- 1 -

- 1 -

- 1 -

第六章 常微分方程 一． 求解下列微分方程：

1. 0' =+− − xyx eey .

解. )1( −= − yx eedxdy

, dxee

dy xy =−− 1

xy

ece

=−

−1ln ,

xey cee−

=−1

)1ln(xecey

−

−= .

2.

=

−=

2)0(

tan)1( 2

y

xydxdy

解. xdxy

dy tan1 2

=−

xyyc cosln

11ln

21

−=−+

, y(0) = 2, 02121ln

21

=−+c ,

31

−=c

xy

y2cos

1ln)1(3

1ln =−+

, xxy 2

2

cos3cos3

−+

=

二. 求解下列微分方程：

1. 011 =

−+

+ dy

yxedxe y

xyx

解. yx

yx

e

yxe

dydx

+

−

=

1

1.

令 yuxuyx

== , .(将 y看成自变量)

dyduyu

dydx

+= , 所以 uu

eue

dyduyu

+−

=+1

)1(

u

u

u

uu

eeuu

eeue

dyduy

++

−=−+−

=11

- 2 -

ydydu

eue

u

u

−=++1

, y

dyeueudu

u

−=++ )(

, y

yceu u 1lnlnln =−=

+

ceu

y

u+=

1,

yxu

eyx

ceu

cy+

=+

= , cyex yx

=

+ .

2.

−=−+−−

=

1)1(22' 22

22

yxxyyxxyyy

解. 令 xuyuxy

== , .

dxduxu

dxdy

+= , 所以 1212

2

2

−+−−

=+uuuu

dxduxu

121

1212

2

23

2

2

−+−−−−

=−−+−−

=uu

uuuuuuuu

dxdux

xdxdu

uuuuu

−=+++

−+1

1223

2

xdxdu

uu

u−=

++

+−

12

11

2

cxuu ln

11ln 2 =+

+, cx

uu

=++

11

2 . 由 1)1(,1)1( −=−= uy 得

所以 c = 0. 011

2 =++

uu

, 得到 01 =+u , 01 =+xy

, 即 xy −= .

三. 求解下列微分方程：

1. 21222 sin22sin'1 xeyxyyx ++=+

解. 令 yyuyu 2sin'',sin2 == 则 . 得到

2122 2'1 xexuux ++=+ , 2

12

2 112'

2

xeu

xxu

x

+=

+−

+

为一阶线性方程

解得 |)1|ln( 2122

xxceu x +++= + . 即 |)1|ln(sin 21222

xxcey x +++= + .

2. 0)2( 22 =+−− dxydyyxyx

解. 原方程可化为 221

yx

yx

dydx

−+= .

- 3 -

即 1212 =

−+ x

yydydx

, 为一阶线性方程(y为自变量, x为因变量).

解得: yecyyx1

22 += .

3. 0)cos1(cossinln' =−+ yxyyxxy

解. 令 uy =cos , 则 yyu sin'' −= . 原方程化为

0)1(ln' =−+− xuuxxu

xu

xxuu

lnln'

2

=+− , 为贝奴利方程.

xuxxuu

ln11

ln1'

2 =⋅+−

.

令u

z 1= , 则 2''

uuz −= . 方程化为

xz

xxz

ln1

ln1' =+ , 为一阶线性方程.

解得 xcxz

ln)( +

= . 即 xcx

y lncos1 +

= , xycx lncos)( =+ .

四. 求解下列微分方程：

1. 0)2( =−+ dyyxedxe yy

解. 02 =−+ ydydyxedxe yy .

于是 0)( 2 =− dyxed y . 所以方程解为 cyxe y =− 2 .

2. 0112222

=

−−+

−+ dy

xyyxdx

xyx

解. 012222

=−

−−

++ dyxyy

xdxxy

dyxdx

设函数 ),( yxu 满足 ),( yxdu = dyxyy

xdxxy 2222

1−

−−

.

所以22

1xyx

u−

=∂∂

, )(arcsin)(1),(22

yyxydx

xyyxu ϕϕ +=+

−= ∫

- 4 -

所以22

2

2

2

)('1 xyy

xy

yx

yx

yu

−−=+

−

−=

∂∂ ϕ . 于是 cyy == )(,0)(' ϕϕ

所以原方程的解为 cyxyx =++ arcsin

21 2

3. 02)2( 22 =+++ ydydxxyx

解. 由原方程可得 0)()( 2222 =+++ yxddxyx

得到 0)( 2222

=++

+yxyxddx .

于是原方程解为 cyxx =++ )ln( 22 .

五. 求解下列微分方程:

1. )1(2

'2

−−

=xy

xyy

解. xyxyy −=− 2)1('2

令 uy =2 , 得到 xuxu −=− )1('

111'

−−=

−−

xxu

xu 为一阶线性方程. 解得

+−−

−−= cx

xxxu )1ln(

1)1( .

即 )1ln()1()1(2 −−−+−= xxxxcy

2. 63' yxyxy =+

解. 该方程为贝奴利方程.

356 ' yyyxy =+ −− .

令 ,5 uy =− ''5 6 uyy =− − , 3'5

xuux =+−

255' xux

u −=− . 解得 )25( 25 −+= xcxu

于是 35525 xcxy +=−

- 5 -

六. 设 )(xψ 在实轴上连续, )0('ψ 存在, 且具有性质 )()()( yxyx ψψψ =+ , 试求出 )(xψ .

解. )0()0()00( ψψψ =+ , )0()0( 2ψψ = , 0)0( =ψ , 1)0( =ψ .

i) 0)0( =ψ . 对于任何 x有 )()()( xxxx ∆=∆+ ψψψ

所以 0)0()()(lim)()(lim)(00

==∆=∆+=Ψ→∆→∆

ψψψψψ xxxxxxxx

.

所以 0)( ≡xψ .

ii) 1)0( =ψ

xxx

xxx

xxxx

xxxx

∆−

=∆

−∆=

∆−∆

=∆

−∆+ ))0()()(()1)()(()()()()()( ψψψψψψψψψψ

上式令 0→∆x , 得到

==1)0(

)0(')()('ψ

ψψψ xx

解得 xex )0(')( ψψ = .

七. 证明:

∫+∫= ∫− x

x

dttpdxxpdsesQyey

s

x

x

x

0

00)(

0

)()( 是一阶线性方程 )()(' xQyxpy =+ 满足

初始条件 00 )( yxy = 的特解.

解. 显然 00 )( yxy = .

)(' xpy −=

∫+∫ ∫− x

x

dttpdxxpdsesQye

s

x

x

x

0

00)(

0

)()( + ∫

−x

xdxxp

e 0)(

∫x

xdttp

exQ 0)(

)(

= )()( xQyxp +− .

于是 )()(' xQyxpy =+ .

八. 求解下列方程:

1.

==−+

1)0(0)(

ydyxyydx

- 6 -

解. 可得

=

−=−

0)1(

1

xyx

dydx

. 这是以 y为自变量的一阶线性方程.

解得 )ln( ycyx −= .

0)1( =x , 0=c . 所以得解 yyx ln−= .

2.

=

=+++

0)2

(

0)sin()1'(πy

yxyx

解. 令 uyx =+ . 可得

=

=+

2)

2(

0sin'ππu

uxu

udu

xdx

sin=− , )cotln(cscln uu

xc

−= , uuxc cotcsc −= .

2)

2( ππ =u , 1

2cot

2csc

2

=−=ππ

πc

, 2π

=c .

解为 )cot()csc(2

yxyxx

+−+=π

.

九. 求解下列方程:

1. 01)'('')1( 22 =+++ yyx

解. 令dxdpypy == '',' 则 .

所以 01)1( 22 =+++ pdxdpx , 22 11 x

dxp

dp+

−=+

cxp +−= arctanarctan

所以 1tan1cc

pxxp

==−+

, pxccxp 11 −=+ , xcxcp −=+ 11 )1(

于是 )1(

111 11

21

11

1

xccc

cxcxc

dxdy

++

+−=+−

=

dxxcc

cc

dy

++

+−=)1(

11

11

21

1

解为 2121

21

1

|1|ln11 cxcc

cxc

y ++++−= .

- 7 -

2.

===−+1)2(',2)2(

0')'('' 2

yyyyxxy

解. 令dxdpypy == '',' 则

02 =−+ pxpdxdpx , 2p

xp

dxdp

−=− , 11112 −=− pxdxdp

p

令 1)2(1'1 2 =−== udxdp

puu

p，，则

于是得到 11' −=−− ux

u , 11' =+ ux

u 为 u对于 x的一阶线性方程

解得 xcxu +=

21

, 1)2( =u , 得 c = 0. xu21

=

xp 2

11= , x

dydx

21

= , cxy += ln2 , 2ln22,2)2( −== cy 解得

所以 2)2

ln(2ln22ln2 2 +=−+= xxy

3.

===+

1)0(',2)0()'(''2 2

yyyyy

解. 令dydppypy == ''' ，则

得到 ypdydpp =+ 22

令 up =2 , 得到 yudydu

=+ 为关于 y的一阶线性方程. 且 1)]0('[)0(0|

22 ====

ypx

u

解得 yceyu −+−= 1

所以 2)0( 121)0(0|

1 −− +−=+−==

= ceceyx

u y , 0=c .

于是 1−= yu , 1−±= yp

dxydy

±=−1

, 112 cxy +±=− , 221 1cxy +±=−

2)0( =y , 得到 121 =

c, 得解 1

21 +±=− xy

- 8 -

十. 求解下列微分方程:

1. 0'''2'''2)4()5( =+++++ yyyyyy

解. 特征方程 0122 2345 =+++++ λλλλλ

0)1)(1( 22 =++ λλ

ii −==−= 5,43,21 ,,1 λλλ

于是得解 xxccxxccecy x cos)(sin)( 54321 ++++=−

2.

−=====−+−

14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(06'10''5)4(

yyyyyyyy

解. 特征方程 06105 24 =−+− λλλ , 0)22)(3)(1( 2 =+−+− λλλλ

11 =λ , 32 −=λ , i±= 14,3λ

得通解为 )sincos( 433

21 xcxceececyxxx +++= −

由 14)0(''',6)0('',0)0(',1)0( −==== yyyy

得到 21

1 −=c , 21

2 =c , 13 =c , 14 =c

得特解 )sin(cos21

21 3 xxeeey xxx +++−= −

十一. 求解下列微分方程:

1. xxxyy cos22sin3'' ++=+

解. 特征方程 012 =+λ , i±=λ

齐次方程通解 xcxcy sincos 21 +=

非齐次方程特解: xxD

y =+

=1

12

*1

xxxD

xD

y 2sin2sin14

32sin1

132sin31

122

*2 −=+−

=+

=+

=

xD

y cos21

12

*3 +=

考察 12

11212

1211)(

1221

1222 DiD

eiDD

eiD

eeD

ixixixix

+=

+=

++=

+

- 9 -

= ))(sin(cos121121)

421(12 ixxixxe

iiDeD

iDe ixixix −+===+

= xixxx cossin −

所以 xxxD

y sincos21

12

*3 =+=

所以通解为 xxxxxcxcy sin2sinsincos 21 +−++=

2.

==+=+0)0(')0(

sin42''yy

xxeyy x

解. 特征方程 012 =+λ , i±=λ

齐次方程特解 xcxcy sincos 21 +=

非齐次方程通解 xDD

exD

exeD

y xxx22

121)1(

1221

1222

*1 ++

=++

=+

=

= )1(21

212 −=

− xexDe xx

xxxD

y cos2sin41

12

*2 −=+= (计算方法同上题 , 取 ixe

D 11

2 +的虚

部)

所以 xxxexcxcy x cos2)1(sincos 21 −−++=

由 0)0(')0( == yy 可得 2,1 21 == cc

得解 xxxexxy x cos2)1(sin2cos −−++=

3. axeyyy =++ 4'4''

解. 特征方程 0442 =++ λλ , 22,1 −=λ

xexccy 221 )(−+=

i) 2−=a

xxx exD

eeD

y 22222

2*

211

)22(1

)2(1 −−− =

+−=

+=

ii) 2−≠a

22*

)2()2(1

+=

+=

aee

Dy

axax

- 10 -

所以

++

+++

=−−

−

xx

axx

exexcc

ea

exccy

22221

22

21

21)(

)2(1)(

22

−=−≠

aa

十二. 求解下列微分方程:

1. )sin(ln2'''2 xyxyyx =++

解. 令 xtex t ln, == 则

得

dtdy

dtydyx

dtdyxy

−=

=

2

22 ''

'

得到方程 tyy sin2'' =+ . 解得 tttctcy cossincos 21 −+=

所以得解 xxxcxcy lncoslnlnsinlncos 21 −+=

2. )1ln()1(6')1('')1( 2 ++=++−+ xxyyxyx

解. 令 )1ln(,1 +==+ xtex t 则

得

dtdy

dtydyx

dtdyyx

−=+

=+

2

22 '')1(

')1(

得到方程 tteyyy 6'2'' =+− . 解得 tt etetccy 321 )( ++=

所以得解 )1(ln)1()1))(1ln(( 321 ++++++= xxxxccy

十三. 求 x0y 平面上一曲线, 使其过每点的切线同该点的向径及 oy 轴一起构成一个等腰三角形.

解. 设所求的曲线为 )(xfy = . 曲线上点 ),( yx 处的切线方程为

))((' xXxfyY −=−

令 X = 0, A点坐标 ))(',0( xxfy − .

i) AB = AC A

所以 222 ))('())('( xxfxxxfy +=− C

- 11 -

得到 22 2 xdxdyxyy =− . B

令 2yu = , 得到方程 2xdxduxu =− 为一阶线性方程

得解 cxxu +−= 2 , 即 022 =−+ cxxy

ii) AC = BC

所以 2222 )]('[ yxxxfx +=+

xyxf ±=)(' ,

xdx

ydy

±= , xcy lnln ±=

所以 cxy = (舍), cxy = iii) AB = BC

所以 222))('( yxxxfy +=− , 得到 xxfxxyf =+− 2)]('[)('2

所以 12

442)('

222

+

±=

+±=

xy

xy

xxyy

xf , 即 =dxdy 1

2

+

±

xy

xy

令 uxy= 则

dxduxu

dxdy

+= , 得到以下方程

12 +±= udxdux

若 12 += udxdux , 则

xdx

udu

=+12

, cxuu ln)1ln( 2 =++

cxx

yxxy

=+

+22

, 即 222 cxyxy =++ ;

若 12 +−= udxdux , 则

xdx

udu

−=+12

, xcuu ln)1ln( 2 =++

xc

xyx

xy

=+

+22

, 即 cyxy =++ 22 .

十四. 一质量为m的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假如液体阻力与运动速度成正比, 试求物体运动的规律.

解. 取物体的初始位置为坐标原点, x坐标向下为正向. 并以 )(tx 表示在时刻 t时的物体位置.

物体所受的重力为 mg, 阻力为dtdxk (k为比例系数). 由牛顿定律得到:

- 12 -

==

=−

0)0(')0(

2

2

xxdt

xdmdtdxkmg

. 即

==

=+

0)0(')0(

'''

xx

gxmkx

解得 tk

mgeccxt

mk

++=−

21

于是 k

mgecmkx

tmk

+−=−

2'

0)0( =x , 得到 21 cc −=

kmgc

mkx +−== 2)0('0

所以 22

2 kgmc = , 2

2

21 kgmcc −=−=

所求解为 tk

mgek

gmk

gmxt

mk

++−=−

2

2

2

2

.

十五. 有一盛满水的圆锥形漏斗, 高 10cm, 顶角 060=α , 漏斗尖处有面积 0.5m2 的小孔,

求水流出时漏斗内水深的变化规律, 并求出水全部流出所需的时间(提示: 水从深处为 h 的

孔流出的速度 scmghv /26.0= ) 10

解. 假设在 dt时间内圆锥中水的体积变化为 dv. h+d

高为 h的圆锥的底圆半径为 h3

1, 于是可得以下方程: h

dtghdhh 26.05.03

1 2⋅=

−π , dtghdhh 23.03

2 =−π

, 10)0( =h

dtdhhg

=− 2329.π

, 于是得通解: cthg

+=− 2529

4π.

由 10)0( =h 得到 251029

4g

c π−= .

所以满足初始条件的解为: 2525 1029

429

4g

thg

ππ−=− .

当 h = 0时, 得 ≈= 251029

4g

t π 10 (秒)

- 13 -

十六. 设经过原点的曲线族上任一点 P处的切线交 x轴于点 T, 从 P点向 x轴作垂线, 其垂足为Q, 已知 PT, PQ与 x轴所围成的三角形的面积与曲边三角形OPQ的面积之比等于常数

k, 21

>k , 试求该曲线族.

解. 在 P处的切线方程为 )(' xXyyY −=− .

令 0=Y , 得 T点的横坐标为 'y

yxX −= . YPQ = , 'y

yXxQT =−=

PQT∆ 的面积为'2

1yyyS ⋅= .

曲边三角形 OPQ的面积为 ∫x

dxxy0

)( . 于是得方程

∫=⋅x

dxxykyyy

0)(

'21

二边对 x求导得到

=−=

0)0(')1(2'' 2

yykyy

令 dydppypy == '',' 则 , 于是 2)1(2 pk

dydpyp −=

i) p = 0

y = c. 因为 0)0( =y , 所以 0≡y (舍)

ii) 0≠p

pkdydpy )1(2 −= , 1lnln)1(2ln cykp +−= ,

)1(21

kycp −=

)1(21

kycdxdy −= , ))(12( 21

12 cxcky k +−=− .

由 0)0( =y , 得 02 =c .

所以解为: cxy k =−12 . ( 1)12( ckc −= 为任意常数)

十七. 有一房间容积为 100m3, 开始时房间空气中含有二氧化碳 0.12%, 为了改善空气质量, 用一台风量为 10m3/分的排风扇通人含 0.04%的二氧化碳的新鲜空气, 同时以相同的风量将混合均匀的空气排出, 求排出 10分钟后, 房间中二氧化碳的含量百分比? 解. 假设在 t时刻二氧化碳的含量百分比为 x%, 即房中二氧化碳含量为 x. 一分钟后二氧化

- 14 -

碳为10

004.0 xx −+ . 又设 dt时刻后二氧化碳含量改变量为 dx. 则

dtxdtxxxdx )04.0(101)

10004.0( −−=

−+−−=

即

=

−−=

12.0)0(

)04.0(101

x

xdtdx

得通解: 1004.0t

cex−

+= . 由 12.0)0( =x 得到 c = 0.08.

所以方程的解为: 1008.004.0t

ex−

+=

当 t = 10时, 得到 07.008.004.0 1 =⋅+= −ex .

- 1 -

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- 2 -