc in ddt

d lBvSB

lE

利用斯托克斯定理：

SSS in ddt

d SB)vSB

SE (

曲面 S 是任意的 , 等号两边的积分核必须相等，即 ：

)( BvB

E

tin

感应电场的电场强度线是无头无尾的闭合曲线，它对任意闭合曲面的面积分必然为零，或者说它的散度为零（ ）。可见，感应电场是有旋场，无散场。 0 inD

如果空间还存在库仑电荷，则库仑电荷产生的库仑电场 Ec 与静电场性质相似，是无旋场，有散场，只是场量随时间变化。此时空间任一点的电场为感应电场与库仑电场之和，即：

inc EEE 可得 ：

cSc ddt

d lBvSB

lE

)( BvB

E

t

由于感应电场是无散场，静电场中的高斯定理可以推广到时变电磁场，且具有相同的形式，其积分和微分形式分别为 ：

S qdSD D

2. 时变电场产生有旋、无散磁场

恒定磁场的安培环路定律不再适用于时变电磁场，因为它与经实验证明的电荷守恒定律相矛盾 :

恒定磁场

Sc dd SJlH JH

0 J

时变电磁场

t

qdS

SJ

t

J

静电场中的高斯定理可以在形式上不加修改地应用于时变电磁场，将其微分形式代入电荷守恒定律，得

0)(

S dt

SD

J

定义 ，称为位移电流密度。表明传导电流与位移电流之和是连续的，这也称为全电流连续性原理。

相应的位移电流为：

SS dd dt

dI SD

SJ

td

D

J

位移电流与传导电流一样，可以产生磁场。换一个角度讲，可以将恒定磁场的安培环路定律推广到时变电磁场，相应的数学表达式为：

Sc dt

d SD

JlH )(

由斯托克斯定理，可以得到推广的安培环路定律的微分形式：

t

D

JH

即变化的电场可以产生磁场。这一问题的物理意义可以通过下面的例子得到进一步的说明。

1SL idd SJlH

2S dL idd SJlH d

可知二者应该相等，即传导电流与位移电流之和是连续的。

位移电流与传导电流产生的磁场性质相同，都是有旋场、无散场。因此，在时变电磁场中，磁通连续性原理仍然成立，即：

0 S dSB 0 B

3. 麦克斯韦方程

全电流连续性方程和电荷守恒定律可以从推广的安培环路定律和高斯定理的微分形式导出。

)()(t

DJH 0)(

t

DJ

t

J

对于线性、各向同性媒质，有媒质的本构关系：

EED 0 r HHB 0 r EJ

【例 1】如图所示，一根导电棒可以在两条导电轨道上自由滑动，计算导电棒上的感应电势，

(1) 如果导电棒静止在 y=8cm处，且 B=az4cos106t mWb/m2 ；(2) 如果导电棒以速度 v=20ay m/s滑动，且 B=4az mWb/m2 ；(3) 如果导电棒以速度 v=20ay m/s滑动，且 B=az4cos（ 106t-y）mWb/m2 。

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

Q

Bv

P

图 6-3 例 6-1 图

0

6cm

解 :(1) 可得：

Vtt

dSdt

d

dt

dsin

nB

6663 10sin2.1910sin)10)(10(4)06.0)(08.0(

感应电势的参考方向是从 Q 点指向 P 点。 (2)由式（ 6-4），可得：

Vmdxd xzyin aaalBv 00.06 8.4)10(420 3

感应电势的参考方向仍然是从 Q 点指向 P 点。

(3) 此时既存在随时间变化的磁场，又存在运动的媒质 ,可以用两种方法求解

方法一：

Vyttyt(

dxyt

dxdyyt

ddt

xzy

y

ctSin

)10cos()10(8.410cos240)10cos240

)]10cos()10(420[

)10sin()10)(10(4

6366

63006.0

06.00 0

''663

)(

aaa

lBvSB

方法二：首先计算闭合回路中的磁通：

mWbtyt

yt

dxdyytdy

y

SB

66

06

006.0

06

10sin24.0)10sin(24.0

)10sin()06.0(4

)10cos(4

利用 dy/dt=V，可得：

Vyttyt

mVtytdt

din

)10cos()10(8.410cos240)10cos(240

10cos)10(24.0)10cos()2010(24.0

6366

6666

可见，结果与方法一的结果一致。

因此，位移电流为：dt

dVC

dt

dV

d

SSJI dd

而传导电流为：dt

dVC

dt

dV

d

S

dt

dES

dt

dDS

dt

dS

dt

dQI s

可见，传导电流与位移电流相等。而：

nAttI d 3333

49

10cos4.14710cos5010103

105

36

102

【例 2】一个平行板电容器的极板面积为 5cm2 ，两极板间距离为 3mm，外施电压为 50sin103t V。假设介质的介电常数=20 ，计算两极板间的位移电流。

解：忽略边缘效应

d

VED

dt

dV

dt

DJ d