从山东省高考数学试题变化看 2013 年二轮复习

从山东省高考数学试题变化看 2013 年二轮复习

田明泉

http://blog.sina.com.cn/mingquanyuan

[email protected]

研讨的主要问题• 新课程高考改革的特点与趋势• 山东高考数学试题特点与分析• 2013 山东高考数学二轮复习建议• 高考中常见函数图像与性质• 解析几何简化运算的方法与技巧 • 互动交流• 高考复习教材教参教师研修

2012—2014年山东高考改革规划• 2012年起

• “文综”和“理综”卷的风波 • “体育高考”的回归——三大笑谈 • 实行普通本科和高职分类考试—一年两考 • 推进省属高校自主招生试点—— 3631 • 录取强化考生综合素质评价信息的作用 • 取消公办高考补习班• 全省 20所本科院校实行专家参与录取的招生模式

• 取消济南青岛单独划线• 到 2014年 • 省内全部本科高校均实行专家参与录取• 或推新高考方案——”学考”划归考试院

2012 山东高考数学试题特点• 1. 试卷分值分配进行调整，降低考生对压

轴题的畏惧感 . 但是否随意性太大？• 2.2011 年压轴题过难的现象有所改善 .• 3. 新课程新增内容要求有所体现 . 文理科

试题考查内容和要求的差异等 .• 4. 理科解析几何解答题调整考查内容，体

现新课标对解析几何考查内容和要求的覆盖 .

2012 山东高考数学试题特点• 5. 侧重数学思想方法的考查 . 如数形结合

的思想方法；转化与化归的数学思想；等积变换的方法等 .

• 6. 观察估测的能力 .• 7. 数列中的计数问题 .• 8. 函数与导数的考查份量和力度加大 .• 9. 部分试题难度设计有问题 . 如文科立体

几何解答题和文理科数列解答题 .

2012 山东高考数学试题特点• 10. 文科三角解答题得分仍然不高 . • 11. 使用“成题”作为“题眼”，有偷懒之嫌 .

• 12. 文理概率解答题模式化严重，难见新意 .• 13. 部分新课标内容山东 6 年新课程高考都

没有覆盖到，有些遗憾 .• 14. 估计理科试题平均分较去年持平，文科

试题平均分较去年有所下降 .

高考数学试题总体分析及二轮复习建议

• 三角函数——文科的一道坎• 概率统计——不变的模式• 立体几何——史上最难• 数列——“计数问题”一堵墙• 解析几何——“运算”当道• 函数导数——函数不等式

2012 年山东数学试题举例

文科的老大难

2012 年山东数学试题举例• 主要问题

• 不熟悉“切割化弦”，试图用“两角和的正切”转化；

• 用错公式；• 把已知三角形当做直角三角形；• 计算错误

史上最难的文科立体几何解答题


•几何直观能力较差，不会利用或不会转换“异面垂直”的条件；

•思路有误，试图证明侧面三角形全等；•构图有误，试图取侧棱 BE中点证明“线线平行”

数列与推理• 文 20——等差数列基本性质，• 计数问题，等比数列求和• 理 20——等差数列基本性质，• 计数问题，等比数列求和•难点——子数列；计数问题和运算能力


计数问题


• 第 2 小题得分较低，不理解题意；•理解等差数列性质有误，如第 4 项与第 6项之和等于第 10项，等

计数问题



• 第 2 小题得分较低，不理解题意；•不会计数；•许多考生试图用归纳法寻找规律，无奈数列项数增加过快；

• 第 2 小题错误地使用“错项法”求和

函数与导数二轮复习建议• 基础铺垫

• 基本函数的类型、图像与性质• 专题突破

• 函数的单调性与单调区间• 函数的极值、最值与值域• 函数的零点与切线• 函数的应用问题• 函数与不等式

2012 年山东数学试题举例数形结合

数形结合与极限的思想方法

新课标全国卷——数形结合（理）

新课标全国卷——数形结合（理）分析：观察定义域，排除 D ；

观察 x小于 0 趋向于 0时， y趋向于负无穷大

新课标全国卷——反函数（理）

1

1O

x

y

y=x

探究一个指数函数与其反函数图像的交点个数？

数形结合的思想方法


O x

y

x1

x2

x=-b/2a


特殊函数—— Dirichlet

1 2012

0

. {0 1} .

. .

xD x

x

A D x B D x

C D x D D x

是有理数福建设函数

是无理数

则下列结论错误的是：

的值域是，是偶函数

的不是周期函数的不是单调函数

高考中常见函数图像与性质





•分式函数求导问题较多；•观察能力不足，如函数 h(x) 的零点；•求解第 3 小题时，没有注意利用第 2 小题的结论；

•放缩法证明不等式的方法和能力有待积累与提高


2012 年山东高考数学试题举例• 主要问题

•分式函数求导问题较多；•观察能力不足，如函数 h(x) 的零点；•求解第 3 小题时，没有利用第 2 小题的结论；

•放缩法证明函数不等式的方法和能力有待积累与提高

函数不等式的几种类型与演化max, ( ) ( ) , ( )x D f x k f x k x D

1 1 2 2 1 2, ( ) ( )x D x D f x g x ，

1 min 2 min( ) ( )f x g x

, ( ) ( )x D f x g x f(x) 图像在 g(x) 上方

, ( ) , ( ) 1 ( ) ( )x D f x k g x f x kg x

新课标全国卷——函数应用（理）

新课标全国卷——函数应用（理）

2012 新课标全国卷——函数应用（理）

O x

y

1 exy

2 ( 1)y a x b

2012 新课标全国卷——函数应用（理）

2012 新课标全国卷——函数应用（文）

2012 新课标全国卷——函数应用（文）

解析几何二轮复习建议• 直线和圆的方程• 曲线系方程、对称问题、切线方程• 圆锥曲线方程• 求轨迹方程的方法• 简化运算的方法与技巧• 综合应用• 分类复习

解析几何中的运算技能与技巧• 巧用定义——动圆圆心轨迹• 曲线系——含参数的几何问题• 设而不求——点差法 • 类比结论——合情推理• 三角代换——两大优势• 向量工具——垂直平行• 光学性质——最值计算• 弦长公式——避免重复运算……

旋轮线（摆线）与参数方程

摆线方程

旋轮线（摆线）的生成



x

y

O

P

2r

2 r

长摆线、短摆线、外摆线、内摆线等

正三角形、正方形等滚动？

北京新课程高考数学试题

( )y f x ( )f x

( )y f x

如图放置的边长为 1 的正方形 PABC沿 x轴滚动。设顶点 P（ x， y）的轨迹方程是，则

的最小正周期为；

的图像与 x轴所围区域的面积为。

在其两个相邻零点间

答案： 4 、 1

周期函数概念的推广

P1

P2

P3

P4

P5

P6

O x

y

外摆线的生成

在椭圆上滚动？

不同形状的外摆线

内摆线的生成

http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Mc_Deltoid.gif

不同形状的内摆线

外旋轮线的生成

内旋轮线的生成

http://zh.wikipedia.org/wiki/File:HypotrochoidOutThreeFifths.gif




过一点 Q作曲线的切线的方法

若 Q点不是切点时：

若 Q点是切点时：

1 1 1'( )( )y y f x x x






• 运算技能与方法待提高和积累，如弦长公式的简化形式；

• 不了解过曲线外一点如何作曲线切线的方法；

• 不会求分式函数最值的基本方法• 导数、换元、基本不等式、二次函数等






• 运算技能与方法待提高和积累，如弦长公式的简化形式；

• 第 2 小题没有进行分类讨论

解析几何中的运算技能与技巧

2 2

2 2

',

1.

y kx b

x y

a b

0a b （其中）

2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ' ( ' ) 0b a k x a b kx a b b

字典顺序排列法

2 2 2 2 2 2

',

.

y kx b

b x a y a b

解析几何中的运算技能与技巧

'y kx b ( , ) 0f x y 联立直线和圆锥曲线方程

2 0( 0)ax bx c a

21l ka

2 4b ac

直线被圆锥曲线截得的弦长为：

，（其中） .

（参见田明泉主编 . 《高中全程学习》 . 中国人民大学出版社 .1998.7.第 436 页）

弦长公式

三角形面积的三种计算方法1 1 1

2 2 2ABC a b cS ah bh ch

1 1 1sin sin sin

2 2 2ABCS ab C bc A ac B

1 2 2 1

1

2ABCS x y x y 1 1 2 2( , ), ( , )AB x y AC x y uuur uuur

（其中）

B 版必修 5第 10 页探索与研究

三角代换的妙用

欢迎交流• 请参阅本人编写的以下文章和书籍

《 2009年高考数学复习的几点建议》现代教育 2008.9 《三套新课标高考数学试题的比较》中国教育报 2007.9 《 2010年新课程高考数学模拟试卷》光明日报考试 2010.2《 2010年山东高考数学答题分析》现代教育 2010.8《 2010年全国新课标试题解析》中国数学教育 2010.9

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