第35 　 　课时 三视图

第36课时　 轴对称与中心对称

第37课时 圆与平移与旋转

第 35课时┃ 三视图

第 35课时┃ 考点聚焦

考点聚焦考点 1 直棱柱

多面体 由若干个平面围成的几何体

直棱柱

特征 (1) 上下两个底面彼此 ________ ； (2) 侧面的形状都是 ________ ； (3) 所有侧棱平行且 ________

面、棱、顶点数

直 n 棱柱有 ______ 个面， ________ 条棱， ______ 个顶点

全等 矩形 相等

n ＋ 2 3n 2n

考点 2 图形的展开与折叠

对空间图形应有较准确地认识和感受，包含三个方面： (1) 能用平面展开图描述出该立体图形； (2) 能由立体图形画出至少一种其平面展开图，设计较

简单实物的平面图纸； (3) 能判断一个图形是否能围成一个立体图形． 将立方体表面展开成一个平面图形，需要剪开 7 条棱．

由于剪开的方法不同，可得到 11 种不同形状的展开图．

第 35课时┃ 考点聚焦

考点 3 物体的三视图主视图

从正面得到的由前向后观察物体的视图叫做 主视图，主视图反映物体的长和高

三视图左视图

从侧面得到的由左向右观察物体的视图叫做 左视图，左视图反映物体的宽和高

俯视图

从水平面得到的由上向下观察物体的视图叫 做俯视图，俯视图反映物体的长和宽

画物体要点

主视图和俯视图要 ______ ，主视图和左视图 要 ______ ，左视图和俯视图要 ______

的三视图

提醒

在画图时，看得见部分的轮廓通常画成实线， 看不见部分的轮廓线通常画成虚线

长对正 高平齐 宽相等

第 35课时┃ 考点聚焦

第 35课时┃ 中考探究

中考探究

► 　类型之一　直棱柱命题角度：1 ．直棱柱的概念；2 ．直棱柱的表面展开图．

例 1 直四棱柱，长方体和正方体之间的包含关系是 ( 　　 )

图 35－ 1

A

例 2 [2012· 佛山 ] 一个几何体的展开图如图 35－ 2所示，这个几何体是 ( 　　 )

A ．三棱柱 B ．三棱锥 C ．四棱柱 D ．四棱锥

图 35－ 2

A

第 35课时┃ 中考探究

棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的表面展开图．

第 35课时┃ 中考探究

► 　类型之二　几何体的三视图命题角度：1 ．已知几何体，判定三视图；2 ．由三视图，想象几何体．

例 3 (1)[2012·南充 ] 下列几何体中，俯视图相同的是 ( )

A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④

图 35－ 3

C

第 35课时┃ 中考探究

(2)[2012· 湖州 ] 下列四个水平放置的几何体中，三视图如图 35－ 4 所示的是 ( 　　 )

图 35－ 4

图 35－ 5

D

第 35课时┃ 中考探究

例 4 如图 35－ 6 ，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是 ( 　　 )

A ． 3 个或 4 个 B ． 4 个或 5 个 C ． 5 个或 6 个 D ． 6 个或 7 个

图 35－ 6

B

第 35课时┃ 中考探究

[ 解析 ] 俯视图与主视图相同，可判断出底层有 3 个小正方体．而第二层则有 1 个成 2 个小正方体．则这个几何体的小立方块可能有 4 或 5 个．

第 35课时┃ 中考探究

由三视图确定小正方体的个数，求解时先根据左视图和主视图，在俯视图中标出每个位置上小立方块的个数，便可得到组成几何体的小正方体的个数．

第 35课时┃ 中考探究

► 类型之三 与视图有关的计算问题

命题角度：由视图中提供的数据计算几何体的表面积、体积或表面最短运动路线等问题．例5 [2012· 临沂] 如图35－7是一个

几何体的三视图，则这个几何体 的侧面积是( )

A．18 cm2 B．20 cm2

C．(18＋2 3) cm2

D．(18＋4 3) cm2

图 35－ 7

A

第 35课时┃ 中考探究

[ 解析 ] 根据三视图判断，该几何体是正三棱柱，底边边长为 2 cm，侧棱长是 3 cm， 所以侧面积是： (3×2)×3＝ 6×3＝ 18 (cm2) ．

第 35课时┃ 中考探究

由物体的三视图求几何体的侧面积、表面积、体积等问题的关键是由三视图想象出几何体的形状．

第 35课时┃ 中考探究

第 36课时┃　轴对称与中心对称

第 36课时┃ 考点聚焦

考点聚焦考点 1 轴对称与轴对称图形

轴对称 轴对称图形

定义

把一个图形沿着某一条直线 折叠，如果它能够与另一个 图形 ________，那么就说这 两个图形关于这条直线对称， 这条直线叫做对称轴．折叠 后重合的点是对应点，叫对 称点

如果一个图形沿某一直线 对折后，直线两旁的部分 能够互相重合，这个图形 叫做 ____________，这条 直线叫做它的对称轴．这 时我们也说这个图形关于 这条直线 ( 成轴 ) 对称

区别 轴对称是指 ________全等图 形之间的相互位置关系

轴对称图形是指具有特殊 形状的 ________图形

重合 轴对称图形

两个 一个

轴对称 轴对称图形

联系

①如果把轴对称的两个图形看成一个整体 ( 一个图形 ) ， 那么这个图形是轴对称图形； ②如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图 形，那么它们成轴对称

轴对称的性质

(1)对称点的连线被对称轴 ________ (2)对应线段 ________ (3)对应线段或延长线的交点在 ________上 (4)成轴对称的两个图形 ________

垂直平分 相等

对称轴 全等

第 36课时┃ 考点聚焦

考点 2 中心对称与中心对称图形

中心对称 中心对称图形

定义

把一个图形绕着某一点旋转 ________后，如果它能与另 一个图形 ________，那么就 说这两个图形关于这个点成 中心对称，该点叫做 ________

把一个图形绕着某一点旋转 ________，如果旋转后的图 形能够与原来的图形重合， 那么我们把这个图形叫中心 对称图形，这个点叫做 ________

区别 中心对称是指两个全等图形 之间的相互位置关系

中心对称图形是指具有特 殊形状的一个图形

180°

重合

对称中心

180°

对称中心

第 36课时┃ 考点聚焦

中心对称 中心对称图形

联系

①如果把中心对称的两个图形看成一个整体 ( 一个 图形 ) ，那么这个图形是中心对称图形； ②如果把一个中心对称图形中对称的部分看成是 两个图形，那么它们是中心对称

中心对称的性质

(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 对称中心，而且被对称中心 ________

(2)成中心对称的两个图形 ________

平分 全等

第 36课时┃ 考点聚焦

第 36课时┃ 中考探究

中考探究► 　类型之一　轴对称图形与中心对称图形的概念

命题角度：1. 轴对称的定义，轴对称图形的判断；2. 中心对称的定义，中心对称图形的判断．

例 1 [2012·金华 ] 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 ( )

A ．① B ．② C ．③ D ．④

图 36－ 1

B

第 36课时┃ 中考探究

[ 解析 ] 如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．

第 36课时┃ 中考探究

(1) 把所要判断的图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；

(2) 把所要判断的图形绕着某个点旋转 180° 后能与自身重合的图形是中心对称图形．

第 36课时┃ 中考探究

► 　类型之二　轴对称与中心对称的性质命题角度：1 ．利用对称图形的性质计算角的度数；2 ．利用对称图形的性质计算线段的长度；3 ．轴对称与全等的综合．

第 36课时┃ 中考探究

例 2 [2012·乐山 ] 如图 36－ 2 ，在 10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1 ，网格中有一个格点△ ABC( 即三角形的顶点都在格点上 ) ．

(1)在图中作出△ ABC关于直线 l

对称的△ A1B1C1 ； ( 要求： A 与 A1 ，B 与 B1 ， C 与 C1 相对应 )

(2)在 (1)问的结果下，连结 BB1 ，CC1 ，求四边形 BB1C1C 的面积．

图 36－ 2

第 36课时┃ 中考探究

解：(1)如图，△ A1B1C1是△ ABC关于直线l的对称图形． (2)由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1＝4，CC1＝2，

高是4.

∴ S四边形BB1C1C＝12(BB1＋CC1)×4＝

12(4＋2)×4＝12.

第 36课时┃ 中考探究

► 　类型之三　图形的折叠与轴对称 命题角度： 图形的折叠与轴对称的关系．例3 [2012· 资阳] 如图36－3，在△ ABC中， ∠C＝90° ，将△ ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB

边上的点D处，已知MN∥ AB，MC＝6，NC＝2 3，则四边形MABN

的面积是( )

A．6 3 B．12 3

C．18 3 D．24 3

图 36－ 3

C

第 36课时┃ 中考探究

[解析] 连结CD，交MN于E， ∵ 将△ ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点

D处，∴ MN⊥CD，且CE＝DE，∴ CD＝2CE. ∵ MN∥ AB，∴ △ CMN∽△ CAB，

∴S△ CMN

S△ CAB＝

CE

CD2＝

14.

在△ CMN中，∠C＝90° ，MC＝6，NC＝2 3，

∴ S△ CMN＝12CM· CN＝

12×6×2 3＝6 3，

∴ S△ CAB＝4S△ CMN＝4×6 3＝24 3.

∴ S四边形MABN＝S△ CAB－S△ CMN＝24 3－6 3＝18 3.

第 36课时┃ 中考探究

► 　类型之四　轴对称与中心对称有关的作图问题命题角度：1. 利用轴对称的性质作图；2. 利用中心对称的性质作图；3. 利用轴对称或中心对称的性质设计图案．

第 36课时┃ 中考探究

例 4 [2012·广州 ] 如图 36－ 4 ，⊙ P 的圆心 P( －3 ， 2)，半径为 3 ，直线MN过点M(5， 0)且平行于 y轴，点 N 在点M 的上方．

(1) 在图中作出⊙P 关于 y

轴对称的⊙ P′，根据作图直接写出⊙ P′与直线 MN 的位置关系； (2) 若点 N 在 (1) 中的⊙ P′

上，求 PN 的长．

图 36－ 4

第 36课时┃ 中考探究

解：(1)作图如下． ⊙P′ 与直线MN相交．

(2)连结PP′ 并延长交MN于

点Q，连结PN、P′ N， 由题意可知：在Rt△ P′ QN中，

P′ Q＝2，P′ N＝3，由勾股定理可求出QN＝ 5.

在Rt△ PQN中，PQ＝3＋5＝8，QN＝ 5，由勾股定理可求

出PN＝ 82＋（ 5）2＝ 69.

第 36课时┃ 中考探究

[ 解析 ] (1) 根据关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点 P′的位置，然后以 3 为半径画圆即可；再根据直线与圆的位置关系解答；

(2) 设直线 PP′与MN 相交于点 Q ，在 Rt△QP′N 中，利用勾股定理求出 QN 的长度，在 Rt△QPN 中，利用勾股定理列式计算即可求出 PN 的长度．

第 36课时┃ 中考探究

第 37课时┃　平移与旋转

第 37课时┃ 考点聚焦

考点聚焦

考点 1 平移

定义 由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原 图形上所有的点都沿同一个 ________运动，且运动相 等的距离，这样的图形的平移改变叫做图形变换简称平移

图形平移有两个基本条件

(1)图形平移的方向就是这个图形上的某一点到平移后 的图形对应点的方向； (2)图形平移的距离就是连结一对对应点的线段的长度

平移性质

(1)对应线段平行 ( 或共线 ) 且 ________，对应点所连的 线段 ________，图形上的每个点都沿同一个方向移动了 相同的距离； (2) 对应角分别 ________ ，且对应角的两边分别平行、 方向一致； (3) 平移变换后的图形与原图形 ________

方向

相等 平行且相等

相等

全等

考点 2 旋转

定义

由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中， 原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个 方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图 形的旋转变换，简称旋转．这个固定的点叫做 __________，转动的角度叫做 ________

图形的旋转有三个基本条件 (1)旋转中心； (2)旋转方向； (3)旋转角度

旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离 ________； (2) 对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的 角度； (3) 旋转前后的图形的形状和大小相同

旋转中心 旋转角

相等

第 37课时┃ 考点聚焦

第 37课时┃ 中考探究

中考探究

► 　类型之一　图形的平移

命题角度：1. 平移的概念；2. 平移前后的两个图形的对应角、对应线段的关系．

例 1 [2012· 义乌 ] 如图 37－ 1 ，将周长为 8 的△ ABC沿 BC 方向平移 1 个单位得到△ DEF ，则四边形 ABFD 的周长为 ( 　　 )

A ． 6 　　 B ． 8

C ． 10 　　 D ． 12 图 37－ 1

C

[ 解析 ] 将周长为 8 个单位的等边△ ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到△DEF ，∴ AD＝ 1 ， BF＝ BC＋CF＝ BC＋ 1 ，DF＝ AC.

又∵ AB＋ BC＋ AC＝ 8 ， ∴四边形 ABFD 的周长＝ AD＋ AB＋ BF＋DF＝ 1＋ AB＋ BC＋ 1 ＋ AC＝ 10.

第 37课时┃ 中考探究

利用“平移前后的两个图形全等”，“平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法．

第 37课时┃ 中考探究

► 　类型之二　图形的旋转命题角度：1. 旋转的概念；2. 求旋转中心，求旋转角；3. 求旋转后图形的位置和点的坐标．

第 37课时┃ 中考探究

例 2 [2011·聊城 ] 将两块大小相同的含 30° 角的直角三角板 (∠BAC＝∠ B′A′C ＝ 30°) 按图 37－ 2① 方式放置，固定三角板 A′B′C ，然后将三角板 ABC 绕直角顶点C 顺时针方向旋转 ( 旋转角小于 90°) 至图②所示的位置， AB与 A′C 交于点 E ， AC与 A′B′交于点 F ， AB与A′B′相交于点 O.

(1) 求证：△ BCE≌△B′CF ； (2)当旋转角等于 30° 时，AB与 A′B′垂直吗？请说明理由．

图 37－ 2

第 37课时┃ 中考探究

解： (1)因为∠ B ＝∠ B′， BC＝ B′C ，∠ BCE＝∠ B′CF ，所以△ BCE≌△B′CF.

(2)AB与 A′B′垂直．理由如下： 旋转角等于 30° ，即∠ ECF＝ 30° ，所以∠ FCB′＝ 60° ，又∠ B ＝∠ B′＝ 60° ，根据四边

形的内角和可知∠ BOB′的度数为360°－ 60°－ 60°－ 150°＝ 90° ，所以 AB与 A′B′

垂直．

第 37课时┃ 中考探究

[ 解析 ] (1) 利用旋转角相等，可得∠ BCE＝∠ B′CF ，从而容易找出全等三角形的条件． (2) 在四边形 BCB′O 中，求∠ BOB′的度数．

第 37课时┃ 中考探究

(1) 求旋转角时，只要找到一对对应点和旋转中心的夹角即可； (2) 旋转不改变图形的大小，旋转前后的两个图形全等．

第 37课时┃ 中考探究

► 　类型之三　图形变换的综合问题

命题角度：对称、平移、旋转的综合问题．

第 37课时┃ 中考探究

例3 [2012· 济宁] 如图37－3，在平面直角坐标系中，

有一Rt△ ABC，且A

－1，3，B

－3，－1，C

－3，3，已知

△ A1AC1是由△ ABC旋转变换得到的． (1)请写出旋转中心的坐标是________，旋转角是

________度； (2)以(1)中的旋转中心为中心，

分别画出△ A1AC1顺时针旋转 90° 、180° 的三角形；

(3)设Rt△ ABC两直角边 BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c， 利用变换前后所形成的图案 证明勾股定理．

图 37－ 3

第 37课时┃ 中考探究

解：(1)(0，0) 90 (2)画出图形如图所示： (3)由旋转的过程可知，

四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形． ∵ S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ ABC,

∴ (a＋b)2＝c2＋4×12ab，

a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab， ∴ a2＋b2＝c2.

第 37课时┃ 中考探究

[ 解析 ] (1)由图形可知，对应点的连线 CC1 、 AA1 的垂直平分线过点 O ，即点 O 为旋转中心，再根据网格结构，观察可得旋转角为 90°；

(2)利用网格结构，分别找出旋转后对应点的位置，然后顺次连结即可；

(3)利用面积，根据正方形 CC1C2C3 的面积等于正方形AA1A2B 的面积加上△ ABC的面积的 4 倍，列式计算即可得证．

第 37课时┃ 中考探究

求一个图形旋转后、平移后的图形的某点的坐标，一般应把握三点：一是根据图形平移、旋转的性质；二是利用图形的全等关系；三是点所在象限的符号．

第 37课时┃ 中考探究