Embed Size (px)
Citation preview
1
Глава 6
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
Понятие определённого интеграла возникло в связи с задачей об вычислении
площади плоской фигуры.
Задача 1. (о площади криволинейной трапеции)
Пусть непрерывная функция задана на [a;b] и х[a;b] 0)( xf . Рассмотрим фи-
гуру, ограниченную графиком функции y=f(x) двумя вертикальными прямыми x=a, x=b и
осью Ox, назовём такую фигуру криволинейной трапецией.
Найдём площадь криволинейной трапеции. Для этого разобьём [a;b] произвольным
образом на n частей точками ),0( nkxk :
bxxxxxxa nkk ...... 1210 .
Отрезок ];[ 1 kk xx назовём k–ым отрезком разбиения. Обозначим через
1 kkk xxx , через kk
xmax длину наибольшего отрезка разбиения. Через концы
отрезков разбиения ),0( nkxk проведём вертикальные прямые. Они разбивают криво-
линейную трапецию на n частей. Заменим каждую из частей (криволинейную трапецию)
на прямоугольник, у которого основание ];[ 1 kk xx , а высота )( kfh , k произволь-
ное число из ];[ 1 kk xx . Площадь k–ого прямоугольника kkk xfS )( . Сумма пло-
щадей всех прямоугольников даёт площадь ступенчатой фигуры
a b 0
x
y
2
nnn xfxfxf )(...)()( 2211 .
Чем меньше отрезки разбиения ];[ 1 kk xx , тем меньше площадь ступенчатой фигуры n
отличается от площади криволинейной трапеции S, поэтому естественно определить пло-
щадь криволинейной трапеции как nS 0lim
.
Задача 2. (путь поступательного движения)
Пусть тело совершает поступательное движение со скоростью v=v(t). Найти путь s , прой-
денный телом за время от t=T1 до t=T2.
Если v=const (т.е. тело движется равномерно), то s=v(T1– T2). Рассмотрим случай,
когда меняется со временем v=v(t) (т.е. поступательное движение). Промежуток времени
[T1 ; T2] на n частей точками ),0( nktk :
212101 ...... TttttttT nkk .
На каждом частичном промежутке ];[ 1 kk tt будем считать, что тело движется с
постоянной скоростью vk=v(tk1).и за промежуток времени 1 kkk ttt проходит путь
kkk ttvs )( 1 . Обозначим через kk
xmax наибольший промежуток времени.
Сумма всех ks приближённо равна пути s, если отрезки времени ];[ 1 kk tt очень мелень-
кие. Тогда естественно определить путь s , как
n
kkkk tttvs
011
0)()(lim
, где
kk
xmax .
§ 2. Понятие определённого интеграла
В задачах 1 и 2 § 1 для вычисления площади криволиней трапеции и пути при
поступательном движении мы использовали придел при 0||max kk
x от конечных
сумм определённого вида
n
kkk
n
kkkkn xfxxf
001 )()()( , где f(x) — дан-
ная функция, 1 kkk xxx — длина k–ого отрезка разбиения, при разбиении [a;b] про-
извольным образом на n частей точками ),0( nkxk :
bxxxxxxa nkk ...... 1210 ,
3
k — произвольная точка из ];[ 1 kk xx , ||max kk
x длина наибольшего отрезка раз-
биения. Суммы вида
n
kkkn xf
0
)( (1)
назовём интегральной суммой для функции f(x) и для данного разбиения отрезка [a;b] на
n частей при данном выборе точек k (будем обозначать );(];[ kn
ba fT ). Очевидно, инте-
гральная сумма зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на части и выбора точек k, по-
этому для функции f(x) можно составить бесконечно много интегральных сумм.
Определение 1. Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a;b], если
для любого );(];[ kn
ba fT отрезка [a;b] на n частей при любом выборе точек k , соответ-
ствующая последовательность интегральных сумм (σn) имеет конечный предел при
0||max kk
x , и этот предел не зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на части
и от выбора точек k . Общее значение этот предел называется определённым интегралом
от функции f(x) на [a;b] и обозначается
n
kkkn
b
a
xfdxxf000
)(limlim)(
(2)
Числа a и b называются пределами интегрирования, функция f(x) — подынтегральная
функция, х — переменная интегрирования, f(x)dx — подынтегральное выражение.
Замечание 1. Предел последовательности интегральных сумм (σn) при
0max kk
x , отличается от ранее рассмотренных пределов последовательностей
nn
lim . На языке «ε–» его нужно понимать так:
ε>0 (ε)>0 такое, что при любом разбиении отрезка [a;b] на n частей и любом выборе
точек k , );(];[ kn
ba fT удовлетворяет только условию kk
xmax , выполняется
неравенство In , где I b
a
dxxf )( .
Теорема 1. (Необходимое условие интегрируемости) Если f(x) интегрируемая на
отрезке [a;b] функция, то f(x) — ограничена на отрезке [a;b].
◄Методом от противного. Пусть f(x) — неограниченная функция на отрезке [a;b]. Тогда
она неограниченна хотя бы на одном отрезке разбиения, пусть этот отрезок ];[ 1 kk xx
4
можно выбрать k ];[ 1 kk xx так, что f(k), а значит и слагаемое kk xf )( будет сколь
угодно большим, а вместе с этим и интегральная сумма σn будет сколь угодно большой
nn
lim f(x) – неинтегрируемая на отрезке [a;b] (см. Опр. 1). Получили противоре-
чие, по условию f(x) – интегрируемая на отрезке [a;b].►
Следствие. Если функция f(x) не является ограниченной на отрезке [a;b], то она
неинтегрируемая на отрезке [a;b].
Замечание 2. Условие ограниченности функции f(x) не является достаточным.
Пример. Функция Дирихле
Qx
Ixxf
,1
,0)( — ограничена на любом отрезке
[a;b], но не является интегрируемой на любом [a;b]
§ 3. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости
Возникает вопрос, при каких условиях функция f(x) — интегрируемая на отрезке
[a;b]? Введём для этого понятия верхней и нижней сумм Дарбу.
Пусть f(x) — непрерывная на отрезке [a;b] функция. Разобьём [a;b] произвольным
образом на n частей точками ),0( nkxk :
bxxxxxxa nkk ...... 1210 .
По теореме Вейерштрасса на отрезке ];[ 1 kk xx f(x) принимает наибольшее Мk и
наименьшее mk значения. Интегральные суммы
n
kkk xMS
1
и
n
kkk xms
1
(1)
назовём соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу для данного разбиения
);(];[ kn
ba fT функции f(x).
Замечание 1. Для данного разбиения );(];[ kn
ba fT существует одна верхняя и одна ниж-
няя суммы Дарбу функции f(x), хотя интегральных сумм для данного разбиения
);(];[ kn
ba fT существует бесконечно много.
5
Свойства сумм Дарбу
1. Для данного разбиения );(];[ kn
ba fT при любом выборе точек k все интеграль-
ные суммы функции f(x) σn удовлетворяют неравенству
nnn Ss (2)
2. Если к имеющимся точкам деления [a;b] на части добавить новые точки, то полу-
ченная новая нижняя сумма Дарбу может только увеличиться, а верхняя сумма Дарбу мо-
жет только уменьшиться.
3. Нижняя сумма Дарбу любого разбиения не превосходит верхней суммы Дарбу лю-
бого другого разбиения.
4. Множества всевозможных нижних и верхних сумм Дарбу ограничены.
Следствие. Множества всевозможных нижних (верхних) сумм Дарбу ограничены, со-
ответственно, сверху (снизу). Верхняя грань sup{s}= I* называется нижним интегралом, а
нижняя грань inf{S}=I* называется верхним интегралом.
Теорема 1. (критерий интегрируемости) Для существования определённого интегра-
ла b
a
dxxf )( необходимо и достаточно, чтобы для любого ε 0 существовало (ε) 0 та-
кое, что как только kk
xmax , то S–s< ε 0)(lim0
sS
.
Теорема 2.(классы интегрируемых функций) Функция f(x)интегрируема на отрезке [a;b],
если выполняется одно из следующих условий:
1) функция f(x) непрерывная на отрезке [a;b] или;
2) функция f(x) ограничена и кусочно–непрерывная на отрезке [a;b] (т.е имеет конеч-
ное число точек разрыва 1–го рода) или;
6
3) функция f(x) определена и монотонна на отрезке [a;b] .
§ 4. Свойства определённого интеграла
Все свойства доказываются с помощью определения 1 §2 при предположении, что
функции f(x) и g(x) интегрируемые на отрезке [a;b].
1. 0)( a
a
dxxf
2. a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
3. b
a
b
a
dttfdxxf )()( определенный интеграл не зависит от обозначения пере-
менной интегрирования.
4. b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()(
5. b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgf )()())((
6. b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( , где с – любая точка из [a;b].
7.
aa
axfdxxf
xf
dxxf
0
)(,)(2
)(,0
)(
8. Если a<b и х[a;b], функции f, g – непрерывные на [a;b], f(x) g(x), то
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
7
9. Если f– непрерывная функция и a<b, то b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
10. (Теорема о среднем значении) Если f– непрерывная функция на [a;b], то
c[a;b] такая, что
)()()( abcfdxxfb
a
(1)
Геометрический смысл: если обе части (1) рассматривать, как площади криволи-
нейных трапеций, то площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника
со стороной [a;b] и высотой f(c), где с – некоторая точка из [a;b].
Под средним значением n чисел y1, y2, …, yn мы понимаем среднее арифметическое.
Но что понимать под средним значением функции f(х) на [a;b]? Разобьём [a;b] на n равных
частей длиной n
abxk
. Будем считать, что f(х) на каждом [yк–1, yк] принимает посто-
янное значение f(хк). Среднее значение чисел f(х1), f(х2),... , f(хn)обозначим
n
kkn xf
ny
1
)(1
. Определим среднее значение функции f(х) на [a;b] как
n
k
kk
n
n
k
kn
n
k
kn
nn
ñð xfab
xxf
nxf
nyy
111
)(lim)(1
lim)(1
limlim
b
a
k
n
k
kn
dxxfab
xxfab
)(1
)(lim1
1
, если f(х) – интегрируемая на [a;b].
11. (Обобщённая теорема о среднем значении) Если f g, g – непрерывные функ-
ции на [a;b], причём g – знакопостоянная, то c[a;b] такая, что
8
b
a
b
a
dxxgcfdxxgxf )()()()(
§ 5. Связь между определённым и неопределённым интегралами.
Формула Ньютона–Лейбница
По определению определённый интеграл – число равноепределу интегральных
сумм. Он зависит от вида f(x) и пределов интегрирования a,b и не зависит от переменной
интегрирования (свойство 3 § 4).
Пусть f(x) – непрерывная на [a;b] функция, тогда х[a;b] соответствует един-
ственное число x
a
dttf )( . Рассмотрим функцию
F(x)= x
a
dttf )( , (1)
которую назовём интегралом с переменным верхним пределом интегрирования. Если
f(x)>0, то F(x) можно рассматривать, как площадь криволинейной трапеции.
Теорема 1. Если f(x) – непрерывная на [a;b] функция, то F(x) – дифференцируемая
х[a;b], т.е. существует F’(x), причём
F’(x)= )()( xfdttfdx
dx
a
(2)
равна значению подынтегральной функции в переменном верхнем пределе.
Следствие. Непрерывная на [a;b] функция f(x), имеет первообразную F(x), задава-
емую формулой (1).
Т.к. любая первообразная отличается от одной из них на постоянную С, то
Cdttfdxxfx
a
)()( – это равенство устанавливает связь между неопределённым и
определённым интегралами.
Теорема 2. Если f(x) – непрерывная на [a;b] функция, то
9
)()()( aFbFdxxfb
a
, (3)
где F(x) – первообразная для функции f(x) на [a;b].
Замечание. Формула (3) называется формулой Ньютона–Лейбница – это основ-
ная формула, с помощью которой вычисляются определённые интегралы.
В заключение перечислим способы вычисления определённых интегралов:
С помощью формулы (3), если f(x) – непрерывная на [a;b] функция.
С помощью формулы интегрирования по частям
b
a
b
a
b
a
dxxvxuxvxudxxvxu )()(')()()(')( или b
a
b
a
b
a
vduvudvxu )( (4)
С помощью замены переменной
Теорема 3. Если
1) f(x) – определена и непрерывная на [a;b] функция;
2) х=(t)– непрерывно дифференцируемая [;] функция, причём для t[;]
a=() (t) ()=b, (t)– взаимно однозначно отображает [;] в [a;b],
тогда имеет место равенство
dtttfdxxfb
a
)('))(()( (5)
10
Вычисление определённого с помощью определения 1 § 2, т.е. через
n 0lim
.
Численные методы приближённого вычисления определённого интеграла
(формула прямоугольников, формула трапеций, формула парилил Симпсона).
§ 6. Несобственные интегралы
Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определённого
интеграла Римона b
a
dxxf )( для случая
1) если отрезок интегрирования неограниченный, т. е. );(],;(),;[ ba ;
2) когда подынтегральная функция f(x) – неограниченная на [a;b] .
Несобственныйя интегралы I рода
Пусть функция f(x) определена и непрерывная на );(],;( );[ ba .
Возьмем произвольную точку );[ ab и зафиксируем её. По Т.2 § 3 b
a
dxxf )( .
Определение 1. Если существует конечный предел
b
abdxxf )(lim , то он
называется несобственныйм интегралам I рода функции f(x) на промежутке );[ a и
обозначается
a
def
dxxf )(
b
abdxxf )(lim , (1)
несобственный интеграл I рода называется сходящимся.
Если предел (1) не существует или равен , то несобственный интеграл I рода называется
расходящимся.
Аналагично определяются несобственные интегралы на промежутках
);(],;( b :
b def
dxxf )(
b
aadxxf )(lim ,
11
a
defa
dxxfdxxfdxxf )()()(
b
ab
a
ccdxxfdxxf )(lim)(lim .
Т. к. несобственный интеграл определяется с помощью определённого интеграла,
то все свойства §5, за исключением тех, которые связаны с длиной отрезка
интегрирования, сохраняются.
Примеры. 1. Исследовать на сходимость няул. интеграл
1x
dx.
Решение. Возможны случаи:
1) 1
2) 1
2. Исследовать на сходимость интеграл
1
dxe x .
Решение. def
xdxe
1
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода. Пусть на промежутке
);[ a определена непрерывная неадмоўная функция f(x) . Рассмотрим фигуру Р,
ограниченную осью Ох, графиком функции f(x) и вертикальной прямой х = а. Из опр. 1 и
геометрического смысла определённого интеграла следует геометрический смысл
несобственного интеграла I рода. Несобственный интеграл I рода равен площади фигуры
Р (если он сходится).
Прзнак сходимости несобственного интеграла I рода.
Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) неотрицательные и непрерывные на промежутке
);[ a , x );[ a выполняется неравенство
12
)()(0 xgxf (2)
Тогда из сходимости несобственного интеграла
a
dxxgI )(2 следует сходимость
интеграла
a
dxxfI )(1 , а из расходимости несобственного интеграла
a
dxxf )( следует
расходимость интеграла
a
dxxg )( .
Доказательство. Рассмотрим фукции x
a
dttfxF )()( и x
a
dttgxG )()( – они непрерывные
и монотонно возрастают на промежутке );[ a , т. к. F’(x)=f(x) 0 и G’(x)=g(x) 0.
1. Пусть I2 сходится, т.е. )(sup)(lim);[
xGxGax
. Мы доказали, что F(x)
возрастает и x );[ a выполняется неравенство
x
a
dttfxF )()( x
a
dttg )(
)(sup);[
xGa
множество F(x) ограничено сверху
числом
)(sup);[
xGa
1)()(lim)(lim IdxxfdttfxF
a
defx
axx
сходится.
2. Пусть I1 расходится, т.е.
x
axdttfI )(lim1 , т. к. выше показали, что F(x)
возрастает x );[a );[ 0 axM выполняется неравенство
)()()( xGdttgdttfMx
a
x
a
. Так как G(x) возрастает, то xx ' последнее неравенство
также выполняется G(x) неограничено сверху и
)(sup);[
xGa
2)()(lim)(lim IdxxgdttfxGa
defx
axx
– расходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл Пуассона
1
2
dxe x
13
Теорема 2. Если сходится
a
dxxf |)(| , (3)
то будет сходиться интеграл
a
dxxf )( . (4)
(Без доказательства)
Если интеграл (3) сходится, то интеграл (4) наз. абсолютно сходящимся.
Теорема 2’. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он будет
сходящимся.
Несобственныйя интегралы II рода
Пусть функция f(x) определена и интегрируемая на ];[ ba , где 0< <b–a . Точку
а будем называть особой точкй, если f(x) неограниченная на (a;b], но ограниченая на
];[ ba , где 0< <b–a .
Определение 2. Если существует конечный правый предел
b
a
dxxf
)(lim
0, то он
называется несобственным интегралом II рода функции f(x) на промежутке ];( ba и
обозначается
b
a
def
dxxf )(
b
a
dxxf
)(lim
0, (5)
В этом случае несобственный интеграл II рода называется сходящимся.
Если предел (5) не существует или равен , то несобственный интеграл II рода
называется расходящимся.
Аналагично определяются несобственные интегралы ІІ рода,
если b –особая точка
b
a
def
dxxf )(
b
a
dxxf )(lim0
,
если с );( ba –особая точка
b
a
def
dxxf )(
b
c
c
a
dxxfdxxf
)(lim)(lim
00,
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл )0(,)(
b
a xb
dx.
Решение. b – особая точка, интеграл – несобственный интеграл II рода
14
b
a xb
dx
)(
Геометрический смысл несобственного интеграла II рода. Пусть на
промежутке (a;b] определена непрерывная неотрицательная функция f(x) . Рассмотрим
фигуру Р, ограниченную осью Ох, графиком функции f(x) и вертикальными прямыми х =
а, х = b. Из Опр. 2 и геометрического смысла определённого интеграла следует
геометрический смысл несобственного интеграла II рода. Несобственный интеграл II рода
равен площади фигуры Р (если он сходится).
Признаки сходимости несобственного интеграла II рода.
Теорема 3. Пусть функции f(x) и g(x) неотрицательные и непрерывные на промежутке
);[ ba , x );[ ba выполняется неравенство )()(0 xgxf
Тогда из сходимости несобственного интеграла b
a
dxxg )( следует сходимость интеграла
b
a
dxxf )( , а из расходимости несобственного интеграла b
a
dxxf )( следует расходимость
интеграла b
a
dxxg )( .
(Без доказательства)
Теорема 4. Если несобственный интеграл II рода абсолютно сходится, то он будет
сходящимся.
(Без доказательства)
Пример 5. Исследовать на сходимость а)
1
02 )1(sin x
dx; б)
1
0 1
1sin
x
dxx ;
в)
1
02 34xx
dx
Решение.
15
§ 7. Понятия квадрируемой фигуры и кубируемого тела
Под плоской фигурой будем понимать любое множество точек плоскости 2R . Под
телом будем понимать любое множество точек трёхмерного пространства 3R .
Определение 1. Многоугольником (многогранником)называется фигура (тело)
которая (которое) можно представить в виде объединения конечного числатреугольников
(тетраэдров), неимеющих общих внутренних точек.
В геометрии доказано, что существует функция S:{P}R (V:{P}R), где {P} –
множество многоугольников (многогранников). Значения этой функции называют площа-
дью многоугольника (объёмом многогранника). Эта функция обладает следующими свой-
ствами:
1. Неотрицательность: P S(P)0 (V(P)0)
2. Инвариантность: если P=Q, то S(P)=S(Q) (V(P)=V(Q))
3. Аддитивность: если P и Q не имеют общих внутренних точек, то
S(PQ)=S(P)+S(Q) (V(PQ)=V(P)+V(Q))
4. Нормированность: существует многоугольник (многогранник) Е такой, что
S(E)=1 (V(E)=1), E – единичный квадрат (единичный куб)
5. Монотонность: если многоугольник (многогранник) PQ, то
S(P) ≤S(Q) (V(P) ≤V(Q))
Пусть 2RP (
3RP ) – плоская фигура (тело). Обозначим через {A} – множе-
ство всех многоугольников (многогранников), вписанных в Р, а через {B}– множество
всех многоугольников (многогранников), описанных около Р, через S(A), S(B) (V(A),
V(B)) их площади (объёмы). Т.к. АВ, то по св–ву 5 S(А) ≤S(В) (V(А) ≤V(В)) множе-
ства {S(A)}({V(A)}) – ограниченные сверху, {S(В)}({V(В)}) – ограниченные снизу. Тогда
sup{S(A)}=S*(Р) (sup{V(A)=V*(P)}) – внутренняя площадь (внутренний объём),
inf{S(B)}=S* (Р) (inf{V(A)=V* (P)}) – внешняя площадь (внешний объём)
Определение 2. Если S*(Р)= S*(Р)= S (Р) (V*(Р)= V*(Р)= V (Р)), то фигура (тело) Р
называется квадрируемым (кубируемым), число S (Р) (V (Р)) называется площадью (объё-
мом) фигуры (тела) Р.
Если фигура (тело) Р не содержит ни одного многоугольника (многогранника),
вписанного в Р , то будем считать S*(Р)=0 (V*(Р)=0)
Пример 1. Многоугольник – квадрируемая фигура.
Пример 2. Множество точек единичного квадрата с рациональными абсциссами –
неквадрируемая фигура.
16
Теорема 1. (Критерий квадрируемости (кубируемости)) Для того, чтобы фигура
(тело) Р была квадрируемой (кубируемой) и имела площадь S(P) (объём V(P)) необходимо
и достаточно, чтобы существовало две последовательности многоугольников (многогран-
ников) вписанных в Р – (Аn) и описанных около Р – (Вn) таких, что числовые последова-
тельности S(Аn) и S(Вn) – сходились бы, причём
)()(lim)(lim PSBSAS nn
nn
( )()(lim)(lim PVBVAV nn
nn
)
Теорема 2. (Критерий квадрируемости (кубируемости)) Для того, чтобы фигура
(тело) Р была квадрируемой (кубируемой) и имела площадь S(P) (объём V(P)) необходимо
и достаточно, чтобы существовало две последовательности квадрируемых фигур (кубиру-
17
емых тел) вписанных в Р – (Аn) и описанных около Р – (Вn) таких, что числовые последо-
вательности S(Аn) и S(Вn) – сходились бы, причём
)()(lim)(lim PSBSAS nn
nn
( )()(lim)(lim PVBVAV nn
nn
)
(Без доказательства)
§ 8. Вычисление площадей фигур в декартовой прямоугольной системе
координат
Пусть криволинейная трапеция Р ограничена графиком непрерывной функции
y=f(x), заданой на [a;b] и х[a;b] 0)( xf , двумя вертикальными прямыми x=a, x=b и
осью Ox.
Теорема 1. Криволинейная трапеция – квадрируемая фигура и её площадь
вычисляется по формуле
b
a
dxxfPS )()( (1)
Следствие 1. Пусть фигура Р ограничена графиком непрерывной функции y=f(x),
заданой на [a;b] и х[a;b] 0)( xf , двумя вертикальными прямыми x=a, x=b и осью
Ox. Это не криволинейная трапеция, но Р – квадрируемая фигура и её площадь
вычисляется по формуле
b
a
dxxfPS )()( (2)
18
Следствие 2. Пусть фигура Р ограничена сверху графиком непрерывной функции
y=f(x), заданой на [a;b], снизу графиком непрерывной функции y=g(x), заданой на [a;b] ,
причём х[a;b] )()( xgxf и двумя вертикальными прямыми x=a, x=b. Фигура Р –
квадрируемая фигура и её площадь вычисляется по формуле
b
a
dxxgxfPS )()()( (3)
Аналогичные формулы (1) –(3) имеют место, если рассматривать фигуры
ограниченные графиком непрерывных функций х=f(у), х=g(у), заданой на [a;b] и двумя
горизонтальными прямыми у=a, у=b и осью Оу
Пусть непрерывная неотрицательная функция у=f( x), ограничивающая криволи-
нейную трапецию задана параметрически, т.е. ];[ )(
)(
t
ty
tx
Причём (t) – непрерывная вместе со своей производной на [;]. Тогда tx )(1 и
функцию у=f( x) можно рассматривать как композицию
f( x)=( )(1 x ), где х[a;b] ( )(a , )(b ) По формуле (1)
b
a
dxxPS ))(()( 1
dtttPS )(')()( (4)
Замечание 1. Формула (4) имеет место, если фигура Р ограничена замкнутой кри-
вой (непрерывной кривой Жордано) при условии, что если t[;], то все точки кривой
обходят один раз.
Теорема 2. Круговой сектор Р – квадрируемая фигура и его площадь вычисляется
по формуле
19
2
2
1)( RPS , (5)
где R – радиус, – градусная мера угла, в котором заключён сектор 2
;0 .
Замечание 1. Формула (5) имеет место, если фигура 2;2
§ 9. Вычисление площадей фигур в полярной системе координат
Пусть в полярной системе координат на [;] задана непрерывная функция r=f(),
её график – непрерывная кривая Жордано. Рассмотрим фигуру, ограниченную лучами
= и =, графиком функции f(), назовём её криволинейным сектором.
Теорема 1. Криволинейный сектор Р – квадрируемая фигура и его площадь
вычисляется по формуле
dfPS )(2
1)( 2
, (1)
20
§ 10. Вычисление объёмов некоторых тел
Определение 1. Прямым цилиндром называется тело, ограниченное цилиндриче-
ской поверхностью и двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными образую-
щей цилиндрической поверхности.
Цилиндрическая поверхность – это поверхность, образованная движением прямой
(образующей) вдоль неподвижной кривой (направляющей).
Плоские фигуры, которые образуются при сечении прямого цилиндра параллель-
ными плоскостями, плоскостями перпендикулярными образующей называются основани-
ями цилиндра, расстояние между параллельными плоскостями – высотой цилиндра.
Теорема 1. Если основание цилиндра Р является квадрируемой фигурой G, то пря-
мой цилиндр – кубируемое тело и его объём вычисляется по формуле
V(P)=S(G), (1)
где S(G) – площадь основания, – высота цилиндра.
Тело Р, которое можно разместить между двумя параллельными плоскостями, при-
чём сечения этого тела любой плоскостью, параллельной указанным плоскостям, являют-
ся квадрируемыми фигурами и, если их спроектировать на эти плоскости, то все сечения
включаются одно в другое, называется С–телом.
Примером С–тела является любое тело верчения.
Теорема 2. С–тело Р является кубируемым телом и его объём вычисляется по фор-
муле
V(P)= b
a
dxxS )( (2)
где S(х) – функция площадей сечений, х=а и х=b – уравнения параллельных плоскостей
между которыми расположено С–тело.
21
◄ Выберем декартовую прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы ось Ох
была перпендикулярна параллельным плоскостям, между которыми заключено С–тело.
Пусть х=а и х=b – уравнения этих параллельных плоскостей
►
Замечание 1. При вычислении объёмов С–тел главное найти S(х) – функцию пло-
щадей сечений, его форма неважна.
Замечание 2. (Принцип Кавальери) Если при сечении двух тел плоскостями, парал-
лельными плоскостям между которыми заключено С–тело образуются равновеликие фи-
гуры, то объёмы этих тел равны.
Пример 1. Найти объём тела, образованного в результате вращения вокруг оси Ox
криволинейной трапеции G: y=f(x), x=a, x=b, Ox
Пример 2. Найти объём прямого конуса, радиус основания которого R, а высота Н.
Пример 3. Найти объём шара радиуса R
22
§ 11. Понятие спрямляемости кривой. Вычисление длины дуги кривой
Пусть кривая АВ – график непрерывной на [a;b] функции y=f(x). Разобьём АВ на n
частей точками BMMMMMMA nkk ,...,,...,,, 1210 . Координаты );( kkk yxM .
Соединим эти точки отрезками, получим ломанную, которую обозначим Рn, а её длину
L(Рn)=
n
kkk- |M|M
11 . Обозначим через λ длину наибольшего из звеньев ломанной, т.е.
λ=max{ || 1 kk MM }, 22
11 ))()((|| kkkkk xxfxfMM , где 1 kkk xxx .
Определение 1. Если существует конечный предел
LPL n )(lim0
длины ло-
манной Рn, вписанной в кривую АВ, то этот предел называют длиной кривой АВ, а кри-
вую АВ – спрямляемой.
Определение 2. Кривая АВ называется спрямляемой, если для любого ε>0 суще-
ствует δ(ε)>0 такое , что любая вписанная в кривую АВ ломанная Рn, для которой выпол-
няется условие λ=max{ || 1 kk MM }< δ, имеет длину L(Рn), удовлетворяющую неравен-
ству | L(Рn) – L|< ε ; L – длина кривой АВ.
Теорема 1. Если функция y=f(x) непрерывна вместе со своей производной f’(x) на
[a;b], то график этой функции Г – спрямляемая кривая и её длина вычисляется по формуле
L(Г)= dxxfb
a
2
)('1 (1)
Подынтегральное выражение называют дифференциалом дуги Г: 2)('1 xfd .
23
Если кривая Г задана параметрически ];[ )(
)(
t
ty
tx, то
L(Г)= dttt
22
)(')(' (2)
Если кривая Г задана – график непрерывно дифференцируемой на [;] r=f(φ), за-
данной в полярной системе координат, то Г – спрямляемая кривая, её длина вычисляется
по формуле L(Г)=
drr 22
)(')( (3)
Необходимое и достаточное условия спрямляемости кривой
Т.1 является достаточным условием спрямляемости кривой. Чтобы сформулиро-
вать и доказать критерий спрямляемости кривой нам понадобится новое понятие функции
с ограниченным изменением (вариацией). Пусть функция y=f(x) задана на [a;b]. Разобьём
[a;b] на части точками bxxxxxxa nkk ...... 1210 , рассмотрим сум-
му
n
kkk xfxfS
11 |)()(| . (1)
При разных разбиениях [a;b] на части будем получать разные значения S.
Определение 3. Если множество {S} всевозможных сумм вида (1) ограничено
сверху, то функция f(x) называется функцией с ограниченным изменением (вариацией), а
верхняя грань множества {S} – полным изменением (вариацией) и обозначается
}sup{|)()(|sup1
1 SxfxfVn
kkk
b
a
(2)
Примерами функций с ограниченным изменением (вариацией) являются
монотонные на [a;b] функции;
кусочно–монотонные на [a;b] функции;
функции, которые имеют ограниченную производную на [a;b].
Примем без доказательства
Теорема 2. Функция f(x) является функцией с ограниченным изменением (вариа-
цией) тогда и только тогда, когда её можно представить в виде разности двух возрастаю-
щих функций.
Теорема 3. (Жордано) Для того, чтобы кривая АВ, являющаяся графиком функция
f(x) на [a;b] была спрямляемой, необходимо и достаточно, чтобы f(x) на [a;b] была функ-
цией с ограниченным изменением (вариацией).
24
Теорема 4. Если кривая АВ задана параметрически ];[ )(
)(
t
ty
tx, то она являет-
ся спрямляемой тогда и только тогда, когда , – функции с ограниченным изменением.
(Без доказательства)
§ 12. Площадь поверхности вращения
