에우독소스의 비례론과 그당시의 논리적스캔들

발표자 발표자 : : 서정연서정연

목 차

에우독소스의 생애 / 업적

비례론의 정의

비례론의 증명

논리적 스캔들

에우독소스의 생애 / 업적

고대 그리스의 수학자 , 천문학자 쿠니도스 출생 (BC408?~BC355?) 아테네에서 연구를 하다 추방당함 BC 381 년 플라톤과 이집트에 가서 1 년 4

개월을 지냄 귀국하고 학교를 세움 Theory of proportion, Method of exhaustion 에

의해 평면기하학과 입체 기하학의 여러 문제를 증명

비 례 론 a : b = c : d 란 임의의 정수 M , N 에 대해 Ma = Nb 이면 Mc = Nd Ma < Nb 이면 Mc < Nd Ma > Nb 이면 Mc > Nd 가 성립될 때를 말함

네 개의 정수 a, b, c, d 가 있다고 하자 . a 와 c 에 대해서 임의로 택한 등배수 M 와 b 와 d 에 대해 임으로 택한 등배수 N 에 대하여 , a 와 c 의 M 배가 b 와 d 의 N 배보다 각각 똑같이 크거나 똑같이 같거나 똑같이 작으면 a : b = c : d 가 성립된다 .

비례론 증명

BmC = m(BC) , △ABmC = △m(ABC) DEn = n(DE), △ADEn = △n(ADE) 가 성립한다 . 또한 △ ABmC < △ADEn 과 동시에

BmC < DEn 이 성립한다 . 따라서

△ABC : △ADE = BC : DE 이 성립한다 .

논리적 스캔들 정사각형의 한 변과 그 대각선은 통약불가능하다 . 즉 자연수와 자연수의 비로 나타낼 수 없다 . 이런 통약 불가능한 두변의 비는 두삼각형이

닮은꼴이라는 것을 증명하는 데도 문제가 되었다 닮은꼴의 증명은 원래 어떤 두 변의 길이도 통약가능하다는 전제조건하에 이루어진 것이었다 . 그러나 이러한 조건이 무너지면 이 문제뿐 아니라 기하학의 다른 명제도 논리적인 명확성을 잃게 되는 결과를 초래하여 얼마동안 이것을 기하학의 논리적 스캔들이라고 불렀다 .

즉 피타고라스 학파에 의해 발견된 통약불가능한 수 (무리수 ) 의 발견이 이런 스캔들을 가져왔다 .