二次函数的几种解析及求法 (2)

练习 1练习 2

思想方法思想方法

应用举例

一般式一般式

顶点式顶点式

交点式交点式

例例 3 3 应应用用

例例 11

尝试练习尝试练习

二次函数的几种解析式及求法二次函数的几种解析式及求法

前　言前　言

二次二次函数解析式函数解析式

练习 3

小　结小　结

一般式一般式 顶点式顶点式 交点式交点式例例 2 2

练习 4

二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。 因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。

一、二次函数常用的几种解析式的确定

已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。

已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。

已知抛物线与 x 轴的交点坐标，选择交点式。

1 、一般式

2 、顶点式

3 、交点式

二、求二次函数解析式的思想方法 1 、 求二次函数解析式的常用方法：

2 、求二次函数解析式的 常用思想：

3 、二次函数解析式的最终形式：

待定系数法、配方法、数形结合等。

转化思想 : 解方程或方程组

无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。

例 1 、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。

解法一： 一般式设解析式为

∵ 顶点 C （ 1 ， 4 ），∴ 对称轴 x=1.

∵A(-1,0) 与 B 关于 x=1 对称，∴B （ 3 ， 0 ）。

∵A(-1,0) 、 B （ 3 ， 0 ）和

C （ 1 ， 4 ）在抛物线上，

∴

三、应用举例

即： 所求的二次函数解析式为：

例 1 、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。

解法二：顶点式

设解析式为

∵ 顶点 C （ 1 ， 4 ）

又∵ A(-1,0) 在抛物线上，

∴

∴ a = -1

即：∴

三、应用举例

所求的二次函数解析式为：

例 1 、已知二次函数 的图像如图所示， 求其解析式。

解法一： 交点式

∵ 顶点 C （ 1 ， 4 ），∴ 对称轴 x=1.

∵A(-1,0) 与 B 关于 x=1 对称，∴B （ 3 ， 0 ）。

三、应用举例

即： 所求的二次函数解析式为：

∴ 设抛物线的解析式为 y = a (x+1) (x- 3)

又 C （ 1 ， 4 ）在抛物线上

∴ 4 = a (1+1) (1-3)

∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3)

评析：

刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。

例 2 、将抛物线 向左平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，求平移后所得抛物线的解析式。

解法：将二次函数的解析式

转化为顶点式得：

(1) 、由 向左平移 4 个单位得：

（左加右减）

（ 2 ）、再将 向下平移 3 个单位得

（上加下减）

即：所求的解析式为

三、应用举例

1 、已知二次函数的图像过原点，当 x=1 时， y 有最小值为　　 -1 ，求其解析式。

∴

四、尝试练习

解：设二次函数的解析式为

∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点（ 1 ， -1 ）。

又（ 0 ， 0 ）在抛物线上，

∴ a = 1

即：

∴

∴

2 、已知二次函数与 x 轴的交点坐标为（ -1 ，0 ） , （ 1 ， 0 ），点（ 0 ， 1 ）在图像上，求其解析式。解：设所求的解析式为

∵ 抛物线与 x 轴的交点坐标为（ -1 ， 0 ）、（ 1 ， 0 ）

∴

又∵点（ 0 ， 1 ）在图像上，

∴ a = -1

即：

∴

∴

∴

四、尝试练习

四、尝试练习

4 、将二次函数 的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，求其解析式。

解：∵ 二次函数解析式为

（ 1 ）、由 向右平移 1 个单位得：

（左加右减）

（ 2 ）、再把 向上平移 4 个单位得：

（上加下减）

即：所求的解析式为

例 3 、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB 是 12 米，当水位是 2 米时，测得水面宽度 AC 是 8米。

（ 1 ）求拱桥所在抛物线的解析式；（ 2 ）当水位是 2.5米时，高 1.4 米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。

三、应用举例

即：

∴

　E

F

a = -0.1

解：（ 1 ）、由图可知：四边形 ACBO 是等腰梯形 过 A 、 C 作 OB 的垂线，垂足为 E 、 F 点。

∴ OE = BF = （ 12-8 ） ÷2 = 2 。∴O （ 0 ， 0 ）， B （ -12 ， 0 ）， A （ -2 ， 2 ）。

设解析式为

又 ∵ A （ -2 ， 2 ）点在图像上，

∴

三、应用举例例 3 、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB 是 12 米，当水位是 2 米时，测得水面宽度 AC 是 8米。

（ 1 ）求拱桥所在抛物线的解析式；（ 2 ）当水位是 2.5米时，高 1.4 米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。

P

Q

(2) 、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。

y = 水位 + 船高 =2.5+1.4 =3.9 ＞ 3.6

解： ∵

∴

∴ 顶点（ -6 ， 3.6 ） ,

当水位为 2.5 米时，

∴ 船不能通过拱桥。

PQ 是对称轴。

3 、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为 3.6m ，跨度为 7.2m ．一辆卡车车高 3 米，宽 1.6 米，它能否通过隧道？

四、尝试练习

即当 x= OC=1.6÷2=0.8 米时，过 C 点作 CD⊥AB 交抛物线于 D点，若 y=CD≥3 米，则卡车可以通过。

分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高 3 米是否超过其位置的拱高。

四、尝试练习3 、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为 3.6m ，跨度为 7.2m ．一辆卡车车高 3 米，宽 1.6 米，它能否通过隧道？

解：由图知： AB=7.2 米， OP=3.6 米，，∴ A （ -3.6 ，0 ），

B （ 3.6 ， 0 ）， P （ 0 ， 3.6 ）。

又∵ P （ 0 ， 3.6 ）在图像上，

当 x=OC=0.8 时，

∴ 卡车能通过这个隧道。

刘炜跳投

5. 刘炜在距离篮下 4 米处跳起投篮 , 篮球运行的路线是抛物线 , 当球运行的水平距离为 2.5 米时 , 达到最高度 3.5 米 , 然后准确落入蓝筐 . 已知蓝筐中心到地面距离为 3.05 米 . 如果刘炜的身高为 1.9 米 , 在这次跳投中 , 球在头顶上方 0.15 米处出手 , 问求出手时 , 他跳离地面的高度是多少 ?

c

分析：要求出他跳离地面的高度，关键是 1. 首先要求出该抛物线的函数关系式 2. 由函数关系式求出 C 点的坐标，即求出点 C 离地面的高度 h ，h-0.15 米 - 刘炜的身高即 , 他跳离地面的高度 .

h

如图，刘炜在距离篮下 4 米处跳起投篮 , 篮球运行的路线是抛物线 , 当球运行的水平距离为 2.5 米时 , 达到最高度 3.5 米 , 然后准确落入蓝筐 .已知蓝筐中心到地面距离为 3.05 米 . 如果刘炜的身高为 1.9 米 , 在这次跳投中 , 球在头顶上方0.15 米处出手 , 问求出手时 , 他跳离地面的高度是多少 ?

探索 :

C

y

xo

h

解：建立如图所示的直角坐标系 , 则抛物线的顶点 A(0,3.5), 蓝筐中心点 B(1.5,3.05)

所以，设所求的抛物线为 y=ax² ＋ 3.5 又 抛物线经过点 B （ 1.5 ， 3.05 ），得 a=-0.2

即所求抛物线为 y=-0.2x² ＋ 3.5 当 x=-2.5 时 , 代入得 y=2.25又 2.25-1.9-0.15=0.2m

所以 , 他跳离地面的高度为 0.2m

6 ：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 A B 的宽为 20m ，如果水位上升 3 米时，水面 CD 的宽为 10m ．

（ 2 ）求此抛物线的解析式；

A B

C D

O x

y

（ 1 ）建立如图直角坐标系，求点 B 、 D 的坐标。

（ 3 ）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km （桥长忽略不计）货车以 40km／ h 的速度开往乙；当行驶 1 小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时 0 ． 25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 CD 处，当水位到达最高点 E 时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？

6 ：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 A B 的宽为 20m ，如果水位上升 3 米时，水面 CD 的宽为 10m ．

A B

C D

O x

yE

F

解：（ 1 ） B （ 10 ， 0 ）， D （ 5 ，3 ）（ 2 ）设抛物线的函数解析式为 )0(2 acaxy

由题意可得：

325

0100

ca

ca

解得：

4251

c

a

∴抛物线的函数解析式为： 4251 2 xy

A B

C D

O x

y

A B

C D

O x

yE

F

(3) 解 :

∴E(0 ， 4)

∵抛物线的函数解析式

为： 4251 2 xy

又有题意可得： F （ 0 ，3 ）∴EF＝ 1

∴水位有 CD 上升到点 E 所用的时间为 4 小时。设货车从接到通知到到达桥所用的时间为 t .则 40 （ t＋ 1 ）＝280

解得： t＝ 6＞ 4故货车按原速行驶，不能安全通过此桥。

设货车速度为 x km／ h ，能安全通过此桥 .

则 4x+40≥280 解得 x≥60

故速度不小于 60km／ h ，货车能安全通过此桥。

（ 4 ）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km ，货船以 40km／ h 的速度开往乙；当行驶 1 小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0 ． 25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 AB 处，当水位到达 CD 时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？

6 ：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 A B 的宽为 20m ，如果水位上升 3 米时，水面 CD 的宽为 10m ．

A B

C D

O x

y

五、小结

1 、二次函数常用解析式

. 已知图象上三点坐标，通常选择一般式。. 已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。

. 已知图象与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ， 通常选择交点式。

3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。

一般式一般式顶点式顶点式交点式交点式

2 、求二次函数解析式的一般方法：

已知图象中发生变化的只有顶点坐标，通常选择平移式。

平移式平移式

谢谢！