Теоретическая часть

Определение: уравнение, содержащее тригонометрические функции, называется тригонометрическим уравнением

Основные методы решения тригонометрических

уравнений

1. Простейшие. К ним относятся уравнения вида

( ) ( )) где( ), где(

,1 cos ,1 sin

RаactgxRаatgx

aaxaax

∈=∈=≤=≤=

Формулы решений этих уравнений имеют следующий вид (здесь и в дальнейшем означает, что n- целое число):

(4) . , ;

(3) ; , ;

(2) ; ,2arccos ;cos

(1) ; ,arcsin)1( ;sin

Znnarcctgaxactgx

Znnarctgaxatgx

Znnaxax

Znnaхax n

∈+==∈+==

∈+±==∈++−==

ππ

ππ

Необходимо повторить частные случаи решения уравнений при а=0, а=1 и а= -1

Уравнения вида

( ) ( )( ) ( ) bxctgbxtg

axax

=+=+=+=+

ϕωϕωϕωϕω

,

,cos ,sin

ba , ,0 ,1( ϕω ≠< - любые действительные числа) также относятся к простейшим

Их следует решать сразу по формулам (1)-(4), заменив на t

ϕω +х

Необходимо помнить, что:

( )( )

( )( ) arcctgaaarcctg

arctgaaarctg

aa

aa

−=−−=−

−=−−=−

π

π

)4

, )3

,arccosarccos )2

,arcsinarcsin )1

Можно напомнить формулы корней уравнений вида:

[ ) Zkkaarctgxaaxtg

Zkkaxaax

Zkkaxaax

∈+±=∞∈=

∈+±=≤≤=

∈+±=≤≤=

, ,;0 ,

; ,arcsin ,10 ,sin

; ,arccos ,10 ,cos

2

2

2

π

π

π

2.Общий прием

Он заключается в том, что все тригонометрические функции, которые входят в уравнение, выражают через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента

3. Методы группировкиПутем группировки слагаемых

уравнение привести к виду, когда левая часть разложена на множители, а правая часть равна нулю. Уравнение распадается на несколько более простых уравнений. При решении уравнений этим методом возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибки в ответе, нужно исключить из полученных значений неизвестного те, для которых заданное уравнение не имеет смысла

4. Уравнения, решаемые понижением степени

xx cos ,sin

( ) ( )αααα 2cos12

1cos ,2cos1

2

1sin 22 +=−=

Если тригонометрическое уравнение содержит в четвертой степени, то применим формулы понижения степени

5. Универсальная подстановка

cxbxa =+ cossin

21

2sin

t

tx

+=

2

2

1

1cos

t

tx

+−=

Znnx ∈+= ,2ππ

При решении уравнений вида

удобно применять универсальную подстановку . Тогда ,а . Уравнение становится рациональным. После нахождения его решения надо проверить, не удовлетворяют ли исходному уравнению числа

tx

tg =2

6. Однородные уравнения и приводимые к ним

.0sinsincossincoscos

,0sinsincoscos

,0sincos

3223

22

=+++=++

=+

xdxxcxxbxa

xcxxbxa

xbxa

tgx

Однородные уравнения, т. е. уравнения вида:

и т. д. (у всех слагаемых сумма показателей одинакова) приводятся к алгебраическим относительно путем деления обеих частей уравненияна соответственно( )0cos,0cos0cos 32 ≠≠≠ xxx

xxсos 22 sin+

Некоторые уравнения можно сделать однородными путем замены 1 на

с помощью различных преобразований функций, входящих в уравнение и т. д.

Например:

( ) ( ) 02

sin2

cos2

sin22

cos

2sin

2cos

2cos

2sin2

2sin

2cos

sincos

22

2222

=+−+−⇒

⇒

+=+

−

⇒=++

xca

xxb

xca

xxc

xxb

xxa

cxbxa

получили однородное уравнение второй степени

7. Способ подстановки

,cossin txx =txx =± cossin

Рассмотрим уравнения, для которых удобно применять различные подстановки:

1)2)

8. Введение вспомогательного угла

Суть метода в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента , а затем производят тригонометрические преобразования

ϕ

cxbxa =+ cossin,0,0,0 ≠≠≠ cba

:22 ba +

Покажем, что любое линейное уравнение, , где можно

решить этим методом.Разделим обе части уравнения на

222222cossin

ba

cx

ba

bx

ba

a

+=

++

+

1

2

22

2

22=

++

+ ba

b

ba

a

++ 2222;

ba

b

ba

a

2222sin,cos

ba

b

ba

a

+=

+= ϕϕ

ϕϕ

Так как , то точка с координатами лежит на единичной окружности. Следовательно, существует такое число (такой угол ), что

cxbxa =+ cossin

( ) .sin,sincoscossin2222 ba

cx

ba

cxx

+=+

+=+ ϕϕϕ

Поэтому уравнение можно записать в виде:

Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим, решение которого известно

Практическая часть

−=+

42cos324 2 πx

сosx

Решение.

( ).5cos4sin3

sin13cos48

2cos1

2

13cos24

=−⇔+=+⇔

−+⋅=+

xx

xx

xxπ

Последнее уравнение можно решать разными способами

сosx

xxxxсos 22 cos13cos455cos413 −=+⇒=−−±

( )

Zkkx

xx

x

xx

xxсosx

∈+

−±=⇒

⇒−=⇒=+⇒

⇒=+⇒

⇒=++⇒

⇒−=++

,25

4arccos

5

4cos04cos5

04cos5

016cos40cos25

cos99cos164025

2

2

22

ππ

1.Решим его, перейдя к функции :

(берем «+», т. к. слева выражение положительное). Возведя обе части в квадрат, получим:

tx

tg =2

( )

( ) .03096096

05544651

14

1

6

222

222

2

2

=−⇒=+−⇒=−+−⇒

⇒=−−+−⇒=+−−

+ttttt

tttt

t

t

t

Znnarctgx

Znnarctgxx

tgt

∈+=⇒

⇒∈+=⇒=⇒=

,32

,32

32

3

π

π

2. Воспользуемся универсальной подстановкой :

+=

−−

2cos

2sin5

2sin

2cos4

2cos

2sin6 2222 xxxxxx

,02

sin2

cos2

sin62

cos9 22 =−+− xxxx

Zmmarctgx

Zmmarctgxx

tgx

tg

xtg

xxxx

∈+=

∈+===−

=

−=+−

,32

,,32

,32

,02

3

,02

3 ,02

sin2

cos2

sin62

cos92

22

π

π

02

cos2 ≠x

,022

69 2 =+− xtg

xtg

3. Сведем его к однородному уравнению

разделим обе части последнего уравнения на , получим:

( ) 543 22 =−+

.5

4cos,

5

3sin ,1cos

5

4sin

5

3 −===− ϕϕxx

( )

Zkkx

ZppxZppx

xxx

∈+

−±=

−±=

∈+=∈=−=−=+

,25

4arccos ,

5

4arccos

,,2,,2

,1cos ,1coscossinsin

πππϕ

πϕπϕϕϕϕ

4. Решим с помощью введения вспомогательного угла:

Разделим обе части уравнения на :

Поэтому уравнение можно записать в виде:

Znnx ∈+= ,2ππ

( ) ( ) ,54 ,42cos42sin3 ≠=+−+ nn ππππ

Zmmarctg ∈+ ,32 π

Zkk ∈+

−± ,2

5

4arccos ππ

Проверяем, является ли решением данного уравнения:

значит, не является.

Ответ. или

,32

=xtg

5

4

91

91

21

21

cos2

2

−=+−=

+

−=

xtg

xtg

x

Замечание: сравнивая найденные ответы 2 и 3 с ответами 1 и 4, видим лишь внешнее различие.Но если то

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ

( ) ( ) 03cossin162sin15 =+−−− xxx

Решение. В примере встречаются разность синуса и косинуса и их произведение. Обозначим

Отсюда следует

Уравнение примет вид:

Решая его, получаем корни 3 и .

Стало быть, или

.cossin txx =−

.12sincossin2coscossin2sin 2222 txxxtxxxx −==⇒=+−

( )( ) 0316115 2 =+−−− tt

5

1

3cossin =− xx5

1cossin =− xx

( ) ( ) .03cossin162sin15 =+−−− xxx

Первое уравнение

не имеет решений, так как

3cossin =− xx

2cossin ≤− xx

Второе решим с

помощью введения вспомогательного

угла, т. е. . Отсюда

Ответ.

.5

1cossin =− xx

5

1

4sin2 =

− πx

( ) ( ) .,10

2arcsin1

4,

10

2arcsin1

4Znnxnx nn ∈+⋅−+=+⋅−=− ππππ

( ) Znnn ∈+⋅−+ ,10

2arcsin1

4ππ

Замечание: Так как

Можно было бы сразу уравнение переписать в виде:

( ) ( ) 03cossin16cossin5 2 =+−−− xxxx

( ) .cossin2sin1 2xxx −=−