功和能

动能定理德阳中学 王 勋

概念：

一个 物体能够对外做功，

就说这个物体具有能量

一、能

回忆以前所接触过的各种形式的能

动能、重力势能、弹性势能

二、功和能⑴ 弹簧把小球弹开

⑵ 人拉拉力器

⑶ 举重运动员举起重物

⑷ 小球从高处下落

⑸ 起重机提升重物

⑴ 弹性势能———————动能

⑵ 化 学 能———————弹性势能

⑶ 化 学 能———————重力势能

⑷ 重力势能———————动能

⑸ 电 能———————机 械 能

弹力做功

拉力做功

举力做功重力做功拉力做功

做功的过程就是能量转化的过程，能量的转化必须通过做功来完成。

做了多少功就有多少能量发生转化。

功是能量转化的量度

功和能的区别：

1 功不是能。

2 功是过程量，能是状态量。

3 功和能不能相互转化。

物质的不同运动形式对应着不同的能 .

例如：有形变的弹簧具有弹性势能，流动的空气具有动能等 .

三、巩固练习

1. 关于功和能，下列说法正确的是A. 功就是能，功可以转化为能B. 做功越大，物体的能越大C. 能量转化中，做的功越多，能量转化越多D. 功是物体能量的量度2. 运动员缓慢地将质量为 150 kg 的杠铃举高 2 米① 运动员做了多少功 ?② 运动员有多少化学能转化为杠铃的重力势能 ?

C

3000J

四、动能

运动的物体能够对外做功，因此运动的物体具有能量

物体由于运动而具有的能量叫动能

物体动能的大小与哪些因素有关？

什么关系呢？

光滑水平面上有一质量为 m 的物体，初速度为 v0 ，受到一与运动方向相同的恒力作用，经过一段时间速度增加到 vt, 试求这个过程中合力的功。

20

2

2

1

2

1mvmvw t 合

动能的大小等于物体质量与物体速度的平方的乘积的一半

2

20

2 vvmmassFw t

合合

动能表达式 2

2

1mvEK=

动能是标量

动能的单位 焦耳 J

动能是状态量但是：物体的状态变化，动能不一定发生变化 , 为什么 ?

只有正值 ,与速度方向无关

瞬时性 相对性

1. 动能定理表述：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。

五、动能定理

公式 :20

2

2

1

2

1mvmvW t 总

外力的总功 末状态动能 初状态动能

或： W 总＝ Ek2-Ek1 ＝ ΔEk

2 、对动能定理的理解 a ．对总功的理解

例题 2 、一辆质量 m=5 吨的载重汽车开上一坡路 , 坡路的长 L=100m, 坡顶与坡底的高度差 h=10m, 汽车上坡前的速度 v0=10m/s, 到达坡顶的速度为 vt=5m/s. 已知汽车上坡过程中受到的阻力恒为车重的 0.005 倍 , 求汽车发动机的牵引力有多大 ? 5625N

例 1 、用拉力 F 拉一个质量为 m 的木箱由静止开始在水平冰道上移动了 S, 拉力 F 跟木箱前进的方向的夹角为 α, 木箱与冰道间的动摩擦因数为 μ, 求木箱获得的速度 . FFN

f

G

b ．对该定理标量性的认识动能定理中各项均为标量如匀速圆周运动过程中，合外力方向指向圆心，与位移方向始终保持垂直，所以合外力做功为零，动能变化亦为零。

例题 3 、质量为 24Kg 的滑块，以 4m/s 的初速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右， 大小为 4m/s ，在这段时间内水平力做的功是 。 0

例题 4 ．一物体做变速运动时，下列说法正确 的是 A ．合外力一定对物体做功，使物体动能改变B ．物体所受合外力一定不为零C ．合外力一定对物体做功，但物体动能可能不 变D ．物体加速度一定不为零

BD

动能定理的应用步骤： (1) 明确研究对象 (2) 明确研究过程 (3)对研究对象进行受力分析，并确定各 力所做的功，求出这些力的功的代数 和 。对研究对象的运动过程进行分析 ，确定始、末态的动能。 ( 未知量用 符号表示 )， (4) 根据动能定理列出方程 W 总＝ Ek2-Ek1

(5)求解方程、分析结果

功：是力对空间的积累积累的效应：是使物体的动能发生变化

例题 1 ：木块原来静止，斜面光滑 ,比较滑到底端的速度大小 ?

如果斜面粗糙 , 木块与斜面的动摩擦因数都相同，比较滑到底端的速度大小 ?

相同

2 、用外力缓慢地将物块从 B 位置拉到A 位置，外力要做多少功？

1 、求 μ

例 2

h

s

ABm

例 3

h

s

θ

θ 的意义 ??

例题 4、质量为 1Kg 的小球，以 5m/s 的速率斜向抛出，不计空气阻力，落地时的速度大小为 15m/s ，问抛出点离地面的高度？

10m

用动能定理解决变力做功的方法 : 一般不直接求功 , 而是先分析动能变化 ,再由动

能定理求功 .

[例 1]从高为 h 处水平地抛出一个质量为 m 的小球 , 落地点与抛出点水平距离为 s, 求抛球时人对球所做的功 . ms2g/4h

例 2: 质量为 m 的汽车 ,启动后在发动机的功率保持不变的条件下行驶 ,经时间 t 前进距离为 s后 , 速度为 v,若行驶中受到的阻力恒为 f, 求汽车发动机的功率 ?

例题 3 、一质量为 m 的小球，用长为 L的轻绳悬挂在 O点，小球在水平拉力 F 作用下，从平衡位置P点缓慢地移到 Q点，如图，力 F 做的功是 。

O

P QF

θ

例 4 、质量为 m 的跳水运动员从高为 H 的跳台上以速率 v1 起跳，落水时的速率为 v2 ，运动中遇有空气阻力，那么 1 、运动员起跳时做了多少功 ? 2 、在空中运动过程中克服空气阻力做了多少功？

V1

H

V2

Ff

mg

1. 动能定理的另一种表示 :

W 合 =W1+…=△EK 。

2. 运用动能定理对复杂过程列式求解的方法：⑴分段列式法；

⑵全程列式法。

例 1 、质量为 1kg 物体与水平面间摩擦力为 5N, 在 10N水平力作用下由静止开始前进 2m后撤去外力 ,再前进 1m, 此时物体仍在运动 ,其速度为多大 ? 物体最终停止运动 ,其经过的全部位移为多大 ?

3.16m/s 4m

例 2 、 钢球从高处向下落，最后陷入泥中，如果空气阻力可忽略不计，陷入泥中的阻力为重力的 n 倍，求：钢珠在空中下落的高度 H与陷入泥中的深度 h 的比值 H∶h =?

h

H

mg

mg

Ff

例 3 、质量为 m 的物体以速度 v竖直向上抛出，物体落回地面时，速度大小为 3v/4，设物体在运动中所受空气阻力大小不变，求： （ 1）物体运动中所受阻力大小； （ 2）物体以初速度 2v竖直抛出时最大高度； （ 3）若物体与地面碰撞中无能量损失， 求物体运动的总路程。

典型模型 1 ：子弹打木块 1 ．如图 1 所示，一木块放在光滑水平面上，

一子弹水平射入木块中，射入深度为 d ，平均阻力为 f ．设木块离原点 s远时开始匀速前进，下列判断正确的是 [　　 ]

　 A ．功 fs 量度子弹损失的动能；　　 　 B ． f（ s＋ d）量度子弹损失的动能 　 C ． fd 量度子弹损失的动能；　　　 D ． fd 量度子弹、木块系统总机械能的损失 。

1 ． BD 模型 2 ：斜面 2 、一个质量 =1kg 的物体放在倾角 =37° 的

光滑斜面底部，现用一个平行斜面向上的力拉物体，经时间 =2s ，力停止作用，再经时间 =2s ，物体恰好回到斜面底部。（ sin37°=0.6 cos37°=0.8 ）求：

（ 1 ）力的大小。 （ 2 ）物体回到斜面底部时的动能的大小。

αm

解：设物体沿斜面向上运动时的加速度为 ，向下运动时的加速度为 ，力 F停止作用时物体的位移为 S ，速度为 V1 。

物体作向上运动时

物体向下运动时

212

1tas tav 11

221 2

1tatvs 2

212

212

1 2

1

2

1

2

1tatatatvta

12 3aa

1sin mamgF

222 /66.010sinsin smgamamg

m

mgFg

sin3sin

NmgF 86.01013

4sin

3

4

221 /26

2

1

3

1 smaa mtas 4222

1

2

1 221

JFSEmvFs kt 32482

1 2

1a

2a

6 、 如图 10 所示，一小物块从倾角 θ=37° 的斜面上的 A点由静止开始滑下，最后停在水平面上的 C点 . 已知小物块的质量m=0.10kg ，小物块与斜面和水平面间的动摩擦因数均为 μ=0.25 ， A点到斜面底部 B点的距离 L=0.50m ，斜面与水平面平滑连接，小物块滑过斜面与水平面连接处时无机械能损失 . 求：

(1) 小物块在斜面上运动时的加速度； (2)BC间的距离； (3)若在 C点给小物块一水平初速度使小物块恰能回到 A点，

此初速度为多大 .（ sin370=0.6 ， cos370=0.8 ， g=10m/s2）

（ 2）小物块由 A运动到 B，根据运动学公式有

（ 3）设小物块在 C点以初速度 vC 运动，恰好回到 A点，由动能定理得

（ ）小物块受到斜面的摩擦力1 f mg1 cos

在平行斜面方向由牛顿第二定律mg f masin 1

解得a g g m s sin cos . / 4 0 2

v aL v aL m sB B2 2 2 2 0 解得 . / 小物块由 运动到 的过程中所受摩擦力为B C f mg2

根据动能定理有： f s mvBC B220

1

2解得s mBC 080.

mgL f L f s mvBC Csin 1 220

1

2

解得v m s m sC 2 3 35/ . /

练习：在海滨游乐场里有一种滑沙的游乐活动。如图所示，人坐在滑板上从斜坡的高处由静止开始滑下，滑到斜坡底端 B点后沿水平的滑道再滑行一段距离到C点停下来。若某人和滑板的总质量 m ＝ 60.0kg ，滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数相同，大小为 μ ＝ 0.50 ，斜坡的倾角 θ ＝ 37° 。斜坡与水平滑道间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，重力加速度 g取 10m／ s2 。

　　 (1) 人从斜坡滑下的加速度为多大 ? 　　 (2)若出于场地的限制，水平滑道的最大距离为 L

＝ 20.0m ，则人在斜坡上滑下的距离 AB 应不超过多少 ?

　　 (sin37°=0.6 ， cos37° ＝ 0.8)

根据牛顿第二定律： 　

根据动能定理：

sin cosmg mg ma

2(sin cos ) 2 /a g m s

sin cos 0 0AB AB BCmg S mg S mgS

50sin cos

BCAB

SS m

练习 2 、如图所示，质量 m=100g 的小物块，从距地面 h=2.0m 处的斜轨道上由静止开始下滑，与斜轨道相接的是半径 r=0.4m 的圆轨道，若物体运动到圆轨道的最高点 A 时，物块轨道的压力恰好等于它自身所受的重力，求物块从开始下滑到 A点的运动过程中，克服阻力做的功 .(g=10m/s2)

解：设物块克服阻力做功的 Wf, 物块在 A点的速度为 vA, 由动能定理得： （ 1） 3分

对在 A 时的物块受力分析，设 N 为轨道对物块的压力，由牛顿第二定律得：

（ 2） 3分 设物块对轨道的压力为 N′ ，据牛顿第三定律知： N′ 与 N 大小

相等，据题意： N′=mg, ∴N=N′=mg （ 3） 1分 联立（ 1）（ 2）（ 3）并代入数据得： Wf=0.8J 2分

2

2

1)2( Af mvWrhmg

r

vmmgN A

2

典型 3 ：传送带模型 9 、如图所示，为机场安全检查使用的水平传送带，它的水平传送带 AB的长度为 L=6m ，两皮带轮直径均为 D=0.2m ，上面传送带距地面高为 H=0.45m ，与传送带等高的光滑水平台面上有一旅行包以 v0=5m/s 的初速度滑上传送带，旅行包与传送带间的动摩擦因数 μ=0.2 ， g取 10m/s2 。求：

（ 1）若传送带静止，旅行包滑到 B端时，人没有及时取下，包将从 B处滑出，则包的落地点距 B端的水平距离 S。

（ 2）当皮带轮匀速转动时，为了防止旅客包中的易碎物品的损坏，应在地面上放置缓冲垫， 缓冲垫距 B端的水平距离为多少 ? 缓冲垫至少要多长 ? (皮带不打滑， 缓冲垫厚度忽略不计 )

HL

v0

BA

解：⑴旅行包从传送带的 A 端滑到 B 端的过程中，由动能定理 W 合=△Ek 得-μmgL= (1/2)mvB2 － ( ½)mv02 (2 分 )∴ vB= =1m/s (2 分 )旅行包从 B 端滑出后作平抛运动，竖直方向有 H=1/2gt2 ∴ t==0.3s (1 分 )水平方向有 S= vB t=0.3m (1 分 )⑵ 若包从 B 端滑出时有最小速度，则从 A 到 B 的过程中，摩擦力对包始终做负功，所以有 － μmgL=(1/2) mvBmin2 － (1/2)mv02 (2分 )∴ vBmin= =1m/s (2 分 )∴Smin= vBmin t=0.3m 即缓冲垫距 B 端的水平距离为 0.3m ， (2分 ) 若包从 B 端滑出时有最大速度，则从 A 到 B 的过程中，摩擦力对包始终做正功，所以有 μmgL= (1/2)mvBmax2 － (1/2)mv02 (2分 )∴vBmax= =7m/s (2 分 )∴Smax= vBmax t=2.1m (2 分 )即缓冲垫的长度至少为 l= Smax － Smin=1.8m (2 分 )

练习： 如图所示，传送带与地面倾角 θ=370 ，从 A 到

B 的长度为 16m ，传送带以 10m/s 的速率逆时针转动，在传送带上的 A 处无初速地释放一个质量为0.5kg 的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为 0.5 。求：

（ 1）物体从 A 运动到 B 所需的时间； 2）此过程中传送带对物体的摩擦力所做的功； （ 3）此过程中传送带与物体构成的系统摩擦所产

生的热。

A

B

解（ 1）设 A 物体由静止到达到 10m/s 的速度所走位移为 S1 ，所用时间为 t1 ，加速度为 a1 。

经受力分析知： 解得

由匀变速直线运动的速度位移公式 得 ＜ 16m

物体速度大于 10m/s后，所受摩擦力方向改为沿带向上，此时加速度

（ 2分） 所以，后一阶段所用时间由 解得 物体从 A 到 B 所需时间为 T=t1+t2=2s （ 1分）

（ 2）摩擦力对物体先做正功，后做负功，总功

（ 3）整个过程中物体相对于传送带的路程 S=6m 系统克服摩擦力做功 12J ，所以 Q热 =12J

1cossin mamgmg 2

1 /10 sma

ma

vS 5

2 1

2

1

22 /2cossin smgga

2221 2

1tavtSS st 12

JSmgSmgW 12coscos 21

竖直多过程模型 跳高运动员从地面起跳后上升到一定的高度，跃

过横杆后落下，为了避免对运动员的伤害，在运动员落下的地方设置一片沙坑．某运动员质量为 60.0kg ，身高为 1.84m ．运动员从距地面高度为 1.90m 的横杆上落下，设运动员开始下落的初速度为零，他的身体直立落地，双脚在沙坑里陷下去的深度为 10cm ，自由下落过程重心下落的高度为 1.25m ．忽略他下落过程受到的空气阻力．求：

（ 1）运动员在接触沙坑表面时的速度大小； （ 2）沙坑对运动员平均阻力的大小．（重力加速

度 g取 10m/s2）

解析：（ 1）运动员从高处落下到接触沙坑表面的过程中，运动员重心下落的高度 h＝ 1.25m ，下落过程机械能守恒，即mgh＝　　

解得运动员落到地面的速度为 v＝ ＝ 5.0m/s （ 2）运动员从下落到沙坑中停下，这个过程中初

末动能都为零，重力做的功等于运动员克服沙坑阻力做的功，即　mg（ h＋ l）＝　　

得　　 解得　 ＝ 8.1× N ．

2

2

1mv

gh2

lFf

l

lhmgFf

)(

fF310

竖直多过程模型 在建筑工地上 ,我们常常看到工人用重锤将柱桩打入地

下的情景 . 对此 ,我们可以建立这样一个力学模型 : 重锤质量为 m, 从 H 高处自由下落 ,柱桩质量为 M, 重锤打击柱桩的时间极短且不反弹 . 不计空气阻力 ,桩与地面间的平均阻力为 f .利用这一模型 , 有位同学求出了重锤一次打击桩进入地面的深度 :

设桩进入地面的深度为 h,则对重锤开始下落到锤与桩一起静止这一全过程运用动能定理有

mg(H+h)+Mgh-fh=0-0 得出 h= ⑴你认为该同学的解法是否正确 ?请说出你的理由 . ⑵假设每一次重锤打击柱桩时锤的速度为一定值 ,要使每一次重锤打击后桩更多地进入地下 , 为什么要求锤的质量远大于桩的质量 ?

fgmM

mgH

)(

答案：⑴不对 . 因为在锤与桩碰撞过程中系统动能有损失 .

⑵打桩过程中可以等效为两个阶段 ,第一阶段锤与桩发生完全非弹性碰撞 ,即碰后二者具有相同的速度 ,第二阶段二者一起克服地面泥土阻力而做功 ,桩向下前进一段 ,我们希望第一阶段中的机械能损失尽可能小 , 以便使锤的动能中的绝大部分都用来克服阻力做功 , 从而提高打桩的效率 .

设锤每次打桩时的速度都是 v, 发生完全非弹性碰撞后的共同速度是 v’,则mv=(M+m)v’非弹性碰撞后二者的动能 EK=(1/2)(M+m)v’2= 当M>>m 时 ,碰后二者的动能越趋向于 (1/2)mv2( 初动能 )即能量在碰撞过程中损失趋向于零 .故要求 M>>m