Тема 9. Механические колебания

§9.1. Колебания. Гармонические колебания.

Амплитуда и фаза колебаний

Колебания – это процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.Свободные, или собственные, колебания происходят в системе, предоставленной самой себе после выведения её из состояния равновесия.При вынужденные колебаниях колеблющаяся система подвергается внешнему, периодически меняющемуся воздействию.

Периодические колебания

P

t

Гармонические колебания:

синусоида

Т

какой-либо параметр системы

P

t

P(t +T) = P(t)период колебаний

время

(или косинусоида: форма кривой одна и та же; только первая начинается с нуля, а вторая – с единицы. Ниже будет показано, что всё определяется начальной фазой.)

Пружинный маятник Математический маятник

Физический маятникКрутильный маятник

Механические колебательные системы

Гравитационный маятник

PA

P

t P = sin tPA ω

P = PA cos ωt =

P

t

= PA sin (ωt+π/2)

амплитуда (максимальное значение)

фаза[ω] = 1/c

[PA] = [P]

Уравнение гармонических колебаний. Параметры

1

2

Пусть зависимость изменяющегося при колебаниях параметра Р от времени t является синусоидой.Однако записать эту зависимость просто P = sin t нельзя, поскольку, во-первых, сам параметр Р имеет размерность, а синус – безразмерен; во-вторых, аргумент у синуса должен быть безразмерен, а у нас там пока – секунда! Поэтому перед синусом должен быть некоторый коэффициент с размерностью изменяющегося при колебаниях параметра Р, а под синусом – коэффициент с размерностью, обратной размерности времени.

Но и косинусоида может быть сведена к синусоидальной зависимости путем сдвига фазы на π/2:

PA

P

t P = sin tPA ω

P = PA cos ωt =

P

t

= PA sin (ωt+π/2)

P

t P = PA sin(ωt+φ0 )

амплитуда фаза

начальная фаза

В общем случае:

[ω] = 1/c [PA] = [P] 1

2

1 2

частные случаи

Тема 9. Механические колебания

§9.2. Свободные незатухающие колебания.

Пружинный маятник

Свободные колебания груза на пружине. Трения нет

.2

2

kxdt

xdm

020 xx

,20

m

k

xx0

.упр kxF

;0 xm

kx

коэффициент упругости пружины

Равнодействующей всех сил, действующих на тело в данном случае является сила упругости пружины (сила тяжести здесь уравновешивается реакцией опоры):

Уравнение по 2-му закону Ньютона тогда принимает вид:

,kxma или

Поделив всё на массу тела: и заменив коэффициент при х:

получаем уравнение движения тела при колебаниях под действием упругой силы:

Примечание:

ниже станет понятно, почему коэффициент при х берётся в квадрате.

)sin( 00 tAx

m

k2

0

)sin( 00 tAx

),cos( 000 tAvx

).sin( 0020 tAavx

xx0

x

tA

T

020 xx

Основная масса учащихся пока вряд ли знает, как решаются дифференциальные уравнения. Но можно угадать решение такого уравнения.Ведь чтобы справа получить ноль,

необходимо иметь зависимость x(t) такую, чтобы её вторая производная повторила саму себя, да ещё со знаком минус!

Какая это функция? Конечно, синусоида (или косинусоида). В общем случае (см. §9.1):

Проверим. Возьмём 1-ю производную (кстати, при этом получим скорость движения тела при колебаниях):

и вторую:

Подставляем выражения для х и его 2-й производной в верхнее уравнение движения и убеждаемся, что всё получилось.

– уравнение колебаний

А – амплитуда колебаний,

Т – период.

Стробоскопическое изображение гармонических колебаний с разверткой по времени.

Именно таким образом можно увидеть синусоиду!

Здесь:

x = A sin (ω0t +π /2)

A

A

A

A

Период колебаний пружинного маятника. Частота.

Циклическая частота

m

k2

0)sin( 00 tAx

002 )( Tt

20 Tk

mT 2

T

1 20

хx

x0

x

tA

T

.200 t

1 2

Фаза в момент времени 2:

1Фаза в момент времени 1: .001 t

(Именно здесь становится понятно, почему удобно коэффициент ω0 брать в квадрате.)

После раскрытия скобок: ,200000 tTt

Откуда:

Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела,

совершающего гармонические колебания.

T

tAtAx

2coscos 0

tAvx 00 sin

tAavx 020 cos

A

A

vm

vm

am

am

vm

am

- амплитуда скорости

амплитуда ускорения

Тема 9. Механические колебания

§9.3. Физический и математический маятники

Физический маятник

Физическим маятником называют твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси.

l Очевидно, что центр масс (тяжести) в этом случае должен находиться ниже точки подвеса.

Пусть - радиус-вектор центра масс относительно точки подвеса.

l

MI

sinmglI

,0 mglI

α

lh

mgI

mgl2

0

.020

)sin( 00 tm

0

2

Tmgl

IT 2

M

020 xx

)sin( 00 tAxα

tαm

T

mgl

при малых углах

Колебания физического маятника происходят под действием возвращающего момента

силы тяжести:

Для сравнения:

.gmlM

Уравнение движения при вращении:

(Знак минус означает, что вращающий момент направлен противоположно углу отклонения маятника)

после замены:

получаем уравнение, аналогичное уравнению движения для пружинного маятника:

Решение уравнения:

mgl

IT 2

I = ml2l

m g

lT 2

Математический маятник (материальная точка на длинной невесомой нерастяжимой нити) – частный случай физического

маятника

α

(при малых углах α)

Тема 9. Механические колебания

§9.4. Определение момента инерции воздушного винта

методом физического маятника

lmgl

IT 2 mgl

TI

2

2

4

20 mlII

А затем используется теорема Штейнера:

lg

Tmlmlmgl

TI

2

22

2

2

0 44

С помощью колебаний можно экспериментально определить такую важную характеристику воздушного винта авиадвигателя, как его момент инерции относительно оси вращения.

Вначале путём измерения периода колебаний винта, подвешенного за его конец, определяется момент инерции относительно точки подвеса:

Окончательно:

Тема 9. Механические колебания

§9.5. Энергия гармонического осциллятора (на примере пружинного маятника)

;22

22 kxmvЕЕE поткин

)cos( 000 tAxv

;)sin( 00 tAxm

k2

0

2

sin

2

cos 022

022

02 tkAtmA

E

2)1

2kAE

2)2

2maxmv

E

xx0

v

2~ AЕ

t

t

t

Eпот

E

Eкин

Полная энергия:

1

;)(тахпотЕ

2

)(тахкинE

Таким образом, полная энергия, состоящая из кинетической энергии тела и потенциальной энергии пружины, остаётся постоянной, хотя каждая из составляющих переменна по времени.

Тема 9. Механические колебания

§9.5. Затухающие колебания

Колебания груза на пружине при наличии трения

xx0

К сила упругости пружины, действующей на тело, в данном случае добавляется сила сопротивления. Будем считать, что эта сила пропорциональна скорости, но направлена в противоположную ей сторону:

Уравнение движения тогда принимает вид:

Если всё поделить на массу тела и заменить коэффициенты:

то получим уравнение движения тела при колебаниях под действием упругой силы:

Примечание: ниже станет понятно, почему коэффициент при первой

производной х берётся удвоенным.

,xrrvFсопр

.kxxrxm

,02 20 xxx

,2;20 m

r

m

k

r – коэффициент сопротивления.

m

r

m

k 2;2

0

)cos( 00 teAx t

)(; 022

0

220

22

T

A(t),

– коэффициент затухания. Характеризует скорость уменьшения амплитуды колебаний.

A0

A0/e

m

r

2

,02 20 xxx

Решение такого уравнения имеет вид:

Амплитуда таких колебаний переменна по времени:

а циклическая частота отличается от частоты свободных незатухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Тема 9. Механические колебания

§9.6. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания груза на пружине.

К упругой силе и силе сопротивления здесь добавляется периодически меняющаяся внешняя вынуждающая сила:

,cos0 tFFвн ω – частота вынуждающей силы.

.cos0 tFxrkxxm

.cos2 020 t

m

Fxxx

)cos()( 0 tAx

;20 m

k ;2

m

r

222220

0

4)()(

m

FAk

Fx 0

0

А

Уравнение движения для этого случая:

После замены:

Решение уравнения:

Т.е. тело колеблется с частотой вынуждающей силы и с амплитудой, зависящей от этой частоты:

Характер этой зависимости указывает на возможность при определённых условиях резкого возрастания амплитуды колебаний – резонанса.

222220

0

4)()(

m

FA

k

Fx 0

0

ω0ωрез

04)( 222220

d

d

08)2)((2 2220

220 2 рез

220

0

2

m

FAрез

Условие для резонанса:

- резонансная частота.

Амплитуда при резонансе:

Как следует из полученной формулы, максимум амплитуды определяется величиной коэффициента затухания β и стремится к бесконечности в случае исчезающе малого трения.