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考向互动探究. 考向互动探究. 第 42 课时 二次函数与几何综合类存在性问题. 图 42 - 1. 第 42 课时 ┃ 考向互动探究. 考向互动探究. 探究一、二次函数与三角形的结合. 例 1 . [2013• 重庆 ] 如图 42 - 1 ,对称轴为直线 x =- 1 的抛物线 y = ax2 + bx + c(a≠0) 与 x 轴的交点为 A 、 B 两点,其中点 A 的坐标为 ( - 3 , 0) . (1) 求点 B 的坐标; (2) 已知 a = 1 , C 为抛物线与 y 轴的交点. - PowerPoint PPT Presentation
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第 42课时 二次函数与几何综合类存在性问题
考向互动探究
考向互动探究
探究一、二次函数与三角形的结合
考向互动探究
第 42课时┃考向互动探究
例 1 . [2013• 重庆 ] 如图 42 - 1 ,对称轴为直线 x =- 1 的抛物线 y = ax2 + bx + c(a≠0)
与 x 轴的交点为 A 、 B 两点,其中点 A 的坐标为 ( - 3 , 0) .(1) 求点 B 的坐标;(2) 已知 a = 1 , C 为抛物线与 y 轴的交点.① 若点 P 在抛物线上,且 S POC△ = 4S BO△C ,求点 P 的坐标;② 设点 Q 是线段 AC 上的动点,作 QD x⊥ 轴交抛物线于点 D ,求线段 QD 长度的最大值.
图 42- 1
考向互动探究
第 42课时┃考向互动探究
例题分层分析 (1)抛物线的关系式不清,不能通过解方程的方法确定 B点的坐标,根据二次函数的对称性,能求出 B点坐标吗?
(2)求抛物线的关系式应具备哪些条件呢?由 a= 1, A(- 3,0), B(1, 0)三个条件试一试.
(3)根据 S POC△ = 4S BOC△ 列出关于 x的方程,解方程求出 x
的值.
(4)如何用待定系数法求出直线 AC的关系式.
(5)D点的坐标怎么用 x来表示?
(6)QD怎样用含 x的代数式来表示.
(7)QD与 x的函数关系如何?是二次函数吗?如何求出最大值?考向互动探究
第 42课时┃考向互动探究
解 析 (1)由题意知,点A与点B关于直线x=-1对称,
A(-3,0),
∴ B(1,0).
(2)①当 a=1 时,则 b=2,把 A(-3,0)代入 y=x2+2x
+c中得 c=-3,
∴ 该抛物线的关系式为 y=x2+2x-3.
∵ S△ BOC=12· OB· OC=
12× 1×3=
32,
∴ S△ POC=4S△ BOC=4×32=6.
考向互动探究
第 42课时┃考向互动探究
解 析又 S△ POC=
12· OC·
xp=6,
∴
xp=4,
∴ xp=± 4.
当 xp=4时,yp=42+2×4-3=21;
当 xp=-4时,yp=(-4)2+2×(-4)-3=5.
∴ 点 P的坐标为(4,21)或(-4,5).
考向互动探究
第 42课时┃考向互动探究
解 析 ②∵ A(-3,0),C(0,-3),则直线 AC的关系
式为 y=-x-3.
设点 Q为(x,-x-3),点 D为(x,x2+2x-3),
∴ QD=yQ-yD=-x-3-(x2+2x-3)=-x2-3x.
当 x=--3
2×(-1)=-32时,QD有最大值,其最大值为
-
-32
2-3×
-32=
94.
考向互动探究
第 42课时┃考向互动探究
解题方法点析 解有关二次函数的综合问题时,首先要根据已知条件求出二次函数的关系式,再结合图象,运用几何知识解决问题.
考向互动探究
探究二、二次函数与四边形的结合
第 42课时┃考向互动探究
例 2 . [2013• 枣庄 ] 如图 42 - 2 ,在平面直角坐标系中,二次函数 y = x2 + bx + c 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点, B 点的坐标为 (3 , 0) ,与 y 轴交于 C(0 ,- 3) ,点 P 是直线 BC 下方抛物线上的动点.
图 42- 2
考向互动探究
第 42课时┃考向互动探究
(1) 求这个二次函数的关系式;(2) 连接 PO 、 PC ,并将△ POC 沿 y 轴对折,得到四边形 PO
P′C ,那么是否存在点 P ,使得四边形 POP′C 为菱形?若存在,求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3) 当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大?求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.
考向互动探究
第 42课时┃考向互动探究
例题分层分析 (1)图中已知抛物线几个点?将 B、 C的坐标代入求抛物线的关系式;
(2)画出四边形 POP′C,若四边形 POP′C为菱形,那么 P点必在OC的垂直平分线上,由此能求出 P点坐标吗?
(3)由于△ ABC的面积为定值,当四边形 ABPC的面积最大时,△ BPC的面积最大.
考向互动探究
第 42课时┃考向互动探究
解 析 (1)将 B、C两点的坐标代入 y=x2+bx+c,得
9+3b+c=0,c=-3, 解得
b=-2,c=-3.
∴ 这个二次函数的关系式为 y=x2-2x-3.
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第 42课时┃考向互动探究
解 析 (2)假设抛物线上存在点 P(x,x2-2x-3),使得
四边形 POP′ C 为菱形.连接 PP′ 交 CO于点 E.∵ 四边形
POP′ C为菱形 ∴, PC=PO,PE⊥CO ∴, OE=EC=32 ∴,
P点的纵坐标为-32,即 x2-2x-3=-
32,解得 x1=
2+ 102 ,
x2=2- 10
2 (不合题意,舍去).∴ 存在点 P(2+ 10
2 ,-32)
使得四边形 POP′ C为菱形.
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第 42课时┃考向互动探究
解 析 (3)过点 P作 y轴的平行线交 BC于点Q,交OB于点 F,设 P(x,x2-2x-3),由 x2-2x-3=0得点 A的坐标为(-1,0).∵ B点的坐标为(3,0),C点的坐标为(0,-3),∴ 直线 BC的关系式为 y=x-3,∴ Q点的坐标为(x,x-3),∴ AB=4,CO=3,BO=3,PQ=-x2+3x.∴ S 四边
形 ABPC=S△ ABC+S△ BPQ+S△ CPQ=12AB· CO+
12PQ· BF+
12
PQ· FO=12AB· CO+
12PQ· (BF+FO)=
12AB· CO+
12PQ· BO
=12× 4× 3+
12× (-x2+3x)×3=-
32x2+
92x+6=-
32
x-32
2+758 .
考向互动探究
第 42课时┃考向互动探究
解 析∴ 当 x=
32时,四边形 ABPC的面积最大,此时 P
点的坐标为
3
2,-154 ,四边形 ABPC的最大面积为
758 .
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第 42课时┃考向互动探究
解题方法点析 求四边形面积的函数关系式,一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和差.
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探究三、二次函数与相似三角形的结合
第 42课时┃考向互动探究
例 3 . [2013• 凉山 ] 如图 42 - 3 ,抛物线 y = ax2 - 2ax + ca≠0 交 x 轴于A 、 B 两点, A 点坐标为 (3 , 0) ,与y 轴交于点 C(0 , 4) ,以 OC 、 OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G.
(1) 求抛物线的关系式;(2) 抛物线的对称轴 l 在边 OA( 不包括O 、 A 两点 ) 上平行移动,分别交 x 轴于点 E ,交 CD 于点 F ,交 AC 于点M ,交抛物线于点 P ,若点 M 的横坐标为 m ,请用含 m 的代数式表示 PM
的长;
图 42- 3
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第 42课时┃考向互动探究
(3) 在 (2) 的条件下,连接 PC ,则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P ,使得以 P 、 C 、 F 为顶点的三角形和△ A
EM 相似?若存在,求出此时 m 的值,并直接判断△ PCM 的形状;若不存在,请说明理由.
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第 42课时┃考向互动探究
例题分层分析 (1)将 A(3, 0), C(0, 4)代入 y= ax2- 2
ax+ c,求出抛物线的关系式.
(2)根据 A、 C的坐标,用待定系数法求出直线 AC的关系式.
(3)根据抛物线和直线 AC的关系式如何表示出点 P、点M的坐标,求 PM的长.
(4)由于∠ PFC和∠ AEM都是直角, F和 E是对应点,则以 P、C、 F为顶点的三角形和△ AEM相似时,分两种情况进行讨论:①△ PFC AEM∽△ ,②△ CFP AEM.∽△
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第 42课时┃考向互动探究
解 析 (1)∵ C(0,4),A(3,0)在抛物线 y=ax2-2ax+
c
a≠ 0上,
∴c=4,9a-6a+c=0,解得
a=-
43,
c=4.
∴ 所求抛物线的关系式为 y=-43x2+
83x+4.
(2)设直线 AC的关系式为 y=kx+b
k≠0,
∵ A(3,0),C(0,4)在直线 AC上,
∴3k+b=0,b=4, 解得
k=-
43,
b=4.
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第 42课时┃考向互动探究
解 析∴ 直线 AC的关系式为 y=-
43x+4,
∴ M
m,-43m+4,P
m,-43m2+
83m+4 .
∵ 点 P在M的上方,
∴ PM=-43m2+
83m+4-
-43m+4
=-43m2+
83m+4+
43m-4
=-43m2+4m.
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第 42课时┃考向互动探究
解 析 (3)①若△ PFC∽△ AEM,此时△ PCM是直角三角形且∠PCM=90° .
则PFAE=
CFME,即
PFCF=
AEME.
又∵ △ AEM∽△ AOC,∴AEOA=
MEOC,即
AEME=
OAOC,
∴PFCF=
OAOC=
34.
∵ PF=PE-EF=-43m2+
83m+4-4=-
43m2+
83m,CF=
OE=m,
∴-
43m2+
83m
m =34.∵ m≠ 0,∴ m=
2316.
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第 42课时┃考向互动探究
解 析 ②若△ PFC∽△ MEA,此时△ PCM是等腰三角形且 PC=CM.
则PFME=
FCAE,即
PFFC=
MEAE.
由①得OAOC=
AEME=
34 ∴,
OCOA=
43∴
PFFC=
OCOA=
43.
同理,PF=-43m2+
83m,CF=OE=m, ∴
-43m2+
83m
m =43.
∵ m≠ 0 ∴, m=1. 综上可得,存在这样的点 P,使以 P、C、F为顶点的三角形与△ AEM相似,
此时m的值为2316或 1 △, PCM为直角三角形或等腰三角形.
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第 42课时┃考向互动探究
解题方法点析 此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的关系式,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形、等腰三角形的判定.要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时,要分类讨论,以免漏解.
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探究四、二次函数与圆的结合
第 42课时┃考向互动探究
例 4 . [2013• 巴中 ] 如图 42 - 4 ,在平面直角坐标系中,坐标原点为 O , A 点坐标为 (4 ,0) , B 点坐标为 ( - 1 , 0) ,以 AB 的中点P 为圆心, AB 为直径作⊙ P 与 y 轴正半轴交于点 C.
(1) 求经过 A 、 B 、 C 三点的抛物线所对应的函数关系式;(2) 设 M 为 (1) 中抛物线的顶点,求直线 MC
对应的函数关系式;(3) 试说明直线 MC 与⊙ P 的位置关系,并证明你的结论.
图 42- 4
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第 42课时┃考向互动探究
例题分层分析 (1)已知抛物线上的哪两个点?设经过 A、 B、C三点的抛物线的关系式是 y= a(x- 4)(x+ 1),把 C(0, 2)代入试试.
(2)顶点M和 C点的坐标怎么求?
(3)如何求∠ PCD= 90°?用勾股定理的逆定理试试.
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第 42课时┃考向互动探究
解 析 (1)∵ A(4,0),B(-1,0),
∴ AB=5,半径是 PC=PB=PA=52,
∴ OP=52-1=
32.
在△ CPO中,由勾股定理得OC= CP2-OP2=2 ∴, C(0,2). 设经过 A、B、C三点的抛物线的关系式是 y=a(x-4)(x+1), 把 C(0,2)代入得 2=a(0-4)(0+1),
∴ a=-12, ∴ y=-
12(x-4)(x+1)=-
12x2+
32x+2,
故经过 A、B、C三点的抛物线的关系式是 y=-12x2+
32x+2.
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第 42课时┃考向互动探究
解 析(2)∵ y=-
12x2+
32x+2=-
12
x-32
2+258,
∴ M
3
2,258 .
设直线MC对应的函数关系式是 y=kx+b,
把 C(0,2),M
3
2,258 代入,得
25
8=32k+b,
b=2,
解得 k=34,b=2 ∴, y=
34x+2.
故直线MC对应的函数关系式是 y=34x+2.
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第 42课时┃考向互动探究
解 析 (3)直线MC与⊙ P的位置关系是相切. 证明:设直线MC交 x轴于点 D,
当 y=0时,0=34x+2,
∴ x=-83,OD=
83,∴ D
-83,0 .
在△ COD中,由勾股定理得 CD2=22+
8
32=
1009 =
40036 .
又 PC2=
5
22=
254=
22536, PD2=
5
2+83-1 2=
62536,
∴ CD2+PC2=PD2, ∴ ∠PCD=90° , ∴ PC⊥DC. ∵ PC为半径, ∴ 直线MC与⊙ P的位置关系是相切.
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第 42课时┃考向互动探究
解题方法点析 用待定系数法求一次函数、二次函数的关系式,勾股定理及勾股定理的逆定理,解二元一次方程组,二次函数的最值,切线的判定等知识点的连接和掌握,能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.
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