借助课题平台 借助课题平台 提升教研品提升教研品质质

杭州市普通教育研究室 李学杭州市普通教育研究室 李学军军

邮箱：邮箱： hzjyssx@163.comhzjyssx@163.com

漫画评论 :" 囚 " 爱  (漫画作者：朱慧卿 ) 武汉一小伙子手捧鲜花和礼品站在街头疯狂求爱，在街边站了 3 天 3夜，看到女孩出来后就献花、下跪，或是抱住她的腿。目前，该女孩不堪骚扰辞职搬家了。

漫画评论 :" 囚 " 爱  (漫画作者：朱慧卿 ) 武汉一小伙子手捧鲜花和礼品站在街头疯狂求爱，在街边站了 3 天 3夜，看到女孩出来后就献花、下跪，或是抱住她的腿。目前，该女孩不堪骚扰辞职搬家了。

在现实中小伙子用心，耗力，坚持。但不知道她喜不喜欢“花”就去“求爱”；尽管用了 3 天 3 夜，献花、下跪，结果还是“零”！

数学教学数学教学教师们用心，尽力，坚持。但教师们用心，尽力，坚持。但不知道学生的感受，就去“不知道学生的感受，就去“……”；”；而且还坚持了而且还坚持了 33 年，结果会是“年，结果会是“……”。”。数学教研数学教研教研员用心，尽力，坚持。但教研员用心，尽力，坚持。但不知道教学的需要与教师的感受，就去“不知道教学的需要与教师的感受，就去“……”；”；而且还坚持了而且还坚持了 nn 年，结果会是“年，结果会是“……”。”。

课堂教学

改进教学方式 促进教师发展

提升教育质量教师教师感受感受

在人教在人教 AA 版数学教材的实验中：版数学教材的实验中：

教学教学需要需要

基础：经验。原则：平等！方法：交流！关键：？

选取两个案例， 呈平等，展交流，点关键。

1.1.11.1.1 集合的含义与表示集合的含义与表示

教学设计教学设计

案例之一案例之一

一线教师如何备课？一线教师如何备课？

教学设计

1. 1. 自学自学 . 自学课本 1.1.1 集合的含义与表示，并回答下列问题：（ 1 ）课本中的 4 个“思考”；（ 2 ）有哪些概念？哪些符号？（ 3 ）有了集合概念后，数学会发生什么变化？

一、自学教材，初识集合一、自学教材，初识集合教学过程教学过程引入课题：集合的含义与表示。

教学设计

设计意图：使学生先接触新概念、新符号，对本节知识有一个大概的了解，为参与“问题解决”提供基石。同时，用自学开始高中数学的学习，渗透着学习方法的引导，希望能影响学生的后续学习。 2 ．教师组织交流组织交流，展示部分学生的自学成果。3 ．教师借学生自学成果完成下列板书完成下列板书： 有哪些概念？ 概念：元素、集合；属于、不属于；列举法、描述法。 有哪些符号？ 有哪些符号？ 符号：集合表示符号、元素表示符号，对象与集合之间的关系符号（属于符号“”；不属于符号“”），常用数集记法。 集合有哪些表示法？ 集合有哪些表示法？ 列举法与描述法表示集合的规定。

初识集合初识集合

学生能做的事由学生做学生能做的事由学生做教师做教学必须做的事教师做教学必须做的事

教学设计二、问题解决，再识集合二、问题解决，再识集合 给出开放性问题，让学生先做，通过试用自学所知，交流所得，再识集合。

11 ．呈现问题及要求．呈现问题及要求问题 1. 对全体正整数，请你定个标准，对它们进行分类。对全体正整数，请你定个标准，对它们进行分类。具体要求如下：1 ）分几类自已定（但必须有标准）；2 ）任何正整数不能重复用 ; 所有正整数必须要用完；3 ）选择一种集合表示法，分别表示你所分出的各个类；4 ）给 5 分钟，尽你的可能，能得出的分类越多越好。

教学设计

设计用意：通过问题解决，使学生人人能有所得，之间有交流，可互补。同时，使学生运用原有知识、自学所得，接触集合的内含，触摸集合的表示，展示自己的理解，为真正理解、掌握集合的有关概念、各种符号和表示方法等，提供亲历体验和较丰富的具体材料。

教学设计

22 ．学生自主解决．学生自主解决 学生解决问题 1 。此时教师不要指导，只需巡视学生所做，找出学生的不同分类，请他板书在黑板上。 4 分钟左右时，教师提问：还有哪位同学的分类方法与黑板上展示的方法不同，也请板书在黑板上。 为方便归纳、概括、整理，教师需事先在黑板上划好区块，使学生能板书在指定的区块内。

33 ．教师根据学生所得进行评讲．教师根据学生所得进行评讲

学生先行，交流呈现学生先行，交流呈现

教学设计22 ．学生自主解决．学生自主解决 学生先行，交流呈现学生先行，交流呈现 33 ．教师根据学生所得进行评讲．教师根据学生所得进行评讲（ 1 ）说明： 下面内容，若学生已经板书好了，则用之并肯定之；若学生的板书中有错，则修改之，并说明理由；若学生的板书不全面，则补全之，并作出解释；若是学生没有发现的，则在提问下，或直接给出。 考虑到课时的限制，下面的“展示活动成果”只呈现了部分分类，供同行参考。要明白：对基础较好的学生，教师课前要多准备些，即教师对问题 1 的分类量一定要超出学生，这样才能真正开拓学生的思路，对整个高中数学教学产生良好的导向作用；但对基础弱的学生，教师可先示范地写出其中 2 至 3 个，再让学生动手。

教学设计

22 ．学生自主解决．学生自主解决学生先行，交流呈现学生先行，交流呈现 33 ．教师根据学生所得进行评讲．教师根据学生所得进行评讲（（ 22 ）展示活动成果：（教师补充的也在内））展示活动成果：（教师补充的也在内）

1) 标准：奇数与偶数。 正奇数集： A = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ，… } ，也可记作 A={ 正奇数 } ，或 A = {xNN | x = 2k + 1, kNN*} ； 正偶数集： B= {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ，… } ，也可记作 B={ 正偶数 } ，或 B = {xN N | x = 2k , kNN*} 。

教学设计（（ 22 ）展示活动成果：）展示活动成果：2) 标准：质数与合数。 既不是质数也不是合数： D = { 1 } ； 质数： E= {2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ，… } ，也可记作 E={ 质数 } ， 合数： F= {4 ， 6 ， 8 ， 9 ， 10 ， 12 ，… } ，也可记作 F={ 合数 } 。3) 标准：小于 3 与不小于 3 。（不用 3 ，用 n(nN*)也行）小于 3 ： G= {1 ， 2} ，也可记作 G = { xZ | 0 < x < 3} ，不小于 3 ： H= {3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ，…… } ，也可记作 H={ xZ | x ≥3} 。4) 标准：被 4 整除余数分别为 0 ， 1 ， 2 ， 3四类。 余数为 0 ， I ={4 ， 8 ， 12 ， 16 ， 20 ， 24 ，… } ，也可记作 I = {xN | x = 4k, kN*} ；

余数为 1 ， J ={1 ， 5 ， 9 ， 13 ， 17 ， 21 ，… } ，也可记作 J = {xN | x = 4k+1, kN} ； 余数为 2 ， K = {2 ， 6 ， 10 ， 14 ， 18 ，… } ，也可记作 K = {xN | x = 4k+2, kN}或 K = {xN | x = 4k – 2 , kN*} ； 余数为 3 ， L = {3 ， 7 ， 11 ， 15 ， 19 ，… } ，也可记作 L = {xN | x = 4k+3, kN}或 L = {xN | x = 4k – 1 , kN*} 。

教学设计

（（ 22 ）展示活动成果：）展示活动成果：5) 标准：能或不能使 x2 – 11x + 30 = 0 的正整数。 能： M == {5 ， 6} ，也可记作M={ x | x2 – 11x + 30 = 0} 或M={ xR | x2 – 11x + 30 = 0} ； 不能： N = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 7 ， 8 ， 9 ，… } ，也可记作N={ x | x2 – 11x + 30 0} 或 N={ xR | x2 – 11x + 30 0} ；6) 标准：能或不能使不等成立的 (x – 3)(x – 6) ≤ 0 正整数。 能： X == {3 ， 4 ， 5 ， 6} ，也可记作 X={ x | (x – 3)(x – 6) ≤ 0 ，xZ} 或 X={ xZ | (x – 3)(x – 6) ≤ 0} ； 不能： Y == {1 ， 2 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ，… } ，也可记作 Y={ x | (x – 3)(x – 6) > 0 ， xN*} 或 Y={ xN* | (x – 3)(x – 6) > 0}7 ）标准：能或不能使 x2 + 1 = 0 的正整数。能： P={xN* | x2 + 1 = 0} ，由于集合中不存在任何正整数，可称其为空集，也可记作 P = ；不能： Q = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ，… } ，或 Q={xN* | x2 + 10} ，也可记作 Q = N* ，或 Q= {x | xN*} 。

教学设计

22 ．学生自主解决．学生自主解决 33 ．教师根据学生所得进行评讲．教师根据学生所得进行评讲（ 3 ）展示中要穿插完成下面问题： 教师在点评或补全的同时，要结合点评到的分类，适时穿插下面问题，从而借用具体分类，整理知识，促进学生理解。

1 ）结合题 1 ）， 2 ）等说明： N ， Z ， R ， N* （ N+ ）各表示什么，并带出课本第 3页中，“数学中一些常用的数集的记法。

2 ）结合题 4 ）提问：如果要把 N* 分成 3 类， 5 类， 10 类等等，可以如何定标准？

3) 结合题 5 ）提问：集合 M 可读作什么？ ( 方程的解集 ) 。

题 6 ）不等式的解集。

教师断后教师断后

教学设计22 ．学生自主解决．学生自主解决33 ．教师根据学生所得进行评讲．教师根据学生所得进行评讲

44 ．思考完成下列问题．思考完成下列问题（ 3 分钟）问题 2.

1 ）根据以上所得，请描述一下集合是什么？2 ）“列举法”与描述法，各自的特点是什么？各有什么优劣？同一题中，两者之间可以加“＝”吗？3 ）指出“ 3” 属于哪些集合？不属于哪些集合？如何用集合语言表示？请写出。4 ）对各个分类，自然语言是如何表述的？集合语言呢？比较两种表示，你有什么想法？5 ）上述集合中，哪些是单元素集（只有一个元素）？有限集（元素个数有限）？无限集（元素个数无限多）？请分别写出。

• 设计用意设计用意：在活动、交流、讲评后，再次利用所得，整理集合基础知识，促进理解、识记符号，并作一些能达到的拓展。这也是学生在已有活动基础上的再次独立思考活动。

• 让学生先思考完成。而后教师组织交流，板书新知，进行概括。

教学设计

1 ．问题 3. 下面分类所得，是否能构成集合？是否符合问题 1的标准？为什么？（ 1 ）分类得： { 较小的正整数 } 和 { 较大的正整数 } 两类；（ 2 ）分类得： { 有幸运意义的正整数 } ， { 有忌讳的正整数 } 和 { 中性的正整数 }三类；（ 3 ）分类得： 2 的倍数， 3 的倍数两类； （ 4 ）分类得：个位数整数，十位数整数，百位数整数三类；

设计用意设计用意：借用活动体验，认识集合的确定性，认识分类标准的作用，进一步理解集合。

三、练习巩固，理解集合

学生先行，交流呈现，教师断后。

教学设计

2 ．问题 4. 请用列举法表示下面集合：(1) {x | x2 – 4x + 4 = 0 , xZ };

(2) {(x ， y) | (x – 3)2 + | y – 2| = 0, xR , yR };

设计用意设计用意：进一步理解集合两种表示方法的特点，能进行互化，同时，带出对集合元素的新理解（有序实数对也能构成集合），呈现单元素集合的形式。

三、练习巩固，理解集合

设计用意：设计用意：进行集合两种表示方法互化，同时，也进行自然语言，图形语言和集合语言的比较，促进对集合作为一种语言的认识，及集合表示的特点。操作提示：小结时，请学生再次回答自学时安排的问题（ 3 ），使学生明白，引入集合后，数学对象的本质未变，只是表达的形式改变了数学对象的本质未变，只是表达的形式改变了。

3. 问题 5. 下面集合分别表示什么？请用自然语言，图形语言分别表示集合。 (1) {(x,y)| y = x2 – 11x + 30 , xR };

(2) {(x,y)| 0< x < , 0 < y < , xR , yR }.33

教学设计

4 ．时间许可，完成课本第 5页，练习。设计用意设计用意：围绕本节课学习重点，落实重点知识。5 ．问题 6. 给你整数集 Z ，请你制定一个标准，从整数集中取出一些对象构成新的集合，并选择一种集合表示法来表示集合

三、练习巩固，理解集合

设计用意：设计用意：之一：再次利用开放性问题，在有上面体验的基础上，学生的思维会有新的表现，会产生出更多的成果，用学生的丰富成果告之学生，我们可以创新！之二，结合具体成果，理解集合的含义，如同一个集合中的元素一定具有相同共性（学生所定的标准）或称为共同特征； Z 中任何一个对象与所得新集合之间一定是“属于”或“不属于”关系之一；集合是由元素唯一确定的，元素与集合之间存在属于关系等。同时，提供一次合理选择方法表示集合的机会，让学生通过做，交流促进理解，达到掌握。之三，为下节学习子集，相等等概念提供亲历所得的具体材料。学生活动，教师组织交流，纠正问题。教师在评讲时，必须补充用到下列符号 N ， Z ， Q ， R ， N* 。（若学生成果中有，则可不提）

4 ）四个字母，表示常用数集有约定的记法，目前讲，共涉及 4 个字母， N （有 N* ）， Z ， Q ， R ，需要在运用中记住，或借助英语的名称来记住。

教学设计知识知识：听到集合一词，你能想到些什么？1 ）一种语言：集合是一种数学语言，相比自然语言或图形语言表示数学对象，具有简洁、准确的特点。

四、小结所得，概括新知

2 ）两种表示：集合有两种表示方法：列举法和描述法，它们各有自己所长，所短，不是任何集合都能用两种方法表示。3 ）三个一定：集合与元素相伴。（ 1 ）集合中的元素一定具有某一共同特征（或称为共性），即集合是由元素唯一确定的；（ 2 ）元素与集合之间的关系一定是“属于”，用“”表示。（ 3 ）某一对象与某一个集合之间的关系一定是“属于”或“不属于”之一。分别用“”和“”表示。

方法方法：自学给我们带来了什么？问题解决给我们带来了什么？解决开放问题需要怎样的思维？ 认识：有了一种准确、简洁表达的形式，或称为语言，所表达的内容、对象的本质并没有变。

教学设计五、布置作业，巩固提高1. 课本 5页，课后练习 1 ， 2 中课内没完成的部分；课本 11页习题 1.1 （ A组）第 1 ， 2 ， 3 ， 4 题；

2. 整理问题 6 ，要求：把各种分类用集合表示（最好能用两种方法表示）；希望能再增加至少一个新的分类。设计意图：巩固所学知识，促进理解，并储备亲历所得的具体材料。3 ．阅读章节头图，谈谈你对将要学习的章节的认识（ 300字） .

教学导图

自学教材，初识集合

问题解决，再识集合

练习巩固，理解集合

小结所得，概括新知

布置作业，巩固提高

教学分析

教学分析

教学分析

是高中数学学习的起始课，也是较系统地学习是高中数学学习的起始课，也是较系统地学习一种简洁、准确地表达数学内容的基本语言的开一种简洁、准确地表达数学内容的基本语言的开始始 .. 虽然涉及的新概念较多，要知道的符号也较多，虽然涉及的新概念较多，要知道的符号也较多，但概念、关系、表示方法和符号等新知识都是结合但概念、关系、表示方法和符号等新知识都是结合学生熟悉的例子得出的，学生要通读课本内容，初学生熟悉的例子得出的，学生要通读课本内容，初步了解所学新知识的难度不大。步了解所学新知识的难度不大。

理解教材（数理解教材（数学）学）

教学内容 教材从学生在初中接触过的集合出发教材从学生在初中接触过的集合出发 , , 通过通过

88 个例子，归纳出元素、集合（集）的含义；借个例子，归纳出元素、集合（集）的含义；借助助 22 个个““思考思考””，得出元素与集合之间的关系，，得出元素与集合之间的关系，给出属于及不属于的符号；结合具体实例给出常给出属于及不属于的符号；结合具体实例给出常用数集的记法和集合的两种表示方法用数集的记法和集合的两种表示方法 ..

理解学生理解学生

教学分析教学目标说明教学目标说明（ 1 ）通过有向导的自学大致了解新的概念、新的关系、新的符号和表示方法；通过学生能参与的“问题解决”，促成学生思维活动，尝试运用自学所得，感悟集合的内涵，感受集合语言的意义和作用。（ 2 ）在（ 1 ）基础上，运用学生活动成果，认知集合的含义、集合的确定性，理解元素与集合的关系，识记对象与集合关系的表示符号、常用集合的记号，识记集合的两种表示方法，了解他们各自的特点。同时，了解数学形式化的特点，感悟自然语言、图形语言和集合语言各自的特点，能进行他们之间的互化。（ 3 ）在自学、探究、交流、讲评取得或多或少的收获后，认可一种高中数学的学习方法。

理解教学理解教学

“核心概念”课题研究带来 :

• 之一：什么是理解教材，用好教材；• 之二：用教学设计的框架，能更好地理解数学、

理解学生，理解教学 ;

• 之三：展示关注“学”的教学实践，以应对教师强大而柔韧的已有经验，是我们的作为点 ;

• 之四：教学设计，对理论、理念似呼什么都没说，但一切均在无言中，这就是品质！

• 一种教学模式： 学生先行，交流呈现，教师断后

听课后的交流（评课）听课后的交流（评课）

背景：学校正组织开展“以学定教”的课堂教学研究，背景：学校正组织开展“以学定教”的课堂教学研究，

有外界教育结构的指导，有统一的备课要有外界教育结构的指导，有统一的备课要求，求，

数学组的教师们，依据学校要求，全体数学组的教师们，依据学校要求，全体行动了。行动了。

课的教学设计课的教学设计

案例之二案例之二

预习案：预习案：

知识的累堆知识的累堆

记忆记忆

当前数学课堂教学当前数学课堂教学研究学得到普遍认可。研究学得到普遍认可。但“以学定教”却转为“以案定教”但“以学定教”却转为“以案定教”

解题：解出、解对此题为目的。解题：解出、解对此题为目的。

关注了通性、通法了吗？关注了通性、通法了吗？

关注了数学概念了吗？关注了数学概念了吗？

关注了由概念出发的推理了吗？关注了由概念出发的推理了吗？

探究、合作被曲解探究、合作被曲解

理解学生，理解数学，理解教学理解学生，理解数学，理解教学

探究、合作被曲解探究、合作被曲解

这样的教学有效吗？这样的教学有效吗？

理解学生，理解数学，理解教学理解学生，理解数学，理解教学

共性：都是求一个未知数！共性：都是求一个未知数！

““ 正面解决” 正面解决” ++““ 通法解决”通法解决”

““ 代数推理”代数推理” ++““ 几何直观”几何直观”

做一做做一做理理 1515．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 2/3，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记 X为该毕业生得到面试的公司个数 . 若 P(X=0)=1/12，则随机变量的数学期望 E(X) = .

回忆数学期望求法回忆数学期望求法 ..

依次写出概率，相应乘积求和！依次写出概率，相应乘积求和！

由 P(X=0)=(1 – 2/3)(1 – p)2=1/12，所以 , p=1/2，P(X=1)=(2/3)(1–1/2)2+ (1– 2/3)(1/2 )(1–1/2) + (1– 2/3)(1–1/2 )(1/2) = 4/12，P(X=2)=(2/3 )(1/2 )(1–1/2)+ (2/3)(1–1/2 )(1/2) + (1– 2/3)(1/2 )(1/2) = 5/12，

P(X=3)=(2/3 )(1/2 )(1/2) = 2/12， 所以 E(X)=0×(1/12 )+1×( 4/12 )+ 2×( 5/12) + 3×(2/12) = 5/3.

↓↓

求求 pp的等式的等式 ((方程方程 ))

做一做做一做理 17．设 F1 ， F2 分别为椭圆 的左、右焦点，点

A ， B 在椭圆上，若 ，则点 A的坐标是 ．

求点 A坐标，即求两个未知数，需要两个方程

1 25F A F B����������������������������

F1 F2

A

B 本题与做过的题不同，属新创 --- 新颖题新颖题

条件中，点 A，点 B都未确定，共有 4个未知数

条件中， ，表示有两个等式，点 A，点 B都在椭圆上，又有两个等式

1 25F A F B����������������������������

22 1

3

xy

分析 2.几何角度 理解： 的几何意义 理解： 的几何性质

1 25F A F B����������������������������

分析 1. 代数角度

22 1

3

xy

与常用题相悖 与常用题相悖 --- --- “ ”反 题海 ，考能力“ ”反 题海 ，考能力

解题 解题 --- --- 需要理解数学，掌握基需要理解数学，掌握基本本

方法（都是基本、基础的！）方法（都是基本、基础的！）

预习案目标：预习案目标： 让学生通过解决问题，再现基础知识。初步概括所让学生通过解决问题，再现基础知识。初步概括所知、所得。知、所得。

巩固案目标巩固案目标

迁移所得，思维训练，促成技能。迁移所得，思维训练，促成技能。

探究案目标：探究案目标： 总结思路如何产生，理解基本知识，熟练基本方法，总结思路如何产生，理解基本知识，熟练基本方法，相互交流，开拓思路，查漏补缺。相互交流，开拓思路，查漏补缺。

平等地交流：平等地交流： 立足课堂，考虑教学需要与教师感受。参与教学设计，借助听课评课，利用评价命题。关键：要有看法，方法，想法，观念和思想

看法之源、方法之源、想法之源、观念之源、思想之源

结论：源于人教社组织的课题研究结论：源于人教社组织的课题研究！

参与人教中数学室组织的课题研究带来的启示：有课题研究，能人在课堂，心中有寻；有专家引领的课题研究，能立足本职，放眼长远。

教研员要做点事，需要做一个课题，最理想的课题是要有专家引领的课题研究。

• 参与课题研究带来什么？ 1 对个体而言： 学习；底气；聚焦；深入。

2 现形成的观点有： （ 1 ）关于数学理解偏差； （ 2 ）理解数学，理解学生，理解教学的普适性； （ 3 ）培养一支会做题的学生队伍的基础性： （ 4 ）合理定位，两路着力的必要性； （ 5 ）演绎与归纳（学生先行，交流呈现，教师断后）并行的价值与作用。 观念正在指导我的教研工作。观念正在指导我的教研工作。

3 对本市数学教研而言• 基本思路：立足三个理解，改进数学课堂教学

，促进教师专业发展。• 研究成果移植：活动定位，具体指导，开发课程。

4 对本市课题组教师而言

一支力量；

成长速度；

具体成果：开设示范课，讲座，课题研究，论文，等。

结论： 以课题为平台，提升教研品质。

感谢各位，敬请指正！感谢各位，敬请指正！