第三章第 3 课时：

反比例函数

要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练

要点、考点聚焦1 、反比例函数的定义：一般地，函数 y=k/xkx(k 是常数，k≠0) ，叫做反比例函数 .

2 、反比例函数 y=k/x(k 是常数， k≠0) 的图像是双曲线

3 、反比例函数的性质 .(1) 当 k ＞ 0 时，图像的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 .(2) 当 k ＜ 0 时，图像的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 .

4 、反比例与反比例函数的区别 .

1.(2003 年 · 北京 ) 如果反比例函数 y=k/x 的图像过点P(-2

， 3) ，那么 k 的值是 ( )A.-6 B.- 3/2 C.- 2/3 D.6

课前热身

A

2.(2003 年 · 广东省 ) 如图 3-3-1 所示，某个反比例函数的

图像经过点 P ，则它的解析式为 ( )图 3-3-1 A.y=1/x(x ＞ 0) B.y=-1/x(x ＞ 0) C.y=1/x(x ＜ 0 D.y=-1/x(x ＜ 0 ）

D

3.(2003 年 · 辽宁省 ) 一次函数 y=kb/x 的图像经过第一、二

、四象限，则反比例函数 y=kbx 的图像在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限

D

4.(2003 年 · 重庆市 ) 如图 3-3-2 所示 . 如果函数 y=-kx(k≠0)与 y=-4/x 的图像交于 A 、 B 两点，过点 A 作 AC 垂直于y 轴，垂足为点 C ，则△ BOC 的面积为 .

2

5.(2003 年 · 山西省 ) 已知：反比例函数 y=kx(k≠0) ，当x

＜ 0 时， y 随 x 的增大而增大，那么一次函数 y=kx-k的图

像经过 ( )

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限

B

典型例题解析

D

【例 1 】 (2003 年 · 广西 ) 已知反比例函数 y=-1x 的图像上有两点 A(x1 ， y1) ， B(x2,y2) ，且 x1 ＜ x2 ，那么下列结论正确的是 ( )

A.y1 ＜ y2 B.y1 ＞ y2

C.y1=y2 D.y1 与 y2 之间的大小关系不能确定【例 2 】 (2003 年 · 陕西省 ) 已知反比例函数 y=k/x 的

图像经过点 A(-2 ， 3) ，(1) 求出这个反比例函数的解析式 .(2) 经过点 A 的正比例函数 y=k′x 的图像与反比例函数

y=k/x 的图像还有其他交点吗 ? 若有，求出交点坐标；若没有，说明理由 .

1 、反比例函数的解析式为： y=- 6/x

2 、有 .∵ 正、反比例函数的图像均关于原点对称，且点A 在它们的图像上，∴ A(-2 ， 3) 关于原点的对称点 B(2 ， -3) 也在它们的图像上 .∴ 它们相交的另一交点坐标为 (2 ， -3).

【例 3 】 (2003 年 · 天津市 ) 如图 3-3-3 所示，已知一次 函 数 y=kx+b(k≠0) 的 图 像 与 x 轴 、 y 轴 分 别 交 于A 、 B 两点，且与反比例函数 y=m/x(m≠0) 的图像在第一象 限 交 于 C 点 ， CD 垂 直 于 x 轴 ， 垂 足 为 D. 若OA=OB=OD=1.

(1) 求点 A 、 B 、 D 的坐标；(2) 求一次函数和反比例函数的解析式 .

1 、点 A 、 B 、 D 的坐标分别为A(-1 ， 0) 、 B(0 ， 1) 、 D(1 ， 0)

2 、反比例函数的解析式为： y=2/x.

矩形 OQ1R1R2 的周长 =8

OQ2P2R2 的周长 =62.

例 4 】 如图 3-3-4 所示，已知函数 y= 的图像和两条直线y=x ， y=2x 在第一象限内分别相交于 P1 和 P2 两点，过P1 分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P1Q1 ， P1R1 ，垂足分别为Q1 ， R1 ； 过 P2 分 别 作 x 轴 、 y 轴 的 垂 线P2Q2 ， P2R2 ，垂足分别为 Q2 ， R2 ，求矩形 OQ1P1R1

和 OQ2P2R2 的周长并比较它们的大小 .

【例 5 】 已知关于 x 、 y 的方程组有惟一个实数解，且反比例函数 y=1+bx 的图像在每个象限内， y 随 x 的增大而增大，如果点 (a,3) 在双曲线y= 上，求 a 的值 .

a=-2/3

bxy

yx 2)1( 22

x

b1

方法小结

1. 研究反比例函数及其图像时：(1) 易漏隐含条件；(2) 研究函数增减性时不分象限，笼统地说：“当 k＞ 0时， y 随 x 的增大而减小；当 k＜ 0 时， y 随 x 的增大而增大 .”这种说法是错误的，应将两个分支分别讨论 .

2. 过双曲线上任一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积等于｜ k｜ .

课时训练1.(2002 年 · 泸州市 ) 如图 3-3-5 所示，当 k ＜ 0 时，反

比 例 函 数 y=k/x 和 一 次 函 数 y=kx+2 的 图 像 大 致 是 图( )

C

2.(2002 年 · 武汉市 ) 若点 (3 ， 4) 是反比例函数y= 的图像上一点，则此函数图像必经过点

( )

A.(2 ， 6) B.(2 ， -6) C.(4 ， -3) D.(3 ， -4)

x

mm 122 A

3. 如图 3-3-6 所示，正比例函数 y=1/x (k ＞ 0) 与反比例函数 y= 的图像相交于 A 、 C 两点，过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B ，连接 BC. 若△ ABC 面积为 S ，则 ( )

A.S=1 B.S=2 C.S=3 D. 不能确定

A

4. 已知： y=y1+y2 ，其中 y1 与 x 成反比，且比例系数是k1

， y2 与 x2 成 正 比 ， 且 比 例 系 数 是 k2 ， 若 x=-1

时， y=0 ，则 k1 与 k2 的关系是 ( )

A.k1+k2=0 B.k1-k2=0

C.k1·k2=1 D.k1·k2=-1

B

5. 如图 3-3-7 所示，已知点 P 是反比例函数 y=kx 的图像在第二象限内的一点，过 P 点分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为 M 、 N ，若矩形 OMPN 的面积为 5 ，则 k= （ ）

-5

6. 已 知 反 比 例 函 数 y=(1-2m)/x 的 图 像 上 有 两 点A(x1 ， y1) ， B(x2,y2) ，当 x1 ＜ 0 ＜ x2 时，有 y1 ＜ y2.

则 m 的取值范围是 ( ) A.m ＜ 0 B.m ＞ 0 C.m ＞ 1/2 D.m ＜ 1/2

D