Embed Size (px)
Citation preview
1
º··Õè 1 ૵
ในวิชาคณิตศาสตร ใชคําวา “เซต” ในการกลาวถึง กลุมของสิ่งตางๆ โดยจะตองทราบอยางแนชัดวา
สิ่งใดอยูในกลุมและสิ่งใดไมอยูในกลุม เชน
• เซตของเดือนในหนึ่งป หมายถึง .......................................................................................
• เซตของสระในภาษาอังกฤษ หมายถึง ........................................................................................
• เซตของจํานวนท่ียกกําลังสองแลวได 25 หมายถึง .......................................................................................
เรียก สิ่งท่ีอยูในเซตวา “สมาชิก” (element)
- ใช ∈ เปนสัญลักษณแทนคําวา “เปนสมาชิก” หรือ “อยูใน”
- ใช ∉ เปนสัญลักษณแทนคําวา “ไมเปนสมาชิก” หรือ “ไมอยูใน
เชน ให A = {1 , 2 , 3 , 4 }
เปนสมาชิกของ A เขียนแทนดวย ………………………………………………………………………………………………………..
หมายเหตุ เซตจะไมใชกับสิ่งท่ีบงบอกคุณภาพ เชน เซตของคนสวย เซตของคนดี เปนตน
สัญลักษณของเซตที่ควรทราบ
แทนเซตของจํานวนจริง
แทนเซตของจํานวนเต็ม
แทนเซตของจํานวนจริงบวก
แทนเซตจํานวนเต็มบวก
แทนเซตของจํานวนจริงลบ
แทนเซตของจํานวนนับ
แทนเซตของจํานวนตรรกยะ
แทนเซตของจํานวนเต็มลบ
แทนเซตของจํานวนตรรกยะลบ
แทนเซตของจํานวนอตรรกยะ
แทนเซตของจํานวนตรรกยะบวก
แทนเซตของจํานวนเฉพาะ
2
โดยท่ัวไปจะแทนเซตดวยตัวอักษรภาษาอังกฤษดวยตัวพิมพใหญ เชน A , B , C และแทนสมาชิกของเซตดวย
ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพเล็ก เชน a , b , c
การเขียนเซตแบงออกเปน 2 แบบ คือ
1. แบบแจกแจงสมาชิก เปนการเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บปกกา และใชเครื่องหมายจุลภาค
( , ) ค่ันระหวางสมาชิกแตละตัว
ตัวอยางที่ 1
ให A แทนเซตของพยัญชนะ 5 ตัวแรกในภาษาไทย
ดังนั้น A = …………………………………………………………………………………………………………………………………..
ให B แทนเซตของจํานวนเต็มบวกท่ีนอยกวา 6
ดังนั้น …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ให C แทนเซตของตัวอักษรในภาษาอังกฤษ
ดังนั้น …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ในกรณีท่ีเซตใดมีจํานวนสมาชิกของเซตมาก จะใชจุดสามจุด ( ... ) เพ่ือแสดงวา มีสมาชิกอ่ืนๆในเซตนั้นดวย ซ่ึง
เปนท่ีเขาใจกันท่ัวไปวามีอะไรบางท่ีอยูในเซตนั้น โดยจะเขียนสมาชิก 3 ตัวแรกเปนอยางนอย แลวตามดวย “ ... ” แตถา
สมาชิกมีจํานวนจํากัดจะตองระบุสมาชิกตัวสุดทายดวย
ตัวอยางที่ 2 จงเขียนเซตท่ีกําหนดใหตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1. N เปนเซตของจํานวนนับ
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
2. A เปนเซตของจํานวนคูบวก
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
3. P เปนเซตของจํานวนเฉพาะท่ีเปนบวก
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
4. I เปนเซตของจํานวนเต็ม
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
5. B เปนเซตของจํานวนเต็มท่ีนอยกวา 20
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
¡ÒÃà¢Õ¹૵
3
ตัวอยางที่ 3 จงเขียนเซตท่ีกําหนดใหตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1. เซตอของจังหวัดในประเทศไทยท่ีข้ึนตนดวยพยัญชนะ “ จ ”
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
2. เซตของสระในภาษาอังกฤษ
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
3. เซตของจํานวนเต็มบวกท่ีมีสองหลัก
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
4. เซตของจํานวนคูท่ีนอยกวา 10
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
5. เซตของจํานวนเต็มท่ีมากกวา 100
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
6. เซตของจํานวนเต็มลบท่ีมากกวา -100
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
7. { x | x เปนจํานวนเต็มท่ีมากกวา 3 และนอยกวา 10 }
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
8. { x | x เปนจํานวนเต็มท่ีอยูระหวาง 0 กับ 1 }
………………………………………………………………………………………………………………………………………….....................
2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ใชตัวแปรแทนสมาชิกแลวบรรยายสมบัติของสมาชิกท่ีอยูในรูปของตัวแปร มี
เครื่องหมาย “ | ” แทนคําวา “ โดยที่ ” แลวตามดวยการบอกสมบัติของสมาชิก
ตัวอยางที่ 4 A = { x | x เปนชื่อวันในหนึ่งสัปดาห}
อานวา A เปนเซตซ่ึงและกอบดวยสมาชิก x โดยท่ี x เปนชื่อวันในหนึ่งสัปดาห
B เปนเซตของจํานวนเต็มท่ีนอยกวา 10
B = ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
C เปนเซตของจํานวนเต็มท่ีสอดคลองสมการ 042 =−x
C = ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
หรือ C = ………………………………………………………………………………………………………………………………………
D = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 }
D = ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4
ตัวอยางที่ 5 จงเขียนเซตท่ีกําหนดใหตอไปนี้แบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก
1. N = { 1 , 3 , 5 }
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. P = { … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3. R = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , … }
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4. T = { 10 , 20 , 30 , 40 , … }
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
1. เซตวาง
เรียก เซตท่ีไมมีสมาชิก วา “ เซตวาง ”
เซตวาง เขียนแทนดวยสัญลักษณ .................หรือ .................
เชน { x | x เปนจํานวนเต็มบวกและสอดคลองกับสมการ 022 =−x }
{ x | x เปนจํานวนนับท่ีนอยกวา 1 }
ตัวอยางที่ 1 จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้
1. B = { 1234 } จํานวนสมาชิกเทากับ .................
2. C = { a , b , c , de , f , gh , ijk } จํานวนสมาชิกเทากับ .................
3. D = { x | x เปนจํานวนเต็มบวกท่ีอยูระหวาง 10 และ 20 } จํานวนสมาชิกเทากับ .................
4. G = { x | x เปนจํานวนเต็มบวกและนอยกวา 0 } จํานวนสมาชิกเทากับ .................
ตัวอยางที่ 2 เซตตอไปนี้เซตใดเปนเซตวาง
1. { x | x เปนจํานวนเต็มท่ีอยูระหวาง 3 และ 4 } .................
2. { x | x เปนจํานวนท่ีมากกวา 1 และนอยกวา 2 } .................
3. { x | x เปนจํานวนเฉพาะท่ีมากกวา 3 และนอยกวา 10 } .................
2. เซตจํากัด (Finite sets) คือ เซตท่ีมีจํานวนสมาชิกเทากับจํานวนเต็มบวกใดๆ หรือศูนย
เชน A แทนเซตของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 ปการศึกษา 2548 ( เปนเซตจํากัด )
B = { 1 , 2 , 3 , … , 50 } ( เปนเซตจํากัด )
C = { x | x เปนจํานวนเต็มลบท่ีมากกวา -1 } ( เปนเซตจํากัด )
D = { x ∈ I | 062 =−+ xx } ( เปนเซตจํากัด )
3. เซตอนันต (Infinite sets) คือ เซตท่ีไมใชเซตจํากัด นั่นคือสมาชิกของเซตมีจํานวนมากไมสิ้นสุด
เชน { -1 , -2 , -3 , -4 , … }
{ x | x เปนจํานวนคู }
»ÃÐàÀ·¢Í§à«µ
5
1. เซตวางเปนเซตจํากัด เนื่องจาก เซตวางมีจํานวนสมาชิกเทากับ 0
2. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก นิยมเขียนสมาชิกแตละตัวเพียงครั้งเดียวเทานั้น
เชน เซตของเลขโดดท่ีอยูในจํานวน 1,221 คือ { 1 , 2 }
3. N กับ +I เปนเซตเดียวกัน
ตัวอยางที่ 3 จงพิจารณาขอความตอไปนี้วาถูกหรือผิด
................. 1. { x | x เปนจํานวนเต็มและ 22 =+ x }
................. 2. { x | x เปนจํานวนเต็มคู } เปนเซตจํากัด
................. 3. { x | x = n1 โดยท่ี n เปนจํานวนนับ } เปนเซตอนันต
................. 4. { x | x = n1 โดยท่ี n เปนจํานวนนับท่ีนอยกวา 999 } เปนเซตอนันต
................. 5. { x | x เปนจํานวนเต็มท่ีหารดวย 3 ลงตัว } เปนเซตจํากัด
................. 6. { x | x เปนจํานวนเต็มท่ีหารดวย 5 ลงตัว และมีคาไมเกิน 200 } เปนเซตจํากัด
................. 7. ถา B = { { 1 , 2 , 3 , … }} แลว B เปนเซตจํากัด
................. 8. ถา C = { 21 ,
31 ,
41 , … } แลว C เปนเซตอนันต
................. 9. ถา D = { x | x +∈ I และ 210 xx < } เปนเซตอนันต
................. 10. ถา F = { x | x +∈ I และ 300<x } เปนเซตจํากัด
................. 11. ถา G = { x | x ∈ R และ 100<x } เปนเซตจํากัด
................. 12. ถา H = { x | x ∈ Q และ 10 << x } เปนเซตอนันต
เซต A เทากับเซต B
หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกทุกตัวของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต A เขียนแทนดวย A = B
เซต A ไมเทากับเซต B
หมายถึง มีสมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวของเซต A ท่ีไมใชสมาชิกของเซต B และมีสมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวของเซต B
ท่ีไมใชสมาชิกของเซต A เขียนแทนดวย A ≠ B
¢ŒÍµ¡Å§à¡ÕèÂǡѺ૵
૵·Õè෋ҡѹ (equal sets )
6
ตัวอยางที่ 1 จงแสดงวาเซตท่ีกําหนดใหตอไปนี้เปนเซตท่ีเทากันหรือไม
1. A = { 1 , 2 , 3 }
B = { x | x +∈ I และ 3≤x }
ดังนั้น ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. A = { 9 , 7 , 5 , 3 , 1 }
B = { x | x เปนจํานวนค่ีบวกและนอยกวา 10 }
C = { x | 12 −= nx , +∈ In }
ดังนั้น ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3. C = { 1 , 2 }
D = { x ∈ I | 0232 =+− xx }
ดังนั้น ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4. A เปนเซตของตัวอักษรในคําวา “ rational ”
B เปนเซตของตัวอักษรในคําวา “ irrational ”
C เปนเซตของตัวอักษรในคําวา “ national ”
ดังนั้น ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
เอกภพสัมพัทธ หมายถึง เซตท่ีกําหนดข้ึนโดยมีขอตกลงวา เม่ือกลาวถึงสมาชิกของเซตใดๆ
จะไมกลาวถึงสิ่งอ่ืนท่ีนอกเหนือจากสมาชิกในเซตท่ีกําหนดข้ึนนี้ เขียนแทนดวยสัญลักษณ “ U ”
ตัวอยางที่ 2
1. กําหนดให U คือ เซตของจํานวนจริง
A = { x | 252 =x }
B = { x | 0273 =+x }
จะได A = { -5 , 5 }
B = { -3 }
ถากําหนดให U คือ เซตของจํานวนเต็มบวก
จะได A = { 5 }
B = { }
2. กําหนดให U คือ เซตของจํานวนนับ จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
A = { x | x < 5 }
จะได ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
B = { x | 0432 =−− xx }
จะได ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
àÍ¡À¾ÊÑÁ¾Ñ· ̧ (Relative Universe)
7
3. กําหนดให U = { 1 , 2 , 3 , … , 9 } จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก
A = { x | x U∈ และ 912 ≥−x }
จะได A………………………………………………………………………………………………………………………………………….
B = { x | x U∈ และ 0223 =−− xxx }
จะได ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
หมายเหตุ ถากลาวถึงเซตของจํานวนและไมไดกําหนดวาเซตใดเปนเอกภพสัมพัทธ ใน
ระดับชั้นนี้ใหถือวา เอกภพสัมพัทธ คือ เซตของจํานวนจริง
เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเม่ือ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B
เขียนแทนดวย ..........................................................
เซต A ไมเปนสับเซตของเซต B ก็ตอเม่ือ มีสมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวของเซต A ท่ีไมเปนสมาชิกของเซต B
เขียนแทนดวย .........................................................
ตัวอยางที่ 1
1. A = { 2 , 3 } B = { 2 , 3 , 4 } ดังนั้น .........................................................
2. A = { 3 , 4 , 5 } B = { 4 , 5 , 6 } ดังนั้น .........................................................
3. A = { 2 , { 3 }} B = { 0 , 2 , { 3 }} ดังนั้น .........................................................
4. A = { 3 , { 4 }} B = {{ 3 } , { 4 }} ดังนั้น .........................................................
5. A = { 1 , 2 , 3 } B = { 3 , 2 , 1 } ดังนั้น .........................................................
6. A = { a , b , c , d } B = { b , a , d , c } ดังนั้น .........................................................
หมายเหตุ 1. ถา A ⊂ B และ B ⊂ A แลว A = B
2. A เปนสับเซตแทของ B ก็ตอเม่ือ A ≠ B
3. A ไมเปนสับเซตแทของ B ก็ตอเม่ือ A = B
ขอสังเกต
1. ถา A เปนเซตจํากัดและมีสมาชิก n ตัว แลว แลวเซต A มีสับเซตท้ังหมด 2n สับเซต
2. ถาเซต A มีสมาชิก n ตัว เซต A จะมีสับเซตแทท้ังหมด 2n – 1 สับเซต
ÊѺ૵ (Subsets)
¡ÒÃËÒÊѺ૵¢Í§à«µ A áÅШíҹǹÊѺ૵¢Í§à«µ A
8
ตัวอยางที่ 2
1. กําหนดให A = { a }
สับเซตท้ังหมดของ A ไดแก …………………………………………………………………………………………………………………
2. กําหนดให A = { 0 , 1 }
สับเซตท้ังหมดของ A ไดแก …………………………………………………………………………………………………………………
3. กําหนดให A = { 2 , 4 , 6 }
สับเซตท้ังหมดของ A ไดแก …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
สับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 1 ตัว ไดแก …………………………………………………………………………………………………
สับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 2 ตัว ไดแก …………………………………………………………………………………………………
สับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 3 ตัว ไดแก { 2 , 4 , 6 }
สับเซตของ A ท่ีไมมีสมาชิก ไดแก φ
หมายเหตุ 1. φ ⊂ A เม่ือ A เปนเซตใดๆ
2. A ⊂ A เม่ือ A เปนเซตใดๆ
3. ถา A ⊂ B และ B ⊂ C แลว A ⊂ C
4. A ⊂ B และ B ⊂ A ก็ตอเม่ือ A = B
เพาเวอรเซตของ A หมายถึง เซตของสับเซตท้ังหมดของเซต A
ใชสัญลักษณ P(A) แทนเพาเวอรเซตของเซต A
ดังนั้น P(A) = { x | x ⊂ A }
ตัวอยางที่ 3 จงหาพาวเวอรเซตของเซตตอไปนี้
1. A = { 1 , 3 }
สับเซตท้ังหมดของ A คือ …………………………………………………………………………………………………………………
พาวเวอรเซตของ A คือ …………………………………………………………………………………………………………………
2. B = { a , b , c }
P(B) คือ ……………………………………………………………………………………………………………………………
3. C = { 4 , { 5 }}
P(C) คือ ……………………………………………………………………………………………………………………………
4. D = φ
P(D) คือ …………………………………………………………………………………………………………………………….
à¾ÒàÇÍÃ૵ (Power sets)
9
5. E = { 0 , 1 , { 2 }}
P(E) คือ …………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
6. A = { 2 }
P(A) คือ …………………………………………………………………………………………………………………
P( P(A) ) คือ …………………………………………………………………………………………………………………
ขอสังเกต
1. ถา A เปนสับเซตจํากัด แลว P(A) เปนเซตจํากัด
และจํานวนสมาชิกของพาวเวอรเซต A n(P(A)) = n2 เม่ือ n เปนจํานวนสมาชิก
2. ถา A เปนเซตอนันต แลว P(A) เปนเซตอนันต
แผนภาพเวนน – ออยเลอร คือ แผนภาพท่ีเขียนแทนดวยรูปปดใดๆ เชน รูปสี่เหลี่ยม รูปวงกลม รูปวงรี หรือรูปปดอ่ืนๆ
โดยท่ัวไปจะใชรูปสี่เหลี่ยมผืนผาแทนเอกภพสัมพัทธ
เชน
แผนภาพแสดงเอกภพสัมพัทธ U
แผนภาพแสดงเซต A ซ่ึง A⊂U
แผนภาพแสดงเซต A และ Bซ่ึงเปนสับเซต
ของ U และเปนเซตท่ีไมมีสมาชิกรวมกัน
แผนภาพแสดงเซต A และ Bซ่ึงเปนสับเซตของ
U โดยท่ี A และ B มีสมาชิกบางตัวซํ้ากันแต
A⊄B และ B⊄A
A B
A BBB
A
á¼¹ÀÒ¾àǹ¹ – ÍÍÂàÅÍà ( Venn – Euler Diagram)
10
แผนภาพแสดงเซต A และ B โดยท่ี B⊂A
และ A⊄ B
แผนภาพแสดงเซต A และ B โดยท่ี A=B
(B⊂A และ A⊂ B)
ตัวอยางที่ 1 จงเขียนแผนภาพ เวนน- ออยเลอร โดย
กําหนดให U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5, 6}
C = {7, 8, 9}
วิธีทํา อาจเขียนแผนภาพ เวนน- ออยเลอรแสดงเอกภพสัมพัทธ และสับเซตตางๆได ดังนี้
ตัวอยางที่ 2 กําหนดให U = {a, b, c, d, e}
A = {a, b, c}
B = {c, d}
วิธีทํา
A B
A
B
11
ตัวอยางที่ 3 กําหนดให U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {1, 3, 5, 7}
B = {1, 2, 4, 8}
เขียนแผนภาพเวนน – ออยเลอร แทนเซตท่ีกําหนดให ไดดังนี้
ตัวอยางที่ 4 กําหนดให U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
A = {e, h, i, j}
B = {a, b, h, i}
และ C = {a, c, d, i, j}
ในท่ีนี้จะได เซต A และ B มีสมาชิกรวมกันสองตัว คือ ……………………………………
เซต A และ C มีสมาชิกรวมกันสองตัว คือ ……………………………………
เซต B และ C มีสมาชิกรวมกันสองตัว คือ ……………………………………
เซต A, B และ C มีสมาชิกรวมกันสองตัว คือ ……………………………………
เขียนแผนภาพเวนน – ออยเลอร แทนเซตท่ีกําหนดให ไดดังนี้
12
การปฏิบติการทางเซต คือการสรางเซตข้ึนใหมจากเซตท่ีกําหนดให มี 4 แบบ คือ
1. ยูเนียน
พิจารณาจากเซต 2 เซต คือ A = {3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3}
อาจสรางเซตใหมจากเซต A และเซต B คือ C = {1, 2, 3, 4, 5 ,6} จะเห็นวาเซต C ประกอบดวยสมาชิกเหลานี้คือ
1, 2 เปนสมาชิกของเซต A เทานั้น
4, 5, 6 เปนสมาชิกของเซต B เทานั้น
3 เปนสมาชิกท่ีอยูท้ังในเซต A และเซต B
เรียกเซต C วา ยูเนียนของเซต A และเซต B
บทนิยามท ยูเนียนของเซต A และเซต B คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิกซ่ึงเปนสมาชิกของเซต A หรือของเซต B
หรือของท้ังสองเซต
ยูเนียนของเซต A และเซต B เขียนแทนดวย .................................................
เขียนแบบบอกเง่ือนไขไดดังนี้ A ∪ B = {x∈U | x∈A หรือ x∈B หรือ x เปนสมาชิกของทั้งสองเซต}
เขียนแผนภาพแทน A ∪ B ไดดังนี้
¡Òû¯ÔºÑµÔ¡Ò÷ҧ૵
13
ตัวอยางที่ 1 ให A = {1 , 3 , 5 , 7 , 9} B = {2 , 3 , 5 , 7 , 11}
ดังนั้น A ∪ B = ............................................................................................................................
ตัวอยางที่ 2 ให A = {x | x เปนจํานวนเต็มลบ} B = {-1 , -2 , -3 , -4}
ดังนั้น A ∪ B = ............................................................................................................................
ตัวอยางที่ 3 ให A = {a , b , c} B = {x , y , z}
ดังนั้น A ∪ B = ............................................................................................................................
ตัวอยางที่ 4 ให A = {1 , 3 , 5 , 7 , …} B = {2 , 4 , 6 , …}
ดังนั้น A ∪ B = ............................................................................................................................
2. อินเตอรเซกชัน
พิจารณาจาก 2 เซต คือ A = {3, 4, 5, 6} และ B = {1, 2, 3} อาจสรางเซตใหมจากเซต A และเซต B คือ C =
{3} จะเห็นวา สมาชิกแตละตัวของเซต C เปนสมาชิกของท้ังเซต A และเซต B เรียกเซต C วา อินเตอรเซกชันของเซต A
และเซต B
บทนิยาม อินเตอรเซกชันของเซต A และเซต B คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิกซ่ึงเปนสมาชิกของท้ังเซต
A และเซต B
อินเตอรเซกชันของเซต A และเซต B เขียนแทนดวย ..........................................
เขียนแบบบอกเง่ือนไขไดดังนี้ A ∩ B = {x∈U | x∈A และ x∈B}
เขียนแผนภาพแทน A ∩ B ไดดังนี้
ตัวอยางที่ 5 ให A = {1 , 2 , 3 , 4} B = {3 , 4 , 5 , 6}
ดังนั้น A ∩ B = ……………………………………………………………………………………………………………….
ตัวอยางที่ 6 ให A = {3 ,6 , 9} B = {x | x เปนจํานวนเต็ม}
ดังนั้น A ∩ B = ……………………………………………………………………………………………………………….
ตัวอยางที่ 7 ให A = {x | x +∈ I และ x < 5} B = { x | x +∈ I และ x > 5}
ดังนั้น A ∩ B = ……………………………………………………………………………………………………………….
14
ตัวอยางที่ 8 ให A = {0 , 2 , 4 , 6} B = {0 , 2 , 3 , 5} C = {0}
ดังนั้น A ∩ B = ……………………………………………………………………………………………………………….
A ∩ C = ……………………………………………………………………………………………………………….
B ∩ C = ……………………………………………………………………………………………………………….
3. คอมพลีเมนต
ถาเซต A เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U อาจสรางเซตใหม คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิกท่ีเปนสมาชิกของ U
แตไมเปนสมาชิกของเซต A เรียกเซตใหมนี้วา คอมพลีเมนตของเซต A เมื่อเทียบกับ U
บทนิยาม คอมพลีเมนตของเซต A ซ่ึงเปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิกซ่ึงเปน
สมาชิกของ U แตไมเปนสมาชิกของเซต A
คอมพลีเมนตของเซต A เขียนแทนดวย ………………………………………
เขียนบอกเง่ือนไขไดดังนี้ A′ = {x∈U | x ∉ A}
เขียนแผนภาพแทน A′ ไดดังนี้
ตัวอยางที่ 9 ให U = {0 , 2 , 4 , 6 , 8} A = {2 , 4}
A′ = …………………………………………………………………………………………………………………………………..
ตัวอยางที่ 10 ให U = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} A = {1 , 2 , 3} B = {0 , 2 , 4}
A′ = …………………………………………………………………………………………………………………………………..
B′ = …………………………………………………………………………………………………………………………………..
ตัวอยางที่ 11 ให U = {x | x เปนจํานวนเต็ม} A = {x | x เปนจํานวนค่ี}
A′ = …………………………………………………………………………………………………………………………………..
ตัวอยางที่ 12 ให U = {1 , 2 , 3 , … , 10} A = {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8} B = {2 , 3 , 8 , 9 , 10}
A′ = ………………………………………………………… B′ = ……………………………………………………………
( )′′A = …………………………………………………….. AA ′∩ = …………………………………………………..
AA ′∪ = ………………………………………………… ( )′∩ BA = …………………………………………………
BA ′∪′ = ………………………………………………. ( )′∪ BA = …………………………………………………
AA ′∩′ = ………………………………………………..
15
4. ผลตาง
ถากําหนด A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {4, 5, 6, 7} พิจารณาสมาชิกของเซต A และสมาชิกของเซต B จะไดวา
สมาชิกของเซต A ท่ีไมเปนสมาชิกของเซต B คือ 1, 2, 3 ให C = {1, 2, 3} จะไดวา C เปนเซตท่ีประกอบดวยสมาชิกของ
เซต A ท่ีไมเปนสมาชิกของเซต B เรียกเซต B วา ผลตางระหวางเซต A และเซต B
บทนิยาม ผลตางระหวางเซต A และเซต B คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิกของเซต A ท่ีไมเปนสมาชิกของเซต B
ผลตางระหวางเซต A และเซต B เขียนแทนดวย ..........................................
เขียนบอกเง่ือนไขไดดังนี้ A – B = {x∈U | x∈A และ x ∉ B}
เขียนแผนภาพแทน A – B ไดดังนี้
ตัวอยางที่ 1 ถา A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} B = {4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}
ดังนั้น A – B = …………………………………………………………………………………………………………………..
B – A = …………………………………………………………………………………………………………………..
ตัวอยางที่ 2 ถา A = {0 , 2 , 4 , 8 , 10} B = {0 , 4 , 8}
ดังนั้น A – B = …………………………………………………………………………………………………………
B – A = ………………………………………………………………………………………………………..
ตัวอยางที่ 3 จงเขียนแผนภาพเพ่ือแทนเซตตอไปนี้
ให U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}
A = {3 , 4 , 5}
B = {1 , 3 , 5 , 7}
ตัวอยางที่ 4 จงเขียนแผนภาพเพ่ือแทนเซตตอไปนี้
ให U = {x | x เปนจํานวนเฉพาะท่ีเปนบวกท่ีนอยกวา 40}
A = {3 , 5 , 7 , 11 , 13} B = {3 , 7 , 29 , 31 , 37}
16
ตัวอยางที่ 5 จงเขียนแผนภาพเพ่ือแทนเซตตอไปนี้
ให U = {1 , 2 , 3 , … , 10} A = {3 , 6 , 9} B = {1 , 3 , 5 , 7 , 9}
จงใชแผนภาพในการหาเซตตอไปนี ้
1. A′ = ……………………………………………. 2. B′ = …………………………………………….
3. BA∪ = ……………………………………………. 4. ( )′∪ BA = …………………………………………….
5. BA∩ = ……………………………………………. 6. BA ′∩′ = …………………………………………….
ตัวอยางที่ 6 ให U = {0 , 1 , 2 , … , 8}
A = {0 , 2 , 4 , 6 , 8}
B = {1 , 3 , 5 , 7}
C = {3 , 4 , 5 , 6}
จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1. BA∩ = ……………………………………………. 5. C ′ = …………………………………………
2. BA∪ = ……………………………………………. 6. AC ∩′ = …………………………………………….
3. CB ∩ = ……………………………………………. 7. BC ∩′ = …………………………………………….
4. CA∩ = ……………………………………………. 8. ( ) BBA ∪∩ = ……………………………………
ตัวอยางที่ 7 ให U = {x | x เปนจํานวนนับไมเกิน 12}
A = {x | x เปนจํานวนค่ีบวกท่ีนอยกวา 12}
B = {x | x เปนจํานวนท่ีหารดวย 3 ลงตัว}
C = {x | x เปนจํานวนเฉพาะท่ีนอยกวา 10}
จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1. A′ = …………………………………………………………………………………………………………………..
2. B′ = …………………………………………………………………………………………………………………..
3. C ′ = …………………………………………………………………………………………………………………..
4. BA∪ = …………………………………………………………………………………………………………………..
5. BA∩ = …………………………………………………………………………………………………………………..
6. CB ∪ = …………………………………………………………………………………………………………………..
7. CB ∩ = …………………………………………………………………………………………………………………..
8. CA∪ = …………………………………………………………………………………………………………………..
17
9. CA∩ = …………………………………………………………………………………………………………………..
10. CBA ∪∪ = …………………………………………………………………………………………………………………..
11. CBA ∩∩ = …………………………………………………………………………………………………………………..
12. ( )′∪ BA = …………………………………………………………………………………………………………………..
13. ( )′∩ BA = …………………………………………………………………………………………………………………..
14. ( )′∪CB = …………………………………………………………………………………………………………………..
15. ( )′∩CB = …………………………………………………………………………………………………………………..
16. ( )′∪CA = …………………………………………………………………………………………………………………..
17. ( )′∩CA = …………………………………………………………………………………………………………………..
18. BA − = …………………………………………………………………………………………………………………..
19. CB − = …………………………………………………………………………………………………………………..
20. CA − = …………………………………………………………………………………………………………………..
จํานวนสมาชิกของเซตจํากัดใดๆ จะเขียนแทนดวยสัญลักษณ ( )An เราสามารถหาจํานวนสมาชิกของเซตจํากัดได
2 วิธี คือ การใชสูตร และ การใชแผนภาพของเซต
สูตรการหาจํานวนสมาชิกของเซต
ถา A , B และ C เปนเซตจํากัด และเปนสับเซตของ U แลว
1. ( )BAn ∪ = ( ) ( ) ( )BAnBnAn ∩−+
2. ( )BAn − = ( ) ( )BAnAn ∩−
3. ( )An ′ = ( ) ( )AnUn −
4. ( )CBAn ∪∪ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBAnCBnCAnBAnCnBnAn ∩∩+∩−∩−∩−++
ตัวอยางที่ 1 ให A และ B เปนสับเซตใดๆ ( ) 10=Un , ( ) 7=An , ( ) 6=Bn และ ( ) 8=∪ BAn
จงหา
1. ( )BAn ∩ จากสูตร .................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
¨íҹǹÊÁÒªÔ¡¢Í§à«µ¨íÒ¡Ñ´
18
จากโจทยเขียนแผนภาพของเซตไดดังนี ้
2. ( )BAn − = ……………
3. ( )ABn − = ……………
4. ( )′∪ BAn = ……………
5. ( )′∩ BAn = ……………
6. ( )′− BAn = ……………
ตัวอยางที่ 2 กําหนดให U , A , B และ BA∩ เปนเซตท่ีมีจํานวนสมาชิก 100 , 40 , 25 และ 6 ตามลําดับ
จงเติมจํานวนสมาชิกของเซตตางๆลงในตารางตอไปนี้
เซต BA − AB − BA∪ A′ B′ ( )′∪ BA
สมาชิก
ตัวอยางที่ 3 กําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตางๆ ในแผนภาพดังตาราง
เซต U A B C BA∩ CA∩ CB ∩ CBA ∩∩ จํานวนสมาชิก 50 25 20 30 12 15 10 5
จงหาจํานวนสมาชิกในเซตตอไปนี้
1. CA∪ = …………………. 2. CBA ∪∪ = ………………….
3. ( )′∪∪ CBA = …………………. 4. ( )CAB ∪− = ………………….
5. ( ) CBA −∩ = …………………. 6. ( )[ ]′∩∪ CBA = ………………….
19
การวิเคราะหโจทยปญหาของเซต
1. พิจารณาวาโจทยตองการทราบสิ่งใด
2. โจทยกําหนดอะไรใหบาง
3. เซตใดสัมพันธกัน และสัมพันธกันอยางไร
4. กําหนดแทนเซตแทนสิ่งท่ีโจทยกําหนดให
5. เขียนแผนภาพแสดงความเก่ียวของของเซตท่ีกําหนด
สูตรการหาจํานวนสมาชิกของเซต
ถา A , B และ C เปนเซตจํากัด และเปนสับเซตของ U แลว
1. ( )BAn ∪ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
2. ( )BAn − = ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
3. ( )An ′ = ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
4. ( )CBAn ∪∪ = ……………………………………………………………………………………………………………………………..
ตัวอยางที่ 1 ในหองเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียน 40 คน ทีนักเรียนท่ีไมเลนกีฬาชนิดใดเลย 8 คน เลนบสเกตบอล 25 คน
เลนวอลเลยบอล 20 คน จงหา
1. จํานวนนักเรียนท่ีเลนบาสเกตบอลอยางเดียว
2. จํานวนนักเรียนท่ีเลนวอลเลยบอลอยางเดียว
3. จํานวนนักเรียนท่ีเลนท้ังบาสเกตบอล และวอลเลยบอล
วิธีทํา ให A แทนเซตของนักเรียนท่ีเลนบาสเกตบอล
ให B แทนเซตของนักเรียนท่ีเลนวอลเลยบอล
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
ดังนั้น 1. จํานวนนักเรียนท่ีเลนบาสเกตบอลอยางเดียว = …………………………………………………………………..
2. จํานวนนักเรียนท่ีเลนวอลเลยบอลอยางเดียว = …………………………………………………………………..
3. จํานวนนักเรียนท่ีเลนท้ังบาสเกตบอล และวอลเลยบอล = ………………………………………………….
⨷»̃ÞËҢͧ૵
20
ตัวอยางที่ 2 จากการสอบภามพอบานพบวา มีผูดื่มชาหรือกาแฟเปนประจําจํานวน 120 คน มีผูท่ีชอบดื่มชา 60 คน
ชอบดื่มกาแฟ 70 คน จงหาจํานวนพอบานท่ีชอบดื่มท้ังชาและกาแฟ
วิธีทํา ให A แทน……………………………………………………………………………………………………………………………………..
ให B แทน……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
ตัวอยางที่ 3 รานคาแหงหนึ่งไดสํารวจความนิยมของลูกคาเก่ียวกับการใชพัดลมวา 60 % ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ 45 %
ใชชนิดแขวนเพดาน และ 15% ใชสองชนิด จงหา
1. ลูกคาท่ีไมใชพัดลมท้ังสองชนิดนี้มีก่ีเปอรเซ็นต
2. ลูกคาท่ีใชพัดลมเพียงชนิดเดียวมีก่ีเปอรเซ็นต
วิธีทํา ให A แทน……………………………………………………………………………………………………………………………………..
ให B แทน……………………………………………………………………………………………………………………………………..
ดังนั้น 1. ลูกคาท่ีไมใชพัดลมท้ังสองชนิดนี้มี …………………………………………………………………………
2. ลูกคาท่ีใชพัดลมเพียงชนิดเดียวมี …………………………………………………………………………..
ตัวอยางที่ 4 โรงพยาบาลแหงหนึ่งทําการสํารวจขอมูลจากผูปวยท่ีมีอายุเกิน 40 ป จํานวน 1,000 คน ปรากฎวา มี
คนสูบบุหรี่ 312 คน มีคนเปนมะเร็งท่ีปอด 180 คน และมี 660 คนไมสูบบุหรี่และไมเปนมะเร็งท่ีปอด มีผูสูบบุหรี่และ
เปนมะเร็งท่ีปอดจํานวนเทาใด และคิดเปนรอยละเทาไรของผูสูบบุหรี่ท้ังหมด
วิธีทํา ให A แทน…………………………………………………………………………
ให B แทน…………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………..
21
ตัวอยางที่ 5 ในการสํารวจผูท่ีดูโทรทัศนจํานวน 180 คน พบวา มีผูชอบดูละคร 100 คน มีผูท่ีชอบดูเกมโชว 92 คน
มีผูท่ีชอบดูขาว 115 คน มีผูท่ีชอบดูท้ังเกมโชวและละคร 52 คน มีผูท่ีชอบดูเกมโชวและขาว 57 คน มีผูท่ีชอบดูละคร
และขาว 43 คน จงหา
1. มีผูท่ีชอบดูรายการท้ังสามประเภทก่ีคน
2. มีผูท่ีชอบดูเกมโชวอยางเดียวก่ีคน
3. มีผูท่ีชอบดูท้ังละครและเกมช แตไมดูขาวก่ีคน
วิธีทํา ให A แทน…………………………………………………………………………
B แทน…………………………………………………………………………
C แทน…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดังนั้น 1. มีผูท่ีชอบดูรายการท้ังสามประเภท …………………………………………………………………………
2. มีผูท่ีชอบดูเกมโชวอยางเดียว …………………………………………………………………………
3. มีผูท่ีชอบดูท้ังละครและเกมช แตไมดูขาว …………………………………………………………………………
ตัวอยางที่ 6 ในการสอบของนักเรียนหองหนึ่งพบวา มีผูสอบผานวิชาคณิตศาสตร 37 คน วิชาสังคมศึกษา 48 คน
วิชาภาษาไทย 45 คน และมีผูสอบผานวิชาคณิตศาสตรและสังคมศึกษา 15 คน มีผูสอบผานวิชาสังคมศึกษาและ
ภาษาไทย 7 คน และมีผูสอบผานท้ังสามวิชา 5 คน ดังนั้นมีผูสอบผานอยางนอยหนึ่งวิชาก่ีคน
วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
22
ตัวอยางที่ 7 ในการสํารวจผูใชบริการขนสง พบวา มีผูใชบริการขนสงทางรถไฟ 100 คน ทางรถยนต 150 คน ทาง
เรือ 200 คน ทางรถไฟและรถยนต 50 คน ทางรถยนตและเรือ 25 คน ไมมีผูใชบริการขนสงทางรถไฟและเรือ ไมมี
ผูใชบริการขนสงทางรถไฟ รถยนต และเรือ ถามีผูใชบริการขนสงทางอ่ืนๆ 30 คน จงหาจํานวนผูท่ีใชบริการขนสงท่ีไดรับ
การสํารวจท้ังหมดมีก่ีคน
วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตัวอยางที่ 8 ในการสอบถามนักเรียนชั้นอนุบาลเก่ียวกับสัตวท่ีชอบ พบวา มีนักเรียนท่ีชอบแมว 30 % ชอบนก 40%
และชอบสุนัข 50% มีนักเรียนท่ีชอบแมวและนก 10% ชอบแมวและสุนัข 15 % ชอบนกและสุนัข 20 % ชอบสัตวท้ังสาม
ชนิด 3% อยากทราบวา
1. มีนักเรียนท่ีชอบแมว , นก หรือสุนัข อยางนอยหนึ่งชนิดมีก่ีเปอรเซ็นต
2. นักเรียนท่ีไมชอบสัตวท้ังสามชนิดมีก่ีเปอรเซ็นต
วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
