利用通項公式求出新數列的公差，從而得出新數列亦為一等差數列。

18.18. 等差數列及等比數列等差數列及等比數列

則 d = T(n+1) － T(n) 。把數列的每一項均乘以 k，

可得出數列 kT(1) ， kT(2) ， kT(3) ，…

設新數列的通項為 Q(n) ，

∵ kd 為一常數∴ kT(1)+m ， kT(2)+m ， kT(3)+m ，…亦為一等差數列

設等差數列 T(1) ， T(2) ， T(3) ，…的公差為 d ，

去中括號抽公因式

更多有關等差數列及等比數列的性質：(a) 若 T(1) ， T(2) ， T(3) ，…為一等差數列，則 kT(1)+m ， kT(2)+m ， kT(3)+m ，…亦為一等差數

列。

= kT(n+1)+m － 則 Q(n+1) － Q(n) = [kT(n+1)+m] － [kT(n)+m]

= k[T(n+1) － T(n)]

= kd

[kT(n)+m]

kT(n) － m

然後加上 m， 可得出數列 kT(1)+m ， kT(2)+m ， kT(3)+m ，…

例例 若等差數列 a1 ， a2 ， a3 ，…的公差為 d ，證明 3a1+5 ， 3a2+5 ，3a3+5 ，…為一等差數列，再求出其公差。等差數列 a1 ， a2 ， a3 ，…的公差為 d ，

可得出數列 3a1+5 ， 3a2+5 ， 3a3+5 ，…每項均乘以 3 ，然後加上 5 ， 則 d = an+1 － an 。

根據等差數列的性質3a1+5 ， 3a2+5 ， 3a3+5 ，…亦為一等差數列。

新數列的公差 = (3an+1+5) － (3an+5)

= 3an +1+5 － 3an － 5

= 3(an +1 － an)

= 3d

18.18. 等差數列及等比數列等差數列及等比數列更多有關等差數列及等比數列的性質：(a) 若 T(1) ， T(2) ， T(3) ，…為一等差數列，則 kT(1)+m ， kT(2)+m ， kT(3)+m ，…亦為一等差數

列。

利用通項公式求出新數列的公比，從而得出新數列亦為一等比數列。把數列的每一項均乘以 k (k 0)，

可得出數列 kT(1) ， kT(2) ， kT(3) ，…

設新數列的通項為 Q(n) ，

∴ kT(1) ， kT(2) ， kT(3) ，…亦為一等比數列

設等比數列 T(1) ， T(2) ， T(3) ，…的公比為 r ，

約分

等比數列的公比

更多有關等差數列及等比數列的性質：(b) 若 T(1) ， T(2) ， T(3) ，…為一等比數列，則 kT(1) ， kT(2) ， kT(3) ，…亦為一等比數列 ( 其中 k

0) 。

= r

18.18. 等差數列及等比數列等差數列及等比數列

則 r = 。

T(n) T(n+1)

則

Q(n) Q(n+1)

= kT(n)

kT(n+1) =

kT(n) kT(n+1)

= T(n)

T(n+1)

例例 (i) 證明 4 ， 16 ， 64 ， 256 ， 1 024 ，…為一等比數列。

由此，求該數列的通項 T(n) 。

∴ 4 ， 16 ， 64 ， 256 ， 1 024 ，…為一等比數列

證明：

T(1) T(2)

= 4 16 =

4

T(2) T(3)

=

16 64

=

4 T(3) T(4)

= 64 256

=

4

T(1) T(2)

T(2) T(3)

= T(3) T(4)

= =

4

∴ T(n) = 4(4)n － 1 = 4n

等比數列的公比

18.18. 等差數列及等比數列等差數列及等比數列更多有關等差數列及等比數列的性質：(b) 若 T(1) ， T(2) ， T(3) ，…為一等比數列，則 kT(1) ， kT(2) ， kT(3) ，…亦為一等比數列 ( 其中 k

0) 。

例例 (ii) 若把 (i) 部數列中的每一項均乘以 2 ，便得出一個新數列。

求新數列的通項 Q(n) 。

∴ Q(n) = 8(4)n － 1 = 2(4)n

每項均乘以 2 ，可得出數列 8 ， 32 ， 128 ， 512 ， 2 048 ，…根據等比數列的性質

Q(1) Q(2)

Q(2) Q(3)

= Q(3) Q(4)

= Q(4) Q(5)

= 4 = 等比數列的公比

新數列的公比為 4 。

18.18. 等差數列及等比數列等差數列及等比數列

8 ， 32 ， 128 ， 512 ， 2 048 ，… 亦為一等比數列。

更多有關等差數列及等比數列的性質：(b) 若 T(1) ， T(2) ， T(3) ，…為一等比數列，則 kT(1) ， kT(2) ， kT(3) ，…亦為一等比數列 ( 其中 k

0) 。