결 합 확 률 분 포3

1

2

3

조건부확률분포

결합확률분포

결합분포에 대한 기대값

1 결합확률분포

결합확률분포 , 주변확률분포 및 결합확률분포함수의 개념과 2 변량 확률 계산 방법을 알아본다 .

A 와 B 두 회사에 대한 투자액 ( 단위 ; 백만 원 ) X 와 Y 의 비율

A 와 B 두 회사에 각각 1 백만 원씩 투자할 비율 : 0.02A 회사에 3 백만 원 그리고 B 회사에 2 백만 원을 투자할 비율 : 0.06회사에 동시에 4 백만 원씩 투자할 비율 : 0.00

P(X=1, Y=1) = 0.02, P(X=3, Y=2) = 0.06, P(X=4, Y=4) = 0.00

투자자들이 회사 A 와 회사 B 에 투자한 투자액에 대한 확률 :

X Y

1 2 3 4

1 0.02 0.04 0.08 0.152 0.04 0.05 0.06 0.103 0.08 0.06 0.05 0.014 0.15 0.10 0.01 0.00

▶

▶

결합확률분포 (joint probability distribution) : 두 개 이상의확률변수에 의하여 결합된 확률분포

결합확률질량함수 (joint p.m.f.) : 이산확률변수 X 와 Y 에 대하여 , 상태공간 안의 (x, y) 에서 확률 P(X=x, Y=y) 에 대응하고 , 상태공간 밖의 (x, y) 에서 0 으로 대응하는 함수

SX = { x1, x2, … , xn } , SY = {y1, y2, …, ym } 에 대하여

P(X=x, Y=y) , x ∈ SX , y ∈ SY

0 , 다른 곳에서

f(x, y) =

X 와 Y 의 결합상태공간S = { (x, y) : x = x1, x2, … , xn , y = y1, y2, … , ym }에 대하여

결합확률질량함수의 성질☞

(1) 모든 x, y 에 대하여 0 ≤ f(x, y) ≤ 1 이다 .

(2) f(x, y) = 1

(3) P(a< X≤ b, c< Y ≤ d ) = f(x, y) a<x≤ bc< y ≤ d

동전 3 번 던지는 게임

X : 관찰된 H 의 수

Y : 관찰된 T 의 수

S HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTTX 3 2 2 2 1 1 1 0Y 0 1 1 1 2 2 2 3

동전 3 번 던지는 게임 X 와 Y 의 결합질량함수 f(x, y)

앞면의 수 : X , 뒷면의 수 : Y 확률 P(X ≥ 1 , Y ≥ 2)

X 와 Y 의 상태공간 : SX = { 0, 1, 2, 3 }, SY = { 0, 1, 2, 3 }

X 와 Y 의 결합확률표 : X Y

0 1 2 3

0 0 0 0 1/81 0 0 3/8 02 0 3/8 0 03 1/8 0 0 0

1/8 , (x, y) = (0,3), (3,0)

3/8 , (x, y) = (1,2), (2,1)

0 , 다른 곳에서

f(x, y) =

P(X ≥ 1 , Y ≥ 2) = f(1,2) + f(2,2) + f(3,2) + f(1,3) + f(2,3) + f(3 3)

= + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 =

38

38

결합확률질량함수 :

구하고자 하는 확률 :

결합상태공간의 분할

예제 1 에서

(3,3)

(3,2)

(3,1)

(3,0)

(2,3)

(2,2)

(2,1)

(2,0)

(1,3)

(1,2)

(1,1)

(1,0)

(0,3)

(0,2)

(0,1)

(0,0)

(3,3)

(3,2)

(3,1)

(3,0)

(2,3)

(2,2)

(2,1)

(2,0)

(1,3)

(1,2)

(1,1)

(1,0)

(0,3)

(0,2)

(0,1)

(0,0)

X=0

(0,0)

(0,1)

(0,2)

(0,3)

X=1

(1,0)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

X=3

(3,0)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

S

X=2

(2,0)

(2,1)

(2,2)

(2,3)(3,3)

(3,2)

(3,1)

(3,0)

(2,3)

(2,2)

(2,1)

(2,0)

(1,3)

(1,2)

(1,1)

(1,0)

(0,3)

(0,2)

(0,1)

(0,0)

Y=0(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)

Y=1(0,1)(1,1)(2,1)(3,1)

Y=2(0,2)(1,2)(2,2)(3,2)

Y=3(0,3)(1,3)(2,3)(3,3)

Y 0 1 2 3 합

X=0 0 0 0 1/8 1/8

Y 0 1 2 3 합

X=1 0 0 3/8 0 3/8

Y 0 1 2 3 합

X=2 0 3/8 0 0 3/8

Y 0 1 2 3 합

X=3 1/8 0 0 0 1/8

사건 [X=0] 일 확률

동전을 세 번 던져서 나온 앞면의 수에 대한 확률분포

X 0 1 2 3fX(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

사건 [X=1] 일 확률

사건 [X=2] 일 확률

사건 [X=3] 일 확률

▶ 주변확률질량함수 (marginal p.m.f.) : 이산확률변수 X, Y 와 결합확률질량함수 f(x, y) 에 대하여

X 의 주변확률질량함수 : fX(x) = P(X=x) = f(x, y), x=x1,…,xn

Y 의 주변확률질량함수 : fY(y) = P(Y=y) = f(x, y), y=y1,…,ymx

y

0001/83

003/802

03/8001

1/800003210

뒷면의 수 Y

앞면의

수 X

합

1/83/83/81/8

합 1/8

3/8

3/8

3/8

Y 의 주변확률질량함수

X

의

주변확률질량함수

X, Y 의 결합확률표

(1) X 와 Y 의 주변확률질량함수

(2) P(X≤ 2) = ?

X, Y 의 결합확률질량함수의 그림(1)

P(X=1) = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) + f(1,4) = 0.02 + 0.04 + 0.08 + 0.15 = 0.29

P(X=2) = f(2,1) + f(2,2) + f(2,3) + f(2,4) = 0.04 + 0.05 + 0.06 + 0.10 = 0.25

P(X=3) = f(3,1) + f(3,2) + f(3,3) + f(3,4) = 0.08 + 0.06 + 0.05 + 0.01 = 0.20

P(X=4) = f(4,1) + f(4,2) + f(4,3) + f(4,4) = 0.15 + 0.10 + 0.01 + 0.00 = 0.26

X 의 주변확률 :

P(Y=1) = f(1,1) + f(2,1) + f(3,1) + f(4,1) = 0.02 + 0.04 + 0.08 + 0.15 = 0.29

P(Y=2) = f(1,2) + f(2,2) + f(3,2) + f(4,2) = 0.04 + 0.05 + 0.06 + 0.10 = 0.25

P(Y=3) = f(1,3) + f(2,3) + f(3,3) + f(4,3) = 0.08 + 0.06 + 0.05 + 0.01 = 0.20

P(Y=4) = f(1,4) + f(2,4) + f(3,4) + f(4,4) = 0.15 + 0.10 + 0.01 + 0.00 = 0.26

Y 의 주변확률 :

0.29 , x=1

0.25 , x=2

0.20 , x=3

0.26 , x=4

fX(x) = P(X=x) =

0.29 , y=1

0.25 , y=2

0.20 , y=3

0.26 , y=4

fY(y) = P(Y=y) =

X 의 주변확률질량함수 : Y 의 주변확률질량함수 :

P(X≤ 2) = f(1,1) + f(1,2) + f(1,3) + f( 1,4) + f(2,1) + f(2,2) + f(2,3) + f( 2,4) = 0.02 + 0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.04 + 0.05 + 0.06 + 0.10 = 0.54

P(X≤ 2) = fX(1) + fX(2) = 0.29 + 0.25 = 0.54

(2) 구하고자 하는 확률 :

또는

▶ 결합확률밀도함수 (joint p.d.f.) : 연속확률변수 X 와 Y 에 대하여 , 다음 조건을 만족하는 함수 f(x, y)

결합밀도함수의

개형

f(x, y) ≥ 0 for all x, y

-∞∞

f(x, y) dxdy = 1-∞

∞

연속형 결합확률 구하는 방법☞A={ (x, y)|a ≤ X ≤ b , c ≤ Y ≤ d } 에 대하여

확률 P[(X, Y) ∈ A] 의 기하학적 의미

영역 A 와 결합밀도함수 f(x, y) 로 둘러싸인 입체의 부피

abc

dP[(X,Y) ∈ A] = f(x, y) dydx = f(x, y) dydx

A

▶ 주변확률밀도함수 (margina p.d.f.) : 연속확률변수 X, Y 와 결합밀도질량함수 f(x, y) 에 대하여

X 의 주변확률밀도함수 : fX(x) = f(x, y) dy

Y 의 주변확률밀도함수 : fY(y) = f(x, y) dx

-∞∞

-∞∞

결합확률밀도함수 : (1) X 와 Y 의 주변확률밀도함수(2) P(0≤ X ≤ ½, ½ ≤ Y ≤ 1) , P(0≤ X ≤ ½) , P(½ ≤ Y ≤ 1) ,

(1)

x + y , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

0 , 다른 곳에서

f(x, y) =

X 의 주변확률밀도함수 : fX(x) = f(x, y) dy = (x + y) dy

-∞∞

01

= xy + y2 = x + , 0 ≤ x ≤ 1

12 y=

0

1[ ]

12

= x2 + xy = y + , 0 ≤ y ≤ 1

12 x=

0

1[ ]

12

Y 의 주변확률밀도함수 : fY(y) = f(x, y) dx = (x + y) dx

0

1-∞

∞

(2) 구하고자 하는 확률 :1/2

P(1/2 ≤ Y ≤ 1) = y + dy = y2 + y =

1/2

1 12( ) 1

212[ ]1

1/2

58

P(0 ≤ X ≤ 1/2) = x + dx = x2 + x =

01/2 1

2( ) 12

12[ ]1/2

0

38

P(0 ≤ X ≤ 1/2, 1/2 ≤ Y ≤ 1) = (x + y) dydx

0 1/2

1

= xy + y2 dx = dx =0

1/2 12 y=1/

2

1[ ]

0

1/2 x2

38+(

)14

▶ 결합분포함수 (joint d.f.) : 임의의 실수 x, y 에 대하여

F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y )

X 의 주변분포함수 : FX(x) = P(X ≤ x )

Y 의 주변분포함수 : FY(y) = P(Y ≤ y )

FX(x) =t≤x

fX(t)

-∞

xfX(t)dt

모든

y

f(t, y)t≤x

-∞∞

-∞

xf(t,

y)dydt

=

, X : 연속확률변수인 경우

, X : 이산확률변수인 경우

결합분포함수의 성질☞(1) FX(x) = lim F(x, y) , FY(y) = lim F(x, y)

x→∞y→∞

(2) A={ (x, y)|a < X ≤ b , c < Y ≤ d } 에 대하여 확률 P[(X, Y) ∈ A]

P(a < X ≤ b , c < Y ≤ d ) = F(b,d) – F(a,d) - F(b,c) + F(a,c)

∂2

∂x∂y F(x, y)f(x, y) = (3)

연속확률변수 X 와 Y 에 대하여

fX(x) = ddxFX(x) , fY(y) = ddy

FY(y)(4)

결합분포함수 : F(x, y) = (1-e-x ) (1- e-y ) , 0 < x < ∞ , 0 < y < ∞

(1) X 와 Y 의 결합확률밀도함수 : f(x, y) = ?

(2) X 와 Y 의 주변확률밀도함수 : fX(x) = ? , fY(y) = ?

(3) P(1 < X ≤ 2 , 1 < Y ≤ 2) = ?

X 와 Y 의 주변분포함수 :

(1) X 와 Y 의 결합확률밀도함수 : ∂2

∂x∂y

FX(x) = lim F(x, y) = lim (1 – e-x ) (1 – e-2y ) = 1 – e-x , 0 < x < ∞

FY(y) = lim F(x, y) = lim (1 – e-x ) (1 – e-2y ) = 1 – e-2y , 0 < y < ∞

y→∞ y→∞

x→∞ x→∞

f(x, y) = F(x, y)

∂2

∂x∂y= (1 – e-x ) (1 – e-2y )= (e-x) (2e-2y) = 2e-(x+2y) , 0 < x < ∞ , 0 < y < ∞

(2) X 와 Y 의 주변확률밀도함수 :

(3) P(1 < X ≤ 2, 1 < Y ≤ 2) = F(2, 2) – F(1, 2) – F(2, 1) + F(1, 1)

= (1 - e-2) (1 - e-4) - (1 - e-1) (1 - e-4) - (1 - e-2)2 - (1 - e-1) (1 - e-2)

= 0.0272

fX(x) = FX(x) = (1 – e-x) = e-x , 0 < x < ∞

ddx

ddx

fY(y) = FY(y) = (1 – e-2y) = 2e-2y , 0 < y < ∞

ddy

ddy

결합확률질량함수 :

결합분포함수 : F(x, y)0.100.100.150.0420.300.050.050.1010.010.040.050.010

3210 Y X

F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y ) 이므로

Y X

0 1 2 3

0 0.01 0.06 0.10 0.111 0.11 0.21 0.30 0.612 0.15 0.40 0.59 1.00

조건부 확률분포 , 확률변수의 독립성과 종속성 및 항등분포에 대하여 알아본다 .

2 조건부 확률분포

조건부 확률 Review

f(x, y) : 이산확률변수 X 와 Y 의 결합확률질량함수 f(x, y) = P(X = x, Y = y)

fX(x) : 이산확률변수 X 의 주변확률질량함수 fX(x) = P(X = x)

fY(y) : 이산확률변수 Y 의 주변확률질량함수 fY(y) = P(Y = y)

A = { X=x }, B = { Y=y } A∩B = { X = x, Y = y }

P(A) = P(X=x) = fX(x)

P(B) = P(Y=y) = fY(y)

P(A∩B) = P(X=x, Y=y) = f(x, y)

P(A∩B) f(x, y) P(B) fY(y)

P(A|B)=P(X=x|Y=y) =

=

P(A|B) = P(A∩B)P(B)

, P(B) > 0

▶

f(y|x)=f(x, y)fX(x)X=x 일 때 Y 의 조건부확률질량함수 :

▶

조건부확률질량함수 (conditional p.m.f.) : 이산확률변수X 와 Y 에 대하여 , P(Y = y) > 0 일 때

를 Y=y 일 때 X 의 조건부확률질량함수라 하고 , f(x|y) 로 나타낸다 .

P(X=x|Y=y) = f(x, y)

fY(y)

조건부확률밀도함수 (conditional p.d.f.) : 연속확률변수X 와 Y 에 대하여 , fY(y) > 0 일 때

f(x|y) = f(x, y)

fY(y)

조건부 확률분포의 의미☞P(X=x, Y=y)P(X=

x)

P(X=x,Y=y)P(Y=y

)y

x

X 와 Y 의 결합확률질량함수 :

(1) Y 의 주변확률질량함수 : fY(y) = ?

(2) Y=y 인 X 의 조건부확률질량함수 : f(x|y) = ?

(3) Y=2 인 X 의 조건부확률질량함수 : f(x|y=2) = ?

(4) 조건부 확률 : P(X=3|Y=2) = ?

(1)(2)(3)(4)

0 , 다른 곳에서

f (x, y) =

, x = 1, 2, 3, y = 1, 2, 3x + y36

fY(y) =x=1

3f(x, y) =

x=1

3 x + y36

= y + 212

, y = 1, 2, 3

f(x|y) =f(x, y)fY(y)

(x + y) /36(y + 2) /

12

x + y3(y +

2)

= = , x = 1, 2, 3

f(x|y = 2) = x + 212

, x = 1, 2, 3

P(X=3|Y=2) = f(3|2) =

3 + 212

512

=

조건부 확률 구하는 방법☞

P(Y ∈ B|X = x) = y ∈ B

f(y|x)=P(X = x, Y ∈ B)P(X = x)

P(X ∈ A|Y = y) = x ∈ A

f(x|y)=P(X ∈ A, Y = y)P(Y = y)

P(Y ∈ B|X = x) = =P(X = x, Y ∈ B)fX(x)

P(X ∈ A|Y = y) =P(X ∈ A, Y = y)fY(y)

f(y|x)dyc

d

= f(x|y)dxa

b

X, Y 의 결합확률 :(1) X 와 Y 의 주변확률질량함수

(2) Y=2 인 X 의 조건부 확률질량함수

(3) Y=2 인 조건 아래서 X=1 또는 X=3

일 확률

Y X

1 2 3 4

1 0.12 0.08 0.07 0.052 0.08 0.15 0.21 0.133 0.01 0.01 0.02 0.07

Y X

1 2 3 4 fX(x)

1 0.12 0.08 0.07 0.05 0.32

2 0.08 0.15 0.21 0.13 0.57

3 0.01 0.01 0.02 0.07 0.11

fY(y) 0.21 0.24 0.30 0.25 1.0

0

(1) X 와 Y 의 주변확률질량함수 :

fY(y) =

0.21 , y = 10.24 , y = 20.30 , y = 30.25 , y = 4

fX(x) =0.32 , x = 10.57 , x = 20.11 , x = 3

(2) Y=2 인 X 의 조건부 확률질량함수 :조건부 확률질량함수의 정의로부터

(3) 구하고자 하는 확률 :

X 의 조건부 확률질량함수 :

f(x|y = 2) =

f(x, 2)

fY(2)

f(x, 2)

0.24

= , x = 1, 2, 3

f(1|y = 2) = = 0.333

0.080.24

f(2|y = 2) = = 0.625

0.150.24

f(3|y = 2) = = 0.042

0.010.24

f(x|y) =

0.333 , x = 00.625 , x = 10.042 , x = 2 0 , 다른 곳에서

P(X = 1 또는 X = 3|Y = 2) = f(1|y = 2) + f(3|y = 2)

= 0.333 + 0.042 = 0.375

f(x|y) = fX(x) ?

독립 사건 Review

이산확률변수 X 와 Y 에 대하여

A = { X = x }, B = { Y = y }

P(A) = P(X = x) = fX(x)

P(A|B)=P(X = x|Y = y) = f(x|y)

P(A) = P(A|B) , P(B) > 0

▶ 독립 (independent) : 임의의 실수 x 와 y 에 대하여 , fX(x) > 0, fY(y) > 0 일 때 fX(x) = f(x|y) 또는 fY(y) = f(y|x)이면 , 두 확률변수 X 와 Y 를 독립이라 하고 , 독립이 아닌경우에 종속 (dependent) 이라 한다 .

독립 확률변수의 성질☞확률변수 X 와 Y 가 독립이면 ,

f(x, y) = fX(x) fY(y)

결합확률밀도함수 : f(x, y)=6xy2 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1

(1) X 의 주변확률밀도함수 : fX(x) = ?

(2) Y=1/2 인 조건 아래서 X 의 조건부 확률밀도함수 : f (x|y=1/2) = ?

(3) Y=1/2 인 조건 아래서 확률 : P(1/2 ≤ X ≤ 1) = ?

(4) X 와 Y 의 독립성

(1) X 의 주변확률밀도함수 :

(2) Y 의 주변확률밀도함수 :

fY(y) = f(x, y) dx = 6xy2 dx = (3y2)x2 = 3y2 , 0 ≤ y ≤ 1

-∞

∞

x=0

1[ ]0

1

fX(x) = f(x, y) dy = 6xy2 dy = (2x)y3 = 2x , 0 ≤ x ≤ 1

-∞∞

y=0

1[ ]0

1

(4) 모든 0 ≤ x ≤ 1 에 대하여

fX(x) = 2x = f(x|y = 1/2)

X 와 Y 는 독립

(3)

fY(1/2)=3/4 이므로 Y=1/2 인 조건 아래서 X 의 조건부 확률밀도함수 :

f(x|y = ½) =

f(x, ½)fY(½) = = 2x , 0 ≤ x

≤ 1

(3/2)x

3/4

P ≤ X ≤ 1|Y = =

12

12(

)P ≤ X ≤ 1 , Y

=

fY(1/2)

12

12(

)1/2

1= 2x dx = x2 =

1/2

1 34

다음 결합분포에 대한 X 와 Y 의 독립성

(1) f(x, y) = x + y , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (2) f(x, y) = 2e-(x+2y) , x > 0, y > 0

(3)1/8, (x, y) = (0, 3), (3, 0)

3/8, (x, y) = (1, 2), (2, 1)

0 , 다른 곳에서f(x, y) =

(1) X 와 Y 의 주변확률밀도함수 :모든 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 에 대하여

X 와 Y 는 종속

12

f(x, y) = x + y

≠ fX(x) fY(y) = x + y +

12(

)( )

•

∞

12

12

fX(x) = f(x, y) dy = (x + y) dy

= xy + y2 = x + , 0 ≤ x ≤ 1

-∞

y=0[ ]

0

1

1

12

fY(y) = f(x, y) dx = (x + y) dx

= x2 + xy = y + , 0 ≤ y ≤ 1

-∞

∞

x=0[ ]

0

1

112

(2) X 와 Y 의 주변확률밀도함수 :

X 와 Y 는 독립

(3) X 와 Y 의 주변확률질량함수 :

X 와 Y 는 종속

f(x, y) =2e-(x+2y) = fX(x) fY(y) , x > 0, y > 0

fX(x) = 2e-(x+2y) dy = e-x e-2y = e-x , x > 0

0

∞

y=0[ ]∞

fY(y) = 2e-(x+2y) dx = 2e-2y e-x = 2e-

2y , y > 00

∞

x=0[ ]∞

1/8, x = 0, 33/8, x = 1, 2 0 , 다른 곳에서

fX(x) =1/8, y = 0, 33/8, y = 1, 2 0 , 다른 곳에서

fY(y) =

f(1, 1) = 0 ≠ fX(x) fY(y) =

18

18

164

• =

▶ 쌍마다 독립 (pairwisely independent) : 임의의 실수 x, y,z 에

대하여 , fX(x) > 0, fY(y) > 0, fZ(z) 일 때

f(x, y) = fX(x) fY(y),

f(y, z) = fY(y) fZ(z) ,

f(x, z) = fX(x) fZ(z)

이면 , 확률변수 X, Y 와 Z 를 쌍마다 독립이라 하고 , f(x, y, z) = fX(x) fY(y) fZ(z)

이면 독립이라 한다 .

예

fX(x) = e-x , x > 0

fY(y) = 2e-2y , y > 0

fZ(z) = 3e-3z , z > 0

f(x, y) = fX(x) fY(y),

f(y, z) = fY(y) fZ(z) ,

f(x, z) = fX(x) fZ(z)

X, Y 와 Z : 쌍마다 독립

f(x, y, z) = fX(x) fY(y) fZ(z)

X, Y 와 Z : 독립

f(x, y, z) = 6e-(x+2y+3z) , x > 0, y > 0, z >0 에 대하여 , 확률변수 X, Y, Z 의 독립성 조사

f(x, y) = 2e-(x+2y) , x > 0, y > 0

f(y, z) = 6e-(2y+3z) , y > 0, z > 0

f(x, z) = 3e-(x+3z) , x > 0, z > 0

X, Y, Z 의 m.p.d.f. :(X, Y), (Y, Z), (X, Z) 의

j.p.d.f. :

임의의 두 확률변수 X 와 Y 에 대하여 다음은 동치이다 .(1) X, Y : 독립(2) 모든 x, y 에 대하여 F(x, y) = FX(x) FY(y)(3) P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d ) = P(a < X ≤ b ) P(c < Y ≤ d )

정리 1

증명 X 와 Y 가 연속확률변수인 경우 (1) (2)

(2) (1)

-∞y

-∞

xF(x, y) = f(u, v)dvdu = fX(u)fY(v)dvdu

= fX(u) fY(v)dv du = fX(u) FY(y)du -∞

x

-∞y(

)-∞

x

= FY(y) fX(u)du = FX(x)FY(y) -∞

x

∂2

∂x ∂y∂2

∂x ∂yf(x, y) = F(x, y) = FX(x)FY(y)

= FX(x) FY(y) = FX(x)fY(y) ∂∂x

∂∂y(

)∂∂x

= fY(y) FX(x) = fX(x)fY(y) ∂∂x(

)

-∞y

-∞

x

(1) X, Y : 독립 식 (3) 이 성립

P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d ) = F(b, d) – F(a, d) – F(b, c) + F(a, c)

이고 , X, Y 가 독립이면 , F(x, y) = FX(x) FY(y)이므로

P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d ) = FX(b)FY(d) – FX(a)FY(d) – FX(b)FY(c) + FX(a)FY(c)

= (FX(b) - FX(a)) (FY(d) - FY(c)) = P(a < X ≤ b ) P(c < Y ≤ d )

식 (3) 이 성립 X, Y : 독립

a, b, c, d 가 임의의 수이므로 a = -∞ , c = -∞ , b = x, d = y라 하면 ,

F(x, y) = P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d ) = P(a < X ≤ b ) P(c < Y ≤ d ) = FX(x) FY(y)

이고 , 따라서 X 와 Y 는 독립이다 .

두 도시의 교통사고 건수 X 와 Y 의 결합확률함수 :

(1) X 와 Y 의 주변확률함수 : (2) X 와 Y 의 독립성 : (3) 두 도시의 교통사고 건수가 각각 1 을 초과하지 못할 확률 :

2x3y e-

5(x!)(y!)

, x = 0, 1, 2, …, y = 0, 1, 2, …

f(x, y) =

(1) X 와 Y 의 주변확률질량함수 :

( )

x=0

∞fY(y) = f(x, y) =

x=0

∞ 2x3y

(x!) (y!)e-5 = 3y

y!e-5

x=0

∞ 2x

x!

3y

y!= e-5 (e2) = e-3, y = 0, 1, 2, …

3y

y!

( )

y=0

∞fX(x) = f(x, y) =

y=0

∞ 2x3y

(x!) (y!)e-5 = 2x

x!e-5

y=0

∞ 3y

y!

2x

x!= e-5 (e3) = e-2, x = 0, 1, 2, …

2x

x!

(2) X 와 Y 의 독립성 :

모든 x = 0, 1, 2, …, y = 0, 1, 2, … 에 대하여

2x3y e-

5(x!)(y!)

f (x, y) =

= fX(x, y) fY(x, y) =2x e-2

x!3y e-3

y!•

X, Y : 독립

(3) X 와 Y 가 독립이므로 P(X≤ 1, Y≤ 1)= P(X≤ 1) P(Y≤ 1)이고 ,

P(X≤ 1, Y≤ 1) =(0.406)•(0.1991)

= 0.08080

P(X ≤ 1) = e-2 + e-2 = 0.4060

20

0!21

1!

P(Y ≤ 1) = e-3 + e-3 = 0.1991

30

0!31

1!

▶ 항등분포 (identical distribution) : 임의의 실수 x 에 대하여

fX(x) = fY(x)

일 때 , 확률변수 X 와 Y 는 항등분포를 이룬다 하고 , 항등적으로

독립인 분포를 이루는 확률변수를 간단히 i.i.d(independently, identically distributed) 로 나타낸다 .

예

fX(x) = e-x , x > 0

fY(y) = e-y , y > 0

fZ(z) = e-z , z > 0

fX(x) = fY(x) = fZ(x) = e-x

X, Y, Z : i.i.d

f(x, y, z) = e-(x+y+z) , x > 0, y > 0, z >0 에 대하여 , 확률변수 X, Y, Z 의

항등적인 독립성 조사

X 와 Y 의 결합분포함수 :

F(x, y) = (1-e-2x)(1-e-3y) , x >0 , y >0

X 와 Y 는 i.i.d. ?

X 와 Y 의 결합밀도함수와 주변밀도함수 :

X, Y : i.i.d.가 아니다 .

모든 x >0 , y >0 에 대하여f(x, y) = fX(x) fY(y) X, Y :

독립

모든 x >0 에 대하여fX(x) = 2e-2x≠ fY (x) = 3e-3x X, Y : 항등분포가 아니

다 .

fX(x) = 6e-(2x+3y) dy = 2e-2x , 0 < x < ∞ 0∞

fY(y) = 6e-(2x+3y) dx = 3e-3y , 0 < y < ∞ 0

∞

f(x, y) = F(x, y) = 6e-(2x+3y) , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞

∂2

∂x ∂y

X 와 Y 의 결합확률함수 :

X 와 Y : i.i.d. ?

X 와 Y 의 주변확률질량함수 :

1/8, (x, y) = (0, 3), (3, 0)

3/8, (x, y) = (1, 2), (2, 1)

0 , 다른 곳에서f(x, y) =

1/8, x = 0, 3

3/8, x = 1, 2

0 , 다른 곳에서

fX(x) =

1/8, y = 0, 3

3/8, y = 1, 2

0 , 다른 곳에서

fY(y) =

모든 x =0, 1, 2, 3 에 대하여fX(x) = fY (x) X, Y :

항등분포

예제 4 에서 X, Y : 종속 X, Y : i.i.d. 가

아니다 .

결합분포의 기대값과 공분산 , 상관관계 등에 대하여 알아본다 .

3 결합분포에 대한 기대값

f(x, y) : X 와 Y 의 결합확률함수

u(x, y) : X 와 Y 의 함수

확률변수의 함수 Y = g(X) 의 기대값 :

확률변수의 함수에 대한 기대값 Review

☞ 2 변량 확률변수의 함수 u(X, Y) 의 기대값

E(Y) = E[g(X)] =

x

g(x) f(x)

-∞

∞g(x)

f(x)dx

모든

y

u(x, y) f(x, y)

-∞

∞-∞

∞u(x, y) f(x,

y)dydx

E[u(X, Y)] =

모든

x

, (X, Y) : 이산확률변수인 경우

, (X, Y) : 연속확률변수인 경우

2 변량 기대값의 성질

☞E[au(X, Y ) + bv(X, Y )] = aE[u(X, Y )] + bE[v(X,

Y)]X 의 기대값 :

X 의 분산 :

모든

y

X = E(X) = x f(x, y)

모든

x

= x f(x, y) = x fX(x) [

]모든

x

모든

x모든

y

-∞∞

-∞

∞X = x f(x, y)dydx = x fX(x)dx

-∞

∞

모든

y모든

x

= (x - X)2 f(x, y) = (x - X)2 fX(x)

[ ]

모든

x

X = E[(X - X)2] = (x - X)2 f(x, y)

모든

x모든

y

2

-∞∞

X = (x - X)2 f(x, y)dydx = (x - X)2 fX(x)dx

-∞∞

-∞

∞2

결합확률질량함수 :(1) E(X) = ?

(2) E(Y) = ?

(3) E(X + Y) = ?

(4) E(X Y) = ? 0.090.070.050.0420.100.090.070.0510.150.110.100.080

3210 Y X

X = E(X) = x f(x, y)

x=0

2

y=0

3

= 0•(0.08) + 0•(0.10) + 0•(0.11) + 0•(0.15) + 1•(0.05) + 1•(0.07)

+ 1•(0.09) + 1•(0.10) + 2•(0.04) + 2•(0.05) + 2•(0.07) + 2•(0.09) = 0.81

Y = E(Y) = y f(x, y)

x=0

2

y=0

3

= 0•(0.08) + 0•(0.05) + 0•(0.04) + 1•(0.10) + 1•(0.07) + 1•(0.05)

+ 2•(0.11) + 2•(0.09) + 2•(0.07) + 3•(0.15) + 3•(0.10) + 3•(0.09) = 1.78

E(X + Y) = (x + y) f(x, y)

x=0

2

y=0

3

= 0•(0.08) + 1•(0.10) + 2•(0.11) + 3•(0.15) + 1•(0.05) + 2•(0.07)

+ 3•(0.09) + 4•(0.10) + 2•(0.04) + 3•(0.05) + 4•(0.07) + 5•(0.09) = 2.59

E(X Y) = xy f(x, y)

x=0

2

y=0

3

= 0•(0.08) + 0•(0.10) + 0•(0.11) + 0•(0.15) + 0•(0.05) + 1•(0.07)

+ 2•(0.09) + 3•(0.10) + 0•(0.04) + 2•(0.05) + 4•(0.07) + 6•(0.09) = 1.47

임의의 두 확률변수 X 와 Y 가 독립이면 . 다음이 성립한다 . E(X Y ) = E(X ) E(Y )

정리 2

증명

정리 2 의 역은 성립하지 않는다 .

주 의

모든

y

E(X Y) = xy f(x, y) = xy fX(x)fY(y)

모든

x

= x fX(x) y fY(y) = E(X)E(Y)

[ ]

모든

x모든

y모든

x모든

y

[ ]X 와 Y 가 연속확률변수인 경우 :

X 와 Y 가 이산확률변수인 경우 :

E(X Y) = xy f(x, y)dydx = xy fX(x)fY(y)dydx

= xfX(x)dx yfY(y)dy = E(X)E(Y)( )

( )

-∞∞

-∞

∞-∞

∞-∞

∞

-∞∞

-∞

∞

결합확률밀도함수 : f(x, y) = 6xy2 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

E(X), E(Y ), E(X Y ) = ? E(X Y ) = E(X)E(Y ) = ?

X, Y 의 주변확률밀도함수 :

E(X Y ) = E(X)E(Y) 가 성립한다 .

fX(x) = 2x , 0 ≤ x ≤ 1 , fY(y) = 3y2 , 0 ≤ y ≤ 1

X = xfX(x)dx = 2x2dx = x3 =

23 0

1 23

Y = yfY(y)dy = 3y3dy = y4 =

34 0

1 34

E(X Y) = xyf(x, y)dydx = 6x2y3dydx

= 6x2 y4 dx = x2 dx = x3 =

14 0

1( )

32

12 0

1 12

01

01

01

01

01

01

010

1

01

01

결합밀도함수 :E(X), E(Y ), E(X Y ) = ?

X, Y 의 독립성 ?

1+xy(x2 – y2 ) 4

f(x, y) = , -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1

X, Y 의 주변확률밀도함수 :

E(XY ) = E(X) E(Y )

X, Y 는 독립이 아니다 .

fX(x) = dy = , -1 ≤ x ≤ 1

12

1 + xy(x2 – y2)4

fY(y) = dx = , -1 ≤ y ≤ 1

12

1 + xy(x2 – y2)4

f(x, y) = ≠ fX(x) fX(x) =

14

1 + xy(x2 – y2)4

-11

-11

Y = dy = 0

y2X = dx

= 0 ;

y2

E(XY) = dydx = 0

1 + xy(x2 – y2)4

-11

-11

-11

-11

▶ 공분산 (covariance) : X=E(X),Y=E(Y) 에 대하여 E[(X – X ) (Y – Y )]을 공분산이라 하고 , Cov(X, Y) 로 나타낸다 .

공분산의 간편 계산 방법☞Cov(X, Y) = E[(X – X) (Y - Y)] = E(X Y - XY - YX + X Y)

= E(X Y) - XE(Y) - YE(X) + Y Y

= E(X Y) - Y Y

Cov(X, Y) = E[(X – X ) (Y – Y )](x – X ) (y – Y ) f(x, y) , (X, Y) : 이산형인 경우

(x – X ) (y – Y ) f(x, y)dxdy , (X, Y) : 연속형인 경우

=모든

x모든

y

-∞∞

-∞

∞

공분산의 성질☞(1) Cov(X, Y ) = E(X Y ) - X Y

(2) X, Y 가 독립이면 , Cov(X, Y ) = 0 ( 역은 성립하지 않는다 )

(3) Cov(X, X ) = Var(X)

(4) Cov(aX + b, cY + d ) = ac Cov(X, Y )

(5) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) +2 Cov(X, Y )

(6) Var(X - Y ) = Var(X) + Var(Y ) -2 Cov(X, Y )

(7) X, Y 가 독립이면 , Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )

Var(X - Y ) = Var(X) + Var(Y )Var(X + Y) = E[{(X + Y) – (X + Y)}2] = E[(X - X)2 + 2(X - X)(Y - Y) + (Y - Y)2 ] = E[(X - X)2 ] + 2E[(X - X)(Y - Y) ] + E[(Y - Y)2] = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)

결합밀도함수 : f(x, y) = x+y, 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1

(1) X 와 Y 의 공분산

(2) E(X+Y ), Var(X+Y )

(1) X 와 Y 의 주변확률밀도함수 :fX(x) = x + , 0 ≤ x ≤ 1 ; fY(y) = y + , 0 ≤ y ≤ 1

12

12

Cov(X, Y) = E(XY) - X Y = - • = -

13

712

712

1144

( )

0

1E(X) = x x + dx = x2+ dx = x3 + x2 =

12

x2

13

14(

)( )

712

( )

0

1E(Y) = y y + dy = y2+ dy = y3 + y2 =

12

y2

13

14(

)( )

712

y=0

1( )

E(XY) = xy(x + y)dydx = x xy2 + y3 dx

12

13

( )

= x x + dx =12

13

13

01

01

01

01

01

01

01

01

(2)

X 와 Y 의 분산 :

X+Y 의 분산 :

( )

Var(X) = E(X2) – E(X)2 = - =712

11144

512

2

( )

Var(Y) = E(Y2) – E(Y)2 = - =712

11144

512

2

536

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)

= + - =

11144

11144

2144

712

712

E(X + Y) = E(X) + E(Y) = + =

76

( )

0

1E(X2) = x2 x + dx = x3+ dx = x4 + x3 =

12

x2

2

14

16(

)( )

512

( )

0

1E(Y2) = y2 y + dy = y3+ dy = y4 + y3 =

12

y2

214

16(

)( )

512

01

01

01

01

▶ 상관계수 (correlation coefficient) : 두 확률변수 사이의상호 종속관계를 나타내는 계수

Cov(X, Y )X Y

Corr(X, Y ) =

> 0 인 경우 < 0 인 경우 = 0 인 경우

상관계수의 특징☞-1 ≤ ≤ 1

= 1 인 경우 = -1 인 경우

상관계수의 성질☞(1) E(X Y) = X Y + XY X Y

(2) Corr(aX+b, cY+d ) = Corr(X, Y )

-Corr(X, Y )

, ac > 0 인 경우

, ac < 0 인 경우

공정한 동전을 3 번 던지는 실험X : 처음 두 번에서 앞면이 나오는 개수Y : 세 번째에서 앞면이 나오는 개수(1) Cov(X, Y) = ?(2) XY = ?(3) E(X+Y ) = ?, Var(X+Y ) = ?

표본공간 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTTX 2 2 1 1 1 1 0 0Y 1 0 1 1 0 0 1 0

확 률 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

X 와 Y 의 결합질량함수 :

f(x, y) =1/8 , (x, y) = (0, 0), (0, 1), (2, 0), (2, 1)

2/8 , (x, y) = (1, 0), (1, 1)

0 , 다른 곳에서

X 와 Y 의 주변질량함수 :

(1) Cov(X, Y) :

Cov(X, Y) = E(XY ) – E(X)E(Y ) = 0

fX(x) =1/4 , x = 0, 2

1/2 , x = 1

0 , 다른 곳에서

fY(y) =1/2 , y = 0, 1

0 , 다른 곳에서

모든

(x,y)

E(XY) = xyf(x, y) = 2•1• + 1•1• =

18

28

12

모든 x

E(X) = xfX(x) = 1• + 2• = 1

12

14

모든 y

E(Y) = yfY(y) = 1• =12

12

(2) XY :

Cov(X, Y )X Y

XY = = 0

(3) E(X+Y ) = E(X) + E(Y) =

Var(X) = E(X2) - E(X)2 = - 1 =32

34

12

Var(Y) = E(Y2) - E(Y)2 = - =

12

14

14

X = 1 /

Y = 1/2

2

모든 x

E(X2) = x2fX(x) = 1• + 4• =

12

14

모든 y

E(Y2) = y2fY(y) = 1• =12

12

32X2, Y2 의 기대값

:

X, Y 의 분산 :

Var(X+Y ) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) =

32

제 3 장