値渡しのゲームの圏における深さ優先戦略について

産業技術総合研究所システム検証研究ラボ

松岡聡

ゲーム意味論とは (歴史）

• もともとは線型論理の意味論(Blass, Abramsky & Jagadeesan)

•高階のプログラミング言語についての意味論(Abramsky一派、 Hyland & Ong)

値渡しゲームの圏 CBV

• 本田と吉田による• Hyland & Ong のポインター・名前渡しゲームの圏の変種

値渡しゲームの圏の重要性

• C言語は値渡しである• ソフトウェア検証に応用を持つ１階のプログラムならばプログラムを正確に意味を保存しつつオートマトンに変換できる

• 合成で閉じている (プログラムモジュールごとに検証可能）

例int succ(int x) {

return x+1;

}

私はsuccにいる

私 敵

int nを渡す

私

n をもらって n+1を返す

値渡しゲームの圏における意味

例２

int foo (int bar(int)) {return succ(bar(5));

}

fooにいる

私 敵

barにいる

私

bar(5)

を返す

値渡しゲームの圏における意味

5 を敵に渡す

敵 私

succ(bar(5))を返す

アリーナ（ゲーム盤）

nat= ω

例

nat->nat =

nat

nat

nat=>natここで nat=>natは singleton

{*}

アリーナ (ゲーム盤）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>

nat=>nat

nat=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat

nat

nat

nat=>nat nat=>n

at

(nat=>nat)=>nat

nat=>nat

natnat

nat

nat=>nat

nat

nat nat nat

natnat

(((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat

nat

ポラリティ

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>

nat=>nat

nat=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat

nat

nat

nat=>nat nat=>n

at

(nat=>nat)=>nat

nat=>nat

natnat

nat

nat=>nat

nat

nat nat nat

natnat

(((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat

nat

プルーフネット

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>

nat=>nat

nat=>nat(nat=>nat)=>nat=>nat

nat

nat

nat=>nat nat=>n

at

(nat=>nat)=>nat

nat=>nat

natnat

nat

nat=>nat

natnat

natnat

natnat

例

(((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat

nat

戦略 τ（その１）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>

nat=>nat 3

nat=>nat 4

(nat=>nat)=>nat=>nat 5

nat 9

nat 10

nat=>nat 6 nat=>n

at

(nat=>nat)=>nat

nat=>nat

natnat

nat

nat=>nat 7

nat 11

nat 12

nat 13nat

8 natnat

(((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat 1

nat

戦略 τ（その２）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>

nat=>nat 3

nat=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat

nat

nat

nat=>nat nat=>nat

15

(nat=>nat)=>nat

nat=>nat

natnat

nat

nat=>nat

nat

nat nat nat

nat 16

nat 17

(((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat 1

nat

戦略 τ（その３）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>

nat=>nat 3

nat=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat

nat

nat

nat=>nat nat=>nat

15

(nat=>nat)=>nat 18

nat=>nat 19

natnat 20

nat 21

nat=>nat

nat

nat nat nat

nat nat

(((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat 1

nat

戦略 τ（その４）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>

nat=>nat 3

nat=>nat (nat=>nat)=>nat=>nat

nat

nat

nat=>nat nat=>nat

15

(nat=>nat)=>nat 18

nat=>nat 19

nat 22

nat nat

nat=>nat

nat

nat nat nat

nat nat

(((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat)=>nat 1

nat 23

別のアリーナ（ゲーム盤）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat

nat=>nat

(nat=>nat)=>nat=>nat

nat

natnat=>nat

nat=>nat

(nat=>nat)=>nat

nat=>nat

natnat

nat

nat=>nat

natnat

natnat

natnat

例

ポラリティ

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat

nat=>nat

(nat=>nat)=>nat=>nat

nat

natnat=>nat

nat=>nat

(nat=>nat)=>nat

nat=>nat

natnat

nat

nat=>nat

natnat

natnat

natnat

例

プルーフ・ネット

((nat->nat)->(nat->nat)->nat->nat)->(nat->nat)->(nat->nat)->nat

(nat->nat)->(nat->nat)->nat

(nat->nat)->(nat->nat)->nat->nat

nat->nat

(nat->nat)->nat->nat

nat

natnat->nat

nat=>nat

(nat=>nat)=>nat

nat=>nat

natnat

nat

nat->natnat

natnat

nat

natnat

例3

戦略 σ1（ｐ λ(-)を使った）（その１）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3

nat=>nat 4

(nat=>nat)=>nat=>nat

nat 9

nat 10 nat=>na

t

nat=>nat 15

(nat=>nat)=>nat 18

nat=>nat 19

natnat

nat

nat=>nat

natnat

natnat

nat 16

nat 17

戦略 σ1（ｐ λ(-)を使った）（その２）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3

nat=>nat 4

(nat=>nat)=>nat=>nat 5

nat

nat nat=>nat 6

nat=>nat 15

(nat=>nat)=>nat 18

nat=>nat 19

natnat 20

nat 21

nat=>natnat 11

nat 12 natnat

nat nat

戦略 σ1（ｐ λ(-)を使った）（その３）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3

nat=>nat 4

(nat=>nat)=>nat=>nat 5

nat

nat nat=>nat 6

nat=>nat 15

(nat=>nat)=>nat 18

nat=>nat 19

nat 22nat nat

nat=>nat 7

nat nat nat

13nat 8

nat nat

戦略 σ2（ｐ λ’(-)を使った）（その１）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3

nat=>nat 4

(nat=>nat)=>nat=>nat

nat 9

nat 10 nat=>na

t

nat=>nat 15

(nat=>nat)=>nat

nat=>nat

natnat

nat

nat=>nat

natnat

natnat

nat 16

nat 17

戦略 σ2（ｐ λ’(-)を使った）（その２）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3

nat=>nat 4

(nat=>nat)=>nat=>nat 5

nat

nat nat=>nat 6

nat=>nat 15

(nat=>nat)=>nat 18

nat=>nat 19

natnat 20

nat 21

nat=>nat

ｎ at 11

nat 12

natnat

nat nat

戦略 σ2（ｐ λ’(-)を使った）（その３）

((nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat)=>(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 2

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat 14

(nat=>nat)=>(nat=>nat)=>nat=>nat 3

nat=>nat 4

(nat=>nat)=>nat=>nat 5

nat

nat nat=>nat 6

nat=>nat 15

(nat=>nat)=>nat 18

nat=>nat 19

nat 22 nat

nat

nat=>nat 7

ｎ atnat nat

13nat 8

nat nat

ゲームのプレー

1 2 3 14

15

18

19

4 5 6 7 8 9 16

17

10

11

20

21

12

13

22

23

1 2 3 14

15

4 5 18

19

6 7 8 9 16

17

10

11

20

21

12

13

22

23

σ1と τ によるプレー

σ2と τ によるプレー

いままでわかったこと

• pλ(-)を使った戦略は通常の値渡しの戦略であるが、 pλ’(-) を使った戦略も、ある種の値渡しの戦略に対応している