prudinna.files.wordpress.com...หนังสือเรียนสาระความรู พื้นฐาน. รายวิชา คณิตศาสตร (พค

หนงสอเรยนสาระความรพนฐาน

รายวชา คณตศาสตร

(พค21001)

ระดบมธยมศกษาตอนตน

หลกสตรการศกษานอกระบบระดบการศกษาขนพนฐาน

พทธศกราช 2551

สานกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย

สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ

กระทรวงศกษาธการ

หนงสอเรยนเลมนจดพมพดวยเงนงบประมาณแผนดนเพอการศกษาตลอดชวตสาหรบประชาชน

ลขสทธเปนของ สานกงาน กศน. สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ

หามจาหนาย

เอกสารทางวชาการลาดบท 11/2554

หนงสอเรยนสาระความรพนฐาน

รายวชา คณตศาสตร (พค21001)


ลขสทธเปนของ สานกงาน กศน. สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ

เอกสารทางวชาการลาดบท 11/2554

คานา

สานกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย ไดดาเนนการจดทา

หนงสอเรยน ชดใหมนขน เพอสาหรบใชในการเรยนการสอนตามหลกสตรการศกษานอกระบบ

ระดบการศกษาข นพนฐาน พทธศกราช 2551 ท มวตถประสงคในการพฒนาผ เรยนใหมคณธรรม

จรยธรรม มสตปญญาและศกยภาพในการประกอบอาชพ การศกษาตอ และสามารถดารงชวตอยใน

ครอบครว ชมชน สงคมไดอยางมความสข โดยผเรยนสามารถนาหนงสอเรยนไปใช ดวยวธการศกษา

คนควาดวยตนเอง ปฏบตกจกรรมรวมทงแบบฝกหดเพอทดสอบความรความเขาใจในสาระเนอหา

โดยเมอศกษาแลวยงไมเขาใจ สามารถกลบไปศกษาใหมได ผเรยนอาจจะสามารถเพมพนความรหลงจาก

ศกษาหนงสอเรยนน โดยนาความรไปแลกเปลยนกบเพอนในชนเรยน ศกษาจากภมปญญาทองถน

จากแหลงเรยนรและจากสออนๆ ในการดาเนนการจดทาหนงสอเรยนตามหลกสตรการศกษานอกระบบระดบการศกษา

ขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ไดรบความรวมมอทดจากผทรงคณวฒและผเกยวของหลายทานทคนควา

และเรยบเรยงเนอหาสาระจากสอตางๆ เพอใหไดสอทสอดคลองกบหลกสตร และเปนประโยชน

ตอผเรยนทอยนอกระบบอยางแทจรง สานกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย

ขอขอบคณคณะทปรกษา คณะผเรยบเรยง ตลอดจนคณะผจดทาทกทานทไดใหความรวมมอดวยด

ไว ณ โอกาสน สานกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย หวงวาหนงสอเรยน

ชดนจะเปนประโยชนในการจดการเรยนการสอนตามสมควร หากมขอเสนอแนะประการใด สานกงาน

สงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย ขอนอมรบไวดวยความขอบคณยง

สานกงาน กศน.

สารบญ

เรอง หนา

บทท 1 จานวนและการดาเนนการ 1

บทท 2 เศษสวนและทศนยม 18

บทท 3 เลขยกกาลง 46

บทท 4 อตราสวนและรอยละ 58

บทท 5 การวด 75

บทท 6 ปรมาตรและพนทผว 105

บทท 7 คอนดบและกราฟ 127

บทท 8 ความสมพนธของรปเรขาคณตสองมตและสามมต 136

บทท 9 สถต 149

บทท 10 ความนาจะเปน 180

เฉลย บทท 1 จานวนและการดาเนนการ 191

เฉลย บทท 2 เศษสวนและทศนยม 199

เฉลย บทท 3 เลขยกกาลง 213

เฉลย บทท 4 อตราสวนและรอยละ 216

เฉลย บทท 5 การวด 222

เฉลย บทท 6 ปรมาตรและพนทผว 233

เฉลย บทท 7 คอนดบและกราฟ 242

เฉลย บทท 8 ความสมพนธของรปเรขาคณตสองมตและสามมต 245

เฉลย บทท 9 สถต 251

เฉลย บทท 10 ความนาจะเปน 260

คาแนะนาการใชแบบเรยน

หนงสอเรยนสาระความรพ นฐาน รายวชา คณตศาสตร พค 21001 ระดบมธยมศกษา

ตอนตน เปนหนงสอเรยนทจดทาขน สาหรบผเรยนทเปนนกศกษานอกระบบ ในการศกษา

หนงสอเรยนสาระความรพนฐาน รายวชา คณตศาสตร ผเรยนควรปฏบตดงน

1. ศกษาโครงสรางรายวชาใหเขาใจในหวขอสาระสาคญ ผลการเรยนรทคาดหวง

และขอบขายเนอหา

2. ศกษารายละเอยดเนอหาของแตละบทอยางละเอยด และทากจกรรมตามทกาหนด

แลวตรวจสอบกบแนวตอบกจกรรมทกาหนด ถาผเรยนตอบผดควรกลบไป

ศกษาและทาความเขาใจในเนอหานนใหมใหเขาใจกอนทจะศกษาเรองตอไป

3. ปฏบตกจกรรมทายเรองของแตละเรอง เพอเปนการสรปความรความเขาใจของ

เนอหาในเรองนนๆ อกครง และการปฏบตกจกรรมของแตละเนอหาในแตละ

เรอง ผเรยนสามารถนาไปตรวจสอบกบครและเพอนๆ ทรวมเรยนในรายวชา

และระดบเดยวกนได

4. แบบเรยนเลมนม 10 บท

บทท 1 จานวนและการดาเนนการ

บทท 2 เศษสวนและทศนยม

บทท 3 เลขยกกาลง

บทท 4 อตราสวนและรอยละ

บทท 5 การวด

บทท 6 ปรมาตรและพนทผว

บทท 7 คอนดบและกราฟ

บทท 8 ความสมพนธของรปเรขาคณตสองมตและสามมต

บทท 9 สถต

บทท 10 ความนาจะเปน

โครงสรางรายวชาคณตศาสตร


สาระสาคญ ใหผเรยนมความรความเขาใจเกยวกบจานวนและการดาเนนการ เศษสวน และทศนยม เลข

ยกกาลง อตราสวน สดสวน และรอยละ การวด ปรมาตรและพนทผว คอนดบและกราฟ

ความสมพนธระหวางรปทรงเรขาคณตสองมตและสามมต สถต และความนาจะเปน

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. ระบหรอยกตวอยางเกยวกบจานวนและการดาเนนการ เศษสวนและทศนยม เลขยก

กาลงอตราสวน สดสวน รอยละ การวด การหาปรมาตรและพนทผว คอนดบและกราฟ

ความสมพนธระหวางรปเรขาคณตสองมต สามมต สถต และความนาจะเปน

2. สามารถคดคานวณและแกปญหาโจทยทใชในชวตประจาวน

ขอบขายเนอหา


บทท 2 เศษสวนและทศนยม

บทท 3 เลขยกกาลง

บทท 4 อตราสวนและรอยละ

บทท 5 การวด

บทท 6 ปรมาตรและพนทผว

บทท 7 คอนดบและกราฟ

บทท 8 ความสมพนธระหวางรปเรขาคณตสองมตและสามมต

บทท 9 สถต

บทท 10 ความนาจะเปน

สอการเรยนร

1. ใบงาน

2. หนงสอเรยน

1


สาระสาคญ

เรองของจานวนและการดาเนนการ เปนหลกการเบองตนทเปนพนฐานในการนาไปใชใน

ชวตจรงเกยวกบการเปรยบเทยบ การบวก การลบ การคณ และการหาร


1. ระบหรอยกตวอยางจานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และศนยได

2. เปรยบเทยบจานวนเตมได

3. บวก ลบ คณ หาร จานวนเตม และอธบายผลทเกดขนได

4. บอกสมบตของจานวนเตมและนาความรเกยวกบสมบตของจานวนเตมไปใชได


เรองท 1 จานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และศนย

เรองท 2 การเปรยบเทยบจานวนเตม

เรองท 3 การบวก การลบ การคณ และการหารจานวนเตม

เรองท 4 สมบตของจานวนเตมและการนาไปใช

2

เรองท 1 จานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และศนย

จานวนเตมประกอบไปดวย จานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และจานวนเตมศนย ดง

โครงสรางตอไปน

จานวนเตมบวก คอ จานวนนบ เปนจานวนชนดแรกทมนษยรจก มคามากกวาศนย จานวนนบจานวน

แรก คอ 1 จานวนทอยถดไปจะเพมขนทละ 1 เสมอ เหนวาไมสามารถหาจานวนนบทมากทสด และ

สามารถเขยนจานวนนบ เรยงตามลาดบไดดงน 1, 2, 3,... ไปเรอยๆ จานวนนบเหลานอาจเรยกไดวา

“จานวนเตมบวก” ถานาจานวน 0 และจานวนเตมบวกมาเขยนแสดงดวยเสนจานวนได ดงน

จานวนเตมศนย มจานวนเดยว คอ ศนย(0)

สาหรบ 0 ไมเปนจานวนนบ เพราะจะไมกลาววามผเรยนจานวน 0 คน แตศนยกไมได

หมายความวา ไมมเสมอไป เชน เมอกลาวถงอณหภม เพราะทาใหเราทราบและเกดความรสกขณะ

อณหภม 0 องศาเซลเซยสได

จานวนเตมลบ หมายถงจานวนทตรงขามกบจานวนเตมบวก มคานอยกวาศนย (0) มคาลดลง

เรอยๆ ไมมทสนสด เชน -1, -2, -3, ....

พจารณาจากเสนจานวน จะเหนวาจานวนทอยทางซายของ 0 เปนระยะทาง 1 หนวย เขยน

แทนดวย -1 อานวา ลบหนง

จากจานวนทอยทางซายของ 0 สองชอง เขยนแทนดวย -2 อานวา ลบสอง ถาอยทางซาย

ของ 0 สามชอง เขยนแทนดวย -3 อานวา ลบสาม

จานวนเตม

จานวนเตมบวก จานวนเตมศนย จานวนเตมลบ

3

เรองท 2 การเปรยบเทยบจานวนเตม

จานวนเตม 2 จานวน เมอนามาเปรยบเทยบกนจะไดวา จานวนหนงทมากกวาจานวนหนง

หรอจานวนหนงทนอยกวาอกจานวนหนง หรอจานวนทง 2 จานวนเทากน เพยงอยางใดอยางหนง

เทานน

ถา a, b, c เปน จานวนธรรมชาตใดๆ แลว

a – b = c แลว a มากกวา b

a – b = - c แลว b มากกวา a

หรอ a นอยกวา b

a – b = 0 แลว a เทากบ b

เครองหมายทใช > แทนมากกวา

< แทนนอยกวา

= แทนเทากบ หรอเทากน

การเปรยบเทยบจานวนเตมสามารถเปรยบเทยบจากเสนจานวนไดดงน

จากเสนจานวนจะเหนวา 4 > 3 > 2 > 1 > 0 > -1 > -2 > -3 ซงจะเหนไดวา จานวนทอย

บนเสนจานวนดานขวามคามากกวาจานวนทอยดานซายเสมอ

4

แบบฝกหดท 1

1. จงเลอกจานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และจานวนเตมจากจานวนตอไปน

- 1, 24

, 0, - 3, 1000500

, 250

500−

จานวนเตมบวก ประกอบดวย...............................................................................................

จานวนเตมลบ ประกอบดวย...............................................................................................

จานวนเตม ประกอบดวย..............................................................................................

2. จงเตมเครองหมาย < หรอ > เพอใหประโยคตอไปนเปนจรง

1) -4 ..................................... 3

2) -4 .................................... -3

3) -2 ..................................... -5

4) 4..................................... -2

5) 4..................................... -8

3. จงเรยงลาดบจานวนเตมจากนอยไปหามาก

1) -2, -8, -4, -15, -20, -7

…………………………………………………………………………………………………..

2) 4, -8, 0, -2, 16, -17

…………………………………………………………………………………………………..

5

2.1 จานวนตรงขามของจานวนเตม

ถา a เปนจานวนใดๆ จานวนตรงขามของ a มเพยงจานวนเดยว เขยนแทนดวย -a

พจารณาจากเสนจานวน

จานวนเตมบวกและจานวนเตมลบจะอยคนละขางของศนย (0) และอยหางจาก 0 เปน

ระยะเทากน เชน -3 กบ 3 เปนจานวนตรงขามกน

ซงสรปไดวา

สาหรบจานวนเตม a ใดๆ จานวนตรงขามของ a คอ –a

และจานวนตรงขามของ -a คอ – a

เนองจากจานวนตรงขามของ(-a) เขยนแทนดวย – (-a)

ดงนน – (-a) = a

เชน จานวนตรงขามของ (-3) เขยนแทนดวย –(-3) คอ 3

2.2 คาสมบรณของจานวนเตม

สญลกษณของคาสมบรณ ไดแก

ขอสงเกต เมอ a แทนจานวนใดๆ

พจารณาจากเสนจานวนจะเหนวา

คาสมบรณของ 2 เทากบ 2 เขยนในรปสญลกษณ 22 =

คาสมบรณของ -2 เทากบ 2 เขยนในรปสญลกษณ 22 =−

ซงสรปไดวาคาสมบรณของจานวนใดๆ เทากบระยะทางทจานวนนนอยหางจาก 0 บนเสน

จานวน

6


1. จงเตมคาวา “มากกวา” หรอ “นอยกวา” หรอ “เทากบ”

1) คาสมบรณของ (-3).................................................คาสมบรณของ 3

2) จานวนตรงขามของ (-4) .........................................จานวนตรงขามของ 4

3) จานวนตรงขามของ 5 ..............................................จานวนตรงขามของ -5

4) คาสมบรณของ A....................................คาสมบรณของ(-A) เมอA เปนจานวนใดๆ

5) จานวนตรงขามของ A ...........................จานวนตรงขามของ (-A) เมอA เปนจานวน

ใดๆ

2. จงเตมเครองหมาย <, > หรอ = ลงในชองวาง

1) – (- 5) ............................................5

2) จานวนตรงขามของ 8 .........................................8

3) จานวนตรงขามของ (-8).......................................(-8)

4) 25.........................................25 −−

5) ( )20.........................................20 −−

6) 5..........................................25 −−

7) จานวนตรงขามของ (-2) .........................................จานวนตรงขามของ(-7)

8) จานวนตรงขามของ 32.............................................จานวนตรงขามของ 77

7

เรองท 3 การบวก การลบ การคณ และการหารจานวนเตม

3.1 การบวกจานวนเตม

หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปนจานวนเตมบวก เชน 2 + 3 = 5

1). การบวกจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมบวก


เรมตนท 0 นบไปทางขวา 2 ชอง และนบเพมไปทางขวาอก 3 ชอง จะสนสดท 5

จะได 5 เปนผลบวกของ 2 กบ 3

หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปนจานวนเตมลบ เชน

(-2) + (-3) = (-5)

2). การบวกจานวนเตมลบดวยจานวนเตมลบ


เรมตนท 0 นบไปทางซาย 2 ชอง และนบเพมไปทางซายอก 3 ชอง จะสนสดท -5

จะได -5 เปนผลบวกของ -2 กบ -3

3.1 กรณทจานวนเตมบวกมคาสมบรณมากกวา

3). การบวกจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมลบ

หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาลบกนแลวผลลพธเปนจานวนเตมบวก เชน 12 + (-8) = 4


เรมตนท 0 นบไปทางขวา 12 ชอง เมอบวกดวย -8 ใหนบลดไปทางซายอก 8 ชอง

จะสนสดท 4

จะได 4 เปนผลบวกของ 12 กบ -8

8

3.2 กรณท จานวนเตมลบมคาสมบรณมากกวา

หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาลบกนแลวผลลพธเปนจานวนเตมลบ เชน 3 +(-10) = -7


เรมตนท 0 นบไปทางขวา 3 ชอง เมอบวกดวย – 10 ใหนบลดไปทางซายอก 10 ชอง

จะสนสดท -7

จะได -7 เปนผลบวกของ 3 กบ -10

4.1 กรณทจานวนเตมบวกมคาสมบรณมากกวา

4). การบวกจานวนเตมลบดวยจานวนเตมบวก

หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาลบกนแลวผลลพธเปนจานวนเตมบวก เชน (-3) + 5 = 2


เรมตนท 0 นบไปทางซาย 3 ชอง เมอบวกดวย 5 ใหนบเพมไปทางขวาอก 5 ชอง

จะสนสดท 2

จะได 2 เปนผลบวกของ -3 กบ 3

4.2 กรณจานวนเตมลบมคาสมบรณมากกวา

หาผลบวกดวยการนาคาสมบรณมาลบกนแลวผลลพธเปนจานวนเตมลบ เชน (-5) + 3 = -2


เรมตนท 0 นบไปทางซาย 5 ชอง เมอบวกดวย 3 ใหนบเพมไปทางขวาอก 3 ชอง

จะสนสดท -2

จะได -2 เปนผลบวกของ -5 กบ 3

9

1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจานวนทกาหนดให โดยใชเสนจานวน


1. 3+2

2. (-3)+(-2)

3. 2+1

4. (-2)+(-1)

5. 5+ (-1)

6. (-1) +5

7. (-5) +3

8. 3 + (-5)

10

2. จากผลการบวกโดยใชเสนจานวน จงเตมคาตอบตอไปนใหสมบรณ

ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสมบรณของ a คาสมบรณของ b คาสมบรณของ(a+b) ผลบวกของ a กบ b

เทากนหรอไมกบ ba +

1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากน

2. (-3)+(-2) = -5

3. 2+1 = 3

4. (-2)+(-1) = -3

5. 5+ (-1) = 4

6. (-1) +5 = 4

7. (-5) +3 = -2

8. 3 + (-5) = -2

สรป หลกการบวกจานวนเตม

1. การบวกระหวางจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมบวก ใหนาคาสมบรณมาบวกกน แลว

ตอบเปนจานวนเตมบวก

2. การบวกจานวนเตมลบกบจานวนเตมลบ ใหนาคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปน

จานวนเตมลบ

3. การบวกระหวางจานวนเตมบวกกบจานวนเตมลบ ทจานวนเตมบวกมคาสมบรณ

มากกวาใหนาคาสมบรณมาลบกน แลวตอบเปนจานวนเตมบวก

4. การบวกระหวางจานวนเตมบวกกบจานวนเตมลบ ทจานวนเตมลบมคาสมบรณมากกวา

ใหนาคาสมบรณมาลบกน แลวคาตอบเปนจานวนเตมลบ

5. การบวกระหวางจานวนเตมบวกกบจานวนเตมลบทมคาสมบรณเทากน ผลบวกเปน 0

3.2 การลบจานวนเตม

ทบทวนจานวนตรงขามของจานวนเตมดงตอไปน

จานวนตรงขามของ 3 คอ -3

จานวนตรงขามของ – 3 คอ 3 และ 3+(-3) = 0

จานวนตรงขามของ -3 เขยนแทนดวย –(-3) ดงน –(-3) = 3

11

พจารณาการลบจานวนเตมสองจานวนทกาหนดใหดงน

1. 3 – 2

2. 3 – 5

โดยพจารณาทงสองแบบ

1. แสดงการหาผลลบของสองจานวนทกาหนดให โดยใชเสนจานวน

1). 3 – 2 = 1

2). 3 – 5 = -2

2. แสดงการหาผลลบโดย กาหนดให – b แทนจานวนตรงขามของ b แลวพจารณาคาของ a + (-b)

ประโยคแสดงผลลพธของ a – b a b (-b) ประโยคแสดงผลลพธของ a + (-b)

1). 3 – 2 = 1 3 2 (-2) 3 + (-2) = 1

2). 3 – 5 = -2 3 5 (-5) 3 + (-5) = -2

จากการลบจานวนเตมสองจานวนทง 2 แบบจะเหนไดวา

กาหนด (-b) เปนจานวนตรงขามของ b

ผลลพธของ a-b และผลลพธของ a+(-b) มคาเทากน

ดงนน การลบจานวนเตม เราอาศยการบวกตามขอตกลงดงตอไปน

ตวตง – ตวลบ = ตวตง + จานวนตรงขามของตวลบ

นนคอ เมอ a และ b แทนจานวนใดๆ

a –b = a + จานวนตรงขามของ b

หรอ a – b = a + (-b)

12

1. จงทาใหเปนผลสาเรจ


1. (-12) – 7

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

2. 7 – (-12)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

3. (-8) – (-5)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

4. (-5) – (-8)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

5. [8 – (-2)] – 6

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

6. 8 – [(-2) – 6]

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมอกาหนด a และ b ดงตอไปน

1. a = 5, b = (-3)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

2. a = (-14), b = (-6)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

3. a = (-4), b = (-4)

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

13

3.3 การคณจานวนเตม

1) การคณจานวนเตมบวกดวนจานวนเตมบวก

เชน 3 × 5 = 5 + 5 + 5

= 15

7 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

= 28

การคณจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมบวกนน ไดคาตอบเปนจานวนเตมบวกทมคา

สมบรณเทากบผลคณของคาสมบรณของสองจานวนนน

2) การคณจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมลบ

เชน 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8)

= -24

2 × (-7) = (-7) + (-7)

= -14

การคณจานวนเตมบวกดวยจานวนเตมลบ ไดคาตอบเปนจานวนเตมลบทมคาสมบรณ

เทากบผลคณของคาสมบรณของสองจานวนนน

3) การคณจานวนเตมลบดวยจานวนเตมบวก

เชน (-7) × 4 = 4 × (-7) (สมบตการสลบทการคณ)

= (-7) + (-7)+ (-7) + (-7)

= -28

การคณจานวนเตมลบดวยจานวนเตมบวก ไดคาตอบเปนจานวนเตมลบทมคาสมบรณ


4) การคณจานวนเตมลบดวยจานวนเตมลบ

เชน (-3) × (-5) = 15

( -11) × (-20) = 220

การคณจานวนเตมลบดวยจานวนเตมลบ ไดคาตอบเปนจานวนเตมบวกทมคาสมบรณ


14

จงหาผลลพธ


1). [(-3) × (-5)] × (-2)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

…………………………………………

2). (-3) × [(-5) × (-2)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

3). [4 × (-3)] × (-1)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

4). 4 × [(-3) × (-1)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

6). (-5) × [6 + (-6)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

8). (-7) × [(-5) + 2]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

9). [5 × (-7)] + [5 × 3]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

10). 5 × [(-7) + 3]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

15

3.4 การหารจานวนเตม

การหารจานวนเตม เมอ a, b และ c แทนจานวนเตมใดๆ ท b ไมเทากบ 0 จะหาผลหารได

โดยอาศยการคณ ดงน

ตวตง ÷ ตวหาร = ผลลพธ มความหมายเดยวกบ ผลลพธ × ตวหาร = ตวตง

ถา cba =÷ แลว cba ×=

การหาผลหาร 525−

จะตองหาจานวนทคณกบ 5 แลวได -25 ดงนน 5525

−=−

การหาผลหาร 5

25−

จะตองหาจานวนทคณกบ -5 แลวได 25 ดงนน 55

25−=

−

จากการหาผลหารขางตนจะไดวา

ถาทงตวตงหรอตวหาร ตวใดตวหนงเปนจานวนเตมลบโดยทอกตวหนงเปนจานวนเตมบวก

คาตอบเปนจานวนเตมลบ ทมคาสมบรณเทากบผลหารของคาสมบรณของสองจานวนนน

การหาผลหาร 525−−

จะตองหาจานวนทคณกบ -5 แลวได -25 ดงนน 5525

=−−

การหาผลหาร 525

จะตองหาจานวนทคณกบ 5 แลวได 25 ดงนน 5525

=

จากการหาผลหารขางตนจะไดวา

ถาทงตวตงและตวหารเปนจานวนเตมบวกทงคหรอจานวนเตมลบทงค คาตอบเปนจานวน

เตมบวก ทมคาสมบรณเทากบผลหารของคาสมบรณของสองจานวนนน

16


1. จงเตมคาตอบใหสมบรณเพอแสดงหลกของความสมพนธระหวางการหารและการคณ ตอไปน

ประโยคทแสดงความสมพนธ cba ×= ประโยคทแสดงความสมพนธ cba =÷ หรอ bca =÷

10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรอ 10 ÷ 2 = 5

35 = 7 x 5

33 = 3 x 11

(-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรอ (-14) ÷ (-2) = 7

(-21) = 7 x (-3)

(-15) = 3 x (-5)

10 = (-5) x (-2)

จงหาผลหาร

1. 17 ÷ 17

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

2. 23 ÷ (-23)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

3. 15 ÷ (-3)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

4. (-72) ÷ 9

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)]

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

17

เรองท 4 สมบตของจานวนเตมและการนาไปใช

4.1 สมบตเกยวกบการบวกและการคณจานวนเตม

1). สมบตการสลบท

ถา a และ b แทนจานวนเตมใดๆ

a + b = b + a (สมบตการสลบทการบวก)

a × b = b × a (สมบตการสลบทการคณ)

2) สมบตการเปลยนหม


(a + b) + c = a + (b + c) (สมบตการเปลยนหมการบวก)

(a × b) × c = a × (b × c) (สมบตการเปลยนหมการคณ)

3) สมบตการแจกแจง


a + (b × c) = ab + ac

และ (b + c) × a = ba + ca

4.2 สมบตของหนงและศนย

1). สมบตของหนง

1). ถา a แทนจานวนใดๆ แลว a × 1 = 1 × a = a

2). ถา a แทนจานวนใดๆ แลว aa=

1

2).สมบตของศนย

1). ถา a แทนจานวนใดๆ แลว a + 0 = 0 + a = a

2). ถา a แทนจานวนใดๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0

3). ถา a แทนจานวนใดๆ ทไมใช 0 แลว 00=

a (เราไมใช 0 เปนตวหาร

ถา a แทนจานวนใดๆ แลว 0a

ไมมความหมายทางคณตศาสตร)

4). ถา a และ b แทนจานวนใดๆ และ a × b = 0 แลว จะได a = 0 หรอ b = 0

18

บทท 2

เศษสวนและทศนยม


การอาน เขยนเศษสวน และทศนยมโดยใชสมบต การบวก การลบ การคณ การหาร

การเปรยบเทยบ และการแกโจทยปญหาตามสภาพการณจรงได


1. บอกความหมายของเศษสวนและทศนยมได

2. เขยนเศษสวนในรปทศนยมและเขยนทศนยมซาในรปเศษสวนได

3. เปรยบเทยบเศษสวนและทศนยมได

4. สามารถบวก ลบ คณ หาร เศษสวนและทศนยมได และอธบายผลทเกดขนได

5. นาความรเกยวกบเศษสวนและทศนยมไปใชแกโจทยปญหา


เรองท 1 ความหมายของเศษสวนและทศนยม

เรองท 2 การเขยนเศษสวนดวยทศนยม และการเขยนทศนยมซาเปนเศษสวน

เรองท 3 การเปรยบเทยบเศษสวนและทศนยม

เรองท 4 การบวก ลบ คณ หาร เศษสวนและทศนยม

19

เรองท 1 ความหมายของเศษสวน และทศนยม

1.1 เศษสวน หมายถง สวนตางๆ ของจานวนเตมทถกแบงออกเปนสวนละเทาๆ กน การ

นาเสนอเศษสวนสามารถนาเสนอไดทงแบบรปภาพ หรอแบบเสนจานวน เชน

รปวงกลม 1 วง แบงออกเปน 4 สวนเทา ๆ กน

สวนทแรเงาเปน 1 สวนใน 4 สวน

เขยนแทนดวย 41

อานวา “เศษหนงสวนส”

หรอ

1 หนวยบนเสนจานวนแบงออกเปน 5 สวนเทา ๆ กน

จด A อยหางจาก 0 ไปทางขวามอเปนระยะ 3 สวน ใน 5 สวน ดงนน A แทนดวย 53

จด B อยหางจาก 0 ไปทางขวามอเปนระยะ 7 สวน ใน 5 สวน ดงนน B แทนดวย

57

หรอ 521

จด C อยหางจาก 0 ไปทางขวามอเปนระยะ 13 สวน ใน 5 สวน ดงนน C แทนดวย

5

13 หรอ

532

จด D อยหางจาก 0 ไปทางซายมอเปนระยะ 8 สวน ใน 5 สวน ดงนน D แทนดวย

58−

หรอ 531−

เศษสวน "

บทนยาม เศษสวนเปนจานวนทเขยนอยในรป เมอ a และ b เปนจานวนเตม โดยท b ไมเทากบศนย

เรยก a วา "ตวเศษ" เรยก b วา "ตวสวน”

20

ตวอยางท 1 จงเตมเศษสวนลงใน ใหถกตอง

1.2. ทศนยม

ทศนยม คอ จานวนทอยในรปทศนยมประกอบดวยสองสวนคอ สวนทเปนจานวนเตม

และสวนทเปนทศนยม และมจด (.) คนระหวางจานวนเตมกบสวนทเปนทศนยม

ทศนยมแบงไดเปน 2 ชนด คอ

1. ทศนยมแบบไมซา เชน 1.5 , 2.35, 3.14, ...

2 ทศนยมซา แบงเปน

2.1 ทศนยมซาศนย เชน 1.5000 … เขยนแทนดวย 1.5

0.0030000 … เขยนแทนดวย 0.003

ถาตวซาเปน 0 ไมนยมเขยน

อานวา เศษหนงสวนหา

อานวา เศษหนงสวนสอง

อานวา ลบเศษสามสวนสอง

อานวา ลบเศษสสวนสาม

21

2.2 ทศนยมทตวซาไมเปนศนย เชน

0.3333… เขยนแทนดวย 0.3 อานวา ศนยจดสามสามซา

1.414141 … เขยนแทนดวย 1.41 อานวา หนงจดสหนงสหนงซา

0.213213213 … เขยนแทนดวย 0.213 อานวา ศนยจดสองหนงสาม สองหนงสามซา

2.10371037 … เขยนแทนดวย 2.1037 อานวา สองจดหนงศนยสามเจด หนงศนยสามเจดซา


1. จงเตมเศษสวนลงใน ใหถกตอง

2. จงเขยนเสนจานวนแลวหาจดทแทนจานวนตอไปน

1) 84

, 211 ,

820

2) 211 ,

634 ,

629

จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปของทศนยม

1. 106

= ………………………… 2. .................................10012

=

3. ................................1000357

= 4. ..............

10003

1002

101

=++

1) 2)

22

เรองท 2 การเขยนเศษสวนดวยทศนยม และการเขยนทศนยมซาเปนเศษสวน

2.1 การเขยนเศษสวนดวยทศนยม

เศษสวนและทศนยมอาจเปลยนรปกนได หมายความวา เศษสวนสามารถเขยนใน

รปของทศนยมได และทศนยมสามารถเขยนในรปของเศษสวนไดเชนเดยวกน เชน

1. ทาสวนใหเปน 10 , 100 , 1,000,.......

เชน 0.2 = 102

0.25 =

×+

×

10015

1012

= 100

5102+

= 10025

เพอใหเกดความรวดเรวในการเปลยนทศนยมเปนเศษสวน อาจทาไดโดยการเลอน

จดทศนยมและตวหารเปนจานวน 10, 100 หรอ 1,000 ขนอยกบจานวนทศนยม เชน ถาทศนยม 1

ตาแหนง ตวทเปนสวนกจะเปน 10 ถา 2 ตาแหนง ตวทเปนสวนกจะเปน 100 หรอสรปไดวา จานวน

0 ทถดเลข 1 จะเทากบจานวนตาแหนงของทศนยม

หมายเหต เศษสวนทเปนลบเมอเขยนใหอยในรปทศนยมจะไดทศนยมทเปนลบ

เชน 10

7− = 7.0− ,

000,139−

= 039.0−

2.2 การเขยนทศนยมซาเปนเศษสวน

ทศนยมซา คอ จานวนเตมของทศนยมทซาๆ กน เชน 0.777.... เขยนแทนดวย 7.0

เมอจะเขยนใหเปนเศษสวน สามารถทาไดดงน

ตวอยางท 1 จงเปลยน 7.0 ใหเปนเศษสวน

วธทา 7.0 = 0.77777..... = X

ให X = 0.77777… -------------- (1)

(1) × 10 ------> 10X = 7.7777… -------------- (2)

(2) –(1) ------> 10X – X = 7.7777… - 0.777…

9X = 7

X = 97

∴ 7.0 = 97

23

4ตวอยางท 2 312.1 จงเปลยน เปนเศษสวน

2

จาก 312.1 2

2

= 1.2131313…

ให x = 1.2131313… -------------- (1)

×(1) 10 10x = 12.131313….. ---------------(2) ×(1) 1,000 1,000x = 1213.131313… ---------------(3)

(3) – (2) 1,000x – 10x = 1213 – 12 990x = 1213 – 12

990121213− x =

9901201 x =

ดงนน 2 312.1 2

9901201

=

3

จากตวอยาง สรปไดวา การเปลยนทศนยมซาเปนเศษสวนโดยวธลด ทาไดดงน

1. 7134.0 = 9900

373417 −

= 99003383

2.

เศษ เขยนจานวนทงหมดลบดวยจานวนทไมซา สวน แทนดวย 9 เทากบจานวนทซาและ

แทนดวย 0 เทากบจานวนไมซา

513.1 = 990

131315 −

= 990

1302 =

495651

3. 3410.3 = 9900

31031043 −

= 990030733

24


1. จงเปลยนเศษสวนตอไปนใหเปนทศนยม โดยการทาสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000, .......

1) 49

2) 431

........................................................... ............................................................

............................................................ ............................................................

3) 4039

4) 257

............................................................ ............................................................

............................................................ ............................................................

5) 81

6) 125

8

............................................................ ............................................................

............................................................ ............................................................

2. จงเปลยนเศษสวนตอไปนเปนทศนยม โดยการหารเศษสวน

1) 119

2) 713

............................................................ ............................................................

............................................................ ............................................................

3) 167

4) 45

............................................................ ............................................................

............................................................ ............................................................

5) 65

6) 538

............................................................ ............................................................

............................................................ ............................................................

25

เรองท 3 การเปรยบเทยบเศษสวนและทศนยม

3.1 การเปรยบเทยบเศษสวน

เศษสวนทเทากน

การหาเศษสวนทเทากน ใชจานวนทไมเทากบศนยมาคณหรอหารทงตวเศษและ

ตวสวน

เชน 43

= 2423

××

= 86

43

= 86

= 129

เปนเศษสวนทเทากน

43

= 3433

××

= 129

1812

= 218212

÷÷

= 96

32

96

1812

== เปนเศษสวนทเทากน

1812

= 618612

÷÷

= 32

เศษสวนทไมเทากน

การเปรยบเทยบเศษสวนทไมเทากนตองทาสวนใหเทากน โดยนา ค.ร.น. ของตว

สวนของเศษสวนทตองการเปรยบเทยบกน คณทงตวเศษและตวสวน เมอตวสวนเทากนแลวใหนา

ตวเศษมาเปรยบเทยบกน

เชน 54

มากกวาหรอนอยกวา 107

ค.ร.น. ของ 5 และ 10 คอ 10

54

= 2524

××

= 108

จะเหนวา 8 > 7

ดงนน 107

108> หรอ

107

54>

ยงมวธเปรยบเทยบโดยใชผลคณไขว ถาผลคณขางใดมคามากกวา เศษสวนขางนน

จะมคามากกวา

เชน 54

107

เปรยบเทยบ 104× กบ 75× จะเหนวา 3540 >

ดงนน 107

54>

26

ตวอยางท 1 จงเปรยบเทยบ 127

และ 1811

วธท 1 หา ค.ร.น. ของ 12 และ 18 ได 36

ทาสวนของเศษสวนทงสองใหเปน 36

31237××

= 3621

218211

××

= 3622

จะได 3622

> 3621

ดงนน 1811

> 127

วธท 2

127

1811

ผลจากการคณไขว จะได

7 × 18 และ 12 × 11

จะเหนวา 126 < 132

ดงนน 127

< 1811

2.1 เปรยบเทยบทศนยม

การเปรยบเทยบทศนยมทเปนบวก ใหพจารณาเลขโดดจากซายไปขวา ถาเลขโดด

ตวใดมคามากกวาทศนยม จานวนนนจะมคามากกวา เชน 38.586 กบ 38.498 ทศนยมใน

ตาแหนงท 1 ของทง 2 จานวนมเลขโดดคอ 5 และ 4 ตามลาดบ จะเหนไดวา 5 มากกวา 4

ดงนน 38.586 มากกวา 38.498

การเปรยบเทยบทศนยมทเปนลบ เชน -0.7 กบ -0.8

คาสมบรณของ -0.7 เทากบ 0.7

คาสมบรณของ -0.8 เทากบ 0.8

จานวนทมคาสมบรณนอยกวาจะเปนจานวนทมคามากกวา ดงนน

- 0.7 มากกวา - 0.8

27


1. ใหเตมตวเศษหรอตวสวนของเศษสวนลงใน เพอใหไดเศษสวนทเทากน

2. ใหเตมเครองหมาย > , < หรอ = ลงใน ใหถกตอง

28

3. ใหนกศกษาเตมเครองหมาย > , < หรอ = ระหวางจานวนสองจานวน

1) -0.500 ..............0.501 2) 103.012 ...................... – 0.501

3) 5.28 .................... 5.82 4) – 5.28 .......................... -5.28

5) 8.354 ................. 8.534 6) -8.544 ........................... -8.534

7) -13.06 ................. 13.06 8) 103.012 ....................... -103.012

9) -5.125 .................. -5.1250 10) -7.10 ......................... -7.01

4. ใหนกศกษาเรยงลาดบจานวนตอไปนจากคานอยไปคามาก

1) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000

2) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017

3) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500

4) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50

29

เรองท 4 การบวก ลบ คณ หารเศษสวนและทศนยม

4.1 การบวกเศษสวน

วธการหาผลบวกของเศษสวน สามารถทาไดดงน

1) หา ค.ร.น.ของตวสวน

2) ทาเศษสวนแตละจานวนใหมตวสวนเทากบ ค.ร.น.ทหาไดจากขอ 1

3) บวกตวเศษเขาดวยกนโดยทตวสวนยงคงเทาเดม

ตวอยางท 1 จงหาผลบวก

วธทา ค.ร.น. ของ 3 กบ 4 คอ 12

= 129

124+

ตอบ

4.2 การลบเศษสวน

การลบเศษสวน ใชหลกการเดยวกนกบการลบจานวนเตม คอ

ตวอยางท 1 จงหาผลลบ

วธทา ค.ร.น. ของ 6 และ 12 คอ 12

=

=

××

+

××

11217

2625

=

ตวตง - ตวลบ = ตวตง + จานวนตรงขามของตวลบ

30

= 127

1210

+

= 1217

= 1251

ตอบ

31


1. ใหหาผลลพธตอไปน

2. ใหเตมจานวนลงใน แลวทาใหประโยคเปนจรง

3. ใหหาจานวนมาเตมลงใน แลวทาใหประโยคเปนจรง

32


33

4.5 การคณเศษสวน

ผลคณของเศษสวนสองจานวน คอ เศษสวนซงมตวเศษเทากบผลคณของตวเศษสอง

จานวนและตวสวนเทากบผลคณของตวสวนสองจานวนนน

เมอba

และ dc

เปนเศษสวน ซง b , d 0

ผลคณของba

และ dc

หาไดจากกฎ ba

×dc

=dbca

××

ตวอยางท 1 จงหาผลคณของจานวน

วธทา

=

=

ตอบ

ตวอยางท 2 จงหาผลคณของ 10125

52

21

××

วธทา 101

511

11

××

= 10111

511××××

= 101

5

ตอบ 101

5

34


จงหาผลคณตอไปน

1) 511

312 ×

2) 95

511 ×

3) 911

1125 ×

4) 107

3216 ×

5) 521

322

165

××

6) 61

43

326 ××

7) 1835

2524

4915

××

8) 2210

2511

2710

2524

×××

35

4.6 การหารเศษสวน

การหารจานวนทเปนเศษสวนไมมสมบตการสลบท และสมบตการเปลยนหม

เมอ ba

และ dc

แทนเศษสวนใดๆ และ

พจารณาผลหารทเกดจากการหาร ba

ดวย dc

ดงน

dc

ba÷ =

dcba

=

cd

dc

cd

ba

×

× =

1cd

ba×

= cd

ba×

ดงนน dc

ba÷ =

cd

ba×

ตวอยางท 1 จงหาผลหารของ

วธทา

=

ตอบ

36


1. จงหาผลลพธตอไปน


37

4.7 การนาความรเรองเศษสวนไปใชในการแกโจทยปญหา

โจทยปญหาเศษสวน

การทาโจทยปญหาเศษสวน ควรกาหนดจานวนทงหมดเปน 1 หนวย แลวดาเนนการตาม

โจทย เชน นกเรยนหองหนง เปนชาย 53

ของจานวนนกเรยนในหอง

ดงนน หองนเปนนกเรยนหญง 1 - 53

= 52

ของจานวนนกเรยนในหอง

ตวอยางท 1 ถงใบหนงจนา 140 ลตร มนาอย 43

ถง หลงจากใชนาไปจานวนหนงจะ

เหลอนาอย 21

ถง จงหาวาใชนาไปเทาไหร

วธทา มนาในถง 43

× 140 = 105 ลตร

หลงจากใชนาเหลอนาในถง ×21

140 = 70 ลตร

ดงนนใชนาไปจานวน 70105 − = 35 ลตร

38


1. ใหหาคาตอบของโจทยปญหาตอไปน

1) ตองมเงน 320 บาท ซอรองเทา 52

ของเงนทงหมด ซอเสอ 165

ของเงนทเหลอ จง

หาวาตองเหลอเงนเทาไร

2) หองประชมหองหนงมความยาวเปน 433 ของความกวาง และความกวางเปน

524 ของ

ความสง ถาหองสง 213 เมตร และมนกเรยน 462 คน จงหาวา โดยเฉลยนกเรยนคนหนงมอากาศ

หายใจกลกบาศกเมตร

3) จางคนปลกหญาบนสนามรปสเหลยมผนผากวาง 546 เมตร ยาว

2110 เมตร ใน

ราคาตารางเมตรละ 45 บาท จะตองจายเงนทงหมดเทาไร

4) โทรทศนเครองหนงประกาศลดราคาลง 41

ของราคาทปดไวเดม แตผซอเปนเพอน

กบผขายลดใหอก51

ของราคาทประกาศลดแลวในครงแรก ซงปรากฏวาผซอจายไป 4,200 บาท

จงหาวาโทรทศนเครองนปดราคาเดมไวเทาไร

5) ในการเดนทางครงหนงเสยคาทพก 52

ของคาใชจายทงหมด คาเดนทาง 41

ของ

คาใชจายทงหมด คาใชจายอน ๆ คดเปนเงน 1,470 บาท จงหาวาคาใชจายทงหมดเปนเงนเทาไร

39

4.8 การบวก และการลบทศนยม

การหาผลบวกของทศนยมใดๆ จะใชหลกเกณฑดงน

1. การหาผลบวกระหวางทศนยมทเปนบวก ใหนาคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปน

จานวนบวก

2. การหาผลบวกระหวางทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปน

จานวนลบ

3. การหาผลบวกระหวางทศนยมทเปนบวกกบทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาลบ

กนแลวตอบเปนจานวนบวกหรอจานวนลบตามจานวนทมคาสมบรณมากกวา

การหาผลลบของทศนยมใด ๆ ใชขอตกลงเดยวกนกบทใชในการหาผลลบของจานวน

เตม คอ

สรป การบวกและการลบทศนยม จะตองตงใหจดทศนยมตรงกนกอน แลวจงบวก

ลบ จานวนในแตละหลก ถาจานวนตาแหนงทศนยมไมเทากน นยมเตมศนยขางทายเพอให

จานวนตาแหนงทศนยมเทากน

ตวตง - ตวลบ = ตวตง + จานวนตรงขามของตวลบ

40


1. จงเตมผลลพธตอไปน

41

4.9 การคณทศนยม

การคณทศนยม มหลกเกณฑดงน

1. การหาผลคณระหวางทศนยมทเปนบวก ใหนาคาสมบรณมาคณกนแลวตอบเปน


2. การหาผลคณระหวางทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาคณกนแลวตอบเปน


3. การหาผลคณระหวางทศนยมทเปนบวกกบทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาคณ

กนแลวตอบเปนจานวนลบ

หมายเหต ผลคณทศนยม จะมจานวนหลกทศนยมเทากบผลบวกของจานวนหลก

ทศนยมของตวตงและจานวนหลกทศนยมของตวคณ

ตวอยางท 1 จงหาผลคณของ

1. 1.25 ×2.431

1.25 ×2.431 = 2.431 × 1.25

2.431

12155

125

4862

303875 0

2431 0

∴ 1.25 ×2.431 = 3.03875

2. -5.12 × 0.125

512

2560

125

1024

64000 0

512 0

∴-5.12 × 0.125 = - 0.64000 = -0.64

×

×

42

4.10 การหารทศนยม

การหารทศนยม มหลกเกณฑดงน

1. การหาผลหารระหวางทศนยมทเปนบวก ใหนาคาสมบรณมาหารกนแลวตอบเปน


2. การหาผลหารระหวางทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาหารกนแลวตอบเปน


3. การหาผลหารระหวางทศนยมทเปนบวกกบทศนยมทเปนลบ ใหนาคาสมบรณมาหาร

กนแลวตอบเปนจานวนลบ ขอสาคญตองทาใหตวหารเปนจานวนเตม

ตวอยางท 1 จงหาคาของ

1. 15.015 ÷ (-0.15)

วธทา 15.015 ÷ (-0.15) = 15.0

015.15−

= 10015.0100015.15

×−×

= 15

5.1501−

1.100

155.150115

00

0

01

0

15

15

∴15.015 ÷ (-0.15) = -100.1

2. (-37.65) ÷ (-1.5)

วธทา (-37.65) ÷ (-1.5) = 5.165.37

−−

= 105.1

1065.37××

= 15

5.376

1.125

305.37615

76

75

15

15

∴(-37.65) ÷ (-1.5) = 25.1

43


1. จงหาคาของ


1) {(-12.4) ×33.6} +{(-12.4 × 66.4)

………………………………………………………………………………………………...

2) {(-3.145) × 2.76} + {(-27.39) ÷18.26}

………………………………………………………………………………………………...

3) (-14.307 – 2.809) + (6.78 ÷1.5)

………………………………………………………………………………………………...

4) {(0.036 ÷0.15) + (-4.07 ×1.1)} ของ (-5.8)

………………………………………………………………………………………………...

5) (-1.58 ÷0.15) – [ 2× (-3.6)]

………………………………………………………………………………………………...

44

4.11 การนาความรเรองทศนยมไปใชในการแกโจทยปญหา

ตวอยางท 1 เหลกเสนกลมขนาดเสนผานศนยกลาง 1.75 เซนตเมตร ยาว 1 เมตร จะ

หนก 3.862 กโลกรม ถาเหลกเสนขนาดเดยวกนนยาว 1.25 เมตร จะหนกกกโลกรม

วธทา เหลกเสนกลมมขนาดเสนผานศนยกลาง 1.75 เซนตเมตร

และยาว 100 เซนตเมตร หนก 3.862 กโลกรม

ถายาว 1 เซนตเมตร หนก 03862.0100862.3

= กโลกรม

ดงนน เหลกเสนขนาดเดมแตยาว 125 เซนตเมตร หนก 12503862.0 ×

= 8275.4 กโลกรม

เหลกเสนขนาดเดมยาว 25.1 เมตร หนก 8275.4 กโลกรม

ตวอยางท 2 รปสเหลยมผนผารปหนงมพนท 11.3364 ตารางเซนตเมตร ถาดานยาว

เทากบ 4.23 เซนตเมตร ดานยาวยาวกวาดานกวางเทาไร

วธทา พนทสเหลยมผนผา = กวาง × ยาว

11.3364 = กวาง × 4.23

ดงนน กวาง = 23.4

3364.11

= 68.2 เซนตเมตร

ดานยาวยาวกวาดานขาง = 68.223.4 −

= 55.1 เซนตเมตร

ดานยาวยาวกวาดานกวาง = 55.1 เซนตเมตร

45


1. ใหนกศกษาแกปญหาโจทยตอไปน

1) เชอกยาว 17.25 เมตร นาอกเสนหนงยาว 5.2 เมตร มาผกตอกนทาใหเสยเชอกตรง

รอยตอ 0.15 เมตร นาเชอกทตอแลวมาวางเปนรปสเหลยมผนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5

เมตร ดานยาวจะยาวดานละกเมตร

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………

2. นาตาลถงหนงหนก 9.35 กโลกรม จานวน 16 ถง ใชทาขนมเฉลยแลววนละ 4.4 กโลกรม

จะใชนาตาลไดทงหมดกวน

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………

3. หองรปสเหลยมผนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นากระเบองรปสเหลยมจตรสขนาด 32

ตารางเซนตเมตร มาปหองจะตองใชกระเบองกแผน

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………

4. มทองคาแทงหนงหนก 12.04 กรม ซอเพมอก 25.22 กรม แบงขายไปสองครง หนกครงละ

8.02 กรม ทเหลอนาไปทาแหวน 5 วง หนกวงละ 3.45 กรมเทาๆ กน จะเหลอทองอกกกรม

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………

46

บทท 3

เลขยกกาลง


สญลกษณของการเขยนแทนการคณจานวนเดยวกนซา ๆ หลาย ๆ ครง เขยนแทนดวย na

อานวา a ยกกาลง n และการเขยนแสดงจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตรได


1. บอกความหมายและเขยนเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมแทนจานวนท

กาหนดใหได

2. บอกและนาเลขยกกาลงมาใชในการเขยนแสดงจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตรได

3. อธบายการคณและหารของเลขยกกาลงทมฐานเดยวกน และเลขชกาลงเปนจานวนเตมได


เรองท 1 ความหมายและการเขยนเลขยกกาลง

เรองท 2 การเขยนแสดงจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตร

เรองท 3 การคณและการหารเลขยกกาลงทมฐานเดยวกนและเลขชกาลงเปนจานวนเตม

47

เรองท 1 ความหมายและการเขยนเลขยกกาลง

เลขยกกาลง หมายถง การใชสญลกษณ เขยนแทนจานวนทเกดขนจากการคณ ซาๆ กน

หลายๆ ครง เชน 3333 ××× สามารถเขยนแทนไดดวย 43 อานวา สามยกกาลงส ซงมบทนยาม

ดงน

บทนยาม

na

ถา a แทนจานวนใด ๆ และ n แทนจานวนเตมบวก “a ยกกาลง n” หรอ “a

กาลง n” เขยนแทนดวย = n

aaaa ×××× ......

เรยก na วาเลขยกกาลงทม a เปนฐานและ n เปนเลขชกาลง เชน

54 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4

54 ม 4 เปนฐาน และม 5 เปนเลขชกาลง

สญลกษณ 54 อานวา “สยกกาลงหา” หรอ “สกาลงหา” หรอกาลงหาของส

( )62− แทน ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2−

( )62− ม ( )2− เปนฐาน และม 6 เปนเลขชกาลง

ในทานองเดยวกนสญลกษณ ( )62− อานวา “ลบสองทงหมดยกกาลงหก” หรอกาลง

หกของลบสอง

จงพจารณาตารางตอไปน

เลขยกกาลง ฐาน เลขชกาลง เขยนในรปของการคณ แทนจานวน

33 3 3 3×3×3 27

54 4 5 4×4×4×4×4 1,024

( )42− -2 4 (-2) ×(-2) ×(-2) ×(-2) 16 2

21

2

1 2

21 ×

21

41

yx x y X×X×X…(y ครง) X×X×X…(y ครง)

ตวอยาง จงตอบคาถามตอไปน

1. 38 อานวาอยางไร

2. 310 มจานวนใดเปนฐาน

3. 511 มจานวนใดเปนเลขชกาลง

4. 35 มความหมายอยางไร

5. ( )55− อานวาอยางไร

วธทา 1. 38 อานวา 8 ยกกาลง 3

2. 310 ม 10 เปนฐาน

3. 511 ม 5 เปนเลขชกาลง

4. 35 มความหมายเทากบ 5 ×5×5

5. ( )55− อานวา (-5) ลบหาทงหมดยกกาลงหา

48

แบบฝกหดท 1 1. จงเขยนจานวนตอไปนในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมทมากกวา 1 พรอมทง

บอกฐานและเลขชกาลง

1.1 25 = ……………………………….=…………………………..

ม = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชกาลง

1.2 64 = ……………………………….=…………………………..


1.3 169 = ……………………………….=…………………………..


1.4 729 = ……………………………….=…………………………..


1.5 -32 = ……………………………….=…………………………..


1.6 -243 = ……………………………….=…………………………..


1.7 0.125 = ……………………………….=…………………………..


2. จงเขยนจานวนทแทนดวยสญลกษณตอไปน

2.1 82 =…………………………………=………………………………

2.2 ( )43− =…………………………………=………………………………

2.3 ( )53.0 =…………………………………=………………………………

2.4 ( )602.0 =…………………………………=………………………………

2.5 3

31

=…………………………………=………………………………

2.6 3

72

=…………………………………=………………………………

2.7 ( )45− =…………………………………=………………………………

2.8 32− =…………………………………=………………………………

2.9 5

101

=…………………………………=………………………………

2.10 ( )65.0 =…………………………………=………………………………

49

เรองท 2 การเขยนแสดงจานวนในรปสญกรณวทยาศาสตร

การเขยนจานวนทมคามาก ๆ ใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร มรปทวไปเปน A × n10

เมอ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจานวนเตม

พจารณาการเขยนจานวนทมคามาก ๆ ใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตรตอไปน

1. 2,000 = 2 × 1,000

= 2 × 310

2. 800,000 = 8 × 100,000

= 8 × 510

ตวอยางท 1 จงเขยน 600,000,000 ใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร

วธทา 600,000,000 = 6 × 100,000,000

= 6 × 810

ตอบ 6 × 810

ตวอยางท 2 จงเขยน 73,200,000 ใหอยในรปสญกรณวทยาศาสตร

วธทา 73,200,000 = 732 × 100,000

= 7.32 × 100 × 100,000

= 7.32 × 210 × 510

= 7.32 × 710

ตวอยางท 3 ดาวเสารมเสนผานศนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขยนใหอยใน

รปสญกรณวทยาศาสตร

วธทา ดาวเสารมเสนผานศนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร

113,000,000 = 113 × 1,000,000

= 113 × 100 × 1,000,000

= 1.13 × 210 × 610

= 1.13 × 810

ตอบ 1.13 × 810 เมตร

50


1. จงเขยนจานวนตอไปนในรปสญกรณวทยาศาสตร

1. 400,000 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

2. 23,000,000,000 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

3. 639,000,000 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

4. 247,500,000 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

2. ดาวเสารอยหางจากดวงอาทตยประมาณ1,430,000,000 กโลเมตร จงเขยนใหอยในรปสญกรณ

วทยาศาสตร 1,430,000,000 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

=………………………………………………………………

3. สญกรณวทยาศาสตรในแตละขอตอไปนแทนจานวนใด 3.1 2 × 610 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

3.2 4.8 × 1310 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

3.3 4.03 × 910 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

3.4 9.125 × 510 =………………………………………………………………

=………………………………………………………………

51

3. การคณและการหารเลขยกกาลงทมฐานเดยวกน และเปนเลขชกาลงเปนจานวนเตม

3.1 การคณเลขยกกาลงเมอเลขชกาลงเปนจานวนเตม

พจารณาการคณเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดยวกนตอไปน

32 × 42 = ( ) ( )2222222 ××××××

= 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 = 72 หรอ 432 +

32 33 × = ( ) ( )33333 ××××

= 3 × 3 × 3 × 3 ×3 = 53 หรอ 323 +

23

31

31

×

=

×

×

×

×

31

31

31

31

31

=

×

×

×

×

31

31

31

31

31

= 5

31

หรอ 23

31

+

การคณเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดยวกนและมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวกเปนไป

ตามสมบตของการคณเลขยกกาลงดงน

เมอ a แทนจานวนใด ๆ m และ n แทนจานวนเตมบวก nm aa × = nma +

52

แบบฝกหดท 3 1. จงเขยนจานวนทแทนดวยสญลกษณตอไปน

1.1 65 22 × =……………………………=…………………………………

1.2 25 32 × =……………………………=…………………………………

1.3 ( )332× =……………………………=…………………………………

1.4 ( )275.0 =……………………………=…………………………………

1.5 22

331

×

− =……………………………=…………………………………

1.6 ( )323×− =……………………………=…………………………………

1.7 43

25

52

×

=……………………………=…………………………………

1.8 56

27

71

×

=……………………………=…………………………………

1.9 ( )4

3

215.0

=……………………………=…………………………………

1.10 ( ) ( )32 1111 −− =……………………………=…………………………………

2. จงเขยนผลคณของจานวนในแตละขอตอไปนในรปเลขยกกาลง

2.1 732 222 ×× =……………………………=…………………………………

2.2 ( ) ( ) ( )53 333 −×−×− =……………………………=………………………………

2.3 5 × 625 × 25 =……………………………=…………………………………

2.4 121 × 11 × 211 =……………………………=…………………………………

2.5 ( ) ( ) ( )734 333 −×−×− =……………………………=………………………………

53

การหารเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดยวกนและฐานไมเทากบศนยมเลขชกาลงเปน

จานวนเตมบวกในรปของ

3.2 การหารเลขยกกาลงเมอเลขชกาลงเปนจานวนเตม

ma ÷ na จะพจารณาเปน 3 กรณ คอ เมอ m > n , m = n และ m <

n ดงน

กรณท 1 ma ÷ na เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนย m,n แทนจานวนเตมบวก

และ m > n พจารณาการหารเลขยกกาลงตอไปน

1. 2

5

22

= 22

22222×

××××

= 222 ××

= 32 หรอ 252 −

2. 7

533

= 33333

3333333××××

××××××

= 23 หรอ 573 −

3. ( )( )3

8

55

−−

= ( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )55555555555

−−−−−−−−−−−

= ( )( )( )( )( )55555 −−−−−

= ( )55− หรอ ( ) 385 −−

จากการหารเลขยกกาลงขางตนจะเหนวา ผลหารเปนเลขยกกาลงทมฐานเปนจานวนเดม

และเลขชกาลงเทากบเลขชกาลงของตวตง ลบดวยเลขชกาลงของตวหาร ซงเปนไปตามสมบตของ

การหารเลขยกกาลงดงน

เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนย m , n แทนจานวนเตมบวก และ m > n nm aa ÷ = nma −

54

ตวอยางท 1 จงหาผลลพธ 410 55 ÷

วธทา 4

10

55

= 4105 −

= 65 ตอบ 65 ตวอยางท 2 จงหาผลลพธ ( ) ( )36 2.02.0 ÷

วธทา ( )( )3

6

2.02.0

= ( ) 362.0 −

= ( )32.0

= ( )( )( )2.02.02.0

= 008.0

ตอบ 008.0

กรณท 2 nm aa ÷ เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนย m , n แทนจานวนเตมบวก

และ m = n พจารณา 44 55 ÷

ถาใชบทนยามของเลขยกกาลงจะได 4

4

55

= 55555555

××××××

= 1

ถาลองใชสมบตของการหารเลขยกกาลง nm aa ÷ = nma − , oa ≠ ในกรณท m = n จะได

4

4

55

= 445 −

= 05

แตจากการใชบทนยามของเลขยกกาลงดงทแสดงไวขางตน เราไดวา 155 44 =÷

ดงนน เพอใหสมบตของการหารเลขยกกาลง nm aa ÷ = nma − ใชไดในกรณท m = n

ดวยจงตองให 150 = ในกรณทว ๆ ไปมบทนยามของ 0a ดงน

จะเหนวา nm aa ÷ = nma − , oa ≠ เปนจรงในกรณท m = n ดวย

บทนยาม เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนย 10 =a

55

ตวอยางท 1 จงหาผลลพธ 8

53

777 ×

วธทา 8

53

777 ×

= 8

83

77 +

= 8

8

77

= 887 −

= 07

= 1

ตอบ 1

กรณท 3 nm aa ÷ เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนย m , n แทนจานวนเตมบวก

และ m < n พจารณา 85 22 ÷ ถาใชบทนยามของเลขยกกาลง

จะได 8

5

22

= 22222222

22222×××××××

××××

= 222

1××

= 321

ถาลองใชสมบตของการหารเลขยกกาลง nm aa ÷ = nma − , 0≠a ในกรณท m < n จะได

8

5

22

= 852 −

= 32−

แตจากการใชบทนยามของเลขยกกาลงขางตน เราไดวา 85 22 ÷ = 321

ดงนนเพอให

สมบตของการหารเลขยกกาลง nm aa ÷ = nma − ใชไดในกรณท m < n ดวยจงตองให

33

212 =− ในกรณทว ๆ ไปมบทนยามของ na − ดงน

บทนยาม เมอ a แทนจานวนใด ๆ ทไมใชศนยและ n แทนจานวนเตมบวก

na − = na1

56

ตวอยางท 1 จงหาผลลพธ 2313

746

111111111111××××

ในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนบวก

วธทา 2313

746

111111111111××××

= 2313

746

1111

++

++

= 18

17

1111

= 181711 −

= 111−

= 111

ตอบ 111

57

แบบฝกหดท 4 1. จงหาผลลพธ

1.1 29 22 ÷

1.2 336 ÷

1.3 63 1111 ÷

1.4 24

51

51

÷

1.5 ( ) ( )45 03.003.0 ÷

1.6 ( )7

5

548.0

÷

1.7 ( ) 743 555 ÷×

1.8 ( ) 46 777 ÷×

1.9 ( )542 131313 ÷×

1.10 ( ) 476 mmm ×÷ เมอ 0≠m

2. จงหาผลลพธตอไปนในรปทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวก 2.1 43 55 −×

2.2 2

68

333 −×

2.3 44 6 ÷−

2.4 ( )0

16

222

−× −

2.5 ( )( )3

2

5.15.1

2.6 52 xx ÷ เมอ 0≠x

2.7 ( ) ( )503 aaaa ×÷× เมอ 0≠a

2.8 5

7

−

−

mm

เมอ 0≠m

58

บทท 4

อตราสวนและรอยละ


1. อตราสวนเปนการเปรยบเทยบปรมาณ 2 ปรมาณขนไป จะมหนวยเหมอนกน หรอ

ตางกนกได

2. รอยละเปนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบปรมาณใดปรมาณหนง ตอ 100


1. บอกและกาหนดอตราสวนได

2. สามารถคานวณสดสวนได

3. สามารถหาคารอยละได

4. สามารถแกโจทยปญหาในสถานการณตางๆ เกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละได


เรองท 1 อตราสวน

เรองท 2 สดสวน

เรองท 3 รอยละ

เรองท 4 การแกโจทยปญหาเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละ

59

เรองท 1 อตราสวน

อตราสวน (Ratio) ใชเปรยบเทยบปรมาณ 2 ปรมาณ หรอมากกวากได โดยทปรมาณ 2

ปรมาณทนามาเปรยบเทยบกนนนจะมหนวยเหมอนกน หรอตางกนกได

บทนยาม อตราสวนของปรมาณ a ตอ ปรมาณ b เขยนแทนดวย a : b หรอ ba

เรยก a วา จานวนแรกหรอจานวนทหนงของอตราสวน

เรยก b วา จานวนหลงหรอจานวนทสองของอตราสวน

(อตราสวน a : b หรอ ba

อานวา a ตอ b )

การเขยนอตราสวน ม 2 แบบ

1. ปรมาณ 2 ปรมาณมหนวยเหมอนกน

เชน โตะตวหนงมความกวาง 50 เซนตเมตร ยาว 120 เซนตเมตร

เขยนเปนอตราสวนไดวา

ความกวางตอความยาวของโตะ เทากบ 50 : 120

2. ปรมาณสองปรมาณมหนวยตางกน

เชน นมเปรยว 4 กลอง ราคา 23 บาท

เขยนเปนอตราสวนไดวา

อตราสวนของนมเปรยวเปนกลองตอราคาเปนบาท เปน 4 : 23

ตวอยางเชน

ถาเปนปรมาณทมหนวยเหมอนกน อตราสวนจะไมมหนวยเขยนกากบ เชน

มานะหนก 25 กโลกรม มานหนก 18 กโลกรม

จะกลาววาอตราสวนของนาหนกของมานะตอมานเทากบ 25: 18 หรอ 1825

ถาเปนปรมาณทมหนวยตางกน อตราสวนจะตองเขยนหนวยแตละประเภทกากบดวย เชน

สดาสง 160 เซนตเมตร หนก 34 กโลกรม

อตราสวนความสงตอนาหนกของสดา เทากบ 160 เซนตเมตร : 34 กโลกรม

60

1. จงเขยนอตราสวนจากขอความตอไปน


1). ระยะทางในแผนท 1 เซนตเมตร แทนระยะทางจรง 100 กโลเมตร

……………………………………………………………………………………………...

2). รถยนตแลนไดระยะทาง 200 กโลเมตร ในเวลา 3 ชวโมง

……………………………………………………………………………………………...

3). โรงเรยนแหงหนงมคร 40 คน นกเรยน 1,000 คน

……………………………………………………………………………………………...

4). อตราการเตนของหวใจมนษยเปน 72 ครงตอนาท

……………………………………………………………………………………………...

2. สลากกนแบงรฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลก เชน 889748 ซงมหมายเลขตางกนทงหมด

1,000,000 ฉบบ ในจานวนทงหมดนมสลากทถกรางวลเลขทาย 2 ตวทงหมด 10,000 ฉบบ ถก

รางวลเลขทาย 3 ตว 4,000 ฉบบ และถกรางวลท 1 อก 1 ฉบบ

จงเขยนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบจานวนตอไปน

1) จานวนทถกรางวลท 1 ตอทงหมด

……………………………………………………………………………………………...

2) จานวนทถกรางวลเลขทาย 3 ตวตอทงหมด

……………………………………………………………………………………………...

3) จานวนทถกรางวลเลขทาย 2 ตวตอทงหมด

……………………………………………………………………………………………...

4) อตราสวนของสลากทถกรางวลเลขทาย 2 ตว ตอเลขทาย 3 ตว

……………………………………………………………………………………………...

3. พอคาจดลกกวาดคละสขนาดเทากนลงในขวดโหลเดยวกน โดยนบเปนชดดงน “ลกกวาดสแดง

3 เมด สเขยว 2 เมด สเหลอง 5 เมด” จงหา

1) อตราสวนจานวนลกกวาดสแดงตอลกกวาดทงหมด

……………………………………………………………………………………………...

2) อตราสวนของจานวนลกกวาดสแดงตอลกกวาดสเหลอง

……………………………………………………………………………………………...

3) ถาสมหยบลกกวาดขนมาจากโหลจานวน 5 เมด นาจะไดลกกวาดสใดมากทสด เพราะ

เหตใด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

61

อตราสวนทเทากน

การหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดให ทาไดโดยการคณหรอหารอตราสวน

ทงตวแรกและตวทสองดวยจานวนเดยวกน ตามหลกการ ดงน

หลกการคณ เมอคณแตละจานวนในอตราสวนใดดวยจานวนเดยวกน โดยทจานวนนนไม

เทากบศนย จะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม

นนคอ dbda

cbca

ba

××

=××

= เมอ c ≠ 0 และ d ≠0

หลกการหาร เมอหารแตละจานวนในอตราสวนใดดวยจานวนเดยวกน โดยทจานวนนนไม

เทากบศนย จะไดอตราสวนใหมเทากบอตราสวนเดม

นนคอ dbda

cbca

ba

÷÷

=÷÷

= เมอ c ≠ 0 และ d ≠0

ตวอยาง

จงหาอตราสวนอก 3 อตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนด

วธทา 3 : 4 หรอ

16

12

44

43

4

3=

×

×=

36

27

94

93

4

3=

×

×=

44

33

114

113

4

3=

×

×=

ดงนน , , เปนอตราสวนทเทากบอตราสวน 3 : 4

การตรวจสอบการเทากนของอตราสวนใดๆ ทาไดโดยใชลกษณะการคณไขว ไดโดยใชวธดงน

เมอ a , b, c และ d เปนจานวนนบ

1) ถา cbda ×=× แลว dc

ba=

2) ถา cbda ×≠× แลว dc

ba≠

62

ตวอยาง จงตรวจสอบวาอตราสวนในแตละขอตอไปนเทากนหรอไม

1) 43

และ 65

2) 3026

และ 4539

1) พจารณาการคณไขวของ 43

และ 65

เนองจาก 63× = 18

54× = 20

ดงนน 63× ≠ 54×

นนคอ 43

≠ 65

2) พจารณาการคณไขวของ 3026

และ 4539

เนองจาก 4526× = 1,170

3930× = 1,170

ดงนน 4526× = 3930×

นนคอ 3026

= 4539

1. ถาอตราการแลกเปลยนเงนดอลลารตอเงนหนงบาทเทากบ 1 : 43 จงเตมราคาเงนในตาราง


2. จงเขยนอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดใหตอไปนมาอก 3 อตราสวน

1) 32

= ...............................................................................................................................

2) 95

= ...............................................................................................................................

63

3. จงตรวจสอบวาอตราสวนตอไปนเทากนหรอไม

4. จงทาใหอตราสวนตอไปนมหนวยเดยวกนและอยในรปอยางงาย

ตวอยาง อตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 เซนตเมตร : 1.2 เมตร

มความหมายเหมอนกบ

50 เซนตเมตร : 1.2 x 100 เซนตเมตร

ดงนน อตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 : 120 หรอ 5 : 12

1) อตราสวนของจานวนวนทนาย ก. ทางาน ตอชวโมงทนาย ข. ทางาน เปน 2 วน : 10 ชวโมง

ดงนน อตราสวนเวลาทนาย ก. ทางาน ตอเวลาทนาย ข. ทางานเปน

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2) อตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรยนเปน 200 เมตร : 1.5

กโลเมตร ดงนน อตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรยนเปน

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

64

อตราสวนตอเนอง (อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน)

ในสถานการณจรงทเกยวกบชวตประจาวน เรามกจะพบความสมพนธของจานวนหลาย ๆ

จานวน เชน ขนมผงบานคณยาย ใชสวนผสมดงน

แปงขาวเจา 3 ถวยตวง

นากะทเขมขน 1 ถวยตวง

นาตาลมะพราว 21

ถวยตวง

นนคอ อตราสวนของจานวนแปงขาวเจาตอนากะทเปน 3 : 1 หรอ 6 : 2

อตราสวนของจานวนนากะทตอนาตาลมะพราวเปน 1 : 21

หรอ 2 : 1

อตราสวนของจานวนแปงขาวเจาตอนาตาลมะพราวเปน 3 : 21

หรอ 6 : 1 หรอเขยนในรป

อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน ดงน

อตราสวนของแปงขาวเจาตอนากะท ตอนาตาลมะพราว เปน 3 : 1 : 21

หรอ 6 : 2 : 1

ตวอยาง หองเรยนหองหนงมอตราสวนของความกวางตอความยาวหองเปน 3 : 4 และความสงตอ

ความยาวของหองเปน 1 : 2 จงหาอตราสวนของความกวาง : ความยาว : ความสงของหอง

วธทา อตราสวนความกวาง : ความยาวของหอง เทากบ 3 : 4

อตราสวนความสง : ความยาวของหอง เทากบ 1 : 2 หรอ 1 x 2 : 2 x 2

เทากบ 2 : 4

นนคอ อตราสวนความกวางตอความยาว ตอความสงของหอง

เทากบ 3 : 4 : 2

65


1. พอแบงเงนใหลกสามคนโดยกาหนด

อตราสวนของจานวนเงนลกคนโต ตอคนกลาง ตอคนเลกเปน 5 : 3 : 2 จงหาอตราสวนตอไปน

1) อตราสวนจานวนเงนทลกคนโตไดรบตอลกคนเลก

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2) อตราสวนจานวนเงนทลกคนเลกไดรบตอลกคนกลาง

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

3) อตราสวนจานวนเงนทลกคนกลางไดรบตอเงนทงหมด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

4) อตราสวนจานวนเงนทลกคนเลกไดรบตอเงนทงหมด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2. เศรษฐคนหนงไดเขยนพนยกรรมไวกอนจะเสยชวตวา ถาภรรยาทกาลงตงครรภคลอดลกเปนชาย

ใหแบงเงนในพนยกรรมเปนอตราสวนเงนของภรรยาตอบตรชายเปน 1 : 2 แตถาคลอดลกเปนหญง

ใหแบงเงนในพนยกรรมเปนอตราสวนเงนของภรรยาตอบตรหญงเปน 2 : 1 เมอเศรษฐคนนเสยชวต

ลงปรากฏวาภรรยาคลอดลกแฝด เปนชาย 1 คน หญง 1 คน จงหาอตราสวนของเงนในพนยกรรม

ของภรรยาตอบตรชาย ตอบตรหญง

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

66

เรองท 2 สดสวน

สดสวนเปนการเขยนแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวน

เชน a : b = c : d หรอ d

c

b

a= อานวา เอตอบ เทากบ ซตอด

ตวอยางท จงหาคา m ในสดสวน 1253

=m

วธท 11253

=m

5312

5353

×

×=

m (ทาเศษใหเทากบ 3 โดยคณดวย

53

)

2.7

33=

m

ดงนน m มคาเทากบ 7.2

วธท 21253

=m

12

53=

m (คณไขว)

m=×5123

ดงนน m= 7.2

1. จงเขยนสดสวนจากอตราสวนตอไปน


1) 3 ตอ 4 เทากบ 6 ตอ 8 ……………………………………………………..

2) A ตอ 7 เทากบ 9 ตอ 27 ……………………………………………………..

3) 12 ตอ 10 เทากบ B ตอ 5 ……………………………………………………..

4) 5 ตอ 4 เทากบ 65 ตอ D ……………………………………………………..

2. จงหาคาตวแปรจากสดสวนทกาหนดใหตอไปน

1) 1512

3=

A

……………………………………………………..………………………………………………

2) 28213

=B

……………………………………………………..………………………………………………

67

การแกโจทยปญหาโดยใชสดสวน

ในชวตประจาวนเราจะพบสถานการณทตองแกไขปญหาโดยการใชหลกการคดคานวณ

เชน

กาหนดอตราสวนของเครองดมโกโกสาเรจรป 1 ถวย ตอผงโกโก 2 ชอนโตะ ตอนาตาล

1 ชอนโตะ ตอนาตมสก 1 ถวย เทากบ 1 : 2 : 1 : 1

ถามผงโกโกทงหมด 30 ชอนโตะ

สมมตวา ชงเครองดมได A ถวย ใชนาตาล B ชอนโตะ ครมเทยม C ชอนโตะ และนาตมสก

D ถวย

ดงนน อตราสวนของจานวนถวยโกโกทชงไดตอจานวนผงโกโก เทากบ 1 ถวย ตอ 2 ชอน

โตะ หรอ A ถวย ตอ 30 ชอนโตะ

นนคอ 1 : 2 = A : 30

หรอ 21

= 30A

จะไดวา 1 x 30 = A x 2

A = 15

ดงนน ผงโกโก 30 ชอนโตะ จะชงเครองดมได 15 ถวย

ตวอยาง ซอสมโอมา 3 ลก ราคา 50 บาท ถามเงน 350 บาท จะซอสมโอในอตราเดมไดกลก

วธทา สมมต มเงน 350 บาท ซอสมโอได A ลก

ราคาของสมโอ 50 บาท ซอได 3 ลก

จะไดวา A × 50 = 3 × 350

50

50×Ä =

503503×

A = 21

จะซอสมโอได 21 ลก

68


1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเงนเทาไร

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

2. กศน.แหงหนงมนกศกษาทงหมด 400 คน มจานวนนกศกษาหญงตอจานวนนกศกษาชาย

เปน 5: 3 จงหาวา มนกศกษาชายกคนและนกศกษาหญงกคน

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

3. พอแบงมรดกใหลกสองคน โดยอตราสวนของสวนแบงของลกคนโตตอสวนแบงลกคนเลก

เปน 7: 3 ถาลกคนโตไดเงนมากกวาลกคนเลก 80,000 บาท จงหาสวนแบงทแตละคนไดรบ

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

……………………………………………………..………………………………………………

69

เรองท 3 รอยละ

ในชวตประจาวน ผเรยนจะเหนวาเราเกยวของกบรอยละอยเสมอ เชน การซอขาย กาไร

ขาดทน การลดหรอการเพมทคดเปนรอยละ การคดภาษมลคาเพม ฯลฯ

คาวา รอยละ หรอ เปอรเซนต เปนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบปรมาณใดปรมาณ

หนงตอ 100 เชน

รอยละ 50 หรอ 50% เขยนแทนดวย 50:100 หรอ10050

รอยละ 7 หรอ 7% เขยนแทนดวย 7:100 หรอ 100

7

การเขยนอตราสวนใดใหอยในรปรอยละ จะตองเขยนอตราสวนนนใหอยในรปทมจานวน

หลงอตราสวนเปน 100 ดงตวอยางตอไปน

8010080

54

== %

2010020

1022.0 === %

การเขยนรอยละใหเปนอตราสวนทาไดโดยเขยนอตราสวนทมจานวนหลงเปน 100

ดงตวอยางตอไปน

33% = 10033

25.75 % = 400103

100002575

10075.25

==

ตวอยาง จงเขยน 73

ใหอยในรปรอยละ

วธทา วธท 173

ทาใหอตราสวน โดยมจานวนหลงของอตราสวนเปน 100

73

=

7

1007

7

1003

×

×

= 100

7300

ดงนน 73

คดเปนรอยละ 7

300 หรอ

7300

%

วธท 273

สมมต = รอยละ A หรอ 100

A

3 x 100 = A x 7

A = 7

30071003

=×

70

การคานวณเกยวกบรอยละ

ผเรยนเคยคานวณโจทยปญหาเกยวกบรอยละมาแลวโดยไมไดใชสดสวน ตอไปนจะเปนการ

นาความรเรองสดสวนมาใชคานวณเกยวกบรอยละ ซงจะพบใน 3 ลกษณะ ดงตวอยางตอไปน

1. 25% ของ 60 เทากบเทาไร หมายความวา ถาม 25 สวนใน 100 สวน แลวจะมกสวน

ใน 60 สวน

ใหม a สวนใน 60 สวน

เขยนสดสวนไดดงน 10025

60=

a

จะได 2560100 ×=×a

100

2560×=a

ดงนน 15=a

นนคอ 25% ของ 60 คอ 15

2. 9 เปนกเปอรเซนตของ 45 หมายความวา ถาม 9 สวนใน 45 สวน แลวจะมกสวน

ใน 100 สวน

ให 9 เปน x% ของ 45

x% หมายถง 100

x


9 x=

จะได x×=× 451009

451009×

=x

ดงนน 20=x

นนคอ 9 เปน 20% ของ 45

3. 8 เปน 25% ของจานวนใด หมายความวา ถาม 25 สวนใน 100 สวน แลวจะ

ม 8 สวนในกสวน

ให 8 เปน 25% ของ y


=y

จะได 251008 ×=× y

251008×

=y

ดงนน 32=y

นนคอ 8 เปน 25% ของ 32

71


1. จงแสดงวธหาคาตอบ

1) 15% ของ 600 เทากบเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2) 120% ของ 40 เทากบเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

3) 28 คดเปนกเปอรเซนต ของ 400

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

4) 1.5 เปนกเปอรเซนตของ 6

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

5) 180 เปน 30 % ของจานวนใด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

6) 0.125 เปน 25% ของจานวนใด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

72

เรองท 4 การแกโจทยปญหาเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละ

ใหนกเรยนพจารณาตวอยางโจทยปญหาและวธแกปญหาเกยวกบรอยละ โดยใชสดสวน

หรออตราสวน ตอไปน

ตวอยาง 1 ในหมบานแหงหนงมคนอาศยอย 1,200 คน 6% ของจานวนคนทอาศยอยในหมบาน

ทางานในโรงงานสบปะรดกระปอง จงหาจานวนคนงานททางานในโรงงานแหงน

ใหจานวนคนททางานในโรงงานสบปะรดกระปอง เปน s คน

วธทา

อตราสวนของจานวนคนททางานในโรงงานตอจานวนคนทงหมด เปน 200,1s

อตราสวนดงกลาวคดเปน 100

6%6 =


6200,1

=s

จะได 6200,1100 ×=×s

100

6200,1 ×=s

ดงนน 72=s

นนคอ จานวนคนงานททางานในโรงงานสบปะรดกระปองเปน 72 คน

ตอบ

72 คน

โรงเรยนแหงหนงมนกเรยน 1,800 คน นกเรยนคนทหนกเกน 60 กโลกรมมอย 81 คน จง

หาวา จานวนนกเรยนทหนกเกน 60 กโลกรม คดเปนกเปอรเซนตของจานวนนกเรยนทงหมด

ตวอยางท 2

ใหจานวนนกเรยนทหนกเกน 60 กโลกรม เปน n% ของจานวนนกเรยนทงหมด

วธทา

เขยนสดสวนไดดงน 800,181

100=

n

จะได 81100800,1 ×=×n

800,1

81100×=n

ดงนน 5.4=n

นนคอ จานวนนกเรยนทหนกเกน 60 กโลกรมคดเปน 4.5% ของจานวนนกเรยนทงหมด

ตอบ

4.5 เปอรเซนต

73


จงแสดงวธหาคาตอบ

1. นกศกษา กศน. 500 คน สอบไดเกรด 4 จานวน 25% ของทงหมด จงหาจานวนนกศกษาท

สอบไดเกรด 4

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2. โรงเรยนแหงหนงมนกเรยน 2,000 คน เปนชาย 40% ของทงหมด ในจานวนนมาจาก

ตางจงหวดรอยละ60 จงหา

1) จานวนนกเรยนหญง

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

2) จานวนนกเรยนชายทไมไดมาจากตางจงหวดทงหมด

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

3. รานคาแหงหนงประกาศลดราคาสนคาทกชนด รอยละ 20 ถาคณแมซอเครองแกวมาไดรบ

สวนลด 250 บาท จงหาวารานคาปดราคาขายผลตภณฑนนกอนลดราคาเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

74

4. แผนผงสนามหญาแหงหนงกวาง 5 เซนตเมตร ยาว 8 เซนตเมตร ใชมาตราสวน 1

เซนตเมตร : 50 เมตร จงหาวาสนามหญาแหงนมพนทเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

5. นกนอยฝากเงนไวกบธนาคารเปนเวลา 2 ป อตราดอกเบยรอยละ 3 ตอป คดดอกเบยทบตน

ทก 12 เดอนและถกหกภาษดอกเบย 15% ถานกนอยฝากเงนไว 10,000 บาท ครบ 2 ป จะม

เงนในบญชเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

6. วระซอรถยนตมาคนหนงราคา 200,000 บาท นาไปขายตอไดกาไรรอยละ 20 ตอมาเอาเงน

ทงหมดไปเลนหนขาดทนรอยละ 20 วระจะมเงนเหลอจากการเลนหนเทาไร

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………...

75

บทท 5

การวด


1. การวดความยาวพนท ทมหนวยตางกนสามารถนามาเปรยบเทยบกนได

2. เครองมอการวด ตองเลอกใชใหเหมาะสมกบสงทจะวด

3. การคาดคะเนเกดจากประสบการณของผสงเกตเปนสาคญ


1. บอกการเปรยบเทยบหนวยความยาวพนทในระบบเดยวกนและตางระบบได

2. เลอกใชหนวยการวดเกยวกบความยาวและพนทไดอยางเหมาะสม

3. แสดงการหาพนทของรปเรขาคณตได

4. สามารถแกโจทยปญหาเกยวกบพนทสถานการณตาง ๆ ในชวตประจาวนได

5. อธบายวธการคาดคะเนและนาวธการไปใชในการคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด

นาหนก


เรองท 1 การเปรยบเทยบหนวยความยาวและพนท

เรองท 2 การเลอกใชหนวยการวด ความยาวและพนท

เรองท 3 การหาพนทของรปเรขาคณต

เรองท 4 การแกโจทยปญหาเกยวกบพนทในสถานการณตาง ๆ

เรองท 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด นาหนก

76

เรองท 1 การเปรยบเทยบหนวยความยาวและพนท

การวด

การวดเปนเรองทมความสาคญ และจาเปนตอชวตประจาวนอยางมากในทกยคทกสมย ใน

แตละถนฐานแตละประเทศ จะมหนวยการวดทแตกตางกนออกไป และเมอโลกเจรญกาวหนาทง

ดานเทคโนโลยและการสอสาร จงมความจาเปนทตองมความชดเจนของการสอสารความหมาย

เกยวกบปรมาณของการวด หนวยการวด เพอใหเกดความสะดวกในการนามาเปรยบเทยบ และเพอ

ประโยชนในการใชงาน

โดยทวไปคนเรามกจะคนเคยกบการวด หมายถง การชง การตวง การวดความยาว การจบ

เวลา เปนตน ในความเปนจรงนนการวดมหลายอยางเชน

1. การวดความยาว มหนวยเปน มลลเมตร เซนตเมตร นว ฟต เมตร กโลเมตร

2. การวดพนท มหนวยเปน ตารางวา ตารางเมตร งาน ไร

3. การชง มหนวยเปน กรม ขด ปอนด ตน

4. การตวง มหนวยเปน ลกบาศกเซนตเมตร ลตร ถง

5. การวดอณหภม มหนวยเปน องศาเซลเซยส องศาฟาเรนไฮต

6. การวดเวลา มหนวยเปน วนาท นาท ชวโมง วน ป

7. การวดความเรวหรออตราเรว มหนวยเปน กโลเมตร/ชวโมง

1.1 การเปรยบเทยบการวดความยาว

หนวยการวดความยาวทนยมใชกนในประเทศไทย

หนวยการวดความยาวในระบบองกฤษ

12 นว เทากบ 1 ฟต

3 ฟต เทากบ 1 หลา

1,760 หลา เทากบ 1 ไมล

หนวยการวดความยาวในระบบเมตรก

10 มลลเมตร เทากบ 1 เซนตเมตร

100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร

1,000 เมตร เทากบ 1 กโลเมตร

หนวยการวดความยาวในมาตรไทย

12 นว เทากบ 1 คบ

2 คบ เทากบ 1 ศอก

77

4 ศอก เทากบ 1 วา

20 วา เทากบ 1 เสน

400 เสน เทากบ 1 โยชน

กาหนดการเทยบ 1 วา เทากบ 2 เมตร

หนวยการวดความยาวในระบบองกฤษเทยบกบระบบเมตรก ( โดยประมาณ )

1 นว เทากบ 2.54 เซนตเมตร

1 หลา เทากบ 0.9144 เมตร

1 ไมล เทากบ 1.6093 กโลเมตร

ตวอยาง การเปรยบเทยบหนวยการวดในระบบเดยวกนและตางระบบกน

1. สดาสง 160 เซนตเมตร อยากทราบวาสดาสงกเมตร

เนองจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร และสดาสง 160 เซนตเมตร

ดงนน สดาสง 160 = 1.60 เมตร

100

2. ความกวางของรวบานดานตดถนนเปน 1.05 กโลเมตร อยากทราบวาความกวางของรว

บานดานตดกบถนนเปนกเมตร

เนองจาก 1 กโลเมตร เทากบ 1,000 เมตร และรวบานกวาง 1.05 กโลเมตร

ดงนน ความกวางของรวบานเปน 1.05 x 1,000 = 1,050 เมตร

1.2 การเปรยบเทยบการวดพนท

หนวยการวดพนททสาคญ ทควรรจก

หนวยการวดพนทในระบบเมตรก

1 ตารางเซนตเมตร เทากบ 100 หรอ 102

1 ตารางเมตร เทากบ 10,000 หรอ 10

ตารางมลลเมตร 4

1 ตารางกโลเมตร เทากบ 1,000,000 หรอ 10

ตารางเซนตเมตร 6

หนวยการวดพนทในระบบองกฤษ

ตารางเมตร

1 ตารางฟต เทากบ 144 หรอ 122

1 ตารางหลา เทากบ 9 หรอ 3

ตารางนว 2

1 เอเคอร เทากบ 4, 840 ตารางหลา

ตารางนว

1 ตารางไมล เทากบ 640 เอเคอร

หรอ 1 ตารางไมล เทากบ 1, 7602 ตารางหลา

78

หนวยการวดพนทในมาตราไทย

100 ตารางวา เทากบ 1 งาน

4 งาน เทากบ 1 ไร

หรอ 400 ตารางวา เทากบ 1 ไร

หนวยการวดพนทในมาตราไทยเทยบกบระบบเมตรก

1 ตารางวา เทากบ 4 ตารางเมตร

1 งาน เทากบ 400 ตารางเมตร

หรอ 1 ไร เทากบ 1, 600 ตารางเมตร

1 ตารางกโลเมตร เทากบ 625 ไร

หนวยการวดพนทในระบบองกฤษกบระบบเมตรก ( โดยประมาณ )

1 ตารางนว เทากบ 6.4516 ตารางเซนตเมตร

1 ตารางฟต เทากบ 0.0929 ตารางเมตร

1 ตารางหลา เทากบ 0.8361 ตารางเมตร

1 เอเคอร เทากบ 4046.856 ตารางเมตร ( 2. 529 ไร )

1 ตารางไมล เทากบ 2.5899 ตารางกโลเมตร

ตวอยาง

1. ทดน 12.5 ตารางกโลเมตร คดเปนกตารางเมตร

เนองจากพนท 1 ตารางกโลเมตร เทากบ 106

ดงนนพนท 12.5 ตารางกโลเมตร เทากบ 12.5 x 10

ตารางเมตร 6

= 1.25 x 10

7

ตอบ 1.25 x 10

ตารางเมตร 7

2. พนทชนลางของบานรปสเหลยมผนผากวาง 6 วา ยาว 12 วา ผรบเหมาปพนคดคาปพน

ตารางเมตรละ 37 บาท จะตองเสยคาปพนเปนเงนเทาไร


พนทชนลางของบานมความกวาง 6 วา

ความยาว 12 วา

ดงนน พนทชนลางของบานมพนทเปน 6 x 12 = 72 ตารางวา

พนท 1 ตารางวา เทากบ 4 ตารางเมตร

ถาคดพนทเปนตารางเมตร พนทชนลางของบานมพนทเปน

72 x 4 = 288 ตารางเมตร

ดงนน เสยคาปพนเปนเงน 288 x 37 = 10, 656 บาท

ตอบ 10, 656 บาท

79

1. จงเตมหนวยความยาวหรอหนวยพนทใหเหมาะสมกบขอความตอไปน


1) ไมอดชนดบางมความหนาแผนละ 4 .........................................................................................

2) สมดปกออนมความกวาง 16.5 .....................ยาว 24......................หนา 4 ................................

3) จงหวดเชยงใหมและจงหวดเลยอยหางกนประมาณ 1,600 ......................................................

4) สนามฟตบอลแหงหนงมความกวาง 45 …………… มความยาว 90 ..................... และถาวง

รอบสนามแหงนสามรอบ จะไดระยะทาง 1 ...............................

5) แผนดสกมความกวาง 9 ................... ยาว 9.4 ........................... และหนา 3 .........................

6) กระดาษ A4 มพนทประมาณ 630 .........................................

7) หองเรยนมพนทประมาณ 80 ................................................

9) การวดความยาวของทดนในประเทศไทยนยมใชหนวยเปน ................... หรอ....................

และอาจบอกจานวนพนทของทดนตามมาตราไทยเปน ..........................หรออาจบอกโดยใช

มาตรเมตรกเปน ........................ กได

10) แมนาโขงชวงจงหวดมกดาหารมความกวางประมาณ 200 ............................

2. จงเตมคาลงในชองวางทกาหนดใหถกตอง

1) พนท 1 ไร เทากบ ..................................... ตารางเมตร

2) พนท 17 ตารางเมตร คดเปนพนท .................................. ตารางเซนตเมตร

3) ทดน 3,119 ตารางวา เทากบทดน ............................... (ตอบเปนไร งาน ตารางวา)

4) กระดาษแผนหนงมพนท 720 ตารางนว กระดาษแผนนมพนท ............................ ตารางฟต

5) พนท 2 ตารางกโลเมตร คดเปนพนท .................... ตารางเซนตเมตร (ตอบในรป nA 10×

เมอ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจานวนเตม)

6) สวนสาธารณะแหงหนงมพนท 5 ไร 2 งาน 22 ตารางวา แลวสวนสาธารณะแหงนจะมพนท

.................... ตารางวา

7) ทนา 2,900,000 ตารางเมตร เทากบทนา ................................ ตารางกโลเมตร

8) โลหะแผนหนงมพนท 3 ตารางฟต โลหะแผนนจะมพนท ................... .. ตารางนว

9) พนท 9.5 ตารางวา จะเทากบ .......................... ตารางเมตร

10) ลงสอนมทดนอย 2 งาน 68 ตารางวา คดเปนพนท ..................... ตารางเมตร แลวถาลงสอน

ขายทดนไป ตารางเมตรละ 875 บาท ลงสอนจะไดรบเงน ...................... บาท แสดงวาทดน

ของลงสอน ราคาไรละ......................... บาท

80

3. จงตอบคาถามตอไปน พรอมแสดงวธทา

1) สวนแหงหนงมพนท 4,800 ตารางเมตร คดเปนพนทกไร

2) พนท 25 ตารางฟต คดพนทกตารางเซนตเมตร

3) ลงแดงแบงทดนใหลกชาย 3 คน โดยแบงใหลกชายคนโตได 2 ไร ลกชายคนกลาง 850

ตารางวา และลกชายคนเลกได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงทดนมากทสด

4) พนท 5,625 ไร คดเปนพนท กตารางกโลเมตร

5) สมเกยรตซอโลหะแผนชนดหนง 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนกซอโลหะแผน

ชนดเดยวกน 4 ตารางหลา ราคา 567 บาท อยากทราบวาใครซอไดถกกวากน ตารางเมตรละกบาท

(กาหนด 1 หลา = 90 เซนตเมตร)

81

เรองท 2 การเลอกใชหนวยการวดความยาวและพนท

การวดความยาว หรอการวดพนท ควรเลอกใชหนวยการวดทเปนมาตรฐาน และเหมาะสมกบ

สงทตองการวด เชน

- ความหนาของกระเบองหรอความหนาของกระจก ใชหนวยวดเปน "มลลเมตร"

- ความยาวของกระเปาหรอความสงของนกเรยน ใชหนวยวดเปน "เซนตเมตร"

- ความยาวของถนน ความสงของตก ใชหนวยวดเปน "เมตร"

- ระยะทางจากรงเทพฯ ถงนครศรธรรมราช ใชหนวยวดเปน "กโลเมตร"

1.จงเตมหนวยการวดทเหมาะสมลงในชองวาง


1.ความยาวของรวโรงเรยน …………………………………

2.ความหนาของหนงสอ ………………………………….

3. ระยะทางจากกรงเทพฯ ถงเชยงใหม ……………………………..

4. นาหนกของแตงโม …………………………………………..

5. เวลาทนกเรยนใชในการวงแขงในระยะทาง 100 เมตร ……………………..

6. อณหภมหอง .....................................

7. พนทสวน ......................................

8. ปรมาณของนา 1 เหยอก ......................................

9. สวนสงของนกเรยน .....................................

10. นาหนกของขาวสาร 1 ถง ....................................

82

เรองท 3 การหาพนทของรปเรขาคณต

1. รปสามเหลยม

รปสามเหลยม คอ รปปดทมดานสามดาน มมสามมม เมอกาหนดใหดานใดดานหนงเปน

ฐานของรปสามเหลยม แลวมมทอยตรงขามกบฐานจะเปนมมยอด และถาลากเสนตรงจากมมยอด

มาตงฉากกบฐาน หรอสวนตอของฐานจะเรยกเสนตงฉากวาสวนสง

จากรปสามเหลยม ABC ใหกาหนด BC เปนฐาน

เรยก A วา มมยอด

เรยก AD วา สวนสง

จากรปท 1 รปท 2 รปท 3 พนทรปสเหลยมผนผา ABCD แตละรปเทากบ 12 ตารางหนวย

และพนทสามเหลยมแตละรปเทากบครงหนงของพนทรปสเหลยมผนผา

จากสตร พนทรปสเหลยมผนผา = ฐาน x สง

ดงนน พนทรปสามเหลยม = ×21

ฐาน × สง

83

ตวอยาง รปสามเหลยมรปหนงพนท 40 ตารางเซนตเมตร และมฐานยาว 8 เซนตเมตร จะมความสง

กเซนตเมตร

วธทา

ดงนน ความสงของสามเหลยมเทากบ 10 เซนตเมตร

1. จงหาพนทสวนทแรเงาของรปตอไปน ตวเลขทเขยนกากบดานไวถอเปนความยาวของดาน และม

หนวยเปนหนวยความยาว

แบบฝกหด 3

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

....................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

ใหความสงของสามเหลยม h เซนตเมตร

สตร พนท = ×21

ฐาน × สง

40 = h×× 821

h=×8

240

10 = h

84

2. รปสามเหลยมหนงรปมพนท 90 ตารางเซนตเมตร มฐานยาว 12 เซนตเมตร จะมความสง

กเซนตเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. สามเหลยมมมฉาก ABC มมม BAC เปนมมฉาก และกาหนดความยาวของดานดงรป จงหาความ

ยาวของดาน A

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

85

4. จงหาพนทของสวนทแรเงาของไมฉากรปสามเหลยม ซงมขนาดตามรป (ความยาวทกาหนดม

หนวยเปนเซนตเมตร)

30

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. รปสเหลยม

2.1 พนทของรปสเหลยมมมฉาก

บทนยาม รปสเหลยมมมฉาก คอ รปสเหลยมทมมมแตละมมเปนมมฉาก

ถาแบงรปสเหลยมมมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ

เทาๆ กน แลวลากเสนเชอมจดแบงดงรป

รปสเหลยมมมฉากม 2 ชนด คอ

ก) รปสเหลยมจตรส

เปนรปสเหลยมมมฉากทมดานทกดานยาวเทากน

ข) รปสเหลยมผนผา

เปนรปสเหลยมมมฉากทมดานตรงขามยาวเทากน

86

จากรปตารางเลกๆ ทเกดจากแบงแตละรป จะมความกวาง 1 หนวย และยาว 1 หนวย คด

เปน พนท 1 ตารางหนวย

การหาพนของสเหลยมมมฉากรปท 1

สเหลยมมมฉากรปท 1 มดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 3 หนวย เมอแบงแลวไดจานวนตาราง

9 ตาราง หรอมพนท 9 ตารางหนวย

สเหลยมมมฉากรปท 2 มดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 4 หนวย เมอแบงแลวไดจานวนตาราง

12 ตาราง หรอมพนท 12 ตารางหนวย

การหาพนทดงกลาว สามารถคานวณไดจากผลคณของดานกวางและดานยาว

นนคอ พนทรปสเหลยมมมฉาก = ดานกวาง x ดานยาว

ในกรณทเปนรปสเหลยมจตรส จะมดานกวางเทากบดานยาว

นนคอ พนทรปสเหลยมมมฉาก = ดาน x ดาน

หรอ พนทรปสเหลยมมมฉาก = (ดาน)

ตวอยาง จงหาพนทของรปสเหลยมตอไปน

2

วธทา

(ก) พ.ท. สเหลยมผนผา = กวาง x ยาว

87

= 5 x 8

= 40 ตารางหนวย

ดงนน พนทสเหลยมผนผา เทากบ 40 ตารางหนวย ตอบ

(ก) พ.ท. สเหลยมผนผา = ดาน x ดาน

= 4 x 4

= 16 ตารางเซนตเมตร

ดงนน พนทสเหลยมผนผา เทากบ 16 ตารางเซนตเมตร ตอบ

(ก) พ.ท. สเหลยมผนผา = (2x3) + (4x7)

= 6 + 28

= 34 ตารางนว

ดงนน พนทสเหลยมผนผา เทากบ 34 ตารางนว ตอบ

2.2 พนทของรปสเหลยมดานขนาน

บทนยาม รปสเหลยมดานขนาน คอ รปสเหลยมทมดานตรงขามขนานกนสองค

การหาพนทของรปสเหลยมดานขนาน

88

ถารปสเหลยมดานขนาน ABCD กาหนด a แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความ

สง DE

จากรปท 1 ลากเสนทแยงมม BD และลาก DE ใหตงฉากกบ AB ดงรปท 2 เราสามารถ

ใชพนทของรปสามเหลยมหาสตรพนทของรปสเหลยมดานขนาน ABCD ไดดงน

พนทของ � ABCD เทากบผลบวกของพนท ABD และพนท CDB

เนองจาก พนท ABD เทากบ พนท CDB

ดงนน พนท � ABCD = 2 เทาของพนท ABD

=

××× ba

212

สตรพนท รปสเหลยมดานขนาน = ความยาวของฐาน x ความสง

รปสเหลยมดานขนานทมดานทกดานยาวเทากนและมมไมเปนมมฉาก เรยกวา รปสเหลยม

ขนมเปยกปน

ในกรณเปนรปสเหลยมขนมเปยกปน ถาลากเสนทแยงมม แบงรปสเหลยมออกเปนรป

สามเหลยมสองรป และไดสตรดงน

สตรพนท � ขนมเปยกปน = ×21

ผลคณของเสนทแยงมม

ตวอยาง จงหาพนทของสเหลยมดานขนาน ABCD

วธทา

รปสเหลยมดานขนาน = ฐาน × สง

= AB × AB

= 10 × 7 ตารางเซนตเมตร

ดงนน พนทสเหลยมดานขนาน ABCD = 70 ตารางเซนตเมตร ตอบ

2.3 พนทของรปสเหลยมคางหม

บทนยาม รปสเหลยมคางหม คอรปสเหลยมทมดานขนานกนหนงคเทานน

89

รปสเหลยมทงสามรป แตละรปมดานขนานกนเพยง 1 คเทานน รปสามเหลยมทงสามรปจง

เปนสเหลยมคางหม

รปสเหลยมรปท 2 มดานทไมขนานกน 1 ดาน ตงฉากกบดานคขนาน เรยกรปสเหลยมคาง

หมนวา สเหลยมคางหมมมฉาก

รปสเหลยมรปท 3 มดานทไมขนานกนยาวเทากน เรยกรปสเหลยมคางหมนวา สเหลยม

คางหมหนาจว

รปสเหลยมคางหม ABCD มดาน AB ขนานกบดาน CD ลาก CE ใหตงฉากกบ AB

และลากเสนทแยงมม AC ดงรปท 2

กาหนด a แทนความยาวของดาน AB

b แทนความยาวของดาน CD

c แทนความสง

เราสามารถใชพนทของรปสามเหลยมหาสตรพนทของรปสเหลยมคางหม ABCD ไดดงน

พนท � ABCD เทากบ ผลบวกของ พนท ABC และพนท ACD

จากพนท ABC = ca ××21

พนท ACD = cb ××21

ดงนน พนท � ABCE =

××+

×× ebea

21

21

= )(21 bac +××

สตร พนท � คางหม = ×21

สง × ผลบวกดานคขนาน

90

ตวอยาง จงหาพนทของสเหลยม ABCD

วธทา

พนทสเหลยมคางหม ABCD = ×21

สง × ผลบวกดานคขนาน

= ( )DCABDE +××21

= ( )812621

+××

= 3 × 20 ตารางเซนตเมตร

ดงนน พนทสเหลยมคางหม ABCD = 60 ตารางเซนตเมตร

2.4 พนทของสเหลยมรปวาว

บทนยาม รปสเหลยมรปวาว คอ รปสเหลยมทมดานประชดกนยาวเทากนสองค

เมอลากเสนทแยงมมของรปสเหลยมรปวาว จะพบวา เสนทแยงมมตดกนเปนมมฉาก และ

แบงครงซงกนและกน

การหาพนทรปสเหลยมรปวาว

รปสเหลยมรปวาว ABCD ม ADAB = และ CDBC =

กาหนด a แทนความยาวของเสนทแยงมม AC

b แทนความยาวของเสนทแยงมม BD

เสนทแยงมม AC และ BD ตดกนทจด E

ทาให DE ตงฉากกบ AC

BE ตงฉากกบ AC

91

เราสามารถใชพนทรปสามเหลยมหาสตรพนทสเหลยมรปวาว ABCD ไดดงน

พนท � ABCD เทากบ ผลบวกของ พนท ACD และพนท ABC

จาก ABC =

××× ba

21

21

ADC =

××× ba

21

21

ดงนน พนท � ABCD =

×××+

××× baba

21

21

21

21

พนท � ABCD =

×+

××× bba

21

21

21

=

+××

2221 bba

= ba ××21

สตร พนทสเหลยมรปวาว = ×21


ตวอยาง จงหาพนทรปสเหลยมรปวาว ABCD ทม 10=BD เซนตเมตร และ 12=AC เซนตเมตร

วธทา

พนทรปวาว = ×21


= BDAC ××21

= 101221

×× ตารางเซนตเมตร

ดงนน พนทรปสเหลยมรปวาว ABCD = 60 ตารางเซนตเมตร

92

2.5 พนทของรปสเหลยมใดๆ

รปสเหลยมใดๆ เปนรปสเหลยมทไมเขาลกษณะของรปสเหลยมขางตน การหาพนทอาจทา

ไดโดยลากเสนทแยงมม แลวหาพนทของรปสามเหลยมทเกดขน

พนท � ABCD เทากบ ผลบวกของ พนท ABC และพนท ADC

จากพนท ABC = BEAC ××21

พนท ABD = DFAC ××21

ดงนน พนท � ABCE =

××+

×× DFACBEAC

21

21

= ( )DFBEAC +××21

สตร พนทสเหลยมใดๆ = 21

× ความยาวของเสนทแยงมม × ผลบวกของความยาวของเสนกง

ตวอยาง จงหาพนทของรปสเหลยม ABCD ม AC = 10 เซนตเมตร เสนกง DF = 7 เซนตเมตร และ

EB = 5 เซนตเมตร

วธทา

พนท � ABCD = ×21

เสนทแยงมม × ผลบวกของความยาวของเสนกง

= ( )DFBEAC +××21

= ( )571021

+×× ตารางเซนตเมตร

ดงนน พนท � ABCD = 60 ตารางเซนตเมตร

จากรปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมใดๆ จากเสนทแยงมม AC

จากจด B ลากเสน BE ใหตงฉากกบ AC

D ลากเสน DF ใหตงฉากกบ AC

ซงเสน BE และ DF เรยกวา เสนกง

93


94

2. จงหาพนทสวนทแรเงา ตวเลขทเขยนกากบไวถอวาเปนความยาวของดานและมหนวยความยาว

เปนเมตร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

95

2.6 พนทรปหลายเหลยม

การหาพนทรปหลายเหลยม ใชวธแบงรปหลายเหลยม เปนรปสเหลยมยอยๆ แลว หาพนท

ของรปแตละรปนาผลลพธมารวมกน แตบางครงอาจใชวธตอเตมรปเพอใหเกดรปเหลยมใหมแลว

นามาหกลบกน ดงตวอยาง

ตวอยาง จงหาพนทรปเหลยมทแรเงา

วธทา ลากตอ EF และ HG ทาใหเกดเปนรปสเหลยมมมฉากยอย 3 รป คอ � DEJC,

� FGKJ, � ABKH

พนทรปหลายเหลยม ABCDEFGH = พ.ท.� DEJC + พ.ท.� FGKJ + พ.ท.� ABKH

= ( 2×6) + (1×4) + (3×10)

= 12 + 4 + 30 ตารางเซนตเมตร

ดงนน พนทรปหลายเหลยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนตเมตร

2.7 พนทรปวงกลม

การหาพนทของรปวงกลมโดยวธแบงออกเปนสวนเลกๆ แลวนาแตละสวนมาสลบกน ดง

รป

จากรป EJ = 6 เซนตเมตร

FJ = 4 เซนตเมตร

96

จะเหนไดวา ถายงแบงสวนยอยใหมจานวนมากขน รปสเหลยมทไดจะมรปใกลเคยงกบรป

สเหลยมผนผา โดยมสวนสงใกลเคยงกบรศมของวงกลม

ความยาวของฐาน ใกลเคยงกบครงหนงของเสนรอบวง หรอ ( ) rr ππ =221

จากสตร พนท � ผนผา = ฐาน × สง

= ( ) rr ×π

= 2rπ

สตร พนทวงกลม = 2rπ

เมอ 722

=π หรอ 3.14 โดยประมาณ

r แทนความยาวรศม

ตวอยาง จงหาพนทวงกลมทมรศมยาว 7 เซนตเมตร

วธทา

พนทวงกลม = 2rπ

= 77722

×× ตารางเซนตเมตร

พนทวงกลม = 154 ตารางเซนตเมตร

97

1. จงหาพนทสวนทแรเงา ตวเลขทเขยนกากบดานมหนวยเปนเซนตเมตร และจด O แทนจด

ศนยกลางของวงกลม


1

98

สรปสตรการหาพนท

99

100

เรองท 4 การแกโจทยปญหาเกยวกบพนทในสถานการณตางๆ

ตวอยาง ทดนรปสเหลยมผนผากวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตองการทาถนนในทดนกวาง 1 วา

โดยรอบถนนจะมพนทกตารางวา

วธทา

ตวอยาง หองๆ หนง 6.5 เมตร กวาง 4 เมตร ตองการปกระเบองรปสเหลยมจตรส ซงมความกวาง

ดานละ 25 เซนตเมตร จะตองใชกระเบองกแผน

วธทา หองหนงมความยาว 6.5 เซนตเมตร = 650 เซนตเมตร

ความกวาง 4 เมตร = 400 เซนตเมตร

พนทหอง = 400 × 650 = 260,000 เซนตเมตร

พนทกระเบอง = 25 × 25 = 625 ตารางเซนตเมตร

ตองใชกระเบอง = 416625

000,260= แผน

ดงนน ตองใชกระเบอง 416 แผน

พนททงหมด = 12 × 20

= 240 ตารางวา

พนทรปใน = 10 × 18

= 180 ตารางวา

พนทถนน = 240 – 180

∴ พนทถนน = 60 ตารางวา

101

1. แผนผงบานหลงหนงมลกษณะและขนาดดงรป ถาบรเวณทแรเงาตองการเทปนซเมนต โดยเสย

คาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสยคาใชจายทงหมดกบาท กาหนดความยาวมหนวยเปนเมตร


2. ตองการตดเสอตวหนงมลกษณะดงรป จะตองใชผากตารางเมตร (ไมคดตะเขบ) ความยาวท

กาหนดมหนวยเปนเซนตเมตร

102

เรองท 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด นาหนก

ในชวตประจาวนบางครงเราอาจตองการทราบรายละเอยดเกยวกบเวลา ระยะทาง ขนาด

หรอนาหนก ของสงตางๆ แตไมสะดวกทจะวดสงตางๆ เหลานน เนองจากมขอจากดบางประการ

ตวอยางเชน ตองการวดความยาว และความกวางของสนามฟตบอลของโรงเรยน แตไมมอปกรณท

เหมาะสม ทาใหตองมกประมาณอยางคราวๆ ซงในบางครงอาจจะถกตอง หรออาจผดไปจากความ

เปนจรงบาง เราเรยกวธการประมาณในลกษณะนวา การคาดคะเน

การคาดคะเนปรมาณตางๆ เชน ชวงเวลา ระยะทาง ขนาด และนาหนกของสงตางๆ ผ

คาดคะเนมกใชสายตารวมกบประสบการณของผคาดคะเนเอง ซงในการคาดคะเนแตละครงอาจ

ถกตองพอด หรออาจมขอผดพลาดเกดขนบางกได เราเรยกขอผดพลาดนวา ความคลาดเคลอน และ

ความคลาดเคลอนคานวณไดจากผลตางของปรมาณทคาดคะเนไวกบปรมาณทวดไดจรง เชน

คะเนวาหนงสอเรยนกวาง 15 เซนตเมตร ยาว 20 เซนตเมตร และหนา 1 เซนตเมตร แตเมอ

วดจรงพบวาหนงสอเรยนกวาง 14.6 เซนตเมตร ยาว 20.9 เซนตเมตร และหนา 1 เซนตเมตร ดงนน

คะเนความกวาง และความยาวของหนงสอเรยนคลาดเคลอนไป 0.4 และ 0.9 ตามลาดบ (15.0

เซนตเมตร – 14.6 เซนตเมตร = 0.4 เซนตเมตร และ 20.9 เซนตเมตร – 20 เซนตเมตร = 0.9

เซนตเมตร สวนความหนาคาดคะเนไดถกตองไมคลาดเคลอนเลย )

หมายเหต บางครงอาจพบการใชสญลกษณ ± ตามความคลาดเคลอน เชน เครองบรรจนา

ไดขวดละ 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร ± 5 ลกบาศกเซนตเมตร หมายความวา โดยปกตแลวนาดมท

บรรจขวดโดยเครองนจะมปรมาตร 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร แตอาจจะมบางขวดทมปรมาตร

มากกวาหรอนอยกวา 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร ซงปรมาตรทคลาดเคลอนนไมเกน 5 ลกบาศก

เซนตเมตร นนคอ นาดมทบรรจขวดจะมปรมาตรตงแต 995 ลกบาศกเซนตเมตร ถง 1,005

ลกบาศกเซนตเมตร

103

1. จงคาดคะเนเวลาหรอชวงเวลาใหเหมาะสมกบสถานการณตอไปน


1) ฟาใกลสวาง อากาศเยนสบาย ไกตวผตปกและสงเสยงขน มนาคางจบตามยอดหญา

นาจะเปนเวลาประมาณ...................นาฬกา

2) เมออยกลางแจงดวงอาทตยอยตรงศรษะพอด เงาของตวเองอยบนพนทยนอยพอด นาจะ

เปนเวลาประมาณ...................นาฬกา

3) ในจงหวดทางภาคเหนอเปนเวลาเชาตร ฟาสวางแลว แตยงไมเหนพระอาทตย ทองฟาขมกขมว

อากาศหนาวเยนจด นาจะเปนฤด....................และควรจะเปนชวงเดอน.....................

2. จงวงกลมลอมรอบขอทเหมาะสมทสด สาหรบใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง นาหนก หรอ

ขนาดของสงตอไปน

1) ความยาวของคตเตอร

ก. 1.5 มลลเมตร ข. 15 เซนตเมตร ค. 15 เมตร

2) นาหนกของมะพราว 1 ผล

ก. 1 กรม ข. 1 กโลกรม ค. 1 ตน

3) ปรมาณของนม 1 กลอง

ก. 4 ×5×12 เซนตเมตร3 ข. 4 ×5×12 ฟต3 ค. 4 ×5×12 เมตร

4) รถกระบะ

3

4.1 มนาหนก ก. 10 กโลกรม ข. 100 กโลกรม ค. 1 ตน

4.2 ความกวาง ก. 160 เซนตเมตร ข. 16 ฟต ค. 16 เมตร

4.3 ความยาว ก. 5 ฟต ข. 5 เมตร ค. 5 วา

4.4 ความสง ก. 160 มลลเมตร ข. 1,600 มลลเมตร ค. 16,000 มลลเมตร

5) เกาอนง

5.1 กวาง ยาว สง

ก. 40 ×50×80 มลลเมตร

ข. 40 ×50×80 เซนตเมตร

3 3

ค. 4 ×5×8 เมตร

5.2 นาหนก

3

ก. 10 กโลกรม ข. 100 กโลกรม ค. 1 ตน

104

3. ทางหลวงสายพหลโยธนกรงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กโลเมตร รถประจาทางปรบอากาศวงบน

ทางหลวงสายนตลอดเสนทางดวยอตราเรว 80-100 กโลเมตรตอชวโมง

(1) รถประจาทางปรบอากาศใชเวลาวงตลอดเสนทางนานเทาไร

(2) ถารถออกจากกรงเทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬกา จะถงแมสายในชวงใด

(3) ถาตองการใหถงแมสายประมาณเทยงวนท 16 กนยายน จะตองออกจากกรงเทพฯ เวลา

เทาไร

4. ลฟตของโรงแรมแหงหนงบรรทกผโดยสายไดเทยวละไมเกน 10 คน (600 กโลกรม) บางครงม

ผโดยสารเขาลฟตเพยง 8 คน ลฟตจะมเสยงเตอน บางครงมผโดยสาร 12 คน ลฟตไมมเสยงเตอนยง

ใชงานไดเปนเพราะเหตใด จงอธบาย

5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรงเทพฯ-บานคลองพราน จงหวดนราธวาส) 1,352 กโลเมตร ทาง

หลวงสายมตรภาพ (กรงเทพฯ-จงหวดหนองคาย) 508 กโลเมตร ทางหลวงสายสขมวท (กรงเทพฯ-

จงหวดตราด) 400 กโลเมตร

(1) ถาขบรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผานกรงเทพฯ แลวมงส

จงหวดหนองคายตามทางหลวงสายมตรภาพ ดวยอตราเรวในชวง 90-100 กโลเมตรตอชวโมง จะใช

เวลาประมาณกชวโมง

(2) ถาเดนทางจากกรงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬกา วนน จะ

ถงจงหวดนราธวาสเมอใด โดยใชอตราความเรว 100 กโลเมตรตอชวโมง

(3) ถาตองการเดนทางจากกรงเทพฯ ไปจงหวดตราดทางหลวงสายสขมวท และถงจงหวด

ตราดประมาณเทยงวน จะตองออกจากกรงเทพฯ เวลาใด เมอใชอตราความเรว 80 กโลเมตรตอ

ชวโมง

(4) ใหนกเรยนเปรยบเทยบความยาวของทางหลวงทงสามสาย

105

บทท 6

ปรมาตรและพนทผว


การหาพนทผวและปรมาตรของ ปรซม พระมด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จาเปน

จะตองรกระบวนการคด และการใชสตร เพอสะดวกในการคานวณอนจะเปนประโยชนตอการ

นาไปใชในชวตจรง


1. อธบายลกษณะและสมบตของปรซม พระมด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หา

ปรมาตรและพนทผวของปรซมได

2. สามารถหาปรมาตรและพนทผวของทรงกระบอกได

3. สามารถหาปรมาตรของพระมด กรวยและทรงกลมได

4. เปรยบเทยบหนวย ความจ หรอหนวยปรมาตรในระบบเดยวกนหรอตางระบบ และ

เลอกใชหนวยการวดเกยวกบความจหรอปรมาตรไดอยางเหมาะสม

5. ใชความรเกยวกบปรมาตรและพนทผวแกปญหาในสถานการณตางๆ ได

6. ใชการคาดคะเนเกยวกบปรมาตรและพนทผวในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม


เรองท 1 ลกษณะสมบตและการหาพนทผวและปรมาตรของปรซม

เรองท 2 การหาปรมาตรและพนทผวของทรงกระบอก

เรองท 3 การหาปรมาตรของพระมด กรวยและทรงกลม

เรองท 4 การเปรยบเทยบหนวยปรมาตร

เรองท 5 การแกโจทยปญหาเกยวกบปรมาตรและพนทผว

เรองท 6 การคาดคะเนปรมาตรและพนทผว

106

เรองท 1 ลกษณะสมบตและการหาพนทผวและปรมาตรของปรซม

พนทผวและปรมาตรของปรซม

รปเรขาคณตสามมตทมหนาตด (ฐาน) ทงสองเปนรปหลายเหลยมทเทากนทกประการและ

อยในระนาบทขนานกน มหนาขางเปนรปสเหลยมดานขนาน เรยกวา ปรซม

สวนตางๆ ของปรซมมชอเรยกดงน

เราเรยกชอปรซมชนดตาง ๆ ตามลกษณะของฐานของปรซมดงตวอยาง

ปรซมสเหลยมผนผา ปรซมสามเหลยม ปรซมสเหลยมคางหม

ปรซมหาเหลยม ปรซมหกเหลยม

สตร การหาพนทผวของปรซม = พนทผวขาง + พนทผวหนาตด

ปรมาตรปรซม = พนทฐาน x สง

107

ตวอยาง 1 จงหาพนทผวของปรซมตอไปน กาหนดความยาวทหนวยเปนเซนตเมตร

วธทา

ตวอยาง 2 จงหาปรมาตรของปรซมตอไปน (ความยาวทกาหนดใหมหนวยเปนเมตร)

วธทา


จงหาพนทผวและปรมาตรของปรซมตอไปน

ปรมาตรปรซม = พนทฐาน x สง

= (4 x 5) x 8

= 160 ลกบาศกเมตร

พนทผวดานขาง 4 ดาน = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5)


พนทหนาตด = 2 ( 3 x 4)


พนทผวของปรซม = 70 + 24


108

เรองท 2 การหาปรมาตรและพนทผวของทรงกระบอก

ทรงกระบอก คอ ทรงสามมตทมฐานเปนรปวงกลมทเทากนทกประการ และอยในระนาบ

ทขนานกน ซงเมอตดทรงสามมตนดวยระนาบทขนานกบฐานแลวจะไดรอยตดเปนวงกลมทเทากน

ทกประการกบฐานเสมอ

พนทผวของทรงกระบอก

เมอคลผวขางของทรงกระบอกใดๆ พบวา จะเปนรปสเหลยมผนผาทมความยาวเทากบเสน

รอบฐานวงกลม และสวนสงเทากบความสงของทรงกระบอก

สตร พนทผวของทรงกระบอก = พนทผวขาง + พนทฐานทงสอง

= 222 rrh ππ +

เมอ r แทน รศมของฐานของทรงกระบอก

h แทน ความสงของทรงกระบอก

109

ปรมาตรทรงกระบอก

จาก ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน x สง

ปรมาตรทรงกระบอก = hr 2π

สตร ปรมาตรทรงกระบอก = hr 2π

ตวอยางท 5 กระปองทรงกระบอกใบหนงมรศม 7 เซนตเมตร และสง 10 เซนตเมตร

ก) ตองการปดกระดาษรอบขางและปดฝาทงสองจะตองใชกระดาษกตาราง

เซนตเมตร

ข) กระปองใบนมความจกลกบาศกเซนตเมตร

วธทา

ข) ปรมาตร = พนทฐาน x สง

= hr 2π

= 1077722

×××

= 1,540 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนน ก. ตองใชกระดาษ 748 ตารางเซนตเมตร

ข. กระปองมความจ 1,540 ลกบาศกเซนตเมตร

ก) พนทฐานทงหมด = 22 rπ

= 777222 ×××


พนทผวขาง = ความยาวรอบฐาน x สง

= hr ×π2

= 1077222 ×××


พนทผวกระปอง = 308 + 440


110

1. จงหาปรมาตร และพนทผวทงหมดของทรงกระบอกสง 10 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง 14



.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. จงหาปรมาตรของทรงกระบอกใบหนงทมรศมของฐาน 3.5 นว และสง 5 นว

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของถงเกบนารปทรงกระบอกใบหนงทมรศมทฐาน 3 เมตร

สง 4 เมตร 90 เซนตเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

111

เรองท 3 การหาปรมาตรของพระมด กรวยและทรงกลม

3.1 พนทผวและปรมาตรของพระมด

พระมด คอ ทรงสามมตทมฐานเปนรปเหลยมใดๆ มยอดแหลม ซงไมอยในระนาบเดยวกบ

ฐาน และหนาทกหนาเปนรปสามเหลยม ทมจดยอดรวมกนทยอดแหลม

ลกษณะของพระมดตรง

1. หนาของพระมดตรงเปนรปสามเหลยมหนาจว

2. สนของพระมดตรงจะยาวเทากนทกเสน

3. ความสงเอยงของพระมดตรง ดานเทา มมเทา จะยาวเทากนทกเสน

4. ปรมาตรของพระมด เปนหนงในสามของปรมาตร ปรซมทมฐานเทากบพระมด และม

สวนสงเทากบพระมด

สตร พนทผวขางของพระมด = ×21

ความยาวรอบฐาน x สงเอยง

พนทผวทงหมดของพระมด = พนทผวขาง + พนทฐาน

ปรมาตรของพระมด = ×31

พนทฐาน x สง

112

ตวอยางท 3 พระมดฐานสเหลยมผนผา กวาง 10 เซนตเมตร ยาว 18 เซนตเมตร และความสงของ

พระมดเปน 12 เซนตเมตร จงหาความสงเอยงของพระมดทงสองดาน

1. ความสงเอยงดานกวาง

2. ความสงเอยงดานยาว

ตวอยางท 4 พระมดแหงหนงมฐานเปนรปสเหลยมจตรส ยาวดานละ 6 เมตร สงเอยง 5 เมตร และ

สงตรง 4 เมตร จงหาพนทผวและปรมาตรของพระมด

วธทา

พนทผวขางของพระมด = ×21


= ×21

(6x4) x 5

= 60 ตารางเมตร

พนทฐาน = 6 x 6


ดงนนพนทผวของพระมด = 60 + 36 = 96 ตารางเซนตเมตร

ปรมาตรของพระมด = ×31


= ×31

36 x 4


222 912 +=a

=144 + 81

2252 =a

15=a เซนตเมตร

222 125 +=c

= 25 + 144

= 169

c = 13 เซนตเมตร

113

1. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของพระมดทสง 6 เซนตเมตร ฐานเปนรปสเหลยมจตรส ยาว

ดานละ 16 เซนตเมตร


.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. จงหาพนทผวเอยงของพระมดฐานรปหกเหลยมดานเทา มมเทา ยาวดานละ 4 เซนตเมตร สงเอยง

7.5 เซนตเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

114

3.2 พนทผวและปรมาตรของทรงกรวย

กรวย คอ ทรงสามมตทมฐานเปนรปวงกลม มยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกบฐาน

และเสนทตอระหวางจดยอดกบจดใด ๆ บนเสนรอบวงของฐาน เรยกเสนตรงนวา “สงเอยง”

พนทผวของกรวย

การหาพนทผวเอยงของกรวย ทาไดโดยตดกรวยตามแนวสงเอยงแลวคลแผออกจะเกดเปน

รปสามเหลยมฐานโคง

สตร พนทผวของกรวย = 2rrl ππ +

เมอ r เปนรศมของฐานกรวย

l เปนความยาวของสงเอยง

ปรมาตรของกรวย

ความสมพนธของปรมาตรของกรวยกบทรงกระบอก จะเหมอนกบความสมพนธของ

ปรซมกบพระมด ทมสวนสงและพนทฐานเทากน นนคอ

สงตรง สงเอยง

h

115

ปรมาตรของกรวย เปน 31

ของปรมาตรของทรงกระบอก ทมพนทฐานและสวนสงเทากบ

กรวย

สตร ปรมาตรของกรวย = ×31 hr 2π

เมอ r แทน รศมของฐานกรวย

h แทน ความสงของกรวย

ตวอยางท 6 จงหาพนทผวและปรมาตรของกรวย ซงสง 24 เซนตเมตร และเสนผานศนยกลาง 14


วธทา

พนทผวทงหมด = พนทผวขาง + พนทฐาน

= 550 + 154


ปรมาตรของกรวย = ×31 hr 2π

= 2477722

31

××××


พนทผวทงหมด 704 ตารางเซนตเมตร

ปรมาตรของกรวย 1,232 ลกบาศกเซนตเมตร

รศม = 72

14= เซนตเมตร

หาความสงเอยง (l) จาก ABO

222 724 +=l

= 576 + 49 = 625

l = 25 เซนตเมตร

พนทผวขาง = rlπ

= 257722

××


พนทฐาน = 2rπ

= 77722

××


116

1. จงหาปรมาตร และพนทผวทงหมดของกรวยกลมทสง 24 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง 14



.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของกรวยกลมทสงเอยง 5 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง 8

เซนตเมตร (ตอบในรป π)

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. จงหาปรมาตรจรวดทรงกระบอกมปลายเปนกรวย มเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร ความยาว

ทรงกระบอก 30 เซนตเมตร ความสงยอดกรวย 12 เซนตเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

117

3.3 พนทผวและปรมาตรของทรงกลม

ทรงกลม คอ ทรงสามมตทมผวโคงเรยบ และจดทกจดอยบนผวโคงอยหางจากจดคงทจด

หนงเปนระยะเทากน

จดคงท เรยกวา จดศนยกลางของทรงกลม

ระยะทเทากน เรยกวา รศมของทรงกลม

พนทผวของทรงกลม

พนทผวของทรงกลม เปนสเทาของพนทวงกลม ซงมรศมเทากบรศมของทรงกลม

จาก พนทของรปวงกลม = 2rπ

ดงนน พนทผวของทรงกลม = 4 2rπ

สตร พนทผวของทรงกลม = 4 2rπ

ปรมาตรของทรงกลม

ปรมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสมพนธระหวางปรมาตรของครง

วงกลมกบปรมาตรของกรวย

ขอกาหนด

2) กรวยทมรศมเทากบครงทรงกลม r หนวย และสวนสงของกรวย (h) เปน 2 เทา

ของรศม ฐานของกรวย คอ 2 r หนวย

1) ครงของทรงกลมทมรศม r หนวย

118

สตร ปรมาตรของทรงกลม = 3

34 rπ

เมอแทน r รศมของทรงกลม

ตวอยางท 7 จงหาปรมาตรและพนทผวของลกโลกพลาสตก ซงมรศมยาว 7 เซนตเมตร

วธทา

พนทผวของทรงกลม = 616 ตารางเซนตเมตร

ปรมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลกบาศกเซนตเมตร

พนทผวทรงกลม = 4 2rπ

= 777224 ×××


ปรมาตรทรงกลม = 3

34 rπ

= 777722

34

××××

= 3312,4

= 1,437.3 ลกบาศกเซนตเมตร

119

1. จงหาปรมาตรและพนทผวของทรงกลมซงมเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร


.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. ทรงกลมมปรมาตร 38,808 ลกบาศกเซนตเมตร จงหารศมและพนทผว

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. ทรงกลมมพนทผว 616 ตารางนว จงหาปรมาตรของทรงกลม

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

4. โลหะกลมลกหนง รศมภายนอก 21 เซนตเมตร รศมภายใน 7 เซนตเมตร จงหาปรมาตรเนอโลหะ

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

120

เรองท 4 การเปรยบเทยบหนวยปรมาตร

การตวง คอ การนาสงทตองการหาปรมาตรใสในภาชนะทใชสาหรบตวง หนวยการตวง

ทนยมและใชกนมาก คอ ลตร

เมอเทยบกบหนวยปรมาตร

หนวยการตวงในมาตราไทย เปนหนวยการตวงทนยมใชกนมาก คอ

1 ลตร = 1,000 มลลลตร

1,000 ลตร = 1 กโลลตร

1 ลตร = 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร

10 มลลลตร = 1 ลกบาศกเซนตเมตร

1 ลกบาศกเมตร = 1,000 ลตร

1 ลกบาศกเมตร = 1,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร

1 ถง = 20 ลตร (ทะนานหลวง)

1 เกวยน = 100 ถง

1 เกวยน = 2 ลกบาศกเมตร

1 เกวยน = 2,000 ลตร

1 แกลลอน = 4.546 ลตร

1 ลกบาศกนว = 16.103235 ลกบาศกเซนตเมตร

1 ลกบาศกนว = 0.0164 ลตร

1 ลกบาศกฟต = 1.728 ลกบาศกนว

1 ลกบาศกฟต = 28.32 ลตร

1 บารเรล = 158.98 ลตร

121

ตวอยางท 1 อางนาทรงสเหลยมมมฉากใบหนง กวาง 30 เซนตเมตร ยาว 50 เซนตเมตร และสง

40 เซนตเมตร 1. อางใบนจนากลตร 2. ถามนาบรรจเตมอาง และนา 1 ลกบาศกเซนตเมตร หนก 1 กรม จงหานาหนกของ

นาในอางใบน

วธทา 1. ปรมาตรของอางนา = ความกวาง × ความยาว × ความสง

ปรมาตรของอางนา = 30 × 50 × 40 แทนคา


เมอเทยบกบหนวยปรมาตร

1,000 ลกบาศกเซนตเมตร = 1 ลตร

60,000 ลกบาศกเซนตเมตร 000,1000,60

= = 60 ลตร

2. นา 1 ลกบาศกเซนตเมตร หนก 1 กรม

นา 60,000 ลกบาศกเซนตเมตร หนก 60,000 กรม 000,1000,60

= = 60 กโลกรม

ตอบ 60 กโลกรม

4ตวอยางท 2

วธทา ปรมาตร = πr

ถงเกบนาฝนทรงกระบอกเสนผานศนยกลางภายใน 3 เมตร สง 5 เมตร คดเปน

ปรมาตรของนากลตร

2

=

h

55.15.1722

×××

= 35.36 ลกบาศกเมตร

= 35.36 X 1,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร

= 35,360,000 ลกบาศกเซนตเมตร

เนองจาก 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร = 1 ลตร

ดงนน 35,360,000 ลกบาศกเซนตเมตร = 000,1

000,360,35 = 35,360 ลตร

122

1. สระแหงหนงเปนรปสเหลยมผนผา กนสระกวาง 5 วา ลก 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเครองสบนา

ออกจากสระไดนาทละ 9,000 ลตร จะตองใชเวลาสบนาเทาไร


……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

2. อางเลยงปลาทรงสเหลยมมมฉากกวาง 90 เซนตเมตร ยาว 1.2 เมตร จนา 540 ลตร ตองการป

กระเบองภายในอางดวยแผนกระเบองรปสเหลยมจตรส ยาวดานละ 10 เซนตเมตร ตองใชกระเบอง

อยางนอยทสดเทาไร

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

3. นายาบวนปากขวดหนงปรมาตรสทธ 700 มลลลตร ใชอมปวนปากครงละ 10 มลลลตร วนละ 2

ครง จะใชไดกวน

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

4. ถงนาทรงลกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จนาไดกลตร

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

5. ถงทรงสเหลยมมมฉากวดภายในกวาง 90 เซนตเมตร ยาว 1.50 เซนตเมตร สง 1.20 เมตร บรรจนา

เตมถง ถาตองการตวงนาจากถงใสแกลอนซงมความจ 4.5 ลตร จะไดนาทงหมดกแกลอน

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

123

เรองท 5 การแกโจทยปญหาเกยวกบปรมาตรและพนทผว

ตวอยาง ลงกระดาษบรรจกลองซด วดความยาวภายในไดกวาง 12 เซนตเมตร บรรจ ยาว 14 เซนตเมตร

และสง 15 เซนตเมตร และบรรจกลองซดเตมลงพอด ลงกระดาษนมปรมาตรเทาไร และถาหยบกลอง

ซดออกมา 1 กลอง ซงมปรมาตร 270 ลกบาศกเซนตเมตร กลองซดจะหนาเทาไร

วธทา

= (12 x 14) x 15

ลงกระดาษมปรมาตร = พนทฐาน x สง

= 2, 520 ลกบาศกเซนตเมตร

กลองซด 1 กลอง มปรมาตร = พนทฐาน x หนา

270 = (12 x 15) x หนา

หนา = 1512

270×

กลองใสซดมความหนา = 1.5 เซนตเมตร

ลงกระดาษมปรมาตร 2,520 ลกบาศกเซนตเมตร

ตวอยาง นาขนครงวงกลมรศม 3 นว ตกนาใสถงทรงกระบอกทมรศม 10 นว และสง 27 นว กครง

นาจงจะเตมถง

วธทา21

ปรมาตรนา 1 ขน = ของปรมาตรของทรงกลม

= 3

34

21 rπ×

= 33334

21

××××× π

= 18 π ลกบาศกนว

ปรมาตรถงทรงกระบอก = hr 2π

= π 27102 ××

= 2,700 π ลกบาศกนว

จะตองตกนา = ππ

18700,2

ครง

= 150 ครง

ตอบ 150 ครง

124

1. ถงเกบนามนของปมแหงหนงเปนรปทรงกลม มเสนผานศนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสครง

ทรงกลมบน โดยเสยคาทาสตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสยคาทาสกบาท


.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. หนออนทรงลกบาศกมขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลงใหเปนรปทรงกลมใหมขนาดเสน

ผานศนยกลางเทากบความยาวของดานลกบาศก จงหาวาจะตองกลงหนออกไปปรมาตรเทาใด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. นาแทงตะกวทรงสเหลยมมมฉากกวาง 8 นว ยาว 11 นว หนา 5 นว ไปหลอมเปนลกปนทรงกลม

ขนาดรศม 1 นว จะหลอมไดกลก

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

125

เรองท 6 การคาดคะเนเกยวกบปรมาตรและพนทผว

การคาดคะเนพนท เปนการประมาณพนทอยางคราวๆ จากการมองโดยอาศยประสบการณ

และความรเกยวกบขนาดและความยาวมาชวยในการเปรยบเทยบและตดสนใจ เพอใหใกลเคยงกบ

พนทจรงมากทสด หนวยพนททนยมใช คอ ตารางเซนตเมตร(ซม.2 ) ตารางเมตร(ม.2) และตารางวา

(วา2

การคาดคะเนพนทของรปหลายเหลยม

)

ตวอยาง จงคะเนหาพนทรปหลายเหลยมตอไปน

126

วธคด ในบางครงการหาพนทรปหลายเหลยมตางๆ ทไมไดระบหนวยความยาว เราอาจจะใช

วธการสรางหนวยตาราง 1 หนวย คลมพนทดงกลาว

โดยกาหนด

แทนพนท 1 หนวย

หรอ

แทนพนท 1 ตารางเซนตเมตร

หรอ

แทนพนท 1 ตารางเมตร

หรอ

แทนพนท 1 ตารางวา

จากรปภาพนบรป ได 22 รป ซงแทนพนท 22 ตารางหนวย

ดงนนพนทรปหลายเหลยม = 22 ตารางหนวย

127

บทท 7

คอนดบและกราฟ


คอนดบ เปนการจบคระหวางสมาชกสองตวจากกลม เพอนาไปจดทากราฟบนระนาบพกด

หาปรมาณ ความเกยวของของปรมาณสองชด


1. อานและอธบายความหมายคอนดบได

2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกดฉากทกาหนดใหได

3. เขยนกราฟแสดงความเกยวของของปรมาณสองชดทกาหนดใหได


เรองท 1 คอนดบ

เรองท 2 กราฟของคอนดบ

เรองท 3 การนาคอนดบและกราฟไปใช

128

เรองท 1 คอนดบ คอนดบ (Ordered pairs) เปนการจบคระหวางสมาชกสองตวจากกลม 2 กลมทม

ความสมพนธภายใตเงอนไขทกาหนด เขยนแทนดวยสญลกษณ (a , b) อานวา คอนดบเอบ

เรยก a วา สมาชกตวหนา หรอสมาชกตวทหนง

และเรยก b วา สมาชกตวหลง หรอสมาชกตวทสอง ดงแผนภาพ

เขยนเปนคอนดบไดดงน (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48)

หมายเหต คอนดบ (1,a) ≠ (a,1)

ถากาหนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคอนดบ 2 คใดๆ จะไดวา ( a , b ) = ( x , y ) กตอเมอ

a = x และ b = y

เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12)

ดงนน x = 5 และ y = 12

2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0)

วธทา x – 3 = 0 และ y – 2 = 0

ดงนน x = 3 และ y = 2

129


1. จงเขยนคอนดบจากแผนภาพทกาหนดให

ตอไปน

1).

……………………………………………

……………………………………………

2).

……………………………………………

……………………………………………

3).

……………………………………………

……………………………………………

2. จงหาคา x และ y จากเงอนไขทกาหนดให

ในแตละขอตอไปน

1). (x,y) = (4,3)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

2). (x,y) = (y,2)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

3). (x,0) = (6,y)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

4). (x+1,y) = (5,4)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

130

เรองท 2 กราฟของคอนดบ กราฟของคอนดบเปนแผนภาพทแสดงความสมพนธระหวางสมาชกของกลมหนงกลบ

สมาชกของอกกล มหนงโดยใชเสนจานวนในแนวนอนหรอแนวตง ใหตดกนเปนมมฉาก ท

ตาแหนงของจดทแทนศนย (0) ซงเราเรยกวา จดกาเนด ดงภาพ

เสนจานวนในแนวนอน หรอแกน X และเสนจานวนในแนวตง หรอแกน Y อยบนระนาบ

เดยวกน และแบงระนาบออกเปน 4 สวนเรยกวา จตภาค (Quadrant)

การอานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกดฉากทกาหนดให

131

ตาแหนงของจด A คอ (1,2)

ตาแหนงของจด B คอ (-2,3)

ตาแหนงของจด C คอ (-3,-2)

ตาแหนงของจด D คอ (2,-4)

เรยกจดทแทนตาแหนงคอนดบวากราฟของคอนดบ และเรยกตาแหนงของคอนดบวา พกด

ตวอยาง กาหนด A = (-4,6) , B= (3,-5) , C= (2,2) , D = (-1,-2) จด A, B, C, D อยในจตภาคใด

วธทา จด A = (-4,6) อยในจตภาคท 2

จด B = (3,-5) อยในจตภาคท 4

จด C = (2,2) อยในจตภาคท 1

จด D = (-1,-2) อยในจตภาคท 3

132


1. จงหาพกดของจด A, B, C, D ในแตละขอ

1.1

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................. 1.2

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

133

2. จงเขยนกราฟของคอนดบในแตละขอ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0)

2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

134

เรองท 3 การนาคอนดบและกราฟไปใช เราสามารถนาคอนดบและกราฟไปใชในชวตประจาวนได ซงจะกลาวในตวอยางตอไปน 4ตวอยางท 1

4

กราฟทแสดงปรมาณนามน (ลตร) และราคานามน (บาท) ของวนท 5 เดอนมนาคม ป 2552

ซงมราคาลตรละ 19 บาท

วธทา

4ตวอยางท 2

4

จากกราฟในตวอยางท 1 จงตอบคาถามตอไปน

(1) นามน 9 ลตร ราคาเทาใด

(2) เงน 209 บาท ซอนามนไดกลตร

วธทา

ราคานามน (บาท)

ปรมาณนามน (ลตร)

135

(1) จากตาแหนงแสดงปรมาณนามน 9 ลตร ลากเสนตรงใหขนานกบแกนตงไป

ตดกราฟและจากจดทตดกราฟลากเสนตรงขนานแกนนอนไปตดแกนทแสดงราคานามน เปนเงน

171 บาท ดงนน นามน 9 ลตร เปนราคา 171 บาท

(2) จากตาแหนงแสดงราคานามน 209 ลตร ลากเสนตรงใหขนานกบแกนนอนไปตดกราฟและ

จากจดทตดกราฟลากเสนตรงขนานแกนตงไปตดทแกนแสดงจานวนนามนเปนปรมาณ 11 ลตร

ดงนน เงน 209 ลตร จะซอนามนได 11 ลตร

กราฟขางลางแสดงการเดนทางของอนวฒนและอนพนธ


จงใชกราฟทกาหนดใหตอบคาถามตอไปน

1.อนวฒนออกเดนทางกอนอนพนธกชวโมง 4.อนวฒนออกเดนทางนานเทาไรจงจะหยดพก

................................................................. .................................................................

2.อนพนธใชเวลาเดนทางกชวโมงจงทนอนวฒน 5.ตาแหนงทอนวฒนหยดพกหางจากตาแหนงท

อนพนธออกเดนทางกกโลเมตร

................................................................. .................................................................

3. อนพนธเดนทางทนอนวฒนเมอทงสอง

เดนทางไดกกโลเมตร

.................................................................

136

บทท 8

ความสมพนธระหวางรปเรขาคณตสองมตและสามมต


รปเรขาคณตสองมต และสามมต มความสมพนธกนเปนอยางมาก เหมาะทจะนาไปใชใน

การประดษฐเปนรปลกบาศกและใชประโยชนในชวตประจาวน


1. อธบายลกษณะของรปเรขาคณตสามมตจากภาพสองมตทกาหนดใหได

2. ระบภาพสองมตทไดจากการมองดานหนา ดานขาง ดานบน ของรปเรขาคณตสาม

มตทกาหนดใหได

3. วาดหรอประดษฐรปเรขาคณตทประกอบขนจากลกบาศกเมอกาหนดภาพสองมตทได

จากการมองทางดานหนา ดานขาง หรอดานบนได


เรองท 1 ภาพของรปเรขาคณตสองมตทเกดจากการคลรปเรขาคณตสามมต

เรองท 2 ภาพสองมตทไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรอดานบนของรปเรขาคณตสามมต

เรองท 3 การวาดหรอประดษฐรปเรขาคณตทประกอบขนจากลกบาศก

137

เรองท 1 ภาพของรปเรขาคณตสองมตทเกดจาการคลรปเรขาคณตสามมต

รปเรขาคณตมสวนเก ยวของสมพนธกบชวตประจาวนมนษยตงแตอดตจนถงปจจบน

สงแวดลอมตางๆ ทอยรอบตวเราลวนเปนไปดวยวตถรปเรขาคณต นอกจากนเราใชเรขาคณตเพอ

ทาความเขาใจหรออธบายสงตางๆ รอบตว เชน ในการสารวจพนท สรางผงเมอง เปนตน ภาพของรปเรขาคณต รปเรขาคณต เปนรปทประกอบดวย จด ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยางนอยหนง

อยาง ตวอยางภาพเรขาคณตสองมต

ตวอยางรปเรขาคณตสามมต

จะเหนวา รปเรขาคณตสามมต หรอทรงสามมต มสวนประกอบของรปเรขาคณตหนงมต

และสองมต

138

รปคลของรปเรขาคณตสามมต รปคลของรปเรขาคณตสามมต หรอทรงสามมตใดๆ เปนรปเรขาคณตสองมตทสามารถ

นามาประกอบกนแลวไดทรงสามมต พจารณาทรงสเหลยมมมฉากทมความกวาง ความยาว และความสง 1 หนวย เทากน ซงเรา

เรยกทรงสเหลยมมมฉากนวา “ลกบาศก”

139

1. จงบอกชนดของรปเรขาคณตสามมตทมรปคลดงตอไปน แบบฝกหดท 1

1. ……..………………………...…. 2. ….……………………………….

3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

140

2. จงเขยนรปคลของรปเรขาคณตสามมตในแตละขอตอไปน

141

เรองท 2 ภาพสองมตทไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรอดานบนของรปเรขาคณต

สามมต โดยทวไปการเขยนรปเรขาคณตสองมต ในการอธบายลกษณะของรปเรขาคณตสามมต

นยมเขยน 3 ภาพ ซงประกอบดวย ภาพทไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบน ดง

ตวอยาง

ตวอยาง จงแรเงาพรอมทงเขยนรปเรขาคณตสองมตสวนทเปนดานบน ดานหนา และดานขางของ

ทรงสามมตทกาหนดใหตอไปน

142

วธทา

143

แบบฝกหดท 2 จงเขยนภาพดานบน ดานหนา และดานขางของรปเรขาคณตสามมตทกาหนดให

144

เรองท 3 การวาดหรอประดษฐรปเรขาคณตทประกอบขนจากลกบาศก พจารณารปเรขาคณตสามมตทประกอบขนจากลกบาศกตอไปน

จะเหนวา เมอเขยนรปเรขาคณตสองมต แสดงภาพทไดจากการมองดานหนา ดานขาง และ

ดานบนดงภาพ

จะเหนวาการเขยนรปเรขาคณตสองมต เพอแสดงรปเรขาคณตสามมตทประกอบขนจาก

ลกบาศก เราสามารถเขยนจานวนลกบาศกกากบไวในตารางรปสเหลยมจตรสในดานทมองทงสาม

ดานดงภาพตอไปน

145

ตวอยาง จงเขยนภาพทไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบนของรปสามมตท

กาหนดให พรอมทงเขยนตวเลขแสดงจานวนลกบาศกกากบไวในตาราง

เขยนแสดงภาพทงหมดไดดงน

146

จงจบคภาพดานหนา ดานขาง และดานบน ในแตละขอตอไปนกบรปเรขาคณตสามมตท

กาหนดใหทางขวามอ โดยเลอกตวอกษรทกากบไวในรปเรขาคณตสามมต เขยนเตมลงในชองวาง

บนขวาของแตละขอ


147

148

2. จงเขยนภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรปเรขาคณตสามมตตอไปน พรอมทงเขยน

จานวนลกบาศกกากบไวในตารางสเหลยมจตรส

149

บทท 9

สถต


1. ขอมลเบองตนของสถต จะชวยใหทราบขอเทจจรงทชดเจนถกตอง ซงจะเปนประโยชน

สาหรบการวางแผนการดาเนนงาน และตดสนใจปรบปรงการดาเนนงานตามผลทไดนาเสนอขอมล

ไว

2. การนาเสนอขอมล มความมงหมายเพอแสดงใหเหนรายละเอยดของขอมลไดงาย ชดเจน

และรวดเรว สามารถนาขอมลไปใชประโยชนไดทนท ฉะนนการเลอกใชวธการนาเสนอขอมลตอง

ใหเหมาะสมกบลกษณะของขอมลและการใชประโยชนเปนสาคญ


1. สามารถจดเกบรวบรวมขอมลทเหมาะสมได

2. สามารถนาเสนอขอมลในรปแบบทเหมาะสมได

3. หาคากลางของขอมลทไมแจกแจงความถ

4. เลอกและใชคากลางของขอมลทกาหนดใหไดอยางเหมาะสม

5. อาน แปลความหมาย และวเคราะหขอมลจากการนาเสนอขอมลทกาหนดใหได

6. อภปรายและใหขอคดเหนเกยวกบขอมลขาวสารทางสถตทสมเหตสมผลได


เรองท 1 การรวบรวมขอมล

เรองท 2 การนาเสนอขอมล

เรองท 3 การหาคากลางของขอมล

เรองท 4 การเลอกใชคากลางของขอมล

เรองท 5 การใชสถตขอมลและสารสนเทศ

150

เรองท 1 การรวบรวมขอมล

1.1 สถต

คาวา สถต (Statistics) มาจากภาษาเยอรมนวา Statistik มรากศพทมาจาก Stat

สถต หมายถง ขอมลหรอสารสนเทศ หรอตวเลขแสดงจานวนหรอปรมาณของสงตาง ๆ ท

ไดรวบรวมไว

สถต หมายถง วธการทวาดวยการเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การวเคราะห

ขอมลและการตความหมายขอมล สถตในความหมายนเปนทงวทยาศาสตรและศลปศาสตร เรยกวา

"สถตศาสตร”

สรป สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยการเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล และการวเคราะห

ขอมล

1.2 การรวบรวมขอมล4

การรวบรวมขอมล หมายถง

(Data Collection)

การนาเอาขอมลตางๆ ทผอนไดเกบไวแลว หรอรายงานไวใน

เอกสารตางๆ มาทาการศกษาวเคราะหตอ

4

4

1.3 ประเภทของขอมล

4

ขอมล หมายถง ขอเทจจรงเกยวกบตวแปรทสารวจโดยใชวธการวดแบบใดแบบหนง

โดยทวไปจาแนกตามลกษณะของขอมลไดเปน 2 ประเภท คอ

4

1) ขอมลเชงปรมาณ (Quantitative Data) คอ ขอมลทเปนตวเลขหรอนามาใหรหสเปน

ตวเลข ซงสามารถนาไปใชวเคราะหทางสถตได เชน อาย นาหนก สวนสง

2) ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative Data) คอ ขอมลทไมใชตวเลข ไมไดมการใหรหส

ตวเลขทจะนาไปวเคราะหทางสถต แตเปนขอความหรอขอสนเทศ เชน เพศ ระดบการศกษา อาชพ

4

4

1.4 แหลงทมาของขอมล

แหลงขอมลทสาคญ ไดแก บคคล เชน ผใหสมภาษณ ผกรอกแบบสอบถาม บคคลทถก

สงเกต เอกสารทกประเภท และขอมลสถตจากหนวยงาน รวมไปถง ภาพถาย แผนท แผนภม หรอ

แมแตวตถ สงของ กถอเปนแหลงขอมลไดทงสน โดยทวไปสามารถจดประเภทขอมลตาม

แหลงทมาได 2 ประเภท คอ

151

4

4

1) ขอมลปฐมภม (Primary Data) คอ ขอมลทผวจยเกบขนมาใหมเพอ

ตอบสนองวตถประสงคการวจยในเรองนนๆ โดยเฉพาะการเลอกใชขอมลแบบปฐมภม ผวจยจะ

สามารถเลอกเกบขอมลไดตรงตามความตองการและสอดคลองกบวตถประสงค ตลอดจนเทคนค

การวเคราะห แตมขอเสยตรงทสนเปลองเวลา คาใชจาย และอาจมคณภาพไมดพอ หากเกดความ

ผดพลาดในการเกบขอมลภาคสนาม

2) ขอมลทตยภม (Secondary Data) คอ ขอมลตางๆ ทมผเกบหรอรวบรวมไว

กอนแลว เพยงแตนกวจยนาขอมลเหลานนมาศกษาใหม เชน ขอมลสามะโนประชากร สถตจาก

หนวยงาน และเอกสารทกประเภท ชวยใหผวจยประหยดคาใชจาย ไมตองเสยเวลากบการเกบขอมล

ใหม และสามารถศกษายอนหลงได ทาใหทราบถงการเปลยนแปลงและแนวโนมการเปลยนแปลง

ของปรากฏการณทศกษา แตจะมขอจากดในเรองความครบถวนสมบรณ เนองจากบางครงขอมลท

มอยแลวไมตรงตามวตถประสงคของเรองทผวจยศกษา และปญหาเรองความนาเชอถอของขอมล

กอนจะนาไปใชจงตองมการปรบปรงแกไขขอมล และเกบขอมลเพมเตมจากแหลงอนในบางสวนท

ไมสมบรณ

4

4

1.4 วธการเกบรวบรวมขอมล อาจแบงเปนวธการใหญๆ ได 3 วธ คอ

4

1) การสงเกตการณ (Observation) ทงการสงเกตการณแบบมสวนรวม และการ

สงเกตการณแบบไมมสวนรวม หรออาจจะแบงเปนการสงเกตการณแบบมโครงสราง และการ

สงเกตการณแบบไมมโครงสราง

4

2) การสมภาษณ (Interview) นยมมากในทางสงคมศาสตร โดยเฉพาะการ

สมภาษณโดยใชแบบสอบถาม การสมภาษณแบบเจาะลก หรออาจจะจาแนกเปนการสมภาษณเปน

รายบคคล และการสมภาษณเปนกลม เชน เทคนคการสนทนากลม ซงนยมใชกนมาก

3) การรวบรวมขอมลจากเอกสาร เชน หนงสอ รายงานวจย วทยานพนธ บทความ

สงพมพตางๆ เปนตน

4

1. การสมภาษณบคคลทเกยวของ

2. การบนทกขอมลจากจากบนทกหรอเอกสารของหนวยงานตางๆ

3. การอานและศกษาคนควา

4. การคนหาขอมลจากอนเทอรเนต

5. การเขารวมในเหตการณตางๆ

6. การฟงวทยและดโทรทศน

1.5 ขนตอนการเกบรวบรวมขอมล

152

4แบบฝกหดท 1

4

1. ใหผเรยนพจารณาขอความตอไปนแลวเขยนเครองหมาย ลงในชองทตรงกบความคดเหนของ

ผเรยน

4ขอท 4

ขอความ ขอมลสถต

4 4เปน ไมเปน

4 41 แดงสง 163 เซนตเมตร

4 42 นางสาวภาวมสวนสดเปน 35-24-36

4 43 นาหนกของนกเรยนทกคนทเรยนชดการเรยนทางไกล

4 44 อณหภมทจงหวดปทมธานวนนวดได 25 องศาเซลเซยส

4 45 สมศรไดคะแนน 15 คะแนน

4

4

6

106

ในการโยนเหรยญ 10 ครง เกดหว 6 ครง เกดกอย 4 ครง ได

อตราสวนทจะเกดหว

4 47 อาจารยศภราเงนเดอน 23,000 บาท

4 48 ความสงเฉลยของประชาชนทเปนชาย 162 เซนตเมตร

4 49 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญง 2 คน ทอยในบานวชย

4

4

10 จานวนคดอาชญากรรมในป 2551 ซงรวบรวมมาจากบนทกคด

อาชญากรรมแตละวนในแตละสถานตารวจ

4

4

2. ใหผเรยนพจารณาขอมลในแตละขอตอไปน แลวเขยนเครองหมาย ลงในชองทตรงกบความ

คดเหน

4ขอท

4

ขอความ

ขอมลสถต

4 4ขอมล

คณภาพ

ขอมล

ปรมาณ

4 41 สถตคนไขแยกตามเชอโรคของโรงพยาบาลแหงหนง

4

4

2 จานวนครงของการโทรศพททางไกลจากแตละเครองใน

สานกงาน 10 เครอง ในวนหนง

4

4

3 ผจดการถกสมภาษณถงจานวนเปอรเซนตของเวลาทางานทใชใน

การประชม

4

4

4 เครองสาอางโดยเฉพาะสของสทาปาก ซงแตละบรษทใน 10

บรษท ไดระบวามยอดขายมากทสด

153

4

4

3. ใหผเรยนพจารณาขอความตอไปน แลวเตมคาตอบลงในชองวางตามความคดเหนของผเรยนวา

เปนขอมลปฐมภม หรอทตยภม

1) รายงานประจาปของหนวยงานตางๆ

………………………………………………………………………………………………………

4 2) สานกงานสถตแหงชาต ตองการเกบสถตผลผลตขาวทวประเทศ โดยการไปสมภาษณ

ชาวนา

………………………………………………………………………………………………………

4 3) ศรนภาไปขอขอมลเกยวกบจานวนคนเกด ตาย และยาย ซงสานกงานเทศบาลแหงหนง

ไดรวบรวมไว

………………………………………………………………………………………………………

4 4) บรรณารกษหองสมดโรงเรยนแหงหนง ไดสงเกตและบนทกการใชหองสมดของ

นกเรยนแตละวน

………………………………………………………………………………………………………

5) ครคนหนงตองการทราบวาหองสมดของโรงเรยนมนกเรยนใชมากหรอนอยเพยงใดใน

แตละวน จงไปขอลอกขอมลจากบรรณารกษ

………………………………………………………………………………………………………

154

4

4

เรองท 2 การนาเสนอขอมล

การนาเสนอขอมลเปนการนาขอมลทเกบรวบรวมมาจากแหลงตาง ๆ ซงยงไมเปนระบบ

มาจดเปนหมวดหมใหมความสมพนธเกยวของกนตามวตถประสงค เพอสะดวกแกการอาน ทา

ความเขาใจ การวเคราะห และแปลความหมาย เพอประยกตใชในชวตประจาวนตอไป

4

การนาเสนอขอมลแบงออกเปน 2 ประเภท ไดแก

1. การนาเสนอขอมลอยางไมมแบบแผน 4

4

(informal presentation) หมายถง การนาเสนอ

ขอมลทไมมกฎเกณฑ หรอแบบแผนทแนนอนตายตว เปนการอธบายลกษณะของขอมลตามเนอหา

ขอมล ทนยมใชมสองวธคอ การนาเสนอขอมลในรปบทความหรอขอความเรยง และการนาเสนอ

ขอมลในรปบทความกงตาราง

- การนาเสนอขอมลในรปขอความ นยมใชกบขอมลทมจานวนไมมากนก เชน 4 ใน

ปงบประมาณ 2552 กศน.บานแพว ไดอนมตใหนกเรยนระดบชนมธยมศกษาตอนตนจบการศกษา

จานวน 480 คน คดเปนรอยละ 92 อนมตใหนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนปลายจบการศกษา

จานวน 372 คน คดเปนรอยละ 95

- การนาเสนอขอมลในรปขอความกงตาราง (Semi – tabular arrangement) คอ การนาเสนอ

ขอมล โดยแยกตวเลขออกจากขอความ เพอตองการใหเหนตวเลขทชดเจนและเปรยบเทยบความ

แตกตางไดสะดวกยงขน ตวอยาง เชน บรษทคอมพวเตอรแหงหนงมจานวนยอดขายประจาเดอน

มกราคม 2553 ของลกคา จาแนกตามภาคตาง ๆ ดงน

ภาค จานวนยอดขาย ( พนเครอง )

เหนอ 210

กลาง 398

ตะวนออก 135

ตะวนออกเฉยงเหนอ 102

ใต 170

4

2. การนาเสนอขอมลอยางมแบบแผน เปนการนาเสนอขอมลทมกฎเกณฑ โดยแตละแบบ

จะตองประกอบดวยชอเรอง สวนของการนาเสนอ และแหลงทมาของขอมล การนาเสนอขอมล

อยางมแบบแผน ประกอบดวย การนาเสนอขอมลในรปตาราง แผนภมรปภาพ แผนภมวงกลม

(แผนภมกง) แผนภมแทง กราฟเสน และตารางแจกแจงความถ

4

2.1 การนาเสนอขอมลในรปตาราง

การนาเสนอในรปตาราง (Tabular presentation) ขอมลตางๆ ทเกบรวบรวมมาไดเมอทา

การประมวลผลแลวจะอย ในรปตาราง เปนการนาเสนอขอมลท งาย และนยมใชกนอยาง

แพรหลาย เพราะมความสะดวกและงายแกการนาไปวเคราะหและแปลความหมายทางสถต

155

เปรยบเทยบการปรบราคานามนป 2521-2523

(ราคา : บาท / ลตร)

ชนดนามน 2521 2522 2523

10 ม.ค. 31 ม.ค. 22 ม.ค. 13 ก.ค. 20 ก.ค. 9 ก.พ. 20 ม.ค.

เบนซนพเศษ 4.98 5.60 - 7.84 - 9.80 -

เบนซนธรรมดา 4.98 5.12 - 7.45. - 9.26 -

นามนกาด 2.68 3.06 - 5.12 4.20 6.71 5.70

ดเซลหมนเรว 2.64 3.03 - 4.88 - 7.39 6.50

ดเซลหมนชา 2.50 2.93 - 4.71 - 7.12 6.27

นามนเตา 450 1.52 - - - - - -

นามนเตา 600 1.66 1.86 1.90 3.04 - 3.78 -

นามนเตา 1,200 1.62 1.79 1.83 2.93 - 3.64 -

นามนเตา 1,500 1.61 1.77 1.81 2.90- - 3.61 -

ทมา: ภาวะการคาของประเทศไทยป 2522 สภาหอการคาแหงประเทศไทย

4

4

2.2 การนาเสนอขอมลดวยแผนภมรปภาพ

แผนภมรปภาพ4

ปลกตนไม

คอ แผนภมทใชรปภาพแทนจานวนของขอมลทนาเสนอ เชน แผนภม

รปภาพคน รปภาพคน 1 คน แสดงประชากรทนาเสนอ 1 ลานคน เปนตน

การเขยนแผนภมรปภาพ อาจกาหนดใหรปภาพ 1 รปแทนจานวนสงของ 1 หนวย หรอ

หลายหนวยกไดรปภาพแตละรปตองมขนาดเทากนเสมอ

แผนภมแสดงงานอดเรกของนกเรยนชน ป. 6 ของโรงเรยนแหงหนง (สารวจเมอวนท 19 มกราคม

2548)

อานหนงสอ

วาดรป

เลยงสตว

เลนกฬา

หมายเหต 1 ภาพ แทนจานวนนกเรยน 15 คน

156

2.3 การนาเสนอดวยแผนภมแทง (Bar chart)

ประกอบดวยรปแทงสเหลยมผนผาซงแตละ

แทงมความหนาเทาๆ กน โดยจะวางตามแนวตงหรอแนวนอนของแกนพกดฉากกได

แผนภมแทงแบบทางเดยว เปนการนาขอมลเพยงขอมลเดยวมานาเสนอในรปแบบของ

แทงสเหลยม

ตวอยาง แผนภมแทงแสดงการสงออกไกไปตางประเทศ

แผนภมแทงแสดงการเปรยบเทยบ เปนการนาขอมลตงแต 2 ชดขนไปทเปนเรองเดยวกน

นามาเขยนบนแกนคเดยวกน แลวระบายสแทงสเหลยมใหตางกนเพองายตอการด แลวอธบายวาส

ใดแทนอะไร

ตวอยาง แผนภมแสดงการเปรยบเทยบยอดการขายแตละเดอนของบรษทหนง

ปรมาณ (ตน)

ประเทศ

จานวน (ลานบาท)

157

2.4 การนาเสนอดวยกราฟเสน (Line graph)

เปนแบบทรจกกนดและใชกนมากทสดแบบ

หนง เหมาะสาหรบขอมลทอยในรปของอนกรมเวลา เชน ราคาขาวเปลอกในเดอนตางๆ ปรมาณ

สนคาสงออกรายป เปนตน

จากตาราง นาเสนอขอมลดวนกราฟเสน ดงน

2.5 การนาเสนอดวยรปแผนภมวงกลม (Pie chart)

4

เปนการแบงวงกลมออกเปนสวนตางๆ

ตามจานวนชนดของขอมลทจะนาเสนอ

ตวอยาง แผนภมวงกลมแสดงการใชทดนทถอครอบ เพอการเกษตร พ.ศ. 2518

158

ขอมลทเกบรวบรวมมาไดนน ถามจานวนมากหรอซากนอยมาก เมอมาเรยงกนหรอจดให

อยเปนหมวดหมแลว จะชวยใหเราบอกรายละเอยดตางๆ หรอสรปผลเกยวกบขอมลไดสะดวกและ

รวดเรวขน

2.6 การนาเสนอขอมลในรปตารางแจกแจงความถ

เชน

ในการชงนาหนกของนกเรยน 40 คน หนวยเปนกโลกรม ปรากฏผลดงน

57 44 46 41 48 50 51 42 43 45

45 43 42 40 50 41 47 60 50 52

46 42 42 53 46 55 45 41 50 42

44 41 40 45 59 44 49 50 39 42

4

4

ในทางสถตเรยกวา ขอมลดบ หรอคะแนนดบ หรอคาจากสงเกต เมอนามาจดเรยงใหมให

เปนระบบโดยอาจเรยงจากมากไปหานอยหรอจากนอยไปหามาก แลวบนทกรอยขด แสดงจานวน

ครงของขอมลทเกดขนซากนในตาราง จานวนรอยขดทนบไดเรยกวา ความถของแตละขอมล

ตารางทนาเสนอขอมลในรปแบบนเรยกวา ตารางแจกแจงความถ และวธการจาแนกขอมล

โดยการบนทกรอยขดเพอหาคาความถเรยกวา การแจกแจงความถ

การสรางตารางแจกแจงความถ

ในกรณทขอมลทเกบรวบรวมมามจานวนมากๆ และไมคอยซากน ถาจะเรยงลาดบจะเปน

การเสยเวลาและสนเปลองมาก จงกาหนดขอมลเปนชวงๆ และหาความถของชวงขอมลนนๆ

วธการสรางตารางแจกแจงความถ โดยจดเปนอนตรภาคชนใหทกๆ ชนมความกวาง

เทากน มวธการดงน

1. หาพสยของขอมล

พสย = ขอมลทมคาสงสด – ขอมลทมคาตาสด

159

2. กาหนดจานวนชนหรอกาหนดความกวางของอนตรภาคชนขนมา

- ถากาหนดจานวนชนกใหหาความกวางของอนตรภาคชน

ความกวางของอนตรภาคชน = พสย

จานวนอนตรภาคชน

(เศษเทาไรปดขนเสมอ)

- ถากาหนดความกวางของอนตรภาคชนกหาจานวนชนไดจาก

จานวนอนตรภาคชน = พสย

ความกวางของอนตรภาคชน

(เศษเทาไรปดขนเสมอ)

3. เขยนอนตรภาคชนโดยเรยงคาจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย ถาเรยงคาจากนอยไปมาก

ตองใหขอมลทมคาตาสดในอนตรภาคชนแรก และขอมลทมคาสงสดอยในอนตรภาคชนสดทาย

4. นาขอมลดบมาใสในตารางโดยใชรอยขด

5. รวมความถตามรอยขด

ตวอยาง จากขอมล

72 74 49 50 62 43 44 54 46 54

45 53 63 67 65 57 65 50 66 69

80 77 60 55 52 56 61 61 82 74

48 66 71 81 51 59 48 68 70 63

จงหา

1. พสย

2. จงสรางตารางแจกแจงความถ ใหมทงหมด 6 ชน

3. จงสรางตารางแจกแจงความถ ใหมความกวางของอนตรภาคชนทกชนเปน 8 ทกชน

160

วธทา

1. ขอมลทมคาสงสดเปน 82

ขอมลทมคาตาสดเปน 43

ดงนนพสย = 82 – 43= 39

ตอบ พสยเปน 39

2. โจทยกาหนดใหสรางตารางแจกแจงความถทงหมด 6 ชน

จานวนอนตรภาคชน = พสย

ความกวางของอนตรภาคชน

จานวนชน = 6

39

= 6.5

≈ 7

ดงนนความกวางของอนตรภาคชนเปน 7

เขยนอนตรภาคชนโดยเรยงคาจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย ถาเอาขอมลทมคาตาสดเปนตว

เรมตน และใหมความกวางของอนตรภาคชนเปน 7 จดไดดงน

อนตรภาคชน รอยขด ความถ

43-49 //// // 7

50-56 //// //// 9

57-63 //// /// 8

64-70 //// /// 8

71-77 //// 5

78-84 /// 3

รวม 40

จากตารางแจกแจงความถขางตน มคาตางๆ ทผเรยนควรทราบอก คอ

4

4

1. ขอบลาง

= 4

คาทนอยทสดของอนตรภาคชนนน + คาทมากทสดของอนตรภาคชนทตากวาหนง

ชน

2

4หรอ ขอบลาง = คาทนอยทสดของอนตรภาคชนทเราตองการ - 0.5

161

4เชน ขอบลางของอตรภาคชน 4

50-56 ไดแก 49.5

4

4

2. ขอบบน = 4

คาทมากทสดของอนตรภาคชนนน + คาทนอยทสดของอนตรภาคชนทสงกวาหนงชน

2

4

4

หรอ ขอบบน = คาทมากทสดของอนตรภาคชนทเราตองการ + 0.5

เชน ขอบบนของอนตรภาคชน 4 5.562

5756=

−50 - 56 = หรอ ขอบบน = 56 + 0.5 = 56.5

4

4

3. จดกงกลางชน = 4

ขอบลาง + ขอบบน (ของอนตรภาคชน)

2

4

4

เชน อนตรภาคชน 50 – 56 มขอบบน และขอบลาง ไดแก 49.5 และ 56.5 ตามลาดบ

532

5.565.49=

+ ดงนน จดกงกลางชน =

162

4


1. แผนภมรปวงกลมแสดงรายไดของหางสรรพสนคาแหงหนงโดยเฉลยตอวน จาแนกตามแผนกตางๆ

จากแผนภมจงตอบคาถามตอไปน

1) รายไดจากแผนกเสอผาบรษ และแผนกเสอผาสตรรวมกนมากกวาหรอนอยกวารายไดจากแผนก

เครองเขยน แบบเรยนอยกเปอรเซนต

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2) รายไดจากแผนกใดนอยทสด และคดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกทรายไดมากทสด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3) รายไดจากแผนกเสอผาสตรคดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกเครองเขยน แบบเรยน

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

4) แผนกใดทมรายไดมากเปนอนดบสอง และรายไดนนคดเปนรอยละเทาไรของรายไดทงหมด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

163

2. จากการสอบถามงบประมาณทแตละกลมสาระการเรยนรไดมาจากการจดสรรงบประมาณของ

ทางโรงเรยน เปนดงน

กลมสาระการเรยนร งบประมาณ

(บาท)

จานวนเปอรเซนต ขนาดของมมทจดศนยกลาง

ของรปวงกลม (องศา)

คณตศาสตร 35,000 29.1010034000035000

=× 06.3736034000035000

=×

วทยาศาสตร 100,000

ภาษาตางประเทศ 48,000

ภาษาไทย 34,500

ศลปะ 18,500

การงานอาชพและเทคโนโลย 40,500

สขศกษาและพลศกษา 29,500

สงคมศกษา ศาสนา และ

วฒนธรรม

34,000

รวม 340,000

3. จงเขยนแผนภมรปวงกลมโดยใชจานวนเปอรเซนตและขนาดของมมทจดศนยกลางของรป

วงกลมทคานวณไดจากตารางขางตน

164

4. ใหผเรยนพจารณากราฟเสนตอไปน

4

4

จากกราฟเสน จงตอบคาถามตอไปน

4

1) ใน พ.ศ. ใดบางทปรมาณไมสกทผลตไดมมากกวาไมประด

4

.............................................................................................................................................................

4

2) ในพ.ศ. ใดทปรมาณของไมสกและไมประดทผลตไดตางกนมากทสด และตางกนประมาณก

ลกบาศกเมตร

4

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

165

4

4

3) ในชวง พ.ศ. 2531 – 2533 ปรมาณไมสกและไมประดทผลตไดมลกษณะการเปลยนแปลงเปน

อยางไร และชนดใดมการเปลยนแปลงมากกวา

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

4) ใน พ.ศ. 2532 ปรมาณไมสกทผลตไดคดเปนกเปอรเซนตของปรมาณไมประดทผลตไดในป

เดยวกน (ตอบเปนคาประมาณของจานวนเตมหนวย)

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

5) ปรมาณไมประดในปทผลตไดมากทสดและในปทผลตไดนอยทสดแตกตางกนประมาณก

ลกบาศกเมตร

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

166

4. ตารางแสดงรายจบ – รายจายของนาย ก ในรอบ 6 เดอนแรกของป พ.ศ. 2546 เปนดงน

4

จากตารางจงนาเสนอขอมลดวยกราฟเสน

167

4

การหาคากลางของขอมลทเปนตวแทนของขอมลทงหมดเพอความสะดวกในการสรป

เรองราวเกยวกบขอมลนนๆ จะชวยทาใหเกดการวเคราะหขอมลถกตองดขน การหาคากลางของ

ขอมลมวธหาหลายวธ แตละวธมขอดและขอเสย และมความเหมาะสมในการนาไปใชไมเหมอนกน

ขนอยกบลกษณะขอมลและวตถประสงคของผใชขอมลนนๆ

คากลางของขอมลทสาคญ ม 3 ชนด คอ

1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic mean) คอ คาทไดจากผลรวมของขอมลทงหมด หารดวยจานวน

ขอมลทงหมด ใชสญลกษณ คอ

เรองท 3 การหาคากลางของขอมล

x

Nxxxxx n...321 +++

=

X แทน ขอมล

N แทน จานวนขอมล

ตวอยาง จากการสอบถามอายของนกเรยนกลมหนงเปนดงน 14 , 16 , 20 , 25 , 30

วธทา คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน คอ 5

3025201614 ++++

= 5

105

= 21

ตวอยาง จากขอมล 4, 8, 4, 5, 8, 5, 6, 8

วธทา คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน คอ 8

86585484 +++++++

= 848

= 6

168

2. มธยฐาน (Median)

คอ คาทมตาแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด เมอไดเรยงขอมลตามลาดบ ไมวาจากนอย

ไปมาก หรอจากมากไปนอย ใชสญลกษณ Med

หลกการคด

21+N

1) เรยงขอมลทมอยทงหมดจากนอยไปมาก หรอมากไปนอยกได

2) ตาแหนงมธยฐาน คอ ตาแหนงกงกลางขอมล ดงนนตาแหนงของมธยฐาน =

เมอ N คอ จานวนขอมลทงหมด

ตวอยาง จงหามธยฐานจากขอมลตอไปน 3, 10, 4, 15, 1,24, 28, 8, 30, 40, 23

วธทา 1. เรยงขอมลจากนอยไปหามาก หรอมากไปหานอย

จะได 1, 3, 4, 8, 10, 15, 23, 24, 28, 30, 40

2. หาตาแหนงของขอมล จาก 2

1+N

จะได 62

111=

+

ดงนน มธยฐานอยตาแหนงท 6 มคาเปน 15

ถาขอมลชดนนเปนจานวนค จะใชคาเฉลยเลขคณตของขอมลคทอยตรงกลางเปนมธยฐาน

ตวอยาง จงหามธยฐานจากขอมลตอไปน 25, 3, 2, 10, 14, 6, 19, 22, 30, 8, 45, 36, 50, 17

วธทา 1. เรยงขอมลจากนอยไปหามาก หรอมากไปหานอย

จะได 2, 3, 6, 8, 10, 14, 17, 19, 22, 25, 30, 36, 45, 50

2. หาตาแหนงของขอมล จาก 2

1+N

จะได 5.72

114=

+

มธยฐานอยระหวางตาแหนงท 7 และ 8

ดงนน มธยฐาน คอ 182

1917=

+

169

3. ฐานนยม (Mode)

ฐานนยมของขอมลชดหนง คอ ขอมลทมความถสงสดในขอมลชดนน หรออาจกลาววา

ขอมลใดการซากนมากทสด(ความถสงสด) ขอมลนนเปนฐานนยมของขอมลชดนน และ ฐาน

อาจจะไมม หรอ มมากกวา 1 คากได

ตวอยาง จากขอมล 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 4, 6, 7 จงหาฐานนยม

วธทา จากขอมลจะเหนวา

ม 2 อยหนงตว

ม 3 อยสองตว

ม 4 อยสามตว


ม 6 อยสามตว



ขอมลทมความถสงสดในทนม 2 ตวคอ 4 และ 6 ซงตางกมความถเปน 3

ดงนน ฐานนยมของขอมลชดน คอ 4 และ 6

170

1. จากขอมล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน


คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….\

มธยฐาน = ………………………………………………….

ฐานนยม = ………………………………………………….

เรยงขอมลจากมากไปหานอยหรอนอยไปหามาก

คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….

มธยฐาน คอ = ………………………………………………….

ฐานนยม คอ = ………………………………………………….

2. จากขอมล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน

คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….\

มธยฐาน = ………………………………………………….

ฐานนยม = ………………………………………………….


คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….

มธยฐาน คอ = ………………………………………………….

ฐานนยม คอ = ………………………………………………….

3. จากขอมล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน

คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….\

มธยฐาน = ………………………………………………….

ฐานนยม = ………………………………………………….


คาเฉลยเลขคณต = ………………………………………………….

มธยฐาน คอ = ………………………………………………….

ฐานนยม คอ = ………………………………………………….

171

เรองท 4 การเลอกใชคากลางของขอมล

ในการทจะเลอกใชคากลางคาใดนน ขนอยกบจดประสงคของผใช ซงคากลางทงสามม

สมบตทแตกตางกนดงน

คาเฉลยเลขคณต

ขอเสย

1. ถาขอมลมบางคาตาเกนไปหรอสงเกนไป จะมผลตอคาเฉลยเลขคณต จงไมเหมาะสมท

จะใช เชน รายไดของพนกงาน 5 คน เปนดงน 7,000 บาท 9,000 บาท 13,500 บาท 18,000 บาท

80,000 บาท

2. ถาขอมลแจกแจงความถชนดปลายเปด เชน นอยกวาหรอเทากบ มากกวาหรอเทากบ จะ

คานวณหาคาเฉลยเลขคณตไมได

3. ใชไดกบขอมลเชงปรมาณเทานน

ขอด

1. มประโยชนในการใชขอมลจากตวอยางอางองไปสประชากร

2. สามารถคานวณไดงายโดยใชคาทไดมาทกจานวน

3. มการนาไปใชในสถตชนสงมากกวาคาเฉลยแบบอน ๆ

4. สามารถเปรยบเทยบกบขอมลชดอนไดงาย

ฐานนยม

ขอเสย

1. บางครงหาฐานนยมไมได

2. การคานวณฐานนยมไมไดใชคาของขอมลทกตว จงไมเปนตวแทนทดนก

3. คาฐานนยมไมคอยนยมใชในสถตชนสง

ขอด

1. เขาใจงายและคานวณงาย

2. สามารถคานวณจากกราฟได

3. เปนคากลางทใชไดกบขอมลเชงคณภาพ

4. เมอมขอมลบางตวเลกหรอใหญผดปกตจะไมกระทบฐานนยม

5. ใชไดดเมอจดประสงคมงทจะศกษาสงทเกดขนบอย หรอลกษณะทคนชอบมากหรอม

คะแนนสวนใหญรวมกนอย ณ คาใดคาหนง

172

6. กรณทขอมลแจกแจงความถชนดปลายเปดสามารถหาฐานนยมได

มธยฐาน

ขอเสย

1. ใชไดกบขอมลเชงปรมาณเทานน

2. สาหรบขอมลทแจกแจงความถหรอขอมลทจดกลมมธยฐานทคานวณไดจะไมใชคา

ขอมลจรง

ขอด

1. คานวณไดงายสาหรบขอมลไมจดกลม

2. ขอมลบางคามคาสงหรอตาเกนไป ไมกระทบกระเทอนตอมธยฐาน จงเหมาะทจะใชมธย

ฐานมากทสด

3. กรณทขอมลแจกแจงความถชนดปลายเปดกสามารถหามธยฐานได

1. จากตารางใหนกเรยนหาความถสะสม โดยเตมลงในชองความถสะสม


2. จากตารางในขอ 1

ฐานนยม คอ ........................................................................................

173

มธยฐาน คอ .......................................................................................

หาคาเฉลยเลขคณต ใหนกเรยนเตมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบรณ

คาเฉลยเลขคณต = ……………………………………………..

= ……………………………………………..

ดงนนคาเฉลยเลขคณต คอ .......................................................

3. ตอไปนเปนตารางแจกแจงความถของนาหนก (หนวยเปนกโลกรม) ของนกเรยน 60 คน

174

175

2) ฐานนยมของนาหนกอยในชวงใด

4

3) โดยสวนใหญนกเรยนหนกอยในชวงใด

.............................................................................................................................................................

4

4) ถาเรยงนาหนกนอยทสดไปยงนาหนกมากทสด จงหาตาแหนงของมธยฐาน

.............................................................................................................................................................

4

5) นกเรยนคดวามธยฐานของนาหนกอยในชวงใด

.............................................................................................................................................................

4

.............................................................................................................................................................

6) หาคาเฉลยเลขคณต ใหนกเรยนเตมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบรณ

คาเฉลยเลขคณต = ……………………………………………..

= ……………………………………………..

ดงนนคาเฉลยเลขคณต คอ .......................................................

176

เรองท 5 การใชสถต ขอมลสารสนเทศ

5.1 สถตในชวตประจาวน

ในชวตประจาวนของคนเรานน สถตมสวนเกยวของอยเสมอ เชน

ในเรองเกยวกบตวนกเรยน อาจจะมการหาความสงโดยเฉลย หรอหานาหนกโดยเฉลย

หรอหาคะแนนเฉลย หรอหาสวนสดโดยเฉลยของนกเรยนทงหองเรยน เปนตน

ในเรองเกยวกบคร-อาจารย กมสถตเกยวกบจานวนคร-อาจารย ระดบผลการเรยนของ

นกเรยน จานวนนกเรยนทตด 0, ร. มส. จานวนนกเรยนทสอบเขามหาวทยาลยไดในแตละรน แต

ละปและสถตการทางานในสถานทตางๆ ของนกเรยนทจบการศกษาในแตละรน เปนตน

ในเรองของขาวสาร สารสนเทศ จะเหนวาในหนงสอพมพ หรอในโทรทศนจะมตวเลข

แสดงใหเหนขอเทจจรงตางๆ เชน สถตเกยวกบการเปลยนแปลงราคาหน อาจจะนาเสนอในรปแบบ

ตางๆ เชน นาเสนอในรปตาราง นาเสนอในรปแผนภมแทง นาเสนอในรปแผนภมวงกลม หรอ

นาเสนอในรปกราฟเสน เปนตน

ในเรองของแรงงาน กมสถตเกยวกบจานวนคนในกาลงแรงงาน เปอรเซนตของคนวางงาน

รายไดและสวสดการทคนงานไดรบ เปนตน

ในเรองเกยวกบการกสกรรม จะเหนวาเกษตรกรตองมการพฒนาอยเรอยๆ เชน การศกษา

ผลผลตขาวพนธใหมเทยบกบพนธเดม หรอการทดลองปลกออยในทดนลกษณะตางๆ การปลกมน

สาปะหลงแบบใดจงจะเหมาะกบสภาพดนของตนเอง หรอการปลกหมอนเลยงไหมพนธไหนดกวา

กน จงจะไดใบหมอนทมคณภาพทงยงเปนการประหยดเวลาและแรงงาน ซงสถตมสวนในการวาง

แผนการ ทดลองและการวเคราะหขอมล

ในเรองของการประกนชวต บรษทประกนกตองมสถตของพนกงานหรอตวแทน หรอ

177

ผจดการแตละฝาย หรอตาแหนงทสงกวา หรอสถตยอดขายในแตละเดอน หรอการปรบอตราการ

ชาระเบยประกนทมการปรบปรงเปลยนแปลง อาจจะแยกตามเพศ ตามอาย ตามวงเงน การกาหนด

อตราเบยประกน จะตองอาศยขอมลทผานมา สถตมสวนในการคานวณเบยประกนตามวธของการ

ประกนภย พรอมทงมการเสนอในรปแบบตางๆ โดยเฉพาะแบบตาราง เปนตน

ในเรองเกยวกบธรกจการคา บรษทหางรานหรอสรรพสนคาตางๆ กมสถตเกยวกบยอดขาย

สนคาในแผนกตางๆ สถตแสดงปรมาณสนคาทขายประเภทตางๆ สถตยอดขายของพนกงานแตละ

คน นอกจากนสถตยงไปเกยวของกบการรบประกนอายใชงานของสนคา สถตชวยในการกาหนด

วธเกบรวบรวมขอมลและการวเคราะหขอมล นอกจากนสถตกยงมสวนเกยวของกบการควบคม

คณภาพสนคาทผลตดวย

ในวงการแพทยกมสถตเกยวกบจานวนแพทย พยาบาล จานวนผปวย จาแนกโรคตางๆ

สถตการผลตและจานวนยาประเภทตางๆ จานวนคนตายจาแนกตามสาเหตของการตาย จานวนผ

บรจาคเลอดในแตละป เปนตน นอกจากนสถตยงไมเกยวของในการออกแบบ และการวางแผนการ

ทดลอง การเกบรวบรวมขอมล การวเคราะหขอมลเพอหาขอสรป เกยวกบการทดสอบประสทธผล

ของยารกษาโรคชนดตางๆ อกดวย

ในเรองของการบรหารงานขององคกรตางๆ อาท องคกรของรฐ เชน ระดบอาเภอกมสถต

เกยวกบประชากร ในแตละหมบาน ในแตละตาบล สถตเกยวกบอาชพตาง ๆ ผลผลตแตละป

การศกษาของคนในแตละชมชนเปนอยางไร จะจดสรรงบประมาณไปใหแตละแหงมากนอย

เพยงใด สถตมสวนเกยวของมาก

นอกจากทกลาวมาแลวขางตน สถตยงไปเกยวของกบชวตประจาวนอกหลายอยาง เชน การ

สารวจความคดเหนหรอโพล การรวมแสดงความคดเหนโดยการสง sms ซงคดออกมาในรปรอยละ

เหนดวยไมเหนดวย นาเสนอผานหนาจอโทรทศนเปนประจา สถตเกยวกบนาทวม ไรนาเสยหายไป

กไร จะมมาตรการอยางไรทจะแกไข ในปตอไปซงตองมการเกบรวบรวมขอมลจากปทผานๆ มา

หรอสถตคนใชบรการรถโดยสารในชวงเทศกาลตางๆ สถตการเกดอบตเหตบนทองถนน ซงขอมล

เหลานลวนแตเกยวของกบสถตทงสน

ใหนกศกษาอภปรายหาขอมลสารสนเทศทเคยมประสบการณ มา 4 – 5 ชนด

แบบฝกหด

178

5.2 การใชขอมลสารสนเทศ

การเลอกใชขอมลในการตดสนใจ เปนสงทมประโยชนมาก เพราะในการดารงชวตของ

คนเรามกเกยวของกบเหตการณตางๆ มากมาย จงจาเปนตองอาศยการตดสนใจอยางมระบบระเบยบ

มหลกมเกณฑ และมเหตผล โดยนาปจจยตางๆ มาพจารณากอนทจะตดสนใจ เพอใหไดทางเลอกท

ดทสด ซงตองอาศยทงความร ประสบการณ ขอมล ขาวสารตางๆ เปนสวนประกอบ เพอไมใหเกด

ความผดพลาดหรอโอกาสทจะผดพลาดมนอยทสด เชน

การเลอกสงตาง ๆ การตดสนใจ

การเลอกซอสนคาอยางหนง 1. คณภาพด

2. ราคาไมแพงเกนไป

3. มคนนยมมาก

4. จาเปนตองใช

5. ชอบเปนชวตจตใจ

การเลอกธนาคารเพอการออม 1. ธนาคารของรฐบาล

2. ธนาคารใกลบาน

3. ธนาคารใกลททางาน

4. ใหผลประโยชนมาก

5. การไปมาสะดวก

6. ธนาคารทมความมนคงไม

สนคลอน หรอ ไมมขาวออกมา

179

ในทางไมสดอยเสมอๆ

การลงทนในกจการอยางใดอยางหนง 1. เงนลงทน

2. ผลผลตทได

3. คมคาแรงงานหรอไม

4. เปนทนยมหรอเปลา

การเลอกชมรายการโทรทศนชองตางๆ 1. รายการโปรด

2. เนอหาสาระด

3. ใหความบนเทง

4. การนาเสนอทนสมย

5. มประโยชนสามารถนาไป

ประยกตใชได

6. เพอการลงทน เชน หน

การเดนทาง

รายงานขาวบอกวามรถตดทถนนใดบาง 1. อาจหลกเลยงเสนทางดงกลาว

2. รอจนกวาจะเดนรถสะดวกกอน

เทศกาลตางๆ รถจะแนน เมอเดนทาง 1. อาจไมกลบในชวงเทศกาล

ไปตางจงหวด 2. อาจเลอกกลบหลงเทศกาล 1 – 2 วน

เปนตน

นอกจากนการตดสนใจยงมความสาคญในการประกอบธรกจตางๆ ทงธรกจขนาดเลกและ

ธรกจขนาดใหญ นกธรกจอาจพบปญหาในดานตางๆ มากมายทจะตองตดสนใจอย เสมอ เชน

ปญหาดานการตลาด ปญหาดานการขยายการลงทน ปญหาแรงงาน ปญหาในดานการกาหนดราคา

ปญหาพนกงาน คาครองชพ ปญหาดานการเงน ซงนกธรกจจะใชประสบการณหรอคาสงสอน

อบรมจากพอแม บรรพบรษมาแกปญหาอยางเดยวไมได อาจจะเกดความผดพลาดได ดงน น

นกธรกจควรใชขอมลและวธการทางสถตมาชวยในการตดสนใจ

สาหรบในระดบนการเลอกใชขอมลในการตดสนใจอาจจะเกยวกบคากลางทกลาวมาแลวดวย

เชน ถาตองการกะประมาณรายไดของประชากรทงประเทศ ควรใชคากลาง คอ คาเฉลยเลขคณต หรอ

ประมาณจานวนพลเมองทชอบดทวสชอง 7 ควรเลอกใชคากลางฐานนยม หรอถาขอมลมคาตาและ

คาสงแตกตางกนมากควรตดสนใจเลอกใชคากลางมธยฐาน เปนตน

ในเรองนผเรยนจะไดเรยนละเอยดในชนสงตอไป

180

บทท 10

ความนาจะเปน


1. การนบจานวนผลลพธทเกดจากการทดลองใด ๆ

2. ความนาจะเปน แสดงใหทราบวา เหตการณใดเหตการณหนงมโอกาสเกดขนมากนอย

เพยงใด อนจะมประโยชนตอการตดสนใจในการดาเนนงานนน ๆ


1. หาความนาจะเปนของเหตการณจากการทดลองสมทผลแตละตวมโอกาสทจะเกดขน

เทา ๆ กน

2. ใชความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตสมผล

3. ใชความรเกยวกบความนาจะเปนประกอบการตดสนใจ


เรองท 1 การทดลองสมและเหตการณ

เรองท 2 ความนาจะเปนของเหตการณ

เรองท 3 การนาความนาจะเปนของเหตการณตางๆ ไปใช

181

เรองท 1 การทดลองสม และเหตการณ

1.1 การทดลองสม

คอการกระทาทเราทราบผลทงหมดทอาจจะเกดขนได แตเราไมทราบวาผลลพธใดจะ

เกดขน เชน

1. โยนเหรยญ 1 อน 1 ครง ผลทเกดขนไดมสองอยาง คอ “ออกหว” หรอ “ออกกอย” จะได

วาผลทงหมดทอาจจะเกดขนคอ หวและกอย

2. ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ผลทเกดขน คอ การขนแตมของหนาใดหนาหนงของลกเตา ซง

มทงหมด 6 หนา ไดแก 1, 2 , 3, 4, 5, 6

ตวอยาง จงเขยนผลทอาจเกดขนไดทงหมดในการโยนเหรยญสบบาท 1 อน และเหรยญหาบาท 1

อน พรอมกน

วธทา ในการโยนเหรยญ 1 อน ผลทอาจเกดขนคอ หวและกอย

ถาให H แทนหว

ให T แทนกอย

ในการหาผลทอาจจะเกดขนไดทงหมด จากการโยนเหรยญสบบาท และโยนเหรยญหาบาท

อยางละ 1 อน อาจใชแผนภาพชวยไดดงน

H

182

จากแผนภาพจะเหนวา ถาเหรยญสบบาทออกหว เหรยญหาบาทจะออกหวหรอออกกอยก

ได จงไดผลทอาจเกดจากการโยนทงสองเหรยญเปน H,H กบ H,T

ในทานองเดยวกน ถาเหรยญสบบาทออกกอย เหรยญหาบาทอาจจะออกหวหรอออกกอยก

ได จงไดผลทอาจเกดจากการโยนเหรยญทงสองเปน T,H กบ T,T

ฉะนน ถาเราใชคอนดบเขยนผลทงหมดทอาจเกดขนได โดยใหสมาชกตวทหนงของค

อนดบแทนผลทอาจเกดขนจากเหรยญสบบาท สมาชกตวทสองของคอนดบแทนผลทอาจเกดขน

จากเหรยญหาบาท จะได

ผลทงหมดทอาจจะเกดขน คอ (H,H), (H,T), (T,H), (T,T)

เราอาจเขยนแสดงผลในรปตารางไดดงน


1. ใหผเรยนพจารณาการทดลองสมตอไปนวาผลจากการทดลองสมอาจเปนอยางไรบาง

1). โยนเหรยญสบบาท 1 อน

……………………………………………………………………………………………...

2). โยนเหรยญสบบาทสองอนพรอมกน

……………………………………………………………………………………………...

3). หยบลกปงปอง 2 ลกพรอมๆกน จากกลองทมลกปงปองสเหลอง 3 ลก สแดง 1 ลก

……………………………………………………………………………………………...

183

2. จงเขยนผลทอาจจะเกดขนไดทงหมดจากการหมนแปนวงกลมทมหมายเลข 1 และ2 แลวมาโยน

เหรยญบาท 1 อน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

3. จงเขยนผลทงหมดทอาจจะเกดขนไดจากการหยบสลาก 1 ใบ จากสลากทเขยนหมายเลขตงแต 10

ถง 20 ไว

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

1.2 เหตการณ

ในการทดลองสมโยนเหรยญบาท 1 เหรยญและเหรยญหาสบสตางค 1 เหรยญ นกเรยน

ทราบแลววาผลทงหมดทอาจจะเกดขนไดคอ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) ถาเราสนใจผลท

จะเกดกอยอยางนอย 1 เหรยญ จะไดวา ผลทจะเกดกอยอยางนอย 1 เหรยญ คอ (H, T), (T, H)

และ (T, T) เราเรยกผลทเราสนใจจากการทดลองสมวา

พจารณาการหลบตาหยบลกบอล 1 ลกจากถงซงมลกบอลสเขยว 4 ลก คอ ข1, ข2, ข3

และ ข4 ดงนน

เหตการณ

จากการทดลองสมครงนจะเหนไดวาจะหยบลกบอลครงใดกจะไดลกบอลสเขยวเสมอ ซงผล

ทงหมดทอาจจะเกดขนไดคอ ข1, ข2, ข3 และ ข4

และถาสนใจเหตการณ "หยบไดลกบอลสเขยว” จะไดวาเหตการณคอ ข1, ข2, ข3 และ ข4

จะเหนวา ผลทงหมดทอาจเกดขนได และเหตการณทจะหยบไดลกบอลสเขยวเปนผลชด

เดยวกน เราเรยกเหตการณ "หยบไดลกบอลสเขยว" จากการทดลองสมครงนวา "เหตการณท

แนนอน"

และจากการทดลองสมครงนจะเหนวาเราไมอาจทจะหยบไดลกบอลสแดงไดเลย เราเรยก

เหตการณ "หยบไดลกบอลสแดง" จากการทดลองสมครงนวา "เหตการณทเปนไปไมได”

184

ตวอยางเหตการณ

ตวอยางท 1

จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน

หลบตาหยบลกบอล 1 ลกจากกลองทมลกบอลสแดง 1 ลก สขาว 1 ลก และสนา

เงน 1 ลก

(1) หยบไดลกบอลสแดง

(2) หยบไดลกบอลทไมใชสแดง

วธทา

ดงนน จานวนทงหมดทอาจจะเกดขนไดเปน 3

ผลทงหมดทอาจเกดขนไดจากการทดลองสมคอ แดง ขาว และนาเงน

(1) เหตการณทจะหยบไดลกบอลสแดง คอ แดง

จานวนผลทเกดในเหตการณนเปน 1

ฉะนนความนาจะเปนของเหตการณหยบไดลกบอลสแดงเปน

(2) เหตการณทจะหยบไดลกบอลทไมใชสแดง คอ

หยบได ขาว และ นาเงน

จานวนผลทเกดขนในเหตการณเปน 2

ฉะนนความนาจะเปนของเหตการณหยบไดลกบอลทไมใชสแดงเปน

แบบฝกหดท 2 1. ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จงเขยน

1) ผลทงหมดทอาจเกดขน

……………………………………………………………………………………………

2) เหตการณทไดแตมไมเกน 5

……………………………………………………………………………………………

3) เหตการณทไดแตมเปนจานวนทหารดวย 3 ลงตว

……………………………………………………………………………………………

185

2. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครงจงเขยน


……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

2) ผลรวมของแตมเปน 8

……………………………………………………………………………………………

3) ผลรวมของแตมมากกวา 9

……………………………………………………………………………………………

4) ผลรวมของแตมนอยกวา 4

……………………………………………………………………………………………

5) ผลรวมของแตมหารดวย 2 ลงตว

……………………………………………………………………………………………

6) ผลรวมของแตมนอยกวา 2

……………………………………………………………………………………………

3. จากการสอบถามถงปกรายงานทผเรยนชอบ 2 ส ในจานวน 5 ส คอ สขาว สฟา สชมพ ส

เขยว และสเหลอง จงเขยน


……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

2) เหตการณทนตยาจะชอบสฟาหรอสชมพ

…………………………………………………………………………………………

186

เรองท 2 ความนาจะเปนของเหตการณ

พจารณาการทดลองสมและเหตการณทสนใจ

ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ผลทงหมดทอาจเกดขน คอ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ซงมทงหมด 6 จานวน

1). ถาเหตการณทสนใจ คอ แตมหงายบนหนาลกเตาเปนจานวนค ซงไดแก 2, 4, 6 จะเหน

ไดวาม 3 จานวน นนคอ จานวนผลทจะเกดในเหตการณ เปน 3

เรากลาววาความนาจะเปนของเหตการณทแตมหงายบนหนาลกเตาเปนจานวนค คอ 63

หรอ 21

2). ถาเหตการณทสนใจ คอ แตมทหงายบนหนาลกเตา เปนจานวนทนอยกวา 3 ซงไดแก

1, 2 จะเหนวามทงหมด 2 จานวน นนคอ จานวนผลทจะเกดในเหตการณเปน 2

เรากลาววาความนาจะเปนของเหตการณทแตมหงายบนหนาลกเตาเปนจานวนค คอ 62

หรอ 31

จากทง 2 เหตการณทกลาวมาเราสามารถเขยนใหอยในรปของตารางได ดงน

จากตวอยางทกลาวมาแลวขางตน อาจจะสรปเปนสตรการหาความนาจะเปนของเหตการณไดดงน

จานวนผลของเหตการณทสนใจ

จานวนเหตการณทงหมดของการทดลองสม

ความนาจะเปน =

187

1. เหตการณทแนนอน คอ เหตการณทมความนาจะเปน = 1 เสมอ

ขอควรจา

2. เหตการณทเปนไปไมได คอ เหตการณทมความนาจะเปน = 0

3. ความนาจะเปนใด ๆ จะมคาไมตากวา 0 และ ไมเกน 1 เสมอ

4. ในการทดลองหนงสามารถทาใหเกดผลทตองการอยางมโอกาสเทากนและมโอกาส

เกดได N สง และเหตการณ A มจานวนสมาชกเปน n ดงนนความนาจะเปนของ A

คอ P(A) = Nn

188

1. มสลาก 10 ใบ เขยนเลข 1-10 แลวมวนใสกลอง ความนาจะเปนทจะหยบไดสลากทเปนจานวน

คเทาไร


………………………………………………………………………………………………………

2. ใสลกเตา 1 ลกลงในถวยแกว เขยาแลวเทออก จงหาความนาจะเปนของเหตการณทขนแตม 6

………………………………………………………………………………………………………

3. ถงใบหนงมลกกวาดสแดง 5 เมด สเหลอง 2 เมด แมวหยบขนรบประทาน 1 เมดโดยไมไดด

จงหาความนาจะเปนทแมวจะหยบไดลกกวาดสแดง

………………………………………………………………………………………………………

4. ความนาจะเปนทจะหยบไดไพ K โพแดง จากไพ 1 สารบเปนเทาไร

………………………………………………………………………………………………………

5. ความนาจะเปนทจะหยบไดไพสดาจากไพ 1 สารบ เปนเทาไร

………………………………………………………………………………………………………

6. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน ความนาจะเปนทจะทอดไดแตมรวมกนเปน 7 คอขอใด

………………………………………………………………………………………………………

7. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน ความนาจะเปนทจะทอดไดแตมรวมกนไมเกน 1 คอขอใด

………………………………………………………………………………………………………

8. ถาตองการถกรางวลเลขทาย 2 ตวแนๆ จะตองซอสลากกนแบงรฐบาลกใบ

………………………………………………………………………………………………………

9. จากการทดลองโยนเหรยญหนงอน 3 ครง ความนาจะเปนทออกหว 1 ครง เปนเทาไร

………………………………………………………………………………………………………

10. ถาทอดลกเตาทสมดล 1 ลกพรอมกนกบโยนเหรยญ 1 เหรยญ จงหาความนาจะเปนทแตมบน

ลกเตาจะเปนแตมค

………………………………………………………………………………………………………

189

เรองท 3 การนาความนาจะเปนของเหตการณตางๆไปใช

ในชวตประจาวน คนเราไดนาประโยชนจากความนาจะเปนมาใชอยตลอดเวลา เพยงแต

ไมไดเรยกวาความนาจะเปนเทานน เชน ในเรองการซอหวย หรอสลากกนแบงรฐบาล จะเหนวา

โอกาสทจะถกเลขทาย 2 ตวมคาเปน 1 ใน100 และโอกาสทจะถกรางวลอนๆ ยงนอยลงตามลาดบ

นอกจากนยงมการคานวณคาความนาจะเปนเพอประมาณคาอตราการเกดอบตเหต ในแต

ละลกษณะของการกาหนดเบยประกนภยรถยนต หรอการคาดหมายผลการเลอกตง การพยากรณ

ตางๆ ทางธรกจ การทดสอบคณภาพผลตภณฑใหมจากโรงงาน ฯลฯ ซงความนาจะเปนมบทบาท

สาคญมาก ผเรยนจะไดเหนประโยชนชดเจนขนเมอเรยนตอในระดบสงขนไป

จากโจทยตอไปนใหนกเรยนตอบวาใครไดเปรยบ


1. ใหนกเรยนทาลกบาศกหนงลกแลวเขยนเลข 1 ทหนาหนงของลกบาศก เขยนเลข 2 ทหนาอก

สองหนา สวนอกสามหนาทเหลอเขยน 3 ใชกตกาตอไปนตดสนการแพ ชนะ เสมอ ในการโยน

ลกบาศกททาขนนคนละครง

1) ผเลนคนทหนงชนะถาเขาโยนลกบาศกแลวหนาทเขยนเลข 3 หงายขน และคแขงขน

ไดเลข 3 ดวย ผเลนคนทสองชนะถาไดเลขทตากวา 3 และผแขงขนไดเลขทตากวา 3 กรณอน ๆ

ถอวาเสมอกน

2) ผเลนคนทหนงถาเขาโยนลกบาศกแลวหนาทเขยนเลข 1 หงายขน และคแขงขนได

เลขทตากวา 3 ผเลนคนทสองชนะ ถาเขาโยนลกบาศกหงายหนาทเขยนเลข 3 และคแขงขนไดเลข

สงกวา 1 กรณอนถอวาเสมอกน

190

เฉลยแบบฝกหด

191

เฉลย บทท 1 จานวนและการดาเนนการ


1. จงเลอกจานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และจานวนเตมจากจานวนตอไปน

- 1, 24

, 0, -3, 1000500

, 250

500−

จานวนเตมบวก ประกอบดวย 24

จานวนเตมลบ ประกอบดวย -1 -3 250

500−

จานวนเตม ประกอบดวย -1, 24

, 0, -3, 250500−

2. จงเตมเครองหมาย < หรอ > เพอใหประโยคตอไปนเปนจรง

1) -4 ............... <................. 3

2) -4 .............. <................. -3

3) -2 .............. >............... -5

4) 4................ >................ -2

5) 4................ >................. -8

3. จงเรยงลาดบจานวนเตมจากนอยไปหามาก

1) -2, -8, -4, -15, -20, -7

………-20, -15, -8, -7, -4, -2…………………

2) 4, -8, 0, -2, 16, -17

………-17, -8, -2, 0, 4, 16 ……………………

192


1. จงเตมคาวา “มากกวา” หรอ “นอยกวา” หรอ “เทากบ”

1) คาสมบรณของ (-3)..................เทากบ...........คาสมบรณของ 3

2) จานวนตรงขามของ (-4) ...........มากกวา..........................จานวนตรงขามของ 4

3) จานวนตรงขามของ 5 ...............นอยกวา..........................จานวนตรงขามของ -5

4) คาสมบรณของ A...........เทากบ...................คาสมบรณของ(-A) เมอA เปนจานวนใดๆ

5) จานวนตรงขามของ A .....นอยกวา......จานวนตรงขามของ (-A) เมอA เปนจานวนใดๆ

2. จงเตมเครองหมาย <, > หรอ = ลงในชองวาง

1) – (- 5) .....................=...........................5

2) จานวนตรงขามของ 8 .................. <..................................8

3) จานวนตรงขามของ (-8)................. >................................(-8)

4) 25......................................25 −=−

5) ( )20........................................20 −⟩−

6) 5..........................................25 −⟩−

7) จานวนตรงขามของ (-2) .......................... <.........................จานวนตรงขามของ(-7)

8) จานวนตรงขามของ 32........................ >...............................จานวนตรงขามของ 77

193

1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจานวนทกาหนดให โดยใชเสนจานวน


1. 3+2

2. (-3)+(-2)

3. 2+1

4. (-2)+(-1)

5. 5+ (-1)

6. (-1) +5

7. (-5) +3

8. 3 + (-5)

194

2. จากผลการบวกโดยใชเสนจานวน จงเตมคาตอบตอไปนใหสมบรณ

ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสมบรณของ a คาสมบรณของ b คาสมบรณของ(a+b) ผลบวกของ a กบ b

เทากนหรอไมกบ ba +

1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากน

2. (-3)+(-2) = -5 3 2 5 เทากน

3. 2+1 = 3 2 1 3 เทากน

4. (-2)+(-1) = -3 2 1 3 เทากน

5. 5+ (-1) = 4 5 1 4 เทากน

6. (-1) +5 = 4 1 5 6 เทากน

7. (-5) +3 = -2 5 3 2 เทากน

8. 3 + (-5) = -2 3 5 2 เทากน

195



1. (-12) – 7

วธทา (-12) – 7 = (-12) + (-7)

= - 19

2. 7 – (-12)

วธทา 7 – (-12) = 7 + 12

= 19

3. (-8) – (-5)

วธทา (-8) – (-5) = (-8) + 5

= -3

4. (-5) – (-8)

วธทา (-5) – (-8) = (-5) + 8

= 3

5. [8 – (-2)] – 6

วธทา [8 – (-2)] – 6 = [ 8 + 2] + (-6)

= 10 + (-6)

= 4

6. 8 – [(-2) – 6]

วธทา 8 – [(-2) + (-6)] = 8 – (-8)

= 8 + 8

= 16

2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมอกาหนด a และ b ดงตอไปน

1. a = 5, b = (-3)

วธทา a – b = 5 – (-3) b – a = (-3) – 5

= 5 + 3 = (-3) + (-5)

= 8 = -8

2. a = (-14), b = (-6)

วธทา a – b = (-14) – (-6) b – a = (-6) – (-14)

= (-14) + 6 = (-6) + 14

= (-8) = 8

3. a = (-4), b = (-4)

วธทา a – b = (-4) – (-4) b – a = (-4) – (-4)

= (-4) + 4 = (-4) + 4

= 0 = 0

196

จงหาผลลพธ


1). [(-3) × (-5)] × (-2)

วธทา [(-3) × (-5)] × (-2) = 15 × (-2)

= (-30)

2). (-3) × [(-5) × (-2)]

วธทา (-3) × [(-5) × (-2)] = (-3) × 10

= -30

3). [4 × (-3)] × (-1)

วธทา [4 × (-3)] × (-1) = (-12) × (-1)

= 12

4). 4 × [(-3) × (-1)]

วธทา 4 × [(-3) × (-1) ] = 4 × 3

= 12

5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)]

วธทา [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)] = 30+30

= 60

6). (-5) × [6 + (-6)]

วธทา (-5) × [6 + (-6)] = (-5) ×0

= 0

7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]

วธทา [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2] = 35 + (-14)

= 21

8). (-7) × [(-5) + 2]

วธทา (-7) × [(-5) + 2] = (-7) × (-3)

= 21

9). [5 × (-7)] + [5 × 3]

วธทา [5 × (-7)] + [5 × 3] = (-35) + 15

= (-20)

10). 5 × [(-7) + 3]

วธทา 5 × [(-7) + 3] = 5 × (-4)

= (-20)

197

1. จงเตมคาตอบใหสมบรณเพอแสดงหลกของความสมพนธระหวางการหารและการคณ ตอไปน


ประโยคทแสดงความสมพนธ cba ×= ประโยคทแสดงความสมพนธ cba =÷ หรอ bca =÷

10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรอ 10 ÷ 2 = 5

35 = 7 x 5 35 ÷ 7 = 5 หรอ 35 ÷ 5 = 7

33 = 3 x 11 33 ÷ 3 = 11 หรอ 33 ÷ 11 = 3

(-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรอ (-14) ÷ (-2) = 7

(-21) = 7 x (-3) (-21) ÷7 = (-3) หรอ (-21) ÷ (-3) = 7

(-15) = 3 x (-5) (-15) ÷3 = (-5) หรอ (-15) ÷ (-5) = 3

10 = (-5) x (-2) 10÷(-5) = (-2) หรอ 10÷(-2) = (-5)

จงหาผลหาร

1. 17 ÷ 17

วธทา 17 ÷ 17 = 1

2. 23 ÷ (-23)

วธทา 23 ÷ (-23) = -1

3. 15 ÷ (-3)

วธทา 15 ÷ (-3) = -5

4. (-72) ÷ 9

วธทา (-72) ÷ 9 = -8

5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)]

วธทา [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)] = 3 ÷ (-3)

= -1

6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)]

วธทา [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)] = (-8) ÷ (-8)

= 1

198

1. จงเตมจานวนเตมในชองวางทเวนไวเพอใหแตละประโยคตอไปนเปนจรง


1.1 5 1.2 (-5)

1.3 7 1.4 6

1.5 (-9) 1.6 (-5)

1.7 (-13) 1.8 13

1.9 0 1.10 (-3)

2. เมอกาหนดให a = 8, b = 10, c = 3 และ d = -6 จงหาคาของ babdac

++

วธทา ( ) ( )( ) ( )

186024

10861038 −+

=+

−×+×

( )

18

36−=

= (-2)

199

เฉลย บทท 2 เศษสวนและทศนยม


1. จงเตมเศษสวนลงใน ใหถกตอง

1)

2)

2. จงเขยนเสนจานวนแลวหาจดทแทนจานวนตอไปน

1) 84

, 211 ,

820

2) 211 ,

634 ,

629

3. จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปของทศนยม

1. 106

= 0.6 2. =10012

0.12

3. =1000357

0.357 4. =++1000

3100

2101

0.123

*

211

0 1 2 3

200


1. จงเปลยนเศษสวนตอไปนใหเปนทศนยม โดยการทาสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000,.......

1) 49

= 100225

= 2.25 2) 431 =

100175

= 1.75

3) 4039

= 100

5.97 = 0.975 4)

257

= 10028

= 0.28

5) 81

= 1000125

= 0.125 6) 125

8 =

100064

= 0.064

2. จงเปลยนเศษสวนตอไปนใหเปนทศนยม โดยการหารเศษสวน

1) 119

= 18.0 2) 713 = 3.14

3) 167

= 0.4375 4) 45

= 1.25

5) 65

= 38.0 6) 538 = 8.6

201


1. ใหเตมตวเศษหรอตวสวนของเศษสวนลงใน เพอใหไดเศษสวนทเทากน

2. ใหเตมเครองหมาย > , < หรอ = ลงใน ใหถกตอง

202

3. ใหนกศกษาเตมเครองหมาย > , < หรอ = ระหวางจานวนสองจานวน

1) -0.500 ......<........0.501 2) 103.012 .........>............. – 0.501

3) 5.28 .......... <.......... 5.82 4) – 5.28 .........=................. -5.28

5) 8.354 ......... <........ 8.534 6) -8.544 .............. <............. -8.534

7) -13.06 ......... <........ 13.06 8) 103.012 ......... >........... -103.012

9) -5.125 ..........=........ -5.1250 10) -7.10 .............. <........... -7.01

4. ใหนกศกษาเรยงลาดบจานวนตอไปนจากคานอยไปคามาก

5) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000

- 2.000, - 1.738, -1.724, 0.832

6) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017

-30.710, -31.170, -31.107, 30.017

7) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500

-138.500, -83.001, -38.000, 83.000

8) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50

-42.50, -41.54, -39.62, -37.40, -34.50



1.1 62

12= 1.2

21

126=

1.3 21224

= 1.4 1116

= 1151

1.5 61

122= 1.6

121

242=

203

2. ใหเตมจานวนลงใน แลวทาใหประโยคเปนจรง

2.1 86

2.2 66

2.3 8

12 2.4

35

2.5 87

3. ใหหาจานวนมาเตมลงใน แลวทาใหประโยคเปนจรง

3.1 63

3.2 149

3.3 61

3.4 6

15 =

212

632 =

3.5 47

= 431 3.6

2414

3.7 1835

=18171 3.8

28111


1. วธทา =

++

3520

3514

73

2. วธทา = 99

107

94

95

107

+=

++

= 3534

3515

3534

5753

3534

73

+=+××

=+ = 1107+

= 3549

= 1071

= 35141

= 521

3. วธทา =52

55

87

88

53

+

++

× 4. วธทา =

−+

337

37

1146

= 52

4035

4024

+

+ =

−

×+

337

1111

37

1146

= 52

4059

+ =

−+

337

3377

1146

=

×+

88

52

4059

= 3370

1146

+

204

= 4016

4059

+ = 3370

33

1146

+

×

= 40351

4075

= = 3370

33138

+ = 33208

=

33106


1. จงหาผลคณตอไปน

1) 511

312 ×

วธทา = 56

37×

= 1542

= 542

15122 =

2) 95

511 ×

วธทา = 95

56×

= 32

4530

=

3) 911

1125 ×

วธทา = 9

101157

×

= 33255

99755

99570

==

4) 107

3216 ×

วธทา = 107

350

×

= 3211

335

=

5) 521

322

165

××

วธทา = 57

38

165

××

= 611

67=

6) 61

43

326 ××

205

วธทา = 61

43

320

×× =65

321115=

××××

7) 1835

2524

4915

××

วธทา = 1835

2524

4915

××

= 74

8) 2210

2511

2710

2524

×××

วธทา 2210

2511

2710

2524

×××

=15951128××××××

= 22516

206


1. จงหาผลลพธตอไปน

1.1 วธทา = 58

54×

= 2571

2532

=

1.2 วธทา = 52

1110

×

= 114

1.3 วธทา = 6

12249×

= 43

1.4 วธทา = 524

1615

×

= 214

29=

1.5 วธทา = 1125

10099

×

= 412

49=

1.6 วธทา = 31

23×

= 21

207


2.1 วธทา =

−×

931

521

179

= 4534

179

45155

45189

179

×=

−×

= 52

2.2 วธทา =

−÷

+

62

63

62

63

= 665

61

65

×=÷

= 5

2.3 วธทา = 1112

67

311

××

= 3

14

= 324

2.4 วธทา = 3

1057

724

××

= 16

208


1. ใหหาคาตอบของโจทยปญหาตอไปน

1) ตองมเงน 320 บาท ซอรองเทา 52

ของเงนทงหมด ซอเสอ 165

ของเงนทเหลอ จง

หาวาตองเหลอเงนเทาไร

วธทา ตองมเงน 320 บาท

ซอรองเทา 52

ของเงนทงหมด คดเปน 12832052

=×

เหลอเงนจากการซอรองเทา 320 – 128 = 192 บาท

ซอเสอ 165

ของเงนทเหลอ คดเปน 60192165

=× บาท

เหลอเงนจากการซอเสอ 192 – 60 = 132 บาท

ตอบ ตองเหลอเงน 132 บาท

2) หองประชมหองหนงมความยาวเปน 433 ของความกวาง และความกวางเปน

524 ของความ

สง ถาหองสง 213 เมตร และมนกเรยน 462 คน จงหาวาโดยเฉลยนกเรยนคนหนงมอากาศ

หายใจกลกบาศกเมตร

วธทา หองประชมมความกวาง 524 ของความสง =

577

27

522

=× เมตร

มความยาวเปน 433 ของความกวาง =

4231

577

415

=× เมตร

ดงนนหองประชมมปรมาตร = 40

509,1244

2315

7727

=×× ลกบาศกเมตร

ในหองประชมมนกเรยน 462 คน โดยเฉลยนกเรยนคนหนงมอากาศหายใจ

= 46240

509,124÷

= 4621

40509,124

×


ตอบ โดยเฉลยนกเรยนคนหนงมอากาศหายใจ 6.7375 ลกบาศกเมตร

209

3) จางคนปลกหญาบนสนามรปสเหลยมผนผากวาง 546 เมตร ยาว

2110 เมตร ในราคาตาราง

เมตรละ 45 บาท จะตองจายเงนทงหมดเทาไร

วธทา สนามรปสเหลยมผนผากวาง 546 เมตร =

534

เมตร

ยาว 2110 เมตร =

221

เมตร

พนทสนาม = 5

357221

534

=× ตารางเมตร

จายคาจางคนปลกหญา ตารางเมตรละ 45 บาท

ตองจายเงน = 375,35

35745 =× บาท

ตอบ จายคาจางปลกหญาบนสนามเทากบ 3,213 บาท

4) โทรทศนเครองหนงประกาศลดราคาลง 41

ของราคาทปดไวเดม แตผซอเปนเพอนกบผขาย

ลดใหอก51

ของราคาทประกาศลดแลวในครงแรก ซงปรากฏวาผซอจายไป 4,200 บาท จงหาวา

โทรทศนเครองนปดราคาเดมไวเทาไร

วธทา โทรทศนเครองหนงลดราคาลง 41

ของราคาทปดไว

ถาลดราคา 41

บาท ราคาทลดแลวเหลอ 43

411 =− บาท

ขายใหเพอนลดใหอก 51

ของราคาทประกาศลด 203

43

51

=×

ขายไปจรงราคา 53

2012

20315

203

43

==−

=− บาท

เศษสวน 53

คดเปนเงน 4,200 บาท

ดงนนราคาเดมขายไว = 000,735200,4 =× บาท

ตอบ เดมตดราคาไว 7,000 บาท

210

5) ในการเดนทางครงหนงเสยคาทพก 52

ของคาใชจายทงหมด คาเดนทาง 41

ของคาใชจาย

ทงหมด คาใชจายอน ๆ คดเปนเงน 1,470 บาท จงหาวาคาใชจายทงหมดเปนเงนเทาไร

วธทา คาใชจายทงหมดเปนเงน 1 บาท

เสยคาทพก 52

ของคาใชจายทงหมดเปนเงน = 52

บาท

เสยคาเดนทาง 41

ของคาใชจายทงหมดเปนเงน = 41

บาท

รวมคาทพกและคาเดนทาง = 2013

41

52

=+ บาท

เปนคาใชจายอนๆ = 207

20131 =− บาท

ดงนน 207

คดเปนเงน 1,470 บาท

ดงนน คาใชจายทงหมด = 1,470 x 200,4720

= บาท

ตอบ คาใชจายทงหมด 4,200 บาท


1. จงเตมผลลพธตอไปน

1.1 0.99 1.2 -0.2

1.3 -0.1 1.4 0.1

1.5 -16.7 1.6 -12.5

1.7 50.09 1.8 -15.15

1.9 10.1 1.10 3.306

1.11 -9.1 1.12 -16.57

1.13 -36.7 1.14 -50.1

1.15 8.4782 1.16 2.7843

1.17 -57.03 1.18 -63.938

1.19 -3.237 1.20 3.327

211



1.1 -28.92 1.2 -0.1176

1.3 6.6742 1.4 -32.6808


2.1 -1,240

2.2 -10.1802

2.3 -12.596

2.4 24.5746

2.5 -3.33


ใหนกศกษาแกปญหาโจทยตอไปน

1. เชอกยาว 17.25 เมตร นาอกเสนหนงยาว 5.2 เมตร มาผกตอกนทาใหเสยเชอกตรงรอยตอ

0.15 เมตร นาเชอกทตอแลวมาวางเปนรปสเหลยมผนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5 เมตร ดาน

ยาวจะยาวดานละกเมตร

วธทา เชอกทเหลอจากการนามาตอกนคดเปน (17.25 + 5.2) – 0.15 = 22.3 เมตร

นามาวางใหเปนรปสเหลยมผนผาใหดานกวางยาว 1.5 เมตร

ดานกวางทง 2 ดานจะใชเชอกไป 1.5 x 2 = 3 เมตร

เหลอเชอกเปนดานยาว 22.3 – 3 = 19.3

แตดานยาว ม 2 ดาน ดงนนดานยาว ดานละ 19.3 ÷ 2 = 9.65 เมตร

ตอบ ดานยาวจะยาวดานละ 9.65 เมตร

212

2. นาตาลถงหนงหนก 9.35 กโลกรม จานวน 16 ถง ใชทาขนมเฉลยแลววนละ 4.4 กโลกรม

จะใชนาตาลไดทงหมดกวน

วธทา นาตาลถงหนงหนก 9.35 กโลกรม จานวน 16 ถง = 9.35 x 16 = 149.6 กโลกรม

ใชทาขนมเฉลยแลววนละ 4.4 กโลกรม จะใชนาตาลได = 344.46.149= วน

ตอบ จะใชนาตาลไดทงหมด 34 วน

3. หองรปสเหลยมผนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นากระเบองรปสเหลยมจตรสขนาด 32

ตารางเซนตเมตร มาปหองจะตองใชกระเบองกแผน

วธทา พนทหองสเหลยมผนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร = 480 x 960 = 460,800 ตร.ซม.

พนทกระเบองรปสเหลยมจตรสขนาด = 32 ตร.ซม.

ถาปหองจะตองใชกระเบอง = 400,1432

800,460 แผน

ตอบ จะตองใชกระเบอง 14,400 แผน

4. มทองคาแทงหนงหนก 12.04 กรม ซอเพมอก 25.22 กรม แบงขายไปสองครง หนกครงละ

8.02 กรม ทเหลอนาไปทาแหวน 5 วง หนกวงละ 3.45 กรมเทาๆ กน จะเหลอทองอกกกรม

วธทา ทองคาแทงหนงหนก 12.04 กรม ซอเพมอก 25.22 กรม = 12.04 + 25.22 = 37.26 กรม

แบงขายไปสองครง หนกครงละ 8.02 กรม = 8.02 x 2 = 16.04 กรม

เหลอทอง = 37.26 – 16.04 = 21.22 กรม

นาไปทาแหวน 5 วง หนกวงละ 3.45 กรมเทา ๆ กน = 5 x 3.45 = 17.25 กรม

ทองทเหลอจากการทาแหวนจะได = 21.22 – 17.25 = 3.97 กรม

ตอบ จะเหลอทองอก 3.97 กรม

213

เฉลย บทท 3 เลขยกกาลง


1. จงเขยนจานวนตอไปนในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมทมากกวา 1 พรอมทง

บอกฐานและเลขชกาลง

1.1 25 = ……… 5 x 5…………………=……..… 25 ……………..

ม = …………5…………….เปนฐานและ..............2..................เปนเลขชกาลง

1.2 64 = ………8 x 8…………………=…………… 28 …………..

ม = …………8…………….เปนฐานและ...............2..................เปนเลขชกาลง

1.3 169 = ………13 x 13……………....=…………… 213 …….…..

ม = ……………13……….เปนฐานและ..............2....................เปนเลขชกาลง

1.4 729 = ……………27 x 27………..=………… 227 ……….…..

ม = …………27………….เปนฐานและ............2......................เปนเลขชกาลง

1.5 -32 = …(-2) (-2) (-2) (-2) (-2)…….=………… ( )52− ………..

ม = …………(-2)…………เปนฐานและ............5.....................เปนเลขชกาลง

1.6 -243 = …(-3) (-3) (-3) (-3) (-3)……….=……… ( )53− …………..

ม = ……………(-3)………เปนฐานและ............5.....................เปนเลขชกาลง

1.7 0.125 = …(0.5) (0.5) (0.5)………….=………… ( )35.0 ……..…..

ม = …………(0.5)………เปนฐานและ.....................3..............เปนเลขชกาลง

.2. จงเขยนจานวนทแทนดวยสญลกษณตอไปน

2.1 2 × 2 ×2 ×2 ×2× 2× 2 × 2 = 256

2.2 (-3) (-3) (-3) (-3) = 81

2.3 (0.3) (0.3) (0.3) (0.3) (0.3) = 0.00243

2.4 (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) = 0.000000000064

2.5

31

31

31

=

271

2.6

72

72

72

= 343

8

2.7 (-5) (-5) (-5) (-5) = 625

2.8 - (2×2×2) = -8

2.9

101

101

101

101

101

= 100000

1

2.10 (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) = 0.015625

214


1 จงเขยนจานวนตอไปนในรปสญกรณวทยาศาสตร

1. 4 x 510

2. 2.3 x 1010

3. 6.39 x 810

4. 2.475 x 810

2. ดาวเสารอยหางจากดวงอาทตยประมาณ1,430,000,000 กโลเมตร จงเขยนใหอยในรปสญกรณ

วทยาศาสตร

ตอบ 1.43 x 910

3. สญกรณวทยาศาสตรในแตละขอตอไปนแทนจานวนใด

3.1 2,000,000

3.2 48,000,000,000,000

3.3 4,030,000,000

3.5 912,500


1 จงเขยนจานวนทแทนดวยสญลกษณตอไปน

1.1 652 + = 2,048

1.2 32 x 9 = 288

1.3 36 = 216

1.4 275.0 = 0.5625

1.5 991

×

= 1

1.6 ( )36− = -216

1.7 16625

1258

× = 25

= 2

12

1.8 32

16807117649

1× =

224

1

1.9 ( )

161125.0 = 0.0078125

1.10 ( )511− = 161051

215

2. จงเขยนผลคณของจานวนในแตละขอตอไปนในรปเลขยกกาลง

2.1 7322 ++ = 122

2.2 ( ) 5133 ++− = ( )93−

2.3 24 555 ×× = 2415 ++ = 75

2.4 22 111111 ×× = 21211 ++ = 511

2.5 ( ) 7343 ++− = ( )143−


1. จงหาผลลพธ

1.1 292 − = 72

1.2 163 − = 53

1.3 6311 − = 311− = 311

1

1.4 24

51 −

=

2

51

1.5 ( ) 4503.0 − = ( )03.0

1.6 ( ) 75 )8.0(8.0 ÷ = ( ) 758.0 − = 2)8.0( − = 2)8.0(

1

1.7 ( ) 7435 −+ = 05 = 1

1.8 ( ) 4167 −+ = 37

1.9 ( )54213 −+ = 13

1.10 ( ) 476 +−m = 3m

2. จงหาผลลพธตอไปนในรปทมเลขชกาลงเปนจานวนเตมบวก

2.1 )4(35 −+ = 15− = 51

2.2 ( ) 2683 −−+ = 03 = 1

2.3 ( ) 164 −− = 74− = 741

2.4 ( )162 −+ = 52

2.5 ( ) 325.1 − = ( ) 15.1 − = 5.11

2.6 52−x = 3−x = 3

1x

2.7 ( ) ( )5013 ++ ÷ aa = 54−a = 1−a = a1

2.8 ( )57 −−−m = 57+−m = 2−m = 2

1m

216

เฉลย บทท 4 อตราสวนรอยละ แบบฝกหดท 1

1.จงเขยนอตราสวนจากขอความตอไปน

1.1 1 เซนตเมตร : 100 กโลเมตร

1.2 200 กโลเมตร : 3 ชวโมง

1.3 40 คน : 1,000 คน

1.4 72 ครง : 1 นาท

2. สลากกนแบงรฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลก เชน 889748 ซงมหมายเลขตางกนทงหมด

1,000,000 ฉบบ ในจานวนทงหมดนมสลากทถกรางวลเลขทาย 2 ตวทงหมด 10,000 ฉบบ ถก

รางวลเลขทาย 3 ตว 4,000 ฉบบ และถกรางวลท 1 อก 1 ฉบบ

2.1 1 : 1,000,000

2.2 10,000 : 1,000,000

2.3 4,000 : 1,000,000

2.4 10,000 : 4,000

3. พอคาจดลกกวาดคละสขนาดเทากนลงในขวดโหลเดยวกน โดยนบเปนชดดงน “ลกกวาดสแดง

3 เมด สเขยว 2 เมด สเหลอง 5 เมด” จงหา

3.1 3: 10

3.2 3: 5

3.3 สเหลองเพราะมจานวนมากทสด ดงนนโอกาสทจะหยบไดสเหลองจงมมาก


1. ถาอตราการแลกเปลยนเงนดอลลารตอเงนหนงบาทเทากบ 1 : 43 จงเตมราคาเงนในตาราง

2. จงเขยนอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดใหตอไปนมาอก 3 อตราสวน

2.1 128,

96,

64

2.2 3620,

2715,

1810

43 86 129 430 860

217

3. จงตรวจสอบวาอตราสวนตอไปนเทากนหรอไม

4. จงทาใหอตราสวนตอไปนมหนวยเดยวกนและอยในรปอยางงาย

4.1 2x 24 : 10 หรอ 48 : 10 หรอ 24 : 5

4.2 200 : 1.5 x 1,000 เมตร หรอ 200 : 1,500


1. พอแบงเงนใหลกสามคนโดยกาหนด

อตราสวนของจานวนเงนลกคนโต ตอคนกลาง ตอคนเลกเปน 5 : 3 : 2 จงหาอตราสวนตอไปน

1.1 5 : 2

1.2 2 : 3

1.3 3 : 10

1.4 2 : 10

6 x9 = 8 x 7

54 ≠ 56

12 x15 = 18 x 10

180 =180

0.3 x200 = 6 x 10

60 = 60

86 ≠

97

1012 =

1518

103.0 =

2006

218

2. เศรษฐคนหนงไดเขยนพนยกรรมไวกอนจะเสยชวตวา ถาภรรยาทกาลงตงครรภคลอดลกเปนชาย

ใหแบงเงนในพนยกรรมเปนอตราสวนเงนของภรรยาตอบตรชายเปน 1 : 2 แตถาคลอดลกเปนหญง

ใหแบงเงนในพนยกรรมเปนอตราสวนเงนของภรรยาตอบตรหญงเปน 2 : 1 เมอเศรษฐคนนเสยชวต

ลงปรากฏวาภรรยาคลอดลกแฝด เปนชาย 1 คน หญง 1 คน จงหาอตราสวนของเงนในพนยกรรม

ของภรรยาตอบตรชาย ตอบตรหญง

ตอบ อตราสวนเงนของภรรยาตอเงนของบตรชาย เปน 1 : 2

อตราสวนเงนของภรรยาตอเงนของบตรหญง เปน 2 : 1

เมอเศรษฐเสยชวตลงภรรยาคลอดลกเปนฝาแฝด ชาย 1 คน หญง 1 คน ตองแบงพนยกรรมเปน

สามสวน คอ

อตราสวนเงนของภรรยาตอเงนของบตรชาย เปน 1: 2 = 2: 4

อตราสวนเงนของภรรยาตอเงนของบตรหญง เปน 2 : 1

นนคอ อตราสวนเงนของภรรยาตอเงนของบตรชายตอบตรหญงเปน 2 :4 : 1


1. จงเขยนสดสวนจากอตราสวนตอไปน

1.1 86

43=

1.2 279

7=

A

1.3 510

12 B=

1.4 D

65

4

5=

2. จงหาคาตวแปรจากสดสวนทกาหนดใหตอไปน

2.1 1512

3=

A

วธทา 31512

×=A

= 2.4

2.2 28213

=B

วธทา 21283×=B

= 4

219


1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเงนเทาไร

วธทา ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท

ขายมะละกอ 15 ผล ราคา x บาท

จะได x

15503=

35015xx =

x = 250

2. กศน.แหงหนงมนกศกษาทงหมด 400 คน มจานวนนกศกษาหญงตอจานวนนกศกษาชาย

เปน 5: 3 จงหาวา มนกศกษาชายกคนและนกศกษาหญงกคน

วธทา กศน. แหงหนงมนกศกษาทงหมด 400 คน

มจานวนนกศกษาหญงตอจานวนนกศกษาชาย เปน 5: 3

ดงนนถาแบงนกศกษา กศน.ทงหมดออกเปน 5+3 = 8 สวน

จะไดนกศกษา กศน. สวนละ 8

400= = 50 คน

ฉะนน มนกศกษาชาย อย 3 สวน เปน 3 x 50 = 150 คน

มนกศกษาหญงอย 5 สวน เปน 5 x 50 = 250 คน

3. พอแบงมรดกใหลกสองคน โดยอตราสวนของสวนแบงของลกคนโตตอสวนแบงลกคนเลก

เปน 7: 3 ถาลกคนโตไดเงนมากกวาลกคนเลก 80,000 บาท จงหาสวนแบงทแตละคนไดรบ

วธทา อตราสวนของสวนแบงของลกคนโตตอสวนแบงลกคนเลก เปน 7: 3

ดงนน พอแบงเงนทงหมดเปน 10 สวน

ลกคนโตมเงนมากกวาลกคนเลก 4 สวน เปนเงน 80,000 บาท

ดงนน เงน 1 สวน เปนเงน 000,204000,80

= บาท

สรปไดวา ลกคนโตไดรบเงนมรดก 7 สวน เปนเงน 7 x 20,000 = 140,000 บาท

ลกคนเลกไดรบเงนมรดก 3 สวน เปนเงน 3 x 20,000 = 60,000 บาท

220


1.1 90

1.2 48

1.3 7%

1.4 25%

1.5 600

1.6 0.5


1. 125 คน

2. 2.1 1,200 คน

2.2 480 คน

3.

วธทา สนคาทกชนดลดราคา 20 %

คณแมซอเครองแกวแลวไดสวนลด 250 บาท

ดงนนรานคาปดราคา =×20

100250 1, 250 บาท

4. วธทา สนามหญาแหงหนงกวาง 5 เซนตเมตร ยาว 8 เซนตเมตร

มาตราสวน 1 เซนตเมตร : 50 เมตร

ดงนนสนามหญาจรงกวาง 250 เมตร ยาว 400 เมตร

หาพนทสเหลยมผนผา จะได 250 x 400 = 100,000 ตารางเมตร

221

5. วธทา นกนอยไดอตราดอกเบยรอยละ 3 ตอป แตถกหกภาษรอยละ 15 คดเปน 45.0310015

=×

เทากบดอกเบยทถกหกภาษแลว 3 – 0.45 = 2.55

นกนอยฝากเงน 10,000 บาท สนปจะไดดอกเบยทถกหกภาษ รอยละ 2.55

คดเปน 255000,10100

55.2=× บาท

รวมมเงนบญช 10,000 + 225 = 10,225 บาทในตนปทสอง

สนปทสองจะไดดอกเบยรอยละ 2.55 ของเงนฝากปทสอง = 50.261255,10100

55.2=× บาท

ครบสองปจะมเงนในบญช 10,255 + 261.50 = 10,516.50 บาท

6. วธทา วระซอรถยนต ราคา 200,000 บาท

ขายตอไดกาไร 20% เปนเงน 000,40000,20010020

=× บาท

วระมเงนทงหมด 240,000 บาท

วระเอาเงนไปเลนหนขาดทน 20% เปนเงน 000,48000,24010020

=× บาท

ดงนนวระเหลอเงน 240,000 - 48,000 = 192,000 บาท

222

เฉลย บทท 5 การวด

1. จงเตมหนวยความยาวหรอหนวยพนทใหเหมาะสมกบขอความตอไปน


1.1 มลลเมตร

1.2 เซนตเมตร, เซนตเมตร, มลลเมตร

1.3 กโลเมตร

1.4 เมตร, เมตร, กโลเมตร

1.5 เซนตเมตร, เซนตเมตร, มลลเมตร

1.6 ตารางเซนตเมตร

1.7 ตารางเมตร

1.8 เมตร หรอ วา , ไร-งาน-ตารางวา, ตารางเมตร

1.9 เมตร

2. จงเตมคาลงในชองวางทกาหนดใหถกตอง

2.1 1,600

2.2 170,000

2.3 7 ไร 3 งาน 19 ตารางวา

2.4 5

2.5 2 x 1010

2.6 2,222

2.7 2.9

2.8 432

2.9 38

2.10 1,072 938,000 และ 1,400,000

3. จงตอบคาถามตอไปน พรอมแสดงวธทา

1) สวนแหงหนงมพนท 4,800 ตารางเมตร คดเปนพนทกไร

วธทา พนท 1,600 ตารางเมตร เทากบ 1 ไร

พนท 4,800 ตารางเมตร เทากบ 3600,1800,4

= ไร

2) พนท 25 ตารางฟต คดพนทกตารางเซนตเมตร

วธทา 1 ฟต = 30 เซนตเมตร

1 ตารางฟต = 30 x 30 ตารางเซนตเมตร

25 ตารางฟต = 30 x 30 x 25 = 22,500 ตารางเซนตเมตร

223

3) ลงแดงแบงทดนใหลกชาย 3 คน โดยแบงใหลกชายคนโตได 2 ไร ลกชายคนกลาง 850

ตารางวา และลกชายคนเลกได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงทดนมากทสด

วธทา คนโตได 2 ไร คดเปน 2 x 1,600 = 3,200 ตารางเมตร

คนทสองได 850 ตารางวา คดเปน 850 x 4 = 3,400 ตารางเมตร

คนเลกได 3,000 ตารางเมตร

แสดงวา คนกลางไดมากทสด

4) พนท 5,625 ไร คดเปนพนท กตารางกโลเมตร

วธทา พนท 625 ไร = 1 ตารางกโลเมตร

พนท 5,625 ไร = 9625625,5

= ตารางกโลเมตร

5) สมเกยรตซอโลหะแผนชนดหนง 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนกซอโลหะแผน

ชนดเดยวกน 4 ตารางหลา ราคา 567 บาท อยากทราบวาใครซอไดถกกวากน ตารางเมตรละกบาท

(กาหนด 1 หลา = 90 เซนตเมตร)

วธทา 1 หลา = 90 เซนตเมตร

1 ตารางหลา = 90 x 90 ตารางเซนตเมตร

4 ตารางหลา = 90 x 90 x 4 ตารางเซนตเมตร

100 x 100 ตารางเซนตเมตร = 1 ตารางเมตร

ดงนน 90 x 90 x 4 ตารางเซนตเมตร = 24.3100100

49090=

xxx


ดงนน สมนกซอโลหะแผน ราคา 567 บาท คดเปนราคาตารางเมตรละ 17524.3

567= บาท

สมเกยรตซอโลหะแผนราคา 456 บาท คดเปนราคาตารางเมตรละ 1523

456= บาท

ดงนน สมเกยรตซอไดในราคาทถกกวา

224

1.จงเตมหนวยการวดทเหมาะสมลงในชองวาง


2.1 เมตร

2.2 มลลเมตร

2.3 กโลเมตร

2.4 กโลกรม

2.5 วนาท

2.6 องศาเซลเซยส

2.7 ไร – งาน – ตารางวา

2.8 ลกบาศกเซนตเมตร หรอ ลตร


2.10 กโลกรม

1. จงหาพนทสวนทแรเงาของรปตอไปน ตวเลขทเขยนกากบดานไวถอเปนความยาวของดาน และม

หนวยเปนหนวยความยาว


1. 150152021

=xx ตารางหนวย 2. 2551021

=xx ตารางหนวย

2. รปสามเหลยมหนงรปมพนท 90 ตารางเซนตเมตร มฐานยาว 12 เซนตเมตร จะมความสงก


วธทา 90 = xx1221

สง

ความสง = 1512

290=

x

225

3. สามเหลยมมมฉาก ABC มมม BAC เปนมมฉาก และกาหนดความยาวของดานดงรป จงหาความ

ยาวของดาน A

วธทา ABC เมอ AB เปนฐาน พนทสามเหลยมคอ 1248621

−−−−−=xx

ABC เมอ BC เปนฐาน พนทสามเหลยม คอ 21021

−−−−−−−xax

สมการท 1 = สมการท 2 จะได 241021

=xax

ดงนน a = 4.8 หนวย

4. จงหาพนทของสวนทแรเงาของไมฉากรปสามเหลยม ซงมขนาดตามรป (ความยาวทกาหนดม

หนวยเปนเซนตเมตร)

30

วธทา พนทสามเหลยมรปนอก = 375253021


พนทสามเหลยมรปใน = 240202421


ดงนน พนทสวนทแรเงามพนทเทากบ 375 – 240 = 135 ตารางหนวย

226

1.1 พนทรปสเหลยมจตรส = ดาน x ดาน = 8 x 8 = 64 ตารางเซนตเมตร


1.2 พนทรปสเหลยมจตรส = x21

ผลคณของเสนทแยงมม = 72)1212(2

1=× ตาราง


1.3 พนทรปสเหลยมผนผา = กวาง x ยาว = 4 x 7 = 28 ตารางเซนตเมตร

1.4 พนทสเหลยมดานขนาน = ฐาน x สง = 12 x 8 =96 ตารางเมตร

1.5 พนทสเหลยมคางหม = 21

x ผลบวกดานคขนาน x สง = ( ) 48611521

=+ xx ตารางเมตร

1.6 พนทรปสเหลยมขนมเปยกปน = x21

ผลคณของเสนทแยงมม = 4881221

=xx ตารางเมตร

1.7 พนทรปสเหลยมรปวาว = x21



1.8 พนทรปสเหลยมรปวาว = x21



1.9 พนทรปสเหลยมใดๆ = x21

เสนทแยงมม x ผลบวกของเสนกง = ( ) 60751021

=+xx


2. จงหาพนทสวนทแรงเงา ตวเลขทเขยนกากบไวถอวาเปนความยาวของดานและมหนวยความยาว

เปนเมตร

วธทา พนทสามเหลยมรปเลก = 84421


พนทสามเหลยมรปใหญ = 246821


จะเหนวาพนทสวนทแรเงามพนทเทากบ 24 – 8 = 16 ตารางเมตร

227

วธทา พนทสเหลยมรปใหญ = 000,24050 =x ตารางเมตร

พนทสเหลยมรปเลก = 496,13444 =x ตารางเมตร

จะเหนวาพนทสวนทแรเงามพนทเทากบ 2,000 – 1,496 = 504 ตารางเมตร

1. จงหาพนทสวนทแรเงา ตวเลขทเขยนกากบดานมหนวยเปนเซนตเมตร และจด O, Q แทนจด

ศนยกลางของวงกลม


1.1

วธทา พนทสามเหลยม รป 1 = 123821

=xx

พนทสเหลยม รป 2 = 4081021

=xx

ดงนน พนททแรเงาทงหมด = 12 + 40 = 52 ตารางหนวย

228

1.2

วธทา พนทวงกลม = 5.35.3722 xx

พนททแรเงาทงหมด = 38.5 ตารางหนวย

1.3

วธทา พนทวงกลม = 15477722

=xx

พนทสเหลยม = 14 x 14 = 196

พนททแรเงาทงหมด = 196 – 154 = 42 ตารางหนวย

229

1.4

วธทา พนทสามเหลยมรปท 1 = 1 x 6 = 6

พนทสามเหลยมรปท 2 = 2 x 1 = 2

พนทสามเหลยมรปท 3 = 1 x 6 = 6

ดงนนพนทแรเงาทงหมด = 6+2+6 = 14 ตารางหนวย

1.5

วธทา พนทสเหลยมรปท 1 = 4 x 5 = 20

พนทสามเหลยมรปท 2 = 63421

=xx

ดงนน พนททงหมด = 20 + 6 = 26 ตารางหนวย

1.6

วธทา พนทสามเหลยมรปท 1 = พนทสามเหลยมรปท 2

พนทสามเหลยมรปท 1และรปท 2 = 622321

=

xxx

พนทสเหลยมรปท 3 = 5 x 3 = 15

ดงนนพนทสเหลยมทงหมด = 6 + 15 = 21 ตารางหนวย

1 1

6

2.5

2.5 2

230

1. แผนผงบานหลงหนงมลกษณะและขนาดดงรป ถาบรเวณทแรเงาตองการเทปนซเมนต โดยเสย

คาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสยคาใชจายทงหมดกบาท กาหนดความยาวมหนวยเปน



วธทา พนทสเหลยมรปท 1 = 1 x 2 = 2 ตารางเมตร

พนทสเหลยมรปท 2 = 1 x 3 = 3 ตารางเมตร

พนทสเหลยมรปท 3 = 1.5 x 2 = 3 ตารางเมตร

ดงนนพนทสวนทแรเงา = 2+3+3 = 8 ตารางเมตร

ตองการเทปนซเมนตโดยเสยคาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท

จะตองเสยคาใชจายทงหมด = 250 x 8 = 2,000 บาท

2. ตองการตดเสอตวหนงมลกษณะดงรป จะตองใชผากตารางเมตร (ไมคดตะเขบ) ความยาวท

กาหนดมหนวยเปนเซนตเมตร

231

วธทา พนทสเหลยมสวนแขนเสอ สวนท 1= (21

x (0.2+0.3) x 0.15) = 0.0375 ตารางเมตร

พนทสเหลยมสวนแขนเสอ สวนท 2= (21

x (0.2+0.3) x 0.15) = 0.0375 ตารางเมตร

พนทสเหลยมสวนทเปนลาตว = 0.4 x 0.4 = 0.16 ตารางเมตร

พนททงหมด คอ 0.0375 + 0.0375 + 0.16 = 0.235

จะตองใชผา 2 ชน จะตองใชผาทงหมด 0.235 x 2 = 0.47 ตารางเมตร

1. จงคาดคะเนเวลาหรอชวงเวลาใหเหมาะสมกบสถานการณตอไปน


1.1 5.00 นาฬกา

1.2 12.00 นาฬกา

1.3 หนาว , ธนวาคม

2. จงวงกลมลอมรอบขอทเหมาะสมทสด สาหรบใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง นาหนก หรอ

ขนาดของสงตอไปน

2.1 ข

2.2 ข

2.3 ก

2.4

2.4.1 ค

2.4.2 ก

2.4.3 ข

2.4.4 ข

2.5

2.5.1 ข

2.5.2 ก

3. ทางหลวงสายพหลโยธนกรงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กโลเมตร รถประจาทางปรบอากาศวงบน

ทางหลวงสายนตลอดเสนทางดวยอตราเรว 80-100 กโลเมตรตอชวโมง

3.1 10 – 12 ชวโมง

3.2 4.00 – 6.00

3.3 24.00 – 2.00

232

4. ลฟตของโรงแรมแหงหนงบรรทกผโดยสายไดเทยวละไมเกน 10 คน (600 กโลกรม) บางครงม

ผโดยสารเขาลฟตเพยง 8 คน ลฟตจะมเสยงเตอน บางครงมผโดยสาร 12 คน ลฟตไมมเสยงเตอนยง

ใชงานไดเปนเพราะเหตใด จงอธบาย

ตอบ ถานาหนกของคน 8 คน รวมกนเกน 600 กโลกรม

ถานาหนกของคน 12 คน รวมกนไมเกน 600 กโลกรม

5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรงเทพฯ-บานคลองพราน จงหวดนราธวาส) 1,352 กโลเมตร ทาง

หลวงสายมตรภาพ (กรงเทพฯ-จงหวดหนองคาย) 508 กโลเมตร ทางหลวงสายสขมวท (กรงเทพฯ-

จงหวดตราด) 400 กโลเมตร

5.1 ระยะทาง 1,352 + 508 = 1,860 กโลเมตร

ใชอตราเรว 90 – 100 กโลเมตร ตอชวโมง จะใชเวลาประมาณ 19 – 22 ชวโมง

5.2 ใชเวลา 52.13100352,1

= ชวโมง จะถงนราธวาสเมอเวลาประมาณ ต 2

5.3 ใชเวลา 580400

= ชวโมง

5.4 ทางหลวงเพชรเกษม ประมาณ 1,400 กโลเมตร

ทางหลวงมตรภาพ ประมาณ 500 กโลเมตร

ทางหลวงสขมวท ประมาณ 400 กโลเมตร

233

เฉลย บทท 6 พนทผวและปรมาตร แบบฝกหดท 1

1. จงหาพนทผวและปรมาตรของปรซมตอไปน

วธทา ปรมาตร = พนทฐาน x สง

= 53821 xxx

= 60 ลกบาศกเซนตเมตร

วธทา ปรมาตร = พนทฐาน x สง

= 421221 xxx

= 48 ลกบาศกเซนตเมตร

1. จงหาปรมาตร และพนทผวทงหมดของทรงกระบอกสง 10 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง 14



วธทา ปรมาตร = ¶ 2r h

= 540,11077722

=xxx ลกบาศกเซนตเมตร

พนทฐาน = ¶ 2r

= 15477722

=xx ตารางเซนตเมตร

พนทผวขาง = 2¶rh

= 4401077222 =xxx ตารางเซนตเมตร

ดงนนพนทผวทงหมด คอ 440 + (154 x 2) = 748 ตารางเซนตเมตร

234

2. จงหาปรมาตรของทรงกระบอกใบหนงทมรศมของฐาน 3.5 นว และสง 5 นว


= 5.19255.35.3722

=xxx ลกบาศกนว

3. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของถงเกบนารปทรงกระบอกใบหนงทมรศมทฐาน 3 เมตร

สง 4 เมตร 90 เซนตเมตร


= 6.1389.433722

=xxx ลกบาศกเมตร

พนทผวขาง = 2¶rh

= 4.929.437222 =xxx ตารางเมตร

พนทฐานทง 2 ขาง = 2 x (3.14)x 3x 3 = 56.52 ตารางเมตร

ดงนนพนทผวทงหมด = 92.4 + 56.52 = 148.92 ตารางเมตร

1. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของพระมดทสง 6 เซนตเมตร ฐานเปนรปสเหลยมจตรส ยาว

ดานละ 16 เซนตเมตร


วธทา หาสงเอยง จากสตร 222 bac +=

222 68 +=c

C = 10

พนทฐานสเหลยมจตรส = 16 x 16 = 256 ตารางเซนตเมตร

ปรมาตรพระมด = x31


= 625631 xx = 512 ตารางเซนตเมตร

พนทผวเอยง = ( ) 1016421 xxx = 320 ตารางเซนตเมตร

ดงนนพนทผวทงหมด = 256 + 320 = 576 ตารางเซนตเมตร

235

2. จงหาพนทผวเอยงของพระมดฐานรปหกเหลยมดานเทา มมเทา ยาวดานละ 4 เซนตเมตร สงเอยง


วธทา พนทผวเอยง = x21


= x21

(4 x 6) x 7.5

= 2 x 6 x 7.5 = 90 ตารางเซนตเมตร

1. จงหาปรมาตร และพนทผวทงหมดของกรวยกลมทสง 24 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง 14



วธทา ปรมาตร = 31 ¶ 2r h

= 2477722

31 xxxx


สงเอยง = 222 724 +=A = 625

A = 25


= 15477722


พนทผวเอยง = ¶rl

= 550257722


ดงนนพนทผวทงหมด = 154 + 550 = 704 ตารางเซนตเมตร

2. จงหาปรมาตรและพนทผวทงหมดของกรวยกลมทสงเอยง 5 เซนตเมตร มเสนผานศนยกลาง

8 เซนตเมตร (ตอบในรป π)

วธทา หาสงตรง 222 bac +=

222 45 −=a

a = 3

ปรมาตร = 31 ¶ 2r h

236

= 31 ¶ 342 x = 16 ¶ ลกบาศกเซนตเมตร

พนทผวเอยง = ¶rl

= ¶ (4)(5) = 20 ¶ ตารางเซนตเมตร


= ¶ 24 = 16 ¶ ตารางเซนตเมตร

พนทผวทงหมด = 20 ¶ + 16¶ = 36¶ ตารางเซนตเมตร

3. จงหาปรมาตรจรวดทรงกระบอกมปลายเปนกรวย มเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร ความยาว

ทรงกระบอก 30 เซนตเมตร ความสงยอดกรวย 12 เซนตเมตร

วธทา ปรมาตรทรงกระบอก = ¶ 2r h

= 3077722 xxx = 4,620 ลกบาศกเซนตเมตร

ปรมาตรทรงกรวย = 31 ¶ 2r h

= 1277722

31 xxxx = 616 ลกบาศกเซนตเมตร

ปรมาตรทงหมด = 4,620 + 616 = 5,236 ลกบาศกเซนตเมตร

1. จงหาปรมาตรและพนทผวของทรงกลมซงมเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร


วธทา ปรมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r

= 777722

34

×××× = 1,437.3 ลกบาศก


พนทผวทรงกลม = 4¶ 2r

= 4 x 77722 xx = 616 ตารางเซนตเมตร

237

2. ทรงกลมมปรมาตร 38,808 ลกบาศกเซนตเมตร จงหารศมและพนทผว

วธทา ปรมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r

38,808 = 3

722

34 xrx

3r = 224

73808,38×

××

r = 21 เซนตเมตร

พนทผวทรงกลม = 4¶ 2r

= 21217224 xxx = 5,544 ตารางเซนตเมตร

3. ทรงกลมมพนทผว 616 ตารางนว จงหาปรมาตรของทรงกลม

วธทา พนทผวทรงกลม = 4¶ 2r

616 = 2

7224 r××

2r = 616 227

41××

r = 7 เซนตเมตร

ปรมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r

= 777722

34

××××


4. โลหะกลมลกหนง รศมภายนอก 21 เซนตเมตร รศมภายใน 7 เซนตเมตร จงหาปรมาตรเนอโลหะ

วธทา ปรมาตรทรงกลมรปนอก = 34 ¶ 3r

= 212121722

34

××××


ปรมาตรทรงกลมรปใน = 34 ¶ 3r

= 777722

34

××××


ดงนนปรมาตรเนอโลหะ = 38,808 - 1,437.33 = 37,370.67

238

1. สระแหงหนงเปนรปสเหลยมผนผา กนสระกวาง 5 วา ลก 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเครองสบนา

ออกจากสระไดนาทละ 9,000 ลตร จะตองใชเวลาสบนาเทาไร


วธทา ปรมาตรสระนา = กวาง x ยาว x ลก

= 10 x 15 x 3 ลกบาศกเมตร


1 ลกบาศกเมตร = 1,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร

= 450 x 1,000,000


1 ลตร = 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร

= 000,450000,1

000,000,450= ลตร

สบนาออกจากสระไดนาทละ = 9,000 ลตร

ตองใชเวลาสบนา = 50000,9

000,450= นาท

2. อางเลยงปลาทรงสเหลยมมมฉากกวาง 90 เซนตเมตร ยาว 1.2 เมตร จนา 540 ลตร ตองการป

กระเบองภายในอางดวยแผนกระเบองรปสเหลยมจตรส ยาวดานละ 10 เซนตเมตร ตองใชกระเบอง

อยางนอยทสดเทาไร

วธทา อางเลยงปลาจนา 540 ลตร คดเปน 540 x 1,000 = 540,000 ลกบาศกเซนตเมตร

หาความลกอางเลยงปลาจาก 540,000 = 90 x 120 x ลก

ความลก = 5012090000,540

=×


หาพนทอางเลยงปลาดานท 1 = 50 x 90 = 4,500 ตารางเซนตเมตร






ดงนนพนทอางเลยงปลาทงหมด = 4,500 +4,500 +6,000 +6,000 +

10,800 +10,800= 42,600 ตารางเซนตเมตร

หาพนทกระเบอง = 10 x 10 = 100 ตารางเซนตเมตร

ดงนนตองใชกระเบอง = 426100

600,42= แผน

239

3. นายาบวนปากขวดหนงปรมาตรสทธ 700 มลลลตร ใชอมปวนปากครงละ 10 มลลลตร วนละ 2

ครง จะใชไดกวน

วธทา นายาบวนปากขวดหนงปรมาตรสทธ 700 มลลลตร

ใชนายาบวนปาก ครงละ 10 มลลลตร วนละ 2 ครง = 10 x 2 = 20 มลลลตร

จะใชไดทงหมด = 3520

700= วน

4. ถงนาทรงลกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จนาไดกลตร

วธทา ถงนาทรงลกบาศก มความจ = 2 x 2 x 2 = 8 ลกบาศกเมตร

คดเปน = 8 x 1,000,000 = 8,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร

จนาได = 000,1

000,000,8 = 8,000 ลตร

5. ถงทรงสเหลยมมมฉากวดภายในกวาง 90 เซนตเมตร ยาว 1.50 เซนตเมตร สง 1.20 เมตร บรรจนา

เตมถง ถาตองการตวงนามนจากถงใสแกลอนซงมความจ 4.5 ลตร จะไดนาทงหมดกแกลอน

วธทา ถงทรงสเหลยมมปรมาตร = 90 x 150 x 120


สามารถจนาได = 000,1

000,620,1

= 1,620 ลตร

และแกลอน 1 ใบสามารถจนาได = 4.5 ลตร

ดงนน นา 1,620 ลตร สามารถจได = 3605.4

620,1= แกลอน

240

1. ถงเกบนามนของปมแหงหนงเปนรปทรงกลม มเสนผานศนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสครงทรงกลม

บน โดยเสยคาทาสตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสยคาทาสกบาท


วธทา พนทผวทรงกลม = 4¶ 2r

พนทผวครงทรงกลม = x21

4¶ 2r

= 5.35.37224

21

××××


เสยคาทาสตารางเมตรละ = 40 บาท

จะเสยคาทาส = 77 x 40

= 3,080 บาท

2. หนออนทรงลกบาศกมขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลงใหเปนรปทรงกลมใหมขนาดเสน

ผานศนยกลางเทากบความยาวของดานลกบาศก จะหาวาจะตองกลงหนออกไปปรมาตรเทาใด

วธทา

ปรมาตรลกบาศก = ดาน

= 2.1 x 2.1 x 2.1 = 9.261 ลกบาศกเมตร

3

ปรมาตรทรงกลม = 34 ¶ 3r

=

×

×

××

21.2

21.2

21.2

722

34


จะตองกลงออก = 9.261 – 4.851


241

3. นาแทงตะกวทรงสเหลยมมมฉากกวาง 8 นว ยาว 11 นว หนา 5 นว ไปหลอมเปนลกปนทรงกลม

ขนาดรศม 1 นว จะหลอมไดกลก

วธทา ปรมาตรของรปสเหลยมมมฉาก = 8 x 11 x 5

= 440 ลกบาศกนว

ปรมาตรลกปนทรงกลม 1 ลก = 34 ¶ 3r

= ( )31722

34

××

= 2188

ลกบาศกนว

จานวนลกปนทได = 440 ÷ 2188

= 440 × 8821

= 105 ลก

242

เฉลยบทท 7 เรองคอนดบและกราฟ

1. จงเขยนคอนดบจากแผนภาพทกาหนดใหตอไปน


1.1 (1,-1), (2,-2), (3,-3), (4,-4)

1.2 (1,c), (2,b), (3,a) , (4,d)

1.3 (1,0), (2,-1), (3,-2), (4,-3),(5,-4)

2. จงหาคา x และ y จากเงอนไขทกาหนดใหในแตละขอตอไปน

2.1 x = 4 , y = 3

2.2 x = y , y = 2

2.3 x = 6 , y = 0

2.4 x = 4 , y = 4


1.1 A = ( 1,3) B= (-1,2) C= (-4, -2) D=(1,-1)

1.2 A = ( 0,2) B= (-3,1) C= (4, 0) D=(3,-4)

243

2.1

244

2.2

กราฟขางลางแสดงการเดนทางของอนวฒนและอนพนธ


3.1 2 ชวโมง


3.3 320 กโลเมตร


3.5 160 กโลเมตร

245

เฉลย บทท 8 ความสมพนธระหวางรปเรขาคณตสองมตและสามมต

1. จงบอกชนดของรปเรขาคณตสามมตทมรปคลดงตอไปน


1. พระมดฐานสามเหลยม 2. ปรซมสเหลยม หรอทรงสเหลยมมมฉาก

3. พระมนฐานหกเหลยม 4. ปรซมหาเหลยม

2. จงเขยนรปคลของรปเรขาคณตสามมตในแตละขอตอไปน

246

247


248

จงจบคภาพดานหนา ดานขาง และดานบน ในแตละขอตอไปนกบรปเรขาคณตสามมตท

กาหนดใหทางขวามอ โดยเลอกตวอกษรทกากบไวในรปเรขาคณตสามมต เขยนเตมลงในชองวาง

บนขวาของแตละขอ


ค

ก

249

ข

จ

ง

250

2. จงเขยนภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรปเรขาคณตสามมตตอไปน พรอมทงเขยน

จานวนลกบาศกกากบไวในตารางสเหลยมจตรส

251

เฉลย บทท 9 สถต


4 4ขอท 4

ขอความ ขอมลสถต

4 4เปน ไมเปน

4 41 แดงสง 163 เซนตเมตร

4 42 นางสาวภาวมสวนสดเปน 35-24-36

4 43 นาหนกของนกเรยนทกคนทเรยนชดการเรยนทางไกล

4 44 อณหภมทจงหวดปทมธานวนนวดได 25 องศาเซลเซยส

4 45 สมศรไดคะแนน 15 คะแนน

4

4

6

106

ในการโยนเหรยญ 10 ครง เกดหว 6 ครง เกดกอย 4 ครง ได

อตราสวนทจะเกดหว

4 47 อาจารยศภราเงนเดอน 23,000 บาท

4 48 ความสงเฉลยของประชาชนทเปนชาย 162 เซนตเมตร

4 49 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญง 2 คน ทอยในบานวชย

4

4

10 จานวนคดอาชญากรรมในป 2551 ซงรวบรวมมาจากบนทกคด

อาชญากรรมแตละวนในแตละสถานตารวจ

4

4

2. ใหผเรยนพจารณาขอมลในแตละขอตอไปน แลวเขยนเครองหมาย ลงในชองทตรงกบความ

คดเหน

4ขอท

4

ขอความ

ขอมลสถต

4 4ขอมล

คณภาพ

ขอมล

ปรมาณ

4 41 สถตคนไขแยกตามเชอโรคของโรงพยาบาลแหงหนง

4

4

2 จานวนครงของการโทรศพททางไกลจากแตละเครองใน

สานกงาน 10 เครอง ในวนหนง

4

4

3 ผจดการถกสมภาษณถงจานวนเปอรเซนตของเวลาทางานทใชใน

การประชม

4

4

4 เครองสาอางโดยเฉพาะสของสทาปาก ซงแตละบรษทใน 10

บรษท ไดระบวามยอดขายมากทสด

252

4

3.1 ทตยภม

3. ใหผเรยนพจารณาขอความตอไปน แลวเตมคาตอบลงในชองวางตามความคดเหนของผเรยนวา

เปนขอมลปฐมภม หรอทตยภม

3.2 ปฐมภม

3.3 ทตยภม

3.4 ปฐมภม

3.5 ทตยภม

4


1. แผนภมรปวงกลมแสดงรายไดของหางสรรพสนคาแหงหนงโดยเฉลยตอวน จาแนกตามแผนก

ตางๆ

1.1 นอยกวา 0.86 %

1.2 รายไดจากแผนกเครองสาอางนอยทสด คดเปน 12.87% ของรายไดจากแผนกทรายไดมาก

ทสด

1.3 51.43%

1.4 แผนกเครองเขยนแบบเรยน คดเปน 20.11% ของรายไดทงหมด

253

2. จากการสอบถามงบประมาณทแตละกลมสาระการเรยนรไดมาจากการจดสรรงบประมาณของ

ทางโรงเรยน เปนดงน

กลมสาระการเรยนร งบประมาณ

(บาท)

จานวนเปอรเซนต ขนาดของมมทจดศนยกลาง

ของรปวงกลม (องศา)

คณตศาสตร 35,000 29.10100000,340

000,35=× 06.37360

000,340000,35

=×

วทยาศาสตร 100,000 29.41 105.88

ภาษาตางประเทศ 48,000 14.12 50.82

ภาษาไทย 34,500 10.15 36.53

ศลปะ 18,500 5.44 19.59

การงานอาชพและเทคโนโลย 40,500 11.91 42.83

สขศกษาและพลศกษา 29,500 8.68 31.24

สงคมศกษา ศาสนา และ

วฒนธรรม

34,000 10.00 36.0

3. จงเขยนแผนภมรปวงกลมโดยใชจานวนเปอรเซนตและขนาดของมมทจดศนยกลางของรป

วงกลมทคานวณไดจากตารางขางตน

254

4. ใหผเรยนพจารณากราฟเสนตอไปน

4.1 พ.ศ. 2529 , พ.ศ. 2531 , พ.ศ. 2533

4.2 พ.ศ. 2529 แตกตางกนประมาณ 28,000 ลกบาศกเมตร

4.3 ปรมาณไมสกและไมประดทผลต จะลดลงเรอยๆ แตปรมาณไมประดจะมการเปลยนแปลง

มากกวา

4.4 ไมสกผลตได %47.76100000,34000,26

=× ของไมประด

4.5 ปทผลตไดมากทสด คอ พ.ศ. 2530 คอ 52,000 ลกบาศกเมตร

ปทผลตไดนอยสด คอ พ.ศ. 2533 คอ 5,000 ลกบาศกเมตร

ดงนน ทงสองปนตางกนอย 52,000 – 5,000 = 47,000 ลกบาศกเมตร

5. ตารางแสดงรายรบ – รายจายของนาย ก ในรอบ 6 เดอนแรกของป พ.ศ. 2546 เปนดงน

255

4จากตารางนาเสนอขอมลดวยกราฟเสน ไดดงน


1. จากขอมล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน

คาเฉลยเลขคณต = 7

มธยฐาน = 4

ฐานนยม = 6

2. จากขอมล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน

คาเฉลยเลขคณต = 20.33



3. จากขอมล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน

คาเฉลยเลขคณต = 11.83

มธยฐาน = 11.95

ฐานนยม = -

256

1. จากตารางใหนกเรยนหาความถสะสม โดยเตมลงในชองความถสะสม




คาเฉลยเลขคณต คอ 44.72

257

3. ตอไปนเปนตารางแจกแจงความถของนาหนก (หนวยเปนกโลกรม) ของนกเรยน 60 คน

หาความถสะสมไดดงน

2) ฐานนยมของนาหนกอยในชวงใด4

ตอบ 40 -44

3) โดยสวนใหญนกเรยนหนกอยในชวงใด4

ตอบ 40 -44

4). ถาเรยงนาหนกนอยทสดไปยงนาหนกมากทสด จงหาตาแหนงของมธยฐาน

4

5) นกเรยนคดวามธยฐานของนาหนกอยในชวงใด4

ตอบ มธยฐานอยระหวางนาหนกของคนท 30 และ 31

ตอบ 40 -44

258

6) หาคาเฉลยเลขคณต ใหนกเรยนเตมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบรณ

259

260

เฉลย บทท 10 เรองความนาจะเปน


1. ใหผเรยนพจารณาการทดลองสมตอไปนวาผลจากการทดลองสมอาจเปนอยางไรบาง

1.1 อาจได หว หรอ กอย

1.2 อาจไดหวทง 2 เหรยญ หรอได หว และ กอย หรออาจไดกอยทงสองเหรยญ

1.3 อาจไดลกปงปองสเหลองสองลก หรอสเหลอง 1 ลกและสแดง 1 ลก

2. จงเขยนผลทอาจจะเกดขนไดทงหมดจากการหมนแปนวงกลมทมหมายเลข 1 และ2 แลวมาโยน

เหรยญบาท 1 อน

ตอบ H,1 H,2 T,1 T, 2

3. จงเขยนผลทงหมดทอาจจะเกดขนไดจากการหยบสลาก 1 ใบ จากสลากทเขยนหมายเลขตงแต 10 ถง 20

ไว

ตอบ 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

แบบฝกหดท 2 1. ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จงเขยน

1.1 1, 2, 3, 4, 5,6

1.2 1, 2, 3, 4, 5

1.3 3, 6

2. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครงจงเขยน

2.1 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

2.2 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) (6,2)

2.3(4,6), (5,5), (5,6), (6,4),(6,5),(6,6)

2.4 (1,1),(1,2), (2,1)

2.5 (1,1), (1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,4),(2,6), (3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),

(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)

261

2.6 ไมม หรอ เปนเหตการณทเปนไปไมได

3. จากการสอบถามถงปกรายงานทผเรยนชอบ 2 ส ในจานวน 5 ส คอ สขาว สฟา สชมพ ส

เขยว และสเหลอง จงเขยน

3.1 (สขาว,สฟา), (สขาว,สชมพ), (สขาว,สเขยว), (สขาว,สเหลอง), (สฟา,สชมพ), (สฟา,ส

เขยว), (สฟา,สเหลอง), (สชมพ,สเขยว), (สชมพ,สเหลอง), (สเขยว,สเหลอง)

3.2 (สขาว,สฟา), (สขาว,สชมพ), (สฟา,สชมพ), (สฟา,สเขยว), (สฟา,สเหลอง), (สชมพ.ส

เขยว), (สชมพ,สเหลอง)

1


105

2. 61

3. 75

4. 521

5. 5226

6. 366

7. ไมม

8. 100 ใบ

9. 41

10. 126

จากโจทยตอไปนใหนกเรยนตอบวาใครไดเปรยบ


1. ใหนกเรยนทาลกบาศกหนงลกแลวเขยนเลข 1 ทหนาหนงของลกบาศก เขยนเลข 2 ทหนาอก

สองหนา สวนอกสามหนาทเหลอเขยน 3 ใชกตกาตอไปนตดสนการแพ ชนะ เสมอในการโยน

ลกบาศกททาขนนคนละครง

1.1 ไมมใครไดเปรยบเสยเปรยบ

1.2 ผเลนคนทสองไดเปรยบ

262

คณะผจดทา

ทปรกษา

1. นายประเสรฐ บญเรอง เลขาธการ กศน.

2. ดร.ชยยศ อมสวรรณ รองเลขาธการ กศน.

3. นายวชรนทร จาป รองเลขาธการ กศน.

4. ดร.ทองอย แกวไทรฮะ ทปรกษาดานการพฒนาหลกสตร กศน.

5. นางรกขณา ตณฑวฑโฒ ผอานวยการกลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผเขยนและเรยบเรยง 1. นายไชโย มวงบญม ขาราชการบานาญ

2. นางสาวกรณา ตตยรตนาภรณ ขาราชการบานาญ

ผบรรณาธการ และพฒนาปรบปรง

1. นายชมพล หนสง ขาราชการบานาญ

2. นายไชโย มวงบญม ขาราชการบานาญ

3. นางสาวสรนธร นาคคม สานกงาน กศน. จ.สมทรสาคร

4. นางสาวบบฮารา สะมท สานกงาน กศน. จ.สมทรสาคร

5. นางพรทพย กลารบ กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

6. นายสรพงษ มนมะโน กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

คณะทางาน

1. นายสรพงษ มนมะโน กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

2. นายศภโชค ศรรตนศลป กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

3. นางสาววรรณพร ปทมานนท กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

4. นางสาวศรญญา กลประดษฐ กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

5. นางสาวเพชรนทร เหลองจตวฒนา กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผพมพตนฉบบ

นางสาวเพชรนทร เหลองจตวฒนา กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผออกแบบปก

นายศภโชค ศรรตนศลป กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

Documents

prudinna.files.wordpress.com...หนังสือเรียนสาระความรู พื้นฐาน. รายวิชา คณิตศาสตร (พค