第二章 课后作业解答

张少强

P85~86 习题 2-1

Ax

xfxxfx

)()(lim 00

0

xxfxxf

Ax

)()(lim 00

0)(

)()(lim 0

000

xfx

xfxxfx

Axxf

x

)(lim

0

)0()0()0(

lim)(

lim00

fx

fxfxxf

Axx

Ah

hxfhxfh

)()(lim 00

0

hhxfhxf

Ah

)()(lim 00

0

h

xfhxfxfhxfh

)]()([)]()([lim 0000

0

hxfhxf

hxfhxf

hh

)()(lim

)()(lim 00

000

0

6 下列各题中均假定 f (x0)存在 按照导数定义观察下列极限 指出 A表示什么 (1)

解

(2) 其中 f(0)0 且 f (0)存在

(3)

解

f (x0)[f (x0)]2f (x0)

解

7. 求下列函数的导数

(4)x

y 1 (7) 5

3 22

x

xxy

(4) 231

21

21

21

21)()1(

xxx

xy

(7) 651

61

61

5

3 22

61

61)()(

xxx

x

xxy

9. 如果 f(x)为偶函数 且 f(0)存在 证明 f(0)0 证明 : 当 f(x)为偶函数时 f(x)f(x) 所以

)0(0

)0()(lim

0)0()(

lim0

)0()(lim)0(

000f

xfxf

xfxf

xfxf

fxxx

从而有 2f (0)0 即 f (0)0

P85~86 习题 2-1

)21 ,

3(

23

3sin

3

x

y

)21 ,

3( )

3(

23

21 xy

)3

(3

2

2

1 xy

11.求曲线 ycos x上点 处的切线方程和法线方程式

故在点 处 切线方程

法线方程为

解 ysin x

13. 在抛物线 yx2上取横坐标为 x11及x23的两点 作过这两点的割线 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 解 : y2x 割线斜率为

42

1913

)1()3( yy

k

令 2x4 得 x2 因此抛物线 yx2上点 (2 4)处的切线平行于这条割线

P85~86 习题 2-1

0 0

0 1sin2

x

xx

xy

01sinlim)(lim 200

x

xxyxx

01sinlim01sin

lim0

)0()(lim

0

2

00

xx

xx

x

xyxy

xxx

14(2) 讨论下列函数在 x0处的连续性与可导性

解 : 因为又 y(0)0 所以函数在 x0处连续 又因为

所以函数在点 x0处可导 且 y(0)0

P85~86 习题 2-1

1 1 )(

2

xbaxxxxf

1lim)(lim 2

11

xxf

xxbabaxxf

xx

)(lim)(lim

11

211lim)1(

2

1

xxf

x

axxa

xbaxa

xbaxf

xxx

1)1(

lim1

1)1(lim

11lim)1(

111

15. 设函数

为了使函数 f(x)在 x1处连续且可导 a b 应取什么值？

所以要使函数在 x1处连续 必须 ab1

又因为当 ab1时

所以要使函数在 x1处可导 必须 a2 此时 b1

解 : 因为

P85~86 习题 2-1

3ln2

xey

x

tts

cos1sin1

34

2

2

)2(2)3ln(xxe

xxexe

xey

xxxx

22 )cos1(cossin1

)cos1()sin)(sin1()cos1(cos

)cos1sin1(

ttt

ttttt

tts

2. 求下列函数的导数

(2) y5x32x3ex (8)

(10)

解 (2) y(5x32x3ex)15x22x ln23ex

(8)

(10)

P96~97 习题 2-2

cos21sin

4

d

d55

3)(

2x

xxf

cossin21sin

21cossin

dd

)2

1(42

22

422

21

4cos

44sin

21

4

dd

xx

xf52

)5(3)(

2

253)0( f

1517)2( f

3 求下列函数在给定点处的导数 (2) 求 (3) 求 f (0)和 f (2)

(3)

解 (2)

P96~97 习题 2-2

20 2

1 gttvs

gv

t 0

4 以初速 v0竖直上抛的物体 其上升高度 s与时间 t的关系是求 (1)该物体的速度 v(t) (2)该物体达到最高点的时刻 解 (1)v(t)s(t)v0gt (2)令 v(t)0 即 v0gt0 得 这就是物体达到最高点的时刻

5 求曲线 y2sin xx2上横坐标为 x0的点处的切线方程和法线方程

解：因为 y2cos x2x y|x02 又当 x0时 y0 所以所求的切 线方程为 y2x

所求的法线方程为

xy21 即 x2y0

(4) yln(1x2) (6) (10) ylncos x22 xay

)()(21])[( 22

121

2221

22

xaxaxay22

21

22 )2()(21

xaxxxa

x

xx

x eee

ey

22 1)(

)(11

6 求下列函数的导数

(8) yarctan(ex)

(8)

(6)

解 (4) 222

2 122

11)1(

11

xxx

xx

xy

P96~97 习题 2-2

(10) xxx

xx

y tan)sin(cos

1)(coscos

1

P96~97 习题 2-27 求下列函数的导数

(2) 21

1

xy

(5) x

xyln1ln1

(8) )ln( 22 xaxy (10) yln(csc xcot x)

)1()1(21])1[( 2

121

221

2

xxxy22

23

2

1)1()2()1(

21

xxxxx

(2)

解：

(5)22 )ln1(

2)ln1(

1)ln1()ln1(1

xxxx

xxxy

])(2

11[1)(1 222222

2222

xaxaxax

xaxxax

y

222222

1)]2(2

11[1

xax

xaxax

(8)

xxx

xxxxxxx

y csccotcsc

csccotcsc)cot(csccotcsc

1 2

(10)

P96~97 习题 2-2

8 求下列函数的导数 (4) xey arctan (5)ysinnxcos nx (8) y=ln[ln(ln x)] (10) x

xy

11arcsin

)(arctanarctan xey x )()(1

12

arctan

xx

e x

)1(221

)(11 arctan

2arctan

xxe

xxe

xx

解 (4)

(5) yn sinn1x(sin x)cos nxsinnx(sin nx)(nx) n sinn1xcos x cos nxsinnx(sin nx)n

n sinn1x(cos xcos nxsin xsin nx) n sinn1xcos(n1)x

)(lnln1

)ln(ln1])[ln(ln

)ln(ln1 x

xxx

xy

)ln(lnln11

ln1

)ln(ln1

xxxxxx

(8)

2)1()1()1(

111

1)11(

111

1x

xx

xxx

x

xx

y

)1(2)1(

1xxx

(10)

P96~97 习题 2-2

10 设 f(x)可导 求下列函数 y的导数dxdy

(1) yf(x2) (2) yf(sin2x)f(cos2x)

解 (1) yf (x2)(x2) f (x2)2x2xf (x2) (2) yf (sin2x)(sin2x)f (cos2x)(cos2x) f (sin2x)2sin xcos xf (cos2x)2cosx(sin x) sin 2x[f (sin2x) f (cos2x)]

2)2

(arctan xy xxy 212arcsin

tty

2arctan

44

21

41

12

arctan222

xxx

xy

)2

11(2

1)(2

1xxx

xxxx

y

xxx

x

4

12

22

2

22

22

2)1(

)2(2)1(2

)1

2(1

1)1

2()

12(1

1t

ttt

ttt

t

tt

y

)1(|1|

)1(2)1()1(2

)1(

122

2

22

2

22

2

ttt

tt

t

t

12 求下列函数的导数 (3) (8) (10)

解(3)

(8)

(10)

(9) 242

arcsin xxxy

(9) 2arcsin)2(

42

121

41

12

arcsin22

xxxx

xxy

1 ,

)1(

2

1 ,)1(|

2

22

22

tt

tt

P96~97 习题 2-2

P101~102 习题 2-3P101 4 (2) ; 8 (2); 9(3)

)1ln( 2xxy

1arctan21

1)1(arctan22

2

xxx

xxxy

212arctan2

xxxy

2222

2 1

1)12

21(1

1)1(1

1

xx

x

xxxx

xxy

xxx

x

xx

xx

y

1)1()12

21

1)1(1

1222

22

1. 求函数的二阶导数(9) y(1x2)arctan x (

12) 解 (9)

(12)

2

2

dxyd

)()(

1 xfxf

y 2)]([

)()()()(xf

xfxfxfxfy

2

2

)]([)]([)()(

xfxfxfxf

3 若 f (x)存在 求下列函数 y的二阶导数 (1) yf(x2) (2) yln[f(x)] 解 (1) y f (x2)(x2)2xf (x2) y2f (x2)2x2xf (x2)2f (x2)4x2f (x2) (2)

P101~102 习题 2-3

ydydx

1

5

2

3

3

)()(3y

yyydy

xd

dydx

y

ydxd

y

ydyd

dyxd

333

3

5

2

6

23

)()(31

)()(3)(

yyyy

yyyyyyy

4.(2) 试从 导出 (2)

解 (2)

8 求下列函数的 n 阶导数的一般表达式 (2) ysin2x

)2

2sin(22cos2 xxy

)2

22sin(2)2

2cos(2 22 xxy )2

32sin(2)2

22cos(2 33)4( xxy

]2

)1(2sin[2 1)( nxy nn

(2) y2sin x cos xsin2x

xxv 2sin2)2

482sin(2 4848)48(

)50()49(4950

)48(4850

)48(250

)49(1150

)50()50( vuvuCvuCvuCvuCvuy )50()49(49

50)48(48

50 vuvuCvuC

)2sin2(2cos22502sin2224950 5024928 xxxxx

)2sin2

12252cos502sin(2 250 xxxxx

9 （ 3） yx2sin 2x 求 y(50) . 解令 ux2 vsin 2x 则有 u2x u2 u

0

v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x

P101~102 习题 2-3

P110~111 习题 2-4

dxdy

xyy

y

y

y

xeey

1

1 求由下列方程所确定的隐函数 y的导数 (1) y22x y90 (4) y1xey 解 (1)方程两边求导数得 2y y2y2x y 0 于是 (yx)yy

(4) 方程两边求导数得 ye yxeyy 于是 (1xe y)ye y

32

32

32

ayx )42 ,

42( aa

032

32 3

131

yyx

31

31

y

xy )42 ,

42( aa

)42(

42 axay ayx

22

)42(

42 axay

2. 求曲线 在点处的切线方程和法线方程 解方程两边求导数得

于是

在点 处 y1 所求切线方程为

即

所求法线方程为

即 xy0

P110~111 习题 2-4

2

2

dxyd

1)(cos1

)(sec1)(sec

22

2

yxyxyx

y 22

22 11)(sin

)(cos)(sinyyx

yxyx

5

2

233

)1(2)11(22

yy

yyy

yy

ye

ye

xeey

yy

y

y

2)1(11

3

2

22 )2()3(

)2()3(

)2()()2(

yye

yyye

yyeyye

yyyyy

3 求由下列方程所确定的隐函数 y的二阶导数 (3) ytan(xy) (4) y1xey 解 (3)方程两边求导数得 ysec2(xy)(1y)

(4)方程两边求导数得 ye yxe yy

P110~111 习题 2-4

55 2 2

5

x

xy xexxy 1sin

)2ln(251|5|ln

51ln 2 xxy

22

251

51

511

2

xx

xy

y

]2

251

51[

2

551

255 2

x

xxx

xy

)1ln(41sinln

21ln

21ln xexxy

)1(4cot

21

211

x

x

eex

xy

y

])1(4

cot21

21[1sin x

xx

eex

xexxy

]1

cot22[1sin41

x

xx

eex

xexx

4 用对数求导法求下列函数的导数 (2) (4)

解 (2)两边取对数得

两边求导得

于是 (4) 两边取对数得

两边求导得 于是

P110~111 习题 2-4

dxdy

cos)sin1(

yx

cossin1

sincos

xy

dxdy

5 求下列参数方程所确定的函数的导数 (2)

解 (2)

7 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程 (2)

2

2

2

1313

taty

tatx 在 t=2处

解 (2)22

2

22

2

)1(33

)1(23)1(3

tata

ttatta

xt

2222

22

)1(6

)1(23)1(6

tat

ttattat

yt

22 12

336

tt

ataat

xy

dxdy

t

t

当 t2时 34

2122

2

dxdy

ax56

0 ay5

120 所所所所所所所 )

56(

34

512 axay

P110~111 习题 2-4

)56(

43

512 axay

即 4x3y12a0 所求法线方程

为

即 3x4y6a0

2

2

dxyd

tbytax

sincos

)()()(

tfttfytfx

t

t

tab

tatb

xy

dxdy

t

t cotsin

cos

ta

bta

tab

xy

dxyd

t

tx32

2

2

2

sinsin

csc)(

ttf

tftfttfxy

dxdy

t

t

)(

)()()()(

1)(2

2

tfxy

dxyd

t

tx

8 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 (2) (4) 设 f (t)存在且不为零

(4)

解 (2)

P110~111 习题 2-4

12 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时 其表面下降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？

hyr 222 531186

31

186yr

3y

r

hyy 222 5)3

(31186

31

解 设在 t时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有

由 得 代入上式得

hy 233

2 531186

31

hyy t 222

531

64.02516

5

)1(1231

2

22

th

即

两边对 t求导得

当 y12时 yt1代入上式得

(cm/min).

P110~111 习题 2-4

21arcsin xy 2

2

11arctan

xxy

dxxx

dxx

xdxxdxydy )1ln(1

2])1(

1)1ln(2[])1([ln2

dxxx

xdxxx

dxxdxydy222

2

1||)

1

2()1(1

1)1(arcsin

)11(

)11(1

111arctan

2

2

22

22

2

xxd

xxx

xddy

dx

xxdx

xxxxx

xx 422

22

22

2 14

)1()1(2)1(2

)11(1

1

3 求下列函数的微分 (4) yln2(1x) (7) (8) ytan2(12x2) (9)

(10) sAsin(t) (A 是常数 ) 解 (4)

(7) (8) dydtan2(12x2)2tan(12x2)dtan(12x2) 2tan(12x2)sec2(12x2)d(12x2) 2tan(12x2)sec2(12x2)4xdx 8xtan(12x2)sec2(12x2)dx (9)

(10) dyd[Asin( t)]Acos( t)d(t)A cos(t)dx

P122~124 习题 2-5

7 计算下列三角函数值的近似值 (1) cos29 解 (1)已知 f (xx)f (x)f (x)x 当 f(x)cos x时 有cos(xx)cos xsin xx 所以 cos29 87467.0

18021

23)

180(

6sin

6cos)

1806cos(

6 65n xxf )(

xn

xffxf 11)1()1()1(

0052.2)641

611(2

6411216465 666

10 计算下列各根式的的近似值 (2)

解 (2)设 则当 |x|较小时 有

于是

P122~124 习题 2-5

P125 总习题二

1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内 (1)f(x) 在点 x0 可导是 f(x) 在点 x0 连续的 ____________ 条件 f(x) 在点 x0 连续是 f(x) 在点 x0 可导的 ____________ 条件 (2) f(x) 在点 x0 的左导数 f(x0) 及右导数 f(x0) 都存在且相等是 f(x) 在点 x0 可导的 _______ 条件 (3) f(x) 在点 x0 可导是 f(x) 在点 x0 可微的 ____________ 条件 解 (1) 充分 必要 (2) 充分必要 (3) 充分必要

)]()1([lim afh

afhh

h

hafhafh

)()2(lim

0

hhafhaf

h 2)()(

lim0

h

hafafh

)()(lim

0

xafxaf

hafhaf

hhafaf

xhh

)()(lim

)()(lim

)()(lim

000

2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论 设 f(x)在 xa的某个邻域内有定义 则f(x)在 xa处可导的一个充分条件是 ( ) (A) 存在 (B)

(C) 存在 (D)

解正确结论是 D 提示

(xh).

存在

存在

P125 总习题二

0 )1ln(0 sin

)(xxxx

xf

10sinlim0

)0()(lim)0(

00

xx

xfxf

fxx

1ln)1ln(lim0)1ln(

lim0

)0()(lim)0(

1

000

exxx

xfxf

f xxxx

5. 求下列函数 f(x)的 f(0)及f(0)又 f (0)是否存在 ?

(1)

解 (1)因为

而且 f(0) f(0) 所以 f (0)存在 且 f (0)1

0 0

0 1sin)(

x

xx

xxf

)0(01sinlim)(lim00

fx

xxfxx

xxx

x

xfxf

xxx

1sinlim01sin

lim)0()(

lim000

6. 讨论函数 在 x0处的连续性与可导性 解 因为 f(0)0 所以 f(x)在 x0处连续

因为极限

不存在 所以 f(x)在 x0处不可导

P125 总习题二

xxy

11arctan

xxxy tanlncos2

tanln )1ln( 2xx eey x xy

|cos|coscos

sin1

1)(sinsin1

122 x

xxx

xx

y

2222 11

)1()1()1(

)11(1

1)11(

)11(1

1xx

xx

xxx

x

xx

y

)(tantan

1costanlnsin)2

(tan

2tan

1 xx

xxxxx

y

xxxx

xxxx

xtanlnsinsec

tan

1costanlnsin

2

1

2sec

2tan

1 22

x

x

x

xx

xxxx

xx e

e

e

eeee

eeee

y22

2

22

2 1)

12

2(1

1)1(1

1

xx

y ln1ln xx

xx

yy

11ln112

)ln1()1ln1(222

xxx

xx

xxy

xx

7. 求下列函数的导数 (1) yarcsin(sin x) (2)

(3) (x>0)

(2)

(3)

(4)

(5)

解 (1)

(4) (5)

P125 总习题二

yexy

y

2)()1()(

)(y

yy

y exyeyexy

exy

y

ey 1)0(

21)0(e

y

10 设函数 yy(x)由方程 e yxye所确定 求 y(0) 解 方程两边求导得 e yyyxy0 —— (1)

于是

当 x0时 由原方程得 y(0)1 由 (1)式得

由 (2)式得

——(2)

P125 总习题二

dxdy

2

2

dxyd

tytx

arctan1ln 2

tt

tt

t

tdxdy 1

1

11

]1[ln

)(arctan

2

2

2

3

2

2

2

22

2 1

1

1

]1[ln

)1(

tt

ttt

tt

dxyd

11. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数

(2)

解 (2)

3 02.1

3)( xxf

xxffxf 31)1()1()1( xxf

311)1(

007.102.031102.0102.1 33

14 利用函数的微分代替函数的增量求

的近似值 解设则有 或

于是

P125 总习题二