1

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Фи з и ч е с к и й ф а к ул ь т е т

Кафедра общей физики

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ

Измерительный практикум

Часть 1

Новосибирск, 1999

2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.1

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ

Цель работы: Ознакомление с методами обработки результатов измерений. Проверка статистических закономерностей. Определение закона распределения для потока α-частиц, возникающих при радиоактивном распаде ядер.

Оборудование: источник α-частиц, детектор с регулируемым источником питания 0,9- 2,5 кВ, компьютер, принтер.

I. Краткое содержание работы (Понятия, выделенные жирным шрифтом, подробней описаны в Приложениях)

Ошибки измерений. При любом физическом измерении получаемый результат несколько отличается от действительного значения измеряемой величины. Один из лучших способов оценить достоверность измерений - повторить их несколько раз и сравнить между собой полученные значения. Результат серии измерений принято представлять в интервальной форме типа X = A ±±±± ∆∆∆∆A, где A - среднее значение полученных данных, а величина ±±±± ∆∆∆∆A характеризует ширину интервала, в который попадает большая часть измеренных значений. В величину ∆∆∆∆A включают случайные ошибки, проявляющиеся в разбросе отсчетов при повторных измерениях и систематические ошибки, связанные со сдвигом измеренного значения относительно истинного. Иногда систематическую ошибку указывают в виде отдельного интервала ±∆∆∆∆B. Систематические ошибки могут быть свойственны данному методу измерений и лучшим способом их выявления является проведение измерений измененными или принципиально другими методами.

Случайные ошибки обусловлены флуктуацией наблюдаемых отсчетов от измерения к измерению, так что их можно уменьшить многократным повторением измерений. Если измеряе-мая величина x принимает непрерывный ряд значений, а случайные ошибки измерений обусловлены большим числом малых и независимых друг от друга отклонений, то плотность вероятности p измеряемых значений x относительно наиболее вероятного (среднего) µµµµ описывается нормальным распределением (Гаусса):

( )2

2

2x

21)x( σ

µ

σπ

−−

= ep

Величина σσσσ называется стандартным отклонением, а σσσσ2 - дисперсией. При нормальном распределении в интервал µµµµ ±±±± σσσσ попадает 68 % измерений,

в интервал µµµµ ±±±± 2σσσσ - 95 % измерений

в интервал µµµµ ±±±± 3σσσσ - 99,7 % измерений.

Истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью лежит в пределах указанного интервала.

Случайные величины. Измеряемые величины могут быть по своей природе случайными (иметь вероятностный исход). Случайные величины описываются распределением вероятности, математическим ожиданием (средним значением), дисперсией. Для определения распределения вероятности случайной величины необходимо знать всю совокупность значений, которые она может принимать (генеральная совокупность). Разброс отсчетов, вызванный флуктуациями измеряемой случайной величины, характеризуется статистической ошибкой (отклонением). Для дискретных случайных величин распределение вероятности часто описывается распределением

3

Пуассона

!)(

νµνν

µ−= ep

где p - вероятность появления значения n, а µ ≡ математическое ожидание (среднее значение) случайной величины n. При возрастании µ распределение Пуассона становится более симметричным и похожим на распределение Гаусса. Его ширина характеризуется стандартным отклонением σ = µ .

Обработка результатов измерений. Если распределение вероятности измеряемой величины известно, то ее основные параметры можно с некоторой точностью определить из конечного набора (выборки) проделанных в одних и тех же условиях измерений. В частности, наилучшей оценкой математического ожидания для выборки из N измерений является среднее значение полученных данных: x = ∑∑∑∑ xi ⁄⁄⁄⁄ N. При N →→→→ ∞∞∞∞ величина x стремится к истинному значению измеряемой величины (или к математическому ожиданию для случайных величин). Среднеквадратичным отклонением (среднеквадратичной ошибкой) данной выборки называется величина

1N

)xix( 2

NS

−∑ −

=

Для нормального распределения величины X при N →→→→ ∞∞∞∞ среднеквадратичное отклонение SN стремится к постоянному пределу, совпадающему со стандартным отклонением σσσσ. Точность определения среднего значения в выборке характеризуется среднеквадратичной ошибкой среднего (СОС) Sx = SN ⁄⁄⁄⁄ N . Увеличением числа измерений можно улучшить точность определения среднего значения !

Измерение потока αααα-частиц. В настоящей работе перечисленные статистические законо-мерности демонстрируются на примере измерений случайной дискретной величины - количества αααα-частиц, испускаемых при радиоактивном распаде ядер изотопа плутония 239Pu. Радиоактивный распад по своей природе является вероятностным, случайным процессом. Образовавшаяся в результате «вероятностного» слияния нуклонов в ядре α-частица совершает «вероятностный» туннельный переход под потенциальным барьером ядерных сил и вылетает из ядра. Распад каждого ядра не зависит от присутствия других ядер. В результате количество α -частиц, испускаемых радиоактивным источником за 1 секунду, есть величина случайная. В работе источником α-частиц служит изотоп плутония 239Pu с периодом полураспада 24360 лет. Активность используемых в данной работе источников порядка 103-104 распадов в секунду.

Схема измерений приведена на рисунке 1. αααα- источник помещается под детектором, кото-рый состоит из сцинтиллятора, фотоэлектронного умножителя (ФЭУ) и пересчетного устройства. Попадая в сцинтиллятор, α-частица вызывает вспышку света, которая регистрируется ФЭУ. От фотоумножителя импульс тока поступает на пересчетное устройство, сопряженное с ЭВМ. При оптимальном напряжении на ФЭУ порядка 1.6 кВ количество импульсов ФЭУ соответ-ствует числу α-частиц, которые попали в сцинтиллятор.

4

Режимы обработки данных. Подсчет количества импульсов с ФЭУ и статистическая обработка данных в работе автоматизированы. В режиме непосредственного счета программа считывает число импульсов, накопленных пересчетным устройством за заданный Вами промежуток времени. Результат каждого измерения добавляется в таблицу на экране монитора. После каждого измерения вычисляются и выводятся на экран текущие значения x , SN , Sx , так что можно проследить их измене-ние по мере увеличения числа измерений. В режиме счет с выводом гистограммы программа проводит серию из N однотип-ных измерений с фиксированным интервалом времени счета и

вычисляет значения x , SN , Sx для полученной выборки. Гистограмма заполняется следующим образом. Результаты измерений сортируются по значениям переменной X и изображаются на экране в виде вертикальных столбцов (см. рис.2). По оси X гистограммы откладываются значения измеряемой величины (количество регистрируемых импульсов), разбитые на интервалы (бины) равной ширины ∆Х. По вертикали откладывается высота бинов - число отсчетов, значения которых попали в данный интервал значений от Xi до Xi+1.

Профиль гистограммы по программе аппроксимируется распределениями Гаусса и Пуассона, используя полученные значения x и σσσσ. По критерию χχχχ2 вычисляется согласие данной гистограммы с теоретическими распределениями. Автоматизированный подсчет импульсов и обработка результатов позволяет провести большое число измерений, проследить статистические закономерности и набрать достаточную статистику для определения закона распределения измеряемой величины.

II. Задание и порядок выполнения работы.

Запуск программы.

После включения компьютера и монитора запустите файл cnt1.exe из директории C:\CNT. Программа устанавливается в положение "выбор режима измерения". Клавишами {↑},{↓} перейдите к нужному режиму измерения, и клавишей {ENTER} запустите его. С клавишами управления режимами и с основными формулами можно ознакомиться, выбрав режим «Help» (клавиша {F1}) или ниже в разделе «Программное обеспечение работы».

1). Счетная характеристика детектора.

Установите источник α-частиц в выдвижной отсек под детектором. Включите блок питания ФЭУ и установите напряжение 1,2 кВ. Переведите программу в режим "Счет с выводом гистограммы" и цифровыми клавишами задайте интервал времени счета ∆Т = 200 мсек и число измерений в выборке N = 20. Клавишей {ENTER} запустите программу (она автоматически выполнит серию из

Рис.2. Вид гистограммы

компьютер

Пересчетне устройство

Ф Э У

сцинтиллят αααα-

блок питания

Рис.1. Блок-схема измерений.

5

20 измерений и справа на экране выведет значения величин x , SN для данной выборки). Изменяя напряжение блока питания ФЭУ в диапазоне U = 1,2 - 2,5 кВ, снимите счетную характеристику - зависимость числа импульсов от напряжения питания ФЭУ. Запишите полученные значения x и SN и постройте график x от U. Определите оптимальное напряжение ФЭУ (на середине плато счетной характеристики). Для определения систематической погрешности, связанной с шумами ФЭУ (темновой ток), повторите измерения без источника α-частиц. Темновой ток можно уменьшить, накрыв детектор светонепроницаемой накидкой.

2). Влияние числа измерений и интервала счета на точность определения среднего

Установите оптимальное рабочее напряжение питания ФЭУ (на середине плато счетной характеристики). В режиме "Непосредственный счет" цифровыми клавишами задайте интервал времени счета ∆Т = 500 мсек. Нажимая клавишу {ENTER}, последовательно заполните таблицу результатов измерений на экране. Проследите, как изменяются значения среднего x , среднеквадратичного отклонения SN и среднеквадратичной ошибки среднего Sx по мере увели-чения числа измерений N в выборке. Запишите характерные значения x , SN, Sx при изменении N, например, в 4 раза. Повторите измерения для короткого временного интервала ∆Т = 5 мсек. Составьте таблицу значений x , SN, Sx , полученных при ∆Т = 5 и 500 мсек и разных N. Определите активность источника (в распадах в секунду).

3). Построение и анализ гистограмм.

Переведите программу в режим «Счет с выводом гистограммы». Цифровыми клавишами задайте интервал времени счета ∆Т =100 мсек и число измерений в выборке N = 100. Установите предполагаемый масштаб гистограммы: диапазон ожидаемых значений Xmin , Xmax и максималь-ную высоту бина nmax. Клавишей {ENTER} запустите серию из N измерений с указанным интервалом счета ∆Т. Проследите, как меняется высота бинов в процессе счета. Клавишами «G» и «P» аппроксимируйте полученную гистограмму теоретическими распределениями Гаусса и Пуассона. Проверьте, как выбор ширины бина ∆Х влияет на вид гистограммы и на точность "совпадения" с теоретическими распределениями.

Проведите несколько серий измерений и постройте гистограммы:

а) Для разных ∆Т (например, 1 , 10, 100 и 1000 мсек) при N = 100.

б) Для разных N (например, 10, 100 и 1000) при ∆Т =1 мсек.

Проверьте точность "совпадения" с теоретическими распределениями Гаусса и Пуассона при малых и больших ∆Т. Запишите условия, при которых точность аппроксимации обоими распределениями становится примерно одинаковой. Распечатайте несколько характерных гистограмм для больших и малых ∆Т, N.

4). Представление результата измерений.

В соответствии с «Порядком обработки результатов измерений» (см. ниже в разделе V) выразите результат измерений (число α-частиц за 1 сек) в интервальной форме типа X = X X± ∆ для двух значений доверительной вероятности р = 0,68 и 0.95. Не забудьте о возможной систематической ошибке!

5). Типовой отчет о работе должен содержать:

Схему эксперимента

График счётной характеристики детектора

6

В режиме непосредственного счета - характерные значения x , SN, Sx для интервалов 5 и 500 mсек.

В режиме счёта с выводом гистограммы

-2 характерные гистограммы и значения x , SN, Sx (при T=1 и 103 мсек).

-таблицу значений χ2-квадрат при сравнении гистограмм с распределениями Гаусса и Пуассона: -для T = 1 мсек при различном N= 10-1000, для N= 100 при различном T = 1- 1000 мсек.

Результат измерений (число α-частиц за 1 сек) в форме типа X = X X± ∆

III. Экспериментальная установка

Источник альфа-частиц

Альфа-частицы - это ядра гелия 4He++ (дважды ионизованные атомы гелия). В работе используется изотопный источник, в котором α-частицы образуются в результате радиоактивного распада изотопа плутония 239Pu с периодом полураспада 24360 лет и энергией α-частиц, равной 5 - 5.1 МэВ. Источник α-частиц (рис.3) представляет собой алюминиевую подложку 1, в углублении которой нанесен слой радиоактивного вещества 2. Активный слой покрыт защитной

металлической пленкой 3 (обычно слой алюминия толщиной не более 10 мкм). Средний пробег α-частиц с энергией 5 МэВ в воздухе составляет примерно 3,5 см. (в алюминии и стекле - примерно 0,05 мм). Каждый источник снабжен паспортом, в котором указаны его параметры. Цифрами на источнике отмечена его активность (надпись ″83″ соответствует 8⋅103 распадам/сек). Активность используемых в

данной работе источников порядка 103-104 распадов в секунду. Поскольку α-частицы имеют малую проникающую способность (лист плотной бумаги практически полностью их поглощает), то источник безопасен в работе. Тем не менее, по условиям техники безопасности и чтобы не загрязнять защитную пленку, её не следует касаться руками.

Радиоактивный распад

Явление радиоактивности состоит в самопроизвольном распаде ядер с испусканием одной или нескольких частиц. Ядра, подверженные такому распаду, называют радиоактивными. Необходимым условием радиоактивного распада является его энергетическая возможность - масса исходного (материнского) ядра должна превышать сумму масс ядра-осколка и частиц, вылетающих при распаде. Тяжелым ядрам энергетически выгодно испускать α-частицы (энергия связи тяжелого ядра в пересчете на нуклон меньше энергии связи α-частицы). Кинетическая энергия α-частицы при распаде для многих ядер имеет величину от 4 до 9 МэВ и определяется дефектом масс (разницей в массе исходного ядра и образующихся частиц). Вместе с тем простая оценка показывает, что кулоновское отталкивание при разлете тяжелого дочернего ядра и α-частицы должно ускорять последнюю до энергии 25-30 МэВ (см. рис.4). Почему α-частицы имеют энергию меньше, чем дает кулоновское отталкивание?

���������������������������

1 2 3

Рис.3

7

На пути α-частицы из ядра возвышается потен-циальный барьер, созданный ядерными силами притяже-ния и кулоновского отталкивания (рис.4). α-частице уда-ется его преодолеть благодаря квантово-механическому явлению - туннельному переходу под потенциальным барьером. Образовавшаяся в результате «вероятностного» слияния нуклонов в ядре α-частица лишь с определенной долей вероятности совершает туннельный переход через потенциальный барьер ядерных сил и вылетает из ядра.

Распад каждого ядра не зависит от присутствия других ядер. Количество α-частиц, испускаемых источником за 1 секунду, есть величина случайная. Число нераспавшихся α-активных ядер определяется вероятно-

стным законом радиоактивного распада: N = Nо exp(-t/ττττ). Видно, что определенная часть активных ядер может «прожить» достаточно долго в сравнении со средним временем жизни ττττ. Вероятность туннельного перехода экспоненциально уменьшается при увеличении высоты и ширины барьера, что приводит к очень сильной зависимости периода полураспада от энергии вылетающих α-частиц (закон Гейгера - Неттола). Флуктуации потока α-частиц, наблюдаемые в работе, являются прямым проявлением квантово-механической природы радиоактивного распада.

Счетчик альфа-частиц.

Для измерения потока α-частиц в работе используется сцинтилляционный счетчик, устрой-ство которого показано на рис.5. Поток α-частиц от плутония 239Pu попадает в сцинтиллятор С, представляющий собой пластину из прозрачной пластмассы с люминесцентными добавками. Заряженная частица, пролетающая через сцинтиллятор, при торможении теряет свою энергию. Часть этой энергии переходит в свет (обычно в оптическом диапазоне), который регистрируется фотоприемником. Для образования одного фотона требуется порядка 102 эВ, время высвечивания сцинтиллятора составляет от долей нсек до мксек. Часть фотонов от световой вспышки (для данной геометрии счетчика примерно 10%) попадает на полупрозрачное входное окно фотоэлектронного умножителя (ФЭУ), на внутренней стороне которого нанесен фотокатод ФК (рис.5). Под действием света с фотокатода выбиваются электроны. Обычно эффективность кон-версии фотонов в электроны (квантовый выход) составляет 0.1-0.3. Между фотокатодом и анодом А расположены диноды Д, на которые подается

Рис. 5. Счетчик α-частиц

С - сцинтиллятор;

ФЭУ -фотоэлектронный умножитель;

ФК - фотокатод,

ДН - делитель напряжения; ИП - источник питания; Rн - сопротивление нагрузки; ПСЧ - пересчетное устройство.

напряжение с делителя ДН. Оно обеспечивает лавинообразное размножение электронов. Выбитые с фотокатода электроны ускоряются к первому диноду, из которого они выбивают большее число вторичных электронов, эти электроны ускоряются ко второму диноду и т.д. Обычно ФЭУ имеет 10-15 каскадов умножения с полным коэффициентом усиления 105 - 106. Усиленный токовый

α

U, МeV

x, 10 cm-111

10

20

30Зона кулоновскогоотталкивания

0

Рис.4. Туннельный переход α-частицы

8

сигнал от световой вспышки сцинтиллятора дает на выходном сопротивлении Rн короткий импульс. Через дискриминатор (пороговое устройство, пропускающее сигналы с амплитудой выше определенного порога) регистрируемый сигнал поступает на пересчетное устройство ПСЧ, сопряженное с ЭВМ. Счетное устройство позволяет измерять количество импульсов, зарегистри-рованных ФЭУ за заданный промежуток времени ∆Т (интервал счета импульсов).

Счетная характеристика ФЭУ.

Каждая α-частица, попадая в сцинтиллятор, вызывает вспышку света, которая регистрируется с помощью ФЭУ. При недостаточном напряжении на динодах ФЭУ электронная лавина не образуется и амплитуда импульса напряжения на сопротивлении нагрузки может оказаться ниже порога регистрации. С другой стороны, если напряжение между динодами слишком велико, то даже "случайные" единичные электроны, по разным причинам образующиеся внутри ФЭУ, приводят к появлению лишних (ложных) импульсов. Поэтому даже в отсутствие α-частиц ФЭУ регистрирует так называемый темновой ток. Для правильной работы ФЭУ надо подобрать величину рабочего напряжения на блоке питания.

Для этого перед началом измерений снимают счетную характеристику- зависимость загрузки (скорости счета) от напряжения питания. Общий вид такой характеристики представлен на рис.6 . Участок кривой n1 - n2, имеющий малый наклон к оси U, называют рабочим плато счетной характеристики. Обычно величину питания UП выбирают близкой к середине плато. Поскольку

наклон счетной характеристики в области плато не равен нулю, то флуктуации напряжения UП в про-цессе работы приводят к погрешности измерений. Сняв счетную характеристику без источника α-частиц, можно определить темновой ток ФЭУ. Темновой ток можно уменьшить, накрыв детектор непрозрачной накидкой. Величина темнового тока флуктуирует от измерения к измерению. Статистиче-ские закономерности флуктуаций темнового тока при высоких напряжениях 2,1-2,5 кВ на ФЭУ (характер распределения, дисперсия) предлагается проверить самостоятельно.

Программное обеспечение работы.

Программа позволяет реализовать три режима работы.

1). "Непосредственный счет" В этом режиме программа производит отдельные измерения числа импульсов за заданный интервал времени. Цифровыми клавишами задается выбранный интервал ∆Т. При каждом нажатии клавиши {ENTER} происходит измерение числа импульсов, зарегистрированных в течение интервала счета ∆Т. Результат измерения добавляется в таблицу на экране, увеличивая N - число результатов в выборке. Cправа на экране приводятся значения x , SN, S x , позволяющие увидеть, как меняются эти параметры по мере увеличения N.

2). "Счет с выводом гистограммы" В этом режиме, помимо интервала ∆Т, задается число измерений в выборке N, и после запуска программа автоматически выполнит серию из N измерений. Результаты измерений автоматически сортируются и изображаются в виде гисто-граммы. Если масштаб гистограммы указан правильно, то результаты измерений будут отображаться в процессе счета, и можно наблюдать, в какой бин попадает результат очередного

Рисунок 6. Счетная характеристика ФЭУ

9

измерения и как меняется высота бинов в процессе счета. По завершении счета на экран в численной форме (в правой колонке) и в графической форме (отрезки ниже оси X гистограммы) выводятся значения x , SN, Sx для данной серии измерений.

Результаты данной выборки можно представить в виде нескольких гистограмм и наблюдать, как ширина интервала (бина) ∆Х влияет на вид гистограммы и на точность "совпадения" с теоретическими распределениями. Для этого нужно задать новые масштабы и размер бина ∆X гистограммы и запустить программу клавишей {ENTER}. Клавишей {G} на экран выводится теоретическая кривая распределения Гаусса, "привязанная" к полученным значениям x и σ = Sх. Клавишей {Р} выводятся бины (единичной ширины) аппроксимирующего распределения Пуассона. В правой колонке указывается оценка точности (по критерию χ2), с которой приведенные распределения согласуются с гистограммой. При желании величину x , SN при расчете распределений можно ввести вручную. Распечатка выбранных графиков проводится командой Alt + P.

3). "Запись данных гистограммы в файл". В этом режиме выбирается имя файла и данные записываются в файл в текстовом виде в виде таблицы значений, имеющей две колонки. Первая колонка содержит в возрастающем порядке значения числа импульсов, другая – число отсчетов с таким значением:

0 - N0;

1 - N1;

.............

Xmax - Nm.

Перечень управляющих клавиш :

{ENTER} - запуск режима, счета или вывода гистограммы

{↑↑↑↑},{↓↓↓↓} - переход к нужному режиму измерения,

- сдвиг курсора для ввода параметров счета или

параметров гистограммы

{TAB}- выбор интервала времени

Цифровые клавиши - ввод интервала счета,

числа измерений в выборке,

масштабов гистограммы

{Del} - стирание результата,

{G} - аппроксимация распределением Гаусса,

{Р} - аппроксимация распределением Пуассона,

{X}- стирание графика.

{Alt} + {P }- печать

{F1} - справка

10

{Esc} - выход в меню

С клавишами управления режимами, а также со всеми расчетными формулами можно ознакомиться, выбрав режим подсказки- нажав клавишу {F1}.

IV. Случайные величины и их статистика

Измеряемые величины могут быть по своей природе случайными (иметь вероятностный исход и меняться от измерения к измерению). Случайные величины описываются распределением вероятности, математическим ожиданием (средним значением), дисперсией. Для определения распределения вероятности случайной величины необходимо знать всю совокупность значений, которые она может принимать (генеральная совокупность).

Нормальное распределение (Гаусса)

Если измеряемая величина x принимает непрерывный ряд значений, а случайные ошибки измерений обусловлены большим числом малых и независимых друг от друга отклонений, то плотность вероятности p измеряемых значений x относительно наиболее вероятного среднего µµµµ описывается нормальным распределением (Гаусса):

( ) ( )µ

µν

σ

νν

πµσπν 22

2

2

2

21

21

)(−

−−

−

== eep

Величина σσσσ называется стандартным отклонением, а σσσσ2 - дисперсией. Величина σ служит основным параметром, определяющим вид кривой распределения случайных величин На рис.7 изображено несколько кривых распределения при различных значениях σ . Смысл Гауссовой функции заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью x и двумя ординатами точек x1 и x2 (заштрихованная площадь на рис.7), численно равна вероятности, с кото-рой значение случайной величины попадает в интервал x2 - x1. Нетрудно убедиться интегрирова-

нием функции,

что вся площадь под кривой равна точно единице. При нормальном распределении значение случайной величины попадает в интервал Величина σσσσ называется стандартным отклоне-нием, а σσσσ2 - дисперсией. При нормальном распределении значение случайной величины попадает в интервал

µµµµ ±±±± σσσσ с вероятностью 0, 68, в интервал µµµµ ±±±± 2σσσσ - с вероятностью 0,95, в интервал µµµµ ±±±± 3σσσσ - с вероятностью 0, 997.

Распределение Пуассона

Дискретное распределение, описывающее случайные процессы, в которых число испытаний велико, а вероятность отдельного события мала и постоянна по величине, называется распределением Пуассона. Оно является предельным случаем биномиального распределения и описывается выражением

!)(

nenp

nµµ−= ,

где p (n) - вероятность появления значения n , а параметр µ – математическое ожидание случайной величины (совпадающее со средним значением). Графики распределения Пуассона p (n) имеют вид дискретных линий различной высоты (рис.8). В отличие от распределения Гаусса, распределение Пуассона зависит от одного параметра µ, который также определяет и дисперсию

σ = 1

σ = 2

µσ = 4

x 1x

2

Рис.7. Вид распределений Гаусса при разных σσσσ

11

распределения. Нетрудно показать, что среднее и дисперсия для распределения Пуассона имеют одно и то же значение:

µ=≡∑=

∞→ N

nn

N

ii

N

1lim , и ( )

µσ =−

−≡

∑=

∞→ 1lim 1

2

2

N

nnN

ii

N

С ростом µ распределение Пуассона становится более симметричным и похожим на распределение Гаусса:

( ) ( )µµ

σ

πµσπ22

2

2

2

21

21)(

−−−

−==

nnn

eenp

причем различие становится малым, когда µ = >n 10 .

Количество α-частиц, регистрируемых детектором в настоящей работе, описывается распределением Пуассона в случае, когда временной интервал измерения мал (число радиоактивных ядер велико, а вероятность единичного распада мала). При большом временном интервале, когда регистрируемое число частиц достаточно большое (n >> 10), статистические отклонения можно аппроксимировать распределением Гаусса.

Критерий χχχχ2

Пусть в результате измерений получен набор данных, представленных в виде гистограммы. Для сравнения полученной гистограммы с предполагаемым теоретическим распределением типа G(x) необходимо сравнить ожидаемое и реально наблюдаемое число событий в каждом бине. Степень соответствия гистограммы с теоретическим распределением зависит от выбора ширины бина. Чтобы гистограмма была информативной, она должна содержать достаточное количество бинов (не менее 4-5). В каждый бин должно попадать по меньшей мере несколько событий. Так, если в бин попадает ni событий, то флуктуации высоты бина порядка ni . При увеличении величины ni относительные флуктуации высоты бинов уменьшаются как 1/ ni , и огибающая гистограммы принимает сглаженный вид (практически при ni > 4 - 5).

Разность между измеренным числом событий в бине ni и ожидаемым значением Gi предлагаемого теоретического распределения также должна быть порядка стандартного отклонения ni . Отсюда понятно, что критерием согласия теоретического распределения с экспериментальными данными может быть выражение, называемое критерием χ2 :

µ=3

P(n)

n1

0.1

0.2

µ=8µ=8µ=8µ=8P(n)

n1 10 12 14

0.10

0.15

0.05

Рис.8. Распределения Пуассона для различных значений µ

12

( ) kG

Gn

i

ii ≤−=∑2

2χ

где k - число степеней свободы, равное числу бинов минус число связей c. Для распределений Гаусса и Пуассона число связей равно числу параметров распределения, так что с=2 для распределения Гаусса (два параметра x и σσσσ) и с=1 для распределения Пуассона (один параметр µ).

Если χ2 < k, то согласие между теоретическим распределением и экспериментальной выборкой можно считать удовлетворительным, в противном случае соответствие эксперимента и теории сомнительно.

V. Обработка результатов, содержащих случайную ошибку.

Точность определения среднего.

Пусть в одних и тех же условиях проделано N измерений и xi — результат i -го измерения. Набор значений x1, x2 ... xN называется выборкой. Наилучшей оценкой измеряемой величины для выборки из N измерений будет среднее значение

∑=

=N

i

i

Nxx

1

Среднеквадратичным отклонением (выборки) называется величина

∑= −

−=N

i NxxS N

1

2

)1()(

При N →→→→ ∞∞∞∞ SN стремится к постоянному пределу σ (который при нормальном распределении равен стандартному отклонению σ ) .

Если x найдено из ограниченного числа измерений, то повторные измерения давали бы новые значения x i. Усредняя полученные значения x i , можно определить «результирующее» значение x . Распределение значений x i , полученных из разных выборок, вокруг «результирующего» значения x также можно описать гауссовым распределением. При этом среднеквадратичное отклонение средних от «результирующего» значения x будет определяться величиной

NS

NNxxS N

N

ix =

−−= ∑

=1

2

)1()(

называемой среднеквадратичной ошибкой среднего (СОС). При N →→→→ ∞∞∞∞ величина Sx стремится к нулю, а x стремится к истинному значению µ. Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений. Естественно, нет смысла увеличивать количество измерений, когда величина Sx станет сравнима с систематической ошибкой.

Доверительный интервал. Коэффициенты Стьюдента

13

Вероятность р того, что истинное значение измеряемой величины µ находится внутри некоторого интервала от x - ∆∆∆∆x до x + ∆∆∆∆x называется доверительной вероятностью (коэффици-ентом надежности), а сам интервал - доверительным интервалом. При нормальном распреде-

лении для достаточно большого числа измерений (см. ниже) доверительному интервалу x ±±±± Sx соот-ветствует вероятность р=0,68, а результат измерений для доверительной вероятности 0,68 запишется в виде

x = x ±±±± Sx

Соотношение значений доверительных вероятностей и величины доверительных интервалов приведено в табл.1 (где доверительный интервал указан в долях среднеквадратичного отклонения).

При малом числе измерений заданному значению p соответствует несколько больший довери-тельный интервал но сравнению с найденным из табл.1 значением. Конечный результат в данном случае представляется в виде

x = x ±±±± tna Sx

где поправочные коэффициенты tna называются коэффициентами Стьюдента. Их зависимость от р и N приведена в табл. 2.

Из сказанного следует, что:

1. Величина среднеквадратичной ошибки среднего позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеря-емой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.

2. При N → ∞∞∞∞ Sx → 0, т. е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение µ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая N, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока слу-чайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, так как конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической

ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение p (например, p = 0,95), нетрудно найти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.

Порядок обработки результатов прямых измерений.

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок действий:

1. Результаты каждого измерения записываются в таблицу.

Таблица 1 Доверительные вероятности p для

доверительного интервала, выраженного в долях среднеквадратичного

отклонения ε = ∆x/σ ε р ε р ε р 0,1 0,08 1 0,68 2 0,95 0,2 0,16 1,1 0,73 2,3 0,978 0,3 0,24 1,2 0,77 2,5 0,988 0,4 0,31 1,3 0,80 2,8 0,995 0,5 0,38 1,5 0,87 3 0,997 0,6 0,45 1,7 0,91 3,5 0,9995 0,7 0,51 1,8 0,93 3,8 0,99986 0,9 0,63 1,9 0,94 4 0.99993

Табл.2.Коэффициенты Стьюдента Значения p N 0.683 0.95 0.99 0.9973 3 1.32 4.70 9.9 19.2 4 1.20 3.18 5.8 9.2 5 1.15 2.78 4.6 6.6 7 1.09 2.45 3.7 4.9 10 1.06 2.26 3.2 4.1 20 1.03 2.09 2.8 3,4 50 1.01 2.01 2.7 3.2 100 1.00 1.98 2.6 3.1 200 1.00 1.97 2.6 3.0

14

2. Вычисляется среднее значение из N измерений

3. Находятся погрешности отдельного измерения ∆xi = x - xi

4. Определяется среднеквадратичная погрешность среднего

NS

NNxxS N

N

ix =

−−= ∑

=1

2

)1()(

5. Задается значение доверительной вероятности р

6. Определяется коэффициент Стьюдента tna для заданного р и числа измерений N (по табл.2)

7. Находится доверительный интервал (погрешность результата измерений)

∆x = tna Sx

8. Если величина погрешности результата измерений оказывается сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала следует взять величину

22)( δ+=∆ xna Stx

9. Окончательный результат записывается в виде X = x ±±±± ∆∆∆∆X

10. Оценивается относительная погрешность результата измерений:

εεεε = ∆X / x

VI. Контрольные вопросы

1. Как оценить среднеквадратичное отклонение Sх. по рисунку гистограммы (на какой высоте и т.п.) ?

2. Чему равно среднеквадратичное отклонение, если функция распределения имеет вид столика шириной a?

3. Оценить максимальное значение среднеквадратичного отклонения, если гистограмма состоит из одного бина шириной a, содержащего 100 событий.

4. Когда значения x , Sх., S x больше : при измерениях с интервалом счета

1 мсек и числом измерений в выборке 1000 или при измерениях с

интервалом счета 100 мсек и числом измерений в выборке 10 ?

5. Оцените массу изотопа плутония в используемом источнике.

6. Какое минимальное количество атомов 239 Pu в источнике необходимо для определения периода полураспада с точностью 1 год за время измерения 1 час?

7. Радиоактивный источник с большим запасом атомов 239 Pu имеет среднюю активность 1 распад в 1 мсек. Какова вероятность, что в течение 1 мсек произойдет 2 распада? С какой вероятностью распад произойдет в течение интервала 0,5 мсек?

Дополнительные задания к работе

15

по курсу «Введение в компьютерные технологии»

I вариант - Исследование распределения средних

Постановка задачи.

Пусть в эксперименте мы получили N измеренных значений (выборку) x x xN1 2, , ..., , их среднее

Nxxx

x N+++=

...21

и среднеквадратичное отклонение:

∑ −−

= 2)(1

1 xxN

s iN .

Полученное значение среднего найдено из ограниченного числа измерений, так что, произведя еще одну выборку при тех же условиях, мы получим среднее, отличное от предыдущего. Естественно считать, что разные средние будут ложиться вокруг “результирующего» среднего, определенного усреднением средних. Теория говорит, что средние, полученные от разных выборок по N измерений в каждой, образуют распределение со средне-квадратичным отклонением

Ns

s Nx = ,

где sN – среднеквадратичное отклонение величины x. Предлагается проверить это утверждение.

Измерения.

После снятия счетной характеристики и установки оптимального напряжения ФЭУ счетчика, выберите интервал времени счета таким, чтобы среднее счета α-частиц было не менее 15–20. Сделайте при неизменных условиях эксперимента 3 серии измерений по 20–30 выборок в каждой. Выборки для 1, 2 и 3 серии должны состоять из N = 200, 400 и 600 измерений соответственно. Для каждой выборки выпишите в виде таблицы значения среднего и среднеквадратичного отклонения, получая их в режиме вывода гистограммы:

N Измерение 200 400 600 1 x s11 11, x s21 21, x s31 31, 2 x s12 12, x s22 22, x s32 32, … ... ... ...

Обработка данных.

Внесите в столбцы A-F электронной таблицы Excel полученные вами значения средних и среднеквадратичных отклонений для N=200, 400, 600, соответственно. С помощью функции “ДИСПР” определите дисперсию от xni для каждого N и в свободных ячейках организуйте таблицу, содержащую ряды значений 1/ N и соответствующих им только что определенных sx . Постройте точечный график зависимости sx от 1/ N . По этим точкам с помощью метода линейной регрессии постройте прямую. Сравните угол наклона этой прямой с наилучшей оценкой среднеквадратичного отклонения, полученной от всех sij .

Оформление отчета.

Отчет должен содержать

16

к общей части:

– счетную характеристику детектора (таблица и график);

– данные счета α-частиц – таблица значений x s sN x, ,

при T=1 мсек и различных N=10–200;

при N=10 и различных T=1–1000 мсек.

к дополнительному заданию:

– 3 гистограммы распределения средних для N=200, 400, 600, построенные с помощью Excel;

– таблица значений s Nx , ; график ( / , )1 N sx с аппроксимирующей прямой;

– сравнительный анализ полученных результатов.

II вариант - Функция распределения и критерий χχχχ2 .

Измерения.

Сделайте 2 серии измерений числа α-частиц. Измерительный интервал для одной серии сделайте таким, чтобы среднее число импульсов за интервал было примерно 2÷3, для другой – 50÷100. Каждая серия должна иметь не менее 500 измерений.

Запись данных в файл.

С помощью управляющей программы запишите результаты двух серий в файлы на дискету. Программа записывает данные в текстовом виде в формате, имеющем две колонки. Первая колонка содержит в возрастающем порядке значение числа импульсов, другая – число отсчетов с таким значением. Например, если серия получена из отсчетов со значениями: 3, 2, 4, 1, 3, 2, 2, 3, 2, то в файл будет записано:

0 0

1 1

2 4

3 3

4 1

Обработка данных.

1. С помощью электронных таблиц Exсel отдельно для двух серий определите среднее xN и среднеквадратичное отклонение SN . Для этого данные из файла скопируйте в таблицу Exсel, так чтобы в колонке A были значения измерений, а в колонке B – число отсчетов с такими измерениями. Для нахождения среднего и среднеквадратичного отклонения примените формулы:

17

∑∑∑ ⋅

== =

k

kk

N

ii

N BBA

N

xx 1

( ) ( )11

21

2

2

−−⋅

=−

−= ∑∑

=

NxAB

N

xxS Nkk

N

iNi

N

Суммирование ведется по всем строкам таблицы, содержащими данные.

2. Аппроксимируйте полученные данные теоретическими распределениями. Сначала проведите нормировку экспериментальных данных - разместите в новой колонке C относительные значения чисел из колонки B:

∑=

k

kk B

BC .

Затем заполните колонки D и E соответствующими значениями функций распределения Пуассона и Гаусса. Аргументами должны являться значения данных из колонки A:

!k

A

k AeD

kµµ−= ; ( )

µµ

πµ2

2

21

−−

=kA

k eE ,

где µ надо принять равным полученному вами значению Nx .

3. Постройте с помощью Exсel гистограмму экспериментальных данных с размером бина равным единице. Так как ваши данные имеют уже дискретное представление, то для этого достаточно построить график C=C(A). Там же выведите графики теоретических распределений.

4. С помощью критерия χ2 определите, с каким из теоретических распределений лучше согласуются ваши данные. Для этого посчитайте относительное квадратичное отклонение между C и D (для Пуассона), между C и E (для Гаусса) по формулам:

( )∑ −=

k

kk

DDC 2

2χ ; ( )∑ −

=k

kk

EEC 2

2χ

Сравните χ2 с количеством строк n (бинов). Если χ2 ≤ n, то согласие между экспериментальным и теоретическим распределениями приемлемое, если χ2 >> n, то имеется существенное расхождение.

Оформление отчета

Отчет должен содержать:

-Счётную характеристику детектора- таблица или график

-Данные режима непосредственного счета -таблицы значений x , SN, Sx для

интервалов 5 и 500 mсек.

-Данные счёта с выводом гистограммы -

таблицу значений x , SN, Sx при T =1 мсек и различных N=10-100,

18

таблица значений при N=10 и различных T= 1 - 1000 мсек.

- Гистограммы, построенные с помощью Excel:

-при интервалах счёта Т = 1 mсек. и при числе измерений N=100

-при интервале счёта Т=100 mсек. и при числе измерений N=20

-Таблицу значений χ2 при сравнении экспериментальных данных и распределений Гаусса и Пуассона:

-при фиксированном интервале счёта 1 мсек и при различном количестве измерений 2-1000,

-при фиксированном количестве измерений 100 и при различном интервале счёта 1- 1000 мсек.

Литература.

1. Дж. Тейлор. Введение в теорию ошибок. М.:Мир,1985

2. Х.-И. Кунце. Методы физических измерений. М.:Мир,1989.

3. Б.Князев, В.Черкасский. Начала обработки экспериментальных данных. Учебное пособие. Издательств НГУ, 1996.

Интернет версия подготовлена на основе издания: Описание лабораторных работ по физике. Измерительный практикум. Часть1. Новосибирск: Изд-во, НГУ, 1999

Физический факультет НГУ, 2000

Лаборатория методов измерений НГУ, 2000, http://www.phys.nsu.ru/measuring/