Приёмы устного решения Приёмы устного решения квадратного уравненияквадратного уравнения

Цель:

устные приёмы эффективного решения квадратных уравнений.

19881

)54)(219()45( 2

D

xxx

;02sin1997sin1999 2 xx

016sin46sin3 2 xx

012

42

3 2 x

tgx

tg

016691988319 2 xx

xxx 42103255

0)8(log)5,13(log5,0

0)132(log

42

9,0

xxy

xy

Извлечения квадратного корняИз натурального числа

969216 18324 92 *16 =968111161116

3*24 = 181224224

1866

288

устно

14119881

Приём «Коэффициентов»:

1) Если а+в+с=0, то .,1 21 a

cxx

2) Если в = а + с, то .,1 21 a

cxx

02 cbxax

3) Если 0 cbaИспользуя приёмы 1) -3) можно придумывать уравнения с рациональными корнями.

, то приём «Переброски»

5)5)

ax

axaxaax 10)1(

2

122

,06376 2 xx6

1

6

2

1

x

x

Например,

4)

Например:

ax

axaxaax 10)1(

2

122

15

1

1501522615

2

12

x

xxx

Например:

• 7)7)

ax

axaxaax 10)1(

2

122 ,01728817 2 xx

17

1

17

2

1

x

x6)

ax

axaxaax 10)1(

2

122

10

1

100109910

2

12

x

xxx

Например:

Например:

МОУ «Гимназия №53»МОУ «Гимназия №53»

Учитель Бойко Т.А.Учитель Бойко Т.А.

• Квадратные уравнения – это фундамент, на котором Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, тригонометрических,

• показательных , иррациональных уравнений и неравенств.показательных , иррациональных уравнений и неравенств.

• В школьном курсе математики изучаются формулы корней В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.любые квадратные уравнения.

• Однако имеются и другие приёмы решения квадратных Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.рационально решать квадратные уравнения.

Приёмы устного Приёмы устного решения квадратного решения квадратного уравненияуравнения

1) 2 ) приём «коэффициентов»1) 2 ) приём «коэффициентов»

3) приём «переброски»3) приём «переброски»

• Обобщить и систематизировать изученный материал по теме: «Квадратные уравнения».

• Научить учащихся приёмам устного решения квадратных уравнений.

• Развивать внимание и логическое мышление.

• Воспитывать культуру поведения .

02 cbxax 0ab=o b=o

c=0c=0b=0b=0

c≠0c≠0b≠0b≠0

c=0c=0

02 ax

1 корень:

x = 0

02 cax 02 bxax

a

bx

x

baxx

2

1 0

,0)(

2корня, если:

а и с имеют разные знаки

Нет корней, если:

а и с имеют одинаковые знаки

2корня2корня

D >0

D =0

D<0

2корня0,0 cb

02 gpxx

Формулы корней:

;42

2

,1 2g

ppx

1корень

Нет корней

1a

;2

42

2,1 a

acbbx

при b=2k; a

ackkx

2

2,1

21

3

ТеоремыТеоремыВиетаВиета

--------------------------------------------------------

ДаноДано

ОбратнаяОбратная

--------------------------------------------------------

ДаноДаноДля чиселДля чисел

0

,

2

21

gpxx

уравнения

корниxx

gxx

pxx

имеем

gpxx

21

21

2,1

:

,,

gxx

pxx

Доказать

21

21

0

,

2

21

gpxx

уравнения

корниxx

Доказать

К какому типу относится уравнение

032 2 xxРешите его

Ответ: 2

3;1

У Р А В Н Е Н И Е

ЗАДАЧАЗАДАЧА

0619841978 2 xx

Найти наиболее рациональным способом корни уравнения

1978

6

;1

2

1

x

x

• Пусть дано квадратноеПусть дано квадратное уравнение уравнение

0a,02 cbxax где

1.Если a + b + c=0 (т.е сумма коэффициентов равна нулю), то

.,1 21 a

cxx

Доказательство. Разделим обе части уравнения на получим приведённое квадратное уравнение

0a

.02 a

cx

a

bx

По теореме Виета

.21

21

a

cxx

a

bxx

По условию a + b +c =0, откуда b= - a – c. Значит,

.1

1

21

21

a

cxx

a

c

a

caxx

Получаем ,,1 21 a

cxx что и требовалось доказать.

Приёмы устного решения решения квадратныхуравнений

02 cbxax0 cba , то

a

cxx 21 ,1

09134 2 xx

Например:

4

9,1 21 xx

Если

Приём №1

• 02 cbxax

0120001999 2 xx

Если b = a + c, то

a

cxx

21 ,1

Приём №2

Например:

07114 2 xx

4

7,1 21

xx

Решить уравнениеРешить уравнение

016691988319 2 xx

.319

1669

;1

2

1

x

x

013326313 2 xx

0208137345 2 xx

0391448839 2 xx

039978939 2 xx

1.

2.

3.

4.

313

13;1

839

391;1

345

208;1

939

39;1

0 cba

05112 2 xx

010112 xxРешаем устно

Его корни 10 и 1, и делим на 2.

Ответ: 5;2

1

Приём №3

01870376 22 xxxx

6

2,

6

921 xx

3

1;

2

3

Корни 9 и (-2).

Делим числа 9 и ( -2) на 6:

Ответ:

Используя приёмы решения 1) – 3),вы можете придумывать уравнения с рациональными корнями.Например, возьмём уравнение 0652 xx

(Корни 2 и 3), 6 делится на 1,2,3,6

6=1*6 6=6*16=2*36=3*2 Отсюда уравнения:

________________

0156 2 xx

0352 2 xx

0253 2 xx

0652 xx

0156 2 xx0352 2 xx

0253 2 xx

1)

2)3)

4) 5)

6)

7)

2

1;

3

1)1

2

3;1)2

3

2;1)3

3;2)4

2

3;1)6

3

2;1)7

2

1;

3

1)5

Одно уравнение дало ещё 7 уравнений с рациональными корнями.

-------------------------------------------------

Когда уравненье Когда уравненье решаешь дружок,решаешь дружок,

Ты должен найти у Ты должен найти у него корешок.него корешок.

Значение буквы Значение буквы проверить несложно. проверить несложно.

Поставь в уравненье Поставь в уравненье его осторожно.его осторожно.

Коль верное равенство Коль верное равенство выйдет у вас,выйдет у вас,

То корнем значенье То корнем значенье зовите тотчас.зовите тотчас.

02 cbxaxПо праву достойна в стихах быть воспета свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова?

В числителе с , в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда.

В числителе в, в знаменателе а.

a

bxx

a

cxx

21

21

Найти №№ 505 – 573--------------------------------квадратные уравнения, которые можно решить устно, используя изученные приёмы.

Выводы:

• данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики;• овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;• потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов;• владение алгоритмом извлечения квадратного корня из натурального числа.