一般化マクマホン立方体パズルの一般化マクマホン立方体パズルの問題例生成問題例生成

原口和也 柿崎幸大 丸岡章

石巻専修大学 理工学部 情報電子工学科

各面が相異なる 6 色で彩色された単位長の立方体使える 6 色は決められているものとする回転したものも同一とみなすと 30通りの彩色

適当な添字を付けてキューブ j(=1,...,30)と呼ぶ

マクマホン立方体マクマホン立方体

上面に１色固定

対面 : ５通り

側面 : (4-1)!=6 通り

56=30 通り

最初のマクマホン立方体パズル最初のマクマホン立方体パズル

モデル

残り 29個で長さ 2 の立方体を作れモデルとして与えられたキューブと同じ彩色内部では同じ色の面同士が接する

ConwayConway による解法による解法

本研究で考えるパズル本研究で考えるパズル

キューブ集合 S から長さ n の立方体を作れモデルとして与えられたキューブ j と同じ彩色内部の色は問わない

モデル（キューブ j ）

キューブ集合 S (|S|n3)整数 n2

作れるならば「 S は長さ n のキュー

ブ j を構成可能」

作れるならば「 S は長さ n のキュー

ブ j を構成可能」

関連研究関連研究[Berkove et al., 2008]n3 ならば任意のキューブ集合 S(|S|n3) から長さ n のあるキューブを構成可能

S は長さ 2 のキューブ j を構成可能 長さ n のキューブ j も構成可能|S|27 S は長さ 2 のあるキューブを構成可能

頂点： 3 色( 長さ 2 の解を割

当 ) 辺： 2色

面： 1 色2

n

研究成果研究成果

キューブ集合の空間

(n=2)

集合のサイズ

12

任意のキューブを構成可能

（万能キューブ集合）

任意のキューブを構成可能

（万能キューブ集合）

どのキューブも

構成不可能

どのキューブも

構成不可能

8

用語の準備：色トリプル用語の準備：色トリプル

頂点に接する 3 面の色を時計回り順に並べた 3 つ組

開始面によって 3 通り 同値とみなす

1 つのキューブは8 つの色トリプルを持つ

( 赤 , 水色 ,緑 )

( 赤 , 水色 ,緑 )

構成可能性の判定構成可能性の判定キューブ集合S はキューブj を構成できるか ?

...

S に含まれるキューブ

( 赤 , 水色 , 緑 )( 赤 , 水色 , 緑 )

( 赤 , 紫 , 水色 )( 赤 , 紫 , 水色 )

( 赤 , 緑 , 橙 )( 赤 , 緑 , 橙 )

( 赤 , 橙 , 紫 )( 赤 , 橙 , 紫 )

キューブ j の色トリプル

( 青 , 緑 , 水色 )( 青 , 緑 , 水色 )

( 青 , 水色 , 紫 )( 青 , 水色 , 紫 )

( 青 , 橙 , 緑 )( 青 , 橙 , 緑 )

( 青 , 紫 , 橙 )( 青 , 紫 , 橙 )

...

サイズ 8 のマッチングが存在

構成可能

サイズ 8 のマッチングが存在

構成可能

万能キューブ集合の判定万能キューブ集合の判定S に含まれるキュー

ブキューブ 1 の色トリ

プル......

キューブ 2 の色トリプル

キューブ 30 の色トリプル

30 個すべての生成部分グラフにおいて

サイズ 8 のマッチングが存在 S は万能キューブ集合

30 個すべての生成部分グラフにおいて

サイズ 8 のマッチングが存在 S は万能キューブ集合

最小サイズの万能キューブ集合を数理計画で求められ

る

最小サイズの万能キューブ集合を数理計画で求められ

る

ConwayConways tables table との関係との関係

ConwayConways tables table との関係との関係

色トリプルを共有しない キューブ構成に使えない色トリプルを共有しない

キューブ構成に使えない

各行各行 // 列から列から 22 個づつ選ばれることの必要性個づつ選ばれることの必要性

5 個選ばれる行 /列が存在5 個選ばれる行 /列が存在

3, 4 個選ばれる行 /列が存在する場合も同様

3, 4 個選ばれる行 /列が存在する場合も同様

今後の課題今後の課題

Conway’s Table における最小万能キューブ集合の必要十分条件 ?

各行各列からちょうど 2 個ずつ（⇒は証明済）対称行列（ not yet）

キューブ集合の空間

(n=2)

12どのモデルも構成不可能

どのモデルも構成不可能

8

<2722 ??

任意のキューブを構成可能

（万能キューブ集合）

任意のキューブを構成可能

（万能キューブ集合）