回転系における潮流海底境界層の乱流に関する数値的研究

○ 坂本圭、秋友和典　( 京都大学大学院・理学研究科

地球惑星科学専攻 )

日本地球惑星科学連合 大会 2007.05.24

世界海洋の底層の多くを占める「南極底層水」 (Schmitz 1995)

　南極陸棚上の重い海水が、沈降していく際に　　周囲の海水との混合を通して変質し形成される (Fahrbach et al. 2001)

1 はじめに (1)

南極底層水

南極陸棚

海面冷却

陸棚斜面

混合

混合

外洋

この混合過程において、潮流によって形成される海底境界層 ( 潮流海底境界層 ) のシアー不安定が重要 (Foster et al. 1987)

1 はじめに (2)

海面

海底( 水深 580m)

◇ ：観測

南極陸棚上での M2 潮( 半日周潮 ) 他の海域の潮流海底境界層はせい

ぜい厚さ数十 m なのに対し、コリオリ・パラメータ f が M2 潮の振動数 σ に一致する臨界緯度 (74.5 度 ) が近いため、数百 m の厚い境界層が形成される　 (Furevik and Foldvik 1996)

→ 不安定による混合は海底からはるか上方にまで及ぶ

(Pereira et al. 2002)

さらに、潮流構造の解析から、乱流粘性係数は 300~1000cm2/s と見積もり(Nost 1994)

1 はじめに (3) 　境界層に関する先行研究

潮流の振動と地球の回転の効果が同程度となる臨界緯度付近の場合も含めて、両者が存在する下での、境界層の不安定力学については既に調べられている

○Aelbrecht et al. (1999): 水槽実験

○Sakamoto and Akitomo (2006): 数値実験

　振動と回転の効果の比を示す「時間ロスビー数」 Rot = σ/f に応じて、　非回転系での振動流による境界層 ( ストークス層 ) の不安定や　回転系での定常流による境界層 ( エクマン層 ) の不安定が現れる

一方、不安定の発達に伴って引き起こされる乱流の特性とその混合効果については明らかでない

そこで本研究では、まず密度一様の下での、回転系における潮流海底境界層の乱流に関する数値実験を行う

1 はじめに (4) 　本研究の内容

これまでの研究から、乱流エクマン層では、次の outer scale でスケーリングを行うことで乱流が相似性を持つ　 (Coleman 1999)

　時間： 1/|f|　速さ：摩擦速度 u* =( 海底応力 / 密度 )1/2

　長さ： u*/|f|

これを参考に　時間： T=1/|f+σ| ( 回転と振動を考慮 )　速さ：摩擦速度 u*

　長さ： δ=u*/|f+σ|という新たな outer scale を導入すると、潮流海底境界層における乱流の特性と混合効果が相似性を持つという結果が得られた

本報告：

　 2 節 : 数値モデル　 3 節 : 乱流特性の相似性　 4 節 : 混合効果　 5 節 : まとめと課題

2 数値モデル：領域、支配方程式系

支配方程式系

回転系、密度一様、非圧縮、非静水圧、リジッド・リッド条件変数を基本潮流場 (　　 、後述 ) と擾乱場 ( 　 ) に分ける

モデル領域

　 Lx×Ly×H の矩形海領域

ナヴィエ・ストークス方程式

渦粘性係数　 　 ν =1cm2/s 　 ( 等方 ) 　、標準密度　 ρ0 　=1.027g/cm3

南半球を想定し 　 f < 0

変数のチルダは有次元量であることを示す

2 境界条件、初期条件、差分

初期場：微小擾乱　　積分期間： 12 潮流周期 ( いくつかのケースでは低分解能モデルで長期積分した後、本実験 )

実験領域とグリッド間隔 :　 基本潮流場 の鉛直スケール Htide=(2ν/ |f+σ|)1/2 で無次元化した値で　 Lx=Ly=64, H=256 x= y=0.125 z=0.02-10 (160⊿ ⊿ ⊿ グリッド )

Htide と潮流振幅を用いて方程式を無次元化し実験を行うが、実験結果には outer scale (T=1/|f+σ|,u*,δ=u*/|f+σ|) でスケーリングした無次元量 ( チルダなし ) を示す。

　　　　　　　　　 e.g.

境界条件海面：リジッド･リッド、非粘着海底：粘着条件水平：周期条件

2 実験ケース、基本潮流場

時間ロスビー数 Rot に対する乱流の依存性に注目潮流振幅は全て一定 (8.53cm/s)

Ek A B C D E F St

乱流特性の解明に主眼を置くため、現実より低いレイノルズ数

ケース Ek,St を除いて、ケース A~F の全てで、コリオリ力 (f<0) により反時計回り

エクマン層 ストークス層

潮流ベクトル (utide, vtide)ケース Ek 　　　 A D 　 St

M2 潮に対する緯度67° 　 53° 29° 　　

x 方向

ｙ方

向

x 方向に、潮汐に伴う圧力勾配が働くとした場合の解析解を与える

3 結果　渦運動エネルギー EKE の時間発展

ケース：　 Ek, A, B, C　 D, E, F, St( 破線 )

統計的に定常解析に用いる

( 領域平均 )

Time (tidal cycle)

3 乱流場 , outer scale DCase A

摩擦速度時間スケール長さスケール

実験終了時w の鉛直断面分布

Ek A B C D E F St

Outer scale

長さスケール δ は、 f と σ の絶対値が近づく Rot ～ 1 で大きい (~450m)

摩擦速度 u* は大きく変化しない ( 潮流振幅の 3.5 ～ 5.4 ％ )

3 有次元における乱流特性

有次元では、各ケースの鉛直分布は大きく異なる

(m)

　

潮流方向 直交方向

全応力 (cm2/s2) ( レイノルズ応力 + モデル粘性 )

ケース： Ek, A, B, C, D, E, F, St( 破線 )

直交方向 潮流方向

平均流 ( 水平・時間平均 )

(Rot>1 では直交方向の符号を反転させて表示 )

3 乱流特性の相似性 (outer scale)

平均流、応力：

ストークス層 (St 、破線 ) を除いて、outer scale で無次元化すれば鉛直分布はエクマン層の結果にほぼ重なる →潮流海底境界層の乱流特性は、エクマン層と同じ“相似性”を持つ

z

潮流方向 直交方向

全応力ケース： Ek, A, B, C, D, E, F, St( 破線 )

直交方向 潮流方向

平均流

(Rot>1 では直交方向の符号を反転させて表示 )

Q. なぜ、エクマン層と同じ相似性が、新たな outer scale(f のかわりに f+σ) の導入によって現れる？

1. 一般に、潮流ベクトル (utide, vtide) は 2 つの回転成分に分解できる

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (Makinson et al. 2006)

南半球 (f<0) では潮流ベクトルは反時計回り　→　反時計回り成分が卓越よって潮流は、一定の流速を保ち、反時計回りに向きを時々刻々変える流れと近似できる。

2. この流れに従って回転する新たな座標系を考えると　潮流は定常流とみなせ、その座標系のコリオリ・パラメータは f+σとなる。

よって、南半球における潮流海底境界層の乱流は、 f+σ で回転する座標系において定常流が形成する境界層、つまりエクマン層と相似となる。

3 相似性の理由

※ 北半球では、時計回り成分が卓越するため、 fのかわりに f-σが適切である。

反時計回り　＋　時計回り

4 混合効果：トレーサーによる見積もり

κap (outer scale)z

鉛直に線形な初期値を持つトレーサーの時間発展を計算する

→ 「見かけの鉛直拡散係数」 κap を評価する

C: トレーサー濃度

Ek, A, B, C, D, E, F, St( 破線 )

St( 破線 )以外のケースでκap もほぼ相似形　→緯度 (f) 、潮流周期 (σ) 、潮流振幅(u*) から乱流拡散係数を決定できる

4 乱流混合：有次元

振幅 8.53cm/s の M2 潮について　有次元で κap を示す

Ek, A(Rot=0.5), B(0.8), C(0.95),

D(1.05), E(1.2), F(2.0), St( 破線 )

　 (cm2/s)(m

)

ケース D は、極海域における潮流観測からの乱流混合の見積もり ( 厚さ : ～ 300m, 強さ :300 ～ 1000cm2/s) をよく説明する結果

緯度 29°( ケース F) ：　最大 60cm2/s 、　最大の半分となる高さ 40m緯度 53°(E) ：　最大 170cm2/s 、高さ 160m緯度 67°(D):　最大 600cm2/s 、高さ 350m

Rot が 1 に近いほど、長さスケールδ の増大に伴い、広い範囲で強い混合が起こる

5 まとめと課題

回転系 ( コリオリ・パラメータ f) における潮流海底境界層 ( 振動数 σ) の乱流に関して、　　時間 :T=1/|f+σ| 　速さ：摩擦速度 u* 　長さ： δ=u*/|f+σ|という「 outer scale 」でスケーリングすることで、ストークス層を除いて、平均流や応力といった乱流特性が相似性を持つことが分かった

　　北半球では、時間： T=1/|f-σ| 　長さ： δ=u*/|f-σ|

混合効果についても、 outer scale によって相似性が現れた　○緯度 (f) 、潮流周期 (σ) 、潮流振幅 (u*) の値から乱流拡散係数を決定できる　○現実の海洋へ適用すると、 f と σ が近づく臨界緯度で顕著な乱流混合　　

今後の課題：

•現実的な高レイノルズ数実験 ( 数十万から数百万 )

•安定成層の影響

4 乱流混合：安定成層

高緯度海域：弱いながらも安定成層　→初期場に浮力振動数 N=1.0×10-3s-1

の密度成層を与えた追加実験

見かけの鉛直拡散係数 κap を評価　※ κap は時間変化する

Ek, A, B, C, D, E, F, St( 破線 )

　 (cm2/s)(m

)

実験開始から 12~24 潮流周期の期間

緯度 67°( ケース D):　最大 110cm2/s 、高さ 35m緯度 53°(E) ：　最大 85cm2/s 、高さ 28m緯度 29°(F) ：　最大 53cm2/s 、高さ 18m

現実的な安定成層の下でも、Rot が 1 に近いほど広い範囲 ( ～ 2倍 ) で強い ( ～ 2倍 ) 混合

それぞれの回転成分に対する境界層の厚さ Htide+,Htide-

ν,f は鉛直渦粘性係数、コリオリ・パラメータを示す。

振動数 ω の潮流楕円 V(z,t) を反時計回り成分 ( 振幅 R+ 、初期位相 φ+) と時計回り成分 (R- 、 φ-) に分解する。

粘性係数を一定とした場合の潮流海底境界層の解析解

Prandle (1982)

f > 0 　→　潮流楕円は時計回り　　→　 R- が支配的f < 0 　→　潮流楕円は反時計回り　→　 R+ が支配的

Htide+ Htide-

群速度の見積もり

粘性の時間スケール

波の到達距離

境界層では波長 δ の擾乱が発生

Rot~1 　→　群速度大　→　波長 δ の波がエネルギーを維持したまま上層へその他　→　群速度小　→　 δ より波長が大きい波、エネルギーは小さい

議論： Rot~1 における慣性波

l:波長

3 慣性波　ケース C渦運動エネルギー水平平均の、 t-z ダイアグラム

慣性波群速度での、エネルギーの上方への輸送と反射・ Rot~1 では波長 δ の慣性波が盛んに上方へと伝播・他のケース (St以外 ) では、慣性波の波長は大きくエネルギーは小さい　→上層の q と l に差

zEKE

t

海底

海面

4 乱流混合： l×q

乱流理論：　乱流拡散の強さ ∝ l×q Ek, A, B,

C, D, St(点線 )l×q ：オーダーとしては同程度同じような分布だが、

波の影響によって、相似性があるとは言い難い

l×q

z

しかし、砕波が起こらず波の影響が無視できれば、引き起こされる乱流混合も相似性を持つはず

　→トレーサーによる混合効果の見積もり