第 5 章 晶体的感应双折射

5.1 电光效应

5.2 声光效应

5.3 晶体的旋光效应 与法拉第效应

5.1 电光效应

5.1.1 电光效应的描述

5.1.2 晶体的线性电光效应

5.1.3 晶体的二次电光效应

5.1.4 晶体电光效应的应用

电光效应的概念 各向同性、均匀、线性、稳定的光学介质，在不受任何外电场作用时，其光学性质稳定。 对介质施加一个外电场，当外电场足够强、以致于和原子的内电场（≈ 3×10 8V/cm ）相比拟时，原子内电场会受到强烈影响，原子形状和能级结构等就会发生一系列畸变；与之相应，介质的光学性质——折射率会发生改变，其改变量与外加电场密切相关、并且是外电场的显函数。

原本各向同性、均匀、线性的光学介质，在足够强的外电场作用下，成为各向异性的非线性光学介质，其结果直接导致介质能够产生光的双折射现象。

各向异性的光学晶体，在足够强的外电场作用下，其光学各向异性性质会进一步加剧。

介质在足够强的外电场作用下，其光学性质发生改变的现象，叫做电致感应双折射或电光效应。

电光效应的种类 按照介质折射率改变量与外加电场之间的函数关系分为：

1. 线性电光效应 介质折射率改变量与外加电场的一次方成正比。

2. 非线性电光效应 介质折射率改变量不仅与外加电场的一次方有关，而且还与外加电场的二次方（即平方）、三次方、乃至任意的高次方有关，并且是它们的显函数。

5.1.1 电光效应的描述

由前面的讨论已知，光在晶体中的传播规律遵从光的电磁理论，利用折射率椭球可以完整而方便地描述出表征晶体光学特性的折射率在空间各个方向的取值分布。 显然，外加电场对晶体光学特性的影响，必然会通过折射率椭球的变化反映出来。因此，可以通过晶体折射率椭球的大小、形状和取向的变化，来研究外电场对晶体光学特性的影响。

1jiij xxB

ijij

Bn

2

1

则折射率椭球表示为：

描述晶体光学各向异性的折射率椭球在直角坐标系 (Ox1x2x3) 中的一般形式为：

3,2,1,12

jin

xx

ij

ji

若令

ΔBij = ijkEk+ hijpqEpEq+ … i, j, k, p, q =1, 2, 3

这里 Bij 是由外加电场引起的，一般情况下可以表示成 ：

1jiij xxB外加电场后晶体的感应折射率椭球记为：

10 jiij xxB无外加电场的晶体折射率椭球记为：

折射率椭球的变化为 Bij

1)( 0 jiijij xxBB

ΔBij= ijkEk+ hijpqEpEq+… i, j, k, p, q =1, 2, 3

第一项描述 Bij 与 Ek 的线性关系——线性电光效应或普克

尔 (Pockels) 效应； [ ijk] 是三阶张量——线性电光系数。

第二项描述 Bij 与外加电场的二次关系——二次电光效应或克尔 (Kerr) 效应。 [hijpq] 是四阶张量——二次非线性电光系数

第三项

5.1.2 晶体的线性电光效应1. 线性电光系数

在主轴坐标系中，无外加电场晶体的折射率椭球为：

123

03

22

02

21

01 xBxBxB

外加电场后，由于线性电光效应，折射率椭球发生了变化，它应表示为一般折射率椭球的形式：

12333233213313223

2222122131132112

2111

xBxxBxxBxxB

xBxxBxxBxxBxB

1jiij xxB

折射率椭球的系数 [Bij] 实际上是晶体的相对介电常数 [ij]

的逆张量，故 [Bij] 也是二阶对称张量： Bij =Bji 。因而 [Bij] 只有六个独立分量，故上式可简化为：

可见，外加电场后，晶体折射率椭球系数 [Bij] 的变化为

2112

3131

2323

033333

022222

011111

BB

BB

BB

BBB

BBB

BBB

1222 2112133132232333

2222

2111 xxBxxBxxBxBxBxB

考虑到 [Bij] 是二阶对称张量，将下标 i 和 j 交换其值不变， 所以可将二重下标简化成单个下标， 其对应关系为：

相应的 [Bij] 也可简化为有六个分量的矩阵：

12

31

23

33

22

11

6

5

4

3

2

1

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B11 B22 B33 B23 B31 B12

B1 B2 B3 B4 B5 B6

对于线性电光系数 [ijk ] ，因下标 i , j 互换对 [Bij] 没

有影响，所以两个下标也可简化为单个下标。经过这些简化，只计线性电光效应，可得：

Bi = ij Ej i = 1, 2, …, 6; j = 1, 2, 3

(63) 矩阵——线性电光系数矩阵，描述外加电场对晶体光学特性的线性效应。

Bi = ij Ej ( i = 1, 2, …, 6; j = 1, 2, 3 ) 的矩阵形式 :

3

2

1

636261

535251

434241

333231

232221

131211

6

5

4

3

2

1

E

E

E

B

B

B

B

B

B

(5.1-14)

2. 几种晶体的线性电光效应

A. KDP 晶体的线性电光效应

B. LiNbO3晶体的线性电光效应

C. GaAs 、 BGO 晶体的线性电光效应

A. KDP 型晶体的线性电光效应

KDP 晶体是单轴晶体，属四方晶系。属于这一类型的晶体还有 ADP( 磷酸二氢氨 ) 、 KD*P

(磷酸二氘钾 ) 等，它们同为 晶体点群，光轴方向为 x3 轴方

向。

m24

KDP 型晶体外型图

(1) KDP 型晶体的感应折射率椭球

KDP 型晶体无外加电场时，折射率椭球为旋转椭球，在主轴坐标系 ( 折射率椭球主轴与晶轴重合 ) 中，折射率椭球方程为 :

式中：

no 、 ne 分别为单轴晶体的寻常光和非常光的主折射率。

2e

23

032

o21

02

01

11;

11

nnB

nnBB

1)( 23

03

22

21

01 xBxxB (5.1-

15)

12e

23

2o

22

2o

21

n

x

n

x

n

x

63

41

41

00

00

00

000

000

000

][

ij

晶体外加电场时，折射率椭球发生形变。通过查阅手册，可以得到 KDP 晶体的线性电光系数矩阵为

则 (5.1-14) 式 变 为 ：

3

2

1

63

41

41

6

5

4

3

2

1

00

00

00

000

000

000

E

E

E

B

B

B

B

B

B

因此：

则 KDP 型晶体的感应折射率椭球表示式：

12)(2 2136313232141

23

03

22

02

21

01

xxExxExxE

xBxBxB

(5.1-19)

3636

2415

1414

3

2

1

0

0

0

EB

EB

EB

B

B

B

可见， KDP 晶体外加电场后，感应折射率椭球方程中出现了交叉项，这说明感应折射率椭球的三个主轴不再与晶轴重合，三个主折射率也随之变化。

为了充分地运用晶体的电光效应，外加电场通常取垂直于光轴方向或平行于光轴方向。

• 垂直于光轴方向的电场分量产生的电光效应只与 41 有关 ;

• 平行于光轴方向的电场分量产生的电光效应只与 63 有关。

(2) 外加电场平行于光轴的电光效应 相应于这种工作方式的晶片是从 KDP 晶体上垂直于光轴方向 ( x3 轴 ) 切割下来的， 通常称为 x3 切割晶片。

在未加场时，光沿 x3 方向传播不发生双折射。当平行于 x3 方向加电场时，感应折射率椭球的表示式为：

或者

12)( 2136323

03

22

21

01 xxExBxxB

12 213632e

23

2o

22

21

xxE

n

x

n

xx

(5.1-20)

(5.1-21)

为了讨论晶体的电光效应，首先确定感应折射率椭球的形状，即找出感应折射率椭球的三个主轴方向及相应的长度。

可以看出， x32 项相对无外加电场时的折射率椭球没

有变化，说明感应折射率椭球的一个主轴与原折射率椭球的 x3 轴重合，另外两个主轴方向可绕 x3 轴旋转得到。

12 213632e

23

2o

22

21

xxE

n

x

n

xx 有外加电场

1)( 23

03

22

21

01 xBxxB无外加电场

12e

23

2o

22

2o

21

n

x

n

x

n

x或

33

212

211

cossin

sincos

xx

xxx

xxx

假设感应折射率椭球的新主轴方向为 x1 、 x2 、 x3

则新 ( O x1x2x3 ) 坐标系由原坐标系 (Ox1x2x3 )绕 x3 轴旋转 角得到，相应的坐标变换关系为：

0)sin(cos2 2122

363 xxE

由于 x1 、 x2 、 x3 为感应折射率椭球的三个主轴方向，所以上式中的交叉项为零，即：

1)sin(cos2

1)cossin2

1()cossin2

1(

2122

363

232

e

223632

o

213632

o

xxE

xn

xEn

xEn

将坐标变换代入 (5.1-21) 式，整理可得：

63 、 E3 不为零，只能是： cos2 sin2 = 0

所以： =±45°

故 x3 切割晶片 沿光轴方向外加电场后，感应折射率椭球的三个主轴方向为原折射率椭球的三个主轴绕 x3 轴旋转 45 得到，该转角与外加电场的大小无关，但转动方向与电场方向有关。

11

)1

()1

( 232

e

223632

o

213632

o

xn

xEn

xEn

若取 =45 ，折射率椭球方程为：

或写成：

或

这说明， KDP 型晶体的 x3 切割晶片 在外加电场 E3 后，由原来的单轴晶体变成双轴晶体。其折射率椭球与 x1Ox2 面的交线由原来的 r = no 的圆，变成现在的主轴在 45 方向上的椭圆。

1233

222

211 xBxBxB

1)()( 23

03

22363

01

21363

01 xBxEBxEB

11

)1

()1

( 232

e

223632

o

213632

o

xn

xEn

xEn

折射率椭球与 x1Ox2 面的交线

现在进一步确定感应折射率椭球的三个主折射率。 首先将 = 45 时的折射率椭球方程变换为：

因为 63 的数量级是 10-10cm/V ， E3 的数量级是 104 V/cm ，所以 63E3<< 1, 故可利用幂级数展开，并只取前两项的关系，将上式变换成：

1)

21

1()21

1(2e

2'3

2363

2o

2o

2'2

2363

2o

2o

2'1

n

x

Enn

x

Enn

x

11

)1(1

)1(1 2

32e

22363

22o

21363

2o2

xn

xEnn

xEnn o

o

因此感应折射率椭球的三个主折射率为：

e3

3633oo2

3633oo1

2

12

1

nn

Ennn

Ennn

1)

21

1()21

1(2e

2'3

2363

2o

2o

2'2

2363

2o

2o

2'1

n

x

Enn

x

Enn

x

① 光沿 x3 方向传播

在外加电场平行于 x3 轴，光也沿 x3 (x3) 轴方向传播时，由 63 贡献的电光效应 —— 63 的纵向运用。

在这种情况下，两特许偏振分量的振动方向分别平行于感应折射率椭球的两主轴方向 (x1 和 x2) ，折射率为 n1 和 n2 ，两个偏振光在晶体中以不同的速度沿 x3 轴传播，其折射率差为：

Ennnn 633o123Δ

两种通光方向上光传播的双折射特性：

通常把这种由外加电压引起的二偏振分量间的相位差叫做“电光延迟”。

由上式可见， 63 纵向运用所引起的电光延迟正比于外加电压，与晶片厚度 d 无关。当电光延迟 = /2 、 和 2 时，电光晶体分别相应于四分之一波片、半波片和全波片。

(5.1-31)Un 633o

π2

当它们通过长度为 d 的晶体后，相位差为：

Edndnn 633o12

π2)(

π2

Ed 恰为晶片上的外加电压 U ，所以有

U/2 只与材料特性和波长有关，在实际应用中，它是表征晶体电光效应特性的一个很重要的物理参量。

例如，在 = 0.55 m 的情况下，

KDP 晶体： no=1.512 ， 63=10.6×10-10cm/V ， U /2= 7.45 kV ;

KD*P 晶体： no=1.508 ， 63=20.8×10-10cm/V, U /2 = 3.8 kV 。

633o

2/ 2

nU

当 = 时，相应于两个偏振光分量的光程差为半个波长，相应的外加电压叫半波电压，以 U 或 U/2 表示：

② 光沿 x2 ( 或 x1) 方向传播

外加电压平行 x3 轴方向，光沿 x2( 或 x1 ) 轴方向传播， 63

贡献的电光效应— 63 的横向运用。

这种工作方式通常对晶体采取 45x3 切割，晶片的长和宽与 x1 、 x2 轴成 45 方向。光沿晶体的 [110] 方向传播，晶体在电场方向上的厚度为 d ，在传播方向上的长度为 l 。

沿 x3 方向外加电压时，晶体感应折射率椭球的主轴方向由原折射率椭球主轴绕 x3 轴旋转 45 得到，因此光沿 x2

传播时，相应的两个特许线偏振光的折射率为 n1 和 n3 ，二者由晶片射出时的相位差：

Und

llnn

Ennnl

lnn

633oeo

3633oeo

31

π)(

π2

2

1)(

π2

)(π2

等式右边第一项表示由自然双折射造成的相位差；第二项表示由线性电光效应引起的相位差。

与 63 纵向运用相比， 63 横向运用的两个特点：

i) 电光延迟与晶体的长厚比 l /d 有关，因此可以通过控制晶体的长厚比来降低半波电压，这是它的一个优点；

ii) 横向运用中存在着自然双折射作用。由于自然双折射 ( 晶体的主折射率 no 、 ne) 受温度的影响严重，所以对相位差的稳定性影响很大。

实验表明， KDP 晶体的 (no ne)/T ～ 1.1×10-5/℃ 。 0.6328m 的激光通过 30mm 的 KDP 晶体，在温度变化 1C

时，将产生约 1.1 的附加相位差。

为了克服这个缺点，在横向运用时，一般均需采取补偿措施。经常采用两种办法：

① 用两块制作完全相同的晶体，且 90°排列，即使一块晶体的 x1 和 x3 轴方向分别与另一块晶体的 x3 和 x1 轴平行；

② 使一块晶体的 x1 和 x3 轴分别与另一种晶体的 x1 和 x3 轴反向平行排列，中间放置一块 1/2 波片。

补偿自然双折射的两种晶体配置

两种方法的补偿原理：都是使第一块晶体中的 o 光进入第二块晶体变成 e 光，第一块晶体中的 e 光进入第二块晶体变为 o 光，而且二晶体长度和温度环境相同，所以由自然双折射和温度变化引起的相位差相互抵消。

因此，由第二块晶体射出的两光束间，只存在由电光效应引起的相位差：

相应的半波电压为：l

d

nU

633o

2/ 2

d

lUn 63

3o

π2

与纵向应用比较得：

显然，横向运用时的半波电压一般比纵向运用时低，通过改变晶体长厚比，可以降低横向运用的半波电压。

但由于横向运用必须采取补偿措施，结构复杂，对两块晶体的加工精度要求很高，所以，一般只有在特别需要较低半波电压的场合才采用。

l

dUU 纵横 )()( 2/2/

B. LiNbO3型晶体的线性电光效应

LiNbO3(铌酸锂 ) 以及与之同类型的 LiTaO3(钽酸锂 ) 、 BaTaO3(钽酸钡 ) 等晶体，属于 3m 晶体点群，为单轴晶体。它们在 0.4 ~ 5m波长范围内的透过率高达 98% ，光学均匀性好，不潮解，因此在光电子技术中经常采用。主要缺点是光损伤阈值较低。 LiNbO3 型晶体未加电场时的折射率椭球为旋转椭球：

式中， no 和 ne 分别为单轴晶体的寻常光和非常光的主折射率。

;/1/1;/1/1 223

03

02

221

01 eo nnBBnnB

1)( 23

03

22

21

01 xBxxB

当晶体外加电场时，根据前述的有关公式及 LiNbO3(3m

晶类 ) 型晶体的线性电光系数矩阵，可以推得：

3

2

1

22

51

51

33

1322

1322

6

5

4

3

2

1

00

00

00

00

0

0

E

E

E

B

B

B

B

B

B

由此得：

1226

1515

2514

3333

3132222

3132221

EB

EB

EB

EB

EEB

EEB

LiNbO3 型晶体外加电场后的感应折射率椭球方程：

1222)1

(

)1

()1

(

211221315132251233332

e

223132222

o

213132222

o

xxExxExxExEn

xEEn

xEEn

(1) 电场平行于 x3 轴的横向运用

1)1

())(1

( 233222

e

22

213132

o

xEn

xxEn

1)

21

1()21

1( 2333

2e

2e

23

2313

2o

2o

22

21

Enn

x

Enn

xx

所以：

当外加电场平行于 x3 轴时， E1= E2= 0 ，上式变为：

该式中没有交叉项，因此在 E3 电场中， LiNbO3 晶体的三个主轴方向不变，仍为单轴晶体，只是主折射率的大小发生了变化，近似为：

3333ee

'e

'3

3133oo

'o

'2

3133oo

'o

'1

2

12

12

1

Ennnn

Ennnn

Ennnn

no 和 ne 为在 x3 方向外加电场后，晶体的寻常光和非常光的主折射率，其主折射率之差为：

3133o33

3eeoeo )(

2

1)( Ennnnnn

上式等号右边第一项是自然双折射；第二项是外加电场 E3

后的感应双折射，其中 ( ne333 no

3 13 ) 是由晶体材料决定的常数，为方便起见，常将其写成 no

3 *,

*=(ne/no)3 33 13 称为有效电光系数。

LiNbO3 型晶体加上电场 E3 后，由于 x3 轴仍为光轴，所以其纵向运用没有电光延迟。但可以横向运用，即光波沿垂直 x3 轴的方向传播。

当光波沿 x1 ( 或 x2 ) 轴方向传播时，沿 x2 和 x3 轴 ( 或沿 x1 和 x3 轴 ) 方向振动的二线偏振光之间，将产生受电场控制的相位差：

l 为光传播方向的晶体长度； d 为电场方向上的晶体厚度；U3 为沿 x3 方向的外加电压。

该式表明， LiNbO3 型晶体 x3 轴方向上外加电压的横向运用，与 KDP 型晶体 45x3 切片的 63 横向运用类似，有自然双折射的影响。

d

lUnlnn

nnd

lUlnn

lnn

33o

eo

133e33

3e

3eo

'e

'o

*π)(

π2

)(π

)(π2

)(π2

(2) 电场在 x1Ox2 平面内的横向运用

1222

111

211221315132251

232

e

222222

o

212222

o

xxExxExxE

xn

xEn

xEn

这种工作方式是电场加在 x1Ox2 平面内的任意方向上，而光沿着 x3 方向传播。此时， E1 、 E2 ≠ 0, E3 = 0 ，经计算可得感应折射率椭球为：

显然，外加电场后，晶体由单轴晶体变成了双轴晶体。

为了求出相应于沿 x3 方向传播的光波折射率，根据折射率椭球的性质，需要确定垂直于 x3 轴的平面与折射率椭球的截线。这只需在上式中令 x3=0 即可。

由此可得截线方程为：

1211

21122222222

o

212222

o

xxExE

nxE

n

这是一个椭圆方程。

为了方便地求出椭圆的主轴方向和主轴值，可将上式主轴化，使 (O-x1x2x3) 坐标系绕 x3 轴旋转 角，变为 (O-x1x2x3)

坐标系，其变换关系为：

cossin

sincos'2

'12

'2

'11

xxx

xxx

1)cossin)(sincos(2

)cossin(1

)sincos(1

'2

'1

'2

'1122

2'2

'12222

o

2'2

'12222

o

xxxxE

xxEn

xxEn

由此得到：

经整理后得到：

1)2cos2sin(2

)2sin2cos(1

)2sin2cos(1

'2

'11222

2'212222

o

2'112222

o

xxEE

xEEn

xEEn

2

1

12

2tan

02cos2sin

E

E

EE

若 x1 、 x2 为主轴方向，则上式中的交叉项应等于零，有：

因为 E1 、 E2 是外加电场 E 在 x1, x2 方向上的分量， E 的取向不同，则 E1,E2 不同，因而截线椭圆的主轴取向也不同。当电场 E 沿 x1 方向时， E1 =E, E2=0 ，则相应的 =45° ，即截线椭圆的主轴相对原方向 x1, x2 旋转了 45° 。

当电场 E 沿 x2 方向时， E1 =0, E2 =E, =0 ，即截线椭圆主轴方向不变。 实际上，当 E1 = E 时， 感应折射率椭球的主轴除绕 x3 轴旋转 45 外，还再绕 x1 轴旋转一个小角度 ：

1222o

2e

151

11

22tan

Enn

E

当 E=E2 时，感应折射率椭球的主轴绕 x1 轴旋转一个小角度 ， 角大小满足：

2o

2e

222

251

11

22tan

nnE

E

由于 和 都很小，通常均略去不计。于是，在感应主轴坐标系中，截线椭圆方程为：

1)2sin2cos(1

)2sin2cos(1

'112222

o

2'112222

o

xEEn

xEEn

1

)2sin2cos(21

1

)2sin2cos(21

1

2

12222o

2o

2'2

2

12222o

2o

2'1

EEnn

x

EEnn

x利用 关系得： nxx n 1)1(

因此，可求得折射率的改变量为：

)2sin2cos(2

1

)2sin2cos(2

1

12223oo1

12223oo1

EEnnn

EEnnn

若外加电场 E 与 x1 轴的夹角为 ，则：

sin

cos

2

1

EE

EE

2

1cotE

E

tan 2 = cot

=90 2

将以上两式比较可得：

由此可得下列结果：

Enn

EEnnn

Enn

EEnnn oo

223oo

2222

3oo

'2

223oo

2222

3'1

2

1

)2sin2cos(2

12

1

)2sin2cos(2

1

当光沿 x3 方向传过 l 距离后，由于线性电光效应引起电光延迟为：

Elnlnn 223o

'2

'1

π2)(

π2

相应的半波电压为：

l

d

nU

223o

2/ 2

式中， l 是光传播方向上晶体的长度； d 为外加电场方向上晶体的厚度。

由此可见，在 LiNbO3 晶体 x1Ox2 平面内外加电场，光沿x3 方向传播时，可以避免自然双折射的影响，同时半波电压较低。因此，一般情况下，若用 LiNbO3 晶体作电光元件，多采用这种工作方式。在实际应用中应注意，外加电场的方向不同 (例如，沿 x1 或 x2 方向 ) ，其感应主轴的方向也不相同。

C. GaAs 、 BGO 型晶体的线性电光效应 GaAs(砷化镓 ) 晶体属于 43 m 晶体点群，这一类晶体还有InAs(砷化铟 ) 、 CuCl(氯化铜 ) 、 ZnS(硫化锌 ) 、 CdTe(碲化镉 )

等； BGO(锗酸铋 ) 晶体属于 23 晶体点群，这一类晶体还有 SO

(硅酸铋 ) 等，它们都是立方晶体，在电光调制、光信息处理等领域内，有着重要的应用。 这类晶体未加电场时，光学性质是各向同性的，其折射率椭球为旋转球面，方程式为：

20

23

22

21 nxxx

式中 x1, x2, x3 坐标取晶轴方向。它们的线性电光系数矩阵为

41

41

41

00

00

00

000

000

000

][

ij

因此，在外加电场后，感应折射率椭球变为：

1)(2 2131323214120

23

22

21

xxExxExxE

n

xxx

在实际应用中，外加电场的方向通常有三种情况：电场垂直于 (001) 面 ( 即沿 x3 轴方向 ) ，垂直于 (110) 面和垂直于 (111)

面。

(1) 电场垂直于 (001) 面的情况 当外加电场垂直于 (001) 面时，与 KDP 型晶体沿 x3 轴方

向加电场情况相似，类似处理方法可以得到： 晶体的光学性质由各向同性变为双轴晶体，感应折射率

椭球的三个主轴方向由原折射率椭球的三个主轴绕 x3 轴旋转 45° 得到，感应主折射率分别为 :

0'3

341300

'2

341300

'1

2

12

1

nn

Ennn

Ennn

E 垂直 (001) 面的感应主轴

当光沿 x3 轴方向传播时，电光延迟为 :

34130

π2Un

Und

l41

30

π

式中， U3 是沿 x3 轴方向的外加电压。当光沿 x1 轴方向 ( 或

x2 轴方向 ) 传播时，电光延迟为 :

式中， l 是沿光传播方向上晶体的长度； d 是沿外加电压方向上晶体的厚度。

(2) 电场垂直于 (110) 面的情况 当外加电场方向垂直于 (110) 面时，感应主轴 x3垂直于(110) 面， x1 和 x2 的夹角为 (001) 面所等分，三个感应主折射率分别为 :

0'3

41300

'2

41300

'1

2

12

1

nn

Ennn

Ennn

式中， l 是晶体沿 x3 轴方向的长度； d 是晶体沿垂直于 (110) 面的厚度。

Und

l41

30

π2

这时晶体由各向同性变为双轴晶体，当光沿 x3 方向传播时，电光延迟为 :

(3) 电场垂直于 (111) 面的情况 当外加电场方向垂直于 (111) 面时，晶体由各向同性变为单轴晶体，光轴方向 (x3) 就是外加电场的方向，另外两个感应主轴 x1 和 x2 的方向可以在垂直于 x3 轴的 (111) 面内任意选取。相应的三个主折射率为：

'e41

300

'3

'o41

300

'2

'1

3

132

1

nEnnn

nEnnnn

图 5-7 E垂直于 (111) 面的感应主轴

当光沿 x3 轴方向传播时，没有电光延迟。当光沿垂直于 x3

轴方向传播时，电光延迟为 :

Und

l41

30

π3

式中， l 为晶体沿光传播方向的长度； d 为晶体沿外加电场方

向的厚度。

作 业

1 ， 2 ， 3