第 29 课时　切线的性质和判定

第 29课时　切线的性质和判定

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归类探究

考点聚焦考点 1 　切线的性质定理：圆的切线 ________ 于经过切点的半径．技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．

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第 29课时┃ 切线的性质和判定

考点 2 　切线的判定

垂直

垂直

(2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“ 无交点，作垂直，证半径” ．

考点 3 　切线长及切线长定理

切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ____

____，这一点和圆心的连线 ________两条切线的夹角


相等平分


基本图形如图所示，点 P 是⊙ O 外一点， PA ， PB 切⊙ O 于点A ， B ， AB 交 PO 于点 C ，则有如下结论：(1)PA ＝ PB ；(2)∠APO ＝∠ BPO ＝∠ OAC ＝∠ OBC ，∠ AOP＝∠ BOP ＝∠ CAP ＝∠ CBP



考点 4 　三角形的内切圆

三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形

三角形的内心

三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三角形 ______________ 的交点，三角形的内心到三边的 ________ 相等


三条角平分线距离


规律清单



归类探究探究一　圆的切线的性质命题角度：1. 已知圆的切线得出结论；2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．例 1 [2011· 湛江 ] 如图 29 － 1 ，已知点 E 在 Rt△ABC

的斜边 AB 上，以 AE 为直径的⊙ O 与直角边BC 相切于点 D.

(1) 求证： AD 平分∠ BAC ；(2) 若 BE ＝ 2 ， BD ＝ 4 ，求⊙ O 的半径．


图 29 － 1考点聚焦归类探究回归教材


解　析　 (1) 先连接 OD ，则 OD⊥BC ，且 AC⊥BC ，再由平行从而得证；(2) 设圆的半径为 R ，在 Rt△BOD 中利用勾股定理即可求出半径．解： (1) 证明：连接 OD ，

∵BC 与⊙ O 相切于点 D ，∴ OD⊥BC.

又∵∠ C ＝ 90° ，∴ OD∥AC ，

∴∠ODA ＝∠ DAC. 而 OD ＝ OA ，

∴∠ODA ＝∠ OAD ，∴∠ OAD ＝∠ DAC ，

即 AD 平分∠ BAC.考点聚焦归类探究回归教材


方法点析

　　“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．

(2) 设圆的半径为 R ，在 Rt△BOD 中， BO2 ＝ BD2 ＋ OD2.

∵BE ＝ 2 ， BD ＝ 4,

∴(BE ＋ OE)2 ＝ BD2 ＋ OD2 ，

即 (2 ＋ R)2 ＝ 42 ＋ R2 ，解得 R ＝ 3 ，

故⊙ O 的半径为 3.


探究二　圆的切线的判定方法

命题角度：1 ．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2 ．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．



例 2 [2013· 湖州 ]如图 29－2，已知 P 是⊙ O 外一点，

PO交⊙ O于点 C，OC＝CP＝2，弦 AB⊥OC，劣弧AB︵的

度数为 120° ，连接 PB.

(1)求 BC的长；

(2)求证：PB是⊙ O的切线．

图 29 － 2




解： (1) 连接 OB ，∵ 弦 AB⊥OC ，劣弧 AB 的度数为 120° ，∴∠COB ＝ 60°. 又∵ OC ＝ OB ，∴△OBC 是正三角形，∴ BC ＝ OC ＝ 2.

(2) 证明：∵ BC ＝ CP ，∴∠ CBP ＝∠ CPB.

∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC ＝∠ OCB ＝ 60°.

∴∠CBP ＝ 30° ，∴∠OBP ＝∠ CBP ＋∠ OBC ＝ 90° ，∴OB⊥BP.∵点 B 在⊙ O 上，∴ PB 是⊙ O 的切线．


方法点析

　　在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．



探究三　切线长定理的运用

命题角度：1. 利用切线长定理计算；2. 利用切线长定理证明．例 3 [2012· 绵阳 ] 如图 29 － 3 ， PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、B 两点，连接 PO 、 AB 相交于 D ， C 是⊙ O 上一点，∠ C ＝60°.

(1) 求∠ APB 的大小；(2) 若 PO ＝ 20 cm ，求△ AOB 的面积．

图 29 － 3




解　析　 (1) 由切线的性质，即可得 OA⊥PA ， OB⊥PB ，又由圆周角定理，求得∠ AOB 的度数，继而求得∠ APB 的大小；(2) 由切线长定理，可求得∠ APO 的度数，继而求得∠ AOP

的度数，易得 PO 是 AB 的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得 AD 与 OD 的长．解： (1)∵PA 、 PB 分别为⊙ O 的切线，∴OA⊥PA ， OB⊥PB.∴∠OAP ＝∠ OBP ＝ 90°.

∵∠C ＝ 60° ，∴∠ AOB ＝ 2∠C ＝ 120°.

在四边形 APBO 中，∠APB ＝ 360° －∠ OAP －∠ OBP －∠ AOB

＝ 360° － 90° － 90° － 120° ＝ 60°.





方法点析

　　 (1) 利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法． (2) 利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．


探究四　三角形的内切圆

命题角度：1. 三角形的内切圆的定义；2. 求三角形的内切圆的半径．

例 4 [2012· 玉林 ]如图 29－4，Rt△ ABC的内切圆⊙ O与两

直角边 AB，BC 分别相切于点 D、E，过劣弧DE︵

(不包括

端点 D、E)上任一点 P作⊙ O的切线MN，与 AB，BC分别交于点 M，N，若⊙ O的半径为 r，则 Rt△ MBN的周长为( )

A．r B.32r C．2r D.

52r


C


图 29 － 4


解　析　连接 OD 、 OE ，则∠ ODB ＝∠ DBE ＝∠ OEB ＝90° ，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD ＝ BE ＝ OD ＝OE ＝ r. 根据切线长定理得出 MP ＝ DM ， NP ＝ NE, Rt△M

BN 的周长为： MB ＋ NB ＋ MN ＝ MB ＋ BN ＋ NE ＋ DM

＝ BD ＋ BE ＝ r ＋ r ＝ 2r ，故选 C.


方法点析

解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．



与切线有关的辅助线的添加

教材母题

　　如图 29 － 5 ，直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ，并且 OA ＝OB ， CA ＝ CB. 求证：直线 AB 是⊙ O 的切线．

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图 29 － 5



证明　　

证明：连接 OC.

∵OA ＝ OB ， CA ＝ CB ，∴△OAB 是等腰三角形， OC 是底边 AB 上的中线．∴OC⊥AB.

∴AB 是⊙ O 的切线．


中考预测


图 29 － 6


解： (1) 证明：连接 OA ，∵∠B ＝ 60° ，∴∠AOC ＝ 2∠B ＝ 120°.

又∵ OA ＝ OC ，∴∠OAC ＝∠ OCA ＝ 30°.

又∵ AP ＝ AC ，∴∠P ＝∠ ACP ＝ 30° ，∴∠OAP ＝∠ AOC －∠ P ＝ 90

° ，∴OA⊥PA ，∴PA 是⊙ O 的切线．




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第 29 课时 切线的性质和判定

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