第二章曲线和曲面造型基础

第二章曲线和曲面造型基础

2.1 微分几何基础

2.3 NURBS 曲线与曲面

2.2 图形变换

2.4 曲线与曲面造型方法


11 、矢量代数、矢量代数

O

x

yz

x1y1

z1

A

B

P(x1,y1,z1)

a

x

yz

a

bc

P

Q

1 1 1x y z a i j k

空间三维点空间三维点 PP （（ x1,y1,z1)x1,y1,z1) 的矢量表示：的矢量表示：


O

x

yz

x1y1

z1

A

B

P(x1,y1,z1)

a

x

yz

a

bc

P

Q

a

b a - b

A

矢量加法：矢量加法： 1 2 1 2 1 2x x y y z z c a b i j k

1 2 1 2 1 2x x y y z z a b矢量点乘：矢量点乘：

点乘的几何表示形式为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第二个矢量为单位矢量）的投影长度。


a

b a - b

A

矢量叉乘： 1 1 1

2 2 2

sinx y z

x y z

i j k

a b a b u


叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量 a 和 b 所构成的平行四边形的面积。

y f x

22 、曲线几何、曲线几何

曲线的表示方法：曲线的表示方法：

隐式曲线：隐式曲线：

显式曲线：显式曲线：

参数曲线：参数曲线：

, 0g x y

, , , ,x y z x t y t z t


O

P(x, y)

x

y

O

P(x, y)

x

y

Q

2 2 1 0x y

1/ 221y x

cosx x

siny y

隐式：隐式：

显式：显式：参数参数 ::


O

P(x, y)

x

y

O

P(x, y)

x

y

Q

tan 1y x t 2 21 1x x t t t

22 1y y t t t

有理多项式参数形式：

以直线 PQ 与 x 轴的夹角 α 为参数：


隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；而显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。而显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。


参数曲线：容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。

因此，在课程中的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。

推而广之，曲面是指参数曲面。

参数曲线的矢量表示： , ,t x t y t z tr


曲线的性质：曲线的性质：速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率

半径。半径。


速率：速率：


单位切矢：单位切矢：不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。

单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。

0

ss t dt r

d dsT r

t tT r r

弧长：

单位切矢：

链式法则：


曲率：曲率：

曲率的定义：

链式法则后：

二维显式曲线 y = y(x) 的曲率：

d ds T

3

r r

r

3/22" 1 'y y


法矢：法矢：主法矢的定义：

副法矢：

d dt d dt d ds d ds N T T T T

B T N

切矢、主法矢和副法矢定义了一个坐标系。

T

N 密切圆

密切面


曲率半径：曲率半径：定义为密切圆的半径，即定义为密切圆的半径，即

T

N 密切圆

密切面

1


例：求单位圆的单位切矢和曲率半径。例：求单位圆的单位切矢和曲率半径。


空间曲线的挠率：空间曲线的挠率：

d ds B N

空间曲线空间曲线 Serret-FrenetSerret-Frenet 公式公式：：

d ds r T d ds T N

d ds N B T d ds B N


33 、曲面几何、曲面几何

曲面表示的分类：曲面表示的分类：

隐式曲面： , , 0g x y z

显式（非参）曲面：

参数曲面：

, , , , , ,u v x u v y u v z u vr

, , , ,u v u v z u vr ,z z x y或

2 2 2 1 0x y z

, cos cos ,sin cos ,sinu v u v u v vr

1/22 21z x y


u

v

u(t) u

vr(u,v)

r(t)

r

ur

vr

Tt u t v t u

参数域上的二维曲线：

,

, , , , ,

t u t v t

x u t v t y u t v t z u t v t

r r

映射为空间中曲面上的曲线：

注意等参线的定义。


曲面的切矢：曲面的切矢：

u

v

u(t) u

vr(u,v)

r(t)

r

ur

vr


曲面的法矢：曲面的法矢：

u

v

u(t) u

vr(u,v)

r(t)

r

ur

vr



第一基本式矩阵：第一基本式矩阵：

u vu v r r r Au

2 T T T T r r r r r u A Au u Gu 切矢的模：切矢的模：

切矢：切矢：

第一基本式矩阵：第一基本式矩阵：

u u u vT

u v v v

r r r rG A A

r r r r

u vA r r

,T

d t dt du dt dv dt u v u u


应用：计算曲面的面积应用：计算曲面的面积

u u u vT

u v v v

r r r rG A A

r r r r

1/ 2

u vS dudv dudv r r G

1/ 2T T r r Au u Gu

单位切矢：单位切矢：



第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：

uu uv u vv uv vu u v u v v u v r r r r r r r

点乘单位法氏点乘单位法氏 n n ，有，有

2 22uu uv vv

T

u uv v

r n r n r n r n

u Du

uu uv

uv vv

r n r nD

r n r n第二基本式矩阵：第二基本式矩阵：


法曲率：法曲率：

点乘单位法氏点乘单位法氏 n n ，有，有

d dt d s dt s s

s s s

r r T T T

T N

2s r n N n

2T T Tn s N n u Du u Du u Gu





主曲率：主曲率：



2.2 图形变换

在 CAD/CAM 系统中，几何图形是最基本的元素，无论采用何种几何建模方法表达设计对象，最终都要转化为几何图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的。图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。因此，从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变换成新图形上对应点的坐标—点的坐标变换。

2.2 图形变换

齐次坐标的概念：齐次坐标的概念：

2.2 图形变换

齐次坐标下的图形变换：齐次坐标下的图形变换：

2.2 图形变换

11 、二维变换、二维变换基本变换基本变换

比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映射变换）、旋转变换、平移交换、错切变换、透视变换等。

变换矩阵：a b p

c d q

l m s

T

2.2 图形变换

2.2 图形变换

5,3A

a b

c

d e

f

g

h

i

'a

'b

'c

x

y

①

②

③④

2.2 图形变换

2.2 图形变换

22 、三维变换、三维变换

基本变换基本变换

比例变换（缩小与放大）、平移变换、旋转变换、对称变换（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等。

变换矩阵：

a b c p

d e f qT

g h i r

l m n s

2.2 图形变换

基本变换基本变换

2.2 图形变换

2.2 图形变换

组合变换组合变换

2.2 图形变换

2.2 图形变换

2.2 图形变换

10),()(0

,

ttBtn

jnjjbp

njttCtB jnjjnnj ,...,1,0,)1()(,

Bézier 曲线的定义

为曲线的控制顶点为曲线的控制顶点

BernsteinBernstein 基函数基函数

jb


11 、、 BézierBézier 曲线曲线


Bernstein 基函数的性质

非负性非负性权性权性对称性对称性递推性递推性导数递推性导数递推性

, ( ) (1 ) , 0,1,...,j j n jj n nB t C t t j n

10 t

,

1, 0(0)

0, 0j n

j

j

B ,

1,(1)

0,j n

j n

j n

B端点处：


非负性非负性权性权性对称性对称性递推性递推性导数递推性导数递推性

njttCtB jnjjnnj ,...,1,0,)1()(, 10 t

1)(0

,

n

jnj tB

n

j

n

jn,j

jnjin

n

tttC

tt

0 0

)()1(

])1[(1

B

证明：证明：


非负性非负性规范性规范性对称性对称性递推性递推性导数递推性导数递推性


)1()( ,, tBtB njnnj

jnjjnnj ttCtB )1()(,

jjnjn

jjnjnnnjn ttCttCtB

)1()1()1(,



1)(

)()()1()(

00

1,11,,

t

ttttt njnjnj

，其中，B

BBB

)()()1(

)1()1(

)1()(

)1()(

1,11,

111

111

,

tttt

ttCttC

ttCC

ttCt

njnj

jnjjn

jnjjn

jnjjn

jn

jnjjnnj

BB

B

证明：证明：




)]()([)( 1,1,1, ttnt njnjnj BBB

)]()([

)1()1(

)1()()1(

)(

1,1,1

11

111

11

,

ttn

ttnCttnC

ttjnCtjtC

t

njnj

jnjjn

jnjjn

jnjjn

jnjjn

nj

BB

B

证明：证明：



端点性质端点性质几何不变性几何不变性对称性对称性凸包性凸包性变差减小性变差减小性保凸性保凸性

10),()(0

,

ttBtn

jnjjbp

00

010 j,j,)(n,jB

nj

njnj ,0

,1)1(,B

nbp

bp

)1(

)0( 0

通过首、末控制顶点



)()-(

)]()([)(

1111

1110

tBn

tBtBnt

n,jjj

n

j

n,jn,j

n

jj

bb

bp

)]()([)( 1,1,1, ttnt njnjnj BBB因为

所以

)()1(

)()0(

1

01

nnn

n

bbp

bbp

类似地有：

)]())[(1()1(

)]())[(1()0(

211

0112

nnnnnn

nn

bbbbp

bbbbp

跟首末各一条边有关

跟首末各两条边有关



10),()(0

,

ttBtn

jnjjbp

1)(0

,

n

jnj tB

☆☆ 曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地确定。原因可以从基函数的权性得到解释。确定。原因可以从基函数的权性得到解释。



☆ 由基函数的对称性决定。只要控制顶点顺序颠倒一下，即可实现对曲线的反向。

)1()( ,, tBtB njnnj 因为

颠倒控制多边形顶点的顺序，即 jn*j bb

则新曲线为：

)-(1

)-(1)-(1

)()()(

00

00

t

tBtB

tBtBt

n

jn,jj

n

jn,jnjn

n

jn,jjn

n

jn,j

*j

*

p

bb

bbp


端点性质端点性质几何不变性几何不变性对称性对称性凸包性凸包性变差减小性变差减小性保凸性。保凸性。

10),()(0

,

ttBtn

jnjjbp

☆ ☆ Bézier 曲线的实质是一系列绝对矢量的凸组合（加权组合）。此性质便于确定 Bézier 曲线的范围。

凸包示意图



10),()(0

,

ttBtn

jnjjbp

☆☆ Bézier 曲线比其控制多边形更光滑，拐折减少。



10),()(0

,

ttBtn

jnjjbp

☆ ☆ 是变差减小性的推论。是变差减小性的推论。


1. 几何作图法几何作图法

2. 递归分割算法递归分割算法

knjnktbbt

kb

nktBt

kj

kj

jkj

kn

jknj

kj

,...,2,1,0,,...,2,1)1(

0

,...,1,0),()(

11

1

0,

b

bp

Bézier 曲线的递推定义


用递推算法求出曲线上的一点用递推算法求出曲线上的一点 p(tp(t**))，该点把曲，该点把曲线分为两段线分为两段 BézierBézier 曲线，它们的控制顶点分别曲线，它们的控制顶点分别如图所示。如图所示。

Bézier 曲线的分割


张量积 Bézier 曲面

给定空间点阵给定空间点阵 bbi,ji,j , , ii=0,1,…,=0,1,…,mm; ; jj=0,1,…,=0,1,…,nn 。构造张量积曲面：。构造张量积曲面：

1,0

)(

)(

)(

)()()(),(

,

,1

,0

,1,0,

,11,10,1

,01,00,0

,,1,0

vu

vB

vB

vB

uBuBuBvu

nn

n

n

nmmm

n

n

mmmm

bbb

bbb

bbb

p


• B- 样条曲线示例。

三次均匀 B-样条曲线

22 、、 B-B-样条曲线样条曲线


1. 三次均匀 B-样条曲线段

10])()()()([)(

3i

2i

1i

i

43424140

u,uNuNuNuNu ,,,,i

V

V

V

V

p

B

,,,,

Muuu

uuu

uNuNuNuN

32

32

43424140

1

1331

0363

0303

0141

!311

])()()()([

其中：


三次均匀 B-样条曲线段的端点性质 :

3

2

132

1331

0363

0303

0141

!3

11)(

i

i

i

i

uuuu

V

V

V

V

p

])(2

1[2

)()()0(

)(2

1)0(

)4(6

1)1(

)4(6

1)0(

12

112

2

321

21

iii

iiiii

iii

iiii

iiii

VVV

VVVVp

VVp

VVVp

VVVp


☆ ☆ 均匀均匀 B-B-样条曲线的几何性质：样条曲线的几何性质：直观性。直观性。局部性。比比 BezierBezier 曲线更强的凸包性曲线更强的凸包性。保凸性。对称性－－曲线易于反向。与 BezierBezier 曲线一样具有几何不变性、变差减小性曲线一样具有几何不变性、变差减小性。


☆ ☆ 讨论几种退化情况：讨论几种退化情况：

三点共线三点共线

四点共线四点共线

两顶点重合两顶点重合

三顶点重合三顶点重合


二次均匀 B样条曲线：

10])()()([)(

2i

1i

i

323130

u,uNuNuNu ,,,i

V

V

V

p

端点性质：

)(21)1(

)(21)0(

21

1

iii

iii

VVp

VVp

12

1

)1(

)0(

iii

iii

'

'

VVp

VVp


非均匀非均匀 BB样条曲线样条曲线

1. 均匀 B样条存在的问题

2. 非均匀 B样条基函数的定义 :


1,0

1, , 1 1, 1

1 1

1( )

0

( ) ( ) ( )

00

0

i ii

i i mi m i m i m

i m i i m i

if u u uN u

otherwise

u u u uN u N u N u

u u u u

规定＝

],[,

),[,

)(

2112

2

11

1,

iiii

i

iiii

i

i

uuuuu

uu

uuuuu

uu

uN

☆ B-样条基函数的支撑区间为 [u i , u i+m+1]


☆ ☆ 节点重复度增加节点重复度增加 11 ，支撑区间中减少一个非零节点区间，支撑区间中减少一个非零节点区间，该节点处的可微性降低，该节点处的可微性降低 11 次。例：次。例：

],[,

),[,

)(

2112

2

11

1,

iiii

i

iiii

i

i

uuuuu

uu

uuuuu

uu

uN

21 ii uu

零阶连续零阶连续零阶不连续零阶不连续

！根据！根据 CCk-rk-r 连续性的结论，可在连续性的结论，可在 B-B- 样样

条曲线内部构造尖点和尖角甚至断点。条曲线内部构造尖点和尖角甚至断点。


☆ ☆ 端节点重复度为端节点重复度为 mm＋＋ 11时，时， B-B-样条曲线具有与样条曲线具有与 BBéézierzier曲线相同的端点性质。曲线相同的端点性质。

☆ ☆ 端节点重复度为端节点重复度为 mm＋＋ 11 ，其它内部节点的重复度均为，其它内部节点的重复度均为 11，且均匀分布时，称为，且均匀分布时，称为准均匀准均匀 B-B-样条曲线。样条曲线。


, , ,0 0

( , ) ( ) ( )m n

i j i k j li j

u v N u N v

p d

k l次 B样条曲面可以表达为：

其中，为呈拓扑矩形排列的曲面的控制顶点阵列。 B-样条曲面为张量积曲面。

,i jd


• NURBS——Non-Uniform Rational B-Spline

• Bezier 方法、 B样条方法回顾与分析，有待解决的一个重要问题是自由曲线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确统一表示。

• 1974 ，美国的 K. J. Versprille 以博士论文的形式发表了第 1篇有关 NURBS 的文章，以后 L. Piegl 和 W. Tiller 对 NURBS进行了深入研究，使之在理论和应用上趋于成熟。 IGES 和 STEP 标准分别将其列为优化类型和唯一的自由曲线曲面表示方法。


学习NURBS重点掌握的问题：

1. NURBS的定义

2. 权因子的意义

3. 圆锥截线的 NURBS表示

4. NURBS的各种算法

5. 各种构型曲面的 NURBS表示

☺NURBS

B-Spline

Rational Bézier

Bézier


有理分式表示 :

n

oikii

n

oikiii

uN

uNu

)(

)()(

,

,

dp

其中，其中， wwi , i=0,1,…,n 为与控制顶点相联系的权因子。 ww0 ， wwn>0

其余 wwi ≥ 0 。 N i,k 为 k 次规范 B样条基函数。

id


有理基函数表示有理基函数表示

n

oikii uRu )()( ,dp

n

ojkjj

kiiki

uN

uNuR

)(

)()(

,

,,

有理有理 B-B-样条基函数的性质：样条基函数的性质：•局部支撑性质局部支撑性质

•规范性规范性

•可微性可微性节点区间内节点区间内 ,,节点区间上节点区间上

•若若，则•若若，则•若若，则•若若，则

],[,0)( 1, kiiki uuuuR

1)(,

n

oiki uR

0)(, uR ki

1)(, uR kii

j 0)(, uR ki

0i

C rkC

njj ,...,2,1,1

otherwiseuN

UifuBuR

ki

kk

ki

ki

)(

],...,,,...,[),()(

,

,

,11

1100


齐次坐标表示齐次坐标表示

0],,[

0],,[],,[],,,{[

ifZYX

ifZYX

zyxZYXH

的直线的无限远点在从原点通过


NURBSNURBS 的定义步骤：的定义步骤：1.1. 确定带权控制顶点确定带权控制顶点

][][ iiiiiiiii zyx ii dD

2. 2. 用带权控制顶点定义一条齐次空间中用带权控制顶点定义一条齐次空间中的的 KK 次次 B-B-样条曲线样条曲线

])()()([

)()(

0,

0 0,,

0,

n

ikii

n

i

n

ikiiikiii

n

ikii

uNuNyuNx

uNu

DP

3.3. 将齐次空间中的将齐次空间中的 KK 次次 B-B-样条曲线投样条曲线投影到的平面上，得影到的平面上，得1

n

ikii

n

ikiii

n

ikii

n

ikiii

n

ikii

n

ikiii

uN

uN

uN

uNy

uN

uNxu

0,

0,

0,

0,

0,

0,

)(

)(]

)(

)(

)(

)([)(

dp


权因子的几何意义权因子的几何意义

权因子的几何意义示意图权因子的几何意义示意图

共线四点的交比：共线四点的交比：

i

)1(1

:pm

pd:

nm

nd ii

讨论：权因子对曲线形状的影响讨论：权因子对曲线形状的影响


圆锥截线的 NURBS 表示

三段圆弧表示整圆三段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆四段圆弧表示整圆

]1,1,1,,,,,0,0,0[ 32

32

31

31U ]1,1,1,,,,,,,0,0,0[ 4

343

42

42

41

41U


用如图所示的标准型二次有理 Bézier 曲线（ NURBS的一个特例）表示给定的圆锥截线，主要任务是确定 w1 。

22

102

222

11002

)1(2)1(

)1(2)1()(

uuuu

uuuuu

bbb

p

0)(m,bbp 1 )()( 2021

21

)(,bp 1 121 )(

所以，当所以，当 ww11 为任意值时，曲线上的为任意值时，曲线上的 p(1/2)p(1/2) 点在点在 mbmb11 的连线上的连线上。。

1

112021

41

121

41

241

1121

041

21

1

)()(

bbbbbb

pn

f

1

1

11

111

1

)

)1

1mb

mn

n-mb(n

bmn( 二次曲线二次曲线弧的形状弧的形状

因子因子


对于圆弧，可以证明对于圆弧，可以证明

212

2

1

coscos1

cos

mb

mn

可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：

20

2110

bb

bbbb

，直线）（

，椭圆弧）（），（

，抛物线）（

，双曲线）（），（和），一对直线即

00

1~00

1

~11

(1

1

121

121

121

1

f

f

1

1

1

1mb

mn

讨论：讨论：负权因子；负权因子；节点插入；节点插入；

给定控制顶点给定控制顶点 bb00[0 0][0 0] 、、 bb11[1 0] [1 0] 、、 bb22[0 1][0 1] 及权因及权因子子 ww00= = ww22 =1, =1, ww11=1/2 =1/2 ，定义一条平面有理二次，定义一条平面有理二次 BBéé

zierzier 曲线曲线 p(u),0p(u),0≤≤ u u≤≤ 1. 1. （（ 11 ）求插入一个节点）求插入一个节点 11/2/2 后，新的控制顶点及相应的权因子；（后，新的控制顶点及相应的权因子；（ 22 ）求）求曲线上参数为曲线上参数为 1/21/2 的点的点 pp(1/2)(1/2) 。。

习习

题题


m

i

n

jljkiji

m

i

n

jljkijiji

vNuN

vNuN

vu

0 0,,,

0 0,,,,

)()(

)()(d

),(p

NURBSNURBS 曲面方程：曲面方程：

m

r

n

slskrsr

ljkijiljki

m

i

n

jljkiji

vNuN

vNuNvuR

vuRvu

0 0,,,

,,,,;,

0 0,;,,

)()(

)()(),(

),(),(

dp


拟合：

2.4 曲线与曲面造型方法曲线与曲面造型中的常用术语曲线与曲面造型中的常用术语


光顺：


几何连续性：


参数连续性：


几何连续性：


裁剪曲面：

u

v

u

v

r(u,v)

内环1

内环2

外环1


曲面设计：


拉伸：截面曲线

确定深度

生成

拉伸

拉伸曲面

图 2.25 拉伸曲面生成过程


拉伸的数学描述：拉伸的数学描述：

给定母线给定母线

m

iiki uRu

0, )()( dr ，驱动方向，，驱动方向，R 驱动距离驱动距离 d d

，，可构造可构造 NURBSNURBS列表柱面：列表柱面：

m

i jjijki vuRvu

0

1

0,1,;, d),(),(p

其中，其中， Rdd,dd 1,0, diiii


旋转：

图 2.26 旋转曲面生成过程

母线

旋转轴

旋转

旋转角度

生成

旋转曲面


旋转曲面的数学表示：

给定母线给定母线

n

ijlj vRv

0, )()( dr

将上式同圆的将上式同圆的 NURBSNURBS 定义方法相结合，便可得到旋转面：定义方法相结合，便可得到旋转面：

m

i

n

jjilji vuRvu

0 0,,;2, d),(),(p

其中，其中，

miji ,...,1,0, ，d 应根据应根据 ddjj 来获得来获得 ..


扫成：


变剖面扫成：

图 2.28 可变剖面的扫成

（ a ）轨迹曲线组

（ c ）辅助轨迹曲线组（ d ）可变剖面扫成曲面

箭头方向

（ b ）设定原始轨迹

选为原始轨迹


水箱 NURBS 曲面

剖面线剖面线 ++轮廓线轮廓线 ++扫掠规则扫掠规则

剖面线在扫动过程中的变化方式剖面线在扫动过程中的变化方式

同步扫掠同步扫掠脊线扫掠脊线扫掠平行扫掠平行扫掠旋转扫掠旋转扫掠

工程需求的反映工程需求的反映


蒙皮：

单向蒙皮曲面的生成过程

选取参考截面线单向蒙皮曲面

生成


单向蒙皮曲面：单向蒙皮曲面：

飞机翼型截面

方法步骤：方法步骤：检取各截面线检取各截面线升阶，统一次数升阶，统一次数插入节点，统一节点矢量插入节点，统一节点矢量确定确定 vv 向节点矢量向节点矢量 vv 向向 NURBSNURBS 控制顶点反控制顶点反算算正向计算正向计算


汽车后桥曲面

双向蒙皮曲面：双向蒙皮曲面：

方法步骤：方法步骤：构造构造 uu 向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。构造构造 vv 向单向蒙皮曲面。向单向蒙皮曲面。构造由构造由 uu 、、 vv 向截面线的交点向截面线的交点组成的点阵形成的张量积曲面。组成的点阵形成的张量积曲面。通过节点插入和升阶使三张曲通过节点插入和升阶使三张曲面在两个方向上分别具有相同的面在两个方向上分别具有相同的次数和节点矢量。次数和节点矢量。进行布尔和运算，得到最终曲进行布尔和运算，得到最终曲面。面。


涡轮叶片排气管 NURBS 曲面

型芯 NURBS 曲面

曲线曲面造型方法应用实例曲线曲面造型方法应用实例


柴油机汽缸盖

手电钻手电钻

整体叶轮整体叶轮


The End

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第二章 曲线和曲面造型基础

第二章曲线和曲面造型基础