少数多体系の観点からのストレンジネスを含むエキゾ

チックな原子核

肥山詠美子（理研）

東京大学高等研究所カブリ数物連携宇宙研究機構

村山斉 機構長　講演会“ 量子的宇宙”

12 月 4 日（水）　3 時 00 分 -4 時 30 分ＲＩＢＦ棟２階大会議室

2 時半からお茶とお菓子を用意してありますのでご利用ください。

共催RIKEN iTHES ( 理論科学連携研究推進グループ）

Kavli IPMU （カブリ数物連携宇宙研究機構）

１） 物理学の興味ある課題の中には、

　　少数粒子系（ 3 体以上）のシュレーディンガー方程式を　　「精密に」解くことに帰着する課題が多い。

２） 「精密に」解くことによって、新しい知見を得たり、

新しい予言や発見に至ることが しばしばある。

３） 従って、少数粒子系のシュレーディンガー方程式を、

　 　 a) 精密に解ける、 　

　 b) 容易に解ける、　 　 c) 適用範囲が広い （システム、相互作用）　 　 d) 初心者（大学院修士レベル）でも容易に修得できる、

　 そういう計算法を手にしていれば、心強い。

　しかし、その開発は非常に困難である。なぜなら、　例えば、３体系に対する量子力学のシュレーディン

ガー　方程式は　６変数 ２階偏微分方程式（固有値問題）

固有関数

固有関数固有値

４体系は、９変数 ２階偏微分方程式となり、さらに困難

(x,y,z) (X,Y,Z)

（境界条件：十分遠方で Ψ 0 ）　

粒子間ポテンシャル　　　（複雑な関数）

５体問題になると・・

１）上村・肥山（日本）

２）新潟大学（日本） / ATOMKI 研究所（ハンガリー）

３）アルゴンヌ・ロスアラモス研究所

４）アリゾナ大学

５）・・・

世界で１０グループにも満たない。

・・・というのが実状

　私は、　１）この困難をどのようにして解決し、　　　新しい計算法を提唱したか、

　２）それを用いて、物理学（原子核物理学）の研究に

　　　どのように貢献して来たか。

について、講演

　　　　　　　　　 OUTLINE

　１）原子核の世界の ３体問題・４体問題は　　　なぜ難しいか。　解き方の一般論。

　２）無限小変位ガウスローブ法（肥山）：　　　３体問題・４体問題の、適用範囲が広く、　　　高速で高精度な計算法の提唱。

　３） 原子核物理学への応用：　　　　　　　　ハイパー核物理 ( 「昨年、今年の epoch-making な実験」に関する 4 体計算）

　　　

　　　　　　　　　　　

Section 　１

　　　原子核の世界の３体問題・４体問題は

　　　なぜ難しいか。　解き方の一般論。

２体間に働く相互作用 V(r)

２体問題 ３体問題 ４体問題

原子・分子の世界電子 原子核

水素分子など

ヘリウム原子など

原子・分子の世界は、電子と原子核で構成されている。

電子の質量 << 原子核の質量であり、かつ、

相互作用（クーロン力）が弱いため、良い近似解法があり、

3 体問題・ 4 体問題は、原子核の世界の 3 体問題・ 4 体問題に

比べて楽に解ける。　 (今、これ以上は踏み込まない )

電子

相互作用 V(r)

２体問題 ３体問題 ４体問題

原子核の世界

しかし、原子核の世界では、中性子と陽子に働く相互作用

は非常に強いので、

楽な近似解法はない。

したがって、

精密に解く、適用範囲の広い方法を開発しなければならない。

２体問題は簡単

原子核の世界の３体問題は組み合わせが多彩で複雑

固く結合 緩く結合もう１つ粒子が加わると

３体問題：複雑

固く結合

緩く結合 ２つの粒子結合、１つの粒子が緩く結合

　　　　（３通りある）

４体問題は さらに複雑多彩

固く結合　

　　緩く結合

３粒子グループ＋１粒子

（４通り）　

２つの、２粒子グループ　に分離（３通り）

これら全ての可能性（自由度）を取り入れて、４体問題を解かなければならない　　

・ 構成粒子は何でもよい、　 質量、電荷を問わない。　

３体問題 ４体問題 ５体問題 現在は、

さらに

0R・ 粒子間に強い相関がある場

合 にも精密に適用できる。

強い相関 ( 核力など）

（電子、陽子、中性子、クオーク、・・・・・）

V(R ）

　　　 量子力学的３体系、４体系のシュレディンガー方程式を

　　　厳密に（近似的ではなく）解く方法　を提唱

　　 私が創った研究法 「無限小変位ガウス・ローブ法」　（量子力学的３体・４体問題を

　　精密に解く方法）

ハイパー核物理

不安定核物理

少数粒子系物理

ハドロン物理

ミュオン触媒核融合

適用・貢献 冷却原子物理私の研究法の発展

私の研究の

進め方の特徴

フィードバック：

こちらの研究を強化してきた。今日はハイパー核に焦点をあてる。

束縛状態のシュレーディンガー方程式の

オーソドックスな解き方

Section 1.1

３体系のシュレーディンガー方程式の一般形　６変数の２階偏微分方程式の固有値問題

H: ハミルトニアン

　（ 固有値 E と 固有関数　　 を求める）。

r (x,y,z)

R (X,Y,Z)

量子力学の教科書にある一般的な解き方：

未知関数　　　を、基底関数系

ハミルトニアンをこの基底で対角化して、

固有値 　　 と 係数 　　 を求める。

（できるだけ完全形に近い）

で展開し、

４体系：９変数、　

５体系：１２変数

( 非直交系でもよい )

Hi n =

行列要素を計算（多変数積分）する。

行列の一般化固有値問題となる。これを解いて 、

CnNi n Cn

エネルギー固有値のセット ： 1 , 2 , 3 ,・・・・・波動関数のセット ： 1 , 2 , 3 ,・・・・・を得る。

　≡ ∬ ΦiΦn　dr　dR*N i n = <Φi | 1 　 | Φ ｎ　

>

H i n= <Φi | H | Φn >

　ここで、厳密解を得るために最も重要なことは、　良い基底関数を用いること

　良い基底関数とは、　例えば、

　１）すべての粒子間の（強い）相関を取り入れられる。

　２）波動関数の遠方の漸近の形をよく記述できる。

　３）行列要素の計算が容易に、　　できるだけ解析的に行える。

N i n = <Φi | 1 | Φ ｎ >

H i n= <Φi | H | Φn >

基底関数

　　九大流 ガウス型基底関数展開法

Section 1.2

九大流の「ガウス型基底関数展開法」による３体問題の解き方（１９８８～）

１）粒子間のどこの相関も精密に取り入れるために、

　　３通りのヤコビ座標の組み方を使う。

３）それぞれの成分関数を、 3 体の基底関数で展開する：

２）波動関数を、３通りの座標の成分関数の和で表わす。

未知係数 ３体の基底関数

４）エネルギー固有値と基底関数の未知係数を求める問題は、　　前述の一般論で示したように、　　行列の一般化固有値問題を解く事に帰着する。

等比数列

1000

1

ガウス関数（サイズは等比数列）は次の記述に優れている

短距離の強い相関も compact　 な状態も

長距離の漸近領域の tail も dilute な状態も

= 0

　　九大流 ガウス型基底関数展開法の難点

Section 1.4

　　　　　　　　　　　　　　　　九大グループは、さまざまな分野の　

３体系の課題に適用して、　 成果を挙げていた。

九大流 　ガウス型基底関数展開法　（ 1988～）

: 等比級数

　 　しかしながら、４体系になると、

　　この基底関数では、計算が非常に困難。

　　球面調和関数の角度積分が大変だから。

九大流 ガウス型基底関数展開法の 難点

　　　　　　　　　　　　　　　　九大グループは、さまざまな分野の　

３体系の課題に適用して、 成果を挙げて

いた。

九大流 　ガウス型基底関数展開法　（ 1988～）

: 等比級数

以下で、 3 体系で示す

　　無限小変位ガウスローブ基底関数展開法

　　　　　　　　　　　の提唱

Section 2

左辺：従来の基底関数 右辺：無限小変位ガウス・ローブ基底関数

丸いガウス関数を多方向に瘤 (Lobe) のように ずらし , 重ね合わせて角度依存性を表し ,

ずれ が無限小の時 ,左辺と同値になるように

したものである。

ε εε

右辺は、ガウス関数だけなので、多重積分が容易

無限小変位ガウス・ローブ法　　 (Infinitesimally-Shifted Gaussian Lobe)

　３体・４体系の束縛状態関しては、汎用性が高く、

　非常に精度の高い方法が確立した。

　すべての積分は単純なガウス積分なので、手計算は非常に簡単。

　面倒な球面調和関数は全く現れない。

　シフトを無限小にする極限は、行列要素を解析積分した後に行う。

　そこにも重要な工夫がある（省略）

左辺：従来の基底関数 右辺：無限小変位ガウス・ローブ基底関数

シフト係数 シフト・ベクトル

無限小変位ガウス・ローブ基底関数を使うことによって、

面倒な角運動量代数（ラカー代数）が無くなり、

４体系、５体系の計算

（従来のガウス基底関数展開法では、手を出せなかった計算）

は大いに簡単になり　（ビギナーでも容易に扱えるようになり）、

研究課題が一気に広がった。

計算法の詳細、有用なテクニック等は、レビュー論文　　 E. Hiyama, Y. Kino and m. Kamimura Prog. Part. Nucl. Phys. 51 (2003) 223.

に書いてある。

また、高い精度で答え（エネルギー、波動関数）を得ることができる。＝＞次の４核子束縛エネルギー計算を例にとる

　　　　　　　　 少数粒子系への応用

Section 3

4He

4-nucleon bound stateNN: AV8

Good agreement among the 7 different methods in the binding energy, r.m.s. radius and two-body correlation function

p p

n n

ベンチマーク テスト計算 --- ４核子束縛状態（ 4He 核）

1. Faddeev-Yakubovski (Kamada et al.)2. Gaussian Expansion Method (Kamimura and Hiyama)3. Stochastic varitional (Varga et al.)4. Hyperspherical variational (Viviani et al.) 5. Green Function Variational Monte Carlo (Carlson at al.)6. Non-Core shell model (Navratil et al.)7. Effective Interaction Hypershperical Harmonics EIHH (Barnea et al.)

PRC 64, 044001 (2001) , ７グループ（ 18著者）

　７グループによる国際ベンチマークテスト （２００１）

４体問題における（左表）エネルギーの一致の様子

（右図）波動関数の一致の様子

肥山

　　　 これらの計算で分かったこと

　「４体問題を解くための、非常に信頼できる理論を

確立したことになる。　　 また、少数多体系計算グループが、

　　このように　計算法の開発に関して、　　互いに厳しく切磋琢磨している

　　ことがわかる。」

・ 構成粒子は何でもよい、　 質量、電荷を問わない。　

少数多体系のシュレーディンガー方程式を精密に解く「無限小変位ガウス・ローブ法」の利点

３体問題 ４体問題 ５体問題

現在は、

さらに

クーロン３体問題は１０桁の精度　

0R・ 粒子間に強い相関がある場

合 にも精密に適用できる。

強い相関 ( 核力など）（電子、陽子、中性子、クオーク、・・・・・）

V(R ）

　　 私が創った研究法 「無限小変位ガウス・ローブ法」　（量子力学的３体・４体問題を

　　精密に解く方法）

ハイパー核物理

不安定核物理

少数粒子系物理

ハドロン物理

ミュオン触媒核融合

適用・貢献 冷却原子物理私の研究法の発展

私の研究の

進め方の特徴

フィードバック：

２０１２年RIBFセミナーで講演

　　　　　　　　　冷却原子系への応用

Section 3.1

基礎的理論研究4He 原子の３体・４体系

４ He＝電子の閉核、　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４ He - ４ He 間は中心力のみ少数多体系分野が受け持つ諸課題の中の、最も基本的なもの。

原子核、原子分子、量子化学分野から、

多くの理論研究者が入り込んで競合極度に強い 短距離斥力」 と 「外側の浅い引力」の下での　極度に浅い 束縛状態（３体・４体）を解くという難しい課題

4He + 4He + 4He + 4He4He + 4He + 4He 4He + 4He

dimer trimer tetramer

-1.30348 mK

0.0 mK 0.0 mK

-2.2706

-126.40 mK -127.33

-558.98 mK

難問だった

trimer + 4He

dimer + 4He

He

　　 私が創った研究法 「無限小変位ガウス・ローブ法」　（量子力学的３体・４体問題を

　　精密に解く方法）

適用・貢献

冷却原子物理「精密に計算する」ことによって、

4He テトラマー計算で得た新しい　　　計算技術経験 　　 自分の研究法向上へ　　　　のフィードバック

4He 原子系 における universality を暴くことに成功

した。

詳細は、省く。詳細は、

E. H. and M. Kamimura, Phys. Rev. A 85 (2012) 022502

　 E.H. and M. Kamimura, Phys. Rev. A 85 (2012) 062505

フィードバック：

私の研究法の発展

　　 私が創った研究法 「無限小変位ガウス・ローブ法」　（量子力学的３体・４体問題を

　　精密に解く方法）

ハイパー核物理

不安定核物理

少数粒子系物理

ハドロン物理

ミュオン触媒核融合

適用・貢献 冷却原子物理私の研究法の発展

私の研究の

進め方の特徴

フィードバック：

　　　　　　　　 ハイパー核への応用

Section 4

Major goals of hypernuclear physics

Fundamental and important for the studyof nuclear physics

1) To understand baryon-baryon interactions

2) To study the structure of multi-strangeness systems

ここでは、構造の面白さに焦点を当ててお話する。

In neutron-rich and proton-rich nuclei,

When some neutrons or protons are added to clustering nuclei, additional neutrons are located outside the clustering nuclei due to the Pauli blocking effect.

As a result, we have neutron/proton halo structure in these nuclei.There 　 are many interesting phenomena in this field as you know.

このことが不安定核物理の発展につながった。

Nuclearcluster

Nuclearcluster

Nuclearcluster

Nuclearcluster

n

n

n

n

nn

n n

Nucleus

Question:How is the structure modified when a hyperon, Λ particle, 　 is injected into the nucleus?

Λ

Λ

Nucleus hypernucleus

There is no Pauli Pricliple betweenN and Λ.

Λ particle can reachdeep inside, and attracts thesurrounding nucleonstowards the interiorof the nucleus.

γnucleus

hypernucleus

Due to the attraction ofΛN interaction, theresultant hypernucleuswill become more stable against the neutron decay.

Neutron decay threshold

Λ

Λ

The glue like role of Λ particle provides us with another interesting phenomena.

Nuclear chart with strangeness

Λ

Multi-strangeness system such as Neutron star

Extending drip-line!

Interesting phenomena concerning the neutron halo have 　 been observed near the neutron drip line of light nuclei.

How does the halo structure change when a Λ particle is injected into an unstable nucleus?

Question : 中性子過剰核に Λ 粒子を　注入すると

何が起こるか ? ----- 中性子過剰ハイパー核の構

造

α

n

Λ

7HeΛ

tΛ

6HΛ

Observed at J-Lab

Phys. Rev. Lett.110, 012502

(2013)

Observed by FINUDA group (Italy)

Phys. Rev. Lett. 108, 042051 (2012).

n n n

このような中性子過剰ラムダハイパー核の研究を行う上で、重要なことは、

コア原子核である中性子過剰核の性質を理解する必要がある。常に、中性子過剰核とハイパー核の構造を両方の見据えながら研究を進めていく。

　　　　　　　　　　 7He ハイパー核の４体計算

Section 4.1

Λ

6He : 最も軽い中性子過剰核の　　　　１つ

7He: 　最も軽い中性子過剰　　　 ハイパー核の１つΛ

J-LAB experiment-E011,

Phys. Rev. Lett.110,012502 (2013).

nn

α

n n

αΛ

0+

2+

γ

α+n+n

-1.03 MeV

Exp:-0.98

0 MeV

BΛ =5.44 M

eV(cal.)

γ

1/2+

3/2+

5/2+

5He+n+nΛ

α+Λ+n+n0 MeV

Halo state

6He 7HeΛ

prompt particle

decay

BΛ ：

　 EXP= 5.68±0.03±0.25

Observed at J-Lab experiment(2012)Phys. Rev. Lett.110,012502 (2013).

E. Hiyama et al., PRC53, 2075 (1996), PRC80, 054321 (2009)

現在励起状態について解析中

0+

2+

γ

α+n+n

-1.03 MeV

Exp:-0.98

0 MeV

BΛ =5.44 M

eV(cal.)

γ

1/2+

3/2+

5/2+

5He+n+nΛ

α+Λ+n+n0 MeV

Halo state

6He 7HeΛ

prompt particle

decay

BΛ ：

　 EXP= 5.68±0.03±0.25

Observed at J-Lab experiment(2012)Phys. Rev. Lett.110,012502 (2013).

E. Hiyama et al., PRC53, 2075 (1996), PRC80, 054321 (2009)

1/2+

-6.19

BΛ ：

　 EXP=

5.68±0.03±0.25

Observed at J-Lab experiment(2012)Phys. Rev. Lett.110,012502 (2013).

1/2+

-6.19

中性子過剰核やハロー核の励起機構研究に有用だろう

5/2+ →1/2+

3/2+ →1/2+

この　 6He と 7He 　のような組み合わせについてのγ線測定が J-PARC でなされることを期待する .

Λ

　　　　　　　　　　 6H ハイパー核の４体計算

Section 4.1

Λ

E. H, S. Ohnishi, M. Kamimura, Y. Yamamoto, NPA 908 (2013) 29.

t Λ

n n

6HΛt Λ

n n

t+n+n

1/2+

t+n+n+Λ

4H+n+nΛ

EXP: BΛ = 4.0±1.1 M

eV

Phys. Rev. Lett. 108, 042051 (2012).

5H : super heavy hydrogen

1.7±0.3 MeV

Γ=1.9±0.4 MeVFINUDA experiment

0.3 MeV

t Λ

n n

6 HΛ

5 H

Before the experiment, the following authors calculated thebinding energy using shell model picture and G-matrix theory.

(1) R. H. Dalitz and R. Kevi-Setti, Nuovo Cimento 30, 489 (1963).

(2) L. Majling, Nucl. Phys. A585, 211c (1995).

(3) Y. Akaishi and T. Yamazaki, Frascati Physics Series Vol. 16 (1999).

Motivated by the experimental data, I calculated the binding energy of6H and I shall show you my result.Λ

Akaishi et al. pointed out that one of the important subject to study this hypernucleus is to extract information about ΛN-ΣN coupling.

Framework:

To calculate the binding energy of 6H, it is very important to reproduce the observed data of the core nucleus 5H.

Λ

t+n+n threshold

1/2+

1.7±0.3 MeV

Γ= 1.9±0.4 MeVA. Korcheninnikov, et al. Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 092501.

Theoretical calculationN. B. Schul’gina et al., PRC62 (2000), 014321.R. De Diego et al, Nucl. Phys. A786 (2007), 71.calculated the energy and width of 5H with t+n+nthree-body model using complex scaling method.

5H is well described as t+n+n three-body model.

transfer reaction p(6He, 2He)5H

6HΛ

Then, I think that t+n+n+Λ 　 4-body modelis good model to describe 6H.Then. I take t+Λ+n+n 4-body model.

Λ

t Λ

n n

t

Λ

n n

5H

Before doing the full 4-body calculation,it is important and necessary to reproduce the observed binding energies of all the sets of subsystems in 6H. Λ

Namely, all the potential parameters are neededto adjust the energies of the 2- and 3-body subsystems.

t

n n

Λ

6HΛ

6HΛ6H

Λ

t

n n

Λt

n n

Λ

t+n+n

1/2+

6HΛ

5H

1.7±0.3 MeV

Γ=1.9±0.4 MeV EXP

1.69 MeVΓ= 2.44 MeV CAL

0+

1+

Λ

σn ・ σΛ

I focus on the 0+ state.

Λ

t

n n

Then, what is the binding energy of 6H?

t+n+n

0 MeV

½+

1.69 MeV

Γ= 2.44 MeVΓ= 0.91 MeV

1.17 MeV

4H+n+nΛ

E=-0.87 MeV

0+

Exp: 1.7 ±0.3 MeV Even if the potential parameters were tunedso as to reproduce the lowest value of theExp. , E=1.4 MeV, Γ=1.5 MeV,we do not obtain any bound state of 6H.

Λ

- 　 2.0 4H+n+nΛ

-2.07 MeV0+

On the contrary, if we tune the potentials to have a bound state

in 6H, then what is the

energy and width of 5H?

t+n+n+ΛΓ=0.23 MeV

Γ=1.9 ±0.4 MeV

Λ

t+n+n

1/2+

t+n+n+Λ

4H+n+nΛ

EXP:BΛ =4.0±1.1 M

eV

Phys. Rev. Lett. 108, 042051 (2012).

5H:super heavy hydrogen

1.7±0.3 MeV

Γ= 1.9±0.4 MeV

FINUDA experiment

0.3 MeV

But, FINUDA group provided the bound state of 6H.

t Λ

6 HΛn n

t

5 H

n n

t+n+n+Λ

Λ

How should I understand the inconsistency between our resultsand the observed data?

(1) We need more precise data of 5H.

t+n+n

1/2+

1.7±0.3 MeV

Γ=1.9±0.4 MeV

A. Korcheninnikov, et al. Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 092501.

To get bound state of 6H, the energy shouldbe lower than the present data.

Question:Is it possible to measure the energy and widthof 5H more precisely 　 somewhere 　 again?

Λ

[3] A.A. Korosheninnikov et al., PRL87 (2001) 092501[8] S.I. Sidorchuk et al., NPA719 (2003) 13[4] M.S. Golovkov et al. PRC 72 (2005) 064612[5] G. M. Ter-Akopian et al., Eur. Phys. J A25 (2005) 315.

実験でも崩壊幅がいろいろ。崩壊幅は、波動関数の広がりに重要。こちらを実験で決めてもらえるとありがたい。

(2) In our model, we do not include ΛＮー ΣN coupling explicitly.

The coupling effect might contribute to the energy of 6H.Λ

Non-strangeness nucleiN Δ

N N

N

Δ

300MeV

Probability of Δ 　 in nuclei is not large.

25MeVΛΛ

ΞN

In hypernuclear physics,the mass difference is very smallin comparison with the case of S=0field.

80 MeVΛ

Σ

S=-1

S=-2

Then, in S=-1 and S=-2 system, ΛN-ΣN and ΛΛ-ΞNcouplings might be important.

It might be important to perform the following calculation:

+6HΛ

t Λ

n n

3N Σ

n n

A. Gal and D. J. Millener, arXiv:1305.6716v3 (To be published in PLB.They pointed out that Λ N-ΣN coupling is important for 6H.

Λ

t+n+n

1/2+

t+n+n+Λ

4H+n+nΛ

EXP:BΛ =4.0±1.1 M

eV

Phys. Rev. Lett. 108, 042051 (2012).

1.7±0.3 MeV

Γ=1.9±0.4 MeVFINUDA experiment

0 MeV

Cal: -0.87 MeV

Exp: -2.3 MeVΛN-ΣN coupling ？

This year, at J-PARC, they performed a search experiment of (E10 experiment) of 6H. If E10 experiment reports more accurate energy,we can get information about ΛN-ΣN coupling.

5 H

Σ

Λ

最近、 E10 の実験結果が報告された。

4H+n+nΛ

0.3 MeV

6 HΛ

t+n+n+Λ

FINUDA data

No peak?!

困ったことに、実験同士でデータ結果が異なる。理論としてはどちらを信用していいかわからない。

理論家として言えることは、 6H が束縛するのか、しないのか、確定してほしい。

Λ

　　 私が創った研究法 「無限小変位ガウス・ローブ法」　（量子力学的３体・４体問題を

　　精密に解く方法）

適用・貢献

ハイパー核 7 　 He のエネルギースペクトルを計算予言し、実験値と誤差の範囲で一致。励起状態の解析を待っている状態。

６ H のコア原子核である ５ H を計算するために、

共鳴状態を求めることに成功。ハイパー核にも

様々な共鳴状態が存在するので、そちらにも適用可能。

フィードバック：

私の研究法の発展

Λ

Λ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　おわりに

Section 5

　　　　　　　　 量子少数多体系の

精密計算法

不安定核物理

少数粒子系物理 ハドロン物

理

冷却原子物理 適用・貢献 研究法の発展

宇宙・天体核物理

反物質科学

ハイパー核物理

ITHES も活動中。院生やＰＤにも

分担してもらって、物理の発展に努めたい

　中心の計算法を発展させながら、

　新しい分野を開拓して行くことは非常に楽し

い！

予想もしな

い

新しい分野

おわり