April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 1

第一章 行列式 (determinant)

第二次课

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 2

第二节 n 阶行列式的定义

11 12 1

21 22 2

a x a y b

a x a y b

1 22 2 12 1 21 2 11

11 22 12 21 11 22 12 21

,b a b a b a b a

x ya a a a a a a a

1 2,b b

11 22 12 21 0a a a a 对任意的 都有解要

求

。

首先考虑线性方程组

形式上有解

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 3

称 为二阶行列式，记为11 22 12 21a a a a

11 1211 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a

命题 上面方程组有惟一解可以表述为： 当系数二阶行列式不为零时有惟一解

1 12 11 1

2 22 21 2

11 12 11 12

21 22 21 22

,

b a a b

b a a bx y

a a a a

a a a a

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 4

我们现在考虑前两个方程

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a x a y a z b

a x a y a z b

a x a y a z b

三元一次方程组：

11 12 13 1

21 22 23 2

a x a y a z b

a x a y a z b

11 12 1 13

21 22 2 23

a x a y b a z

a x a y b a z

或

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 5

1 13 12 11 1 13

2 23 22 21 2 23

11 12 11 12

21 22 21 22

,

b a z a a b a z

b a z a a b a zx y

a a a a

a a a a

按前面的想法可以解出 x 和 y如下

13 12 11 131 12 11 1

23 22 21 232 22 21 2

11 12 11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22 21 22

,

a a a ab a a b

a a a ab a a bx z y z

a a a a a a a a

a a a a a a a a

即

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 6

13 12 11 13 11 1231 32 33

23 22 21 23 21 22

11 12 1 12 11 13 31 32

21 22 2 22 21 2

a a a a a aa a a za a a a a a

a a b a a bb a aa a b a a b

代入第三个方程，有

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 7

它定义成三阶行列式，即：

11 22 33 12 23 31 13 21 32

11 23 32 12 21 33 13 22 31

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

上式的左端 z 的系数为

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 12 23 31 13 21 32

11 23 32 12 21 33 13 22 31

a a a

a a a

a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 8

11 12 111 22 3 12 2 31 1 21 32

21 22 211 2 32 12 21 3 1 22 31

31 32 3

a a ba a b a b a b a a

a a ba b a a a b b a a

a a b

那么右端项是：

为三阶行列式

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 9

请注意正负号的记忆方法

二阶行列式

三阶行列式

正负对角线！！ ( 高阶矩阵怎么办？？ )

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院

31 2, ,DD D

x y zD D D

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

D a a a

a a a

1 12 13

1 2 22 23

3 32 33

b a a

D b a a

b a a

11 1 13

2 21 2 23

31 3 33

a b a

D a b a

a b a

11 12 1

3 21 22 2

31 32 3

a a b

D a a b

a a b

当系数组成的三阶行列式不为零方程组有唯一解：

其中：,

,

,

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院

现在二个变元，三个变元的线性方程组可以用这种方式解，那么 n个变元可不可以？

本章的目的之一的就是解 n个变元的方程组（ Cramer 法则）。

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院

观察：

1. 二阶行列式有二项，三阶行列式有六项； n阶？？2. 正负号项各半，符号与某种排列相关；3. 每一项中，某一行的元素只有一个，某一列的元素也只有

一个；例如 3阶行列式中的一项是 ，它的行下标是 123，列下标是 312，行（列）下标中没有重复的。

4. 交换两行或列时，行列式变号；

5.

12

11 12 1322 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院

11 22 33

12 23 31

13 21 32

123

231

312

a a a

a a a

a a a

12 21 33

13 22 31

11 23 32

213

321

132

a a a

a a a

a a a

另外我们可以观察行列式各项的下标试图找出正负号的规律：

正项： 负项：

在行号都按 123排列的情况下，正的列号排列是 123 ， 231 ，312，负的列号排列是 213 ， 312 ， 132。事实上，我们也可以将列按 123排列，讨论行的排列。

可以观察到的是下标的逆序个数，我们发现偶数个逆序的排列都对应正号，奇数个逆序排列都是对应负号。这

正是我们上一节讨论的东西： 排列与对换。

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院

假设有 n2 个数 ，它们排成 n行 n列记成

n 阶行列式（构造定义）14

, , 1, 2,...,ija i j n

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

ija

我们根据对 2阶与 3 阶行列式的观察来定义 n阶行列式。

称为 n 阶行列式。 是行列式第 i行第 j列的数或元， n阶行列式是下面所有项之代数和

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院

2. 它的符号由排列 的奇偶性决定，当为偶排列是取正号，否则取负号

1 2 31, 2, 3, ,...nj j j n ja a a a

1 2 3... nj j j j1 2 3... nj j j j

1. 每项是 n个元的乘积，这些元在行列式中每行有一个，每列有一个，因此每项可以写成如下的形式（第一个下标是行第二个下标是列）

3. 因为所有 1 到 n的 n阶排列有 n!个，所以行列式共有 n!项

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院

1 2 3

1 2 3

1 2 3

11 12 13 1

21 22 23 2( ...

31 32 33 3 1, 2, 3, ,...

1 2 3

( 1) ...n

n

n

n

nj j j j

n j j j n jj j j j

n n n nn

a a a a

a a a a

a a a a a a a a

a a a a

)

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院

1 1

2 2,

3

4 n

11 12 13 1

22 23 2

33 3

0

0 0

0 0 0

n

n

n

sn

a a a a

a a a

a a

a

11

22

33

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 sn

a

a

a

a

特殊行列式的计算

2.

1.

,

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院

1 2 3 1 1 2 2 3 31, 2, 3, , , , , ,... ...n n nj j j n j i k i k i k i ka a a a a a a a

1 2 3(123... ) ( ... )nn j j j j 1 2 3 1 2 3( ... ) ( ... )n ni i i i k k k k

1 2 3 1 2 3 1 2 3(123... ) ( ... ) ( ... ) ( ... )n n nn j j j j i i i i k k k k

1 2 3 1 2 3( ... ) ( ... )( 1) n ni i i i k k k k

思考：为什么定义中规定行下标要顺序排列，而列下标不要？事实上，某一项的乘积中因子的顺序是任意的，即我们可以写出

“ ”自然此时要考虑 行列 的逆序总数： 与

123...n 1 2 3... nj j j j 1 2 3... ni i i i

1 2 3... nk k k k注意用同样的对换：排列 与 分别变成排列 与

。所用的对换个数一定是偶数（行对换 +列对换 =2*行对换），因此

也就是说，行列式各项的符号是：

(奇偶意义下 )

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 19

1 2 3 1 2 31, 2, 3, , ,1 ,2 ,3 ,... ...n nj j j n j l l l l na a a a a a a a

1 2 3 1 2 3(123... ) ( ... ) ( ... ) (123... )n nn j j j j l l l l n

11 12 13 1 11 21 31 1

21 22 23 2 12 22 32 2

31 32 33 3 13 23 33 3

1 2 3 1 2 3

n n

n n

n n

n n n nn n n n nn

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

重要：如果

（元素的排列不一样），显然有

这说明：行列指标在行列式中是对称的，即

(奇偶意义下 )

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( ...1, 2, 3, ,

...

( 1) ...n

n

n

j j j jj j j n j

j j j j

a a a a )

11 21 31 1

12 22 32 2

13 23 33 3

1 2 3

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( ...,1 ,2 ,3 ,

...

( 1) ...n

n

n

l l l ll l l l n

l l l l

a a a a )

此为行列式的性质之一。这一证明中，特别注意求和的顺序。例如按定义可得：

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 21

证明可以有不同的思路，例如：我们设法去证明第一个和号下的每一项都是第二个和号下的一项，反过来也是一样；再证明它们的项数相等。

1 2 3 1 2

1 1 2 2 3 3

1 2 1 2 3

( ... ( ... ), , , ,

... ...

( 1) ...n n

n n

n n

l l l l k k kl k l k l k l k

k k k l l l l

a a a a )+

讨论两重求和：

April 20, 2023北京大学工学院北京大学工学院 22

第二次课作业第二次课作业 P28. 作业 4 ， 6 思考 7