第四章弯曲应力

第四章弯曲应力

化学与化学工程学院

帅心涛

杆件变形的基本形式轴向拉伸或压缩：在一对作用线和直杆轴线重合的外力作用下，直杆的主要变形为长度改变。

扭转：在一对转向相反、作用面垂直于杆轴线的外力偶作用下，直杆的相邻横截面将绕轴线发生相对转动。

弯曲：在一对转向相反、作用面在包含杆轴线在内的纵向平面内的外力偶作用下，直杆的相邻横截面将绕垂直于纵向平面的某一横向轴发生相对转动，其轴线将弯成曲线。

剪切：在一对相距很近的大小相等、指向相反的横向外力作用下，直杆的主要变形为横截面沿外力作用方向发生相对错动。

§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图

弯曲的概念：杆件承受垂直于其轴线方向的外力 ,或在其轴线平面内作用有外力偶时 , 杆的轴线变为曲线 .

凡是以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁。

§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图力学模型：

构件几何特征：具有纵对称面的等截面直杆受力特征：横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内

变形特征：杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动

杆轴 X

F1

FA

F2

FB

y

z形心

X杆轴

纵向对称面

F1 F2

FA FB

§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲：构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面，故变形后的轴线必定是一条在该纵对称面内的平面曲线。平面弯曲：对称弯曲时，梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合。

对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。

qF eM

AyF ByF

xB

A

y

对称面向纵


非对称弯曲：若构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形

墙

梁

楼板

q

l

§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图梁的计算简图：由于研究对象是等截面的直梁，且外力为作用在梁纵对称面内的平面力系，因此梁的计算简图中就用梁的轴线代表梁。

固定端固定铰支座可动铰支座

悬臂梁简支梁

外伸梁

静定梁：如果梁具有 1个固定端，或具有 1个固定铰支座和 1个可动铰支座，则其支座反力可由静力平衡方程求解。

跨：梁在两支座间的部分，其长度称为梁的跨长。常见的静定梁大多是单跨的。


固定梁连续梁

半固定梁

§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图超静定梁：有时为了工程上的需要，对一个梁设置较多的支座，致使支座反力数目多于独立的平衡方程数目，仅用静力平衡方程无法求解。

均匀分布荷载线性 ( 非均匀 ) 分布荷载

分布荷载

Me

集中力偶

集中力

§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图作用在梁上的载荷形式

l

F

a

A B

FA FB

FA Fsx

AS FF

MxFM A

§2 梁的剪力和弯矩 . 剪力图和弯矩图剪力：梁横截面上、作用线平行于截面的内力分量，记为 Fs

弯矩：梁横截面上、作用线垂直于截面的内力偶矩，记为 M

Fs ＞ 0 Fs ＜ 0

M＞ 0 M＜ 0

§2 梁的剪力和弯矩 . 剪力图和弯矩图符号规定：使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；

使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。

l

Fl2 F

lA C D

B

CsF

lA C

AF

AM

AF

AM

CM

Fl2 F

lC DB

CsF

CM

FFCs

02 FlFlM C

FlM C

B

F

D

DsF

DM

FFDs

0DM

§2 梁的剪力和弯矩 . 剪力图和弯矩图

例题4.1 试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩


截开后取左边为示力对象：向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。截开后取右边为示力对象：向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力；向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。

例题 4.2 一长为 2m的均质木料，欲锯下 0.6m 长的一段。为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的弯矩为零。

AC D B

q

ma 6.0

x

ml 2

0 DM

xl

qxxlqFA

all

alqalFM AC

0

0

2

4.14.1

2

12 2

qx

xq

mx 462.0


§2 梁的剪力和弯矩 . 剪力图和弯矩图剪力方程：表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位置变化的函数，表示为 Fs=Fs(x)

弯矩方程：表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位置变化的函数，表示为 M=M(x)

剪力图：表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位置变化的图线，规定正值的剪力画在 x轴的上侧。

弯矩图：表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位置变化的图线，规定正值的弯矩画在梁的受拉侧，即 x轴的下侧。


q

l

A B

FA FBx

qxql

FS 2

22

2qxx

qlM

2

ql

2

ql

8

2ql

lA B

F

X

FxFS Lx 0

FxxM Lx 0

F

FL

kN

kNm


例题 4.3 图示悬臂梁 AB,自由端受力 F的作用 ,试作剪力图和弯矩图 .

m4

mkN 40 mkN10kN20

m1

A B

35kN 25kN

X1

kNxFS 201 10 1 x

11 20xxM 10 1 x

X2

22 1025 xxFS 40 2 x

2

102522

22

xxxM

40 2 x

20

15

2520

20

2.5

25.31

kN

kNm


例题 4.4 图示外伸梁 ,,试作剪力图和弯矩图 .


剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用

x

m

m

n

n

dx

y

x xFs

)()( xdFxF SS

)()( xdMxM

dx

m n

)(xq

m n

)(xM

0 sss dFFdxxqF qdx

dFs

02

2

dMMdxxq

dxFM SSF

dx

dM

qdx

MdF

dx

dMq

dx

dFS

s 2

2

0dx

dFs CFS 剪力图是水平直线 .

Cdx

dM 弯矩图是斜直线 .

0dx

dMCM 弯矩图是水平直线 .

qdx

dFs 剪力图是斜直线 .弯矩图是二次抛物线 .


剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用


若 x1,x2 两截面间无集中力作用 ,则 x2 截面上的 FS1 等于 x1 截面上的 FS1加上两截面之间分布荷载图的面积 .

若 x1,x2 两截面间无集中力偶作用 ,则 x2 截面上的 M2等于 x1 截面上的 M1加上两截面之间剪力图的面积 .

2

112

x

xSS dxxqFF

2

112

x

x S dxxFMM

dxxqdFx

x

F

F S

S

S 2

1

2

1

q

c

A C D B

AFa b

BFl

+-

AF

BFx

+aFA

bFB



突变规律 (从左向右画 )：集中力作用处， FS图突变，方向、大小与力同， M图斜率突变，突变成的尖角与集中力 F的箭头是同向；集中力偶作用处， M图发生突变，顺下逆上，大小与 M同， FS图不发生变化。

叠加原理：当所求参数（内力、应力或位移等）与梁上荷载为线性关系时，则由几项荷载共同作用时所引起的参数等于每项荷载单独作用下所引起的该参数的叠加。

弯矩图的叠加：在线弹性、小变形的条件下，梁横截面上的弯矩与荷载成线性关系。因此，由几项荷载共同作用时梁的弯矩图等于每项荷载单独作用下梁弯矩图的叠加。

AB

a

q

q2

qa

2

qa

a

2

qa

2

qa

2

qa2a 2a

8

2qa

8

2qa


结构对称，载荷反对称，则 FS图对称， M图反对称

2F2F

2F2F

2Fa2Fa

A B

F

a a aa2F2F

F

F


结构对称，载荷对称，则 FS图反对称， M图对称


例题 4.5 作图示梁的内力图kN3

A CD B

kNFB 2

E

mkN5.4 mkN 2

kNFA 10m1 m2 m2 m1

56.1x3

23

44.2

7

22kN kNm

4

m2m1

mkN 4mkN2kN6

m14.5

1.5

5.5

5.8

7

kN

kNm


例题 4.6

lA B

qFl

A B

F

Al

B

q

＋

FqL

F

F+qL

FL

1/2qL2

1/2qL2+FL


例题 4.7 叠加法作弯矩图

AC

B

Flm4

1F

2l2l C

A

B

F

2l2l

AC

Flm4

1

l

+

Fl4

1-

Fl4

1

+-

Fl8

1

Fl4

1



kN6 mkN2

m2 m2 m2

kN6

A CDB

mkN2

m2 m2 m2

+6

-4

+4

4

-



§3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架：由在同一平面内、不同取向的两根或两根以上的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。

弯矩图：画在杆受拉的一侧，不注明正负号。剪力图和弯矩图：可画在刚架轴线的任一侧，不过通常正值画在刚架的外侧，须注明正负号。

立柱

横梁当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。

q L

L

A

BC

qL

qL/2

qL/2qL

2

qL

)(kNFs

2

qL

)(kNFN

2

2qL

2

2qL )(kNmM

§3 平面刚架和曲杆的内力图例题 4.10 求做图示刚架的内力图

B

ql2

2

ql

yq

B

ql2

2

ql

解： 1 、确定约束力

2

2

ql

2 、写出各段的内力方程

FN(y)

FS(y)

M(y)

竖杆 AB ： A 点向上为 y

lyqyqlyF

qlqyyFF

S

Sx

0

00

lyqlyF

qlyFF

N

Ny

02/

02/0

lyqyqlyyM

qlyyqyyMyM

02/

02/02

y

例题 4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度 q,长度 l求做图示刚架的内力图

§3 平面刚架和曲杆的内力图

解：横杆 CB ： C 点向左为 x

lxqlxF

qlxFF

S

Sy

02/

02/0

lxxF

F

N

x

00

0

lxqlxxM

qlxxMxM

02/

02/0

B

ql2

2

ql

2

2

ql

y

B

2

2

qlFN(x)

M(x)

x

FS(x)

x

§3 平面刚架和曲杆的内力图例题 4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度 q,长度 l求做图示刚架的内力图

竖杆 AB：

qyqlyFS

2/qlyFN

2/2qyqlyyM

B

ql2

2

ql

2

2

ql

y

横杆 CB：

2/qlxFS

0xFN

2/qlxxM

MFN

FS

ql

2

2

ql

＋

－ 2

ql2

ql2

ql

2

ql

＋

§3 平面刚架和曲杆的内力图例题 4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度 q,长度 l，求做图示刚架的内力图

§3 平面刚架和曲杆的内力图平面曲杆 : 某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。

平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架的相类似。

sinFFN

解：写出曲杆的内力方程

F

R

m

m

F

NF

SF

M

cosFFS

sinFRM

F

NF

F

SF

FR

M

例题4.11 画出该曲杆的内力图

§3 平面刚架和曲杆的内力图

§4 梁横截面上的正应力 · 梁的正应力强度条件

纯弯曲：梁（如 CD 段）各横截面上的剪力为零，弯矩为常量

横力弯曲：梁（如 AC 和 BD 段）各横截面同时有剪力和弯矩，且弯矩为截面位置 x 的函数。

§4 梁横截面上的正应力 · 梁的正应力强度条件纯弯曲时梁横截面上的正应力——几何关系

先研究该截面上任一点处沿横截面法线方向的线应变，即纵向线应变。

§4 梁横截面上的正应力 · 梁的正应力强度条件纯弯曲时梁横截面上的正应力——几何关系

平面假设：梁在受力弯曲后，其原来的横截面仍为平面，并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转，且仍垂直于梁变形后的轴线。


中性层：梁弯曲变形时，其纵向线段无长度改变（不伸长也不缩短）的面。

中性轴：中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。弯曲变形时，各横截面间绕其中性轴作相对转动。

中性轴位置：梁发生对称弯曲、且处于弹性范围时，中性轴通过横截面形心，并垂直于荷载作用平面。

中性层的曲率：

纯弯曲时梁横截面上的正应力——几何关系

Z

)(

)(

1

EI

xM

x

ρ(x) －变形后中性层或梁轴的曲率半径； EIz －梁的弯曲刚度，轴 z 为横截面的中性轴。

纯弯曲时梁横截面上的正应力——几何关系


该式表明横截面上任一点处的纵向线应变 ε与该点在截面上之位置成正比。


若设各纵向线之间没有因纯弯曲而引起的相互挤压，则可认为横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应力状态。

当材料处于线弹性范围内且拉伸和压缩弹性模量相同时，由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系：

E

纯弯曲时梁横截面上的正应力——物理关系

y

E

该式表明横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为 y 的等高线上各点处的正应力均相等。

纯弯曲时梁横截面上的正应力——静力学


根据梁上只有外力偶 Me 的受力条件，由截面法可知，FN 和 My 均等于零，而 Mz 就是横截面上的弯矩 M 。其中 σdA 为横截面上的法向内力元素， S 指静矩， I 指惯性矩。

ZI

My


y

E

Z

1

EI

M

纯弯曲时梁横截面上的正应力——静力学

式中， M 为横截面上的弯矩， Iz 为横截面对中性轴的惯性矩， y 为所求应力点的纵坐标。将弯矩 M 和坐标 y按规定的正负号代入，所得到的正应力 σ 若为正值，即为拉应力，若为负值则为压应力。在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力则为压应力。


适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围内（ σmax≤σp）对称弯曲的小变形情况下。

Wz 称为截面弯曲系数，其值与横截面的形状和尺寸有关。在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大；反之最小。在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精确解；横

力弯曲时，横截面不再保持平面，公式在多数情况下存在误差。当梁的跨高比 l/h≤5 时，误差≤ 2% 。

若中性轴为截面对称轴，则受拉 σt,max= 受压 σc,max，反之不相等

Z

maxmax I

My

Zmax W

M

max

ZZ y

IW

minZW

M

纯弯曲时梁横截面上的正应力——正应力分布

常见截面的 IZ 和WZ

圆截面

矩形截面

空心圆截面

空心矩形截面

A

dAyI 2Z

max

ZZ y

IW

64

4

Z

dI

32

3

Z

dW

)1(64

44

Z

DI )1(

324

3

Z

DW

12

3

Z

bhI

6

2

Z

bhW

1212

3300

Z

bhhbI )2//()

1212( 0

3300

Z hbhhb

W


纯弯曲理论的推广－横力弯曲


Z

maxmaxmax I

yM

横力弯曲最大正应力

弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。

§4 梁横截面上的正应力 · 梁的正应力强度条件纯弯曲理论的推广－横力弯曲

弯曲正应力分布ZI

My

•细长梁的纯弯曲或横力弯曲

•横截面惯性积 IYZ=0

•弹性变形阶段

纯弯曲时梁横截面上的正应力——正应力分布

弯曲正应力公式适用范围


σI

yMσ

z

maxmaxmax

max,max, ct ct

等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处，而该处的切应力等于零或与该点处的正应力相比很小。而且纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计。

故可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态看作是单轴应力状态。所以按照单轴应力状态下强度条件的形式，来建立梁的正应力强度条件：梁的横截面上的最大工作正应力不得超过材料的许用弯曲正应力，即


梁的正应力强度条件

注意：当梁内，且材料的时，梁的拉伸和压缩强度均应得到满足。


强度校核：截面设计：由 Wz 计算截面尺寸。许可荷载计算：由 Mmax计算许可荷载值。

σ

MW maxz

梁的正应力强度条件

zmax WσM

σI

yMσ

z

maxmaxmax

关于许用弯曲正应力的确定，一般就以材料的许用拉应力作为其许用弯曲正应力。事实上，由于弯曲和轴向拉伸时杆横截面上正应力的变化规律不同，材料在弯曲与轴向拉伸时的强度并不相同，因而在某些设计规范中所规定的许用弯曲正应力就比其许用拉应力略高。

FFAYAY FFBYBY

BA

l = 3m

q=60kN/m

xC

1m

M

x

m67.5kN8/2 ql

30

z

y

180

120

K

1.C 截面上 K 点正应力2.C 截面上最大正应力3. 全梁上最大正应力4. 已知 E=200GPa ，C 截面的曲率半径 ρ

FS

x

90kN

90kN

mkN605.0160190C M

1. 求支反力

kN90Ay F kN90ByF

4533

Z m10832.512

18.012.0

12

bhI

MPa7.61Pa107.61

10832.5

10)302

180(1060

6

5

33

Z

KCK

I

yM

（压应力）

解：

§4 梁横截面上的正应力 · 梁的正应力强度条件例题4.12

BA

l = 3mFFAYAY

q=60kN/m

FFBYBY

xC

1m

M

x

m67.5kN8/2 ql

30

z

y18

0

120

K

FS

x

90kN

90kN

2. C 截面最大正应力

C 截面弯矩mkN60C M

C 截面惯性矩45

Z m10832.5 I

MPa55.92Pa1055.92

10832.5

102

1801060

6

5

33

Z

maxmax

I

yM CC

例题4.12


BA

l = 3mFFAYAY

q=60kN/m

FFBYBY

xC

1m

M

x

m67.5kN8/2 ql

30

z

y18

0

120

K

FS

x

90kN

90kN

3. 全梁最大正应力最大弯矩

mkN5.67max M

截面惯性矩45 m10832.5 zI

MPa17.104Pa1017.104

10832.5

102

180105.67

6

5

33

Z

maxmaxmax

I

yM

例题4.12


BA

l = 3mFFAYAY

q=60kN/m

FFBYBY

xC

1m

M

x

m67.5kN8/2 ql

30

z

y

180

120

K

FS

x

90kN

90kN

4. C 截面曲率半径 ρ

C 截面弯矩mkN60C M

C 截面惯性矩45

Z m10832.5 I

m4.194

1060

10832.5102003

59

C

ZC

M

EI

EI

M

1

例题4.12


6-3 切应力分布规律：切应力方向与剪力平行，大小沿截面均匀分布，沿高度呈抛物线变化

矩形截面梁：对于狭长矩形截面，由于梁的侧面上无切应力，故横截面上侧边各点处的切应力必与侧边平行，而在对称弯曲情况下，对称轴 y处的切应力必沿 y方向，且狭长矩形截面上切应力沿截面宽度的变化不可能大，于是可作如下假设：

§5 梁横截面上的切应力 · 梁的切应力强度条件

6-3 矩形截面梁切应力假设：横截面上各点处的切应力均与侧边平行横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等矩形截面梁

A

FS

2

3


Sz*为面积 A*对横截面中性轴的静矩； A*为横截面上距中性轴为 y的横线以外部分的面积（即绿色部分）

悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为 1m 。胶合面的许可切应力为 0.34MPa ，木材的〔 σ 〕 = 10 MPa ，[τ]=1MPa ，求许可载荷。

21max

max

6

bh

lF

W

M

z

1. 画梁的剪力图和弯矩图2. 按正应力强度条件计算许可载荷

SF

F

M

Fl

3.75kNN3750

6

1015010010

6

9272

1

l

bhF

bhFAFS 2/32/3 2max

3. 按切应力强度条件计算许可载荷

kN01N100003/101501001023/2 662 bhF

F

l100

505050

z

解：

例题4－ 13


gZ

ZS

bh

F

bbh

hbF

bI

SF

3

4

12

3 33

2

3*

g

4. 按胶合面强度条件计算许可载荷

3.825kNN38254

1034.0101501003

4

3 66

3

gbh

F

5. 梁的许可载荷为 3.75kNkN825.3kN10kN75.3 minmin iFF

F

l 100

505050

M

Fl

z

SF

F

例题4－ 13


工字形截面梁的切应力：腹板部分任一点处铅垂切应力最大切应力发生在中性轴各点处翼缘部分任一点出水平切应力

Sz,max*为中性轴任一边半个横截面面积对中性轴的静矩；δ为翼缘厚度

薄壁环形截面梁的切应力：任一点处切应力 Sz*为自 y轴一侧至φ角所包面积对中性轴 z的静矩最大切应力发生在中性轴各点处

bI

SF

z

zs *


bI

SF

z

s *maxmax

z

zsl

I

SF

z

zs

I

SF

*

A

Fs2max

圆截面梁切应力：任一点处切应力 A为圆截面面积； α为距 z轴 y处的截面切面角最大切应力发生在中性轴各点处梁的切应力强度条件：梁的最大切应力不得超过材料的许用切应力

切应力强度计算：切应力的强度计算有强度校核、截面设计和许可荷载三类问题。

cos

1*

bI

SF

z

zs


A

Fs

3

4max

z

maxs,maxs,max bI

*SF

Z

maxmax W

M ][

降低 Mmax ：合理安排支座

§6 梁的合理设计

F

F

F

降低 Mmax ：合理安排支座


bI

SF

z

zs *

F

降低 Mmax ：合理布置荷载


Z

maxmax W

M ][

6-7

增大 Wz：合理设计截面


增大 Wz：合理设计截面


6

2bhWZ 左

6

2hbWZ 右

增大 Wz：合理放置截面


b

xh

等强度梁


§6 梁的合理设计梁的强度问题的讨论：在细长杆件的弯曲变形中，通常正应力强度是主要的，一般只需考虑正应力强度。当构件较粗短，弯矩较小，剪力较大；薄壁组合截面的腹板较小，导致切应力较大；或梁材料的许用切应力较小等情况下，均需校核切应力强度。

最大正应力发生在最大弯矩截面的上下边缘处，该处的切应力为零，即危险点处于单轴应力状态；最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即危险点处于纯剪切应力状态。对于截面上其余各点处，则同时存在正应力和切应力。若两者分别接近最大正应力和最大切应力（如工字形翼缘和腹板连接处各点，且弯矩和剪力均为最大时），则应考虑这些点的强度，但强度计算应按强度理论进行。

梁的强度问题的讨论：对于中性轴为对称轴的截面，最大拉应力和最大压应力发

生在同一截面上；对于中性轴为非对称轴的截面，最大拉、压应力通常并不在同一截面上，若材料的许用拉、压应力不同，则应分别校核其拉、压应力的强度。对于等宽度的截面，最大切应力发生在中性轴处；对于宽度变化的截面，其最大切应力不一定发生在中性轴处。

由梁的正应力强度条件可见，若设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数，则可降低梁的最大正应力，从而提高梁的承载能力。若使梁各横截面上的最大正应力均达到材料的许用正应力，即为等强度梁，则可节省梁的材料从而减轻梁的自重，并增大梁的变形。


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第四章 弯曲应力

第四章弯曲应力