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第三章 测量误差及数据处理. 本章包括以下 4 个方面的内容:. 1 、 测量误差的分类和测量结果的表征. 2 、 测量误差的估计和处理. 3 、 测量不确定度. 4 、测量数据处理. 3.1 测量误差的分类和测量结果表征. 3.1.1 、 测量 误差分类. 定义: 在同一测量条件下(指在测量环境、测量人 员、测量技术和测量仪器都相同的条件下),多次 重复测量同一量值时(等精度测量),每次测量误 差的绝对值和符号 都以不可预知的方式变化 的误差. 1 .随机误差. ( 1 ) 随机误差的产生原因 : 对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成 。. - PowerPoint PPT Presentation
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第三章测量误差及数据处理
本章包括以下 4 个方面的内容:
1 、 测量误差的分类和测量结果的表征
2 、 测量误差的估计和处理
3 、 测量不确定度
4 、测量数据处理
1 .随机误差
( 1 )随机误差的产生原因:对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。
( 2 )随机误差表示
3.1.1 、测量误差分类3.1 测量误差的分类和测量结果表征
定义:在同一测量条件下(指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下),多次重复测量同一量值时(等精度测量),每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差
i ix x
n
ii
n xnn
xxxx
1
21 1
( 3 )物理意义:精密度,表示测量结果的分散性
2 .系统误差
1 )系统误差的产生原因:仪器、方法、环境、人员
2 )随机误差表示
定义:在同一测量条件下,多次测量重复同一量时,测量误差的绝对值和符号都保持不变,或在测量条件改变时按一定规律变化的误差
3 )物理意义:准确度,表征测量准确度的高低
0x A
: 被测量的真值0A
3 .粗大误差
粗大误差的产生原因
( 1 )测量操作疏忽和失误
定义:一种显然与实际值不符的误差,在数据处理时,应剔除掉。
( 2 )测量方法不当或错误
( 3 )测量环境条件的突然变化4 .系差和随差的表达
式iiii xAxxxAx
在任何一次测量中,系统误差和随机误差一般都是同时存在的,而且两者之间并不存在绝对的界限。
准确度——表示系统误差的大小。
精密度——表示随机误差的影响。
精确度——用来反映系统误差和随机误差的综合影响。
3.1.2 、 测量结果的表征
三者关系如下图所示:
1 .随机误差的分布规律
(1) 随机变量的数字特征
3.2.1 、随机误差的统计特性及减少方法3.2 测量误差的估计与处理
数字特征 意义 定义
数学期望 E(X)
反 映 平 均特性 离散型 连续型
方差D(X)
描 述 随 机变 量 与 数学 期 望 的分散程度
D(X)= E(X- E(X))2
标准偏差
描 述 随 机变 量 与 数学 期 望 的分散程度
=
1
)(i
ii pxXE
dxxxpXE )()(
)(XD
随机误差不可避免,服从概率统计规律,用数理统计方法处理
1 .随机误差的分布规律
( 2 )测量误差的正态分布
概率密度函数 数学期望
方差 标准偏差
随机误差△ 0
测量数据 X
)2
exp(2
1)(
2
2
p
2]2
)(exp[
2
1)(
2
2
x
xp
2
随机误差具有以下规律:
(a)随机误差 (b) 测量数据0
)(p
x
p(x)
0
随机误差和测量数据的正态分布曲线
对称性
单峰性
抵偿性
有界性
标准偏差 的意义
0
)(p1
2
3
越大,曲线越平坦,数据越分散
越小,曲线越尖锐,数据越集中
( 3 )测量误差的非正态分布分 布类型 均匀分布 三角分布 反正弦分布
概 率密 度函数
概 率密 度曲线
数 学期望
(若 ,则为0) 0 0
标 准偏差
( 若 , 则为 )
适 用条件 及应 用举例
仪器中的刻度盘回差、调谐不准确及仪器最小分辨力引起的误差等;在 测 量 数 据 处 理 中 ,“四舍五入”的截尾误差;当只能估计误差在某一范围 内,而不知其分布时,一般可假定该误差在 内均匀分布。
两个具有相同误差限的均匀分布的误差之和,其分布服从三角分布。如在各种利用比较法的测量中,作两次相同条件下的测量,若每次测量的误差是均匀分布,那么两次测量的最后结果服从三角分布。
若被测量 与一个量 成正弦关系,即 ,而本身又是在 0 ~ 之间是均匀分布的,那么 服从反正弦分布。如圆形刻度盘偏心而致的刻度误差,与具有随机相位的正弦信号有关的误差等。
0
1)( abxp
bxax
bxa
,
2
2)(
a
xaa
xa
xp
ax
xa
0
0
0
1
)( 22 xaxp ax
ax
0 a b x
( )p x
0
( )p x
a a x 0
( )p x
a a x
2
ba
ba 32
ab
ba
3
b
6
a2
a
a
a
xsinax
2x
2 .有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值
( 1 )有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值
n
iixn
x1
1
( 2 )算术平均值的标准偏差
)]()()([1
)(1
)1
()( 22
21
22
1
22
1
22n
n
ii
n
ii xxx
nx
nx
nx
)(1
)(1 222
Xn
Xnn
n
Xx
)()(
( 3 )有限次测量数据的标准偏差的估计值
n
ii
n
ii xx
nnxs
1
2
1
2 )(1
1
1
1)(
n
xsxs
)()( xxii
【例 3-1】 用温度计重复测量某个不变的温度,得 11 个测量值 的 序列(见下表)。求测量值的平均值及其标准偏差。
ix
序
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
5
28
5
31
5
29
5
27
5
31
5
33
5
29
5
30
5
32
5
30
5
31
ix
解:①平均值
② 用公式 计算各测量值残差列于下表中
序
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
5
28
5
31
5
29
5
27
5
31
5
33
5
29
5
30
5
32
5
30
5
31
-
2.1
+
0.9
-
1.1
-
3.1
+
0.9
+
2.9
-
1.1
-
0.1
+
0.9
-
0.1
+
0.9
ix
i
1.530)531530532530529533531527529531528(11
11
1
n
iixn
x
xxii (℃)
③实验偏差
④ 的标准偏差
767.11
1)(
1
2
n
iin
xs (℃)
x
53.011
767.1)()(
n
xsxs (℃)
3 .测量结果的置信问题
( 1 )置信概率与置信区间
置信限
置信区间
置信系数
置信概率
k
kdpkPkxExP )(][])([
① 对同一测量结果而言,置信区间越小,置信概率就越越小
② 对不同测量结果,若取相同置信概率,则标准偏差越小,置信区间就越小
( 2 )正态分布的置信概率
置信系数一般取 2 ~ 3
置信系数 k 1 2 3
置信概率 0.683 0.954 0.997)( kP
0
)(p
正态分布不同置信限的概率
99. 7%
95. 4%
68. 3%
223 3
( 3) t 分布的置信限
t 分布与测量次数有关。当 n>20 以后, t 分布趋于正态分布。正态分布是 t 分布的极限分布。
( 4 )非正态分布的置信因子
分布 三角 均匀 反正弦
(P=1)k 6 3 2
结论:被测量 X的测量结果 A应表示为: ,其中, k为置信因子,由概率分布和置信概率确定
)(xksxA
给定置信概率和测量次数 n ,查表 3- 4 得置信因子 kt ,自由度: v=n-1
【例 3-2 求例 3-1 中温度的测量结果,要求置信概率取0.95 。
解:第①~④步同例 3-1 ,此处略
⑤因为是小子样,测量次数为 11 ,应采用 t分布
10111 23.2tk
1819.153.023.2)( xsk t
P=0.95, ,查表 3 - 4 得 ,则
故测量结果为: )(xksxA =530.1
1.2 ℃ 。(置信概率 P=0.95 )
多次测量同一量值时,误差的绝对值和符号保持不变,或者在条件改变时,误差按一定的规律变化。不具有低偿性
3.2.2 系统误差的判断及消除方法3.2 测量误差的估计与处理
1 .系统误差的特征
( 1 ).不变的系统误差: 校准、修正、实验比对法
2.系统误差的发现方法
( 2 )变化的系统误差
① 残差观察法
i
i
0
(b)无明显系统误差
残差观察法
i
i
0
(a) 存在线性变化的系统误差
(a) (b)
② 马利科夫判据
③ 阿贝-赫梅特判据
检验周期性系差的存在。
把 n个等精度测量值所对应的残差按测量先后顺序排列,把残差分成两部分求和,再求其差值 D 。若 D 近似等于零,则上述测量数据中不含累进性系差。否则,包含。
21
1
11 snn
iii
判别有无累进性系统误差的常用方法。
3 .系统误差的削弱或消除方法
( 2 )用修正方法减少系统误差
( 3 )采用一些专门的测量方法
仪器、方法、环境、人员
( 1 )从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差
①替代法
②交换法
③ 对称测量法④ 减小周期性系统误差的半周期法
测量人员的主观原因、客观外界条件的原因
3.2.3 粗大误差及其判断准则
1 、粗大误差的产生原因:
2 、粗大误差的判别准则
1 )莱特检验法si 3 ix若 ,则该误差为粗大误差,所对应的测量值 为异常数据。
2 )格拉布斯检验法
若 ,则该误差为粗大误差,应剔除sGmax
【例 3-3】 对某电炉的温度进行多次重复测量,所得结果列于下表,试检查测量数据中有无粗大误差(异常数据)。
4 )应用举例
序号 测量值 (℃) 序号 测量值 (℃)
12345678
20.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.30
9101112131415
20.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40
ixix
② 用莱特检验法
解:① 计算得 s=0.033计算残差 填入下表中,可以看到 最大值,为可疑值
序号
测 量 值
(℃) 残差(℃) 序号 测 量 值
(℃) 残差(℃)
12345678
20.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.30
+0.016+0.026- 0.004+0.026+0.016- 0.026- 0.014- 0.104
9101112131415
20.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40
- 0.004+0.026+0.016+0.006- 0.014- 0.014- 0.004
ixi
ixi
404.20x
xxii 104.08
104.08 3 · s=3×0.033=0.099
s 38
故 可以判断为粗大误差,应剔除8x
14 个数据的 均小于 3 s′,故 14 个数据都为正常数据。
剔除后的数据计算得:
序号
测 量值
(℃) 残差(℃)
残差(℃)(去掉 后)
序号
测量值
(℃) 残差(℃)
残差(℃)
去 掉
后)12345678
20.42
20.43
20.40
20.43
20.42
20.43
20.39
20.30
+0.016+0.026- 0.004+0.026+0.016- 0.026- 0.014- 0.104
+0.009+0.019- 0.011+0.019+0.009+0.019+0.029——
91
01
11
21
31
41
5
20.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40
- 0.004+0.026+0.016+0.006- 0.014- 0.014- 0.004
- 0.011+0.01
9+0.00
9- 0.001- 0.021- 0.021- 0.011
ixi'i
8xix
i 'i
8x
411.20'x s′= 0.016
计算残差得: 将残差数据填入下表中得xxii '
① 利用修正值等方法,对测量值进行修正,将已经减弱不变系统误差影响的各数据 ,依次列成表格;
② 求出算术平均值
1 .等精度测量
③列出残差 ,并验证
④按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值
⑤判断是否有粗差,如有应剔除,然后重新计算均值和方差
⑥计算算术平均值的标准偏差
3.2.4 测量结果处理步骤
),2,1( nixi
n
iixn
x1
1
xxii 01
n
ii
n
iin
s1
2
1
1
n
ss x
⑦写出最后结果的表达式,即 A= (单位)。xx k s
【例 3-4】 对某电压进行了 16 次等精度测量,测量数据
中已记入修正值,列于下表中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。
解:①求出算术平均值
序号 测量值 (V)
序号 测量值 (V)
12345678
205. 30204. 94205. 63205. 24206. 65204. 97205. 36205. 16
910111213141516
205. 71204. 70204. 86205. 35205. 21205. 19205. 21205. 32
ix ix
30.20516
1 16
1
i
ixx 4434.0116
1 16
1
2
i
is
② 列出残差 ,并验证 xxii 01
n
ii
③按莱特准则判断有无 ,查表中第 5 个数据 ,应将对应 视为粗大误差,加以剔除。现剩下 15 个数据
④ 重新计算剩余 15 个数据的平均值: x’i=205.21
序号
测量值
(V) 残差 序号 测量值
(V) 残差
12345678
205. 30204. 94205. 63205. 24206. 65204. 97205. 36205. 16
0 . 00- 0. 36+ 0. 33- 0. 06+ 1. 35- 0. 33+ 0. 06- 0. 14
910111213141516
205 . 71
204 . 70
204 . 86
205 . 35
205 . 21
205 . 19
205 . 21
205 . 32
+0. 41-
0. 60-
0. 44+
0. 05-
0. 09-
0. 11-
0. 09+
0. 02
ixiix i
3302.13 si
s335.15 65.2065 x
27.0'115
1'
15
1
2
i
is
⑤ 重新计算 ,填入下表
⑥按莱特准则再判断 有无 ,现各 均小于3s ,则认为剩余 15 个数据中不再含有粗大误差。
'' xxii
序号
测量值
(V) 残差 残差
序号
测量值
(V) 残差 残差
12345678
205. 30204. 94205. 63205. 24206. 65204. 97205. 36205. 16
0 . 00- 0. 36+ 0. 33- 0. 06+ 1. 35- 0. 33+ 0. 06- 0. 14
+ 0. 09- 0. 27+ 0. 42+ 0. 03——- 0. 24+ 0. 15- 0. 05
91
01
11
21
31
41
51
6
205 . 71
204 . 70
204 . 86
205 . 35
205 . 21
205 . 19
205 . 21
205 . 32
+0. 41-
0. 60-
0. 44+
0. 05-
0. 09-
0. 11-
0. 09+
0. 02
+0. 50-
0. 51-
0. 35+
0. 140 . 00-
0. 020 . 00+
0. 11
ixi 'iix i'i
81.03' si i'
⑦ 对 作图,判断有无变值系统误差,见下图。从图中可见无明显累进性或周期性系统误差。
'i
⑧计算算术平均值的标准偏差: 07.015/27.015/' ss x
写出测量结果表达式: ( V ) (取置信系数 )' 3 205.2 0.2xx x s
3.2.5 误差合成分析
测量误差分类:随机、系统、粗大误差
数字特性
均值、实验偏差、实验标准差
本节课小结
随机误差的统计特性以及减小方法
置信区间、概率,置信系数
测量系统动态特性