2.2.1 等差数列

山东省广饶县第一中学 王忠伟

星期三的日期

September 九月 2010

日 一 二 三 四 五 六　 　 　 1 2 3 4　 　 　 廿三 廿四 廿五 廿六

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12 13 14 15 16 17 18初五 初六 初七 初八 初九 初十 十一

19 20 21 22 23 24 25十二 十三 十四 十五 十六 十七 十八

26 27 28 29 30 　 　十九 二十 廿一 廿二 廿三 　 　

定义的探究

1, 8, 15, 22, 29 ;

鞋的尺码，按照国家统一规定，有

23 ， 23.5 ， 24 ， 24.5 ， 25 ， 25.5 ，

…… ;

89 ， 83 ， 77 ， 71 ， 65 ， 59(cm) .

一个梯子共 6级，自下而上每一级的宽度为：

① 89 ， 83 ， 77 ， 71 ， 65 ， 59　;

③ 1 ， 8 ， 15 ， 22 ， 29.

说出每个数列的特点，并说明这些数列的共同特点是什么？

② 23 ， 23.5 ， 24 ， 24.5 ， 25 ， 25.5 ， ……；

从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 .

等差数列的定义

如果一个数列 {an} ，从第 2 项起每一

项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 .

②n≥2

③后项减前项④差都是 d

①至少三项

)2(1 ndaa nn

n+ na a d1 或者

⑤　　 1 ， 0 ， 1 ， 0 ， 1 ，…… .

练一练 判断下列数列是否是等差数列，并说明理由 .

④ 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ，…… ;

① 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9, …… ;

③　　-3 ， 1 ， 4 ， 7 ， 10 ，…… ;

② 1, , , , ……; 12

15

14

13

是 d=2

不是

是 d=0

不是

不是

根据定义你能举出等差数列的例子吗？

试一试

例 1 ．已知数列 {an} 的通项公式为an=3n － 5 ，这个数列是等差数列吗？ 解：因为当 n≥2 时，

an － an － 1=3n － 5 － [3(n － 1) － 5]=3 ，

所以数列 {an} 是等差数列，且公差为 3.

例题分析

n na a n1 3 ( 2)

判断下列数列是否为等差数列？并加以证明 .

⑴ 在数列 {an} 中， an=an+b (a,b 为常数） ;

⑵ 在数列 {an}　中， an=n2+n　.　 　

针对练习

等差数列的通项公式：

a a

a a

a a

2 1

3 2

4 3

3

3

3

……

a an n-1 3

a a nn 1 ( 1)3

a a n dn 1 ( 1)

累加法

n na a n1 3 ( 2)

n na a d n1 ( 2)

533)1(1 nnaan

变为

通项公式探究

例 2 ．已知等差数列 10 ， 7 ， 4 ，……； （ 1 ）试求此数列的通项公式及第 10 项； （ 2 ）－ 40 是不是这个数列的项？－ 56

是不是这个数列的项？如果是，是第几项？

例题分析

1. 在等差数列 中， ， ，求 和 d.105 a 3112 a a1}{ na解：设 na a n d1 ( 1) a a d5 1 (5 1) 10

a a d12 1 (12 1) 31 解得 , d 3 .

②

①

a1 2

变式训练

2 ．梯子共有 5 级，从上往下数第 1 级宽 35 厘米，第 5 级宽 43 厘米，且各级的宽度依次组成等差数列 {an} ，求第 2 ， 3 ， 4 级的宽度 .　

探究与思考

2. 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 与一次函数 y=kx+b 有什么关系？

1. 等差数列 {an},an=3n-5, 请你作出它的图象 . 并说明它与函数 y=3x-5 的图象的关系 .

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

nO-1

-2

an

7

8

9

10y=3x-5

　　　　　d≠0 时 an 是关于n 的一次函数an=an+b. 其图像是分布在直线上的一些散点 .

an ＝ a1 ＋ (n － 1)d=nd+(a1 － d)

课堂小结

结合本节课的内容，请谈一谈你有哪些收获与体会 .

　　　　　　　　

收获知多少？

　2. 掌握等差数列的通项公式，并能运用公 式解决一些简单的问题．

　　 an=a1+(n-1)d

1. 理解等差数列的概念．

an-an-1=d (n≥2,n∈N*)

3. 思想方法：归纳法，方程思想，累加法．

布置作业

必做题： P38　　练习 A　　1.(3),2.

选做题：已知等差数列的公差为d ，第 m 项为 am ，试求其第 n项 an.