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第二章 行列式. 第二章 行列式. 行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 行列式的应用. 第二章 行列式. 第一节 行列式的定义. 一、排列及逆序 二 、 n 阶行列式的定义. 由 组成的一个有序数列称为一个. n 级排列的总数是. 一、排列及逆序. 定义 1. n 级排列。. 45312 是一个 5 级排列. 321 是一个 3 级排列，. 例如：. 即. 这个 排列具有 自然顺序. 12 ∙∙∙ n 是一个 n 级排列，. 按递增顺序排起来的. 逆序. 逆序. 逆序. 逆序. 逆序. - PowerPoint PPT Presentation
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第二章 行列式
第二章 行列式
• 行列式的定义• 行列式的性质• 行列式的计算•行列式的应用
第二章 行列式
第一节 行列式的定义
一、排列及逆序
二、 n 阶行列式的定义
一、排列及逆序
定义1
由 组成的一个有序数列称为一个n,,2,1
n 级排列。
n 级排列的总数是 n! .
例如：321 是一个 3 级排列，
12∙∙∙n是一个 n级排列，这个排列具有自然顺序 . 即
按递增顺序排起来的 .
45312 是一个 5 级排列 .
在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们
例如 排列 32514 中，
定义 2
3 2 5 1 4
逆序
逆序
逆序
逆序
nj j j . 1 2
其逆序数为 5 .
逆序
个排列的逆序数，排列 j1j2∙∙∙jn 的逆序数记为就称为一个逆序 . 一个排列中逆序的总数就称为这
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数字个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，各个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 .
计算排列逆序数的方法
例 1 求排列 45321 的逆序数 .
解 在排列 45321中 ,
4 排在首位 , 逆序数为 0;
4 5 3 2 10 0 2 3 4
5 的前面没有比 5 大的数 , 其逆序数为 0;
3 的前面比 3 大的数有 2个 , 故逆序数为 2;
1 的前面比 1 大的数有 4个 , 故逆序数为 4;
2 的前面比 2 大的数有 3个 , 故逆序数为 3;
逆序数为奇数的排列称为奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为偶排列 .
排列的奇偶性
于是排列 45321 的逆序数为
45321 0 0 2 3 4 .9
例如 排列 45321 就是个奇排列。
321212 nnn
解
12
,
21
nn
当 时为偶排列；14,4 kkn
当 时为奇排列 .34,24 kkn
1 n 2 n
32121 nnn 1n
2n
例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性 .
二、 n 阶行列式的定义
定义 3 阶方阵对任意n ,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
11 12 1
21 22 2
1 2
称
为 A 的行列式，记作 或 det A .A
A 的行列式表示一个与 A 相联系的数或表达式，这个数称为行列式的值 .
nnjjj aaa 21 21
的乘积项
njjj 21 n,,2,1 这里的代数和 , 是 ,的一个排列
项求和，故共有 !n 符号：每一项按下列规则带有
当 为偶排列时，带有正号；njjj 21 当 njjj 21
为奇排列时，带有负号。
这一定义可以写成
个元素不同列的行的值等于所有取自不同 nA
级排列求和。表示对所有其中 nnjjj
21
n
n
jjj
jjj
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
21 )(
21
22221
11211
)1( nnjjj aaa
21 21
.1111 aa 规定一阶行列式
n 阶矩阵的行列式称为 n 级行列式 .
说明
1 、行列式是一种特定的算式，它是一个与方阵相关的数或表达式。
n2 、 阶行列式是 项的代数和 ;!n
3 、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积 ;
n n
5 、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa
4 、 的符号为nnjjj aaa 21 21 .1 )( 21 njjj
例 2 计算
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0 222
11211
上三角行列式
展开式中乘积项的一般形式是 .21 21 nnppp aaa
,11 npn ,1,2, 12 pp
即不为零的项只有 .2211 nnaaa
nn
n
n
a
aa
aaa
00
0 222
11211
nnn aaa
2211121
.2211 nnaaa
解
要考虑 pn=n 的那些项 .
行列式中第 n 行的元素除去 ann 以外全为零，因此只第 n-1 行中，除去 an-1,n-1,
an-1,n 外其余元素全为零， 同理可得 pn-2=n-2 ，
所以只能取 由于 pn=n ，
例 3 ?
8000
6500
1240
4321
D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD .1608541
同理可得下三角行列式
nnnnn aaaa
aa
a
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa
;21 n
n
1
2
对角行列式
特别地，
单位阵 I 的行列式
I 1
1
2 1 2
1 2 1 1 1
1 2 1
0 0 0
0 0
0
n
,n n
n , n ,n n ,n
n n n ,n nn
a
a a
A
a a a
a a a a
n n
n ,n na a a .
1
21 2 1 11
例 5 已知
.3的系数求 x
解 含 的项有两项 , 即3x
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
43342211
12431 aaaa 44332211)1234(1 aaaa
x x x . 3 3 32
因此， x3 项的系数是－ 1 .
阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 !n
小结
(1) n 级排列
1 排列及逆序由 1,2,···,n组成的一个有序数列
(2) 逆序及逆序数(3) 奇排列与偶排列2 行列式
行列式是一个与方阵相关的数或表达式 . n 阶行
的 n 个元素的乘积 , 正负号由下标排列的逆序数决定 .
第二章 行列式
第二节 n 阶行列式的展开公式
一、余子式与代数余子式
二、行列式按行 (列 ) 展开的法
则
从 n 阶行列式的定义可知，
a aa a a a .
a a 11 12
11 22 12 2121 22
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa.322311 aaa
322113 aaa312312 aaa
312213 aaa 332112 aaa
a aa
a a 22 23
1132 33
3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa
a aa
a a 21 23
1231 33
a aa .
a a 21 22
1331 32
一、余子式与代数余子式
划去元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列，
nnnjn
iniji
nj
aaa
aaa
aaa
1
1
1111
在 n 阶行列式中，定义 1
素按原来的排法构成的一个 n－ 1 阶行列式称为元素aij的余子式，记作 Mij , 称 (－ 1)i+jMij为 aij 的代数余子式，记为 Aij , 即 Aij=(－
1)i+jMij .
剩下的 (n-1)2 个元
例如
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D 23M
2332
23 1 MA ,23M
11 12 14
31 32 34
41 42 44
a a a
a a a
a a a
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D 12M
1221
12 1 MA .12M
21 23 24
31 33 34
41 43 44
,
a a a
a a a
a a a
277
010
353
D
1111 , AM
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ,
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M
.1 444444
44 MMA
注意： 只与该元素所处位置一个元素的代数余子式
多少无关！相关；而与该元素等于
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3331
232113
3331
232112
3332
232211 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
131312121111 AaAaAa
上式推广后即得
M11 M12 M13a11 a 12 a 13
定理 1 n 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
n
kikikininiiii AaAaAaAa
12211 ni ,,2,1
二、行列式按行（列）展开法则
n
kkjkjnjnjjjjj AaAaAaAa
12211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
j , , ,n1 2
例 1 计算行列式277
010
353
D
解
27
01)1(3 11
D
.272106
按第一行展开，得
27
00)1()5( 21
77
10)1(3 31
注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得
2322
21 027
33)1)(1(0 AAD
.270270
05320
00140
00320
25271
02135
D例 2 计算行列式
解
05320
00140
00320
25271
02135
D
5320
0140
0320
2135
12 52
14
325)10(
.700)122(50
532
014
032
5)2(
5320
0140
0320
2135
12 52
例 3 计算
n
n
Dn
0000
00001
00200
01000
n n
n! .
1 2
21
解 按最后一行展开，有
n nD n
n
0 0 0 1
0 0 2 01
1 0 0 0
行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具 .
小结
n
i i i i in in ik ikk
D a A a A a A a A
1 1 2 21
n
kkjkjnjnjjjjj AaAaAaAa
12211
在按行、按列展开时，建议挑选含零最多的行、列 .
第二章 行列式
第三节 行列式的性质
• 行列式的性质• 应用举例
性质性质 11 行列式与它的转置行列式相等，即
行列式 称为行列式 的转置行列式 . TA A
设
TA
nna
a
a
22
11
2
121
n
n
a
aa
nn aa
a
21
12A
nna
a
a
22
11
n
n
a
aa
2
112
21
21
nn aa
a ,
.AAT
说明 行列式中行与列具有同等的地位 , 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 .
性质 2 如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零 .
性质 3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即
j n
i i ij ij in in
n nj nn
a a a
a b a b a b
a a a
11 1 1
1 1
1
j n
i ij in
n nj nn
a a a
a a a
a a a
11 1 1
1
1
j n
i ij in
n nj nn
a a a
b b b
a a a
11 1 1
1
1
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
i i n
i i n
n n ni ni nn
a a a a a
a a a a a
a a a a a
i n i n
i n i n
n ni nn n ni nn
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
11 1 1 11 1 1
21 2 2 21 2 2
1 1
性质性质 44 （行列式的“初等变换”）若将初等行（列）变换用于 n 阶行列式，则
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
.行展开即得按第事实上，等号两端同时 i
(1)行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数 ，等于用数 乘此行列式 .
(2) 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 k 然后加到另一列 (行 ) 对应的元素上去，行列式的值不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
1
22221
11111
i j j n
i j j jji
n ni nj nj nj
a a ka a a
a a ka a ac k
a a ka a a
11 1 1 1 1
21 2 2 2 2
1
k例如
从等号右端看，利用性质 3 、性质 4的（ 1 ）及性质 2 即得等号
左端。
(3)(3) 互换行列式的两行（列） , 行列式变号 .
证明证明 设行列式写成分块形式，则
njiA ,,,,,1
njji
c ji
,,,,,1
)1(
niji
cij
,,,,,1
)1(
nij
c ji
,,,,,1
)1(
j i n, , , , , 1
,
571571
266853
.
8
2
5
8
2
5
3
6
1
5
6
7
5
6
7
3
6
1
266853
例如，有
推论推论 11 某一行（列）元素全为零的行列式等于零．
推论推论 22 若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零 .
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
21
21
21
11211
.0
推论推论 33 对 n 阶行列式及数 k, 有 ．AkkA n
ij ijR C
i iR C
ij jiR k C k
对三类初等矩阵，有
I . 1
I .
I . 1
