Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур

Использование модели Кейна для расчета

энергетического спектра полупроводниковых структур

М.С.Жолудев

научные руководители:д.ф.-м.н. В.Я.Алешкин

д.ф.-м.н. В.И.Гавриленко

Содержание• Введение• Описание однородных полупроводников

– kp-метод– модель Кейна

• Учет неоднородностей– плавное поле– гетероструктуры

• Примеры расчетов

1. Введение

Введениегамильтониан электрона в кристалле:

)()(

ˆ)(4

)(2

ˆ)ˆ(ˆ

22

2

rRr

σprrp

p

VV

Vcm

Vm

Hee

R – вектор прямой решетки

Теорема Блоха

1,, ),()( krr kkr

k ni

n ue

гамильтониан электрона в кристалле:

собственная функция:

)()(

ˆ)(4

)(2

ˆ)ˆ(ˆ

22

2

rRr

σprrp

p

VV

Vcm

Vm

Hee


медленнаяогибающая

быстро осциллирующаяпериодическая часть


)()(

)ˆ(ˆ

rRr

kp

uu

EuuH



)()(

ˆ)(4

)(2

ˆ)ˆ(ˆ

22

2

rRr

σprrp

p

VV

Vcm

Vm

Hee

уравнение дляблоховских функций:


1,, ),()( krr kkr

k ni

n ue

)()(

)ˆ(ˆ

rRr

kp

uu

EuuH ),(,),(

),(,),(

,,1

1

rr

kk

kk n

n

uu

EE



)()(

ˆ)(4

)(2

ˆ)ˆ(ˆ

22

2

rRr

σprrp

p

VV

Vcm

Vm

Hee

уравнение дляблоховских функций: … и его решения:



1,, ),()( krr kkr

k ni

n ue


)()(

)ˆ(ˆ

rRr

kp

uu

EuuH ),(,),(

),(,),(

,,1

1

rr

kk

kk n

n

uu

EE



)()(

ˆ)(4

)(2

ˆ)ˆ(ˆ

22

2

rRr

σprrp

p

VV

Vcm

Vm

Hee

уравнение дляблоховских функций: … и его решения:


частично можем получитьиз эксперимента

1,, ),()( krr kkr

k ni

n ue

Выводы

• Нельзя вычислить зонную структуру непосредственно решая уравнение Шредингера, т.к. периодический потенциал неизвестен

• Часть информации о зонной структуре можно получить из эксперимента, а остальное «достроить» с помощью приближенных методов

2. kp-метод

kp-гамильтониан

σkrσpr

rkpkp

kp

)(4

ˆ)(4

)(2

ˆ

2

ˆ)ˆ(ˆ

22

2

22

222

Vcm

Vcm

Vmmm

H

ee

eee

)()(

)ˆ(ˆ

rRr

kp

uu

EuuH

kp-гамильтониан

)()(

)ˆ(ˆ

rRr

kp

uu

EuuH

Базис блоховских функций

kk kkpk

p ,,

22

)(2

ˆ)ˆ(ˆ nnn

ee

uEumm

H


)()( ,, rr kkr

k ci

c ue

kk kkpk

p ,,

22

)(2

ˆ)ˆ(ˆ nnn

ee

uEumm

H


)()( ,, rr kkr

k ci

c ue

,2,1),(, nun rk

Базис для периодических функций:

kk kkpk

p ,,

22

)(2

ˆ)ˆ(ˆ nnn

ee

uEumm

H

По нему можно разложить любуюпериодическую функцию

Базис Кона-Латтинжера

,2,1),(0, nun r


0,0, )0()ˆ(ˆ nnn uEuH p

)()( ,, rr kkr

k ci

c ue

0k

По нему можно разложить любуюпериодическую функцию

– в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше


,2,1),(0, nun r


n

nnc uCu )()( 0,, rrk

По нему можно разложить любуюпериодическую функцию:

)()( ,, rr kkr

k ci

c ue


0k – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше


n

ni

nc ueC )()( 0,, rr krk

,2,1),(0, nun r


Базис Кона-Латтинжера:


0k – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше

Теория возмущений

cn

ni

nci

c ueCue )()()( 0,)1(

0,, rrr krkrk

возмущение



)()( 0,)0(, rr krk c

ic ue

)0()()0( cc EE k

ecn nc

nc

c mEE

uuE

2)0()0(

ˆ)(

222

0,0,)1( kpkk

kk kkpk

p ,,

22

)(2

ˆ)ˆ(ˆ nnn

ee

uEumm

H

2-й порядок 1-й порядок


)()( 0,)0(, rr krk c

ic ue

)0()()0( cc EE k

ecn nc

nc

c mEE

uuE

2)0()0(

ˆ)(

222

0,0,)1( kpkk

kk kkpk

p ,,

22

)(2

ˆ)ˆ(ˆ nnn

ee

uEumm

H

2-й порядок 1-й порядок

kmkk 12

2)0()( T

cc EE

или

зона проводимостивсегда получается параболической

kp-метод

• Зависимость энергии от k рассматривается как возмущение, вызванное влиянием других зон

• Эта зависимость аппроксимируется некоторой функцией, параметры которой извлекают из экспериментальных результатов.

• Невырожденная зона всегда получается параболической

3. Модель Кейна

Evan O. Kane,“Band structure of indium antimonide”,J. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957)

Модель Кейна

cn

ni

nci

c ueCue )()()( 0,)1(

0,, rrr krkrk




in

nni

iii

ic uCeuCe )()()( 0,

)1(0,

)0(, rrr krkrk




in

nni

iii

ic uCeuCe )()()( 0,

)1(0,

)0(, rrr krkrk



cci ,

hhhhi ,

lhlhi ,

shshi ,

Гамильтониан Кейна – матрица

8

1

C

C

ψ

)(

)(

8

1

r

r

u

u

u

ψukr Tie

ψuψukp TT EH )ˆ(ˆ

EH ˆУравнение Шредингера:

Векторная запись волновой функции:

где

ψψukpu EH T )ˆ(ˆ

Гамильтониан Кейна

ee mmH

2

ˆ)ˆ(ˆ

22kpkp

em

pk ̂возмущение

em

pk ̂возмущение

Гамильтониан Кейна (фрагмент)

H

c

c

hh

lh

lhhhcc

cE

cE

vE

vE

энергияв Г-точке


H

c

c

hh

lh

lhhhcc


взаимодействиебазисныхфункций

+

ec m

kE

2

22

ec m

kE

2

22

ev m

kE

2

22

ev m

kE

2

22

Pk2

1zPk

3

2

Pk6

1

Pk6

1

Pk2

1

zPk3

2


H

c

c

hh

lh

lhhhcc


взаимодействиебазисныхфункций

+

e

c m

kE

2

22

e

c m

kE

2

22

e

v m

kE

2

22

e

v m

kE

2

22

Pk2

1zPk

3

2

Pk6

1

Pk6

1

Pk2

1

zPk3

2

+ возмущение

Гамильтониан Кейнаc

c

c

c

hh lh sh

hh

lh

sh

lh hh

lh

hh

sh

sh

T Pk2

1

T

zPk3

2

Pk6

1zPk

3

2

Pk6

1

Pk2

1

Pk3

1

Pk3

1

zPk3

1

zPk3

1

VU

VU

VU

VU

U

U

R

R

*S

*S

V2

V2

R2

R2 S2

1

*

2

1S

*

3

2S

S3

2

Pk2

1

zPk3

2

zPk3

2

V2

V2

Pk6

1

zPk3

1

Pk3

1

Pk3

1

zPk3

1

Pk2

1

S

*R

*R S

S2

1

*2R S3

2

*

3

2S *2R

*

2

1S

Pk6

1


c

c

c

hh lh sh

hh

lh

sh

lh hh

lh

hh

sh

sh

T Pk2

1

T

zPk3

2

Pk6

1zPk

3

2

Pk6

1

Pk2

1

Pk3

1

Pk3

1

zPk3

1

zPk3

1

VU

VU

VU

VU

U

U

R

R

*S

*S

V2

V2

R2

R2 S2

1

*

2

1S

*

3

2S

S3

2

Pk2

1

zPk3

2

zPk3

2

V2

V2

Pk6

1

zPk3

1

Pk3

1

Pk3

1

zPk3

1

Pk2

1

S

*R

*R S

S2

1

*2R S3

2

*

3

2S *2R

*

2

1S

Гамильтониан Кона-Латтинжера

Pk6

1


c

c

c

hh lh sh

hh

lh

sh

lh hh

lh

hh

sh

sh

T Pk2

1

T

zPk3

2

Pk6

1zPk

3

2

Pk6

1

Pk2

1

Pk3

1

Pk3

1

zPk3

1

zPk3

1

VU

VU

VU

VU

U

U

R

R

*S

*S

V2

V2

R2

R2 S2

1

*

2

1S

*

3

2S

S3

2

Pk2

1

zPk3

2

zPk3

2

V2

V2

Pk6

1

zPk3

1

Pk3

1

Pk3

1

zPk3

1

Pk2

1

S

*R

*R S

S2

1

*2R S3

2

*

3

2S *2R

*

2

1S

Pk6

1

Точный учет взаимодействиязоны проводимостии валентной зоны

Модель Кейна• Явно учитывает несколько зон, которые имеют

разную энергию даже в нулевом приближении• Взаимодействие между этими зонами входит в

гамильтониан точно• Поправки к энергии, связанные с влиянием

далеких зон рассматриваются как возмущение• Модель учитывает непараболичность зоны

проводимости

kp-методдля зоны проводимости модель Кейна

базис – одна функция базис – 8 функций

периодическая часть ψне зависит от k

периодическя часть ψзависит от k

непосредственного взаимодействия между базисными функциями

нет

непосредственное взаимодействие между базисными функциями

учитывается точно

влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение


зона проводимости параболическая

зона проводимости непараболическая

валентная зонане рассматривается

валентная зонаучитывается 3 зоны

kp-методдля валентной зоны модель Кейна

базис – 4 или 6 функций базис – 8 функций

периодическая часть ψзависит от k

периодическя часть ψзависит от k

непосредственного взаимодействия между базисными функциями

нет

непосредственное взаимодействие между базисными функциями

учитывается точно



зона проводимостине рассматривается

зона проводимости непараболическая

валентная зонаучитывается 2 или 3 зоны

валентная зонаучитывается 3 зоны

4. Неоднородные системы

Плавный потенциал

)()(

)()(2

ˆ)ˆ(ˆ

2

rRr

rrp

p

VV

UVm

He

1

)(~

)(k

kr kr UeU i

Плавный потенциал можно разложитьпо плоским волнам из 1-й зоны Бриллюэна:

Кулоновский потенциал мелкой примесиявляется плавным вдали от центра

Плавный потенциал

)(

)(

)(

8

1

r

r

rψ

8

1

C

C

ee ii krkrψ

1

)()(k

kr kr ii

i Ceогибающие – плавные функции:

J. M. Luttinger and W. Kohn,“Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields”,Phys. Rev. 97, 869 (1955)

Гетероструктура

• Блоховские функции материалов, образующих структуру, отличаются

• Потенциал, нарушающий периодичность, не является плавным

Кусочно-гладкое решениеМатериал A Материал B

1. Находим огибающие для каждой однородной области

2. Сшиваем решения на границах

правильно – сшивать полные волновые функции:

граничные условия:непрерывность полной волновой функции и ее производной

Кусочно-гладкое решениеМатериал A Материал B

1. Находим огибающие для каждой однородной области

2. Сшиваем решения на границах

приходится сшивать огибающие

граничные условия – основная проблема

Опорный кристалл


)()(

ˆ)(4

)(2

ˆ)ˆ(ˆ

00

022

02

0

rRr

σprrp

p

VV

Vcm

Vm

Hee

Опорный потенциал V0 является периодическим для всей структуры.Его блоховские функции – базис, по которому раскаладываетсяволновая функция электрона.


)()(

ˆ)(4

)(

ˆ)(4

)(2

ˆ)ˆ(ˆ

00

22

022

02

rRr

σprr

σprrp

p

VV

Vcm

V

Vcm

Vm

H

e

ee


Разложение волновой функции

)(

)(

08

01

r

r

u

u

u

Блоховские функции опорного потенциалаодинаковы для всей структуры

M. G. Burt,“The justification for applying the effective-massapproximation to microstructures”,J. Phys.: Condens. Matter 4, 6651 (1992)


)(

)(

)(

8

1

r

r

rψ

1

)()(k

kr kr ii

i Ce

)(

)(

08

01

r

r

u

u

u


Волновая функция имеет тот же вид,что и в случае плавного потенциала:


)(

)(

)(

8

1

r

r

rψ

1

)()(k

kr kr ii

i Ce

)(

)(

08

01

r

r

u

u

u


Волновая функция имеет тот же вид,что и в случае плавного потенциала:

Уравнение Шредингеразаписывается для всей структуры

Полный гамильтониан

Вместо волнового вектора используетсядифференциальный оператор.

Он не коммутирует с эффективной массой, которая зависит от координат.

Граничные условия для огибающейсодержатся в гамильтониане.


Явный вид гамильтониана неизвестен,поэтому используются простые модели:

2*

2

2 zkm

izm

i)(

1

2 *

2

12

),()()(2

2

zmizmizm

Расчет для неоднородной системы

• В случае плавного потенциала достаточно перейти от алгебраический уравнений к дифференциальным заменой k на

• В гетероструктуре нет общего базиса блоховских функций

i

Кусочно-гладкое решение• Можно решать уравнение отдельно для

каждого материала• Граничные условия неизвестны как и

блоховские функции• Граничные условия нужно выбирать исходя

из каких-нибудь дополнительных соображений

Опорный кристалл• Можно выбрать опорный кристалл и

использовать его блоховские функции, рассматривая различия материалов как возмущение

• Гамильтониан описывает всю структуру и не нужно сшивать решения на границах

• Правильный гамильтониан неизвестен, и потому используются различные модели (эквивалентно выбору граничных условий)

Гетероструктура

• Блоховские функции материалов, образующих структуру, отличаются

• Потенциал, нарушающий периодичность, не является плавным

• Это существенно для узких ям высокого качества (например GaAs/AlAs)

5. Примеры расчетов

Уровни энергии в квантовой яме HgTe/CdTe

40 50 60 70 80 90 100 110 120-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Эне

ргия

при

k=

0, м

эВ

Ширина квантовой ямы, Å

1-я подзона зоны проводимости

1-я валентная подзона 2-я валентная подзона 3-я валентная подзона

Зонная структура КЯ Hg0.86Cd0.14Te/Cd0.7Hg0.3Te

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

En

erg

y, m

eV

k, Angstrom-1

E(-3) E(-2) E(-1) E(0) E(1)

Методы расчета зонной структуры квантовых ям

Кусочно-гладкое решение


трансфер-матрица

матрица рассеяния

разложение по полномуортонормированномубазису

трансфер-матрица матрица рассеяния

связывает амплитуды огибающих на правой и левой

границе структуры

связывает амплитуды огибающих для решений,

распространяющихся внутрь структуры и наружу

используется умножение матриц используется умножение и обращение матриц

метод неустойчив метод устойчив

Применение различных методов

дискретныйспектр

непрерывныйспектр

метод матрицы рассеяния

требует поиска нулей функции

позволяет найти решение с любой наперед заданной

энергией

разложение по полному базису

дает сразувсе уровни

всегда получается дискретный спектр

Другие пути

• Разложение по большому числу зонбез kp-возмущения (гамильтониан 14x14, 20x20, … иногда 8x8)

• Разложение по блоховским функциям нескольких точек Γ, X, L, …

• Учет поправок, связанных с резким потенциалом

• Расчеты из первых принципов – попытка подобрать вид периодического потенциала

Documents

Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур