Ошибки на экзаменах по математикеmif.bspu.by/Matherials/Mathem/Pirutko/mt/pub2.pdfДеление десятичной дроби на натуральное

1

Пирютко О.Н.

Ошибки на экзаменах по математике

2

Оглавление Предисловие ................................................................................................................................... 3

Раздел 1 ........................................................................................................................................... 4

Вычислительные ошибки ......................................................................................................... 4

Раздел 2 ......................................................................................................................................... 28

Ошибки в тождественных преобразованиях ........................................................................ 28

Раздел 3 ......................................................................................................................................... 37

Ошибки при решении уравнений ........................................................................................... 37

Раздел 4 ......................................................................................................................................... 66

Ошибки при решении неравенств .......................................................................................... 66

Раздел 5 ......................................................................................................................................... 95

Функции и их свойства ........................................................................................................... 95

Раздел 6 ....................................................................................................................................... 111

Логические ошибки ............................................................................................................... 111

Раздел 7 ....................................................................................................................................... 117

Рациональные решения ......................................................................................................... 117

Раздел 8 ....................................................................................................................................... 158

Задания тестов........................................................................................................................ 158

3

Предисловие

Книга адресована школьникам для подготовки к конкурсным экзаменам.

В ней классифицированы ошибки, которые допускают абитуриенты на

вступительных экзаменах в Вузы, указаны причины таких ошибок, приведена

теория и алгоритмы, исключающие возможность их появления.

Книга ориентирована на школьников различных уровней подготовленности.

В первых пяти главах рассматриваются как грубые ошибки, которые

допускаются при слабой подготовленности абитуриентов, так и ошибки,

которые могут допустить школьники с высокими оценками по математике в

экзаменационных заданиях.

Как правило, такие ошибки допускаются в заданиях, которых нет в

школьных учебниках, но для их решения нужны только знания школьной

программы.

Кроме того, в книге уделено внимание особенностям подготовки к тестам. В

разделе «Рациональные решения» предлагаются приемы решения задач,

которые способствуют успешному решению тестовых заданий.

Задачи этого раздела решены несколькими способами, среди которых и

наиболее короткие и рациональные, знание методов таких решений

особенного актуально в условиях тестирования.

4

Раздел 1

Вычислительные ошибки

§1. Действия с обыкновенными и десятичными дробями 1. Ошибки при выполнении действий с обыкновенными дробями:

а) 8

5

5

3

3

2, правильное решение:

15

41

15

19

15

910

35

33

53

52

5

3

3

2

б) 7

22

7

23 , правильное решение:

7

52

7

272

7

2

7

72

7

212

7

23

в) ,6

12

2

12

3

14 правильное решение:

6

51

6

111

6

12

6

322

32

31

23

212

2

1

3

12

2

12

3

14 .

2. При выполнении совместных действий с десятичными и обыкновенными

дробями довольно часто обыкновенные дроби заменяются их десятичными

приближениями, тогда результат выполнения всех действий оказывается

приближенным, а не точным.

Например, 6,03,03,03,03

1. 0,6- приближенное значение суммы.

30

13

30

3

30

10

10

3

3

13,0

3

1.

30

13- точное значение суммы.

3. При упрощении выражений, содержащих бесконечные периодические

дроби, следует эту бесконечную десятичную дробь не округлять, а записать в

виде обыкновенной дроби, так как результат округления есть приближенное

значение бесконечной периодической дроби.

Например:

а) 0,(6) =0,66666…= .3

2

9

6

9,0

6,0

1,01

6,0...

1000

6

100

6

10

6

б) 1, 24(65)=1,24+0,0065+ 0,000065+0,00000065+…=101,01

0065,0

100

24=

=900

2811

900

65

100

241

Для справки

5

1.Чтобы записать бесконечную периодическую дробь в виде

обыкновенной, можно использовать формулу суммы бесконечно –

убывающей геометрической прогресси S = q

b

1

1 .

Геометрическая пргрессия называется бесконечно – убывающей, если ее

знаменатель │q│

6

4. При выполнении действий с десятичными дробями:

а) 2,6 2,60 1,17 - неправильно; правильно будет: 1,17

1,57 1,43

б) 1,9 ∙ 0,01 ≠ 0,19; правильно будет: 1,9∙ 0,01 = 0,019 ; Ошибка в том, что запятая перенесена на столько знаков, сколько

нулей после запятой, а нужно перенести на столько знаков, сколько всего

цифр после запятой.

в) 7,6 : 0,02 ≠ 38; правильно будет: 7,6 : 0,02=380.


Правила действий с обыкновенными дробями.

b

aобыкновенная дробь, a, b – натуральные числа.

а – числитель дроби, b – еѐ знаменатель;

если а

7

8

35

8

384

8

34 ,

7

43

7

176

7

16 .

b) Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо:

1) разделить числитель на знаменатель: получится частное и

остаток;

2) частное записать в целую часть;

3) остаток записать в числитель новой дроби;

4) в знаменателе новой дроби записать прежний знаменатель.

Примеры:

13

32))3(213:29(

13

29остаток ;

4

12))1(24:9(

4

9остаток .

2. а) Сокращение дробей – это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, не равное нулю, т.е. это деление числителя и

знаменателя на их наибольший общий делитель.

Примеры:

28

24(замечаем, что числитель и знаменатель дроби делятся на одно и то же

число 4 и делим числитель и знаменатель на это число).

7

6

4:28

4:24.

6

5

7:42

7:35.

b) Приведение дробей к общему знаменателю.

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:

1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;

2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие

множители из разложения второго знаменателя;

3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из разложения первогознаменателя.

Примеры: приведите дроби к общему знаменателю 15

2

18

5и .

Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

518

55 умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель

5 из второго разложения.

числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого

разложения.

15

2,

90

25

518

55

18

5

2315

232 =

90

12, 90 – общий знаменатель дробей

15

2

18

5и .

8

3. а) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1. записать их с общим знаменателем; 2. сложить (вычесть) числители получившихся дробей, результат

записать в числитель новой дроби;

3. в знаменатель новой дроби записать общий знаменатель. Примеры:

.6

5

6

23

23

21

32

31

3

1

2

1

.42

13

42

49

221

22

314

33

21

2

14

3

.24

1

24

910

38

33

212

25

8

3

12

5

4.) Умножение дробей.

Чтобы умножить дроби, надо:

1. перемножить их числители и результат записать в числитель новой дроби;

2. перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель новой дроби;

3. сократить (если можно) полученную дробь. Примеры:

34

21

217

37

2:417

2:314

417

314

4

3

17

14

.11

3

13:4:4413

13:4:394

4413

394

44

39

13

4

68

33

417

311

4

3

17

11

5. Деление дробей.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо:

1. Делимое (первую дробь) оставить без изменения; 2. делитель (вторую дробь) заменить на обратную ей (поменять

числитель и знаменатель местами);

9

3. выполнить умножение первой дроби на обратную второй по правилу умножения дробей (4).

4. Примеры:

84

65

614

135

6

13

14

5

13

6:

14

5

2

11

2

3

11:5:522

11:5:1115

522

1115

5

11

22

15

11

5:

22

15.

6. Действия со смешанными числами.

а) При сложении и вычитании смешанных чисел целые и дробные части

складываются (вычитаются) отдельно.

Примеры:

5

35

5

1

5

232

5

13

5

22

28

16

28

115

28

295

28

8215

47

42

74

735

7

2

4

314

7

21

4

34

21

52

21

7122

73

71

37

342

3

1

7

413

3

11

7

43

3

2

3

1

3

3

3

11

3

112

3

112

20

191

20

111

20

12

20

452

45

41

54

5135

4

13

5

15

b) При умножении и делении смешанные числа записываются в виде

неправильных дробей, и действия выполняются по правилам 4 и 5.

Примеры:

2

111

2

23

52

235

5

23

2

5

5

34

2

12

.58

27

292

93

29

9

2

3

9

23:

2

11

1

.111

11

41

114

4

11

1

4

4

114

4

324

10

10

1

17:345

17:117

34

1

5

1734:

5

23

Правила действий с десятичными дробями.

1. Сложение дробей. Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби

( например, 0,6 + 2,15), надо:

1) записать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая

оказалась под запятой: 0,6

2,15

2) уравнять число знаков после запятой, дописывая нули:

0,60

2,15

3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимание на

запятую; в полученном результате запятую поставить под

запятыми в данных дробях:

0,60

2,15

2,75

Примеры:

1,316+ 7,45=8,766

+1,316 2,3 – 1,45 =0,85

7,45

8,766 2,30

1,45

2. Умножение дробей. 0, 85

Чтобы умножить одну десятичную

дробь на другую ( например, 0,43 ∙ 0,2), надо:

1) выполнить умножение, не обращая внимание на запятую:

43 ∙ 2=86

2) в полученном результате отделить справа запятой столько

цифр, сколько их в обоих сомножителях вместе после

запятой ( в первой дроби 0,23 после запятой 2 цифры, во

11

второй дроби 0,2 после запятой 1 цифра; 2+1=3, значит,

отделить надо 3 цифры):

0,43 ∙ 0,2=0,046

Примеры:

3,15∙ 2 = (315∙ 2=630, отделить надо 2 цифры)=

=6,30=6,3;

Деление десятичной дроби на натуральное число.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число

( например, 18,24:6) надо:

1) разделить на это число целую часть дроби ( 18:6=3 ) ;

2) поставить в частное запятую ( 18,24:6=3,… );

3) далее делить как на натуральное число ( 18,24:6=3,06 ).

Примеры:

0,15 : 5= 0,03; 65,13 : 13=5,01 .

Деление десятичной дроби на десятичную дробь. Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь

(например, 0,43 : 0,2) , надо:

1) в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой (в делителе 0,2

после запятой одна цифра, значит, надо перенести запятую на 1

цифру, получим:4,3 : 2);

2) выполнить деление на натуральное число ( 4,3 : 2=2,15 ). Примеры:

45,03 : 0.003=45030 : 3 = 15010;

0,033 : 1,1 = 0,03.

3. а) Чтобы обыкновенную дробь представить в виде десятичной,

надо числитель дроби разделить на знаменатель

Примеры:

8,05:45

4. 04,304,0325:23

25

23

Чтобы выполнить действия с обыкновенными и десятичными дробями,

можно десятичные дроби перевести в обыкновенные.

Примеры:

35

34

35

1420

5

2

7

44,0

7

4.

72

7

1036

75

10

7

36

57,0

36

5

13

§2. Вычисление значений выражений, содержащих степени

1. Часто допускаются ошибки при выполнении действий со степенями с отрицательными и дробными показателями.

Примеры

а) Вычислить значение выражения : ( 2-1

+3-1

)-1

.

( 2-1

+3-1

)-1

≠( 2-1

)-1

+(3-1

)-1

, так степень суммы не равна сумме

степеней слагаемых.

Для вычисления значения этого выражения выполним указанные действия

по порядку, т.е.

сначала в скобках выполним возведение в степень: 2-1

= 2

1, 3

-1=

3

1,

затем – сложение: 6

5

3

1

2

1,

последнее действие – возведение суммы с степень 5

11

5

6

6

51

.

б) Вычислить: 21

2

1

22 .

4

1

2

1

2

1

222 ,так как при умножении степеней с одинаковыми

основаниями показатели складываются

Правильное решение: 2222 121

2

1

.

в) Вычислить: 31

125 .

33

1

125125 , так как при возведении числа в степень с

отрицательным показателем показатель степени меняется на

противоположный ( 3

1

3

1на ), а не на обратный, а основание степени

– на обратное число (125 на 1/125).

Правильное решение: 5

15)5(125

5

1

)5(

1

125

1125 13

133

1

3

1

33

1

3

1

или

г) Вычислить: 2∙3-1

.

2∙3-1

≠ 6

1, т.к. в минус первую степень возводится только множитель

3.

Правильное решение: 2∙3-1

=2∙3

1= .

3

2

д) Вычислить: 21

2 .

14

2

2

1

2

12 , так как степень числа с дробным показателем m/n (m –

целое, n – натуральное, большее 1) равна корню n -ой степени и

этого числа в степени m.

Правильное решение: 22 21

.


Определение и свойства степени с рациональным

показателем

1. Степень числа a c натуральным показателем n>1 (an) равна

произведению n множителей, каждый их которых равен a.

Например, a3=a∙a∙a, 5

4=5∙5∙5∙5=625.

Степень числа а≠0, с показателем, равным нулю, равна 1.

Например, 60=1; (-5)

0=1.

Степень числа а≠0, с отрицательным целым показателем равна

дроби, в числителе которой 1, а в знаменателе - степень с тем же

основанием и противоположным показателем, т. е n

n

aa

1, n –

натуральное число.

Например, 3-2

= 9

1

3

12

, .3

4

4

31

Степень числа a> 0, c дробным показателем n

m, где n – натуральное,

n >1, m- целое, равна корню n-ой степени из числа a в n- ой степени, т.е.

n mnm

aa .

Например, .1001010 33 232

.2

1

8

188 33 13

1

15

Свойства степеней

1. an∙am=an+m; 2. an:am=an-m, a≠0; 3. (an)m=anm; 4. (ab)n=an bn; 5. (a:b)n=an :bn, b≠0. Эти свойства выполняются для всех рациональных показателей и

оснований, указанных в определениях.

Пример

Найдите значение выражения: )125,0)(125,0(

9

18

44

5,1

3

2

Решение:

)125,0)(125,0(

9

18

44

5,1

3

2

=

465,0

23

15,0

23

125,0

274

)1)25,0(

32

)125,0)(125,0(

32

2

1

24

1

32

4

1

4

1

5,123

23

.

16

§3. Вычисление значений выражений, содержащих корни

1.Большое число ошибок допускается при применении тождества,

справедливого для любого действительного a и натурального n.

.0,

,0,2 2

еслиaa

еслиaaaan n

Пример:

Найдите значение выражения : 324324 .

Вначале выполняются верные преобразования:

324324 = 22 )31()31( , далее заменяя 2)31( на 1- 3 ,

получают неверное решение 1- 3 +1+ 3 =2.

Ошибка заключается в том, что число (1- 3 ) отрицательное ( 3 >1), а,

следовательно, 2)31( = 3 -1.

Тогда правильное решение будет таким:

324324 = 22 )31()31( = 3 -1+ 3 +1 =2 3 .

2. Неверно применяются свойства корней.

а) 743 216366 , т.к. при умножении корней с разными

показателями следует привести их к одинаковым показателям, т.е.

б) 12 312 434 343 443 366366366 = .6666)6(6366 6 512 1012 6412 3247 34

в) 74 3 55 , так при извлечении корня из корня показатели корней

перемножаются, т.е. 12344 3 555 .

г) -2 4 44 3)2(3 , т.к. под знак арифметического корня вносится

только положительный множитель, т. е.

-2 4 44 323 .

д) aa 3)3(4 44 , так как арифметический корень из числа есть число

неотрицательное, т.е.

aa 3)3(4 44 .

е) 2)2(4 4 , правильное решение : 2)2(4 4 .

17

ж) 34 6 aa при a < 0, правильное решение : 34 6 aa , при a

18

3.Свойства корней n- ой степени

Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел a

и b выполняются равенства:

а) m nmk nk aa , к > 0,

например, 5625625 412 3 .

б) ,nnn baab

например, 3279393 3333

в) ,0,bb

a

b

an

n

n

например, 4

1

64

1

256

4

256

433

3

3

.

г) ,mk nkm n aa k>0,

например, 124 53 5 222 = 822222 312 361212 1512 20

д) nkk n aa ,

например, 222 12 124 3 12 .

4. Основные тождества

а)Для любого действительного числа a и для n – четного верно

равенство:

.

,

,a

ноеотрицательnеслиa

льноенеотрицатеaеслиaan n

.

б)Для любого действительного числа a и для n – нечетного верно

равенство:

aan n .

Например,

.33,3)3(,3)3(,33 5 55 56 66 6

в)Для любого неотрицательного числа a и n – натурального верно

равенство:

aan

n .

Например,

19

разложить на множители x-4, где x>0.

Представим x в виде 2

x , тогда получим x-4=2

x -4 = ).2)(2( xx

20

§4. Вычисления, связанные с логарифмами

а) log20,5≠√2, т. к. 2

√2≠0,5.

Правильное решение: log20,5=-1, т. к. по определению логарифма

числа 0,5 по основанию 2, 2-1

=0,5.

б) log23 + log27 ≠ log210, т. к. сумма логарифмов не равна логарифму

суммы.

Правильное решение: log23+ log27= log221, т.к. сумма логарифмов

равна логарифму произведения.

в) log221- log27≠ log214, т. к. разность логарифмов не равна логарифму разности.

Правильное решение: log221- log27= log23, т.к. разность

логарифмов равна логарифму частного.

г) 2 -log25 ≠-5.

Правильное решение: 2 -log

25 =(2

log2

5)

-1 =5

-1=0,2, так как по

основному логарифмическому тождеству a log

ab =b, b>0, a>0, a ≠1.

д) 5

1

2

122

5log

5log

1

2log

2

25 - это неверно, ошибка в попытке применить

определение степени с дробным показателем, при этом само

определение применяется неверно ( nnn

n 22,2

12

11

), но и

применить это правило здесь нельзя, поскольку знаменатель log2 5 –

число не натуральное.

е) n

n

2

12

1

, nn 221

, где n – натуральное число, большее 1.

ж) Вычислите 12log13log 1312 1312 ≠ 1213

Правильное решение:

12log13log 1312 1312 =

01313131313)12(131212log12log12log13log

1

12log13log

1

13log12log13log

13log

131313121312121312

12


21

1.Логарифмом числа b по основанию a, где b > 0, a > 0, a ≠ 1,

называется показатель степени, в которую нужно возвести число a,

чтобы получить число b.

Например, log216=4, так как 24=16, log39=2, так как 3

2 = 9.

Обозначение: logab, читается: логарифм числа b по основанию a.

Если основание a равно 10, то логарифм называется десятичным и

обозначается lgb, если основание равно числу e, то логарифм

называется натуральным и обозначается lnb.

Например,

lg100 = 2 , так как 102 =100,

lg0,1 = -1, так как 10 -1

= 0,1

lne =1, так как e1=e.

2. Основное логарифмическое тождество:

ba balog , b > 0, a > 0, a ≠ 1.

Например, 4log

47 =7;

8log

87 =7;

0,1log

0,17=7.

3. Свойства логарифмов

а) logab + logac = logabc, где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.

Например, log2⅔ +log21,5= log2 (2/3)∙(1,5) = log21=0.

б) logab - logac = loga (b:c), где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.

Например, log23 - log21,5= log2 (3:1,5) = log22 =1.

в) logabn =nloga b, где b>0, a>0, a≠ 1.

Например, log445 =5 log44 =5∙1=5.

г) формула перехода от одного основания логарифма к другому

loga b =a

b

c

c

log

log , где b>0, a>0, a≠ 1, с>0, c≠ 1.

Например, log29 = 2log

2

2log

9log

33

3 .

4. Дополнительные часто используемые формулы

a) logarx =

r

1log a x, x>0, a>0, a 1.

Например, 9log2

19log 222

22

в) logarx

r = log a x, x>0, a>0, a 1.

Например, 3log3log9log 22

22 22

г) clog

ab = b

loga

c, a>0, a 1, b > 0, c >0, b 1, c 1.

Например, 2log

35 = 5

log3

2.

23

§5. Вычисления, связанные с тригонометрическими

функциями

1. Ошибки, связанные с неверным применением формул приведения:

а) sin (3π-α) = cosα. Это неверно.

Следует помнить, что формулы приведения применяются к

тригонометрическим функциям от выражений вида (n2

+ α) или (n2

-

α),где n – целое число. Поэтому аргумент, если это возможно, приводится к

такому виду.

В данном случае получим: 3π- α =62

-α. 6 – четное число, поэтому название

функции синус не меняется: sin(3π-α) = sinα - это верное решение.

б) tg (x - 2

3π) = ctgx. Это неверно.

Следует аргумент x - 2

3π привести к виду n

2- α, т.е. x -

2

3π = - (

2

3π-x).

Верно будет: tg(x - 2

3π) =- tg(

2

3π-x) =-ctgx.

в) sin (4

) = sinα, sin (6

) = cosα - это неверно выполненные

преобразования.

Ошибка заключается в том, что применены формулы приведения, которые

здесь применить нельзя: числа 4

, 6

нельзя представить в виде произведения

целого числа n и числа 2

.

2. При вычислении значений тригонометрических функций по значению одной из них ошибки допускаются при определении знака значения

тригонометрической функции.

a) Найдите значение cosx, если tgx =0,75, x [π; 3/2π].

Ответ: 0,8 - неверный.


24

Из формулы tg²x + 1 = 1/ cos²x найдем cosx = - 8.0175.0

1

1

1

22 xtg,

причѐм знак «- » берется потому, что при x [π; 3/2π] cosx < 0.

б) Найдите cos (x+y), если cos x = -3/5, а cos y = ⅓ , x [ π; 3/2π], y [0; π/2].

Ответ cos (x+y) = - 3/5-1/3= -14/15 является неверным.


Запишем формулу cos(x+y) = cosx cosy – sinx siny. В правой части этой

формулы значения sinx и siny не известны .Найдем их:

sin x = - x2cos1 =

5

4

5

31

2

, знак «-» ставится потому, что

x [ π; 3/2π], а в третьей четверти синус отрицательный.

sin y = + y2cos1 =

3

22

3

11

2

, знак «+» ставится потому, что

y [0; π/2], а в первой четверти синус положительный.

Подставим найденные значения в формулу cos(x+y) = cosxcosy – sinx siny,

получим: cos(x + y)=15

283

3

22

5

4

3

1

5

3.

3. Большое число ошибок допускается при вычислении значений обратных тригонометрических функций.

а) arccos(-0,5)=- 60º- это неверный ответ.

По определению arccosx – это угол, заключенный в промежутке [0; 180º],

поэтому arccos(-0,5)=180º -60º =120º - правильный ответ.

б) arccoscos 370º = 370º - это неверно найденное значение.

Обозначим arccoscos370º = α , тогда по определению arccosa имеем:

cos 370º = cosα, но угол α не принадлежит промежутку [0; 180º],

поэтому следует заменить 370º другим углом, косинус которого равен

косинусу 370º, а сам угол принадлежал бы промежутку [0; 180º].

cos370º = cos (360º + 10º) = cos10º.

Таким образом, arccoscos 370º =10º- верный ответ.

в) аналогично предыдущему, аrсsinsin20 =20 – неверно найденное значение.

Следует обратить внимание, что число 20 – это не градусная мера угла (не

20º), а радианная ( 1 радиан =

57180

).

25

sin 20= sin(20-2π∙3), (20-2π∙3) [0; π/2], поэтому аrсsinsin20=20-6π.

4.Ошибки, связанные с неправильным определением промежутка, содержащего заданный угол.

а) Определить знак числа sin4.

Ответ sin4>0 - неверный, так как 4 радиана – это угол, принадлежащий

третьей четверти (4≈57º∙4=228º) , а в третьей четверти синус отрицательный,

т.е. sin 4 < 0.

б) Сравните значения выражений сos 34º и сos 330º.

Ответ сos34º >сos 330º - неверный, так как углы 34º и 330º не принадлежат

одному промежутку монотонности функции y=cosx. Заменим сos330º на

равное значение сosα так, чтобы α принадлежал одному промежутку

монотонности с углом 34º. Используя свойство периодичности косинуса,

получим: сos330º= сos(330º-360º) = cos30º.

Далее 30º π- 3 (перенесем в правую часть число 4, а в левую – π,

получим π/2 > 1), то сos(3/2π- 4) < сos (π-3), а -сos(3/2π- 4) > -сos (π-3),

следовательно, sin4 > сos 3.


1.a)Область определения (D) тригонометрических функций : D(sin x) = (-∞; +∞); D(cosx) = (- ∞; +∞); D(tgx) :{ x│x R , х ≠ π/2 +πk} , k –

целое число.

b) Множество значений (E) тригонометрических функций:

E(sinx) = [-1; 1]; E(cosx) = [-1; 1]; E (tgx) = (-∞; +∞).

2.Период функций y =sinx и y =cosx равен 2π, период функции y=tgx равен π.

3.Функции y= sinx и y=tgx являются нечетными, функция cosx – четная:

26

sin(-x)=-sinx; tg(-x) = -tgx; cos(-x) =cosx.

4.Промежутки знакопостоянства и нули функции.

Промежутки знакопостоянства функции – числовые промежутки, на

которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или

отрицательной). y

Промежутки знакопостоянства функции sinx: sinx

sinx > 0 х (2πk; π +2πк), k – любое целое число;

sinx < 0 х (π +2πк; 2πk), k – любое целое х

число.

Промежутки знакопостоянства функции cosx: y

сosx > 0 х (-π/2 +2πk; π/2 +2πк), k – любое cosx целое число;

cosx < 0 х (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое целое число. х

y

Промежутки знакопостоянства функции tgx: tgx

tgx > 0

х (πk; π/2 +πк), k – любое целое число;

tg x < 0

х (-π/2 +πк; πk), k – любое целое число.

Нулями функции называются значения аргумента, при которых значение

функции равно нулю.

Нули функции sinx: sinx=0, x= πк, k – любое целое число.

Нули функции cosx: cosx= 0, x = π/2 +πк, k – любое целое число.

Нули функции tgx: tgx =0, x= πк, k – любое целое число.

5. Функция f(x) называется возрастающей на множестве М, если для любых двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению

аргумента соответствует большее значение функции (если х1>x2, то

f(x1)>f(x2), а если х1

27

Функция, только возрастающая или только убывающая на множестве М,

называется монотонной на этом множестве.

Функция y=sinx возрастает на промежутках (- π/2 +2πк; π/2+2πk), k – любое


Функция y=cosx возрастает на промежутках (- π+2πк; 2πk), k – любое целое

число.

Функция y=sinx убывает на промежутках (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое


Функция y=cosx убывает на промежутках (2πк; π+2πk), k – любое целое

число.

Функция y=tgx возрастает на промежутках (- π/2 +πк; π/2+πk), k – любое


28

Раздел 2

Ошибки в тождественных преобразованиях

§1. Ошибки в действиях с многочленами

1. Большое число ошибок допускается при расскрытии скобок, если перед скобками стоит знак «минус».

Пример:

- (х - 2y +3) ≠ x + 2y - 3,

правильное решение: -(х - 2y + 3) = - x + 2y -3.

2. При умножении многочлена на многочлен допускаются ошибки в знаках,

если перед произведением стоит знак «минус».

Пример:

- (х-3)(2х-5) ≠ - 2х² - 6х - 5х +15,

правильное решение: - (х-3)(2х-5) =-2х² + 6х + 5х -15 = -2х² + 11х -15.

3. Ошибки при разложении многочленов на множители.

Пример:

n6- n

3+ n

2+n+1=n

3(n

3-1)(n

2+n+1)- это неверно,

так как при разложении на множители способом группировки

группы слагаемых заключаются в скобки ((n6- n3 )+ (n2+n+1)),

затем из каждого многочлена в скобках выносится общий множитель (n

3(n

3-1)+(n

2+n+1) = n

3(n-1)(n

2+n+1)+ (n

2+n+1)),

затем выносится общий множитель (n2+n+1) полученных произведений.

Правильное решение: n6- n

3+ n

2+n+1 = (n

6- n

3 )+ (n

2+n+1) =

= n3(n

3-1)+(n

2+n+1) = n

3(n-1)(n

2+n+1) +(n

2+n+1) = (n

2+n+1)( n

3(n-1)+1) =

(n2+n+1)( n

4 –n

3+1).

4. Ошибки в разложении квадратного трехчлена на множители.

Пример:

2x2 + 5x +3 = (x-1)(x-1,5)- это неверное решение.

Две типичные ошибки: нет числового множителя 2, неверно поставлены

знаки в скобках.

Правильное решение: корни трехчлена -1 и -1,5.

2x2 +5x+3 =2(x+1)(x+1,5) = (x+1)(2x+3).

5. Ошибки в применении формул сокращенного умножения.

Грубые ошибки:

a 2 - b

2 ≠ ( a- b)

2 , a

2 + b

2 ≠ (a-b)(a+b),

29

a3- b

3 ≠ (a-b)(a

2- ab+ b

2), a

2+ab+ b

2≠ ( a+ b)

2.


Чтобы разложть квадратный трѐхчлен на множители, надо:

1) найти корни х1 и х2 уравнения ах² + bх + с=0 (если корней нет,то квадратный трѐхчлен разложить на множители нельзя);

2) разложить квадратный трѐхчлен на множители по формуле: ах² + bх + с = а ( х – х1) ( х – х2).

§2. Ошибки в действиях с алгебраическими дробями

1. Ошибки при сокращении дробей.

22

22 a

a

aa,

такая ошибка - самая распространенная: «сокращение на слагаемое».

Правильное решение: 2

1

a:2a

a:1)a(a

2a

1)a(a

2

2 a

a

aa.


Сократить алгебраическую дробь – это значит числитель и

знаменатель дроби разделить на их общий множитель.

Чтобы сократить алгебраическую дробь ( например, 305

362

a

a)

надо:

1) разложить числитель и знаменатель на множители: числитель: а² - 36 = (а-6)(a+6);

знаменатель: 5а +30 = 5(а-6)

2) определить общий множитель: это (а+6); 3) разделить числитель и знаменатель на этот общий множитель:

5

6

)6(:)6(5

)6(:)6)(6(

)6(5

)6)(6(

305

362 a

aa

aaa

a

aa

a

a

иногда пишут:

(а-6)(а+6)

5(а+6)

30

2. Ошибки при сложении алгебраических дробей:

а))2)(2(

422

)2)(2(

)2(2

)2)(2(

4

2

2

4

42 aa

aa

aa

a

aa

a

aa

a .

Распространеннная ошибка допущена при вычитании числителя второй

дроби из числителя первой дроби.

Если перед дробью стоит знак «-», то следует поменять знак перед

каждым слагаемым в числителе вычитаемого;

правильно будет так:

)2)(2(

8

)2)(2(

424

)2)(2(

)2(2

)2)(2(

4

2

2

4

42 aa

a

aa

aa

aa

a

aa

a

aa

a .

б)Другая распространенная ошибка - при отыскании общего знаменателя

дробей:

25)5(

25)53(

)255(

)25(

5

53

255

2522

2

2 xx

x

xx

xx

xx

x

x

x.

Дополнительные множители для каждой дроби определены неправильно

(выбраны недостающие слагаемые, а нужны – недостающие множители).


x

x

xx

x

xx

xx

xx

xxx

xx

x

xx

xx

xx

x

x

x

5

5

)5(5

)5(

)5(5

2510

)5(5

251525

5)5(

5)53(

)5(5

)25(

5

53

255

25 222

2


Приведение дробей к общему знаменателю.

Чтобы привести две алгебраические дроби к общему знаменателю надо:

1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;

2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие

множители из разложения второго знаменателя;

3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие

множители из первого разложения.

в)Еще одна грубая ошибка:

2222

2

3322

2

3322

3

))((

3)(3

))((

)(3

yxyx

xyyx

yxyxyx

xyyx

yx

xy

yxyxyx

yx

yx

xy

yxyx

yx

Выполнено неверное сокращение дроби ))((

3)(22

2

yxyxyx

xyyx на x – y,

31

так как сокращать можно только на общий множитель числителя и

знаменателя, а числитель не разложен на множители.

Следует разложить числитель дроби на множители, а затем выполнить

сокращение, если это возможно.


))(())((

3)(3

))((

)(322

22

22

2

3322

2

3322 yxyxyx

xyyx

yxyxyx

xyyx

yx

xy

yxyxyx

yx

yx

xy

yxyx

yx

= yx

1.

г) Еще одна грубая ошибка. «Почленное деление»:

xxx

xx

x

x 2222

11 - это ошибочные преобразования.

На самом деле, почленное деление означает представление дроби в виде

суммы дробей с тем же самым знаменателем, т.е.

1

11

1

1

1

)1)(1(

1

11

1

22

xx

xx

xx

x

x

x

x.

§3.Ошибки в преобразованиях, содержащих степени с дробными показателями и корни.

Примеры:

1.Сокращение дроби выполнено неправильно 33

2

1

2

1

2

3

2

3

yx

yx

yx.

Допущено сразу две ошибки: отдельно сокращены соответственно

уменьшаемые и вычитаемые разностей; при делении степеней с

одинаковыми основаниями показатели были также разделены.

Правильное решение: yyxx

yx

yyxxyx

yx

yx2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

))((.

2.Разложение на множители выполнено неправильно )1( 41

22

1

2 xxxx .

32

Следует помнить, что выносить за скобки следует множитель с

наименьшим показателем ( 21

x ), а при делении степеней с одинаковыми

основаниями показатели степеней вычитаются 23

2

1

2 : xxx .

Правильное решение: ).1( 23

2

1

2

1

2 xxxx

3. Выражение 1212 xxxx тождественно равно 2 1x

только при x≥2.

Действительно, 12 xx = 2)11(112)1( xxx = 11x .

1111 xx , если 011x , т.е. 11x или x ≥2.

Если 1 ≤ x

33

Правильное представление степени в виде многочлена :

22

1

4

1

4

1

2

1

)( yyxx = 21

4

3

2

1

4

3

2

1

2

1

2

1

2

1

222 xyyxyxyxyx .


Формула квадрата суммы трех слагаемых

(a+b+c)2 = a

2+b

2+c

2 +2ab+2ac+2bc.

7. )( abaaab - такое разложение на множители без

дополнительных условий неверно.

Заметим, что baab , если a ≥ 0 и b ≥ 0,

если же a ≤ 0 и b ≤ 0, то baab .

Поэтому )( abaaab при условии a ≥ 0 и b ≥0,

но )( abaaab при a < 0 и b < 0.

8. Грубая ошибка ,3)3( 36 2 aa

правильное решение ,3)3( 36 2 aa или

3,3)3( 36 2 еслиaaa и .3,3)3( 36 2 еслиaaa


Свойство корня

,2 2 nkn k aa где ZkNn , .

§4. Ошибки в тождественных преобразованиях тригонометрических выражений

1.Грубая ошибка: 62

31

6sin2sin

3sinsin

xx

xx .

34

Правильное решение: x

x

xx

xx

xx

xx

4cos

cos

4cos2sin2

cos2sin2

6sin2sin

3sinsin.


Сумма синусов двух углов:

ssiinnxx ++ssiinnyy ==22ssiinn2

yxccooss

2

yx

Разность синусов двух углов:

ssiinnxx -- ssiinnyy ==22ssiinn2

yxccooss

2

yx

Сумма косинусов двух углов:

cosxx ++ccoossyy ==22cos2

yx ccooss

2

yx

Разность косинусов двух углов:

cosxx –– ccoossyy == --22 ssiinn 2

yxssiinn

2

yx

2. Результат упрощения выражения 222 sinsin)coscos1( при

20 не равен cos β - cos α.

Правильное решение: 222 sinsin)coscos1(

= )cos1)(cos1(coscoscoscos21 2222 22 coscoscos2cos

= 2)cos(cos = cos α- cos β,

так как косинус в первой четверти убывает, то из условия 2

0 следует

cos β < cos α, тогда по тождеству .0,

,0,2 2

еслиaa

еслиaaaan n 2)cos(cos =

=cosα- cos β.

3. 2244

66

cossincossin

cossin.

Грубая ошибка: отдельно сокращены соответственно уменьшаемые и

вычитаемые разностей, тогда как сокращение возможно только на общий

множитедь числителя и знаменателя.


)cos)(sincos(sin

)coscossin)(sincos(sin

cossin

cossin2222

422422

44

66

=

35

= (sin2α

+cos

2α)

2-2 sin

2α

cos

2α= 1-0,5 sin

22α.


Формулы двойного аргумента

Синус двойного аргумента: sin2x = 2sinxcosx

Косинус двойного аргумента: cos2x = cos2 x - sin

2 x

Тангенс двойного аргумента:

tg2x = ,21

2

xtg

tgx ,,

24,,

2ZnnxZkkx

4. arcsin (sinx)= x, ошибка в том, что это равенство справедливо только для

-π/2 ≤ x ≤ π/2.

Если x > π/2, то arcsinx(sinx)= (-1)к-1

(k π-x), где k выбрано таким образом,

что k π-x ≤π/2.

5. arccos(cosx)= x, ошибка в том, что это равенство справедливо только для

0≤ x ≤ π.

Если x > π или - π≤ x

36

Арккосинусом числа a называется угол, заключенный в промежутке ;0 ,

косинус которого равен a: аrcсоs a = α, cos α =a, ;0 .

Арктангенсом числа a называется угол, заключенный в промежутке

2;

2тангенс которого равен a: аrctg a = α, tgα=a,

2;

2

§5. Ошибки в тождественных преобразованиях выражений, содержащих логарифмы.

1. Если n N, то logab2n

≠2nlogab.

Ошибка в том, что равенство logab2n

=2nlogab справедливо только для b>0.

Если by.

)(4)(4)57( 22)(log)(log2

252

49 yxyxxyyx .


)(4)57()(4)57( 2)(log)(log22)(log)(log 57

225

249 yxyx

yxyxxyyx =

xyyxyxyxyxyx 8)(4)(4)(4)( 22

37

Раздел 3

Ошибки при решении уравнений

Упражнение 1

Решите уравнение: 0)2(4 xx .

Задание 1 Неверный

ответ Ошибка

Верный

ответ Причина ошибки

Решите

уравнение

0)2(1 xx .

числа 1 и 2

- корни

2 –

посторонний

корень

корень

уравнения

- число 1.

Неверно применяется

условие равенства

произведения двух

множителей нулю:

произведение двух

множителей равно

нулю, если хотя бы

один из множителей

равен нулю, а другой

при этом не теряет

смысла.

Решение 0)2(1 xx

01

01

02

x

x

x

x=1


Условие равенства нулю произведения нескольких

множителей: для того,чтобы произведение нескольких

множителей равнялось нулю, достаточно, чтобы хотя бы

один из них равнялся нулю, а другие при этом не теряли

смысла.


ответ Ошибка Верный ответ Причина ошибки

Решите

уравнение

11

1

x

x.

x R

x=1- не

корень

уравнения

);1()1;(x

Не учтено условие

существования

дроби 1

1

x

x

38


Решите уравнение 11

12

2

x

x.



Верный


Решите

уравнение

01

1

x

x.

x=1

x=1- не

корень

уравнения

Корней

нет


существование дроби

1

1

x

x

Решение 01

1

x

x

01

01

x

x x Ø



12

x

x.



Верный


Решите

уравнение

032

x

xx.

Корни:

3;0;-3

x = 0- не

корень

уравнения

Корни:

3;-3


существования дроби

x

xx 32

Решение 1

1

1

x

x

01

11

x );1()1;(x

Для

справки

Условие равенства дроби нулю: для того, чтобы дробь равнялась

нулю, необходимо и достаточно, чтобы ее числитель был равен

нулю, а знаменатель – отличен от нуля.

39

Решение 032

x

xx

0

0)3(

0

032

x

xx

x

xx

.3

,33

x

xx



||32

x

xx.



Верный


Решите

уравнение

0)2(3

x

xx

Корни: 2; 3

x=2- не

корень

уравнения

Корень

уравнения

x = 3

Не учтено

условие

существования

корня

Решение: 0)2(3

x

xx

02

03

0

03

x

x

x

x

x =3



)2(3

x

xx.



Верный


Решите

уравнение

(x-3)(x2 -1)

=2(x-3)

Корни:-1;

1

Потерян

корень

уравнения

x=3

Корни

уравнения:

-1;1;3

Потерян корень при

делении обеих частей

уравнения на выражение

x-3, которое обращается в

ноль при х = 3, число 3

служит корнем уравнения

(x-3)(x2 +1) =2(x-3).

40

Решение: (x-3)(x2 +1) =2(x-3) ((x-3)(x

2 -1=0)

.1

,1

,3

x

x

x


Решите уравнение: (x-6)(x2 - 3) =(x-6).



Решите

уравнение

│x-10│∙

∙(log2(x -3))

=2(x-10)

Корни:

7; 10; 3,25

Число 7-

не корень

Корни

уравнения:

10; 3,25.

Корень 7 был найден при

условии x > 10 и этому

условию не

удовлетворяет.

Решение: │x-10│ (log2(x -3)) =2(x-10)

.

2)3(log

10

3

10

2)3(log

10

2

2

x

x

x

x

x

x

25,3

,10

x

x


Решите уравнение: x - 1 ( log2(x-2)) = x-1.



Верный


Решите

уравнение

x2 + x-1 =

3

Корни:

2

171;

-1; 2

2

171-

не

корень

Корни

уравнения:

-1;

2

171.

Корень 2

171 был найден при

условии x ≥ 1 и этому условию

не удовлетворяет, а корень 2

найден при условии x

41

Решение x2 + x-1 = 3

02

1

04

1

2

2

xx

x

xx

x

1

,2

171

x

x


Решите уравнение x2 + x+1 = 2.



Верный


Решите

уравнение

xx 15 2

Корни:

-1; 2

2-

не

корень

Корень

уравнения:

-1

x =2 – посторонний корень,

получен при решении

уравнения 5-x2 = (1-x)

2

неравносильного данному.

Решение

xx 15 2 5-x2 = (1-x)

2 2

1

x

x.

Проверка: x=-1, 22),1(1)1(5 2 равенство верное,

значит x=2 – корень данного уравнения.

x=2, 11,2125 2 равенство неверное, значит x=2 – не

корень данного уравнения.


Решите уравнение xxx 165 2



Верный


Решите

уравнение

Корни:

4- не

корень

Корень

уравнения 0

x = 4

не удовлетворяет

42

(x-4) log2(1-x) =

=0

4; 0 условию существования

логарифма:

1-x > 0, при х = 4 первый

множитель равен нулю, а

второй при этом

значении переменной не

имеет смысла.

Решение

(x-4) log2(1-x) = 0 10)1(log

0)1(log

01

04

2

2

xx

x

x

x


Решите уравнение (x2-4) log2(2-x) = 0.

Задание

11

Неверный


Верный


Решите

уравнение

13 2x

Корень:

1

Потерян

корень

x=-1

Корни

уравнения:

1 и -1

Переход от данного

уравнения к уравнению

132

x не равносилен. Корни

данного уравнения 1 и -1, а

уравнение 132

x имеет

только один корень 1, так

как по определению

степени с дробным

показателем основание

степени положительно.

.

Решение 13 2x

1

,111 233 2

x

xxx


Решите уравнение 43 2x .

43

Задание

12

Неверный


Верный


Решите

уравнение

5

2

x =1

Корни:

1 и -1.

x=-1- не

корень

Корень

уравнения:

1

Переход от данного

уравнения к уравнению

13 2x не равносилен.

Корень данного уравнения

=1, так как по определению

степени с дробным


степени положительно, а

уравнение 13 2x имеет

корени 1 и -1.

Решение: 52

x =1 11252

5

5

2

xx



x =4.

Задание

13

Неверный


Верный


Решите

уравнение

13xx .

Корень:

3

Потеряны

корни 1 и

-1

Корни

уравнения:

-1; 1;3.

Корень x = 3 получен

при условии x > 0,

x ≠1, по определению

степени с целым


степени может быть

равным 1 и

отрицательному числу

Решение При условии x > 0, x ≠1, имеем 13xx0, откуда x =3

44

По определению степени с целым показателем основание

степени может быть равным 1 и отрицательному числу.

Проверяем 1, получаем 11-4

= 1, т.е.

1 – корень уравнения. Среди отрицательных чисел только -1 в

четной степени равняется 1. Поэтому возможный

отрицательный корень -1.

Проверим: получим (-1)-1-3

= 1, значит x = -1 – корень уравнения.

13xx

.1

,1

,3

1)1(

1

11

1

03

,1

,0

31

31

x

x

x

x

x

x

x

x


Решите уравнение 1)1( 3 xx .



Верный


Решите

уравнение

x2 -1 =

(x-1) 92x .

Корни:

1 и -5.

x=1 и x=-5 –

посторонние

корни

Корней

нет

При x =1 не выполняется

условие существования

квадратного

корня x2 – 9 ≥ 0; при x = -

5 левая часть уравнения

положительна, а правая –

отрицательна.

Решение

x2 -1 = (x - 1) 92x

0))91)(1(

9

2

2

xxx

x

xxx

x

9)1(

1

22Ø

45


Решите уравнение x2 -16 = (x - 4) 12x .



Верный


Решите

уравнение

x2 -1 =

(x - 1) 92x .

Корень

4

Потерян

корень

x=1

Корни

уравнения

4 и 1

Потеря корня x = 1 произошла

при делении обеих частей

уравнения на x-1. Это

выражение обращается в ноль

при x =1, х =1 корень данного

уравнения.

Решение

x2 -1 = (x - 1) 92x

4

1

1

9)1(

1

22

x

x

x

xx

x


Решите уравнение: 4x2 -1 = (2x - 1) 52x .

Задание

16

Неверный


Решите

уравнение

lg x2 = 4

Корень:

100

Потерян

корень

x =-100

Корни

уравнения

100 и -100

Ошибка в применении

формулы lg x2 = 2lgx. Эта

формула верна только

при x > 0. Если же x < 0,

то lg x2 = 2lg(-x), поэтому

второй корень получен

из уравнения lg(-x) = 2, а

первый из уравнения

lgx = 2.

Решение lg x2 = 4 2lg│x│=4 lg│x│=2 │x│=100

100

100

x

x

46


Решите уравнение lg x2 = 6.



Верный


Решите

уравнение

sin x·

·tg0,5x= 0.

x = πn,

n Z

Посторонние

решния

x=π(2k+1),

n Z .

x=2πn,

n Z .

Неверно применяется

условие равенства

произведения двух

множителей нулю:

при x = πn первый

множитель равен

нулю, а второй при

этом значении

переменой не

определен, если n –

нечетное целое число.

Решение sin x tg0,5x = 0

Zkkx

x

xtg

,2

5,0

0sin

05,0

x =2πn, n Z .


Решите уравнение sin2x x tg x = 0.

Задание

18 Неверный ответ Ошибка

Верный

ответ

Причина

ошибки

Решите

уравнение

sinx =-2

,)2arcsin()1( kx k

где Zk

Не

существует

arcsin(-2)

Уравнение

не имеет

корней

Это

уравнение

не имеет

корней, так

как

множество

значений

синуса -

47

отрезок

[-1;1].

Решение

sinx =-2, так как E(sinx) = [-1;1], то данное уравнение не имеет

решения.

Для

справки

Уравнение sinx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое

постоянное число.

а)Если a>1 или a< -1 , то уравнение sinx = a не имеет решений.

Например, уравнения sinx = 4, sinx = -2,4 не имеют решений.

б)Ecли a= 1, то решение уравнения : x= .,22

Znn

в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= - .,22

Znn

г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x= ., Znn

д) Ecли |a| ,1 то x=(-1)narcsina+πn, n Z .

Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде

x=(-1)narcsin0,3+πn, n Z .

Уравнение соsx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое


а)Если a>1 или a< -1 , то уравнение cosx = a не имеет решений.

Например, уравнения cosx = 1,4, sinx = -2,5 не имеют решений.

б)Ecли a = 1, то решение уравнения: x= .,2 Znn

в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= .,2 Znn

г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x=2

., Znn

д) Ecли a ,1 то x= arccosa+2πn, n Z .

Например, решение уравнения cosx = 0,3 записывается в виде

x= arccos0,3+2πn, n Z .

Уравнение tgx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое


Решение уравнения x=arctga + πn, n Z .

Например, решение уравнения tgx=3, будет x=arctg3 + πn, n Z .

Замечание: если a=0, то x= πn, n Z .


Решите уравнение sin 5x = 5.

48



Верный


Решите

уравнение

sin2x –

sinxcosx = 0

x = π/4+πn,

n Z

Потеряно

решение

x = πk,

k Z

x =π/4+πn,

n Z ,

x = πk,

k Z .

в делении обеих частей

уравнения на sinx.

При x = πk, n Z sinx = 0 и

уравнение обращается в

верное равенство т.е.

x = πk, k Z - решение

данного уравнения.

Решение

sin2x – sinxcosx=0

Zkkx

Znnx

tgx

Znnx

xx

x

,4

,

1

,

0cossin

0sin


Решите уравнение cos2x – sinxcosx = 0.



Верный


Решите

уравнение

tg3x= tg 5x

x = πk/2,

k Z

Постороннее

решение

x =π/2+ πk,

k Z

x = πn,

n Z .

Не при всех x из

серии

x = πk/2, k Z

определены tg3x и

tg5x (иначе – не все

корни из серии

x = πk/2, k Z входят

в ОДЗ переменной

данного уравнения).

49

Решение

tg3x= tg 5x

05cos

03cos

,53

x

x

Zkkxx

0)2

5cos(

0)2

3cos(

,2

k

k

Zkkx

Nnnk

Zkkx

,12

,2 x = πn, n Z .

Для

справки

Условие равенства тангенсов двух углов:

tgα = tg β

Zmm

Znn

Zkk

,

,2

,2


Решите уравнение: tg2x= tg 6x.

Задание

21

Неверный

ответ Ошибка Верный ответ

Причина

ошибки

Решите

уравнение

сos4x =

0,5

x= Zkk,212

Неверно

найдено

второе

слагаемое

.,212

Zkk

x

Для

отыскания

x

в левой

части

равенства

только

первое

слагаемое

разделили

на 4.

Решение

сos4x = 0,5 4x = Zkk ,23

Zkk

,4

2

62,

x = Zkk

,212

50


Решите уравнение tg 4x = 3

Задание

22

Неверный


Верный


Решите

уравнение

cosx+sinx

=1

x = πn/2,

n Z

Посторонние

решения:

x = π+ 2πn,

n Z ,

x = -π/2+ 2πk,

k Z .

x =2πn,

n Z ,

x = π/2+

2πk,

k Z .

Метод решения

заключался в возведении

обеих частей уравнения

в квадрат, т.е. от данного

уравнения перешли к

уравнению - следствию

sin 2x = 0, не все корни

которого являются

корнями данного.

Решение

sin x + cos x = 1(1).Поскольку период функциии y= sin x + cosx

равен 2π, то найдем решения уравнения (1) на этом периоде,

например на отрезке [0; 2π] Поскольку │sinx│≤1 и │cosx│≤1, и

для x из промежутка (π/2; 2π) по крайней мере, одна из

функций ( синус или косинус ) неположительна и не принимает

значения, равные 1, то в этом интервале решений нет. На

оставшемся отрезке [0; π/2] очевидные решения x = 0, x = π/2,

других решений на интервале (0; π/2) нет, поскольку значения

синуса и косинуса на этом интервале численно равны катетам

прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 1.

С учетом периода решения данного уравнения: x =2πn, n Z ,

x= π/2+ 2πk, k Z .


Решите уравнение 3sin x + cos x = 1.

Задание

23

Неверный


Верный


Решите

уравнение

2sin x +

x = π k, Zk .

На cos

Documents

Ошибки на экзаменах по математикеmif.bspu.by/Matherials/Mathem/Pirutko/mt/pub2.pdfДеление десятичной дроби на натуральное