2． 3.3 　 　直线与平面垂直的性质

一、填空1．线面垂直的性质定理：

，用数学符号表示为 .

2． a⊥α， a⊥β，则 α β.

3． a⊥α， α∥β则 a β.

4． a∥b， b⊥α，则 a α.

垂直于同一平面的两条直线互相平行a⊥α ， b⊥α⇒a∥b

∥⊥⊥

二、判断正误(1)如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与

这个平面内的任何直线都不垂直．(2)已知平面 α和直线 a、 b，若 a∥α， b⊥a，则 b

⊥α.

[ 解析 ] 　 (1)错．平面内与这条直线的射影垂直的直线与此直线垂直．

(2)错．正四棱台如图．b为上底面一边或斜高时都有 b⊥a，但 b与下底面 α不垂直．

本节学习重点：直线与平面垂直的性质．本节学习难点：线线垂直与面面垂直的转化．

直线与平面垂直的判定与性质归纳如下表：

类别 判定方法 用判定定理 用推论 用定义

图形

条件c⊂α， b⊂α

c∩b＝ Pa⊥c， a⊥b

a∥bb⊥α

b是 α内任一条直线a⊥b

结论 a⊥α

类别 性质方法 性质定理 定义

图形

条件 a⊥αb⊥α

a⊥αb⊂α

结论 a∥b a⊥b

类别其它结论

方法

图形

条件 a⊥αa⊥β

a⊥αα∥β

a⊥αP∈α

PA⊥a

结论 α∥β a⊥β PA⊂α

[例 1] 　 如图，设平面 α与 β相交于直线 l， AC⊥α，BD⊥β，垂足分别为 C、 D，直线 AB⊥AC， AB⊥BD，

求证： AB∥l.

[ 解析 ] 　∵ AC⊥α， BD⊥β， α∩β＝ l，∴ AC⊥l，BD⊥l；

过 A作 AE⊥β垂足为 E，则 AE∥BD，∵AB⊥BD，∴ AB⊥AE，∴ AB⊥平面 ACE；∵AE⊥β， α∩β＝ l，∴ AE⊥l，又 AC⊥l，∴ l⊥平面 ACE，∴ AB∥l.

[点评 ]　要证线线平行，不具备公理 4的条件，没有线面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系，于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平面 γ、 l⊥γ、 AB⊥γ，于是作辅助线围绕找 γ展开．

如图所示， ABCD为正方形， SA垂直于 ABCD所在平面，过 A且垂直于 SC的平面分别交 SB、 SC、 SD于 E、F、 G.求证： (1)AE⊥SB； (2)AG⊥SD.

[ 分析 ] 　要证 AE⊥SB，可先假定 AE⊥SB已经成立，结合条件 SC⊥平面 AEFG可知 AE⊥平面 SBC，从而 AE

⊥BC，又 BC⊥AB，故 BC⊥平面 SAB，这样实际证明时，应先从已知条件 SA⊥平面 ABCD入手证得 BC⊥平面 SAB，后证 AE⊥平面 SBC.

[证明 ]　 (1)∵SA⊥平面 ABCD，∴ SA⊥BC.

又 AB⊥BC， SA∩AB＝ A，∴ BC⊥平面 SAB.

又 AE⊂平面 SAB，∴ BC⊥AE.

∵SC⊥平面 AEFG，∴ SC⊥AE.

又∵ SC∩BC＝ C，∴ AE⊥平面 SBC.

∵SB⊂平面 SBC，∴ AE⊥SB.

(2)∵SA⊥平面 ABCD，∴ CD⊥SA，又 CD⊥AD， AD∩SA＝ A，∴ CD⊥平面 SAD，∵AG⊂平面 SAD，∴ CD⊥AG

∵SC⊥平面 AEFG，∴ SC⊥AG.

又∵ SC∩CD＝ C，∴ AG⊥平面 SDC.

又 SD⊂平面 SDC，∴ AG⊥SD.

[ 例 2] 　在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，点 M 、 N

分别在直线 BD、 B1C上，且 MN⊥BD， MN⊥B1C，求

证：MN∥AC1.

[ 分析 ] 　已知 MN⊥BD， MN⊥B1C，而 B1C与 BD

是异面直线，可考虑先平移其中一条 (B1C∥A1D)得到线面

垂直．结合正方体中存在众多垂直关系，问题实质是已知

线面垂直关系证线线平行可考虑用性质，如果能推得 AC1

⊥平面 A1BD，问题获解．由 BD⊥AC， BD⊥C1C可得，

BD⊥平面 ACC1，∴ BD⊥AC1.同理 A1D⊥AC1.

[解析 ]　连接 A1D、 A1B

∵在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， B1C∥A1D，

∵MN⊥B1C，∴MN⊥A1D，

又 MN⊥BD，∴ MN⊥平面 A1BD，∵ BD⊥AC且 B

D⊥C1C

∴BD⊥平面 ACC1　∴ BD⊥AC1

又 A1D⊥AD1且 A1D⊥C1D1

∴A1D⊥平面 AC1D1　∴ A1D⊥AC1

∴AC1⊥平面 A1DB　∴ AC1∥MN.

[例 3] 　 已知正方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱长为 1，

E、 F分别为 AB、 C1D1的中点，求直线 A1B1和平面 A1EC

F所成的角的正切．[分析 ]　求线面角的关键是找出直线在平面上的射影，

为此由直线 A1B1上一点向平面 A1ECF作垂线，但垂足在什

么位置呢？故欲作垂线，可先作垂面．

[解析 ]　如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，

∵FC1綊 EB，∴ EF∥C1B.

又∵ C1B⊥B1C.C1B⊥A1B1，∴ C1B⊥平面 A1B1C，

∴EF⊥平面 A1B1C，

∴平面 A1B1C⊥平面 A1ECF.交线为 A1C.

作 B1H⊥A1C，则 B1H⊥平面 A1CF.

∴A1C为 A1B1在平面 A1ECF上的射影．

∴∠B1A1C即为直线 A1B1

和平面 A1ECF所成的角．

[ 例 4] 　如图，有一个正三棱锥体的零件， P是侧面ABD上一点．在面 ABD内过点 P画一条与棱 AC垂直的线段，应怎样画？说明你的理由．

[解析 ]　取 BD中点 E，∵几何体为正三棱锥，∴AE⊥BD， CE⊥BD，∴BD⊥平面 ACE，∴ BD⊥AC.

故在平面 ABD内，欲过 P点作与棱 AC垂直的线段，只须过 P作MN∥BD分别交 AB、 AD于M、 N，则线段MN⊥AC，MN即所求．

[ 例 5] 　已知直线 a∥平面 α， b⊂α， c⊂α， a∥b

∥c， a到平面 α的距离为 4， a与 b距离为 5， b与 c距离为 6，则 a与 c的距离为

( 　 　 )

[错解] 如图，在直线a上取点A，过A作直线

AB⊥α，垂足为B，作直线BD⊥b于D，交c于E，由条件

知，AB＝4，∵ BD⊥b，由AB⊥α知AB⊥b，∴ b⊥平面

ABD，∴ b⊥AD，∴ AD＝5，∵ b∥ c，BD⊥b，

∴ BD⊥c，∴ DE＝6，在Rt△ ABD中得BD＝3，∴ BE＝

9，∴ AE＝ AB2＋BE2＝ 97.　

∵ b⊥平面ABD，∴ c⊥平面ABD，∵ AE⊂ 平面

ABD，　

∴ c⊥AE，∴ a⊥AE，∴ a与c距离为 97，故选B.　　

[辨析 ]　考虑问题不周到，由题设的条件知，当在直线 a上取点 A，作 AB⊥α时，垂足 B可能在 b、 c之间，也可能在两侧，故应讨论．

[正解] 在直线a上取点A，过A作直线AB⊥α，垂足

为B，则平行线b、c可能在点B的同侧，也可能在两侧．　

1°当b、c在点B同侧时，若在靠近b的一侧，如原解

答，a与c距离为 97，易知不可能在靠近c的一侧．　

2°当b、c在点B的异侧时，如图，过B作直线DE⊥b交

b于D，交c于E，易证AD⊥b，AE⊥c，∴ AD＝5，DE＝

6，又AB＝4，∴ DB＝3，∴ BE＝3，∴ AE＝5.　

综上可知a与c的距离为5或 97，故选D.　　

一、选择题1．如果直线 l 与平面 α 不垂直，那么在平面 α 内

(　　 )

A．不存在与 l 垂直的直线B．存在一条与 l 垂直的直线C．存在无数条与 l 垂直的直线D．任意一条都与 l 垂直[答案 ]　 C

[解析 ]　若 l⊂α，显然在 α内存在无数条直线与 l垂直；若 l∥α，过 l作平面 β∩α＝ l′，则 l∥l′，

∵在 α内存在无数条直线与 l′垂直，从而在 α内存在无数条直线与 l垂直；

若 l与 α斜交，设交点为 A，在 l上任取一点 P，过 P作 PQ⊥α，垂足为 Q，在 α内存在无数条直线

与 AQ垂直，从而存在无数条直线与直线 PA(即 l)垂直．

2．过一点和已知平面垂直的直线条数为( 　 　 )

A． 1 　 　 　条 B． 2条C 　　．无数条 D．不能确定[答案 ]　 A

[解析 ]　已知：平面 α和一点 P.

求证：过点 P与 α垂直的直线只有一条．

证明：不论点 P在平面 α外或平面 α内，设 PA⊥α，垂足为 A(或 P)．如果过点 P还有一条直线 PB⊥α，设 PA、PB确定的平面为 β，且 α∩β＝ a，于是在平面 β内过点 P

有两条直线 PA、 PB垂直于交线 a，这是不可能的．所以过点 P与 α垂直的直线只有一条．

二、解答题

3 ． (09· 湖南文 ) 如图，在正三棱柱 ABC － A1B1C1中，

AB ＝ 4 ， AA1 ＝ ，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，

且 DE⊥A1E.

(1)证明：平面 A1DE⊥平面 ACC1A1；

(2)求直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值．

[解析 ]　 (1)如图所示，由正三棱柱 ABC－ A1B1C1的

性质知， AA1⊥平面 ABC.

又 DE⊂平面 ABC，所以 DE⊥AA1.

而 DE⊥A1E， AA1∩A1E＝ A1，

所以 DE⊥平面 ACC1A1.

又 DE⊂平面 A1DE，故平面 A1DE⊥平面 ACC1A1.

(2)过点A作AF垂直A1E于点F，连接DF.　

由(1)知，平面A1DE⊥平面ACC1A1.　

所以AF⊥平面A1DE，故∠ADF是直线AD和平面A1DE

所成的角．　

因为DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC，而△ ABC是边

长为4的正三角形，于是AD＝2 3，AE＝4－CE＝4－12CD

＝3.　

又因为AA1＝ 7，　　

所以A1E＝ AA21＋AE2＝ ( 7)2＋32＝4，　

AF＝AE·AA1

A1E＝3 74 ，sin∠ADF＝

AFAD＝

218 .　

即直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为218 .