Embed Size (px)
Citation preview
母関数について
学籍番号：
名前：
1 数列の母関数
数列 S = {ai}i=0,1,2,··· に対して，形式的べき級数
GS(x) := a0 + a1x + a2x2 + a3x
3 + · · · =∞∑
i=0
aixi
を数列の S の母関数（または生成関数：generating function）という．まず
k = 0, 1, 2, · · · に対して，第 n項が nkである数列の母関数について考察する．
• 第 n項が n0 = 1である数列 S0 = {1, 1, 1, 1, 1, · · · }の母関数
G0(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · ·
は形式的べき級数として1
1 − xに等しい：G0(x) =
11 − x
.
• 第 n項が n1 = nである数列 S1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · }の母関数
G1(x) = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + · · ·
について，
G1(x) =x
(1 − x)2
である．求め方は以下の通り：まず，G0(x)を項別微分して，G′0(x) =
1+2x+3x2+4x3+· · · =1
(1 − x)2である．したがって，G1(x) = xG′
0(x)
であるので，G1(x) =x
(1 − x)2である．
• 第 n項が n2 である数列 S2 = {0, 1, 4, 9, 16, 25, · · · }の母関数
G2(x) = x + 4x2 + 9x3 + 16x4 + 25x5 + · · ·
について，
G2(x) =x + 2x2
(1 − x)3
である．求め方は以下の通り：まず，G1(x)を項別微分して，G′1(x) =
1 + 4x + 9x2 + 16x3 + 25x4 + · · · =1 + 2x
(1 − x)3である．したがって，
G2(x) = xG′1(x)であるので，G2(x) =
x + 2x2
(1 − x)3である．
• 第 n項が nk である数列 Sk = {0, 1, 2k, 3k, 4k, 5k, · · · }の母関数
Gk(x) = x + 2kx2 + 3kx3 + 4kx4 + 5kx5 + · · ·
について，
Gk(x) =Pk(x)
(1 − x)k+1
となる多項式 Pk(x)が存在する．Gk−1(x) =Pk−1(x)(1 − x)k
とすると，
Pk(x) = x(kPk−1(x) − P ′
k−1(x))
+ P ′k−1(x)
である．
証明：多項式 Pk(x)の存在は，分数関数の微分法と帰納法から従う，また，Gk(x) = xG′
k−1(x)より，Pk(x) = x(kPk−1(x)+P ′k−1(x)(1−x)) =
x(kPk−1(x) − P ′k−1(x)) + P ′
k−1(x)となる．
• Pk(x), P ′k(x)について，計算により以下のような結果を得た：
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pk(0)
Pk(1)
P ′k(0)
P ′k(1)
＊実際に計算して，値を求めましょう．
2 漸化式で定義される数列の母関数
フィボナッチ数列1, 1, 2, 3, 5, 8, · · · はF0 = 0, F1 = 1, Fn = an−1+an−2 (n ≥2)で定義される数列である．またルカ数列は L0 = 0, L1 = 1, L2 = 3, Ln =Ln−1 + Ln−2 (n ≥ 3)で定義される数列である．ルカ数列の母関数は
L(x) = x + 3x2 + 4x3 + 7x4 + 11x5 + · · · = x + 3x2 +∞∑
n=3
(Ln−1 + Ln−2)xn
であるが，
L(x) = x + 3x2 + x2
( ∞∑n=3
Ln−2xn−2
)+ x
( ∞∑n=3
Ln−1xn−1
)
= x + 3x2 + x2L(x) + x(L(x) − x) = x + 2x2 + L(x)(x + x2)
すなわち，等式 L(x) = x + 2x2 + L(x)(x + x2) を得る．これを整理して，L(x)(1 − x − x2) = x + x2 なので，
L(x) =x + 2x2
1 − x − x2
を得る．
この母関数を用いると，1−x−x2 = 0の解をα, βとすると，Ln = αn +βn
を求めることもできる．
3 問題とその解
このセクションでは，シルバーマンの「初めての数論」第４１章の問題の
解を与えていく．
（＊問の内容も書くようにする．）
問 1. 数列 0, 2, 4, 6, 8, · · · の母関数の簡単な表示を求めよ．
解．
問 2.
