第六章 均匀设计法

§6 － 1 基本原理• 一、引言• 正交试验设计利用： 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试

验结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交试验的次数也会很大。如 5 因素 5 水平，用正交表需要安排 55 ＝ 25 次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用 5次试验就可能得到能满足需要的结果

1978 年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于 10 ，而试验总数又不超过 50 ，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成效

均匀设计法愈正交设计法的不同： 均匀设计法不再考虑“数据整齐可比”性，只考虑试验点

在试验范围内充分“均衡分散”

均匀设计属于近年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用，乌拉母（ S.Ulam ）与冯诺依曼 (J.von Neumann) 在40 年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数的均匀性与独立性。

• 二、均匀设计表 均匀设计表符号表示的意义

U7(76)

均匀表的代号

试验次数

因素的水平数

因素数

图 9-1 两因素均匀设计布点图

如 U6(64) 表示要做次 6 试验，每个因素有 6 个水

平，该表有 4 列。

  1 2 3 4

1 1 2 3 62 2 4 6 53 3 6 2 44 4 1 5 35 5 3 1 26 6 5 4 1

U6(64)

列号试验号

每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。下表是 U6(6

4) 的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1 ， 3 两列来安排试验；若有三个因素，应选用 1 ， 2 ， 3 三列，…，最后 1 列 D 表示刻划均匀度的偏差 (discrepancy) ，偏差值越小，表示均匀度越好。

s 列   号   D

2 1 3     0.1875

3 1 2 3   0.2656

4 1 2 3 4 0.2990

U6(64)的使用表

• 均匀设计有其独特的布（试验）点方式： 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且

仅有一个试验点 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。

均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价

例如用 U6(64) 的 1 ， 3 和 1 ， 4 列分别画图，得到下面

的图 (a) 和图 (b) 。我们看到， (a) 的点散布比较均匀，而 (b) 的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。

• 三、试验结果分析• 均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果

不能采用一般的方差分析方法，通常要用回归分析或逐步回归分析的方法：

^

0 1 1 2 2

_ _

1

_ _

1

2_

1

_

1

(8 1)

k

, 1,2, , (8 2)

1,2, , (8 3)

(8 4)

m m

ik i k

n

i jij ik ikk

N

iiy ik kK

N

yy ki

N

i ii

y b b x b x b x

x x y

y

L x x x x i j m

L x x y y i m

L y y

x x

令 代表因素 在第k次试验时取的值， 表示响应值

在第 次试验的结果。

1,2, (8 5)i m

_

1

11 1 1 1

21 1 2 2

1 1

_ _

01

1(8 6)

8 7

N

ki

M m y

m m y

m mm m my

N

i ii

y yN

L b L b L

L b L b L

L b L b L

b y b y

回归方程组系数由下列正规方程组决定：

（－ ）

2 2

11 11

2

( ) (8 9)m T m

i i ij i j ii i mii ij

i j i

b x b x x b x T C

x x x

0

当各因素与响应值关系是非线性关系时，或存在因素的交互作用时，可采用多项式回归分析的方法例如各因素与响应值均为二次关系时的回归方程为：

y=b

其中 反映了因素间的交互效应， 反映因素的二次项效应

，通过变量代换(8-9)式可化为多元线性方程求解。

1

2^2

01

( 1,2, ; 1) (8 10)

(8 9) ( ) (8 11)

U

i j

m T

l l ml

x x x i m j

y b b x T C

即令

方程 化为

在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试验次数大于或等于回归方程系数总数的 表了

§9－ 2 应用举例 利用均匀设计表来安排试验的步骤：• （ 1 ）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。• （ 2 ）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使

用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了

在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比 (A) 、吡啶量 (B) 和反应时间 (C) 三个因素，它们各取了 7 个水平如下：

原料配比（ A ）： 1.0 ， 1.4 ， 1.8 ， 2.2 ， 2.6 ， 3.0 ， 3.4

吡啶量（ B ） (ml) ： 10 ， 13 ， 16 ， 19 ， 22 ， 25 ， 28 反应时间（ C ） (h) ： 0.5 ， 1.0 ， 1.5 ， 2.0 ， 2.5 ， 3.0 ，

3.5

7 个水平，需要安排 7 次试验，根据因素和水平，我们可以选用 U7(7

6)完成该试验。

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 6 5 6

2 2 4 6 5 3 5

3 3 6 2 4 1 4

4 4 1 5 3 6 3

5 5 3 1 2 4 2

6 6 5 4 1 2 1

7 7 7 7 7 7 7

U7(76)

列号试验号

因素数 列号

2 1 3        

3 1 2 3      

4 1 2 3 6    

5 1 2 3 4 6  

6 1 2 3 4 5 6

U7(76) 使用表

U7(76)共有 6列，现在有 3个因素，根据其使用表，

应该取 1， 2， 3列安排试验。

No. 配比（ A ）

吡啶量（ B ）

反应时间

（ C ）

收率（ Y

）1 1.0(1) 13(2) 1.5(3) 0.330

2 1.4(2) 19(4) 3.0(6) 0.336

3 1.8(3) 25(6) 1.0(2) 0.294

4 2.2(4) 10(1) 2.5(5) 0.476

5 2.6(5) 16(3) 0.5(1) 0.209

6 3.0(6) 22(5) 2.0(4) 0.451

7 3.4(7) 28(7) 3.5(7) 0.482

制备阿魏酸的试验方案 U7(73)和结果

根据试验方案进行试验，其收率 (Y) 列于表的最后一列，其中以第 7 号试验为最好，其工艺条件为配比 3.4 ，吡啶量 28ml ，反应时间 3.5h 。

我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据

n 7 7 0.330,1.0,13,1.5), 0.336 1.4,

19,3.0 ijL( (解：这时 ＝ ，组观测值为 ，

(0. 482, 3. 4, 29, 3. 5),） 它们的均值 为：

_ _ _ _

1 2 3

11 12 12 1

22 23 2

33 3

1 2 3

2.2 19 2.0 0.3683

4.48 16.8 1.4 0.2404

252.0 10.5 0.5640

7.0 0.5245

0.037, 0.00343, 0.077

0.3683 0.037 2.2 0.00343 19 0.

y

y

y

ij ji

x x x y

L L L L

L L L

L L

L L

b b b

a

由于 ，故不必全部列出，将它们代入方程组中

可以解得

从而077 2.0 0.201

1 2 3

0.07,

0.201 0.037 0.00343 0.0077 (8 12)Y X X X

于是回归方程为：

进一步对它做方差分析，其方差分

的估计

析表如下：

方差来源 自由度 平方和 均方 F

回归

误差

总和

3

3

6

0.048770

0.014838

0.063608

0.016257

0.004946

3.29

方差分析表

, 1 3,3

0.05 F

( ) (0.05) 9.28 3.29m n mF F F

当 时 表的临界值

回归方程不可信。

• 现在用逐步回归分析的方法来筛选变量：• 逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术 . 开始它将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先确定两个阈值 Fin 和 Fout ，用于决定变量能否入选或剔除 .逐步回归在每一步有三种可能的功能：

将一个新变量引进回归模型，这时相应的 F 统计量必须大于 Fin

将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的 F 统计量必须小于 Fout

将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。

设先用后退法来选变量 . 所谓后退法，就是开始将所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显著贡献为止。

仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，得 (2.12). 统计软件包通常还会提供每个变量的 t值， t值越大（按绝对值计）表示该因素越重要 .对本例有

• t0=0.204,t1=0.96,t2=-0.67,t3=2.77

• 这表明三个因素中以 X3 （反应时间）对得率（ Y ）影响最大，配比次之，吡啶量最小。

• 这些 t 值都是随机变量，它们遵从 tn-m-1 分布。 若取 α=0.05 ，这时 n=7,m=3, tn-m-1= 的临界值 t3(0.05)=3.1

8 。 t值大于该值的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不显著。今 均小于 (0.05)=3.18 ，说明回归方程 (2.18)的三个变量至少有一个不起显著作用 . 于是我们将贡献最小的 X2删去，重新建立 Y 和 X1 及 X3 的线性回归方程，得

1 30.169 0.0251 0.0742Y X X

2 20 1 3

4 3

3

3 5

0.06526 , t 2.12, 0.79, 2.91,

t t

(0.05) 2.78, Y X

0.2141 0.079 (8 13)

3.34 (0.05) 2.57, 0.063

t t t

t

Y X

t t

1

三个值分别为

这时这三个值遵从含四个自由度的分布，临界值为从而X应从方程中剔除，然后对 和

建立回归方程

这里 。因此，回归方

程(8-13)并非真正的最终模型，而是在线性框架下的最终产物。

X Y3上述的分析只发现 对 有显著作用，其它两个因素均

没有显著作用，该结论与实际经验不吻合，因此猜想用线性模型不一定符合实际。

20

1 1

23 3 1 3

2

1 3

(8 14)

0.06232 0.251 0.06 0.0235 (8 15)

0.0217, 97.77

X

m m

i i ii i ij i ji i i j

Y X X X X

Y X X X X

R

X X

0

3

9这时方程中有 项（不算 ）。利用逐步回归技术求得回归方程如下：

其响应的 。(8-15) (8-13)显然，回归方程 的效果优于 。该方程

于是进一步考虑二次回

表明因素 和交互作用

归模型

对Y有显著的影响

23 3

3

ˆ

X

X 3.4 (8 15)

ˆ 0.06232 0.3309 0.06

ˆ / 0 0, 2.7575

ˆ 51.85%

Y

Y X X

Y X

Y

1

3 3

的极大值。此处我们可以用简单的微积分求得极值。由于 在试

3. 4验范围内极大值 ，将 ＝ 代入 得

0. 3309-0. 12X令 ，解得

(8-15) 1. 0-3. 4 10-28方程要求我们在配比 ，吡啶量 ，

0反应时间

X

这时 的极大

. 5-3. 5 (8时，求方程

值为 。这时收

-15)中

率大于前 U 7面所讲的用 表安排的 号试验的结果——48. 2%，达到了优化的目的

例 . 均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用

• 1. 均匀设计表的选取• 本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取其固

定组成为硫酸镍 25g/L ，次磷酸钠 25g/L ，醋酸钠 25g/L 。考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂 4 个因素，每个因素取值范围为 t 个水平（ t 为实验次数），4 个因素的一次项及二次项各有 4项， 4项因素间的两两交互作用设有 6项，共 14项，实验数不能小于 14 ，本实验选用 U17 （ 178 ）表。

均匀表 U17（ 178）

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 4 6 9 10 11 14 152 2 8 12 1 3 5 11 133 3 12 1 10 13 16 8 114 4 16 7 2 6 10 5 95 5 3 13 11 16 4 2 76 6 7 2 3 9 15 16 57 7 11 8 12 2 9 13 38 8 15 14 4 12 3 10 19 9 2 3 13 5 14 7 1610 10 6 9 5 15 8 4 1411 11 10 15 14 8 2 1 1212 12 14 4 6 1 13 15 1013 13 1 10 15 11 7 12 814 14 5 16 7 5 1 9 615 15 9 5 16 14 12 6 416 16 13 11 8 7 6 3 217 17 17 17 17 17 17 17 17

试验号列号

水平号

U17（ 178）表的使用表

因数个数2 1 63 1 5 84 1 5 7 85 1 2 5 7 86 1 2 3 5 7 87 1 2 3 4 5 7 8

列号

本实验为 4 因素，这 4 个因素安排在均匀表的 1 ， 5 ，7 ， 8 列，去掉 U17 （ 178 ）的最后一行，将实验方案及结果见下表。

综合指标水平号 c mg/L 水平号 c mg/L 水平号 c mg/L 水平号 c mg/L Z

1 1 0. 2 10 5. 5 14 7. 5 15 37. 0 79. 152 2 0. 4 3 2. 0 11 6. 0 13 32. 0 87. 503 3 0. 6 13 7. 0 8 4. 5 11 27. 0 86. 954 4 0. 8 6 3. 5 5 3. 0 9 22. 9 90. 955 5 1. 0 16 8. 5 2 1. 5 7 17. 0 91. 586 6 1. 2 9 5. 0 16 8. 5 5 12. 0 87. 407 7 1. 4 2 1. 5 13 7. 0 3 7. 0 87. 558 8 1. 6 12 6. 5 10 5. 5 1 2. 0 90. 889 9 1. 8 5 3. 0 7 4. 0 16 39. 5 80. 9210 10 2. 0 15 8. 0 4 2. 5 14 34. 5 78. 4011 11 2. 2 8 4. 5 1 1. 0 12 29. 5 69. 9512 12 2. 4 1 1. 0 15 8. 0 10 24. 5 66. 4013 13 2. 6 11 6. 0 12 6. 5 8 19. 5 48. 1314 14 2. 8 4 2. 5 9 5. 0 6 14. 5 60. 5015 15 3. 0 14 7. 5 6 3. 5 4 9. 5 35. 7016 16 3. 2 7 4. 0 3 2. 0 2 4. 5 30. 13

第8列润湿剂试验号

第1列稳定剂 第5列主光亮剂 第7列辅助光亮剂

2. 指标的选择和优化•      指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀件质量。根据我们对镀件的要求，定义一个综合指标 z ，z 的分值由外观评分 R ，沉积速度评分 V ，耐腐蚀性评分 Q乘以不同的权重构成， z=0.5R+0.2V+0.3Q 。 R ，V ， Q 的分值分别为 0 － 100 。

3. 实验方法

•     试样为 10cm×5cm×0.2cm 的低碳钢板，在 88 － 90℃ 的恒温水浴槽内施镀，镀液 pH值控制在 4.5-5.0 。镀前处理按常规进行，按均匀设计表中确定的组成分别配成 16 种化学镀液，挂镀法施镀 1h ，清洗，晾干，对试样进行外观的评定。

• 沉积速度测定：沉积速度，样片增加的重量 / 样片的面积(g/cm2 )

• 耐腐蚀性测定： 10％硫酸浸泡 24h ，根据失重及腐蚀后外观评分

4. 结果处理及分析•    实验结果用计算机处理，主要运用软件为 SPSS 和

Matlab 。• • 4.1建立数学模型及筛选变量• 考虑到可能有的数学关系，将各因素的一次项，二

次项，两因子间的交互作用项均作为考察对象，回归方程模型为：

• R=b0+∑bixi+∑bijxixj+∑biixi2 (i=1,2,3,4;i≠j)

• b 为各项系数。将给因素的值及综合指标输入计算机，用自后淘汰变量法 (backward selection) 进行回归分析和变量筛选， sigF＞ 0.10的变量被淘汰，最后得到指标与相关组成的回归方程。

Z=86.726+6.555×d － 4.554×p2＋ 1.384×c2＋ 0.01641×ω2 － 3.177×p×c＋ 0.1932×p×ω － 0.1209×c×ω － 0.

3779×d×ωc 为主光亮剂； d 为辅助光亮剂； ω 为润湿剂； p 为稳定剂。

4.2对回归方程的优化处理用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，用 Matlab语言编程 ，用 BFGS 拟牛顿 (Quasi-Newton) 算法及最小二乘法寻优，本实验找到的最优解为：主光亮剂 HC3.7mg/L ，辅助光亮剂 HD1.1ml/g ，稳定剂 0.2mg/L ，润湿剂 19.7mg/L ，乳酸 6mol/L 。

• 4.3 优化结果的验证• 按最优解所得到的组成配成镀液进行施镀，所得试样外观达到镜面全光亮，镀件经各种腐蚀介质分别浸泡 24h 后外观仍然光亮，镀层无明显变化。镀片综合指数评定值为96.2 ，优于实验中最好的 5 号试样。镀速可达 11 － 5μm /h ，镀液使用周期可达 8周期以上。

4.4各因素对镀层质量影响的分析回归方程中各项系数的大小反映了该因素对指标影响的大小，但由于给系数的单位不同不能进行比较，因此需对给变量的系数进行标准化，将回归方程系数变为标准回归系数 b0 ：

     主光亮剂 c2 辅助光亮剂 d 稳定剂 p2 润湿剂 ω2

b0 0.384 0.384 － 0.759 － 0.418

交互 pc 交互 pw 交互 cw 交互 dw

b0 － 0.485 0.233 － 0.229 － 0.714

从以上数据看出，但因素对综合指标影响最大的是稳定剂，其次是润湿剂。根据交互作用项的系数可看出，润湿剂与辅助光亮剂的交互作用 dw影响最大，其次主光亮剂与稳定剂的交互作用影响液也较大。

6-3 混合水平的均匀设计表           在应用均匀设计时会面临许多新情况，需要灵活加以应用． 有如下三种方法： a) 均匀设计与调优方法共用； b) 分组试验； c) 拟水平法． 本节仅介绍拟水平法在均匀设计法中的应用． 若在一个试验中，有二个因素 A 和 B 为三水平，一个因素 C 为二水平．分别记

它们的水平为 A1 ， A2 ， A3,B1 ， B2 ， B3 和 C1 ， C2．这个试验可以用正交表 L18(2x 37) 来安排，这等价于全面试验，并且不可能找到比 L18更小的正交表来安排这个试验．

可以用拟水平技术均匀设计来安排这个试验。我们选用均匀设计麦U6*(66) ，按使用表的推荐用 1 ， 2 ， 3前 3 列，若将 A 和 B放在前两列， C放在第 3 列，并将前两列的水平合并：

{1,2}1

{3,4}2

{5,6}3

同时将第 3 列水平合并为二水平： {1,2,3}1

{4,5,6}2

于是得设计表 ( 表 20)．这是一个混合水平的设计表 U6(32×21 ）

这个表有很好的均衡性。例如， A 列和 C 列， B 列和 C 列的二因素设计正好组成它们的全面试验方案， A 列和 B 列的二因素设计中没有重复试验．

我们要安排一个二因素 (A,B) 五水平和一因素 (C) 二水平的试验．这项试验若用正交设计，可用 L50 表，但试验次数太多．若用均匀设计来安排，可用 U10(52×21)．

若选用 U10(1010) 的 1 ， 2 ， 5 三列，用同样的拟水平技术，便可获得表 22 列举的 U10(52×21) 表它有较好的均衡性．

对 1 ， 5 列采用水平合并 {1,2}1

。。。。。。。 {9,10}5

{1,2 ， 3 ， 4 ， 5}1

{6,7 ， 8 ， 9 ， 10}2

于是得表 22 的方案。 经计算发现现．表 22 结出的表具有偏差D ＝ 0.39253 ，达到了最小．

表 -22 拟水平设计 U10(52×21)

6-4 均匀设计和正交设计的比较         正交设计和均匀设计是目前最流行的两种试验设计的方法，它们各有所长，相互补充，给使用者提供了更多的选择．本节将讨论两种试验设计的特点。

1 。正交设计具有正交性。如果试验按它设计可以估计出因素的主效应，有时也能估出它们的交互效应．

均匀设计是非正交设计它不可能估计出方差分析模型中的主效应和交互效应，但是它可以估计出回归模型中因素的主效应和交互效应．

2 。 正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为水平数的平方．如有五个因素，每个因素取 3l 个水平，其全部组合有 315 ＝ 286251

51 个。若用正交设计，至少需要做 961 ＝ 312 个试验。 而用均匀设计只需 31 次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验．

3 。 正交设计的数据分析程式简单，“直观分析”可以给出试验指标 y 随每个因素的水平变化的规律．

均匀设计的数据要用回归分析来处理，有时需用逐步回归等筛选 变量的技巧，非使用电脑和应用软件不可．

4 。两种设计的均匀性比较

因为很难找到二个设计有相同的试验数和相同的水平数，一个来自正交没计，另一个来自均匀设计 由于这种困难，我们从如下三个角度来比较：

（ 1. 试验数相同时的偏差的比较

表 -23给出当因素数 s ＝ 2 ， 3 ，4 时两种试验的偏差比较，

注：在比较中我们没有全部用 U

* 表，如果全部用 U* 表，其均匀设计的偏差会进一步减小．

（ 2 水平数相同时偏差的比较 表 24 的前两列给出了两种设计

水平数相同，但试验致不同的比较，其中当均匀设计的试验数为 n 时，相应正交设计的试验数为 n2．例如 U*6(62) 的偏差 01875 ，而 L36(62)

的偏差为 01597 ，两者差别并不大．所以用 U*6(62) 安排的试验其效果虽然比不上 L36(62) ，但其效果并不太差，而试验次数却少了 6倍。

(3 偏差相近时试验次数的比较 刚才我们讲到 U*6(62) 比不上 L36(62) ，如果让试验次数适当增加，使相应的偏差与 L36(62) 的偏差相接近，例如 U*8(82)

的偏差为 0.1445 ，比 L36(62) 的偏差0.1597赂好．但试验次数可省36／8 ＝ 4.5倍。 表 25 的最后一列给出了多种情形的比较及其可节省的试验倍数。

结论：综合上述三种角度的比较，如果用偏差作为均匀性的度量，均匀设计明显地伏于正交设计并可节省四至十几倍的试验。