ГИМНАЗИЯ №1517

учитель математики

Два высших образования

12 лет педагогической

работы , в т.ч. 8 лет в гимназии в старших

профильных классах,

15 медалистов, в т.ч. 9 в физ-мат классах.

Мое главное достижение – это мои

ученики !

Нестерова Нестерова

Мария ВадимовнаМария Вадимовна

Тема выступленияТема выступления

КОНЦЕРТ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРА КОНЦЕРТ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРА В СОПРОВОЖДЕНИИ КЛАССАВ СОПРОВОЖДЕНИИ КЛАССА

ИЛИИЛИ

КАК МЫ ЭТО ДЕЛАЕМ…КАК МЫ ЭТО ДЕЛАЕМ…

Рекомендации для Рекомендации для начинающихначинающих

ВОПРОСЫВОПРОСЫ

Курс и тема в курсе Зачем? Кто работает? Технологии и средства Помощь

Курс и тема в курсеКурс и тема в курсе

Алгебра

(Малонаглядно, много текстовой информации, требуется обработка содержания)

Геометрия

(Много чертежей, символики, требуется продумать анимацию)

Внеурочная деятельность

Зачем?Зачем?

Наглядность Доступность и краткость в

изложении материала Многократное использование как

целого, так и фрагментов Внешняя привлекательность (не

путать с наглядностью!) …Сформулируйте сами

Кто работает?Кто работает?

Преподаватель

(Договорись с самим собой)

Ученик

(Доступно и понятно

объясни, чего хочешь!)

Преподаватель+ученик

(Договорись с собой и

донеси это до ребенка!)

Технологии и средстваТехнологии и средстваНаличие/отсутствие технических ресурсовНаличие/отсутствие соответствующих программных продуктовУмение работать с требуемыми программамиНаличие/отсутствие в программе соответствующих возможностей и пути выхода из тупиковых ситуаций

ПРОСТЕЙШИЕ тригонометрические

неравенства

Способы решения.

Решение тригонометрических Решение тригонометрических неравенствнеравенств

с помощью единичной с помощью единичной окружностиокружности

• Решим неравенство sin t > a

Для этого:• Начертим единичную

окружность в декартовой системе координат.

• На оси синусов отметим

значение a, а на окружности – точки Р , задающие числа,

синус которых равен a.

t

1

1

0 х

у

1tаP

2t Р


с помощью единичной с помощью единичной окружностиокружности

Значения sin t, большие, чем a, на оси синусов расположены выше, чем a, но не выше, чем 1.

Дуга окружности, на которой расположены точки Р , отвечающие условию sin t >a - это дуга между точками Р

и Р

Чтобы «пройти» по этой дуге, следует двигаться от точки Р

к точке Р против часовой стрелки

1

1

0 х

у

t

1t2t

1tаP

2t Р

1t2t


с помощью единичной окружности с помощью единичной окружности

• Значение определяется значением

• Значение определяется значением

• Получаем: < <

аarcsin

1

1

0 х

у

1tаP

2t Р1t

2t аarcsinаarcsin аarcsint


с помощью единичной с помощью единичной окружностиокружности• Помним, что функция

f(x)=sin x является периодической, повторяя свои значения через каждые .

• Чтобы записать решение неравенства на множестве R, следует добавить к обеим частям полученного двойного неравенства

слагаемое :

2

k2

katkа 2arcsin2arcsin

ata arcsinarcsin

1

1

0 х

у

1tаP

2t Р

Теорема 5.

Если a<b, и c<d, то a+c<b+d.

Доказательство:

a<b a+с<b+с

c<d c+b<d+b

a+с<b+с, b+c<d+b a+с<b+d

Если сложить почленно два и более верных неравенства одного знака, то получится верное

неравенство.

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ

Пример. Известно, что 7<a<10, 14<b<15. Оценить сумму, разность, произведение и частное a и b.

• Оценим сумму a+b: 7<a<10

+

14<b<15

21< a+b<25

• Оценим разность a – b: - 15< - b < - 14

+

7<a<10

- 8 < – b + a< - 4

- 8 < a – b < - 4

Найдем объем цилиндра с радиусом оснований R и высотой Н.

RO1

H

O

• Построим многоугольники Р1 и Р2 : Р2 содержит круг – основание цилиндра, Р1 содержится в круге – основании цилиндра, причем количество сторон этих многоугольников n.

Значит, Sp1 и Sp2 S(O;R).

• На многоугольниках Р1 и Р2 как на основаниях построим n – угольные призмы с высотой Н.

Р1

Р2

•Получается, что призма Р2 содержит цилиндр, а призма Р1 содержится в цилиндре.•Т.к. n , то Vp1 и Vp2 Vцилиндра, т.е.

где R – радиус основания цилиндра, Н – высота.

HRНSVоснцилиндра

2

RO1

H

O

Р2

Р1

х

у

•Проведем плоскость , проходящую через ось тела, и введем в этой плоскости декартову систему координат.

•Ось тела примем за Ох.

•Плоскость хОу пересекает поверхность тела по линии, для которой Ох – ось симметрии.

•Пусть y=f(x) – уравнение той части этой линии, которая расположена выше оси Ох

y=f(x)

O

hА

х

В

х+h

х

у•Проведем через точку А(х; 0) плоскость Ох и обозначим V(x) – объем той части тела, которая лежит левее плоскости .

•V(x) – функция от х.

•Проведем через точку В(х+h; 0) плоскость Ох и обозначим V(x+h) – объем той части тела, которая лежит левее плоскости .

•V(x+h) - V(x) = V слоя тела, заключенного между плоскостями и .

•V(x+h) - V(x) = V слоя тела, заключенного между плоскостями и .

•Пусть F=max f(x) на [x; x+h], f=min f(x) на [x; x+h].

•Тогда рассматриваемый слой содержится в цилиндре с высотой h и радиусом оснований F и содержит в себе цилиндр с высотой h и радиусом оснований f.

F

f

x

f

F

h

при

значит, .

По формуле Ньютона – Лейбница

где и - плоскости, между которыми заключается часть тела, объем которой находят.

22

..

)()(

)()(

Fh

xVhxVf

VxVhxVVЦИЛИНДРАВНЕШЦИЛИНДРАВНУТР

)()()(lim

)()(

'

0

22

22

xVh

xVhxVxfFxff

h

0h

)()( 2' xfxV

b

a

b

adxxfdxxVaVbV )()(')()( 2

ax bx

x

fF

h

b

adxxfV )(2

Таким образом, общая формула для расчета объема тела

вращения:

Здесь y=f(x) – уравнение, задающее кривую, по которой пересекается осевое сечение тела с его поверхностью, a и b – плоскости, между которыми расположено тело, объем которого ищется.

)(xФ

xa bxO

ax 0 nxb1x 2x ix1ix

)( ixФ)( 1xФ )( 2xФ )( nxФiT

O x

СодержаниеСодержание

Система координат

О – начало координат

Ox, Oy, Oz, - координатные оси

Oxy, Ozy, Ozx – координатные плоскости

Ox – ось абсцисс

Oy – ось ординат

Oz – ось аппликат

Mx – абсцисса точки M

My – ордината точки M

Mz – аппликата точки M

СодержаниеСодержание

Расстояние между точками

Дано: A(x1,y1,z1)

B(x2,y2,z2)

Найти: AB

1. Проведем через A и B прямые, || оси z. Они пересекут плоскость xy в точках A’ и B’. Проведем через точку A плоскость, || плоскости xy. Она пересечет прямую BB’ в некоторой точке C.

2. По теореме Пифагора AB2=BC2+CA2

CB’=AA’

A’B’=(x2-x1)2+(y2-y1)2

BC=|z1-z2|

AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

Задачa №2Дано:

Построить:A

B C

D

A1

B1

C1

D1

T

RP

Q

ABCDA1B1C1D1-параллелепипед

P∈ (AA1B1B)R∈ (AA1D1D)T∈ C1D1Q∈ AA1

Сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной плоскости (PRT) и проходящей через точку Q

Задачa №2

Построение:

P

T1

P1 R1

MN

R

Q A D

A1

B1

C1

D1

B C

Построим сечение параллелепипеда плоскостью (PRT).

Построим проекции точек P,R и T на ребра, принадлежащие плоскости основания:

prAB P = P1

prAD R = R1

prCD T = T1

Найдем след сечения.

RT∩R1T1 = M

PR∩P1R1 = N

MN – след сечения

T

A D

A1

B1

C1

B C

Задачa №2

Найдем точки пересечения плоскости (PRT) с ребрами параллелепипеда D1

MNG

R

Q

E

FK

AB∩MN=GPG∩AA1=E

PG∩A1B1=F

ER∩C1D=K

EFTK – сечение параллелепипеда плоскостью (PRT)

P

T

Задачa №2

Искомая плоскость параллельна плоскости

(PRT).

PR

E

S

X

YA D

A1

B1

C1

D1

B C

Значит, прямые пересечения искомой плоскости и плоскости (PRT) с гранями параллелепипеда параллельны (по св-ву 1)

QS║FE, S∈ABSY║FT,Y∈CD

XY║TK, X∈CD1

QSYX – искомая плоскость

FK

T

Q

ДоказательствоДопустим, что плоскости

α и β не параллельны

Тогда они пересекаются по некой прямой с

Итак, α проходит через а,

причем а ll β, и пересекает β по прямой с => a ll c

Но α проходит также через прямую b, причем b ll β поэтому b ll c

Таким образом, через точку М проходят две прямые, параллельные с, что невозможно (теорема о параллельных прямых)

Значит, наше допущение неверно, и α ll β

Теорема доказана.

α a

b

M

β a1

b1

с

образующая

направляющая

основание

вершина

ось

5 постулатов, 5 постулатов,

9 аксиом,9 аксиом,

23 начальных 23 начальных определенияопределения

Геометрия Эвклида

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Сентябрь

2007 года

Documents

ГИМНАЗИЯ №1517