หนงสอเรยนสาระความรพนฐาน

รายวชา คณตศาสตร

พค31001 ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

(ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2554)

หลกสตรการศกษานอกระบบระดบการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

สานกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ

กระทรวงศกษาธการ

2

หนงสอเรยนสาระความรพนฐาน

รายวชา คณตศาสตร พค31001 ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2554

ลขสทธเปนของ สานกงาน กศน. สานกงานปลดกระทรวงศกษาธการ

เอกสารทางวชาการลาดบท 8/2555

3

4

สารบญ

หนา

คานา 3

สารบญ 4

คาแนะนาการใชหนงสอ 5

โครงสรางวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย 6

บทท 1 จานวนและการดาเนนการ 7

บทท 2 เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ 21

บทท 3 เซต 35

บทท 4 การใหเหตผล 59

บทท 5 อตราสวนตรโกณมตและการนาไปใช 71

บทท6 การใชเครองมอและการออกแบบผลตภณฑ 95

บทท 7 สถตเบองตน 120

บทท 8 ความนาจะเปน 151

บทท 9 การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ 170

5

คาแนะนาการใชแบบเรยน

หนงสอเรยนสาระความรพนฐาน รายวชา คณตศาสตร (พค 31001) ระดบมธยมศกษา

ตอนปลาย เปนหนงสอเรยนทจดทาขน สาหรบผเรยนทเปนนกศกษานอกระบบ

ในการศกษาหนงสอเรยนสาระความรพนฐาน รายวชา คณตศาสตร ผเรยนควร

ปฏบตดงน

1. ศกษาโครงสรางรายวชาใหเขาใจในหวขอสาระสาคญ ผลการเรยนรทคาดหวงและ

ขอบขายเนอหา

2. ศกษารายละเอยดเนอหาของแตละบทอยางละเอยด และทากจกรรมตามทกาหนด

แลวตรวจสอบกบแนวตอบกจกรรมทกาหนด ถาผเรยนตอบผดควรกลบไปศกษา

และทาความเขาใจในเนอหานนใหมใหเขาใจกอนทจะศกษาเรองตอไป

3. ปฏบตกจกรรมทายเรองของแตละเรอง เพอเปนการสรปความรความเขาใจของ

เนอหาในเรองนนๆอกครง และการปฏบตกจกรรมของแตละเนอหาในแตละเรอง

ผเรยนสามารถนาไปตรวจสอบกบครและเพอนๆทรวมเรยนในรายวชาและระดบ

เดยวกนได

แบบเรยนเลมนม 9 บท คอ

บทท 1 จานวนและการดาเนนการ

บทท 2 เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ

บทท 3 เซต

บทท 4 การใหเหตผล

บทท 5 อตราสวนตรโกนมตและการนาไปใช

บทท6 การใชเครองมอและการออกแบบผลตภณฑ

บทท 7 สถตเบองตน

บทท 8 ความนาจะเปน บทท 9 การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ

6

โครงสรางรายวชาคณตศาสตร

ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

สาระสาคญ มความรความเขาใจเกยวกบจานวนและตวเลข เศษสวน ทศนยมและรอยละ

การวด เรขาคณต สถต และความนาจะเปนเบองตน

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. ระบหรอยกตวอยางเกยวกบจานวนและตวเลข เศษสวน ทศนยมและรอยละ

การวด เรขาคณต สถต และความนาจะเปนเบองตนได

2. สามารถคดคานวณและแกโจทยปญหาเกยวกบจานวนนบเศษสวน ทศนยม

รอยละ การวด เรขาคณตได

ขอบขายเนอหา

บทท 1 จานวนและการดาเนนการ

บทท 2 เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ

บทท 3 เซต

บทท 4 การใหเหตผล

บทท 5 อตราสวนตรโกนมตและการนาไปใช

บทท6 การใชเครองมอและการออกแบบผลตภณฑ

บทท 7 สถตเบองตน

บทท 8 ความนาจะเปน

บทท 9 การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ

สอการเรยนร

1. ใบงาน

2. หนงสอเรยน

7

บทท 1

จานวนและการดาเนนการ

สาระสาคญ

1. โครงสรางของจานวนจรงประกอบไปดวย จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ และ

จานวนเตม

2. สมบตของจานวนจรงทเกยวกบการบวกและการคณ ประกอบไปดวยสมบตปด

สมบตการเปลยนกลม สมบตการสลบท การมอนเวอรส การมเอกลกษณและสมบต

การแจกแจง

3. สมบตการเทากนจะใชเครองหมาย “=” แทนการมคาเทากน

4. สมบตการไมเทากนจะใชเครองหมาย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥”

5. คาสมบรณใชสญลกษณ “ | |” แทนคาสมบรณซง

x ถา x >0

=x 0 ถา x = 0

- x ถา x < 0

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. แสดงความสมพนธของจานวนตาง ๆ ในระบบจานวนจรงได

2. อธบายความหมายและหาผลลพธทเกดจากการบวก การลบ การคณ การหารจานวน

จรงได

3. อธบายสมบตของจานวนจรงทเกยวกบการบวก การคณ การเทากน การไมเทากน

และนาไปใชได

4. อธบายเกยวกบคาสมบรณของจานวนจรงและหาคาสมบรณของจานวนจรงได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 ความสมพนธของระบบจานวนจรง

เรองท 2 สมบตของการบวก การลบ การคณ และการหารจานวนจรง

เรองท 3 สมบตการไมเทากน

เรองท 4 คาสมบรณ

8

เรองท 1 ความสมพนธของระบบจานวนจรง

1.1. โครงสรางของจานวนจรง

จานวนจรง ( Real number ) ประกอบดวยจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ

1. จานวนตรรกยะ ( Rational number ) ประกอบดวย จานวนเตม ทศนยมซา และเศษสวน

1. จานวนเตม ซงแบงเปน 3 ชนด คอ

1.1 จานวนเตมบวก (I+) หรอจานวนนบ (N)

∴ I+ = N = {1, 2, 3, …}

1.2 จานวนเตมศนย มจานวนเดยว คอ {0}

1.3 จานวนเตมลบ (I-)

∴ I- = {-1, -2, -3, …}

2. เศษสวน เชน 43

, 433 , -

75

เปนตน

3. ทศนยมซา เชน 6.0 , 21.0 , 235.0

2. จานวนอตรรกยะ ( irrational number ) คอจานวนทไมใชจานวนตรรกยะ เขยนไดในรป

ทศนยมไมซา เชน 2 มคาเทากบ 1.414213…

3 มคาเทากบ 1.7320508…

π มคาเทากบ 3.14159265…

0.1010010001… มคาประมาณ 1.101

จานวนจรง

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

จานวนทเขยนใน

รปของกรณฑ

หรอเรยกวา

รากหรอรต

ทศนยม

ไมรจบไมซา

จานวนเตม ทศนยมซา เศษสวน

จานวนนบหรอ

จานวนเตมบวก

ศนย จานวน

เตมลบ

9

แบบฝกหดท 1

1.จานวนทกาหนดใหตอไปนจานวนใดเปนจานวนนบ จานวนเตม จานวนตรรกยะ หรอ

จานวนอตรรกยะ

ขอ จานวนจรง จานวนนบ จานวนเตม จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

1) 1,0,2,325,

27,9 −−

2) 45,12,3,

377,5 −

3) 2.01,0.666...,-13 ,

4) 2.3030030003...,

5) 5.7,22,

36,

31, −−−π

6) π21,12,3,9,

512,17,25 −−

2. จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ

1) 0.001001001001…เปนจานวนตรรกยะ

2) 0.110110110110… เปนจานวนตรรกยะ

3) 0.767667666766667… เปนจานวนตรรกยะ

4) 0.59999…. เปนจานวนตรรกยะ

5) 0 เปนจานวนจรง

6) จานวนทเขยนไดในรปทศนยมซาไมเปนจานวนตรรกยะ

10

2. สมบตการบวก การลบ การคณ และการหารจานวนจรง

สมบตของจานวนจรง คอ การนาจานวนจรงใด ๆ มากระทาตอกนในลกษณะ เชน

การบวก การลบ การคณ การหาร หรอกระทาดวยลกษณะพเศษทกาหนดขน แลวมผลลพธท

เกดขนในลกษณะหรอทานองเดยวกน สมบตทใชในการบวก การลบ การคณ และการหาร มดงน

2.1 สมบตการเทากนของจานวนจรง กาหนด a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ

สมบตการสะทอน a = a

สมบตการสมมาตร ถา a = b แลว b = a

สมบตการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c

สมบตการบวกดวยจานวนทเทากนทงสองขาง ถา a = b แลว a + c = b + c

สมบตการคณดวยจานวนทเทากนทงสองขาง ถา a = b แลว bcac =

2.2 สมบตการบวกและการคณในระบบจานวนจรง เมอกาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรงใดๆ

2.2.1 สมบตการบวก

สมบตปด ถา a ∈R และ b ∈R แลว ba + ∈ R

สมบตการสลบท ba + = ab +

สมบตการเปลยนกลม )( cba ++ = cba ++ )(

สมบตการมเอกลกษณการบวก คอ 0 aaa =+=+ 00

สมบตการมอนเวอรสการบวก

a มอนเวอรสการบวก คอ a− และ

a− มอนเวอรสการบวก คอ a

จะได 0)()( =+−=−+ aaaa

นนคอจานวนจรง a จะม a− เปน

อนเวอรสของการบวก

2.2.2 สมบตการคณ

สมบตปด ถา a ∈R และ b ∈R แลว ab ∈ R

สมบตการสลบท ab = ba

สมบตการเปลยนกลม )(bca = cab)(

สมบตการมเอกลกษณการบวก คอ 1 1. a = a .1 = a

สมบตการมอนเวอรสการคณ

(ยกเวน 0 เพราะ 01

ไมมความหมาย)

a มอนเวอรสการคณ คอ a1

และ

a1

มอนเวอรสการคณ คอ a

11

จะได a 111=

=

a

aa ; 0≠a

นนคอ จานวนจรง a จะม a1

เปน

อนเวอรสการคณ

สมบตการแจกแจง acabcba +=+ )(

cabaacb +=+ )(

จากสมบตของจานวนจรงสามารถใชพสจนทฤษฎบทตอไปนได

ทฤษฎบทท 1 กฎการตดออกสาหรบการบวก

เมอ a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ

ถา a + c = b + c แลว a = b

ถา a + b = a + c แลว b = c

ทฤษฎบทท 2 กฎการตดออกสาหรบการคณ

เมอ a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ

ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b

ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c

ทฤษฎบทท 3 เมอ a เปนจานวนจรงใดๆ

a · 0 = 0

0 · a = 0

ทฤษฎบทท 4 เมอ a เปนจานวนจรงใดๆ

(-1)a = -a

a(-1) = -a

ทฤษฎบทท 5 เมอ a, b เปนจานวนจรงใดๆ

ถา ab = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0

ทฤษฎบทท 6 เมอ a เปนจานวนจรงใดๆ

a(-b) = -ab

(-a)b = -ab

(-a)(-b) = ab

12

การลบและการหารจานวนจรง

•

บทนยาม เมอ a, b เปนจานวนจรงใดๆ

การลบจานวนจรง

a - b = a + (-b)

นนคอ a - b คอ ผลบวกของ a กบอนเวอรสการบวกของ b

บทนยาม เมอ a, b เปนจานวนจรงใดๆ เมอ b ≠ 0

• การหารจานวนจรง

ba

= a( 1−b )

นนคอ ba

คอ ผลคณของ a กบอนเวอรสการคณของ b

13

แบบฝกหดท 2

1. ใหผเรยนเตมชองวางโดยใชสมบตการเทากน

1. ถา a = b แลว a +5 = ………………………………………………………..……………

2. ถา a = b แลว -3a = …………………………………………………………………..…

3. ถา a + 4 = b + 4 แลว a =……………………………………………………….…………

4. ถา a +1 = b +2 และ b +2 = c -5 แลว a +1………………………………….…..………

5. ถา ( )22 112 +=++ xxx แลว ( ) =+ 21x .……………………………………………

6. ถา yx23

= แลว 2x = ………………………………………………………….…………

7. ถา xx 212 =+ แลว ( )21−x = ……………………………………………….….………

8. ถา baab += แลว ( )ab21

= ……………………………………………….………….

2. กาหนดให a , b และ c เปนจานวนจรงใดๆ จงบอกวาขอความในแตละขอตอไปนเปนจรงตาม

สมบตใด

1) 3 + 5 = 5 + 3

2) (1+2)+3 = 1+(2+3)

3) (-9)+5 = 5 +(-9)

4) (8 X 9) เปนจานวนจรง

5) 5 X 3 = 15 = 3 X 5

6) 2(a+b) = 2a +2b

7) (a + b) + c = a+( b + c)

8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a

9) 4 X (5 + 6) = (4 X 5) + (4 X 6)

10) c(a +b) = ac +bc

3 . เซตทกาหนดใหในแตละขอตอไปน มหรอไมมสมบตปดของการบวกหรอสมบตปดของการคณ

1) { 1 , 3 , 5 }

2) { 0 }

3) เซตของจานวนจรง

4) เซตของจานวนตรรกยะ

5) เซตของจานวนทหารดวย 3 ลงตว

14

4. จงหาอนเวอรสการบวกของจานวนจรงในแตละขอตอไปน

1) อนเวอรสการบวกของ 8

2) อนเวอรสการบวกของ - 5

3) อนเวอรสการบวกของ - 0.567

4) อนเวอรสการคณของ 23 −

5) อนเวอรสการคณของ 35

1−

15

3. สมบตการไมเทากน

ใหผเรยนทบทวนเรองสมบตการเทากนในเรองทผานมาเพอเปนความรเพมเตม สวนใน

เรองนจะเนนเรองสมบตการไมเทากนเทานน

ประโยคคณตศาสตรจะใชสญลกษณ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไมเทากน เรยกการไมเทากน

วา “อสมการ” (Inequalities)

บทนยาม a < b หมายถง a นอยกวา b

a > b หมายถง a มากกวา b

กาหนดให a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ

1. สมบตการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c

2. สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน ถา a > b แลว a + c > b+ c

3. จานวนจรงบวกและจานวนจรงลบ

a เปนจานวนจรงบวก กตอเมอ a > 0

a เปนจานวนจรงลบ กตอเมอ a < 0

4. สมบตการคณดวยจานวนเทากนทไมเทากบศนย

กรณท 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc

กรณท 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc

5. สมบตการตดออกสาหรบการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b

6. สมบตการตดออกสาหรบการคณ

กรณท 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b

กรณท 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b

บทนยาม

a ≤ b หมายถง a นอยกวาหรอเทากบ b

a ≥ b หมายถง a มากกวาหรอเทากบ b

a < b < c หมายถง a < b และ b < c

a ≤ b ≤ c หมายถง a ≤ b และ b ≤ c

16

ชวง (Interval)

ชวง หมายถง เซตของจานวนจรงทเปนสวนใดสวนหนงของเสนจานวน

3.1 ชวงของจานวนจรง กาหนดให a, b เปนจานวนจรง และ a < b

1. ชวงเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b }

2. ชวงปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

3. ชวงครงเปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b }

4. ชวงครงเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b}

5. ชวง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a}

6. ชวง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a}

7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a}

8. ชวง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

17

แบบฝกหดท 3

1. ใหผเรยนบอกสมบตการไมเทากน (เมอตวแปรเปนจานวนจรงใดๆ)

1. ถา x < 3 แลว 2x <6 ………………………………………………………………..

2. ถา y>7 แลว -2y < 14 ………………………………………………………………..

3. ถา x+1 > 6 แลว x+2 > 7 …………………………………………………………..

4. ถา y+3 < 5 แลว y< 2 ………………………………………………………………

5. ถา x< 7 และ 7< y แลว x<y ……………………………………………………….

6. ถา a > 0 แลว a+1 > 0 +1 ………………………………………………………….

7. ถา b< 0 แลว b + (-2) < 0+(-2) ……………………………………………………

8. ถา c> -2 แลว (-1)c < (-1)(-2) …………………………………………………….

2. จงใชเสนจานวนแสดงลกษณะของชวงของจานวนจรงตอไปน

1) (2,7)

2) [3,6]

3) [-1,5)

4) (-1,4]

18

5) (2,∞ )

6) (-∞ ,4)

7) (0,8)

8) [-5,4)

19

4. คาสมบรณ

คาสมบรณของจานวนจรง หมายถง ระยะหางจากจดศนยบนเสนจานวน พจารณาคา

สมบรณของ 4 และ -4

– 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6

4 อยหางจาก 0 4 หนวย คาสมบรณของ 4 คอ 4

- 4 อยหางจาก 0 4 หนวย คาสมบรณของ -4 คอ 4

นนคอ คาสมบรณของจานวนจรงใดๆ ตองมคามากกวาหรอเทากบศนยเสมอ

สญลกษณแทนคาสมบรณคอ | | เชน คาสมบรณของ 4 คอ |4| คาสมบรณของ – 4 คอ |-4|

บทนยาม กาหนดให a เปนจานวนจรง

4.1 สมบตของคาสมบรณ

1. | x | = | -x |

2. | xy | = | x||y |

3. yx

= yx

4. | x - y | = | y - x |

5. | x |2 = x2

6. | x + y | ≤ | x | +| y |

6.1 ถา xy > 0 แลว | x + y | = | x | + | y |

6.2 ถา xy < 0 แลว | x + y | < | x | + | y |

7. เมอ a เปนจานวนจรงบวก

| x | < a หมายถง -a < x < a

| x | ≤ a หมายถง -a ≤ x ≤ a

8. เมอ a เปนจานวนจรงบวก

| x | > a หมายถง x < -a หรอ x > a

| x | ≥ a หมายถง x ≤ -a หรอ x ≥ a

20

แบบฝกหดท 4

1) | x | ≥ 2

เซตคาตอบของอสมการ คอ ...........................................................................................................

-3 < X < 3

เซตคาตอบของอสมการ คอ..............................................................................................................

เซตคาตอบของอสมการ คอ.............................................................................................................

-x ≤ -3 -2 หรอ -x ≥ -3 -2

-x ≤ -5 หรอ –x ≥ 1

-x ≥ 5 หรอ x ≤ -1

เซตคาตอบของอสมการ คอ.............................................................................................................

21

บทท 2

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ

สาระสาคญ

1. อานวา a ยกกาลง n โดยม a เปนฐาน และ n เปนเลขชกาลง

2. อานวา กรณฑท n ของ a หรออานวา รากท n ของ a

3. จานวนจรงทอยในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะจะมความสมพนธกบ

จานวนจรงทอยในรปของกรณฑหรอ ราก ( root ) ตามความสมพนธดงตอไปน

และ

4. การบวก ลบ คณ หาร จานวนทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะโดยใชบทนยามการบวก

ลบ คณ หาร เลขยกกาลงของจานวนเตม

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. อธบายความหมายและบอกความแตกตางของจานวนตรรกยะและอตรรกยะได

2. อธบายเกยวกบจานวนจรงทอยในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ และ

จานวนจรงในรปกรณฑได

3. อธบายความหมายและหาผลลพธทเกดจากการบวก การลบ การคณ การหาร จานวนจรงท

อยในรปเลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ และจานวนจรงในรปกรณฑได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 จานวนตรรกยะและอตรรกยะ

เรองท 2 จานวนจรงในรปกรณฑ

เรองท 3 การบวก การลบ การคณ การหาร จานวนทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะและ

จานวนจรงในรปกรณฑ

22

เรองท 1 จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ

1.1 จานวนตรรกยะ หมายถง จานวนทเขยนแทนในรปเศษสวน ba

เมอ a และ b เปนจานวนเตม

และ 0≠b ตวอยาง จานวนทเปนจานวนตรรกยะ เชน จานวนเตม , เศษสวน , ทศนยมซา เปนตน

1.2 จานวนอตรรกยะ หมายถง จานวนทไมสามารถเขยนใหอยในรปของเศษสวนba

เมอ a และ b

เปนจานวนเตมและ b≠ 0 จานวนอตรรกยะประกอบดวยจานวนตอไปน เปนทศนยมแบบไมซา เชน

1.235478936... 5.223322233322223333...

ความแตกตางระหวางจานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ

จานวน ความแตกตาง

จานวนเตม เศษสวน ทศนยม คาทางพชคณต

ตรรกยะ ม ม

- ทศนยมรจบ

- ทศนยมรจบแบบซา

- คาทางพชคณตทหาคาได

ลงตว หรอไดคาตอบเปน

เศษสวน

อตรรกยะ ไมม ไมม

- ทศนยมไมรจบ - คาทางพชคณตทมคา

เฉพาะ เชน

e,,5,3,2 π เปนตน

1.3 เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม

นยามเลขยกกาลง × an หมายถง a x a × a ×a…………….. × a

n ตว

เมอ a เปนจานวนใด ๆ และ n เปนจานวนเตมบวก

เรยก an วาเลขยกกาลง ทม a เปน ฐาน และ n เปนเลขชกาลง

เชน 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

ถา ba, เปนจานวนจรงใด m และ n เปนจานวนเตมบวก จะไดกฎของการยกกาลง ดงน

กฎขอท 1 nm ba ⋅ = nma +

กฎขอท 2 nab)( = nnba

กฎขอท 3 ( )nma = mna

23

กฎขอท 4 เมอ 0≠x

n

m

ba

= 1 ถา nm =

= nma − ถา nm >

= mna −

1 ถา mn >

กฎขอท 5 เมอ 0≠y

n

yx

= n

n

yx

นยาม 1=a เมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ ทไมเทากบศนย

นยาม nn

aa 1

=− เมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ ทไมเทากบศนยและ n เปนจานวนเตมบวก

24

แบบฝกหดท 1

1. จงบอกฐานและเลขชกาลงของเลขยกกาลงตอไปน

1) 3

6 ฐานคอ.....................................เลขชกาลงคอ.................................

2) ( ) 52.1 − ฐานคอ.................................เลขชกาลงคอ.................................

3) ( )05− ฐานคอ.................................เลขชกาลงคอ...................................

4)

3

2

1

ฐานคอ.....................................เลขชกาลงคอ.................................

2. จงหาคาของเลขยกกาลงตอไปน

1) ( )54− = ……………………….

2) 4

5

1

= ………………………..….

3) ( )32.1 = ………………………….

4) ( )63 = ………………………….

3. จงทาใหอยในรปอยางงายและเลขชกาลงเปนจานวนเตม

1) ( )42a = ………………………….

2) ( ) 435

= ………………………….

3) 54

32

= ………………………….

4) ( )( )351.1 = ………………………….

5) ( ) 52 −−x = ………………………….

25

เรองท 2 จานวนจรงในรปกรณฑ

การเขยนเลขยกกาลงเมอเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะสามารถทาไดโดยอาศยความรเรอง รากท n

ของจานวนจรง a ( ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ a ) และมบทนยามดงน

ตวอยาง

n ba = กตอเมอ ba n =

3 82 = กตอเมอ 823 =

5 2433 −=− กตอเมอ ( ) 2433 5 −=−

ลองทาด

9 = 3 3× 3 เปนรากท 2 ของ 9

3 8 = ………….………………………..

4 81 = ……………………………………

5 32− = …………………………………….

สมบตของรากท n ของจานวนจรง เมอ n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1

1. ( ) nn aa1

=

2.) n na = | |

aaa

3) n ab = nn ba •

4). nba

= n

n

ba

, 0≠b

นยาม ให n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1

a และ b เปนจานวนจรง

a เปนรากท n ของ b กตอเมอ ba n =

เมอ 0≥a

เมอ 0<a และ n เปนจานวนค

เมอ 0<a และ n เปนจานวนค

26

ตวอยาง 1 24 = 16 และ (-2)4 = 16

2 เปนรากท 4 ของ 16 เพราะ 24 = 16

-2 เปนรากท 4 ของ 16 เพราะ (-2)4 = 16

∴รากท 4 ของ 16 คอ 2 และ -2

ตวอยาง 2 23 = 8

2 เปนรากท 3 ของ 8 เพราะ 23 = 8

แต -2 ไมใชเปนรากท 3 ของ 8 เพราะ (-2)3 = -8

∴รากท 3 ของ 8 คอ 2

หมายเหต 1. เครองหมาย “ ” เรยกวา เครองหมาย กรณฑ เขยน “n” วาเปนอนดบท

2. เมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ จานวนจรงทเขยนในรป n a เรยก กรณฑ เชน

33 64,25,5 −

นยาม ให a เปนจานวนจรง และ n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 จะเรยก n a วา รากท n ของ a หรอ กรณฑอนดบท n ของ a

โดยท 1. ถา n เปนจานวนคแลว a ตอง 0≥

2. ถา n เปนจานวนคแลว a เปนจานวนจรง

27

แบบฝกหดท 2

1. จงหาคาของรากท n ของจานวนจรงตอไปน

1) 25 = ……………………….

2) 64 = ……………………….

3) 5 243− = ……………………….

4) 3 125− = ……………………….

5) 3827

= ……………………….

6) 4 16 = ……………………….

7) 3 125 = ……………………….

8) 64− = ……………………….

9) 3 8− = ……………………….

10) 4 16− = ……………………….

2. จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย โดยใชสมบตของ รากท n

1) 25 = ……………………..………… 2) 3 32 = ………………….………..

3) 33 ( 2)− = ……………………………. 4) 55 ( 2)− =……………….………..

5) 2( 3)− = ………………..…………… 5) 44 ( 2)− =………………………..

6) 200 = …………………………… 7) 75 = …………………..……….

8) 3 240 = …………………………… 9) 45 = …………………..……….

10) 5 15 = …………….……………. 11) 3 381 32⋅ = …………………….

12) 94

= 94

= ……………………. 13) 385

= …………………………..

28

เรองท 3 การบวก การลบ การคณ การหาร จานวนทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะและ

จานวนจรงในรปกรณฑ

3.1 การบวก และการลบจานวนทอยในรปกรณฑ

สมบตของการบวกจานวนจรง ขอหนงทสาคญและมการใชมาก คอ สมบตการแจกแจงในการ

บวก พจนคลาย ดงตวอยาง

1) ( ) xxxx 85353 =+=+ สมบตของการแจกแจง

2) ( ) aaaa 53838 =−=−

ดวยวธการเชนนเราสามารถนามาใชในเรองการบวก การลบ ของจานวนทอยในรปกรณฑท

เรยกวา “พจนคลาย” ซงเปนกรณฑอนดบเดยวกน จานวนทอยภายในเครองหมายกรณฑเปนจานวน

เดยวกน

เราทราบวา 2323 ×= และ 2525 ×=

ดงนน ( ) ( )25232523 ×+×=+

( ) 253+= (สมบตการแจกแจง)

28=

ตวอยางท 1 จงหาคาของ 32712 −+

วธทา 32712 −+ = 33934 −×+×

= 33332 −+

= ( ) 3132 −+

= 34

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 1254520 −+

วธทา 1254520 −+ = 5255954 −+

= 555352 −+

= ( ) 5532 −+

= 0 5

= 0

ตวอยางท 3 จงหาคาของ 845182203 +−+

วธทา 845182203 +−+ = ( )( ) ( )( ) 2253232523 +−+

= 22532656 +−+

= 22265356 ++−

= 2853 +

29

3.2 การคณ และการหารจานวนทอยในรปกรณฑ

จากสมบตขอท 3 ของรากท n ทกลาววา

การคณ

nnn baab •= เมอ n a และ n b เปนจานวนจรง

∴

ตวอยางท 2 )25()83( = 2583 ⋅⋅⋅

30

ใชสมบตขอ 4 ของรากท n ทกลาววา

การหาร

nn

n

ba

ba= เมอ b ≠ 0

หรอใชสมบตขอ 3 ของรากท n ทกลาววา

= 2

หรอใชสมบตทวาดวยการคณตวเศษและตวสวนดวยจานวนเดยวกน

= 5

520 ⋅ =

5100

= 5

10

= 2

31

แบบฝกหดท 3

จงทาจานวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 28x

2) 4 256

3) 3 68y

4) 5 32−

5) 32283 +−

6) ( )521053 +

7) 33 2 42 aa ⋅

8) 33 454 ⋅

32

3.2 เลขยกกาลงทมกาลงเปนจานวนตรรกยะ

ตวอยางท 1

3321

= 331

99 =

88 21

= 331

77 =

บทนยาม เมอ a เปนจานวนจรง n เปน จานวนเตมทมากกวา 1 และ

a มรากท n จะไดวา

nn aa =1

บทนยาม ให a เปนจานวนเตมท n > 0 และ nm

เปนเศษสวนอยางตาจะไดวา

33

แบบฝกหดท 4

1. จงทาจานวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 28x

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

2) 3 27

3−

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

3) 2( 2 8 18 32)+ + +

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

4) 65

332

32 227 (64)

−+

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

34

5) 6

181448 2

1

4

32

⋅

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

35

บทท 3

เซต

สาระสาคญ

1. เซต โดยทวไปหมายถง กลม คน สตว สงของ ทรวมกนเปนกลม โดยมสมบตบางอยาง

รวมกน และบรรดาสงทงหลายทอยในเซตเราเรยกวา “ สมาชก” ในการศกษาเรองเซตจะ

ประกอบไปดวย เซต เอกภพสมพทธ สบเซตและเพาเวอรเซต

2. การดาเนนการบนเซต คอ การนาเซตตาง ๆ มากระทารวมกนเพอใหเกดเปนเซตใหม ซง

ทาได 4 วธคอ การยเนยน การอนเตอรเซคชน ผลตางระหวางเซต และการคอมพลเมนต

3. แผนภาพเวนน – ออยเลอร จะชวยใหการพจารณาเกยวกบเซตไดงายขนโดยใชหลกการคอ

3.1 ใชรปสเหลยมผนผาแทนเอกภพสมพทธ “U”

3.2 ใชวงกลมหรอวงรแทนเซตตาง ๆ ทเปนสมาชกของ “U” และเขยนภายในสเหลยมผนผา

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. อธบายความหมายเกยวกบเซตได

2. สามารถหายเนยน อนเตอรเซกชน คอมพลเมนต และผลตางของเซตได

3. เขยนแผนภาพแทนเซตและนาไปใชแกปญหาทเกยวกบการหาสมาชกของเซตได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 เซต

เรองท 2 การดาเนนการของเซต

เรองท 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกปญหา

36

เรองท 1 เซต (Sets)

1.1 ความหมายของเซต

เซต หมายถง กลมสงของตางๆ ไมวาจะเปน คน สตว สงของหรอนพจนทางคณตศาสตร

ซงระบสมาชกในกลมได

ยกตวอยาง เซต เชน 1) เซตของวทยาลยเทคนคในประเทศไทย 2) เซตของพยญชนะในคาวา “คณธรรม” 3) เซตของจานวนเตม 4) เซตของโรงเรยนระดบมธยมศกษาในจงหวดสกลนคร

เรยกสงตาง ๆทอยในเซตวา “สมาชก” ( Element ) ของเซตนน เชน 1) วทยาลยเทคนคดอนเมองเปนสมาชกเซตวทยาลยเทคนคในประเทศไทย 2) “ร” เปนสมาชกเซตพยญชนะในคาวา “คณธรรม” 3) 5 เปนสมาชกของจานวนเตม 4) โรงเรยนดงมะไฟวทยาเปนสมาชกเซตโรงเรยนระดบมธยมศกษาในจงหวด

สกลนคร 1.2 วธการเขยนเซต

การเขยนเซตเขยนได 2 แบบ

1. แบบแจกแจงสมาชกของเซต โดยเขยนสมาชกทกตวของเซตลงในเครองหมายวงเลบ

ปกกาและใชเครองหมายจลภาค (,) คนระหวางสมาชกแตละตวนน

ตวอยางเชน A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = { a, e, i, o, u}

C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

2. แบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต โดยใชตวแปรแทนสมาชกของเซต และบอก

สมบตของสมาชกในรปของตวแป

ตวอยางเชน A = { x | x เปนจานวนเตมบวกทมคานอยกวาหรอเทากบ 5}

B = { x | x เปนสระในภาษาองกฤษ}

C = {x | x เปนจานวนเตม}

สญลกษณเซต

โดยทว ๆ ไป การเขยนเซต หรอการเรยกชอของเซต จะใชอกษรภาษาองกฤษ

ตวพมพใหญไดแก A , B , C , . . . , Y , Z เปนตน ทงนเพอความสะดวกในการอางองเมอเขยนหรอ

กลาวถงเซตนน ๆ ตอไป สาหรบสมาชกในเซตจะเขยนโดยใชอกษรภาษาองกฤษตวพมพเลก

37

มสญลกษณอกอยางหนงทใชอยเสมอ ๆในเรองเซต คอสญลกษณ ∈ ( Epsilon)

แทนความหมายวา อยใน หรอ เปนสมาชก

เชน กาหนดให เซต A มสมาชกคอ 2 , 3 , 4 , 8 , 10

ดงนน 2 เปนสมาชกของ A หรออยใน A เขยนแทนดวย 2 ∈ A

10 เปนสมาชกของ A หรออยใน A เขยนแทนดวย 10 ∈ A

ใชสญลกษณ ∉ แทนความหมาย “ไมอย หรอไมเปนสมาชกของเซต เชน

5 ไมเปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย 5 ∉ A

7 ไมเปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย 7 ∉ A

1.3 ชนดของเซต

1.3.1 เซตวาง ( Empty Set or Null Set )

ตวอยาง เชน A = { x | x เปนชอทะเลทรายในประเทศไทย }

ดงนน A เปนเซตวาง เนองจากประเทศไทยไมมทะเลทราย

B = { x | x ∈ I+ และ x + 2 = x }

ดงนน B เปนเซตวาง เนองจากไมมจานวนเตมบวกทนามาบวกกบ 2 แลวได

ตวมนเอง เซต B จงไมมสมาชก

ขอสงเกต

1. การเรยงลาดบของแตละสมาชกไมถอเปนสงสาคญ

เชน A = { a , b , c }

B = { b , c , a }

ถอวาเซต A และเซต B เปนเซตเดยวกน

2. การนบจานวนสมาชกของเซต จานวนสมาชกทเหมอนกนจะนบเพยงครงเดยว

ถงแมจะเขยนซา ๆ กน หลาย ๆ ครง

เชน A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มจานวนสมาชก 4 ตว คอ 0 , 1 , 2 , 3

เปนตน

บทนยาม เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชก ใชสญลกษณ Ø หรอ { } แทนเซตวาง

(φ เปนอกษรกรก อานวา phi)

ขอสงเกต 1. เซตวางมจานวนสมาชก เทากบศนย ( ไมมสมาชกเลย )

2. 0 ≠ Ø

3. { 0 } ไมเปนเซตวาง เพราะมจานวนสมาชก 1 ตว

38

1.3.2 เซตจากด ( Finite Set )

บทนยาม

เซตจากด คอ เซตทสามารถระบจานวนสมาชกในเซตได

ตวอยางเชน A = { 1 , 2 , {3} } มจานวนสมาชก 3 ตว หรอ n(A) = 3

B = { x | x เปนจานวนเตมและ 1 ≤ x ≤ 100 } มจานวนสมาชก 100 ตว

หรอ

n(B) = 100

C = { x | x เปนจานวนเตมทอยระหวาง 0 กบ 1 } ดงนน C เปนเซตวาง

มจานวนสมาชก 0 ตว หรอ n(C) = 0

D = { 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } มจานวนสมาชก 99 ตว หรอ n(D) = 99

E = { x | x เปนวนในหนงสปดาห } มจานวนสมาชก 7 ตว หรอ n(E) = 7

หมายเหต จานวนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย n(A)

1.3.3 เซตอนนต ( Infinite Set )

ตวอยางเชน A = { -1 , -2 , -3 , … }

B = { x | x = 2n เมอ n เปนจานวนนบ }

C = { x | x เปนจานวนจรง }

T = { x | x เปนจานวนนบ }

ตวอยาง จงพจารณาเซตตอไปน เซตใดเปนเซตวาง เซตจากดหรอเซตอนนต

เซต เซตวาง เซตจากด เซตอนนต

1. เซตของผทเรยนการศกษานอกโรงเรยน

ปการศกษา 2552

/

2. เซตของจานวนเตมบวกค /

3. เซตของสระในภาษาไทย /

4. เซตของจานวนเตมทหารดวย 10 ลงตว /

5. เซตของทะเลทรายในประเทศไทย / /

บทนยาม

เซตอนนต คอ เซตทไมใชเซตจากด ( หรอเซตทมจานวนสมาชกไมจากด นนคอ

ไมสามารถนบจานวนสมาชกไดแนนอน )

39

1.3.4 เซตทเทากน ( Equal Set )

เซตสองเซตจะเทากนกตอเมอทงสองเซตมสมาชกอยางเดยวกน และจานวนเทากน

บทนยาม เซต A เทากบเซต B เขยนแทนดวย A = B หมายความวา สมาชกทกตวของเซต A

เปนสมาชกทกตวของเซต B และสมาชกของเซต B เปนสมาชกทกตวของเซต A

ถาสมาชกตวใดตวหนงของเซต A ไมเปนสมาชกของเซต B หรอสมาชกบางตวของเซต B

ไมเปนสมาชกของเซต A เซต A ไมเทากบเซต B เขยนแทนดวย A ≠ B

ตวอยางเชน A = { 0 , { 1,2 } }

B = { { 2 ,1 } , 0 }

ดงนน A = B

ตวอยาง กาหนดให A = { 2 , 4 , 6 , 8 }

B = { x | x เปนจานวนเตมบวกเลขคทนอยกวา 10 }

วธทา A = { 2 , 4 , 6 , 8 }

พจารณา B เปนจานวนเตมบวกคทนอยกวา 10

จะได B = { 2 , 4 , 6 , 8 }

ดงนน A = B

ตวอยาง กาหนดให A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2 – 8x + 15 = 0 }

วธทา พจารณา x2 - 8x + 15 = 0

( x – 3 ) (x – 5 ) = 0

X = 3 , 5

C = { 3 , 5 }

ดงนน A = B

แต A ≠ C เพราะ 2 ∈ A แต 2 ∉ C

B ≠ C เพราะ 2 ∈ B แต 2 ∉ C

40

1.3.5 เซตทเทยบเทากน ( Equivalent Set )

เซตทเทยบเทากน เซตสองเซตจะเทยบเทากนกตอเมอทงสองเซตมจานวนสมาชก

เทากน

บทนยาม เซต A เทยบเทากบเซต B เขยนแทนดวย A ~ B หรอ A ↔ B หมายความวา

สมาชกของ A และสมาชกของ B สามารถจบคหนงตอหนงไดพอด

ตวอยางเชน A = { 1 , 2 , 3 }

B = { 4 , 5 , 6 }

จะเหนวา จานวนสมาชกของเซต A เทากบจานวนสมาชกของ B

ดงนน A ↔ B

C = { xy , ab }

D = { 0 , 1 }

ดงนน C ~ D เพราะจานวนสมาชกเทากน

ตวอยาง จงพจารณาเซตแตละคตอไปนวาเซตคใดเทากน หรอเซตคใดเทยบเทากน

1) A = { x / x เปนจานวนเตม x2 – 10x + 9 = 0 }

B = { 1 , 9 }

2) C = { a , { b, c } , d }

D = { 1 , 2 , { 3 } }

3) E = { 1 , 4 , 7 }

F = { 4 , 1 , 7 }

วธทา

1) A = B และ A ∼ B เพราะมจานวนสมาชกเทากน และสมาชกเหมอนกนทกตว

2) C ∼ D แต C ≠ D เพราะมจานวนสมาชกเทากน แตสมาชกแตละคไมเหมอนกนทกตว

3) E = F และ E ∼ F เพราะมจานวนสมาชกเทากน และสมาชกเหมอนกนทกตว

1.3.6 เอกภพสมพทธ

ขอสงเกต

1. ถา A = B แลว A ∼ B

2. ถา A ∼ B แลว A ไมจาเปนตองเทากบ B

41

บทนยาม

เอกภพสมพทธ คอ เซตทกาหนดขนโดยมขอตกลงกนวาจะไมกลาวถง สงอนใด

นอกเหนอไปจากสมาชกของเซตทกาหนด ใชสญลกษณ U แทน เอกภพสมพทธ

ตวอยางเชน กาหนดให U เปนเซตของจานวนนบ

และ A = {x | 42 =x } จงเขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชก

ตอบ A = {2}

กาหนดให U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

และ A เปนจานวนค

ตอบ A = {2,4,6,8,10}

ขอสงเกต

ถาไมมการกาหนดเอกภพสมพทธ ใหถอวาเอกภพสมพทธนนเปนเซตของจานวนจรง

42

แบบฝกหดท 1

1. จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1) เซตของจงหวดในประเทศไทยทมชอขนตนดวยพยญชนะ “ส”

2) เซตของสระในภาษาองกฤษ

3) เซตของจานวนเตมบวกทมสามหลก

4) เซตของจานวนคบวกทมคานอยกวา 20

5) เซตของจานวนเตมลบทมคานอยกวา – 120

6) { x|x เปนจานวนเตมทมากกวา 5 และนอยกวา 15 }

7) { x|x เปนจานวนเตมทอยระหวาง 0 กบ 0 }

2. จงบอกจานวนสมาชกของเซตตอไปน

1) A = {3456}

2) B = {a,b,c,de,fg,hij,}

3) C = { x|x เปนจานวนเตมบวกทอยระหวาง 10 ถง 35 }

4) D = { x|x เปนจานวนเตมบวกทนอยกวา 9 }

3. จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไข

1) K = { 2,4,6,8}

2) P = { 1,2,3,...}

3) H = { 1,4,9,16,25,...}

4. จงพจารณาเซตตอไปน เปนเซตวางหรอเซตจากดหรอเซตอนนต

1) เซตของสระในภาษาไทย

2) เซตของจานวนเตมทอยระหวาง 21 และ 300

3) A = { x | x เปนจานวนเตมและ x < 0 }

4) B = { x | x เปนจานวนเตมคทนอยกวา 2 }

5) C = { x | x = 9 และ x – 3 = 5 }

6) A = { x | x เปนจานวนนบทนอยกวา 1 }

7) E = { x | x เปนจานวนเฉพาะ 1 < x < 3 }

8) F = { x | x เปนจานวนเตม 4 < x < 5 }

9) B = { x | x เปนจานวนนบ x2 + 3x + 2 = 0 }

10) D = { x | x เปนจานวนเตมทหารดวย 5 ลงตว }

43

5. เซตตอไปนเซตใดบางทเปนเซตทเทากน

1) A = { 2,4,6,8,10 }

B = {x| x เปนจานวนคบวก 2 ถง 10 }

2) D = { 7,14,21,28,......343}

E = {x|x = 7r และ r เปนจานวนนบทมคานอยกวา 50 }

3) F = { x|x =3n และ n และ n }

G = { 3,6,9}

4) Q = {4}

H = { x|x เปนจานวนเตมและ 162=x }

44

เรองท 2 การดาเนนการของเซต การดาเนนการทสาคญของเซตทจาเปนตองรและทาความเขาใจใหถองแทม 4 ชนด ไดแก

1. การยเนยนของเซต

2. การอนเตอรเซคชนของเซต

3. คอมพลเมนทของเซต

4. ผลตางของเซต

2.1 การยเนยนของเซต ใชสญลกษณ “∪ ”

บทนยาม A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B } เรยกวา ผลบวก หรอผลรวม (union)

ของ A และ B

ตวอยาง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7}

จะได A ∪ B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7}

ตวอยาง 2. ถา M = {x | x เปนจานวนเตมบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4}

จะได M ∪ L = M

ตวอยาง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b}

จะได W ∪ Z = {a , s , d , f , p , k , b}

ตวอยาง 4 A ={1,2,3} , B= {3,4,5}

จะได A ∪ B = {1,2,3,4,5}

2.2 การอนเตอรเซคชน ใชสญลกษณ “∩ ”

บทนยาม A ∩ B = { x|x∈ A ∧ x∈B } เรยกวา ผลตด หรอผลทเหมอนกน

(intersection) ของ A และ B

ตวอยาง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7}

จะได A ∩ B = {1 , 3}

ตวอยาง 2. ถา M = {x | x เปนจานวนเตมบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4}

จะได M ∩ L = L

45

ตวอยาง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b}

จะได = { }

2.3 คอมพลเมนตของเซต ใชสญลกษณ “ /

”

บทนยาม ถา U เปนเอกภพสมพทธ คอมพลเมนตของ A คอ เซตทประกอบดวยสมาชก

ทอยใน ∪ แตไมอยใน A เขยน A′ แทนคอมพลเมนทของ A

ดงนน A′ = { x | x ∉ A }

ตวอยาง 1. ถา U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2}

จะได = {1, 3,4, 5}

ตวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปนจานวนค}

จะได = { x |x U และ x เปนจานวนค }

2.4 ผลตางของเซต ใชสญลกษณ “ – ”

บทนยาม ผลตางระหวางเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A ซง

ไมเปนสมาชกของเซต B ผลตางระหวางเซต A และ B เขยนแทนดวย A – B ซง A - B = { x | x ∈ A

∧ x ∉ B }

ตวอยาง 1. ถา A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7}

จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7}

46

ตวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปนจานวนคบวก}

จะได U – C = {x|x เปนจานวนคบวก}

สมบตของเซตทควรทราบ

ให A,B และ C เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U สมบตตอไปนเปนจรง

1) กฎการสลบท

ABBA ∪=∪

ABBA ∩=∩

2) กฎการเปลยนกลม

( ) ( ) CBACBA ∪∪=∪∪

( ) ( ) CBACBA ∩∩=∩∩

3) กฎการแจงแจง

( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪

( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩

4) กฎเอกลกษณ

AAA =∪=∪ φφ

AUAAU =∩=∩

5) UAA =′∪

6) U=′φ และ φ=′U

7) ( ) AA =′′

8) AAA =∪ และ AAA =∩

9) BABA ′∩=−

10) φφ =∩A และ AA =∪φ

47

แบบฝกหดท 2

1) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา

1) A ∪ B ……………………………. 2). B ∪ A …………………………..……

3). A ∩B ............................................. 4). B ∩ A ……………………………..…

5). A – B……………………..…………. 6). B – A……………………………….….

2). กาหนดให U = { 1,2,3, ... ,10 }

A = { 2,4,6,8,10 }

B = { 1,3,5,7,9}

C = { 3,4,5,6,7 }

จงหา

1. A ∩ B ………………………………………………………………………………………

2. B ∪ C ………………………………………………………………………………………

3. B ∩ C …………………………………………………………………………………….…

4. A ∩ C ..………………………………………………………………………………..……

5. C ′ ..………………………………………………………………………………..………….

6. AC ∩′ ………………………………………………………………………………..……..

7. BC ∩′ ..………………………………………………………………………………..……

8. (A ……………………………………………….…………………………………

48

เรองท 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกปญหา

3.1 แผนภาพเวนน - ออยเลอร

การเขยนแผนภาพแทนเซตชวยใหเขาใจเกยวกบความสมพนธระหวางเซตชดเจนยงขน เรยก

แผนภาพแทนเซตวา แผนภาพของเวนน-ออยเลอร เพอเปนเกยรตแกนกคณตศาสตรชาวองกฤษ จอหน

เวนน (John Venn พ.ศ.2377-2466) และนกคณตศาสตรชาวสวส เลโอนารด ออยเลอร (Leonard Euler

พ.ศ. 2250-2326) ซงเปนผคดแผนภาพเพอแสดงความสมพนธระหวางเซต

การเขยนแผนภาพของเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler) เพอแสดงความสมพนธระหวางเซตนยม

เขยนรปสเหลยมมมฉากแทนเอกภพสมพทธ (U) และใชรปวงกลม วงร หรอรปปดใด ๆ แทนเซต

ตางๆ ซงเปนสบเซตของ U ลกษณะตาง ๆ ของการเขยนแผนภาพ มดงน

ซงแผนภาพเวนน-ออยเลอร เมอนามาใชกบการดาเนนการบนเซตแลวนนจะทาใหผเรยนเขาใจ

ในเรองการดาเนนการบนเซตมากขน ดงตวอยางตอไปน

ยเนยน (Union) สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเหนกรณตาง ๆ ของเซตใหมทเกด

จาก ไดจากสวนทแรเงา ดงน

(ระบายพนทของทงสองเซตไมวาจะมพนทซากนหรอไมซากน)

49

อนเตอรเซกชน (intersection)

สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเหนกรณตาง ๆ ของเซตใหมทเกดจาก

ไดจากสวนทแรเงา ดงน

คอมพลเมนต (Complement)

กาหนดให เซต A เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U คอมพลเมนตของ A คอ เซตทประกอบดวย

สมาชกของเอกภพสมพทธ (U) แตไมเปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย (อานวา เอไพรม) และ

เพอใหมองภาพไดชดขนอาจใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอรแสดงการคอมพลเมนตของเซต A ได ดงน

A′ คอ สวนทแรเงา

ผลตาง (Relative Complement or Difference)

สามารถใชแผนภาพของเวนน-ออยเลอร แสดงใหเหนกรณตาง ๆ ของเซตใหมทเกดจาก A - B

ไดจากสวนทแรเงา ดงน (ระบายสเฉพาะพนทของเซต A ทไมใชพนทของเซต B)

50

3.1 การหาจานวนสมาชกของเซตจากด

• ถาเซต A และ B ไมมสมาชกรวมกนจะได

• ถาเซต A และ B มสมาชกบางตวรวมกนจะได

พจารณาจากรป ตวเลขในภาพแสดงจานวนสมาชกเซต

จะได 1) n (A) = 16 2) n (B) = 18

2) n (A ∩ B) = 6 4) n (A ∪ B) = 28

5) n ( A/ ) = 12 6) n ( B / ) = 10

7) n (A ∩ B)/ = 22 8) n ( A/ ∪ B/ ) = 22

ตวอยางท 3 กาหนดให A มสมาชก 15 ตว B มสมาชก 12 ตว A ∩ B

มสมาชก 7 ตว จงหาจานวนสมาชกของ A ∪ B

วธทา

n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A ∩ B ) = 7

จากสตร n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B) = 15 + 12 – 7 = 20

ดงนน จานวนสมาชกของ A ∪ B เทากบ 20 ตว

n (A ∪ B) = n (A) + n (B)

n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

51

ตวอยางท 4 กาหนดให A และ B เปนสบเซตของ U โดยท U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 }

ถา n (A/ ∪ B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 แลว จงหา n ( A ∪ B) /

วธทา

จาก n ( U ) = 10 , n (A/ ∪ B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6

n (A ∪ B′) = n (A ∪ B/) ∴ n ( A ∩ B) = 10 – 5 = 5

n (A) = 10 – 3 = 7

n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B)

n ( A ∪ B ) = 7 + 6 – 5 = 8

∴ n ( A ∪ B) / = 10 - 8 = 2

• ถาเซต A เซต B และเซต C มสมาชกบางตวรวมกน

ตวอยางท 5 พจารณาจากรป ตวเลขในภาพแสดงจานวนสมาชกของเซต

จะได

1) n (U) = 60

2) n (A) = 26

3) n (B ∩ C) = 7

4) n (A ∩ C) = 8

5) n (A ∩ B ∩ C ) = 3

n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)

52

3.2 การนาเซตไปใชในการแกปญหา

การแกปญหาโจทยโดยใชความรเรองเซต สงทนามาใชประโยชนมากกคอ การเขยนแผน

ภาพเวนน - ออยเลอร และนาความรเรองสมาชกของเซตจากด ดงทจะศกษารายละเอยดตอไปน

ตวอยางท 1 บรษทแหงหนงมพนกงาน 80 คน พบวา พนกงาน 18 คนมรถยนต พนกงาน 23 คน

มบานเปนของตวเอง และพนกงาน 9 คน มบานของตวเองและรถยนต

จงหา

1) จานวนพนกงานทงหมดทมรถยนตหรอมบานเปนของตวเอง

2) จานวนพนกงานทไมมรถยนตหรอบานของตวเอง

วธทา ให A แทนเซตของพนกงานทมรถยนต

B แทนเซตของพนกงานทมบานเปนของตวเอง

เขยนจานวนพนกงานทสอดคลองกบขอมลลงในแผนภาพไดดงน

1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A ∩ B) = 9

พจารณา n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) = 18 + 23 – 9 = 32

ดงนน จาวนพนกงานทมรถยนตหรอมบานของตวเองเปน 32 คน

2) เนองจากพนกงานทงหมด 80 คน

นนคอ พนกงานทไมมรถยนตหรอบานของตวเอง = 80 - 32 = 48 คน

ดงนน พนกงานทไมมรถยนตหรอบานของตวเองเปน 48 คน

53

ตวอยางท 2 ในการสารวจเกยวกบความชอบของนกศกษา 100 คน พบวานกศกษาทชอบเรยน

คณตศาสตร 52 คน นกศกษาทชอบเรยนภาษาไทย 60 คน นกศกษาทไมชอบเรยน

คณตศาสตรและไมชอบเรยนภาษาไทยม 14 คน จงหานกศกษาทชอบเรยนคณตศาสตร

และภาษาไทย

วธทา แนวคดท 1 ให A แทนเซตของนกศกษาทชอบเรยนคณตศาสตร

B แทนเซตของนกศกษาทชอบเรยนภาษาไทย

จาก n (A) = 52 , n(B) = 60

n ( A/ ∩ B/ ) = 14 = n ( A ∪ B )/ [∴A/ ∩ B/ = ( A ∪ B ) / ]

∴ n ( A ∪ B ) = 100

n ( A ∪ B ) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B)

100 – 14 = 52 + 60 - n (A ∩ B)

86 = 52 + 60 - n (A ∩ B)

n (A ∩ B) = 112 - 86 = 26

ดงนน จานวนนกศกษาทชอบเรยนคณตศาสตรและภาษาไทย ม 26 คน

แนวคดท 2

ให x แทนจานวนนกศกษาทชอบเรยนคณตศาสตรและภาษาไทย

จากแผนภาพเขยนสมการไดดงน

( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14

112 - x = 86

x = 112 - 86 = 26

ดงนน จานวนนกศกษาทชอบเรยนคณตศาสตรและภาษาไทย ม 26 คน

54

ตวอยางท 3 นกศกษาสาขาหนงม 1,000 คน มนกศกษาเรยนภาษาองกฤษ 800 คน เรยน

คอมพวเตอร 400 คน และเลอกเรยนทงสองวชา 280 คน อยากทราบวา

1) มนกศกษากคนทเรยนภาษาองกฤษเพยงวชาเดยว

2) มนกศกษากคนทเรยนคอมพวเตอรเพยงวชาเดยว

3) มนกศกษากคนทไมไดเรยนวชาใดวชาหนงเลย

4) มนกศกษากคนทไมไดเรยนทงสองวชาพรอมกน

วธทา ให U แทนเซตของนกศกษาทงหมด

A แทน เซตของนกศกษาทเรยนวชาภาษาองกฤษ

B แทน เซตของนกศกษาทเรยนวชาคอมพวเตอร

A ∩ B แทน เซตของนกศกษาทเรยนทงสองวชา

n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A ∩ B) = 280

เขยนแผนภาพไดดงน

1) นกศกษาทเรยนภาษาองกฤษเพยงวชาเดยวมจานวน 800 - 280 = 520 คน

2) นกศกษาทเรยนคอมพวเตอรเพยงวชาเดยวมจานวน 400 - 280 = 120 คน

3) นกศกษาทไมไดเรยนวชาใดวชาหนงเลย คอสวนทแรเงาในแผนภาพซงมจานวน

เทากบ 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน

55

4) นกศกษาทไมเรยนทงสองวชาพรอมกน คอ นกศกษาทเรยนวชาใดวชาหนงเพยงวชา

เดยว รวมกบนกศกษาทไมเรยนวชาใดเลย คอ สวนทแรเงาในแผนภาพ ซงมจานวน

เทากบ 1,000 - 280 = 720 หรอ 520 + 120 + 80 = 720 คน

ตวอยางท 4 ในการสารวจผใชสบ 3 ชนด คอ ก , ข , ค พบวามผใชชนด ก. 113 คน,

ชนด ข. 180 คน, ชนด ค. 190 คน, ใชชนด ก . และ ข. 45 คน, ชนด ก.

และ ค. 25 คน, ชนด ข. และ ค. 20 คน, ทง 3 ชนด 15 คน, ไมใชทง 3

ชนด 72 คน จงหาจานวนของผเขารบการสารวจทงหมด

วธทา

แนวคดท 1

ให A แทนผใชสบชนด ก.

B แทนผใชสบชนด ข.

C แทนผใชสบชนด ค.

จาก n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C)

- n ( A ∩ C ) + n (A ∩ B ∩ C)

โดยท n (A) = 113

n (B) = 180

n (C) = 190

n (A ∩ B) = 45

n (A ∩ C) = 25

n (B ∩ C) = 20

n (A ∩ B ∩ C) = 15

n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) -

n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)

∴ n (A ∪ B ∪ C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408

56

จานวนผทใชสบ ก. หรอ ข. หรอ ค. = 408 คน

จานวนผทไมใชทง 3 ชนด = 72 คน

ดงนน จานวนของผเขารบการสารวจทงหมด 408 + 72 = 480 คน

แนวคดท 2

ให A แทนผใชสบชนด ก.

B แทนผใชสบชนด ข.

C แทนผใชสบชนด ค.

จานวนผทใชสบ ก. หรอ ข. หรอ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130

= 408 คน

จานวนผทไมใชทง 3 ชนด = 72 คน

ดงนน จานวนของผเขารบการสารวจทงหมด 408 + 72 = 480 คน

57

แบบฝกหดท 3

1. จงแรเงาแผนภาพทกาหนดใหเพอแสดงเซตตอไปน

1) B′

2) BA ′∩

3) A′

4) BA ∪′

5) BA ′∪′

2. จากแผนภาพทกาหนดให

จงหาคา

1) A′

2) ( )′∩ BA

3) UA′ B

4) BA ∩′

58

3. จากแผนภาพ

กาหนดให U , A, B และ A∩B เปนเซตทมจานวนสมาชก 100 ,40,25, และ 6 ตามลาดบ จง

เตมจานวนสมาชกของเซตตาง ๆ ลงในตารางตอไปน

เซต

A - B

B - A

A ∩ B

A′

B′

( A ∪ B

จานวนสมาชก

4. จากการสอบถามผเรยนชอบเลนกฬา 75 คน พบวา ชอบเลนปงปอง 27 คน ชอบเลนแบตมนตน

34 คน ชอบเลนฟตบอล 42 คน ชอบทงฟตบอลและปงปอง 14 คน ชอบทงฟตบอลและ

แบตมนตน 12 คน ชอบทงปงปองและแบดมนตน 10 คน ชอบทงสามประเภท 7 คน

จงหาวานกศกษาทชอบเลนกฬาประเภทเดยวมกคน

59

บทท 4

การใหเหตผล

สาระสาคญ

1. การใหเหตผลแบบอปนยเปนการสรปผลภายหลงจากคนพบความจรงทไดจากการสงเกต

หรอการทดลองหลาย ๆ ครงจากทก ๆ กรณยอยแลวนาบทสรปมาเปนความรแบบทวไปเรา

เรยกขอสรปแบบนวา “ ขอความคาดการณ”

2. การใหเหตผลแบบนรนยไมไดคานงถงความจรงหรอความเทจแตจะคานงเฉพาะขอสรปท

ตองสรปออกมาไดเทานน

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. อธบายและใชการใหเหตผลแบบอปนยและนรนยได

2. บอกไดวาการอางเหตผลสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 การใหเหตผล

เรองท 2 การอางเหตผลโดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

60

เรองท 1 การใหเหตผล

การใหเหตผลมความสาคญ เพราะการดาเนนชวตของคนเราตองขนอยกบเหตผลไมวาจะเปน

ความเชอ การโตแยง และการตดสนใจ เราจาเปนตองใชเหตผลประกอบทงสน อกทงยงเปนพนฐานท

สาคญในการหาความรของศาสตรตาง ๆ อกดวย การใหเหตผล แบงเปน 2 ประเภท ไดแก การให

เหตผลแบบอปนย และการใหเหตผลแบบนรนย

1.1 การใหเหตผลแบบอปนย ( Inductive Reasoning )

การใหเหตผลแบบอปนย หมายถง การสรปผลภายหลงจากการคนพบความจรงทไดจาก

การใชสงเกต หรอการทดลองมาแลวหลายๆครง จากทกๆกรณยอยๆ แลวนาบทสรปมาเปนความร

แบบทวไป หรออกนยหนง การใหเหตผลแบบอปนย หมายถง การใหเหตผลโดยยดความจรง

สวนยอยทพบเหนไปสความจรงสวนใหญ

1. มนษยสงเกตพบวา : ทก ๆวนดวงอาทตยขนทางทศตะวนออก และตกทางทศตะวนตก

ตวอยางการใหเหตผลแบบอปนย

จงสรปวา : ดวงอาทตยขนทางทศตะวนออก และตกทางทศตะวนตกเสมอ

2. สนทร พบวา ทกครงทคณแมไปซอกวยเตยวผดไทยจะมตนกยชายมาดวยทกครง

จงสรปวา กวยเตยวผดไทยตองมตนกยชาย

3. ชาวสวนมะมวงสงเกตมาหลายปพบวา ถาปใดมหมอกมาก ปนนจะไดผลผลตนอย

เขาจงสรปวาหมอกเปนสาเหตททาใหผลผลตนอย ตอมามชาวสวนหลายคนทดลอง

ฉดนาลางชอมะมวง เมอมหมอกมากๆ พบวาจะไดผลผลตมากขน

จงสรปวา การลางชอมะมวงตอนมหมอกมากๆ จะทาใหไดผลผลตมากขน

61

4. นายสมบต พบวา ทกครงททาความดจะมความสบายใจ

จงสรปผลวา การทาความดจะทาใหเกดความสบายใจ

ตวอยางการใหเหตผลแบบอปนยทางคณตศาสตร 1. จงใชการใหเหตผลแบบอปนยสรปผลเกยวกบผลบวกของจานวนคสองจานวน

0+2 = 2 (จานวนค) 2+4 = 6 (จานวนค) 4+6 = 10 (จานวนค) 6+8 = 14 (จานวนค) 8+10 = 18 (จานวนค)

สรปผลวา ผลบวกของจานวนคสองจานวนเปนจานวนค 2. 11×11 = 121

11×111 = 12321

1111×1111 = 1234321

11111×11111 = 123454321

3. (1 × 9) + 2 = 11

(12 × 9) + 3 = 111

(123 × 9) + 4 = 1111

(1234 × 9) + 5 = 11111

ขอสงเกต

1) ขอสรปของการใหเหตผลแบบอปนยอาจจะไมจรง

2) การสรปผลของการใหเหตผลแบบอปนยอาจขนอยกบ

เสมอไป

ประสบการณของผสรป

3) ขอสรปทไดจากการใหเหตผลแบบอปนย

ไมจาเปน

ตองเหมอนกน

ตวอยาง 1. กาหนด จานวน 2, 4, 6 , a จงหา จานวน a จะได a = 8

2. กาหนด จานวน 2, 4, 6 , a จงหา จานวน a

จะได a = 10 เพราะวา 4 + 6 = 10

3. กาหนด จานวน 2, 4, 6 , a จงหา จานวน a จะได a = 22

เพราะวา 6 = (2 × 4)-2 และ 22 = (4 × 6)-2

62

4) ขอสรปของการใหเหตผลแบบอปนยอาจ ผดพลาดได

ตวอยาง ให F(n) = n2 - 79n + 1601

ทดลองแทนคาจานวนนบ n ใน F(n)

n = 1 ได F(1) = 1523 เปนจานวนเฉพาะ

n = 2 ได F(2) = 1447 เปนจานวนเฉพาะ

n = 3 ได F(3) = 1373 เปนจานวนเฉพาะ

∴ F(n) = n2 - 79n + 1601

แทนคา n ไปเรอยๆ จนกระทงแทน n = 79 ได F(79) เปนจานวนเฉพาะ

จากการทดลองดงกลาว อาจสรปไดวา n2 - 79n + 1601 เปนจานวนเฉพาะ สาหรบทกจานวนนบ

แต F(n) = n2 - 79n + 1601

F(80) = 802 - (79)(80) + 1601

= 1681

= (41)(41)

∴ F(80) ไมเปนจานวนเฉพาะ

63

แบบฝกหดท 1

จงเตมคาตอบลงในชองวางตอไปน

1) 1,4,9,16, , ,49, 64, ,

2) 2,7,17, ,52 , ,

3) 5,10,30,120, ,

4) ถา 12345679 × 9 = 111111111

12345679 × 18 = 222222222

12345679 × 27 = 333333333

12345679 × =

12345679 × = 999999999

5) ถา 2 = 2

2+4 = 6

2+4+6 = 12

2+4+6+8 = 20

2+4+6+8+ = 30

2+4+ +8+ + 12 =

2+ + +8+ 12+14 =

2+ + +8+ +12+14+ =

64

1.2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive reasoning) เปน การนาความรพนฐานทอาจเปนความเชอ ขอตกลง กฏ หรอบทนยาม ซงเปนสงทร

มากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผลนาไปสขอสรป

การใหเหตผลแบบนรนย ไมไดคานงถง ความจรงหรอความเทจ แตจะคานงถง เฉพาะ

ขอสรปทตองออกมาไดเทานน

พจารณากระบวนการการใหเหตผลแบบนรนย จากแผนภาพดงน

1. เหต 1) จานวนคหมายถงจานวนทหารดวย 2 ลงตว

2) 10 หารดวย2 ลงตว

ผล 10 เปนจานวนค

2. เหต 1) คนทไมมหนสนและมเงนฝากในธนาคารมากกวา 10 ลานบาท เปนเศรษฐ

2) คณมานะไมมหนสนและมเงนฝากในธนาคาร 11 ลานบาท

ผล คณมานะเปนเศรษฐ

ตวอยางการใหเหตผลแบบนรนย

65

3. เหต 1) นกกฬาการแจงทกคนจะตองมสขภาพด

2) เกยรตศกดเปนนกฟตบอลทมชาตไทย

ผล เกยรตศกดมสขภาพด

จากตวอยางจะเหนวาการยอมรบความรพนฐานหรอความจรงบางอยางกอน แลวจงหาขอสรป

จากสงทยอมรบแลวนน ซงเรยกวา ผล การสรปผลจะถกตองกตอเมอเปนการสรปผลไดอยาง

สมเหตสมผล(valid) เชน

เหต 1) เรอทกลาลอยนา

2) ถงนาพลาสตกลอยนาได

ผล ถงนาพลาสตกเปนเรอ

การสรปผลจากขางตนไมสมเหตสมผล แมวาขออางหรอเหตทงสองขอจะเปนจรง แตการทเรา

ทราบ วา เรอทกลาลอยนาไดกไมไดหมายความวาสงอนๆ ทลอยนาไดจะตองเปนเรอเสมอไป ขอสรปใน

ตวอยางขางตนจงเปนการสรปทไมสมเหตสมผล

ขอสงเกต

1. เหตเปนจรง และ ผลเปนจรง

เหต แมงมมทกตวม 6 ขา

และสตวทม 6 ขา ทกตวมปก

ผล ดงนนแมงมมทกตวมปก

2. เหตเปนเทจ และ ผลเปนเทจ

เหต ถานายดาถกลอตเตอรรางวลทหนง

นายดาจะมเงนมากมาย

แตนายดาไมถกลอตเตอรรางวลทหนง

ผล ดงนนนายดามเงนไมมาก

3. เหตอาจเปนจรงและผลอาจเปนเทจ

4. ผลสรปสมเหตสมผลไมไดประกนวาขอสรปจะตองเปนจรงเสมอไป

66

แบบฝกหดท 2

จงตรวจสอบผลทไดวาสมเหตสมผลหรอไม

1) เหต 1. คนทกคนทเปนไขหวดตองไอ

2. คนชอมนไอ

ผล มนเปนไขหวด

2) เหต 1. ชาวนาทกคนเปนคนอดทน

2. นายมเปนชาวนา

ผล นายมเปนคนอดทน

3) เหต 1. สตวมปกจะบนได

2. นกกระจอกเทศเปนสตวมปก

ผล นกกระจอกเทศบนได

4) เหต 1. จานวนเตมทหารดวย 9 ลงตว จะหารดวย 3 ลงตว

2. 15 หารดวย 3 ลงตว

ผล 15 หารดวย 9 ลงตว

5) เหต 1. สตวเลยงลกดวยนมบางชนดไมมขา

2. งไมมขา

ผล งเปนสตวเลยงลกดวยนม

67

เรองท 2 การอางเหตผลโดยใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร

ออยเลอร เปนนกคณตศาสตรชาวสวสเซอรแลนด มชวตอยระหวาง ค.ศ. 1707 - 1783 เขาได

คนพบวธการตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชรปปด เชน วงกลม ซงเปนวธการทงาย และรวดเรว โดย

มหลกการดงน

1. เขยนวงกลมแตละวงแทนเซตแตละเซต

2. ถาม 2 เซตสมพนธกนกเขยนวงกลมใหคาบเกยวกน

3. ถาเซต 2 เซตไมสมพนธกนกเขยนวงกลมใหแยกหางจากกน

แผนผงแสดงการตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชแผนภาพเวนน- ออยเลอร

68

ขอความ หรอเหตและผล และแผนภาพเวนน – ออยเลอร ทใชในการใหเหตผลม 6 แบบ ดงน

69

ตวอยาง การตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลโดยใชแผนภาพ

1. เหต 1 : คนทกคนเปนสงทมสองขา

2 : ตารวจทกคนเปนคน

ผลสรป ตารวจทกคนเปนสงทมสองขา

จากเหต 1 จากเหต 2

แผนภาพรวม

จากแผนภาพจะเหนวา วงของ " ตารวจ " อยในวงของ " สงม 2 ขา " แสดงวา " ตารวจทกคนเปน

คนมสองขา " ซงสอดคลองกบผลสรปทกาหนดให ดงนน การใหเหตผลนสมเหตสมผล

2. เหต 1 : สนขบางตวมขนยาว

2 : มอมเปนสนขของฉน

ผลสรป มอมเปนสนขทมขนยาว

ดงนน ผลสรปทวา มอมเปนสนขทมขนยาว ไมสมเหตสมผล

70

แบบฝกหดท 3

จงตรวจสอบผลทไดวาสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

1) เหต 1. ถาฝนตก แคทลยากไมออกนอกบาน

2. ฝนตก

ผล แคทลยาไมออกนอกบาน

2) เหต 1. ถาสมชายขยนเรยนแลวเขาสอบเขาเกษตรได

2. สมชายสอบเขาเกษตรไมได

ผล สมชายไมขยนเรยน

3) เหต 1. ถาอากาศชนแลวอณหภมจะลด

2. ถาอณหภมลด แลวเกดหมอก

3. อากาศชน

ผล จะเกดหมอก

4) เหต 1. a เปนจานวนบวก หรอเปนจานวนลบ

2. a ไมเปนจานวนบวก

ผล a เปนจานวนลบ

5) เหต 1. แมวบางตวมสองขา

2. นกยงทกตวมสองขา

ผล นกบางตวเปนแมว

71

บทท 5

อตราสวนตรโกณมตและการนาไปใช

สาระสาคญ

1. ถารปสามเหลยมคใดคลายกน อตราสวนของดานทอยตรงขามมมทเทากนจะเทากน

2. ในรปสามเหลยมมมฉากทกรป อตราสวนความยาวดาน 2 ดาน จะถกกาหนดคาตางๆไวดงน

2.1 คาไซนของมมใด (sine) จะเทากบอตราสวนระหวางความยาวของดานตรงขามมม

นน กบความยาวของดานตรงขามมมฉาก

2.2 คาโคไซนของมมใด (cosine) จะเทากบอตราสวนระหวางความยาวดานประชตมม

กบความยาวดานตรงขามมมฉาก

2.3 คาแทนเจนตของมมใด (tangent) จะเทากบ อตราสวนระหวางความยาวของดานตรง

ขามมมกบความยาวของดานประชตมมนนๆ

3. นอกจากอตราสวนตรโกณมตหลก 3 คานแลว สวนกลบของ sine , cosine และ tangent เรยกวา

cosecant , secant และ cotangent ตามลาดบ

4. อตราสวนตรโกณมตของมม 30,45 และ 60 องศา มคาเฉพาะของแตละอตราสวน สามารถ

พสจนได

5. การแกปญหาโจทยทเกยวของ จะทาโดยการเปลยนปญหาโจทยใหเปนประโยคสญลกษณ และ

ใชอตราสวนตรโกณมตในการชวยหาคาตอบโดยเฉพาะการนาไปใชแกปญหาเกยวกบการวดระยะทาง

และความสง

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. อธบายการหาคาอตราสวนตรโกณมตได

2. หาคาอตราสวนตรโกณมตของมม 030 , 045 และ 060 ได

3. นาอตราสวนตรโกณมตไปใชแกปญหาเกยวกบระยะทาง ความสง และการวดได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 อตราสวนตรโกณมต

เรองท 2 อตราสวนตรโกณมตของมม 30, 45 และ 60 องศา

เรองท 3 การนาอตราสวนตรโกณมต ไปใชแกปญหาเกยวกบระยะทาง ความสง และการวด

72

Y

C X Z

c a

b

z x

y

เรองท 1 อตราสวนตรโกณมต

เปนแขนงหนงของคณตศาสตร วาดวยการวดรปสามเหลยมตาง ๆ โดยหาความสมพนธ

ระหวางดาน มม และพนทของรปสามเหลยม มความสาคญตอวชาดาราศาสตร การเดนเรอ และงาน

สารวจใชในการคานวณสงสงของภเขา และหาความกวางของแมนา มประโยชนมากสาหรบวชา

วทยาศาสตร วศวกรรมศาสตร และการศกษาเกยวกบวตถ ซงมสภาพเปนคลน เชน แสง เสยง

แมเหลกไฟฟาและวทย

ความรเดมทตองนามาใชในบทเรยนน

พจารณารปสามเหลยมสองรปทมขนาดของมมเทากน 3 ค ดงน

1. สมบตสามเหลยมคลาย

ถารปสามเหลยม 2 รป มมมเทากนมมตอมมทง 3 ค แลว สามเหลยม 2 รปนจะคลายกน ดงรป

รปท 1 รปท 2

จากรป

A = X , B = Y , C = Z

ดงนน รปสามเหลยม ABC คลายกบรปสามเหลยม XYZ และจากสมบตการคลายกนของ รป

สามเหลยมจะไดผลตามมาคอ

XZAC

YZBC

XYAB

== หรอ zc

yb

xa

==

เมอ a,b,c เปนความยาวของดาน AB, BC และ AC ตามลาดบในสามเหลยม ABC

x,y,z เปนความยาวของดาน XY,YZ และ XZ ตามลาดบในสามเหลยม XYZ

B

A

73

c

จาก yb

xa= จะไดวา

yx

ba=

zc

yb= จะไดวา

zy

cb=

zc

xa= จะไดวา

zx

ca=

นนคอ ถามรปสามเหลยมสองรปคลายกน อตราสวนของความยาวของดานสองดานของรป

สามเหลยมรปหนง จะเทากบอตราสวนของความยาวของดานสองดานของรปสามเหลยมอกรปหนง โดย

ทดานของรปสามเหลยมทหาความยาวนนจะตองเปนดานทสมนยกนอยตรงขามกบมมทเทากน

ในทานองเดยวกน ถารปสามเหลยมทงสองเปนรปสามเหลยมมมฉาก ซงมมมทไมเปนมมฉาก

เทากนสมมตวาเปนมม A เทากบมม X ดงรป

พบวา รปสามเหลยมสองรปนคลายกน ( มมมเทากนมมตอมม ทง 3 ค )

ดงนนจะไดวา ,z

x

c

a= ,

y

x

b

a=

y

z

b

c=

A

สรป ไมวารปสามเหลยมดงกลาวจะมขนาดใหญหรอเลกกตาม ถารปสามเหลยม

ทงสองรปคลายกนแลว อตราสวนความยาวของดานสองดานของรปสามเหลยมรปหนง

จะเทากบอตราสวนของความยาวของดานสองดานของรปสามเหลยมอกรปหนงทสมนย

กนเสมอ ( ดานทกลาวถงนตองเปนดานทอยตรงขามกบมมทเทากน )

B

C X Z

Y

a

b

z

x

y

74

a

b

c

ถาให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ทมมมฉากท C และม a , b , c เปนความยาวของดานตรง

ขามมม A , B และ C ตามลาดบ

2. สมบตสามเหลยมมมฉาก

ดาน AB เปนดานทอยตรงขามมมฉากยาว c หนวย เรยกวา ดานตรงขามมมฉาก

ดาน BC เปนดานทอยตรงขามมม A ยาว a หนวย เรยกวา ดานตรงขามมม A

ดาน AC เปนดานทอยตรงขามมม B ยาว b หนวย เรยกวา ดานประชดมม A

ถา ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ซงมมม เปนมมฉาก

c แทนความยาวดานตรงขามมมฉาก

a และ b แทนความยาวของดานประกอบมมฉาก

จะไดความสมพนธระหวางความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉากดงตอไปน

เมอ a แทนความยาวของดานตรงขามมม A

b แทนความยาวของดานตรงขามมม B

c แทนความยาวของดานตรงขามมม C

222 bac +=

75

a

3

a

5

ขอควรรเกยวกบ ทฤษฎบทปทาโกรส

ปทาโกรสไดศกษาคนควาเกยวกบความสมพนธระหวางดานตรงขามมมฉากและดานประกอบมม

ฉากของสามเหลยมมมฉาก ซงเปนทฤษฎบททเกาแกและมชอเสยงทสดบทหนง ไดแกทฤษฎบทปทา

โกรส ซงมใจความวา

ในสามเหลยมมมฉากใดๆ พนทของสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉาก

จะเทากบผลบวกของพนทสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉาก

ตวอยาง จงเขยนความสมพนธระหวางความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉากตอไปน ตามทฤษฎบท

ของปทาโกรส

1).

2).

12

13

76

วธทา พจารณาความสมพนธระหวางความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉากตามทฤษฎบทปทาโกรส

222 35 += a

25922 =+a

162 =a

ดงนน 4=a

2).

131222 =+a

1691442 =+a

252 =b

ดงนน 5=b

ถาให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทมมมฉากท C และม a , b , c เปนความยาวของดานตรง

ขามมม A , B และ C ตามลาดบ

อตราสวนตรโกณมต

B

c a

A

A b C

อตราสวนตรโกณมต คอ อตราสวนทเกดจากความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉาก

77

1. อตราสวนของความยาวของดานตรงขามมม A ตอความยาวของดานตรงขามมมฉาก หรอ ca

เรยกวา ไซน (sine) ของมม A

2. อตราสวนของความยาวของดานประชด มม A ตอความยาวของดานตรงขามมมฉาก หรอ cb

เรยกวา โคไซน (cosine) ของมม A

3. อตราสวนของความยาวของดานตรงขามมม A ตอความยาวของดานประชด มม A หรอ ba

เรยกวา แทนเจนต (tangent) ของมม A

เรยกอตราสวนทงสามนวา อตราสวนตรโกณมตของ A เมอ A เปนมมแหลมในรปสามเหลยม

มมฉากหรออาจสรปไดวา

sin A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

A มมมดานตรงขาความยาวของ

cos A = มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

A มมดานประชดความยาวของ

tan A = A มมดานประชดความยาวของ

A มมมดานตรงขาความยาวของ

ตวอยาง กาหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC

มมม C เปนมมฉาก มความยาวดานทงสาม ดงรป จงหาคาตอไปน

1. sin A, cos A และ tan A

2. sin B, cos B และ tan B

วธทา กาหนด ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก มมม C เปนมมฉาก จากทฤษฎบทปทาโกรส จะได

วา 222 BCACAB +=

แทนคา AC = 8 , BC = 6

ดงนน 222 68 +=AB

36642 +=AB

1002 =AB

22 101010 หรอ×=AB

นนคอ AB = 10

8

6

78

(1) หาคา sin A, cos A และ tan A โดยการพจารณาทมม A

sin A = 5

3

10

6===

AB

BC

มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

A มมมดานตรงขาความยาวของ

cos A = 5

4

10

8===

AB

AC

มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

A มมดานประชดความยาวของ

tan A = 4

3

8

6===

AC

BC

A มมดานประชตความยาวของ

A มมมดานตรงขาความยาวของ

(2) หาคา sin B, cos B และ tan B โดยการพจารณาทมม B

sin B = 5

4

10

8===

AB

AC

มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

B มมมดานตรงขาความยาวของ

cos B = 5

3

10

6===

AB

BC

มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

B มมดานประชดความยาวของ

tan B = 3

4

6

8===

BC

AC

B มมดานประชตความยาวของ

B มมมดานตรงขาความยาวของ

ขอสงเกต ถา ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทมมม C เปนมมฉากแลวจะไดวา

1. 0000 9090180ˆ180ˆˆ =−=−=+ CBA

2. sin A = cos B

3. cos A = sin B

79

แบบฝกหดท 1

1. จากรปสามเหลยมมมฉากทกาหนดใหตอไปน จงเขยนความสมพนธของความยาวของรปสามเหลยม

มมฉากโดยใชทฤษฎบทปทาโกรส และหาความยาวของดานทเหลอ

(1)

(2)

2. กาหนด ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ม 090ˆ =C และความยาวของดานทงสาม ดงรป

จงหา 1) sin A , cos A และ tan A

2) sin B , cos B และ tan B

B

80

3. จงหาวาอตราสวนตรโกณมตทกาหนดใหตอไปน เปนคาไซน(sin) หรอโคไซน(cos) หรอแทนเจนต

(tan) ของมมทกาหนดให

4. กาหนด ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก โดยมมม C เปนมมฉาก มดาน AB = 10 และ AC = 8

จงหา 1 ) ความยาวดาน BC

2) sin A , cos A และ tan A

3) sin B , cos B และ tan B

5. กาหนดใหรปสามเหลยม ABC โดยมมม C เปนมมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมม A, มม

B และมม C ตามลาดบ

(1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c

(2) ถา cos B = 53

และ a = 9 จงหาคา tan A

81

เรองท 2 การหาคาอตราสวนตรโกณมตของมม 30 ,45 , 60 องศา

การหาคาอตราสวนตรโกณมตของมม 60 องศา

พจารณารปสามเหลยมดานเทา ABD มดานยาวดานละ 2 หนวย ดงน

จากรปสามเหลยมดานเทา ABD ลาก AC แบงครง มม A เสนแบงครงมม A จะตงฉากกบ BD ท

จด C โดยใชหลกของสมบตของสามเหลยมคลาย ABC และ ADC จะได BC = CD = 1 หนวย ดงรป และ

จาก

รปสามเหลยมมมฉาก ABC ใชคณสมบตของปทาโกรสไดดงน

222 BCACAB +=

222 12 BC+= 214 BC+=

142 −=BC

32 =BC

3=BC

จะไดวา ดาน BC = 3

ดงนน Sin 23600 =

Cos 21600 =

60°

60°

1

1

2

2

D

B

A

60° 1

2

A

C

B

60° 1

2

A

C

B

300

300 300 300

C

82

Tan 313600 ==

ในทานองเดยวกน

ดงนน Sin

การหาคาอตราสวนตรโกณมตของมม 30 องศา

21300 =

Cos 23300 =

Tan 3

1300 =

83

สรป อตราสวนของตรโกณมตทสาคญ ดงน

นนคอ sin 21300 = cos

23300 = tan

31300 =

2

145sin 0 =

2

145cos 0 = 1

1145tan 0 ==

sin 23600 = cos

21600 = tan 3

13600 ==

84

เกรดความร การใชนวมอชวยในการจาคาตรโกณมตของมมพนฐาน

การจาคาตรโกณมตพนฐานโดยใชนวมอ ตองใชมอซาย

วธการนใชจาคาตรโกณมตของมมพนฐานกลาวคอ มขนตอนดงตอไปน

1. แบมอซายออกมา มองเลขมมจบคกบนวเรยงจากซายไปขวา เปนมม

องศา

2. เมอตองการหาคาตรโกณมตของมมใดใหงอนวนน สมมตวาหา cos กจะตรงกบนวช กงอนวช

เกบไว

3. ถอกฎวา "sin-ซาย(ออกเสยงคลายกน) cos-ขวา(ออกเสยง /k/ เหมอนกน)" เมอหาคาของฟงกชนใด

ใหสนใจจานวนนวมอฝงทสอดคลองกบฟงกชนนน

o เพอจะหาคา นาจานวนนวมอดานทสนใจตดรากทสองแลวหารดวยสอง (หรออาจจาวาม

เลขสองตวใหญๆอยบนฝามอ เมออานกจะเปน รากทสองของจานวนนวมอดานทสนใจ

หารฝามอ) สาหรบ cos 30 กจะไดวามนวมอเหลออยทางดานขวาอกสามนว (กลาง นาง

กอย) กจะได cos30= สาหรบฟงกชนตรโกณมตอนกใชสมบตของฟงกชนนนกบ sin

และ cos เชน tan=sin/cos

85

คาโดยประมาณของไซน โคไซน และแทนเจนต (ถงทศนยมตาแหนงท 3 ) หาไดจากตาราง

ตอไปน โดยทคาของไซน โคไซน และแทนเจนต ของมมทมคาอยระหวาง 00 และ 090 จะมคาอย

ระหวาง 0 และ 1

86

ตวอยาง จงหาคาของ a, b จากรปสามเหลยมทกาหนดใหตอไปน

วธทา ABBC

=032sin

แทนคา 530.032sin 0 = และ BC = a , AB = 10

ดงนน 10

530.0 a= นนคอ

530.010×=a

3.5=a

จงหาคาตอไปน

00

0

45tan45cos45sin.1 −

0000 60cos30cos60sin30sin.2 + ( ) ( )2020 30sin30cos.3 +

0200002 30cos60tan45tan60sin230tan.4 +−++ 00202020 30sin30cos30tan

3445tan60cos.5 −++−

วธทา

00

0

45tan45cos45sin.1 − = 1

2

1

2

1

− = 11

2

2

1−× = 1 - 1 = 0

0000 60cos30cos60sin30sin.2 + =

+

2

1

2

3

2

3

2

1 =

4

32

4

3

4

3=+ =

2

3

( ) ( )2020 30sin30cos.3 + =

22

21

23

+

= 1

44

41

43

==+

0200002 30cos60tan45tan60sin230tan.4 +−++ =

22

2331

232

31

+−+

+

= 43313

31

+−++

= 1225

00202020 30sin30cos30tan3445tan60cos.5 −++− = ( )

21

23

31

341

21

222 −

+

+−

= 21

43

941

21

−++−

= 367

87

อตราสวนของความยาวของดานของรปสามเหลยมมมฉากทเรยกวา ไซน โคไซน และ

แทนเจนต เรยกวาอตราสวนตรโกณมต (Trigonometric ratio) ซงเปนหลกเบองตนในคณตศาสตรแขนง

หนง ทเรยกวา ตรโกณมต (Trigonometry) หมายถงการวดเกยวกบรปสามเหลยม

อตราสวนตรโกณมตอนๆ

มอตราสวนตรโกณมตอก 3 อตราสวน ซงกาหนดดวยบทนยาม ดงน

1. ซแคนตของมม A เขยนแทนดวย secant A หรอ sec A คอสวนกลบของ cos A เมอ

cos A ≠ 0 นนคอ sec A = Acos

1 เมอ 0cos ≠A

2. โคซแคนตของมม A เขยนแทนดวย cosecant A หรอ cosec A คอสวนกลบของ sin A เมอ

sin A ≠ 0 นนคอ cosec A = Asin

1เมอ 0sin ≠A

3. โคแทนเจนตของมม A เขยนแทนดวย cotangent A หรอ cot A คอสวนกลบของ tan A เมอ

tan A ≠ 0 นนคอ cotangent A = Atan

1เมอ 0tan ≠A

88

89

แบบฝกหดท 2

1. จงหาคาตอไปน

1) 0000 60cos30cos60sin30sin −

2) ( ) ( )2020 60cos60sin +

3) 045tan1−

2. จงหาคาอตราสวนตรโกณมตตอไปนจากตาราง

1) 020sin

2) 038sin

3) 050cos

4) 052cos

5) 077tan

6) 089tan

3. ให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก มมม C เปนมมฉาก ดงรป

จงหา cos B, sin B, tan B, sec B, cosec B, cot B

4. จงหาคา a, b หรอ c จากรปสามเหลยมตอไปน

(1)

90

(2)

(3)

5. กาหนดใหรปสามเหลยม ABC โดยมมม C เปนมมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมม A, มม

B และมม C ตามลาดบ

(1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c

(2) ถา cos B = 53

และ a = 9 จงหาคา tan A

91

เรองท 3 การนาอตราสวนตรโกณมตไปใชแกปญหาเกยวกบหาระยะทางและความสงและ

การวด

อตราสวนตรโกณมตมประโยชนมากในการหาความยาว ระยะทางหรอสวนสงโดยททราบคามมใด

มมหนง และความยาวของดานใดดานหนงของรปสามเหลยมมมฉาก แลวจะสามารถหาดานทเหลอได

เสนระดบสายตา คอ เสนทขนานกบแนวพนราบ

มมกม คอ มมทแขนขางหนงของมม อยตากวาระดบสายตา

มมเงย คอ มมทแขนขางหนงอยสงกวาเสนระดบสายตา

92

ตวอยางท 1 สมพรยนอยหางจากบานหลงหนงเปนระยะทาง 100 เมตร เขาเหนเครองบน เครองหนง

บนอยเหนอหลงคาบานพอด และแนวทเขามองเปนมมเงย 60 องศา จงหาวาเครองบน อยสงจาก

พนดนกเมตร

นนคอ ความยาวของดานตรงขามมม 3100600 =

จะเหนไดวา ความสงของเครองบนอยหางจากพนดน 3100

ตวอยางท 2 060 บนไดยาว 50 ฟต พาดอยกบกาแพง ปลายบนไดถงขอบกาแพงพอด ถาบนไดทามม

กบกาแพง จงหาวาบนไดอยหางจากกาแพงเทาไร

93

วธทามมฉากดนตรงขามความยาวของ

60 มมดานประชดความยาวของ0

=060cos

5021 0

60 มมดานประชดความยาวของ=

จะได ความยาวของดานประชตมม 2

50600 =

ดงนน ระยะระหวางบนไดกบกาแพงเทากบ 25 ฟต

ตวอยางท 3 สมพรยนอยบนหนาผาสงชนแหงหนง ซงสงจากระดบผนาทะเล 50 เมตร เมอเขาทอดสายตา

ไปยงเรอลาหนงกลางทะเล มมทแนวสายตาทากบเสนระดบมขนาด 30 องศา เรอลานอยหางจากฝง

โดยประมาณกเมตร

วธทา

ให A เปนตาแหนงทสมพรยนอย

AC แทนระยะความสงจากนาทะเลของหนาผา คอ 50 เมตร

BC เปนระยะทเรออยหางจากฝง

จาก AD // BC จะได 030ˆˆ == BADABC

ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

ดงนน BCAC

=030tan

BC50

31

=

732.150350 ×≈=BC

6.86≈BC

94

แบบฝกหดท 3

1. ตนไมตนหนงทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสนตรงทลากผานปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทา

มม 30 องศา กบเงาของตนไม จงหาความสงของตนไม

2. วนยตองการหาความสงของเสาธงโรงเรยน จงทามมขนาด 45 องศา เพอใชในการเลงไปทยอดเสาธง

ถาในขณะทเลงนนเขามองไปทยอดเสาธงไดพอด เมอกาวไปอยทจดซงอยหางโคนเสาธง 16 เมตร วนยม

ความสง 160 เซนตเมตร จงหาวาเสาธงสงประมาณกเมตร

3. จดพลขนไปในแนวดง โดยกาหนดจดสงเกตการณบนพนดนหางจากตาแหนงทจดพล 1 กโลเมตร

ในขณะทมองเหนพลทามม 60 องศา กบพนดน พลขนไปสงเทาใด และอยหางจากจดสงเกตการณเปน

ระยะทางเทาใด

95

บทท 6

การใชเครองมอและการออกแบบผลตภณฑ

สาระสาคญ

1. การเลอกใชเครองมอตาง ๆ ในการสรางรปเรขาคณต

2. ในชวตประจาวน การออกแบบวสดหรอครภณฑ อาคารทพกอาศย หรออาคารสานกงานตาง ๆ

จะเกยวของกบรปแบบ การเลอนขนาน การหมน และการสะทอน

3. การมบรรจภณฑของสนคาทด สวยงาม นาสนใจ จะมสวนชวยในการการเพมมลคาของสนคานน

ๆ ได

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. สรางรปเรขาคณตโดยใชเครองมอได

2. วเคราะหและอธบายความสมพนธระหวางรปตนแบบ และรปทไดจากการเลอนขนาน การ

สะทอนและการหมนได

3. นาสมบตเกยวกบการเลอนขนาน การหมน และการสะทอนจากการแปลงทางเรขาคณตศาสตร

และทางเรขาคณต ไปใชในการออกแบบ งานศลปะได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 การสรางรปทางเรขาคณตโดยใชเครองมอ

เรองท 2 การแปลงทางเรขาคณต

เรองท 3 การออกแบบเพอการสรางสรรคงานศลปะโดยใชการแปลงทางคณตศาสตร และ

ทางเรขาคณต

96

เรองท 1 การสรางรปเรขาคณตโดยใชเครองมอ

1.1 รปเรขาคณตสองมต สามารถสรางไดโดยใชสนตรง เชน ไมบรรทด ฟตเหลก ไมฉาก ไม

ท เพอวดความยาว ใชไมโปรแทรกเตอร เพอวดมม หรอขนาดของมม ใชวงเวยน เพอประกอบการ

สรางเสนโคงทแทนความยาวรอบวงกลม หรอชวยในการสรางมมทมขนาดทตองการ

สมบตตาง ๆ ของรปเรขาคณตและความสมพนธระหวางรปเรขาคณต

เพอใหนกศกษามความเขาใจในการสรางรปเรขาคณตสองมต ผเรยนควรทบทวนสมบตตาง ๆ

ของรปเรขาคณตสองมตและสามมตดงน

1. รปสเหลยมผนผา

1. มมมทงสเปนมมฉาก

2. ดานทอยตรงขามกนยาวเทากนสองคและขนานกน

3. เสนทแยงมมแบงครงกนและกน

4. พนทของสเหลยมผนผา = ความยาวของดานกวาง x ความยาวของดานยาว

5. ความยาวรอบรปของสเหลยมผนผา

= ( 2 x ความยาวของดานกวาง ) + ( 2 x ความยาวของดานยาว )

2. รปสเหลยมจตรส

1. มมทงสเปนมมฉาก

2. ดานทงสยาวเทากน

3. เสนทแยงมมแบงครงซงกนและกน และตงฉากกน

4. พนทของรปสเหลยมจตรส = ความยาวดาน x ความยาวดาน หรอ ×21

ผลคณของ

ความยาวเสนทแยงมม

97

3. รปสเหลยมดานขนาน

1. มดานตรงกนยาวเทากนและขนานกนสองค

2. เสนทแยงมมแบงครงกนและกน แตยาวไมเทากน

3. พนทของรปสเหลยมดานขนาน = ความยาวฐาน X สวนสง

4. รปสเหลยมขนมเปยกปน

1. มดานตรงขามกนขนานกนสองค

2. ดานทงสยาวเทากน

3. เสนทแยงมมแบงครงซงกนและกน และตงฉากกน

4. พนทรปสามเหลยมขนมเปยกปน = ความยาวฐาน x สวนสง หรอ ×21

ผลคณของความยาว

ของเสนทแยงมม

98

5. รปสเหลยมรปวาว

1. มดานประชดกนยาวเทากน 2 ค

2. เสนทแยงมมสองเสนตงฉากกน

3. เสนทแยงมมแบงครงซงกนและกน แตยาวไมเทากน

4. พนทของรปสเหลยมรปวาว = ×21

ผลคณของความยาวของเสนทแยงมม

6. รปสเหลยมคางหม

1. มดานขนานกน 1 ค

2. พนทของรปสเหลยมคางหม = ×21

ผลบวกของความยาวของดานคขนาน X สวนสง

7. รปวงกลม

1. ระยะทางจดศนยกลางไปยงเสนรอบวงเปนระยะทเทากนเสมอ เรยกวา รศมของวงกลม

2. เสนผานศนยกลางยาวเปน 2 เทาของรศม

3. พนทวงกลม = 2rπ

4. ความยาวเสนรอบของวงกลม 2 rπ

99

1.2 รปเรขาคณตสามมต

รปเรขาคณต สามมตสามารถแสดงรปรางซงมทงความกวาง ความยาว ความสง หรอความ

หนา ตวอยางรปทรงเรขาคณตสามมต เชน

ปรซม เปนรปสามมตทมหนาตดหวทายเทากนและขนานกนและผวดานขางเปนรปสเหลยม เชน

ปรซมสามเหลยม ปรซมสเหลยม ปรซมหาเหลยม

พระมด เปนรปเรขาคณตสามมตทมยอดแหลม ผวดานขางเปนรปสามเหลยม

พระมดฐานสเหลยม พระมดฐานสามเหลยม

ตวอยางรปเรขาคณตสามมตทพบเหนในชวตประจาวน เชน ตเยน เปนรปทรงสเหลยมมมฉาก

หรอปรซมสเหลยม ปลากระปอง เปนรปทรงกระบอก ไอศกรม เปนรปกรวยกลม เปนตน

รปเรขาคณตทพบในชวตประจาวนโดยเฉพาะรปเรขาคณตสามมตและสองมต มความสมพนธ

กนอยางมาก ซงตองใชการสงเกตหาความสมพนธ การจาแนก การเปรยบเทยบภาพทมองเหนจะ

สามารถอธบายขนาด ตาแหนง ระยะทาง และใชการคาดเดารปรางของสงทกาหนดให เมอมการเปลยน

ตาแหนงหรอมมมองในดานตาง ๆ

สงเอยง

100

1.3 การคลรปเรขาคณตสามมต ภาพทไดจะเปนภาพของรปเรขาคณตสองมต เชน การคลรปปรซม

ทรงสเหลยมมมฉาก

การคลรปพระมด ฐานสเหลยม

1.4 การตดขวางรปเรขาคณตสามมต

เมอนารปเรขาคณตสองมตมาตดขวางรปเรขาคณตสามมตในแนวตาง ๆ กน ภาพทเกดขนจะ

มลกษณะตาง ๆ กน เชน

กรวยกลม เมอตดดวยระนาบในแนวขนานกบฐานกรวย จะไดภาพสองมตเปนรปวงกลม

กรวยกลม เมอตดดวยระนาบในแนวตงฉากกบฐานกรวย จะไดภาพเปนรปพาลาโบลา

กรวยกลม เมอตดดวยระนาบทไมขนานกบฐานและไมตงฉากกบฐาน จะไดภาพเปนวงร

101

1.5 มมมองของรปเรขาคณตสามมต

รปเรขาคณตทพบเหนในชวตประจาวนมรปรางและสงทมองเหนจากการเปลยนมมมองแตละ

ดานแตกตางกน เชน

1.6 รปเรขาคณตสามมตทเกดจากการหมนรปเรขาคณตสองมต

1) รปสามเหลยมหนาจว ABC มแกน EF เปนแกนสมมาตร ถานารปสามเหลยมหนาจว

ABC หมนรอบแกนสมมาตร EF จะเหนเปนรปเรขาคณตสามมต “กรวยกลม”

2) แผนกระดาษแขงรปวงกลม เปนรปเรขาคณตสองมต ถาใชเสนผานศนยกลาง yy ′

เปนแกนหมนรปเรขาคณตสามมตทเกดจากการหมนจะเหนเปนลกษณะ “ทรงกลม”

รปเรขาคณต

102

3) กระดาษรปสเหลยมผนผา เปนรปเรขาคณตทมแกนสมมาตรสองแกน

1.7 การเขยนภาพของรปเรขาคณตสามมต

การเขยนภาพของรปเรขาคณตสามมตอยางงายอาจใชขนตอนดงในตวอยางตอไปน

1. การเขยนภาพของทรงกระบอก

ขนท 1 เขยนวงรแทนหนาตดทเปนวงกลม และเขยนสวนของเสนตรงสองเสน แสดงสวนสงของ

ทรงกระบอก ดงรป

ขนท 2 เขยนวงรทมขนาดเทากบวงรทใชในขนท 1 แทนวงกลมซงเปนฐานของทรงกระบอกและเขยน

เสนประแทนเสนทกตรงสวนทถกบง

จะเหนเปนทรงกระบอก

จะเหนเปนทรงกระบอก

103

2. การเขยนภาพของปรซม

ขนท 1 เขยนทรงกระบอกตามวธการขางตน

ขนท 2 กาหนดจดบนวงรดานบนเพอใชเปนจดยอดของรปสเหลยมทเปนฐานของปรซมตามตองการ

แลวลากสวนของเสนตรงเชอมตอจดเหลานน

ขนท 3 เขยนสวนสงของปรซมจากจดยอดของรปเหลยมทไดในขนท 2 มาตงฉากกบวงรดานลาง

ขนท 4 เขยนสวนของเสนตรงเชอมจดบนวงรทไดในขนท 3 และลบรอยสวนโคงของวงร จะไดรป

หลายเหลยมทเปนฐานของปรซม แลวเขยนเสนประแทนดานทถกบง

3. การเขยนภาพของทรงสเหลยมมมฉาก

ขนท 1 เขยนรปสเหลยมมมฉาก 1 รป

ขนท 2 เขยนรปสเหลยมมมฉากขนาดเทากนกบรปในขนท 1 อก 1 รป ใหอยในลกษณะทขนานกน

และเหลอมกนประมาณ 30 องศา ดงรป

104

ขนท 3 ลากสวนของเสนตรงเชอมตอจดใหไดทรงสเหลยมมมฉาก

ขนท 4 เขยนเสนประแทนดานทถกบง

สาหรบการเขยนภาพของกรวย ทรงกลม และพระมดกสามารถเขยนไดโดยใชวธการเดยวกน

กบขางตนซงมขนตอนดงน

4. การเขยนภาพของกรวย 5. การเขยนภาพของทรงกลม

6. การเขยนภาพของพระมดฐานหกเหลยม

นอกจากจะใชวธการดงกลาวขางตนในการเขยนภาพของรปเรขาคณตสามมตแลว อาจใช

กระดาษทมจดเหมอนกระดานตะป (Geoboard) หรอกระดาษจดไอโซเมตรก (Isometric dot paper)

ชวยในการเขยนภาพนน ๆ

กระดาษทมจดเหมอนกระดานตะป กระดาษจดไอโซเมตรก

105

การเขยนภาพของรปเรขาคณตสองมตบนกระดาษทมจดเหมอนกระดานตะป ดงตวอยาง

นอกจากนยงนยมเขยนภาพของรปเรขาคณตสามมตบนกระดาษจดไอโซเมตรก ภาพของรป

เรขาคณตสามมตทเขยนอยในลกษณะนเรยกวา ภาพแบบไอโซเมตรก

การเขยนภาพแบบไอโซเมตรกบนกระดาษจดไอโซเมตรกจะเขยนสวนของเสนตรงทเปนดาน

กวาง ดานยาว ตามแนวของจดซงเอยงทามมขนาด 30 องศา กบแนวนอนและเขยนสวนของเสนตรงท

เปนสวนสง ตามแนวของจดในแนวตง ดงตวอยาง

106

แบบฝกหดท 1 1. กาหนดมมสเหลยมมมฉากดงรป

ก. สเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมชนดใด

ข. EDB ˆ มขนาดกองศา

ค. สเหลยม BDEG เกดจากการใชระนาบตดทรงสเหลยมมมฉากตามแนวใด

ง. สามเหลยม BDE เกยวของกบ สเหลยม BDEG อยางไร

2. จงเขยนรปคลของทรงสามมตตอไปน

107

3. จงเขยนรปทรงสามมตจากมมมองภาพดานบน ภาพดานหนา ภาพดานขางทกาหนดให

108

เรองท 2 การแปลงทางเรขาคณต

เปนคาศพททใชเรยกการดาเนนการใด ๆ ทางเรขาคณต ทงในสองมตและสามมต เชน การเลอน

ขนาน การหมน การสะทอน 2.1 การเลอนขนาน ( Translation ) การเลอนขนานตองมรปตนแบบ ทศทางและระยะทางทตองการเลอนรป การเลอนขนานเปนการ

แปลงทจบคจดแตละจดของรปตนแบบกบจดแตละจดของรปทไดจากการเลอนรปตนแบบไปในทศทาง

ใดทศทางหนงดวยระยะทางทกาหนด จดแตละจดบนรปทไดจากการเลอนขนานจะหางจากจดทสมนย

กนบนรปตนแบบเปนระยะทางเทากน การเลอนในลกษณะนเรยกอกอยางหนงวา “สไลด (slide)” ดงตวอยางในภาพท 1 และภาพท 2

ภาพท 1

ภาพท 2

109

2.2 การหมน (Rotation)

การหมนจะตองมรปตนแบบ จดหมนและขนาดของมมทตองการในรปนน การหมนเปนการ

แปลงทจบคจดแตละจดของรปตนแบบกบจดแตละจดของรปทไดจากการหมน โดยทจดแตละจดบนรป

ตนแบบเคลอนทรอบจดหมนดวยขนาดของมมทกาหนด จดหมนจะเปนจดทอยนอกรปหรอบนรปกได

การหมนจะหมนทวนเขมนาฬกาหรอตามเขมนาฬกากได โดยทวไปเมอไมระบไวการหมนรปจะเปนการ

หมนทวนเขมนาฬกา

บางครงถาการหมนตามเขมนาฬกา อาจใชสญลกษณ -x๐

หรอ ถาการหมนทวนเขมนาฬกา อาจใชสญลกษณ x๐

2.3 การสะทอน ( Reflection )

การสะทอนตองมรปตนแบบทตองการสะทอนและเสนสะทอน (Reflection line หรอ

Mior line) การสะทอนรปขามเสนสะทอนเสมอนกบการพลกรปขามเสนสะทอนหรอการดเงาสะทอน

บนกระจกเงาทวางบนเสนสะทอน การสะทอนเปนการแปลงทมการจบคกนระหวางจด แตละจดบนรป

ตนแบบกบจดแตละจดบนรปสะทอน โดยท

1. รปทเกดจากการสะทอนมขนาดและรปรางเชนเดม หรอกลาววารปทเกดจากการสะทอน

เทากนทกประการกบรปเดม

2. เสนสะทอนจะแบงครงและตงฉากกบสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดแตละจดบนรป

ตนแบบกบจดแตละจดบนรปสะทอนทสมนยกน นนคอระยะระหวางจดตนแบบและเสนสะทอนเทากบ

ระยะระหวางจดสะทอนและเสนสะทอน

จากรป เปนการหมนรปสามเหลยม ABC ใน

ลกษณะทวนเขมนาฬกา โดยมจด O เปนจดหมน

ซงจดหมนเปนจดทอยนอกรปสามเหลยม ABC

รป CBA ′′′ เปนรปทไดจากการหมน 90๐ และ

จะไดวา ขนาดของมม AAO ′ เทากบ 90๐

BBO ′ เทากบ 90๐ CCO ′ เทากบ 90๐

C B

A

C

B/

A/

O

110

ตวอยาง

จากรป รปสามเหลยม CBA ′′′ เปนรปสะทอนของรปสามเหลยม ABC ขามเสนสะทอน m

รปสามเหลยม ABC เทากนทกประการกบรปสามเหลยม CBA ′′′ สวนของเสนตรง AA ′ ตงฉากกบเสน

สะทอน m ทจด P และระยะจากจด A ถงเสน m เทากบระยะจากเสน m ถงจด A′ ( AP AP ′= )

111

แบบฝกหดท 2

1. ใหเขยนภาพทเกดจากการเลอนขนานจากรปตนแบบและทศทางทกาหนดให ก. ข.

2. ใหเขยนภาพการเลอนขนานโดยกาหนดภาพตนแบบ ทศทางและระยะทางของการเลอน

ขนานเอง

ก.

ข.

A

C

B

A B

C D

112

แบบฝกหด (ตอ)

ขอ 3

A(-

B(-

C(- A/(2,-

B/(1,-

C

X

Y

0

A/(-

B/(-

D/(-

D

C/(0,-

C

X

Y

0

A

B

ภาพ พกดของตาแหนงทกาหนดให

) , (C′

) , (A′ ) , (B′

) , (C′

113

แบบฝกหดท 3

คาชแจง จงพจารณารปทกาหนดใหแลว

- เขยนรปสะทอน

- เขยนเสนสะทอน

- บอกจดพกดของจดยอดของมมของรปสามเหลยมทเกดขนจากการสะทอน

- บอกจดพกดบางจดบนเสนสะทอนทได

114

แบบฝกหดท 4 1.

2.

ใหเตมรปสามเหลยม CBA ′′′ ท

เกดจากการหมนสามเหลยม ABC

เพยงอยางเดยว โดยหมนทวนเขม

นาฬกา 90๐ และใชจด (0 , 0)

เปนจดหมน

Y

X

C

B

ใหเตมรปสเหลยม O′X′Y′Z ทเกด

จากการหมนสเหลยม OXYZ

เพยงอยางเดยว โดยหมนทวนเขม

นาฬกา 270๐ และใชจด (0 , 0)

เปนจดหมน

Y

X

Y X

Z

0

115

3.

4.

ใหเตมสวนของเสนตรง BA ′′ ท

เกดจากการหมนสวนของเสนตรง

AB เพยงอยางเดยว โดยหมนตาม

เขมนาฬกา 90๐ และใชจด (-2, -2)

เปนจดหมน

Y

X 0

B

(-2,-2)

0

ใหเตมรปสามเหลยม CBA ′′′ ท

เกดจากการหมนสามเหลยม ABC

เพยงอยางเดยว โดยหมนทวนเขม

นาฬกา 90๐ และใชจด (-4 , -2)

เปนจดหมน

Y

X

C

B

(-4 , -2)

116

เรองท 3 การออกแบบเพอการสรางสรรคงานศลปะโดยใชการแปลงทางคณตศาสตรและ

ทางเรขาคณต

ในชวตประจาวน การออกแบบวสด ครภณฑตาง ๆ เชน ลายพมพผา จะเกยวของกบรปแบบทาง

เรขาคณต ตวอยางเชน

1. การใชรปสเหลยม

2. การใชรปสเหลยมกบสามเหลยม

3. การใชสเหลยมกบวงกลม

117

4. การใชรปสเหลยม สามเหลยม และหกเหลยม

ตวอยาง กจกรรมทรวมคณตศาสตรกบศลปะไดอยางสวยงาม โดยใชการแปลงทางเรขคณต เชน การ

หมน การสะทอน หรอการเลอนขนาน

118

4. การออกแบบโดยใชการแปลงทางเรขาคณต

การออกแบบผลตภณฑและบรรจภณฑของสนคามความจาเปนตองใหมรปแบบทสวยงาม ม

ความพอเหมาะกบผลตภณฑ เพอความประหยด และการใชประโยชนใหเกดสงสดดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 ลกบอลขนาดเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร จะบรรจในกลองทรงสเหลยมไดพอด เมอ

ใชกลองมความจเทาใดและใชวสดทากลองทมพนผวเทาใด

วธทา

ลกบอลมขนาดเสนผานศนยกลาง 14 เซนตเมตร

กลองทรงสเหลยมตองมขนาด เปนกลองลกบาศก

ยาวดานละ 14 เซนตเมตร

ปรมาตรของกลองลกบาศก = (ความยาวดาน)3

= 14x14x14 ลกบาศกเซนตเมตร

= 2,744 ลกบาศกเซนตเมตร

พนทผวกลองทรงลกบาศก = 6 x พนทผวของกลองหนงดาน

= 6 x (14 x 14)

= 1,176 ตารางเซนตเมตร

ตวอยางท 2 กระดาษรปสเหลยมผนผากวาง 10 เซนตเมตร ยาว 14 เซนตเมตร ถาตดมมทงสออก เปนรป

สเหลยมจตรสยาวดานละ 2 เซนตเมตร จากนนพบตามรอยตดใหเปนรปทรงสเหลยม จงหาวารปทรงนจะ

มความจเทาไร

วธทา

119

ฐานของกลองพบไดกวาง 10 – 2 – 2 = 6 เซนตเมตร

ฐานของกลองมความยาว 14 – 2 – 2 = 10 เซนตเมตร

มความสงของกลอง 2 เซนตเมตร

ความจของกลอง = ความยาวดานกวาง x ความยาวดานยาว x สวนสง

= 6 x10 x 2

= 120 ลกบาศกเซนตเมตร

120

บทท 7

สถตเบองตน

สาระสาคญ

1. ขอมลสถต หมายถง ตวเลขหรอขอความทแทนขอเทจจรงของลกษณะทเราสนใจ

2. ระเบยบวธการทางสถต จะประกอบไปดวย การเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การ

วเคราะหและการตความของขอมล

3. การเกบรวบรวมขอมล หมายถง กระบวนการกระทาเพอจะใหไดขอมลทตองการศกษาภายใต

ขอบเขตทกาหนด

4. การนาเสนอขอมลทเกบรวบรวมมา จะม 2 แบบ คอ การนาเสนออยางเปนแบบแผนและการ

นาเสนออยางไมเปนแบบแผน

5. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง เปนการหาคากลางดวยวธตาง ๆ กน เพอใชเปนตวแทนของ

ขอมลทงชด คากลางทนยมใชม 3 วธ คาเฉลยเลขคณต คามธยฐานและคาฐานนยม

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. อธบายขนตอนการวเคราะหขอมลเบองตน และสามารถนาผลการวเคราะหขอมลเบองตนไปใช

ในการตดสนใจได

2. เลอกใชคากลางทเหมาะสมกบขอมลทกาหนดและวตถประสงคทตองการได

3. นาเสนอขอมลในรปแบบตางๆรวมทงการอานและตความหมายจากการนาเสนอขอมลได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 การวเคราะหขอมลเบองตน

เรองท 2 การหาคากลางของขอมลโดยใชคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยม

เรองท 3 การนาเสนอขอมล

121

เรองท 1 การวเคราะหขอมลเบองตน

ความหมาย

คาวา “สถต” เปนเรองทมความสาคญและจาเปนอยางยงตอการตดสนใจหรอวางแผน ซงแตเดม

เขาใจวา สถต หมายถง ขอมลหรอขาวสารทเปนประโยชนตอการบรหารงานของภาครฐ เชน การ

จดเกบภาษ การสารวจผลผลต ขอมลทเกยวของกบประชากร จงมรากศพทมาจากคาวา “State” แต

ปจจบนสถต มความหมายอย 2 ประการ คอ

1. ตวเลขทแทนขอเทจจรงทมการแปรเปลยนไปตามปรมาณสงของทวดเปนคาออกมา เชน

สถตเกยวกบจานวนนกเรยนในโรงเรยน จานวนนกเรยนทมาและขาดการเรยนในรอบเดอน ปรมาณ

นาฝนในรอบป จานวนอบตเหตการเดนทางในชวงปใหมและสงกรานต เปนตน

2. สถตในความหมายของวชาหรอศาสตรทตรงกบภาษาองกฤษวา “Statistics” หมายถง

กระบวนการจดกระทาของขอมลตงแตการเกบรวบรวมขอมล การวเคราะหขอมล การนาเสนอขอมล

และการตความหรอแปลความหมายขอมล เปนตน

การศกษาวชาสถตจะชวยใหผ เรยนมความรความเขาใจในระเบยบวธสถตทเปนประโยชนใน

ชวตประจาวน ตงแตการวางแผน การเลอกใช และการปฏบตในการดาเนนงานตาง ๆ รวมทงการ

แกปญหาในเรองตาง ๆ ทงในวงการศกษาวทยาศาสตร การเกษตร การแพทย การทหาร ธรกจตาง ๆ

เปนตน กจการตาง ๆ ตองอาศยขอมลสถตและระเบยบสถตตาง ๆ มาชวยจดการ ทงนเนองจากการ

ตดสนใจหรอการวางแผน และการแกปญหาอยางมหลกเกณฑจะทาใหโอกาสทจะตดสนใจเกดความ

ผดพลาดนอยทสดได

นอกจากนหลกวชาทางสถตยงสามารถนาไปประยกตใชกบการจดเกบรวบรวมขอมล เพอความ

จาเปนทตองนาไปใชงานในดานตางๆ โดยเฉพาะอยางยงทาใหทราบขอมล และทาความเขาใจกบ

ขาวสารและรายงานขอมลทางวชาการตาง ๆ ทนาเสนอในรปแบบของตาราง แผนภม แผนภาพ กราฟ

ซงผ อานหากมความรความเขาใจในเรองของสถตเบองตนแลว จะทาใหผ อานสามารถรและเขาใจใน

ขอมลและขาวสารไดเปนอยางด

1.1 ชนดของขอมล อาจแบงไดเปนดงน

1. ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative data) เปนขอมลทแสดงถง คณสมบต สภาพ สถานะ

หรอความคดเหน เชน ความสวย ระดบการศกษา เพศ อาชพ เปนตน

2. ขอมลเชงปรมาณ (Qualitative data ) เปนขอมลทเปนตวเลข เชน ขอมลทเกดจากการ

ชง ตวง หรอ คาของขอมลทนาปรมาณมาเปรยบเทยบกนได เชน ความยาว นาหนก สวนสง สถตของ

คนงานแยกตามเงนเดอน เปนตน

122

นอกจากนยงมขอมลซงสามารถแยกตามกาลเวลาและสภาพภมศาสตรอกดวย

แหลงทมาของขอมล โดยปกตขอมลทไดมาจะมาจากแหลงตาง ๆ อย 2 ประเภท คอ

- ขอมลปฐมภม ( Primary data ) หมายถง ขอมลทรวบรวมมาจากผใหหรอแหลงท

เปนขอมลโดยตรง เชน การสารวจนบจานวนพนกงานในบรษทแหงหนง

- ขอมลทตยภม ( Secondary data ) หมายถง ขอมลทรวบรวมหรอเกบมาจาก

แหลงขอมลทมการรวบรวมไวแลว เชน การคดลอกจานวนสนคาสงออกทการทาเรอไดรวบรวมไว

1.2 การเกบรวบรวมขอมล

การเกบรวบรวมขอมลในทางสถตจะมวธการเกบรวบรวมขอมลได 3 วธ ตาม

ลกษณะของการปฏบต กลาวคอ

1) วธการเกบขอมลจากการสารวจ การเกบรวบรวมขอมลวธนเปนทใชกนอยาง

แพรหลาย โดยสามารถทาไดตงแตการสามะโน การสอบถาม / สมภาษณจากแหลงขอมลโดยตรง

รวมทงการเกบรวบรวมขอมลทเกดเหตจรง ๆ เชน การเขาไปสารวจผมงานทาในตาบล หมบาน การ

แจงนบนกทองเทยวทเขามาในจงหวด หรออาเภอ การสอบถามขอมลคนไขทนอนอยในโรงพยาบาล

เปนตน วธการสารวจนสามารถกระทาไดหลายกรณ เชน

1.1 การสอบถาม วธทนยม คอ การสงแบบสารวจหรอแบบขอคาถามท

เหมาะสม เขาใจงายใหผอานตอบ ผตอบมอสระในการตอบ แลวกรอกขอมลสงคน วธการสอบถามอาจ

ใชสอทางไปรษณย ทางโทรศพท เปนตน วธนประหยดคาใชจาย

1.2 การสมภาษณ เปนวธการรวบรวมขอมลทไดคาตอบทนท ครบถวน

เชอถอไดด แตอาจเสยเวลาและคาใชจายคอนขางสง การสมภาษณทาไดทงเปนรายบคคลและเปนกลม

2) วธการเกบขอมลจากการสงเกต เปนวธการรวบรวมขอมลโดยการบนทกสงท

พบเหนจรงในขณะนน ขอมลจะเชอถอไดมากนอยอยทผ รวบรวมขอมล สามารถกระทาไดเปนชวง ๆ

และเวลาทตอเนองกนได วธนใชควบคไปกบวธอนๆ ไดดวย

3) วธการเกบขอมลจากการทดลอง เปนการเกบรวบรวมขอมลทมการทดลอง

หรอปฏบตอยจรงในขณะนนขอดททาใหเราทราบขอมล ขนตอน เหตการณทตอเนองทถกตองเชอถอได

บางครงตองใชเวลาเกบขอมลทนานมาก ทงนตองอาศยความชานาญของผทดลอง หรอผถกทดลองดวย

จงจะทาใหไดขอมลทมความคลาดเคลอนนอยทสด

อนง การเกบรวบรวมขอมล ถาเราเลอกมาจากจานวนหรอรายการของขอมลท

ตองการเกบมาทงหมดทกหนวยจะเรยกวา “ประชากร” ( Population ) แตถาเราเลอกมาเปนบางหนวย

และเปนตวแทนของประชากรนน ๆ เราจะเรยกวา กลมตวอยางหรอ “ ตวอยาง” ( Sample )

123

1.3 การวเคราะหขอมล

การวเคราะหขอมล เปนการแยกขอมลสถตทไดมาเปนตวเลขหรอขอความจากการรวบรวม

ขอมลใหเปนระเบยบพรอมทจะนาไปใชประโยชนตามความตองการ ทงนรวมถงการคานวณหรอหา

คาสถตในรปแบบตาง ๆ ดวย มวการดาเนนงานดงน

1.3.1 การแจกแจงความถ ( Frequency distribution ) เปนวธการจดขอมลของสถตทมอย หรอ

เกบรวบรวมมาจดเปนกลมเปนพวก เพอความสะดวกในการทนามาวเคราะห เชน การวเคราะหคาเฉลย

คาความแปรปรวนของขอมล เปนตน การแจกแจงความถจะกระทากตอเมอมความประสงคจะวเคราะห

ขอมลทมจานวนมาก ๆ หรอขอมลทซา ๆ กน เพอชวยในการประหยดเวลา และใหการสรปผลของ

ขอมลมความรดกมสะดวกตอการนาไปใชและอางอง รวมทงการนาไปใชประโยชนในดานอน ๆ ตอไป

ดวย

สวนคาวา “ตวแปร” ( Variable ) ในทางสถต หมายถง ลกษณะบางสงบางอยางทเราสนใจจะ

ศกษาโดยลกษณะเหลานนสามารถเปลยนคาได ไมวาสงนนจะเปนขอมลเชงปรมาณหรอคณภาพ เชน

อายของนกศกษาการศกษาทางไกลทวดออกมาเปนตวเลขทแตกตางกน หากเปนเพศมทงเพศชายและ

หญง เปนตน

การแจกแจงความถแบงออกเปน 4 แบบคอ

1. การแจกแจงความถทวไป

2. การแจกแจงความถสะสม

3. การแจกแจงความถสมพทธ

4. การแจกแจงความถสะสมสมพทธ

1. การแจกแจงความถทวไป จดแบบเปนตารางได 2 ลกษณะ

1) ตารางการแจกแจงความถแบบไมจดเปนกลม เปนการนาขอมลมาเรยงลาดบจากนอยไปหา

มาก หรอมากไปหานอย แลวดวาขอมลในแตละตวมตวซาอยกจานวน วธนขอมลแตละหนวย / ชนจะ

เทากนโดยตลอด และเหมาะกบการแจกแจงขอมลทไมมากนก

ตวอยางท 1 คะแนนการสอบวชาคณตศาสตรของนกศกษา 25 คน คะแนนเตม 15 คะแนน มดงน

12 9 10 14 6

13 11 7 9 10

7 5 8 6 11

4 10 2 12 8

10 15 9 4 7

124

เมอนาขอมลมานบซา โดยทาเปนตารางมรอยขดเปนความถ ไดดงน

หรออาจนาเสนอเปนตารางเฉพาะคะแนนและความถไดอก ดงน

คะแนน ( x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 รวม

ความถ ( f ) 0 1 0 2 1 2 3 2 3 4 2 2 1 1 1 25

2) การแจกแจงความถแบบจดเปนกลม การแจกแจงความถแบบจดเปนกลมนเรยกวาจดเปนอนตร

ภาคชน เปนการนาขอมลมาจดลาดบจากมากไปหานอย หรอนอยไปหามากเชนกน โดยขอมลแตละ

ชนจะมชวงชนทเทากน การแจกแจงแบบนเหมาะสาหรบจดกระทากบขอมลทมจานวนมาก

ตวอยางท 2 อายของประชากรในหมบานหนงจานวน 45 คน เปนดงน

41 53 61 42 15 39 65 40 64 22

71 62 50 81 43 60 16 63 31 52

47 48 90 73 83 78 56 50 80 45

37 51 49 55 78 60 90 31 44 22

54 36 22 66 46

คะแนน รอยขด ความถ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

/

-

//

/

//

///

//

///

////

//

//

/

/

/

0

1

0

2

1

2

3

2

3

4

2

2

1

1

1

รวม 25

125

เมอนาขอมลมาทาเปนตารางแจกแจงความถแบบจดเปนกลม ไดดงน

1. การแจกแจงความถทเปนอนตรภาคชน มคาเรยกความหมายของคาตาง ๆ ดงตอไปน

1.1 อนตรภาคชน ( Class interval ) หมายถง ขอมลทแบงออกเปนชวง ๆ เชน อนตรภาค

ชน 11-20 , 21 -30 ,61–70 ,81-90 เปนตน

1.2. ขนาดของอนตรภาคชน หมายถง ความกวาง 1 ชวงของขอมลในแตละชน จาก 11-20

หรอ 61-70 จะมคาเทากบ 10

1.3 จานวนของอนตรภาคชน หมายถง จานวนชวงชนทงหมดทไดแจกแจงไวในทน ม 10

ชน

1.4 ความถ ( Frequency ) หมายถง รอยขดทซากน หรอจานวนขอมลทซากนในอนตรภาค

ชนนน ๆ เชน อนตรภาคชน 41-50 มความถเทากบ 11 หรอมผทมอายในชวง 41-50 มอย 11 คน

1.4 การแจกแจงความถสะสม

ความถสะสม ( Commulative frequency ) หมายถง ความถสะสมของอนตรภาคใด ทเกด

จากผลรวมของความถของอนตรภาคนน ๆ กบความถของอนตรภาคชนทมชวงคะแนนตากวาทงหมด (

หรอสงกวาทงหมด )

ตวอยางท 3 ขอมลสวนสง (เซนตเมตร) ของพนกงานคนงานโรงงานแหงหนง จานวน 40 คนมดงน

142 145 160 174 146 154 152 157 185 158

164 148 154 166 154 175 144 138 174 168

152 160 141 148 152 145 148 154 178 156

166 164 130 158 162 159 180 136 135 172

126

เมอนามาแจกแจงความถไดดงน

หมายเหต ความถสะสมของอนตรภาคชนสดทายจะเทากบผลรวมของความถทงหมด

ความหมายของคาทเรยกเพมเตมทควรรสก ไดแก ขดจากดชนและจดกงกลางชน ดง

ความหมายและตวอยางทจะกลาวถงตอไป

1.5 การแจกแจงความถสมพทธ

ความถสมพทธ ( Relative frequency ) หมายถง อตราสวนระหวางความถของอนตรภาค

ชนนนกบผลรวมของความถทงหมด ซงสามารถแสดงในรปจดทศนยม หรอรอยละกได

ตวอยางท 4 การแจกแจงความถสมพทธของสวนสงนกศกษา

หมายเหต ผลรวมของความถสมพทธตองเทากบ 1 และคารอยละความถสมพทธตองเทากบ 100 ดวย

127

1.6 การแจกแจงความถสะสมสมพทธ

ความถสะสมสมพทธ ( Relative commulative frequency ) ของอนตรภาคใด คอ

อตราสวนระหวางความถสะสมของอนตรภาคชนนนกบผลรวมของความถทงหมด

ตวอยางท 5 การแจกแจงความถสะสมสมพทธของสวนสงนกศกษา

1.7 ขดจากดชน ( Class limit )

หมายถง ตวเลขทปรากฏอยในอนตรภาคชน แบงเปนขดจากดบน และขดจากดลาง

( ดตารางในตวอยางท 5 ประกอบ)

1.1 ขดจากดบนหรอขอบบน ( Upper boundary ) คอ คากงกลางระหวางคะแนนทมาก

ทสดในอนตรภาคชนนนกบคะแนนนอยทสดของอนตรภาคชนทตดกนในชวงคะแนนทสงกวา เชน

อนตรภาคชน 140 -149

ขอบบน = 5.1492

150149=

+

นนคอ ขดจากดบนของอนตรภาคขน 140 – 149 คอ 149.5

1.2 ขดจากดลางหรอขอบลาง ( Lower boundary ) คอ คากงกลางระหวางคะแนนท

นอยทสดในอนตรภาคชนนนกบคะแนนทมากทสดของอนตรภาคชนทอยตดกนในชวงคะแนนทตา

กวา เชน ตวอยางอนตรภาคชน 140 – 149

ขอบลาง = 5.1392

139140=

+

นนคอ ขดจากดลางของอนตรภาคขน 140 – 149 คอ 139.5

128

* ** *

ตวอยางท 6 การแจกแจงความถของสวนสงนกศกษา

ความสง (ซม.) ความถ ความถสะสม ขดจากดลาง ขดจากดบน จดกงกลางชน

180 – 189

170 – 179

160 – 169

150 – 159

140 – 149

130 – 139

2

5

8

12

9

4

40

38

33

25

13

4

179.5

169.5

159.5

149.5

139.5

129.5

189.5

149.5

169.5

159.5

149.5

139.5

184.5

174.5

164.5

154.5

144.5

134.5

รวม 40

1.8 จดกงกลางชน ( Mid point )

เปนคาหรอคะแนนทอยระหวางกลางของอนตรภาคชนนน ๆ เชน อนตรภาคชน 150 -159

จดกงกลางของอนตรภาคชนดงกลาว 5.1542

159150=

+ เปนตน

นอกจากนยงสามารถแสดงการแจกแจงความถของขอมลโดยใชฮสโทแกรม (Histogram )

รปหลายเหลยมของความถ (Frequency polygon ) เสนโคงของความถ (Frequency curve )

129

แบบฝกหดท 1

1. จงเขยนขอมลสถตทเกยวของกบบคคลในครอบครว เชน เพศ อาย สถานภาพ อาชพ

2. จงยกตวอยางขอมลเชงคณภาพและเชงปรมาณมาอยางละ 5 ชนด

3. จงพจารณาวาขอมลตอไปนเปนขอมลเชงคณภาพ หรอขอมลเชงปรมาณ

- พนกงานในรงงานแหงหนงถกสอบถามถงสขภาพรางกายในขณะปฏบตงาน

คณภาพ ปรมาณ

เพราะวา................................................................................................................

- นกศกษาจานวนหนงทถกสอบถามถงคาใชจายในการไปพบกลมทหองสมด

คณภาพ ปรมาณ

เพราะวา................................................................................................................

4. ขอมลปฐมภมตางจากขอมลทตยภมอยางไร จงอธบายและยกตวอยาง

5. ขอมลตอไปนควรใชวธใดในการรวบรวม (ตอบไดหลายคาตอบ)

5.1 การใชเวลาวางของนกศกษา

5.2 รายไดของคนงานในสถานประกอบการ

5.3 นาหนกของเดกอาย 3-6 ป ในหมบาน

5.4 ผลของการใชสอการเรยนการสอน 2 ชนดทแตกตาง

5.5 การระบาดของโรคทเปนอนตรายตอมนษย

6. จงบอกขอดขอเสยของการเกบรวบรวมขอมลโดยวธการสมภาษณ

7. ขอมลการสารวจอาย ( ป ) ของคนงานจานวน 50 คนในโรงงานอตสาหกรรมแหงหนงเปนดงน

27 35 21 49 24 29 22 37 32 49

33 28 30 24 26 45 38 22 40 46

20 31 18 27 25 42 21 30 25 27

26 50 31 19 53 22 28 36 24 23

21 29 37 32 38 31 36 28 27 41

กาหนดความกวางของอนตรภาคชนเปน 8

1. จงสรางตารางแจกแจงความถ

2. จงหาขดจากดชนทแทจรงและจดกงกลางชน

3. จงหาความถสะสม ความถสมพทธ และความถสะสมสมพทธ

4. จงหาพสยของขอมลชดน

5. จงหาจานวนคนงานทมอายตากวา 45 ป

130

เรองท 2 การหาคากลางของขอมล โดยใชคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม

การหาคากลางของขอมลทเปนตวแทนของขอมลทงหมดเพอความสะดวกในการสรปเรองราว

เกยวกบขอมลนนๆ จะชวยทาใหเกดการวเคราะหขอมลถกตองดขน การหาคากลางของขอมลมวธหา

หลายวธ แตละวธมขอดและขอเสย และมความเหมาะสมในการนาไปใชไมเหมอนกน ข นอยกบ

ลกษณะขอมลและวตถประสงคของผใชขอมลนนๆ คากลางของขอมลทสาคญ ม 3 ชนด คอ

1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic mean)

2. มธยฐาน (Median)

3. ฐานนยม (Mode)

การหาคากลางของขอมลทาไดทงขอมลทไมไดแจกแจงความถและขอมลทแจกแจงความถ

2.1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic mean)

คาเฉลยเลขคณตของขอมลไดจากการหารผลบวกของขอมลทงหมดดวยจานวนขอมล แทนดวย

สญลกษณ x

ให x1 , x2 , x3 , …, xn เปนขอมล N คา

การหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทไมแจกแจงความถ

หรอ n

xx ∑=

ตวอยาง จากการสอบถามอายของนกเรยนกลมหนงเปนดงน 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17

1) จงหาคาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยนกลมน

2) เมอ 3 ปทแลว คาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยนกลมนเปนเทาใด

1) วธทา

คาเฉลยเลขคณตของนกเรยนกลมน คอ 15.75 ป

131

2) วธทา

เมอ 3 ปทแลว 11 13 11 14 13 11 15 14

อายปจจบน 14 16 14 17 16 14 18 17

เมอ 3 ปทแลว คาเฉลยเลขคณตของอายของนกเรยนกลมน คอ 12.75 ป

การหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถ

ถา f1 , f2 , f3 , … , fk เปนความถของคาจากการสงเกต x1 , x2 , x3 ,…. , xk

ตวอยาง จากตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบของนกเรยน 40 คน ดงน จงหาคาเฉลยเลขคณต

คะแนน จานวนนกเรยน (f) x fx

11 – 20

21 – 30

31 – 40

41 – 50

51 - 60

7

6

8

15

4

15.5

25.5

35.5

45.5

55.5

108.5

153

284

682.5

222

40==∑ Nf ∑ =1450fx

132

=

วธทา

∑∑=

xfx

x

= 40

1450

= 36.25

คาเฉลยเลขคณต = 36.25

สมบตทสาคญของคาเฉลยเลขคณต

1.

2.

3. ∑=

−N

ii Mx

1

2)( มคานอยทสด เมอ M = x หรอ 2

1

)(∑=

−N

ii xx ≤ 2

1

)(∑=

−N

ii Mx

เมอ M เปนจานวนจรงใดๆ

4. minmin xxx ⟨⟨

5. ถา yi = axi + b , I = 1, 2, 3, ……., N เมอ a , b เปนคาคงตวใดๆแลว

y = a x + b

ถา

คาเฉลยเลขคณตรวม (Combined Mean)

เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 , 2 , … , k ตามลาดบ

ถา N1 , N2 , … , Nk เปนจานวนคาจากการสงเกตในขอมลชดท 1 , 2 ,… , k ตามลาดบ

=

= 0

133

ตวอยาง ในการสอบวชาสถตของนกเรยนโรงเรยนปราณวทยา ปรากฏวานกเรยนชน ม.6/1 จานวน 40

คน ไดคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 70 คะแนน นกเรยนชน ม.6/2 จานวน 35 คน ได

คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 68 คะแนน นกเรยนชน ม.6/3 จานวน 38 คน ไดคาเฉลยเลข

คณตของคะแนนสอบเทากบ 72 คะแนน จงหาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนทง 3 หอง

รวมกน

วธทา x รวม = ∑∑

N

xN

= 383540

)72)(38()68()35()70)(40(

+++

+++

= 70.05

2.2. มธยฐาน (Median)

มธยฐาน คอ คาทมตาแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด เมอไดเรยงขอมลตามลาดบ ไมวาจาก

นอยไปมาก หรอจากมากไปนอย แทนดวยสญลกษณ Md

การหามธยฐานของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

21+N

หลกการคด

1) เรยงขอมลทมอยทงหมดจากนอยไปมาก หรอมากไปนอยกได

2) ตาแหนงมธยฐาน คอ ตาแหนงกงกลางขอมลทงหมด ดงนนตาแหนงของมธยฐาน =

เมอ N คอ จานวนขอมลทงหมด

3) มธยฐาน คอ คาทมตาแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด

ตวอยาง กาหนดใหคาจากการสงเกตในขอมลชดหนง มดงน

5, 9, 16, 15, 2, 6, 1, 4, 3, 4, 12, 20, 14, 10, 9, 8, 6, 4, 5, 13 จงหามธยฐาน

วธทา เรยงลาดบขอมล 1 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 8 , 9 , 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 20

ตาแหนงมธยฐาน = 2

1+N

= 2

120 +

= 10.5

คามธยฐานอยระหวางตาแหนงท 10 และ 11

134

คาของขอมลตาแหนงท 10 คอ 6 และตาแหนงท 11 คอ 8

ดงนน คามธยฐาน = 2

86 + = 7

ขนตอนในการหามธยฐานมดงน

(1) สรางตารางความถสะสม

(2) หาตาแหนงของมธยฐาน คอ

การหามธยฐานของขอมลทจดเปนอนตรภาคชน

2N เมอ N เปนจานวนของขอมลทงหมด

(3) ถา 2N เทากบความถสะสมของอนตรภาคชนใด อนตรภาคชนนนเปนชน มธยฐาน และ

มมธยฐานเทากบขอบบน ของอนตรภาคชนนน ถา 2N

ไมเทาความถสะสมของอนตรภาคชนใดเลย

อนตรภาคชนแรกทมความถสะสมมากกวา 2N

เปนชนของมธยฐาน และหามธยฐานไดจากการเทยบ

บญญตไตรยางค หรอใชสตรดงน จากขอมลทงหมด N จานวน ตาแหนงของมธยฐานอยท 2N

Md =

−

+∑

m

l

f

fN

iLo2

เมอ Lo คอ ขดจากดลางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย

∑ lf คอ ความถสะสมกอนถงชนทมมธยฐานอยของคะแนนตากวาทอยชนตดกน

fm คอ ความถของชนทมมธยฐานอย

i คอ ความกวางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย

N คอ จานวนขอมลทงหมด

135

2.3 ฐานนยม (Mode)

การหาฐานนยมของขอมลทไมแจกแจงความถ

ใชสญลกษณ Mo คอคาของขอมลทมความถสงสด หรอคาทมจานวนซา ๆ กนมากทสดแทน

ดวยสญลกษณ Mo

หลกการคด

- ใหดวาขอมลใดในขอมลทมอยทงหมด มการซากนมากทสด (ความถสงสด) ขอมลนนเปน

ฐานนยมของขอมลชดนน

หมายเหต

- ฐานนยมอาจจะไมม หรอ มมากกวา 1 คากได

136

สงทตองร

1. ถาขอมลแตละคาทแตกตางกน มความถเทากนหมด เชน ขอมลทประกอบดวย 2 , 7 , 9 ,

11 , 13 จะพบวา แตละคาของขอมลทแตกตางกน จะมความถเทากบ 1 เหมอนกนหมด ในทนแสดงวา

ไมนยมคาของขอมลตวใดตวหนงเปนพเศษ ดงนน เราถอวา ขอมลในลกษณะดงกลาวน ไมมฐานนยม

2. ถาขอมลแตละคาทแตกตางกน มความถสงสดเทากน 2 คา เชน ขอมลทประกอบดวย

2, 4, 4, 7, 7, 9, 8, 5 จะพบวา 4 และ 7 เปนขอมลทมความถสงสดเทากบ 2 เทากน ในลกษณะ

เชนน เราถอวา ขอมลดงกลาวมฐานนยม 2 คา คอ 4 และ 7

3. จากขอ 1, 2, และตวอยาง แสดงวา ฐานนยมของขอมล อาจจะมหรอไมมกไดถามอาจจะ

มมากกวา 1 คากได

การหาฐานนยมของขอมลทมการแจกแจงความถ

กรณขอมลทมการแจกแจงความถแลว

การหาฐานนยมจากขอมลทแจกแจงความถแลว อาจนาคาของจดกงกลางอนตรภาคชนของขอมล

ทมความถมากทสดมาหาจดกงกลางชนทหาคาได จะเปนฐานนยมทนท แตคาทไดจะเปนคาโดยประมาณ

เทานน หากใหไดขอมลทเปนจรงมากทสดตองใชวธการคานวณจากสตร

++=

21

1

dddiLoMo

เมอ Mo = ฐานนยม

Lo = ขดจากดลางจรงของคะแนนทมฐานนยมอย

=1d ผลตางของความถระหวางอตรภาคชนทมความถสงสดกบความถของชนทมคะแนนตากวาท

อยตดกน

=2d ผลตางของความถระหวางอตรภาคชนทมความถสงสดกบความถของชนทมคะแนนสงกวาท

อยตดกน

i = ความกวางของอนตรภาคชนทมฐานนยมอย

137

ตวอยาง จากตารางคะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกศกษา 120 คน จงหาคาฐานนยม

จากสตร

++=

21

1

dddiLoMo

Lo = 69.5 , =1d 45 – 22 = 23 , =2d 45 – 30 = 15 และ i = 79.5 – 69.5 = 10

จะได 55.751523

23105.69 =

++=Mo

ฐานนยมของคะแนนสอบวชาวทยาศาสตร มคาเปน 75.55

ความสมพนธระหวางคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม

นกสถตพยายามหาความสมพนธระหวางคากลางทงสาม

ฐานนยม = ตวกลางเลขคณต – 3 (ตวกลางเลขคณต – มธยฐาน ) หรอ

Mo = ( )Mdxx −− 3

ถาแสดงดวยเสนโคงความสมพนธระหวางการแจกแจงความถคากลาง และการกระจายของ

ขอมล ไดดงน

ขอมลมการแจกแจงเปนโคงปกต ขอมลมการแจกแจงเบขวา ขอมลมการแจกแจงเบซาย

138

แบบฝกหดท 2

1. จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมของนาหนกเดก 20 คน ซงมนาหนกเปนกโลกรมดงน

32 60 54 48 60 52 46 35 60 38

44 48 49 54 47 48 44 48 60 32

2. รายไดพเศษตอเดอนของพนกงานในโรงงานแหงหนง เปนดงน

รายได (บาท) ความถ (f)

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 - 169

170 – 174

1

2

34

25

10

5

3

จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ฐานนยม

139

เรองท 3 การนาเสนอขอมลสถต

การนาเสนอขอมลสถตสามารถกระทาได 2 ลกษณะใหญ ๆ ดงน

3.1. การนาเสนออยางไมเปนแบบแผน ( Informal presentation ) เปนการนาเสนอขอมลทไม

จาเปนตองมกฎเกณฑอะไรมากนก มการนาเสนอในลกษณะนอย 2 วธ คอ การนาเสนอในรปขอความ

หรอบทความและการนาเสนอในรปขอความกงตาราง ดงตวอยาง

ตวอยาง การนาเสนอในรปขอความ / บทความ

จากการสารวจการใชโทรศพทผานดาวเทยมไทยคมทวประเทศในป 2546 พบวา มอยตามหองสมด

ประชาชนจานวน 960 แหง มอยตามบานผเรยนจานวน 540 แหง และมอยทศนยการเรยนชมชนอก

1,500 แหง รวมทงสนมโทรศพทผานดาวเทยมทงหมด 3,020 แหง

ตวอยาง การนาเสนอในรปขอความกงตาราง

จากการสารวจสามะโนประชากรทวางงานตลอดทวประเทศในป 2543 ปรากฏวามผวางงานดงน

ภาคกลาง 65,364 คน

ภาคเหนอ 32,413 คน

ภาคใต 23,537 คน

ภาคตะวนออก 12,547 คน

ภาคตะวนตก 9,064 คน

ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ 132,541 คน

รวมทงสน 275,466 คน

3.2. การนาเสนออยางเปนแบบแผน ( Formal presentation ) เปนการนาเสนอขอมลทม

กฎเกณฑและตองปฏบตตามมาตรฐานทกาหนดไวเปนแบบแผน การนาเสนอวธการนเปนลกษณะ

ตาราง แผนภม แผนภาพ และกราฟตาง ๆ

3.2.1 การนาเสนอโดยใชตาราง

เปนการนาขอมลมาจดเรยงใหอยในรปของแถวหรอหลก ตามลกษณะทสมพนธกน อยใน

ตาแหนงทเกยวของกน ทาใหสะดวกในการเปรยบเทยบ รวบรดตอการนาเสนอ องคประกอบทวไป

ของตารางจะมดงน

140

องคประกอบตารางสถต ตารางสถตโดยทวไปประกอบดวย

1. หมายเลขตาราง (table number) ชอเรอง (title)

หมายเหตคานา (prefatory note)

หวขว

(Stub head)

หวสดมภ

(Column head)

ตวขว

(stub entries)

ตวเรอง

(body)

หมายเหตลาง (footnote)

หมายเหตแหลงทมา ( source note)

1. หมายเลขตาราง เปนตวเลขทแสดงลาดบทของตาราง ใชในกรณทมตารางมากกวาหนงตารางทตอง

นาเสนอ

2. ชอเรอง เปนขอความทอยตอจากหมายเลขตาราง ชอเรองทใช แสดงวาเปนเรองเกยวกบอะไร ทไหน

เมอไร

3. หมายเหตคานา เปนขอความทอยใตชอเรอง เปนสวนทชวยใหรายละเอยดในตารางมความชดเจน

ยงขน

4. ตนขว ประกอบดวย หวขว และตนขว ซงหวขวจะอธบายเกยวกบ ตวขว สวนตวขว จะแสดงขอมล

ทอยในแนวนอน

5. หวเรอง ประกอบดวย หวสดมภ และตวเรอง ซงหวสดมภใชอธบายขอมลแตละสดมภ ตามแนวตง

ตวเรอง ประกอบดวย ขอมลทเปนตวเลขโดยสวนใหญ

6. หมายเหตแหลงทมา บอกใหทราบวาขอมลในตารางมาจากทใด ชวยใหผอานไดคนควาเพมเตม

ตวอยาง ตารางแสดงจานวนประชากรของประเทศไทยปตาง ๆ จาแนกตามเพศ ( สานกงานสถต

แหงชาต )

พ.ศ. จานวนประชากร

ชาย หญง รวม

2480

2490

2503

2513

2523

7,313,584

8,722,155

13,154,149

17,123,862

22,008,063

1,150,521

8,720,534

13,103,767

17,273,512

22,170,074

14,464,105

17,442,689

26,257,916

34,397,374

44,278,137

141

3.2.2 แผนภมรปภาพ ( Pictogram) เปนแผนภมทใชรปภาพแทนตวเลขของขอมล เชนรปภาพ

คน 1 คน แทนจานวนคน 100 คน ถามคน 550 คน จะมรปภาพคน 5 รป และภาพคนทไมสมบรณอกครง

รปการนาเสนอขอมลในรปภาพทาใหดงดดความสนใจมากขน

ตวอยาง ตอไปนเปนตวอยางแผนภมรปภาพ ซงแสดงปรมาณทไทยสงสนคาออกไปขายยงประเทศบรไน

ระหวางป 2526-2531

= 100 ลานบาท

2526 250

2527 234

2528 360

2529 360

2530 450

2531 550

ทมา : กรมศลกากร

จากขอมลขางตน แสดงวาในป 2526 ไทยสงสนคาไปขายยงประเทศบรไน 250 ลานบาท ในป

2531 สงสนคาไปขาย 550 ลานบาท เปนตน

3.2.3 แผนภมรปวงกลม คอ แผนภมทแสดงใหเหนถงรายละเอยดสวนยอย ๆ ของขอมลทนามา

เสนอ การนาเสนอขอมลในลกษณะนจะเสนอในรปของวงกลมโดยคานวณสวนยอย ๆ ของขอมลทจะ

แสดงทงหมด หลงจากนนแบงพนทของรปวงกลมทงหมดออกเปน 100 สวน หลงจากนนกหาพนทของ

แตละสวนยอย ๆ ทจะแสดง

142

ตวอยาง แผนภมรปวงกลมแสดงการเปรยบเทยบงบประมาณดานตาง ๆ ทใชในสถานศกษา

( ยกเวนเงนเดอน – คาจาง )

3.2.4 แผนภมแทง (Bar chart) การนาเสนอขอมลโดยใชแผนภมแทง เปนการนาเสนอขอมล

โดยใชรปสเหลยมผนผา รปสเหลยมผนผาอาจเรยงในแนวตง หรอแนวนอนกได ซงสเหลยมผนผาแตละ

รปจะมความกวางเทาๆกนทกรป สวนความยาวของสเหลยมผนผาขนอยกบขนาดของขอมล นยมเรยกรป

สเหลยมผนผาในแตละรปวา “แทง” (bar) ระยะหางระหวางแทงใหพองาม และเพอใหจาแนกลกษณะท

แตกตางกนของขอมลในแตละแทงใหชดเจน และสวยงามจงไดมการแรเงา หรอระบายส และเขยนตวเลข

กากบไวบนตอนปลายของแตละแทงดวยกได

3.2.4. 1 แผนภมแทงเชงเดยว (Simple bar chart)

ตวอยาง การเสนอขอมลโดยใชแผนภมแทงเชงเดยว

แผนภมแสดงจานวนทอยอาศยเปดตวใหมในเขตกทม. และปรมณฑล

จานวนทอยอาศย

143

3.2.4.2แผนภมแทงเชงซอน (Multiple bar chart) ขอมลสถตทจะนาเสนอดวย

แผนภมแทงตองเปนขอมลประเภทเดยวกนและหนวยของตวเลขเปนหนวยเดยวกนและควรใช

เปรยบเทยบขอมล 2 ชดหรอมากกวา 2 ชดกได ซงอาจเปนแผนภมในแนวตงหรอแนวนอน กไดสงท

สาคญตองมกญแจ (Key) อธบายวาแทงใดหมายถงขอมลชดใดไวทดวย ดตวอยางจากรปท 3

แผนภมแทงแสดงสนทรพย หนสนและทนของสหกรณออมทรพยมหาวทยาลยเกษตรศาสตร

3.2.5 การนาเสนอขอมลโดยใชกราฟเสน

การนาเสนอขอมลทมลกษณะเปนกราฟเสนนน ลกษณะของกราฟอาจจะเปนเสนตรงหรอไมกได

จดสาคญของการนาเสนอโดยใชกราฟเสนกเพอจะใหผอานมองเหนแนวโนมการเพมขนหรอลดลงของ

ขอมล เชนขอมลทเก ยวกบเวลา ถาเรานาเสนอโดยใชกราฟเสน เรากสามารถจะมองเหนลกษณะของ

ขอมลในชวงเวลาตาง ๆ วามการเปลยนแปลงในลกษณะทเพมขนหรอลดลงมากนอยเพยงใด นอกจากน

กราฟเสนยงทาใหเรามองเหนความสมพนธระหวางขอมล(ถามขอมลหลาย ๆ ชด) และสามารถนาไปใช

ในการคาดคะเน หรอพยากรณขอมลนนไดอกดวย

โดยทวไป การนาเสนอขอมลโดยใชกราฟเสนกจะมลกษณะเชนเดยวกบตาราง กลาวคอ เราตอง

บอก หมายเลขภาพ ชอภาพ แหลงทมาของขอมล และทสาคญตองบอกใหทราบวาแกนนอนและแกนตง

ใชแทนขอมลอะไรและมหนวยเปนอยางไร

144

3.2.5.1 กราฟเชงเดยว คอ กราฟทแสดงลกษณะของขอมลเพยงชดเดยว เชน ขอมล

เกยวกบปรมาณสนคาทนาเขาจากประเทศสงคโปร ขอมลเกยวกบปรมาณนาฝนประจาเดอนตาง ๆ ป

พ.ศ. 2543 เปนตน

ตวอยาง ตารางแสดงปรมาณสนคาทนาเขาจากประเทศสงคโปร

ป ปรมาณสนคานาเขา (ลานบาท)

2526

2527

2528

2529

2530

2531

14,623

19,373

18,746

15,845

26,030

34,034

ทมา : กรมศลกากร

จงเสนอขอมลดงกลาวโดยใชกราฟเชงเดยว

วธทา จากขอมลดงกลาวเราสามารถนามาเขยนเปนกราฟเสนไดดงน

ปรมาณสนคาทนาเขาจากประเทศสงคโปร ปพ.ศ. 2526 – 2531

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

2526 2527 2528 2529 2530 2531

ปพ.ศ.

(ลาน

บาท

)

145

3.2.5.2 กราฟเชงซอน กราฟเชงซอนเปนการนาเสนอขอมลในลกษณะเดยวกบแผนภมแทง

เชงซอน กลาวคอเปนการนาเสนอเพอเปรยบเทยบใหเหนถงความแตกตางระหวางขอมลตงแต 2 ชดขน

ไป เชนการเปรยบเทยบระหวาง จานวนอบตเหตทางอากาศ กบจานวนอบตเหตทางเรอ จานวนคนเกดกบ

จานวนคนตาย เปนตน

ตวอยางท 24 ตารางแสดงราคาขาวสาล และราคาแปงขาวสาลทประเทศไทยสงเขามาตงแตป 2517 –

2523

ป ราคาขาวสาล(บาท/ตน) ราคาแปงขาวสาล(บาท/ตน)

2517

518

2519

2520

2521

2522

2523

4,501

4,796

3,806

2,892

3,112

3,957

2,288

5,811

6,695

6,521

5,142

5,010

5,538

5,605

ทมา : วารสารเศรษฐกจ ธนาคารกรงเทพ จากด ฉบบเดอนมถนายน 2515 ปท 14 เลมท 6

วธทา จากขอมลดงกลาวสามารถนามาเขยนกราฟเสนไดดงน

กราฟแสดงราคาขาวสาล และราคาแปงขาวสาลทประเทศไทยสงเขามาตงแตป 2517 – 2523

010002000300040005000600070008000

2517

2519

2521

2523

ขาวสาลแปงสาล

146

แบบฝกหดท 3

1. กาหนดใหวา จานวนคนไข (คนไขใน) ของโรงพยาบาลอาเภอแหงหนงในป 2545 และ 2546 ซง

ไดมากจากการสารวจของโรงพยาบาลเปนดงน พ.ศ. 2545 มเพศชาย 4,571 คน หญง 3,820 คน ป

2546 มเพศชาย 5,830 หญง 4,259 คน จงนาเสนอขอมล

ก. ในรปบทความ

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

ข. ในรปบทความ / ขอความกงตาราง

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

2. จากขอมลทนาเสนอในรปตาราง รอยละของนกศกษาระดบมธยมศกษาตอนตนของสถาบนการศกษา

แหงหนง ไดผลการเรยนใน 4 วชาหลกในป 2546 มดงน

หมวดวชา รอยละของระดบผลการเรยน

4 3 2 1 0

คณตศาสตร

ภาษาไทย

วทยาศาสตร

สงคมศกษา

4.49

5.82

4.82

9.04

9.51

12.14

11.23

16.60

22.88

26.55

23.50

29.10

43.58

41.18

39.81

34.75

16.28

13.10

19.91

9.09

รวม 84.55 13.67

จากตารางจงตอบคาถามตอไปน

1. หมวดวชาใดทนกศกษาไดระดบผลการเรยน 4 มากทสดและไดระดบ 0 นอยทสดและคดเปน

รอยละเทาไร

2. นกศกษาสวนใหญไดระดบผลการเรยนใด

3. ระดบผลการเรยนทนกศกษาจานวนมากทสดไดรบ

4. ระดบผลการเรยนทนกศกษาจานวนนอยทสดไดรบ

5. กลาวโดยสรปถงผลการเรยนของสถาบนแหงนเปนอยางไร

147

6. ตารางแสดงปรมาณผลตยางพาราของประเภทตาง ๆ ในป พ.ศ. 2544 และป พ.ศ. 2545 ดงน

ประเทศ ปรมาณการผลต ( ลานตน )

ป 2544 ป 2545

มาเลเซย

อนโดนเซย

ไทย

เวยดนาม

ลาว

2.5

3.0

2.0

1.5

1.0

3.0

4.0

3.5

2.0

1.5

จงเขยน

1. แผนภมแทงแสดงการผลตยางพาราของประเทศตาง ๆในป 2544

2. แผนภมแทงและการเปรยบเทยบการผลตยางพาราของประเทศตาง ๆในป 2544 และในป 2545

3. แผนภมวงกลมแสดงการเปรยบเทยบการผลตยางพาราของประเทศตาง ๆ ในป 2544

4. จงเขยนกราฟแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสตวนาจดและสตวนาเคมทจบไดตงแต พ.ศ. 2540 ถง พ.ศ.

2546

พ.ศ. ปรมาณทจบได ( พนตน )

สตวนาจด สตวนาเคม

2540

2541

2542

2543

2544

2545

2546

1,550

1,529

1,395

2,068

1,538

1,352

1,958

130

141

159

161

122

147

145

148

3.3 สถตกบการตดสนใจ

ในชวตประจาวนของแตละบคคล จะมการตดสนใจเกยวกบการดาเนนชวตในแตละเรอง แตละ

เหตการณอยตลอดเวลา การเลอกหรอการตดสนใจทจะเลอกวธการตางๆ ยอมตองอาศยความเชอ ความร

และประสบการณ สามญสานก ขาวสาร ขอมลตางๆ มาประกอบการเลอกหรอการตดสนใจดงกลาว

เพอใหสามารถดารงชวตอยางถกตอง และมโอกาสผดพลาดนอยทสด

ตวอยางเชน การตดสนใจทเกดจากการเลอกในสงตาง ๆ ทเกดขน

จะเหนไดวา การเลอกตดสนใจจะทาเรองใดๆ จาเปนตองมขอมลในการตดสนใจในการเลอกทา

สงนน ๆ ใหดทสด ขอมลทมอยหรอหามาได หรอขอมลทวเคราะหเบองตนแลว ยงเรยกวา “ สารสนเทศ

หรอขาวสาร” (Information) จะชวยใหการตดสนใจดยงขน

หลกในการเลอกขอมลมาใชประกอบการตดสนใจ จะตอง

- เชอถอได

- ครบถวน

- ทนสมย

ถาขอมลทมอยไมสามารถนามาประกอบการตดสนใจได อาจทาใหเปนสารสนเทศเสยกอน ซง

ผใชจะตองเลอกวธวเคราะหขอมลทเหมาะสมกบคาตอบทตองการไดรบเสยกอน นนคอ วธวเคราะห

ขอมลและเปนตวกาหนดขอมลทจาเปนตองใช

149

ตวอยาง ขอมลและสารสนเทศ

ทกวนนสถตถกนามาใชประโยชนหลายๆดาน หลายสาขา และมสวนเกยวของกบชวตประจาวน

ของมนษยมากขน ทกวงการ ทงสวนทเปนขอความ ตาราง รปภาพ ปายประกาศ และเอกสารทางวชาการ

ตางๆ เปนตน โดยเฉพาะหนวยงานททางานดานนโยบายและการวางแผน จะตองใชสถตทงขอมล และ

สารสนเทศเพอจดทา นโยบาย วางแผนงาน เพอใชเปนเครองมอสนบสนนในการตดสนใจตางๆ ของ

หนวยงานทงภาครฐและเอกชน

ในสวนของภาครฐบาลตองอาศยสถตในการวดภาพรวมทางดานเศรษฐกจ เชน การหาผลตภณฑ

มวลรวมของประเทศ การบรโภค การออม การลงทน ตลอดจนการวดการเปลยนแปลงคาของเงนเปนตน

นอกจากนยงอาศยวธการทางสถตชวยอธบายเกยวกบทฤษฏทางเศรษฐศาสตร การทดสอบสมมตฐาน

ตางๆโดยพยายามพยากรณและคาดคะเนแนวโนมภาวะเศรษฐกจของประเทศ

ในดานธรกจการคาตวเลขสถตมประโยชนเปนเครองมอชวยรกษาและปรบปรงคณภาพการผลต

ใชเปนเครองมอในการคดเลอกและยกฐานะของคนงาน หรอใชเปนเครองมอในการควบคมเพอใหใช

วตถดบอยางประหยด มการคาดคะเนความตองการของลกคาในอนาคต ซงการตดสนใจเกยวกบการคา

การขายตองอาศยสถตทงสน

สาหรบในดานสงคมและการศกษา ในวงการสาธารณสขตองใชขอมลสถตเพอการดแลรกษา

สขภาพ การประมวลผล และคาดการณแนวโนมการระวงสขภาพ ตองอาศยขอมลทางสถตประกอบการ

ตดสนใจ สวนในดานการศกษาสถตจะชวยในการวางนโยบายและแผนการจดการศกษาทงในระดบชาต

และระดบทองถน นอกจากนสถตยงชวยตดตาม วดผลและประเมนผลการจดการเรยนการสอนและการ

บรหารจดการอกดวย

150

แบบฝกหดท 4

1. การเลอกขอมลมาใชประกอบการตดสนใจตองอาศยหลกการใดบาง

2. ขอมล ตางกบ สารสนเทศ อยางไร จงอธบายพรอมยกตวอยางประกอบดวย

151

บทท 8

ความนาจะเปน

สาระสาคญ

1. การนบจานวนผลลพธทงหมดทเกดจากการกระทา หรอการทดลองใดๆ ตองอาศยกฎเกณฑการ

นบจงจะทาใหงายและสะดวก รวดเรว

2. ความนาจะเปน คอ จานวนทแสดงใหทราบวาเหตการณใดเหตการณหนง มโอกาสเกดขนมาก

หรอนอยเพยงใด สงทจาเปนตองทราบทาความเขาใจ คอ

- การทดลองสม (Random Experiment)

- แซมเปลสเปซ (Sample Space)

- เหตการณ (Event)

3. ความนาจะเปนของเหตการณใดๆ เปนการเปรยบเทยบจานวนสมาชกของเหตการณนนๆ กบ

จานวนสมาชกของแซมเปลสเปซ ซงเปนคาทจะชวยในการพยากรณหรอการตดสนใจได

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. หาจานวนผลลพธท อาจเกดข นของเหตการณ โดยใชกฎเกณฑเบองตนเก ยวกบการนบและ

แผนภาพตนไมอยางงายได

2. อธบายการทดลองส ม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณและหาความนาจะเปนของ

เหตการณทกาหนดใหได

3. นาความรเกยวกบความนาจะเปนไปใชในการคาดการณและชวยในการตดสนใจ

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 กฎเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไม

เรองท 2 ความนาจะเปนของเหตการณ

เรองท 3 การนาความนาจะเปนไปใช

152

1. กฎเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไม

ในชวตประจาวนของคนเรามการกระทาหรอการทดลองหลายอยางทสามารถมวธการทจะเกด

ผลลพธไดหลายวธ การหาจานวนรปแบบหรอจานวนวธทอาจเกดขนไดจากการนบทงหมด โดยมกฎ

เบองตนเกยวกบการนบจากการทางานดงน

1. 1. การทางานทม 2 อยางหรอสองขนตอน

ถางานอยางแรกมวธทาได n1 วธ และในแตละวธทางานอยางแรกมวธทจะทางานอยางทสองได

n2 วธ แลวจานวนวธททางานทงสองอยางเทากบ n1 n2 วธ

สามารถเขยนแผนผงการทางานไดดงน

งานอยางท 1 งานอยางท 2

นบได n1 วธ × n2

วธ

จานวนวธทางานทงสองอยาง = n1 × n2 วธ

เพอความเขาใจใหงายขนสามารถแจกแจงผลการนบแตละวธไดโดยใช แผนภาพตนไม ดงตวอยาง

ตอไปน

ตวอยางท 1 โยนเหรยญ 2 อนพรอมกน 1 ครง เกดผลลพธไดทงหมดกวธ

วธทา โยนเหรยญ 2 อนพรอมกน 1 ครง เปนการทางาน 2 อยาง

เหรยญท 1 เหรยญท 2

จดได 2 × 2

งานอยางแรก การเกดของเหรยญท 1 เกดได 2 วธ คออาจเกดหว (H ) หรอ อาจเกดกอย

(T ) กได และในแตละวธทเกดเหรยญท 1 ยงมวธเกดเหรยญท 2 ไดอก

งานอยางท 2 การเกดของเหรยญท 2 เกดได 2 วธ คออาจเกดหว (H) หรออาจเกดกอย (T

)

ดงนน การโยนเหรยญ 2 อนพรอมกน 1 ครง เกดได = 2 ×2 = 4 วธ

153

การโยนเหรยญ 2 อนพรอมกน เปนการทางานทม 2 อยางหรอ 2 ขนตอน สามารถแสดง

เหตการณทเกด โดยใชแผนภาพตนไมไดดงน

เหรยญท 1 เหรยญท 2 เหตการณทเกดขน

นนคอ โยนเหรยญ 2 เหรยญพรอมกน 1 ครง เกดได 4 วธ คอ HH, HT, TH, TT ตอบ

ตวอยางท 2 ชายคนหนงมเสอเชตตางกน 5 ตว

และกางเกงขายาวตางกน 3 ตว

วธทา เราสามารถใชแผนภาพตนไมชวยในการหาวธทงหมดทเปนไปไดแสดงไดดงแผนภาพ

ขางลางน

จากแผนภาพตนไมจะพบวาการแตงกายของชายคนนทแตกตางกนนบไดทงหมด 15 วธ

154

ตวอยางท 3 โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง เกดไดทงหมดกวธ

วธทา โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง เปนการทางาน 2 อยาง

ลกท 1 ลกท 2

จดได 6 × 6

งานอยางแรก การเกดของลกเตาลกท 1 ซงม 6 หนา เกดได 6 วธ คออาจหงายหนา 1 ,

2, 3 …., หรอ 6 )

∴ โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง เกดได = 6 ×6 = 36 วธ

สามารถแจกแจงผลลพธ ไดดงน

( 1 , 1) ( 1 , 2 ) (1 , 3 ) ( 1 , 4) ( 1 , 5) ( 1 , 6)

( 2 , 1) ( 2 , 2 ) (2 , 3 ) ( 2 , 4) ( 2 , 5) ( 2 , 6)

( 3 , 1) ( 3 , 2 ) (3 , 3 ) ( 3 , 4) ( 3 , 5) ( 3 , 6)

( 4 , 1) ( 4 , 2 ) (4 , 3 ) ( 4 , 4) ( 4 , 5) ( 4 , 6)

( 5 , 1) ( 5 , 2 ) (5 , 3 ) ( 5 , 4) ( 5 , 5) ( 5 , 6)

( 6 , 1) ( 6 , 2 ) (6 , 3 ) ( 6 , 4) ( 6 , 5) ( 6 , 6) ตอบ 36 วธ

1. 2. การทางานทม 3 อยางหรอสามขนตอน

การนบจะมแนวคดในทานองเดยวกน แตจานวนขนตอนในการเขยนแผนภาพตนไม หรอ

การหาผลคณคารทเซยน จะม 3 งานหรอ 3 ขนตอนทตองทาตอเนองกน ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 4 บรษทรถยนตแหงหนงผลตตวถงรถยนตออกมา 2 แบบ มเครองยนต 2 ขนาด และส

ตาง ๆ กน 3 ส ถาตองการแสดงรถยนตใหครบทกแบบ ทกขนาด และทกส จะตองใชรถยนตอยาง

นอยทสดกคน

155

วธท 1 โดยใชแผนภาพตนไม (Tree Diagram ) จะไดผลดงน

การทางานม 3 ขนคอ

ขนท 1 ขนท 2 ขนท 3

ตวถง เครอง ส ผลงาน

ดงนน จะตองมรถยนตแสดงอยางนอย 12 คน จงจะครบทกแบบทกสทกขนาด

วธท 2 โดยใชผลคณคารทเซยน

ให A เปนเซตของตวถงรถยนต A = { ถ1 , ถ2 }

B เปนเซตของเครองยนต B = { ค1 , ค2 }

C เปนเซตของสตาง ๆ B = { ส1 , ส2 , ส3 }

นาตวถงและเครองยนตมาประกอบกนไดดงน

A × B = { (ถ1 , ค1) , (ถ1 , ค2) , (ถ2,ค4) , (ถ2 , ค2)}

n(AxB) = n(A) x n(B) = 4 แบบ

นาตวถงกบเครองทประกอบแลวมาทาสตาง ๆ

( A × B ) × C = { (ถ1 , ค1, ส1 ), (ถ1 , ค1, ส2 ), (ถ1 , ค1, ส3 ), (ถ1 , ค2, ส1 ), (ถ1 , ค2, ส2 ), (ถ1 , ค2, ส3 ),

(ถ2 , ค1, ส1 ), (ถ2 , ค1, ส2 ), (ถ2 , ค1, ส3 ), (ถ2 , ค2, ส1 ), (ถ2 , ค2, ส2 ), (ถ2 , ค2, ส3 )}

N ( A ×B× C ) = n(AxB) x n(C)

= n(A) x n(B) x n(C)

= 2 x 2 x 3 = 12

ดงนน ตองใชรถยนตแสดงอยางนอย 12 คน

156

เมอพจารณาแผนภาพตนไมและวธการของผลคณคารทเซยนแลว พบวา สามารถหาจานวนวธ

หรอจานวนรปแบบในการทางานไดเชนเดยวกน จากหลกการของทงสองวธ จงสามารถนามาสรางเปน

กฎเบองตนเกยวกบการหาจานวนวธในการทางานอยางใดอยางหนงได โดยสรปเปนกฎไดดงน

1. พจารณาวางานหรอเหตการณทโจทยกาหนดมานนคออะไร จดแบงออกเปนกขนตอนทตอเนองกน

สรปขนตอนในการใชกฎการนบแกโจทยปญหา

2. พจารณาเงอนไขตาง ๆ ทกาหนดมาในแตละขนตอน บนทกไว

3. หาจานวนวธทสามารเลอกทางานไดในแตละขน โดยตองเรมจากขนทมเงอนไขมากทสดกอนแลวจง

พจารณาขนอน ๆ ทมเงอนไขรองลงมา ตามความสาคญ

4. นาจานวนวธทไดในแตละขนตอนคณกน จะไดจานวนรปแบบหรอจานวนวธทอาจเกดขนไดทงหมด

ตวอยางท 4 ในการเลอกตงกรรมการชดหนงจะประกอบไปดวย ประธาน รองประธาน เหรญญก และ

เลขา โดยกรรมการแตละคนจะดารงตาแหนงไดเพยงตาแหนงเดยวเทานน ถามผสมครทงหมด 6 คน

เปนชาย 2 คน เปนหญง 4 คน ผลการเลอกตงกรรมการชดนจะมไดทงหมดกแบบตางกน โดยท

1. ไมมเงอนไขเพมเตม

2. กาหนดใหประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญง

3. กรรมการตองเปนหญงลวน ๆ

วธทา มผสมคร 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญง 4 คน ใหเลอกกรรมการ 4 ตาแหนง ประธาน รอง

ประธาน เหรญญก เลขา

1) ไมมเงอนไขเพมเตม แตละคนเปนไดตาแหนงเดยว

ตาแหนงประธาน เลอกได 6 วธ

ตาแหนงรองประธาน เลอกได 5 วธ

ตาแหนงเหรญญก เลอกได 4 วธ

ตาแหนงเลขา เลอกได 3 วธ

ดงนน จานวนวธในการเลอกกรรมการม = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธ

2) กาหนดประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญง

ตาแหนงประธานเปนชาย เลอกได 2 วธ

ตาแหนงเลขาทเปนหญง เลอกได 4 วธ

ตาแหนงเหรญญก (คนทเหลอ) เลอกได 4 วธ

ตาแหนงรองประธาน เลอกได 3 วธ (คนทเหลอสดทาย )

ดงนน จานวนวธในการเลอกกรรมการม = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธ

157

3) กรรมการตองเปนผหญงลวน ๆ

ตาแหนงประธานเปนชาย เลอกได 2 วธ

ตาแหนงเลขาเปนหญง เลอกได 4 วธ

ตาแหนงรองประธาน เลอกได 4 วธ ( เฉพาะหญงทเหลอ )

ตาแหนงเหรญญก เลอกได 3 วธ ( เฉพาะหญงทเหลอ )

ดงนน จานวนวธในการเลอกกรรมการม = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธ0020

ตวอยางท 5 จากอกษรในคาวา “ PHYSIC” นามาสรางคาใหมประกอบดวย 3 อกษร ตางกน

( ไมสนใจความหมายของคาเหลานน) โดยท

1. ไมมเงอนไขเพมเตม

2. ตองเปนพยญชนะทงหมด

วธทา อกษรในคาวา PHYSIC เปนสระ 1 ตวและพยญชนะ 5 ตว รวมทงหมด 6 ตวอกษร

อกษรตวท

1. สรางคาประกอบดวย 3 ตวอกษร สรางได = 6 × 5 × 4 = 120 วธ

2. มเงอนไขวาตองเปนพยญชนะทงหมด สรางได = 5 × 4 × 3 = 60 วธ

ตวอยางท 6

หองประชมแหงหนงม 3 ประต จงหาวธในการเดนเขา - ออกหองประชม โดยมเงอนไขตางกน

ดงน

1. จานวนวธในการเดนเขา

2. จานวนวธในการเดนเขา - ออก

3. จานวนวธในการเดนเขา - ออก โดยไมซาประตกน

4. จานวนวธในการเดนเขา - ออก โดยใชประตเดม

วธทา ประตหองประชมม 3 ประต หมายเลข 1 2 และ 3

การเดน

1. จานวนวธเดนเขาหองประชม = 3 วธ

2. จานวนวธการเดน เขา - ออก = 3 × 3 = 9 วธ ( ใชประตซาได)

3. จานวนวธการเดนเขา - ออก โดยไมซาประตกน = 3 × 2 = 6 วธ

1 2 3

เขา ออก

158

4. จานวนวธการเดนเขา - ออก โดยใชประตเดม = 3 × 1 = 3 วธ

ตวอยางท 7

ครมหนงสอ 5 เลมแตกตางกน ตองการแจกใหนกเรยน 4 คน จงหาจานวนวธแจกหนงสอโดยท

1. ไมมเงอนไขเพมเตม

2. ไมมใครไดหนงสอเกน 1 เลม

วธทา การแจกหนงสอตองพจารณาการแจกทละเลม

หนงสอเลมท

1. ไมมเงอนไข (แจกซาได ) ดงนนแจกได = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วธ

2. ไมมใครไดเกน 1 เลม แปลวา ไมมใครไดซา ไดแลวจะไมแจกใหอก

ดงนน จะมวธแจกหนงสอ = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วธ

1 2 3 4

159

แบบฝกหดท 1

1. โยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครง จงหาจานวนทเหรยญจะขนหนาตางๆ โดยวธเขยนแผนภมตนไม

2. ในการทดสอบวชาคณตศาสตร ประกอบดวย โจทยแบบปรนย 4 ตวเลอก จานวน 5 ขอ

โจทยแตละขอ มคาตอบทถกตองเพยงหนงตวเลอกเทานน แลวจานวนวธการตอบคาถามทเปนไปได

ทงหมดมกวธ

3. มนกเรยน 5 คน ยนเขาแถวเพอซออาหารกลางวนของรานหนง จงหาวาจานวนวธทยนเขาแถวท

แตกตางกน มทงหมดกวธ

4. มชาย 6 คน หญง 5 คน ตองการจดคแขงขนระหวางชาย 1 คน หญง 1 คนในการแขงขนกฬา

เทนนส มจานวนทงหมดกวธ

5. เพอน 3 คน นกกนไปรบประทานอาหารเยนทภตตาคารและ ซอของทหางสรรพสนคา โดยเลอกท

จะไปรบประทานอาหารและซอของ ซงมภตตาคาร 5 แหง และมหางสรรพสนคา 4 แหง ทงสาม

คนนจะมวธเลอกกระทาดงกลาวไดทงหมดกวธ

6. บรษทแหงหนงเปดรบสมครพนกงานเขาทางาน โดยพจารณาจากเงอนไขคอ เพศชาย หญงระดบอาย

ม 6 ระดบ และมสาขาวชาชพ 10 ประเภท แลวบรษทนจะมวธการจาแนกผสมครไดทงหมดกวธ

7. จากการสมภาษณรบคนเขาทางานจานวน 8 คน จะมวธจะคดเลอกไดพนกงานหนงคนจากผเขา

สมภาษณทงหมด

8. จงเขยนแผนภาพตนไมเพอแสดงผลทเกดขนจากการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 4 ครง จงหาจานวนวธท

แตกตางกนในการโยนเหรยญครงน โดยท

1. ไมมหนาหวเลย 2. มหนาหวเพยง 1 ครง

3. มหนาทง 2 ครง 4. มหนาหวเพยง 3 ครง

5. มหนาหว 4 ครง

160

2. ความนาจะเปนของเหตการณ

ในชวตประจาวนมกพบกบการคาดคะเน หรอการประมาณเหตการณ หรอโอกาส เพอใชในการ

ตดสนใจ โอกาสทเหตการณนน จะเกดไดมมากนอยเพยงใด ขนอยกบอตราสวนระหวางจานวนสมาชก

ของเหตการณนน กบจานวนครงของการทางานผเรยนจงตองทราบ และทาความเขาใจ กบคาเหลาน

1. การทดลองสม (Random Experiment) คอ การทดลองทไมสามารถระบผลลพธไดอยางแนนอน แต

บอกไดวาผลลพธของการทดลองนนมโอกาสเกดอะไรขนไดบาง

ตวอยางท 1 การทดลองโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง แตมทจะเกดขนได คอ แตม 1, 2, 3, 4, 5 หรอ 6

ซงไมสามารถบอกไดวาจะเปนแตมอะไรใน 6 แตมน

ดงนนผลลพธทงหมดทจะเกดขนคอแตม 1, 2, 3, 4, 5, 6

ตวอยางท 2 การหยบลกปงปอง 1 ลก จากกลอง ซงม 5 ลก 5 ส ลกปงปองทหยบไดอาจจะเปน ลกปงปอง

สขาว ฟา แดง เขยว หรอสม

ดงนนผลลพธทงหมดทจะเกดขนคอ ลกปงปองสขาว ฟา แดง เขยว หรอสม

ตวอยางท 3 จงเขยนผลทอาจจะเกดขนไดทงหมดในการโยนเหรยญบาท 1 เหรยญ และเหรยญหาสบ

สตางค 1 เหรยญ

ในการโยนเหรยญบาท 1 เหรยญ ผลทอาจเกดขนคอหวหรอกอย ถาให H แทน หว และ

ให T แทน กอย

วธทา

ในการหาผลทอาจเกดขนไดทงหมดจากการโยนเหรยญบาทและเหรยญหาสบสตางคอยางละ 1

เหรยญ อาจใชแผนภาพชวยไดดงน

161

ฉะนน ถาเราใชคอนดบเขยนผลทงหมดทอาจเกดขนไดโดยใหสมาชกตวหนงของคอนดบแทนผล

ทอาจเกดขนจากเหรยญบาท สมาชกตวทสองของคอนดบแทนผลทอาจเกดขนจากเหรยญหาสบ

สตางค จะได

ผลทงหมดทอาจจะเกดขนได คอ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T)

2. แซมเปลสเปซ (Sample Space ) เปนเซตทมสมาชกประกอบดวยสงทตองการ ทงหมด จากการ

ทดลองอยางใดอยางหนง ( บางครงเรยกวา Universal Set ) เขยนแทนดวย S

เชน ตวอยางท 4 ในการโยนลกเตาถาตองการดวาหนาอะไรจะขนมาจะได

ผลลพธทอาจจะเกดขนไดคอ ลกเตาขนแตม 1 หรอ 2 หรอ 3 หรอ 4 หรอ 5 หรอ 6

ดงนนแซมเปลสเปซทได คอ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

ตวอยางท 5 จากการทดลองสมโดยการทดลองทอดลกเตา 2 ลก

1. จงหาแซมเปลสเปซของแตมของลกเตาทหงายขน

วธทา 1. เนองจากโจทยสนใจแตมของลกเตาทหงายขน ดงนนเราตองเขยนแตมของลกเตาทมโอกาส

ทจะหงายขนมาทงหมด และเพอความสะดวกให (a , b) แทนผลลพธทอาจจะเกดขน โดยท

a แทนแตมทหงายขนของลกเตาลกแรก

b แทนแตมทหงายขนของลกเตาลกทสอง

ดงนนแซมเปลสเปซของการทดลองสมคอ

S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

162

3. เหตการณ (event) คอ เซตทเปนสบเซตของ Sample Space หรอเหตการณทเราสนใจ จากการทดลองสม

ตวอยางท 7 ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง ถาผลลพธทสนใจคอ จานวนแตมทได จะได

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ถาให E1 เปนเหตการณทไดแตมซงหารดวย 3 ลงตว จะได E1 = {3, 6}

E2 เปนเหตการณทไดแตมมากกวา 2 จะได E2 = {3, 4, 5, 6}

ตวอยางท 8 ถงใบหนงมลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 2 ลก หยบลกบอลออกจากถง 2 ลก จงหา

1. แซมเปลสเปซของสของลกบอล และเหตการณทจะไดลกบอลสขาว

2. แซมเปลสเปซของลกบอลทหยบมาได และเหตการณทจะไดลกบอลเปนสขาว 1 ลก สแดง

1 ลก

วธทา 1. เนองจากเราสนใจเกยวกบสของลกบอล และลกบอลมอยสองสคอสขาวและสแดง

ดงนน แซมเปลสเปซ S = {ขาว, แดง}

สมมตให B เปนเหตการณทจะไดลกบอลสขาว

ดงนน B = {ขาว}

2. เนองจากเราสนใจแซมเปลสเปซของลกบอลแตละลกทถกหยบขนมา

ดงนนแซมเปลสเปซ S คอ

S = {ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2,ด1ด2}

ให C เปนเหตการณทผลลพธเปนลกบอลสขาว 1 ลก และ สแดง 1 ลก

ดงนน เหตการณ C คอ

C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2}

หมายเหต ข แทน ขาว และ ด แทน แดง

ตวอยางท 10 โยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 2 ครง จงหาผลลพธของเหตการณทจะออกหวอยางนอย

1 ครง การหาผลลพธทงหมดทอาจจะเกดขนจากการโยนเหรยญบาท 1 เหรยญ 2 ครง

โดยใชแผนภาพตนไม ดงน

163

ผลลพธทงหมดทอาจจะเกดขนจากการทดลองสม ม 4 แบบ คอ HH, HT, TH และ TT

นนคอผลลพธของ เหตการณทจะออกหวอยางนอย 1 ครง ม 3 แบบ คอ HH, HT และ TH

4. ความนาจะเปนของเหตการณ

ความนาจะเปนของเหตการณ คอ จานวนทแสดงใหทราบวาเหตการณใดเหตการณหนงมโอกาส

เกดขน มากหรอนอยเพยงใด

ความนาจะเปนของเหตการณใด ๆ เทากบอตราสวนของจานวนเหตการณทเราสนใจ (จะใหเกดขน

หรอไมเกดขนกได) ตอจานวนผลลพธทงหมดทอาจจะเกดขนได ซงมสตรในการคดคานวณดงน

ความนาจะเปนของเหตการณ = ดขนได อาจจะเกธทงหมดทจานวนผลลพ

สนใจารณทเราธของเหตกจานวนผลลพ

เมอผลทงหมดทอาจจะเกดขนจากการทดลองสมแตละตวมโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน

กาหนดให E แทน เหตการณทเราสนใจ

P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตการณ

n(E) แทน จานวนสมาชกของเหตการณ

n(S) แทน จานวนสมาชกของผลลพธทงหมดทอาจจะเกดขนได

ดงนน P( E ) = )()(

SnEn

ตวอยางท 1 มลกปงปอง 4 ลก เขยนหมายเลขกากบไวดงนคอ 0, 1, 2, 3 ถาสมหยบมา 2 ลก จงหาความ

นาจะเปนทจะไดผลรวมของตวเลขมากกวา 3

วธทา ให S เปนแซมเปลสเปซ

S = {(0, 1),(0, 2),(0, 3),(1, 2),(1, 3),(2, 3) }

จะได n(S) = 6

E เปนเหตการณหรอสงทโจทยอยากทราบ

E = {(1, 3),(2, 3)}

จะได n (E) = 2

นนคอ จากสตรขางบนคอ( )( )SnEnEp =)( แทนคาได ( )

31

62==EP

ความนาจะเปนทจะไดผลรวมของตวเลขมากกวา 3 เทากบ 31

164

ขอสงเกต

1. สมาชกทกตวในเหตการณ E ตองเปนสมาชกในอยในแซมเปลสเปซ S

ดงนน 0 ≤ n(E)≤n(S)

2. ถา E เปนเหตการณใด ๆ ในแซมเปลสเปซ S จะไดวา

2.1 0≤P(E)≤1

2.2 ถา P(E)=1 หมายถงเหตการณนนตองเกดขนแนนอน

ถา P(E)=0 หมายถงเหตการณนนตองไมเกด

2.3 ถา S เปนแซมเปลสเปซ จะไดวา P(S)=1

165

แบบฝกหดท 2

1. จากการทดลองสมตอไปน จงเขยนแซมเปลสเปซและเหตการณทสนใจในการทดลองนนๆ

(1) ไดหวสองเหรยญจากการโยนเหรยญสองอนหนงครง

(2) ไดผลรวมของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 2 หรอ 6 จากการโยนลกเตาสองลกหนง

ครง

(3) หยบไดสลากหมายเลข 5 หรอ 6 หรอ 7 หรอ 8 จากสลาก 10 ใบซงเขยนหมายเลข 1 ถง

10 กากบไว

(4) ไดนกเรยนทถนดมอซายในหองเรยนททานเรยนอย

(5) ไดสลากทมรางวลจากการจบสลากทประกอบดวยสลากทมรางวล 3 ใบ และไมม

รางวล 7 ใบ

(6) ไดคาตอบจากครอบครว 3 ครอบครววามจกรเยบผาใชทงสามครอบครว

(7) ไดลกบอลสขาว 2 ลก สดา 1 ลก ในการหยบลกบอล 3 ลก จากกลองซงบรรจลกบอลส

ขาว 3 ลก และสดา 2 ลก

(8) ไดแตมทเหมอนกนหรอไดแตม 2 จากลกเตาลกใดลกหนงในการทอดลกเตาพรอมกน

สองลก

(9) ไดหวและแตมทมากกวา 4 จากการโยนเหรยญหนงเหรยญและทอดลกเตาหนงลก

หนงครง

(10) ไดสทชอบคอ สฟาหรอสชมพจากการสอบถามนางสาวสชาดาถงสของกระดาษ

เชดหนาทชอบสองสจากสทงหมด 5 ส คอ ขาว ฟา ชมพ เขยว และเหลอง

1. ถา S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Ε1 = { 0, 2, 4, 6, 8 }

Ε2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 }

Ε3 ={ 2, 3, 4, 5 }

และ Ε4 = { 1, 6, 7 }

จงหาสมาชกของ S ทอยในเหตการณตอไปน

(1) Ε1 Ε3 (2) Ε1 Ε2

(3) Ε′3 (4) ( ΕΕΕ′ 2)43

(5) ( )′Ε3S (6) ( Ε′Ε′Ε′ 3)21

166

2. จากเหตการณ Ε1 ,Ε2 , Ε3 ในขอ 2 จงเขยนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแสดงเหตการณตอไปน

(1) Ε1 Ε′2 (3) ( ΕΕΕ 2)31

(2) ( ′ΕΕ )21 (4) ( Ε′Ε′Ε′ 3)21

3. ในการสารวจอายของผปวยแผนกเดก (อายไมเกน 15 ป ) ของโรงพยาบาลแหงหนง

ถา Ε1 เปนเหตการณทผปวยมอายตงแต 1 ถง 9 ป

Ε2 เปนเหตการณทผปวยมอายนอยกวา 5 ป

และ Ε3 เปนเหตการณทผปวยมอายมากกวา 9 ป

จงหา (1) Ε1 Ε2 (3) ( ) ΕΕΕ 231

(2) Ε1 Ε2 (4) Ε2 Ε3

4 ในการจบสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซงมเลข 0 ถง 9 กากบอย ถาสนใจเลขทเขยนกากบไวในสลากใบ

ทจบได โดยให

Ε1 เปนเหตการณทเลขทเขยนกากบไวเปนจานวนค

Ε2 เปนเหตการณทเลขทเขยนกากบไวเปนจานวนค

Ε3 เปนเหตการณทเลขทเขยนกากบไวเปนจานวนเฉพาะ

Ε4 เปนเหตการณทเลขทเขยนกากบไวเปนจานวนทหารดวย 3 ลงตว

จงเขยนเหตการณตอไปนในรป Ε1 , Ε2 , Ε3 หรอ Ε4 พรอมทงแจกแจงสมาชกเมอ

(1) เลขทเขยนกากบไวเปนจานวนคหรอคหรอจานวนเฉพาะ

(2) เลขทเขยนกากบไวเปนจานวนเฉพาะทหารดวย 3 ลงตว

(3) เลขทเขยนกากบไวไมเปนจานวนค และไมเปนจานวนทหารดวย 3 ลงตว

(4) เลขทเขยนกากบไวเปนจานวนคทเปนจานวนเฉพาะ

167

4. การนาความนาจะเปนไปใช

การนาความนาจะเปนไปใช ตองการใหผทศกษาทราบวาเหตการณตางๆนนมโอกาสจะเกดขน

มาก หรอนอยเพยงใด เพอชวยในการประกอบการตดสนใจ เชน

ตวอยางท 1 ไพสารบหนงม 52 ใบ แบงเปน 2 ส 4 ชนด คอ สแดง ไดแกโพแดงกบขาวหลามตด

สดา ไดแก โพดากบดอกจก แตละชนดม 13 ใบ จงหาความนาจะเปนทหยบมา 1 ใบแลวไดโพดาหรอส

แดง

วธทา S = ไพทงหมดม 52 ใบ หยบมาทละ 1 ใบจะได 52 วธ

ดงนน n(S) = 52

E = ไพโพดาม 13 ใบ และไพสแดงม 26 ใบ

ดงนน n(E) = 13 + 26 = 39

จากสตร ( )( )SnEnEp =)( แทนคาได ( )

43

5239

==EP

ความนาจะเปนทหยบไพ 1 ใบแลวไดโพดาหรอสแดง เทากบ 43

สรปไดวา ไพ 1 ใบ แลวไดไพโพดา หรอโพแดงมโอกาสเกดขน 75 % ถอวามโอกาสเปนไปไดสง

ตวอยางท 2 ในการหยบสลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซงมเลข 0 - 9 กากบอย จงหาความนาจะเปนทจะ

หยบไดเปนจานวนเฉพาะสลากมเลข 2 เลข 3 เลข 5 เลข 7

วธทา S = สลากม 10 ใบ หยบมาทละ 1 ใบ จงหยบได 10 วธ

S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}

n(S)=10

E = สลากทเปนจานวนเฉพาะ

E ={2,3,5,7,}

n(E)=4

จากสตร ( )( )SnEnEp =)( แทนคาได ( )

52

104==EP

ความนาจะเปนทจะหยบไดเปนจานวนจาเพาะ เทากบ 52

สรปไดวา ความนาจะเปนทจะหยบไดเปนจานวนจาเพาะ มโอกาสเกดขน 40 % ถอวามโอกาส

เกดขนนอย

168

ตวอยางท 3 ในการทอดลกเตา 2 ลก พรอมกน 1 ครง จงหาโอกาสทผลรวมของแตมเปน 13

วธทา ลกเตา 2 ลกจะมผลรวมสงสดคอ 6 + 6 = 12

โจทยตองการทราบผลรวมของแตมทจะเปน 13 จงเปนเหตการณทเปนไปไมได

โอกาสทผลรวมของแตมเปน 13 เทากบ 0

สรปไดวา โอกาสทจะทอดลกเตา 2 ลกแลวผลรวมของแตมเปน 13 นน ไมมโอกาสเกดขนเลย

169

แบบฝกหดท 3

1. ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนของเหตการณ และสรปถงโอกาสทจะเกดขนวา

มมากหรอนอยเพยงใด

1) ไดแตม 4

2) ไดแตมค

3) ไดแตมมากกวา 4

4) ไดแตมนอยกวา 7

5) ไดแตมมากกวา 0

6) ไดแตมมากกวา 6 หรอเปนแตมค

7) ไดแตมมากกวา 3 และเปนแตมค

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. ทอดลกเตา 2 ลกสองครง ความนาจะเปนทจะไดแตมรวมเปน 7 ในครงแรกและไดแตมรวมเปน 10

ในครงท 2 เทากบเทาใด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. ชางกอสรางกลมหนงม 10 คน ประกอบดวย ชางปน 6 คน และชางไม 4 คน ถาตองการเลอกชาง

7 คน จากกลมน ความนาจะเปนทจะไดชางปน 4 คน และชางไม 3 คน เทากบเทาใด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

4. กลองใบหนงบรรจหลอดไฟสแดง 6 หลอดซงเปนหลอดด 4 หลอดและหลอดไฟสนาเงน 4 หลอด

ซงเปนหลอดด 2 หลอด ในการสมหยบหลอดไฟครงละ 1 หลอด 2 ครง แบบไมใสคน ความนาจะ

เปนทจะไดหลอดไฟสเดยวกน และเปนหลอดดทงสองครง มคาเทากบเทาใด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

5. กลองใบหนงมลกบอลสแดง 3 ลก และสขาวจานวนหนง โดยทจานวนวธการหยบลกบอล 2 ลก

เปนลกบอลสเหมอนกน เทากบ 9 ถาสมหยบลกบอลพรอมพน 2 ลก แลวความนาจะเปนทจะไดลก

บอลสขาวทง 2 ลกเทากบเทาใด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

170

บทท 9

การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ

สาระสาคญ

การประกอบอาชพในสงคมและในกลมประชาคมอาเซยนนน มหลากหลายสาขาอาชพทงในดาน

อตสาหกรรม เกษตรกรรม พณชยกรรม ความคดสรางสรรค และการบรหารจดการ อาชพในวงการ

ดงกลาวลวนมการใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรเขาไปเกยวของเกอบทกกลมอาชพ ซงผเรยน

สามารถนาความรและทกษะทไดเรยนคณตศาสตรในระดบมธยมศกษาตอนปลายมาประยกตใช

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. สามารถวเคราะหงานอาชพในสงคมและกลมประชาคมอาเซยนทใชทกษะทางคณตศาสตร

2. มความสามารถในการเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรกบงานอาชพได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 ลกษณะ ประเภทของงานอาชพทใชทกษะทางคณตศาสตร

เรองท 2 การนาความรทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบงานอาชพในสงคมและ

ประชาคมอาเซยน

171

เรองท 1 ลกษณะ ประเภทของงานอาชพทใชทกษะทางคณตศาสตร

1.1 กลมอาชพเกษตรกรรม ไดแก อาชพ การทานา ทาไร การปลกผก การเลยงสตว ประมง ฯลฯ

(1) ลกษณะงานเบองตนทใชทกษะทางคณตศาสตร

1. การสารวจของตลาดทจะปลกพชเกษตรกรรม

2. การเตรยมพนทดน ซงขนอยกบความกวาง ความยาวของพนทวา

ผประกอบการใชพนทกไร กงาน กตารางวา ในการทาแปลง ขดรอง

เพอใชเปนพนทนา 1 สวน พนทปลกผก 1 สวน บอนา 1 สวน

การเลยงสตว 1 สวน พนทอยอาศย 1 สวน เปนตน

3. การเตรยมเมลดพนธขาว ผก และพชพนธอน ๆ

4. การเตรยมปยวาใชขนาดกกโลกรมตอไร

5. การรดนา พรวนดน ซงตองกาหนดวา รดนาวนละ 2 ครง ในปรมาณมากนอย

เทาไร

6. การฉดยาฆาแมลงโดยใชสารกาจดศตรพชทางชวภาพ เชน สะเดา และ

สมนไพรอน ๆ เปนตน ใชความรเรองอตราสวน สดสวน เพอผสมยากาจด

ศตรพชกบนากอนฉดพน

7. การเกบเกยวผลผลต ซงตองใชทกษะการคานวณระยะเวลาตงแตการปลก

จนถงระยะการเกบเกยวผลผลต

- การตรวจสอบความชนของวสดและสถานทเกบผลผลต

- การคานวณพนทในการเกบรกษาผลผลต

8. การจาหนายผลผลต ซงตองใชทกษะการจดทาบญชรบ – จาย

การจดบนทกจานวนผลผลตทได

9. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

172

(2) เครองมอและเทคโนโลยทใช

1. เครองคดเลข

2. สมดบนทกรายรบ รายจายหรอคอมพวเตอรโนตบค

3. สมดจดบนทกระยะเวลาการเจรญเตบโตตงแตการปลกจนถง

การเกบเกยวผลผลต

(3) ความรทางคณตศาสตรทใช

1. การวดความยาว การหาพนท

2. อตราสวนในการผสมปยตอความกวางความยาวของพนทดน

3. การชงผลผลตทได

4. การกาหนดราคาขายตอกโลกรม

5. การบวก ลบ คณ หาร เรอง คาจางแรงงานและอน ๆ

6. การทาบญชรายรบ รายจายประจาวน

7. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

1.2 กลมอาชพอตสาหกรรม ไดแก อาชพพนกงานในโรงงานอตสาหกรรมตางๆ ไดแก อตสาหกรรม

หองเยน ถวยชามอปกรณเซรามค ผาขนหน กระดาษและสงพมพ สแตนเลส เหลก พลาสตก ปนซเมนต ฯลฯ

(1) ลกษณะงานเบองตนทใชทกษะคณตศาสตร

1. การคานวณเงนรายไดประจาวน

2. การคานวณเงนคาทางานลวงเวลา

3. การคานวณเงนกและดอกเบยคงทหรอดอกเบยทบตน

4. การทาบญชรายรบ – รายจายประจาวน

5. การจดทาบญชพสด (การจดซอ การเบกจายพสด)

173

6. การสารวจและวจยการตลาด

7. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

(2) เครองมอและเทคโนโลยทใช

1. เครองคดเลข

2. เครองคอมพวเตอร

3. เครองจกรอตสาหกรรมในแตละสาขาอตสาหกรรม

4. เครองบรรจภณฑลงกลองหรอแพคเปนพลาสตกหอหม

(3) ความรและทกษะทางคณตศาสตรทใช

1. การคานวณเงนรายไดประจาสปดาห ประจาเดอนโดยหกวนลาหยด

2. การคานวณเงนคาทางานลวงเวลาเปนจานวนชวโมงตอคาจางรายชวโมง

3. การคานวณเงนกและดอกเบย (ดอกเบยคงท, ดอกเบยทบตน)

4. การทาบญชรบ – จายประจาวน

5. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

1.3 กลมอาชพพาณชยกรรม ไดแก อาชพคาขาย ผประกอบการรานอาหารและเครองดม

ผประกอบการขายปลกและขายสง ธรกจการซอขายอสงหารมทรพย ธรกจการซอขายหนในตลาด

หลกทรพย อาชพการทาบญช การตลาด เปนตน

(1) ลกษณะงานเบองตนทใชทกษะคณตศาสตร

1. การจดเตรยมสถานท การคานวณการจดวางโตะ เกาอ หรอวสดอปกรณใน

การขาย

2. การจดซอวตถดบในการคาขายปลกหรอขายสง

174

3. การจาหนายสนคา การคานวณราคาสนคาตอหนวย การทอนเงน

4. การจดทาบญชพสด (การจดซอ การเบกจายพสด)

5. การจดทาบญชรบ – จายประจาวน

6. การฝากเงน การถอนเงน การออมเงน

7. การประชาสมพนธในงานธรกจคาขายหรอพาณชยกรรม ซงตองใชทกษะใน

การคานวณขนาดของปายโฆษณา ขนาดตวอกษร ขนาดและจานวนแผนพบ

หรอใบปลวโฆษณา

8. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

(2) เครองมอและเทคโนโลยทใช

1. เครองคดเลข

2. เครองเกบเงน – ทอนเงน

3. เครองคอมพวเตอร

4. เครองไมโครเวฟ

5. เครองปนนาผลไม

(3) ความรและทกษะทางคณตศาสตรทใช

1. การคานวณขนาดของพนทใชสอยเพอจดวาง โตะ เกาอหรอวสด อปกรณในการขาย

2. การคานวณปรมาณการจดซอวตถดบในแตละวน

3. การคานวณในการจดซอพสด

4. การจดทาบญชรบ – จายประจาวน

5. การคานวณขนาดของปายโฆษณา ประชาสมพนธหรอแผนพบ แผนปลวโฆษณา

6. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

1.4 กลมอาชพดานความคดสรางสรรค ไดแก ธรกจโฆษณา ธรกจการออกแบบตกแตงทอยอาศย

สานกงานและสวนหยอม การจดดอกไมและแจกนประดบ ธรกจการทาพวงหรด การจดกระเชาของขวญ เปนตน

175

(1) ลกษณะงานเบองตนทใชทกษะคณตศาสตร

1. การจดเตรยมขนาด ปรมาตร รปทรงของพนทหรอชนงานในการจดทาธรกจ

ซงตองใชการวดความกวาง ความยาว ความสงของพนทหรอชนงาน

การออกแบบรปทรงโดยใชรปเรขาคณตสามมต

2. การคานวณปรมาณของวสดอปกรณในการใชประดษฐสรางสรรคชนงาน

หรอการจดตกแตงสวนหยอม

3. การคานวณเพอกาหนดราคาขายสนคา

4. การจดทาบญชพสด (การจดซอ การเบกจายพสด)

5. การจดทาบญชรบ – จาย ประจาวน

6. การประชาสมพนธในอาชพธรกจทกประเภท ซงตองใชทกษะในการคานวณ

เปนพนฐานในการจดทาแผนปายประชาสมพนธหรอแผนพบ แผนปลว

7. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

(2) เครองมอและเทคโนโลยทใช

1. เครองคดเลข

2. เครองคอมพวเตอร

3. โปรแกรมสาเรจรปในการออกแบบสนคา

(3) ความรและทกษะทางคณตศาสตรทใช

1. การคานวณพนทผว ปรมาตรของพนทหรอออกแบบรปทรงทใชใน

การทางานอาชพ

2. การคานวณปรมาณของวสด อปกรณทใชประดษฐ สรางสรรค ชนงาน

3. การคานวณตนทนและกาไร เพอกาหนดราคาขายสนคา

4. การจดทาบญชพสด (การจดซอ การเบกจายพสด)

5. การจดทาบญชรบ – จายประจาวน

6. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

176

1.5 กลมอาชพบรหารจดการและการบรการ ไดแก อาชพกลมงานบรการและการทองเทยว

งานบรการรกษาความปลอดภย บรการดแลทารกและเดก บรการดแลผสงอาย บรการสนทนาการและ

การกฬา เปนตน

(1) ลกษณะงานเบองตนทใชทกษะคณตศาสตร

1. การสารวจพนทในการใหบรการ การคานวณระยะทางในการใหบรการ

2. การจดซอวสด อปกรณในการใหบรการ

3. การรบสมครและกาหนดเงนเดอนตามตาแหนงงานของเจาหนาทใน

การใหบรการ

4. การจดทาตารางเวลา การอยเวร - ยามของเจาหนาทประจาสานกงาน

5. การจดทากาหนดการทองเทยวและการใหบรการ รวมทงกาหนดราคาขาย

บรการในแตละพนท

6. การคานวณการใชนามนเชอเพลงของยานพาหนะทใหบรการ

7. การจดทาบญชพสด และการเบกจายพสด

8. การจดทาบญชรบ – จายประจาวน

9. การจดทาแผนปายโฆษณา ประชาสมพนธการใหบรการ

10. การจดทาสรปรายงานและการนาเสนอขอมล

11. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

(2) เครองมอและเทคโนโลยทใช

1. เครองคดเลข

2. เครองคอมพวเตอร

3. เครองออกกาลงกาย

4. อปกรณในการเตรยมอาหาร นาดม นมแกทารกเดกและผสงอาย

5. ยานพาหนะในการใหบรการ

6. แผนทของสถานทหรอจดทใหบรการ

177

(3) ความรและทกษะทางคณตศาสตรทใช

1. การคานวณพนทและการวดระยะทาง

2. การคานวณปรมาณของวสด อปกรณทจาเปนตองจดซอ จดหาเพอใหบรการ

3. การคานวณเงนเดอนและกาหนดตาแหนงงานของเจาหนาท

4. การจดทาตารางการปฏบตงาน

5. การคานวณการใชเชอเพลงรถยนตตอระยะทางทใหบรการ

6. การจดทาบญชเบองตน

7. การใชสถตในการจดทาสรปรายงานหรอนาเสนอขอมล

8. การคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

เรองท 2 การนาความรทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบงานอาชพในสงคมและประชาคมอาเซยน

ในการนาความรคณตศาสตรไปเชอมโยงกบงานอาชพทง 5 กลมงานอาชพทงกลมงานอาชพ

เกษตรกรรม กลมงานอาชพอตสาหกรรม กลมงานอาชพพาณชยกรรม กลมงานอาชพความคดสรางสรรค

และกลมงานอาชพดานบรหารจดการและบรการทตองนาทกษะความรทางคณตศาสตรมาใชทกกลม

อาชพ เชน การจดทาบญชรายรบ – รายจายประจาวน ประจาเดอน การคานวณเงนคาจาง การคานวณ

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา เปนตน กลมอาชพทกกลมอาชพอาจจะใชทกษะความรคณตศาสตรตางกน

ออกไป ดงนน ในบทนจะนาเสนอตวอยางทเปนทกษะทางคณตศาสตรทใชกนมากเทานน

2.1 ทกษะการจดทาบญชรบ - จายประจาวน

ตวอยางท 1 การจดทาบญชรายรบ – รายจายประจาวนของเกษตรกรปลกผก

วนท 10 ตลาคม 2554 จายคาเมลดพนธและปย 2,000 บาท คานา คาไฟ 480 บาท

จายคาอาหาร 200 บาท ไดรบเงนจากการขายผก 1,500 บาท

วนท 12 ตลาคม 2554 จายคาอาหาร 280 บาท จายคาโทรศพท 590 บาท

จายคานามนรถยนต 1,100 บาท ไดรบเงนจากการขายผก 3,600 บาท

วนท 15 ตลาคม 2554 จายคาหนงสอ 300 บาท จายคาอาหาร 500 บาท จายคานาดม 250 บาท

จายคาเสอผา 1,800 บาท ไดรบเงนจากการขายผก 2,200 บาท

วนท 16 ตลาคม 2554 จายคาอาหาร 300 บาท จายคาบตรชมภาพยนตร 400 บาท

จายคาถงพลาตก 480 บาท ไดรบเงนจากการขายผก 3,000 บาท

178

วน เดอน ป รายการรบ จานวนเงน

วน เดอน ป รายการจาย จานวนเงน

บาท สต. บาท สต.

10 ต.ค. 54

12 ต.ค. 54

15 ต.ค. 54

16 ต.ค. 54

รบเงนจากการขายผก

รบเงนจากการขายผก

รบเงนจากการขายผก

รบเงนจากการขายผก

1,500

3,600

2,200

3,000

-

-

-

-

10 ต.ค. 54

12 ต.ค. 54

15 ต.ค. 54

16 ต.ค. 54

คาเมลดพนธและปย

คานา คาไฟฟา

คาอาหาร

คาอาหาร

คาโทรศพท

คานามนรถยนต

คาหนงสอ

คาอาหาร

คานาดม

คาเสอผา

คาอาหาร

คาบตรชมภาพยนตร

คาถงพลาสตก

2,000

480

200

280

590

1,100

300

500

250

1,800

300

400

480

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

รวม 10,300 - รวม 8,680 -

ยอดคงเหลอยกไป 1,620 -

2.2 ทกษะการคานวณเงนคาจาง

ตวอยางท 2 พเยาวเปนพนกงานทาความสะอาดของบรษทแหงหนง ซงกาหนดเวลาทางานวนจนทร

ถงวนเสารไดรบคาจางเปนรายวน ๆ ละ 320 บาท พเยาวมสทธไดรบคาจางในวนหยด

ตามประเพณและวนหยดพกผอนประจาปโดยไมตองทางาน ในเดอนตลาคม พเยาวมา

ทางานทกวนในวนทางานตามเวลาทางานปกต และวนท 1 ตลาคมตรงกบวนจนทรใน

เดอนนมวนหยดตามประเพณ 1 วน คอ วนท 23 ตลาคม อยากทราบวาในเดอนนพเยาว

ไดรบคาจางเทาไร

179

วธทา

เดอนตลาคม

อาทตย จนทร องคาร พธ พฤหส ศกร เสาร

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31

เดอนตลาคม พเยาวไดรบคาจางในวนทางาน 26 วน และมสทธไดรบคาจางในวนหยดตาม

ประเพณ 1 วน และไดรบคาจางวนละ 320 บาท

ดงนน พเยาวไดรบคาจางในเดอนตลาคม = (26 + 1) × 320

= 8,640 บาท

2.3 ทกษะการคานวณเงนคานายหนาและเงนปนผล

ตวอยางท 3 นายสญชยเปนตวแทนขายเครองไฟฟา ซงมราคา 4,500 บาทใหกบบรษทแหงหนง

บรษทคดคานายหนา 10% อยากทราบวา สญชยตองสงเงนใหบรษทเทาไร

วธทา บาเหนจตวแทนในการขาย = 4,500100

10× = 450 บาท

ดงนน สญชยตองสงเงนใหบรษท = 4,500 – 450 = 4,050 บาท

ตวอยางท 4 ภทรามหนปรมสทธของบรษทจาหนายเครองใชไฟฟาแหงหนง จานวน 150 หน มลคา

หนละ 100 บาท อตราเงนปนผล 10% สนปเขาจะไดรบเงนปนผลทงสนเทาไร

วธทา เงนปนผลตอหนของหนปรมสทธ = อตราเงนปนผล × มลคาหนปรมสทธ

= 10% × 100

= 100

10× 100

= 10 บาท

ภทรามหนปรมสทธจานวน 150 หน

ดงนน ภทราจะไดรบเงนปนผลทงสน = 150 × 10

= 1,500 บาท

180

2.4 ทกษะการใชสถตในการสรปรายงานหรอนาเสนอขอมล

ตวอยางท 4 การสรปรายงานการดาเนนงานโครงการอบรมคอมพวเตอรสาหรบพนกงาน

ผลการดาเนนงาน

บรษทนามนแหงหนงไดจดทาโครงการอบรมคอมพวเตอรสาหรบพนกงาน โดยดาเนนการเปน

3 รน ดงน

รนท โปรแกรมอบรม วนทอบรม จานวนผเขาอบรม

1

2

3

การใชโปรแกรมไมโครซอฟท Excel

การใชโปรแกรม PhotoShop

การใชโปรแกรมไมโครซอฟท Access

5 – 9 ก.ย. 54

12 – 16 ก.ย. 54

19 – 23 ก.ย. 54

10

10

10

เมอดาเนนการอบรมและมการประเมนผลการอบรมโดยผจดการอบรมไดดาเนนการทดสอบ

ความร ความเขาใจแกพนกงาน โดยใชแบบทดสอบกอนและหลงการอบรม เพอตรวจสอบความกาวหนา

วา ภายหลงการอบรมพนกงานไดรบความรเพมขนจากชวงกอนเขารบการอบรมมากนอยเพยงใด โดย

พจารณาจากคะแนนเฉลยของผเขารบการอบรมในแตละรน ซงสรปขนตอนการคานวณและผลการ

ดาเนนการไดดงน

1. นาแบบทดสอบวดความร ความเขาใจในเนอหาการอบรมใหผเขาอบรมทกคนทง 10 คน

ตรวจใหคะแนนของผเขาอบรมแตละคนวาไดคนละกคะแนน ซงแตละรน แบบทดสอบจะมคะแนนเตม

20 คะแนน เทากนทง 3 รน แลวนามากรอกคะแนนเปนรายบคคลตงแตคนท 1 – 10 ลงในแบบบนทก

คะแนน เพอคานวณคาเฉลยของคะแนน ( x ) ในแตละรน ดงน

คนท

คะแนนกอนการอบรม

(คะแนนเตม 20 คะแนน)

คะแนนหลงการอบรม

(คะแนนเตม 20 คะแนน)

โปรแกรมรน

ท 1

โปรแกรมรน

ท 2

โปรแกรมรน

ท 3

โปรแกรมรน

ท 1

โปรแกรมรน

ท 2

โปรแกรมรน

ท 3

1 8 9 7 15 14 14

2 7 6 8 14 13 13

3 9 5 9 17 12 15

4 10 7 8 16 15 12

5 7 5 7 15 11 16

6 8 8 6 14 13 14

7 6 7 10 16 12 13

181

8 11 10 9 18 14 15

9 9 6 8 13 12 13

10 10 5 7 14 13 12

คะแนนรวม

ของทง 10 คน

85 68 79 152 129 137

คานวณคะแนน

เฉลยโดยนา

คะแนนรวม

หารดวยจานวน

คนทงหมด คอ

10 คน

( x ) = 85 ÷ 10

= 8.5

∴ คะแนน

เฉลย =

8.5 คะแนน

( x ) = 68 ÷ 10

= 6.8

∴ คะแนน

เฉลย =

6.8 คะแนน

( x ) = 79 ÷ 10

= 7.9

∴ คะแนน

เฉลย =

7.9 คะแนน

( x ) = 152÷ 10

= 15.2

∴ คะแนน

เฉลย =

15.2 คะแนน

( x ) = 129÷ 10

= 12.9

∴ คะแนน

เฉลย =

12.9 คะแนน

( x ) = 137÷ 10

= 13.7

∴ คะแนน

เฉลย =

13.7 คะแนน

คานวณรอยละ

ของคะแนน

เตม 20 คะแนน

= 20

1008.5×

= 42.50 %

= 20

1006.8×

= 34.00 %

= 20

1007.9×

= 39.50 %

= 20

10015.2×

= 76.00 %

= 20

10012.9×

= 64.50 %

= 20

10013.7×

= 68.5 %

2. นาคะแนนเฉลยทคานวณไดและผลการคานวณวา คะแนนเฉลยนนคดเปนรอยละเทาไรของคะแนนเตม

จากขอ 1 มากรอกลงในตารางสรปรายงาน ดงน

โปรแกรมการอบรม

คะแนนเฉลย ( x )

จากคะแนนเตม 20 คะแนน

คะแนนเฉลย ( x )

จากคะแนนเตม 20 คะแนน

กอนการอบรม คดเปนรอยละ

ของคะแนนเตม หลงการอบรม

คดเปนรอยละ

ของคะแนนเตม

รนท 1 การใชโปรแกรม

ไมโครซอฟท Excel

รนท 2 การใชโปรแกรม

PhotoShop

รนท 3 การใชโปรแกรม

ไมโครซอฟท Access

8.50

6.80

7.90

42.50

34.00

39.50

15.20

12.90

13.70

76.00

64.50

68.50

จากตาราง พบวา เมอพจารณาจากคะแนนเฉลยของผเขารบการอบรมหลงการอบรมทง 3 รน

จะเหนไดวา มคะแนนเฉลยเพมขนจากคะแนนเฉลยกอนการอบรมทกรน กลาวคอ แสดงวา ผเขารบการ

อบรมสวนใหญไดรบความร ความเขาใจเพมมากขนในเนอหาทบรษทไดจดอบรมใหพนกงาน และพบวา

รนท 1 ไดคะแนนเฉลยมากทสด คอ ไดคะแนนเฉลย 15.20 คะแนน คดเปนรอยละ 76.00 ของคะแนนเตม

รองลงมา คอ รนท 3 ไดคะแนนเฉลย 13.70 คะแนน คดเปนรอยละ 68.50 ของคะแนนเตม สวนรนท 2 นน

ไดคะแนนเฉลยนอยทสด คอ ไดคะแนนเฉลย 12.90 คะแนน คดเปนรอยละ 64.50 ของคะแนนเตม

182

2.5 ทกษะการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

ตวอยาง นายโชคไดรบเงนเดอน ๆ ละ 28,000 บาท สนปสามารถหกคาใชจายไดรอยละ 40 ของเงนได

พงประเมน แตไมเกน 60,000 บาท หกคาลดหยอนผมเงนได 30,000 บาท หกคาเบยประกนชวต

25,000 บาท หกดอกเบยเงนกยมเพอซอบาน 36,450 บาท สนปนายโชคยนแบบแสดงรายการ

ภาษเงนไดบคคลธรรมตองชาระภาษหรอไม ถาชาระตองชาระภาษเปนเงนเทาไร

วธทา

เงนไดพงประเมนของนายโชค = 28,000 × 12 = 336,000 บาท

หก คาใชจาย รอยละ 40 ของเงนไดพงประเมน แตไมเกน 60,000 บาท

คาใชจาย 336,000100

40× = 134,400 บาท

แตคาใชจายของนายโชคคานวณได 134,400 บาท แตสามารถหกไดแค 60,000 บาทเทานน

หก คาลดหยอนผมเงนได 30,000 บาท

คาเบยประกนชวต 25,000 บาท

ดอกเบยเงนกยมเพอซอบาน 36,450 บาท

รวมหกคาลดหยอนได = 30,000 + 25,000 + 36,450 = 91,450 บาท

เงนไดสทธของนายโชค = เงนไดพงประเมน – (คาใชจาย + หกคาลดหยอน)

= 336,000 – (60,000 + 91,450)

= 184,550 บาท

ตามตารางอตราการเสยภาษเงนไดบคคลธรรมดา เงนไดสทธ 0 – 150,000 บาท ไมตองเสยภาษ

สวนทเกน 150,000 – 500,000 บาท เสยภาษ 10%

นายโชคมเงนไดสทธทตองเสยภาษ = 184,550 – 150,000 =34,550 บาท

= 34,550 100

10× = 3,455 บาท

∴ นายโชคเสยภาษ 3,455 บาท

ตารางอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา

ขนเงนไดสทธตงแต

เงนไดสทธ

จานวนสงสด

ของขน

เงนไดสทธ

แตละขน

อตราภาษ

รอยละ ภาษเงนได

ภาษในแตละ

ขนเงนได

ภาษสะสม

สงสดของขน

0 ถง 100,000

เกน 100,000 ถง 150,000

เกน 150,000 ถง 500,000

เกน 500,000 ถง 1,000,000

เกน 1,000,000 ถง 4,000,000

เกน 4,000,000 บาทขนไป

100,000

50,000

350,000

500,000

3,000,000

..........

..........

..........

..........

..........

..........

....

....

....

…

…

…

5

10

10

20

30

37

..............

..............

..............

..............

..............

..............

....

....

....

…

…

…

ยกเวน

ยกเวน

35,000

100,000

900,000

0

0

35,000

135,000

1,035,000

รวม →

183

2.6 การคานวณในการจดทาแผนปายโฆษณาเพอประชาสมพนธการใหบรการ

ตวอยาง ทาแผนโฆษณาเชญชวนการทองเทยวในจงหวด โดยมขนาดแผนโฆษณาททาดวยแผนไวนล

มขนาดกวาง 1.2 เมตร ยาว 1.5 เมตร ทางรานคดคาออกแบบ 400 บาท คาจดทาตารางเมตรละ

250 บาท จะตองจายเงนทงหมดเทาไร

วธทา พนทแผนไวนลทใชโฆษณา = กวาง × ยาว

= 1.2 × 1.5 = 1.8 ตารางเมตร

คาจดทา = 1.8 × 250 = 450 บาท

∴ จะตองจายเงนทงหมด = คาจดทา + คาออกแบบ

= 450 + 400 = 850 บาท

184

แบบฝกหดท 1

1. ศภางคเปนพนกงานของโรงงานเยบเสอผาสาเรจรปแหงหนง ซงกาหนดเวลาทางานตามปกตวนละ

8 ชวโมง ไดรบเงนเดอน ๆ ละ 9,000 บาท จงหาวา ศภางคมรายไดวนละเทาไร และศภางคมรายได

ชวโมงละเทาไร

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

2. สภาพเปนพนกงานของโรงงานผลตเครองปรบอากาศแหงหนง ซงกาหนดเวลาทางานวนจนทรถง

วนศกรไดรบคาจางเปนรายวน ๆ ละ 370 บาท สภาพมสทธไดรบคาจางในวนหยดตามประเพณและ

วนหยดพกผอนประจาปโดยไมตองทางานในเดอนธนวาคม สภาพมาทางานทกวนในวนทางานตาม

เวลาทางานปกตและวนท 1 ธนวาคม ตรงกบวนอาทตยในเดอนนมวนหยดตามประเพณ 3 วน คอ

วนท 5, 10 และ 31 จงหาวาในเดอนธนวาคมน สภาพไดรบคาจางเทาไร

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

185

3. ธดาเปนพนกงานของบรษทแหงหนง ซงกาหนดเวลาทางานวนจนทรถงวนศกร เวลาทางานปกตตงแต

เวลา 08.00 – 17.00 น. หยดพกระหวางเวลา 12.00 – 13.00 น. ธดามรายไดเดอนละ 12,000 บาท

ในเดอนสงหาคม วนท 1 ตรงกบวนจนทรและในเดอนนมวนหยดตามประเพณ 1 วน คอ วนท 12

สงหาคม ธดามสทธไดรบคาจางในวนหยดทกประเภทโดยไมตองทางาน ในเดอนนธดามาทางาน

ทกวน ทางานตามเวลาทางานปกต ถานายจางใหธดามาทางานในวนหยดตามประเพณ 1 วน ไดรบ

คาจางอก 1 เทา และทางานในวนเสารไดรบคาจางเพมเปน 2 เทาของคาจางปกตอก 4 วน ระหวาง

เวลา 09.00 – 12.00 น. จงหาคาทางานในวนหยดทงหมดและรายไดทงหมดของธดาในเดอนสงหาคมน

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

4. จงทาบญชรายรบ – จายของตวเองใน 1 สปดาห

บญชรายรบ – จายของ ...................................................

วน เดอน ป รายการรบ จานวนเงน

วน เดอน ป รายการจาย จานวนเงน

บาท สต. บาท สต.

186

5. นางอญชลเปนตวแทนขายเครองครวทมราคา 45,000 บาท ใหกบบรษทแหงหนง บรษทคดคานายหนา

30% อยากทราบวานางอญชลไดเงนคานายหนาเทาไร

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

6. พจมานถอหนปรมสทธของบรษทผลตกระเบองแหงหนง จานวน 1,500 หน มลคาหนละ 160 บาท

อตราเงนปนผล 5% เมอสนปพจมานจะไดเงนปนผลทงหมดเทาไร

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

187

7. สภทราเปนพนกงานบรษทผลตแชมพสระผมแหงหนงไดรบมอบหมายจากบรษทใหทาการสารวจ

ความนยมของสขวดทใชบรรจแชมพสาหรบกลมเปาหมายวยรน จานวน 50 คน สภทราจะดาเนนการ

อยางไรตงแตการสารวจจนถงการนาเสนอขอมล

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

8. ศกดมรายไดเดอนละ 25,000 บาท สนปสามารถหกคาใชจายไดรอยละ 40 ของเงนไดพงประเมน แต

ไมเกน 60,000 บาท สามารถหกคาลดหยอนผมเงนได 30,000 บาท หกคาเบยประกนชวต 50,000 บาท

หกคาเบยประกนสขภาพของมารดาของนายศกด 20,000 บาท สนปนายศกดยนแบบแสดงรายการ

ภาษเงนไดบคคลธรรมดาตองชาระภาษหรอไม ถาชาระภาษเปนเงนเทาไร

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

188

9. แผนไวนลโฆษณาเชญชวนการบรจาคชวยเหลอผประสบภย มขนาดกวาง 0.90 เมตร ยาว 1.8 เมตร

ทางรานคดคาออกแบบ 500 บาท คาจดทาตารางเมตรละ 250 บาท จะตองจายเงนทงหมดเทาไร

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

189

เฉลยแบบฝกหด

190

เฉลย บทท 1

ระบบจานวนจรง

แบบฝกหดท 1

1.จานวนทกาหนดใหตอไปนจานวนใดเปนจานวนนบ จานวนเตม จานวนตรรกยะ หรอจานวนอตรรก

ยะ

ขอ จานวนจรง จานวนนบ จานวนเตม จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

1 1,0,2,325,

27,9 −− 1 0, 1, -9 -9,

27− ,

325 ,0 ,1 2

2 45,12,3,

377,5 − 3 , 12 3, 12

377− ,3 ,12 ,

45 2

3 2.01,0.666...,-13 , -13 2.01, 0.666, …,-13

4 2.3030030003..., 2.3030030003...

5 5.7,22,

36,

31, −−−π

36 , -7, 5 ,

36,

31− -7.5

22,π−

6 π21,12,3,9,

512,17,25 −−

25, 3 , 12 25, -17, 3,

12, 9 25, -17,

512− ,

9 , 3, 12 π

21

2. จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ

1) จรง

2) จรง

3) เทจ

4) จรง

5) จรง

6) เทจ

191

แบบฝกหดท 2

1. ใหผเรยนเตมชองวางโดยใชสมบตการเทากน

9. ถา a = b แลว a +5 = b + 5

10. ถา a = b แลว -3a = -3b

11. ถา a + 4 = b + 4 แลว a = b

12. ถา a +1 = b +2 และ b + 2 = c - 5 แลว a +1 = c + 5

13. ถา ( )22 112 +=++ xxx แลว ( ) 121 22 ++=+ xxx

14. ถา yx23

= แลว 2x = 3y

15. ถา xx 212 =+ แลว ( )21−x = 122 +− xx

16. ถา baab += แลว ( )ab21 = )(

21 ba +

2. กาหนดให a , b และ c เปนจานวนจรงใดๆ จงบอกวาขอความในแตละขอตอไปนเปนจรงตามสมบตใด

1) 3 + 5 = 5 + 3 สมบตการสลบทของการบวก

2) (1+2)+3 = 1+(2+3) สมบตการเปลยนกลมของการบวก

3) (-9)+5 = 5 +(-9) สมบตการสลบทของการบวก

4) (8 × 9) เปนจานวนจรง สมบตปดของการคณ

5) 5 × 3 = 15 = 3 × 5 สมบตการสลบทของการคณ

6) 2(a+b) = 2a +2b การแจกแจง

7) (a + b) + c = a+( b + c) สมบตการเปลยนกลมของการบวก

8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a สมบตการสลบทของการบวก

9) 4 × (5 + 6) = (4 × 5) + (4 × 6) การแจกแจง

10) c(a +b) = ac +bc การแจกแจง

3 . เซตทกาหนดใหในแตละขอตอไปน มหรอไมมสมบตปดของการบวกหรอสมบตปดของการคณ

1) { 1 , 3 , 5 } มสมบตปดการบวก, การคณ

2) { 0 } มสมบตปดการบวก

3) เซตของจานวนจรง ม

4) เซตของจานวนตรรกยะ ม

5) เซตของจานวนทหารดวย 3 ลงตว ม

192

4. จงหาอนเวอรสการบวกของจานวนในแตละขอ

1) อนเวอรสการบวกของ 8 คอ -8

2) อนเวอรสการบวกของ - 5 คอ 5

3) อนเวอรสการบวกของ - 0.567 คอ 0.567

4) อนเวอรสการคณของ 23 − คอ 23

1−

5) อนเวอรสการคณของ 35

1−

คอ 35 −

193

แบบฝกหดท 3

1. ใหผเรยนบอกสมบตการไมเทากน (เมอตวแปรเปนจานวนจรงใดๆ)

9. ถา x < 3 แลว 2x <6 สมบตการคณดวยจานวนเทากบทไมเทากบศนย

10. ถา y>7 แลว -2y -14 สมบตการคณดวยจานวนเทากบทไมเทากบศนย

11. ถา x+1 > 6 แลว x+2 > 7 สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน

12. ถา y+3 < 5 แลว y< 2 สมบตการตดออกสาหรบการบวก

13. ถา x< 7 และ 7< y แลว x<y สมบตการถายทอด

14. ถา a > 0 แลว a+1 > 0 +1 สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน

15. ถา b< 0 แลว b + (-2) < 0+(-2) สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน

16. ถา c> -2 แลว (-1)c < (-1)(-2) สมบตการคณดวยจานวนเทากนทไมเทากบศนย

2. จงใชเสนจานวนแสดงลกษณะของชวงของจานวนจรงตอไปน

1) (2,7)

2) [3,6]

3) [-1,5)

4) (-1,4]

5) (2,∞ )

194

6) (-∞ ,4)

7) (0,8)

8) [-5,4)

195

แบบฝกหดท 4

เซตคาตอบคาตอบของอสมการ คอ { x | x ≤ -2 หรอ x ≥ 2}

-3 < x < 3

เซตคาตอบคาตอบของอสมการ คอ { x | -3 < x <3}

เซตคาตอบคาตอบของอสมการ คอ { x |1< x <7}

5−≤− X หรอ 1≥− X

5≥X หรอ 1−≤X

เซตคาตอบคาตอบของอสมการ คอ {x|x ≥ 5 หรอ x≤ -1}

5 – x < 0 หรอ 5 – x > 0 -x < -5 -x > -5 x > 5 x < 5

0 ≤ 5 – x ≤ 0 -5 ≤ -x ≤ -5 5 ≥ x ≥ 5

-1 ≤ 2x – 9 ≤ 1 -1 + 9 ≤ 2x ≤ 1 + 9 8 ≤ 2x ≤ 10 4 ≤ x ≤ 5

-8 < 3x – 4 < 8 - 8 +4 < 3x < 8 +4 -4 < 3x < 12

34− < x < 4

0 ≤ 6 – 3x ≤ 0 -6 ≤ -3x≤ -6 2 ≥x ≥ 0

|2 – 4x < 0 หรอ 12 – 4x > 0 -4x < -12 หรอ – 4x > -12 x > 3 หรอ x < 3

196

เฉลย บทท 2

เลขยกกาลง

แบบฝกหดท 1

1. จงบอกฐานและเลขชกาลงของเลขยกกาลงตอไปน

1) ฐานคอ 6 เลขชกาลงคอ 3

2) ฐานคอ 1.2 เลขชกาลงคอ -5

3) ฐานคอ -5 เลขชกาลงคอ 0

4) ฐานคอ 21

เลขชกาลงคอ 3

2. จงหาคาของเลขยกกาลงตอไปน

1) - 1,024

2) 6251

3) 1.728

4) 27

3. จงทาใหอยในรปอยางงายและเลขชกาลงเปนจานวนเตม

1. 8a

2. 625,1555 612==

3. 20

32

4. ( )151.1

5. 10x

197

แบบฝกหดท 2

1. จงหาคาของรากท n ของจานวนจรงตอไปน

1) 5

2) 8

3) -3

4) -5

5) 32

6) 2

7) 5

8) 864 ≠− ไมเปนจานวนจรง

9) -2

10) 2164 ≠− ไมเปนจานวนจรง

2. จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปอยางาย โดยใชสมบตของ รากท n

1) 25 = 5 2) 3 32 = 2

3) 33 ( 2)− = (-2) 4) 55 ( 2)− = (-2)

5) 2( 3)− = (-3) 5) 44 ( 2)− = (-2)

6) 200 = 10 2 7) 75 = 35

8) 3 240 = 3 302 9) 45 = 53

10) 5 15 = 3575 = 11) 3 381 32⋅ = 3 126

12) 94

= 94

= 32

13) 385

= 253

198

แบบฝกหดท 3

1. จงทาจานวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 2x 2

2) 4

3) 22y

4) (-2)

5) 2924226 =+−

6) ( )( ) ( )( )52531053 + = ( )( )56503 +

= 30215 +

7) aa 283 3 =

8) 683423 333 ==×

แบบฝกหดท 4

1. จงทาจานวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 28x

วธทา 28x = xx×××× 222

= 2 x 2

2) 3 27

3−

วธทา 3 27

3−

= ( )( )( )3 333

3−−−

= ( )33−

= -1

3) 2( 2 8 18 32)+ + +

วธทา 2( 2 8 18 32)+ + + = ( )22423222 +++

= ( )2210

= ( )( ) 2002100 =

199

4) 65

332

32 227 (64)

−+

วธทา 65

332

32 227 (64)

−+ =

( )( )2

328

6432+

−

= ( )

( )3864

32+

−

= ( )

81

32+

−

= 2413

243

2416 −

=+−

5) 6

181448 2

1

4

32

⋅

วธทา 6

181448 2

1

4

32

⋅ = ( )

618

1442

4

32

3

×

= 392

44

×

= 4 9

32

6)

13 2

1232

125 3( 8) (27)

−

−+

−

วธทา

13 2

1232

125 3( 8) (27)

−

−+

− =

( )91

45−

−

= 3649

36445

−=−

−− =

36131−

200

เฉลย แบบฝกหด

บทท 3 เซต

แบบฝกหดท 1

1. จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1) { สมทรสาคร,สมทรสงคราม,สพรรณบร,สรนทร,สราษฏรธาน,สมทรปราการ,สงขลา,สระแกว,

สระบร,สงหบร}

2) { a,e,i,o,u }

3) { 100,101,…,999}

4) {2,4,6,8,10,12,14,16,18}

5) { -121,-122,-123,….}

6) { 6,7,8,9,10,11,12,13,14}

7) { φ }

2. จงบอกจานวนสมาชกของเซตตอไปน

1) 1

2) 6

3) 24

4) 8

3. จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไข

1) { x | x เปนจานวนเตมคและ 2 ≤ x ≤ 8 }

2) { x | x เปนจานวนเตมบวก }

3) { x | x = 2x เปนจานวนเตมซง x = 1,2,3,… }

4. จงพจารณาเซตตอไปน เปนเซตวางเรอเซตจากดหรอเซตอนนต

1) เซตจากด

2) เซตจากด

3) เซตอนนต

4) เซตวาง

5) เซตวาง

6) เซตวาง

7) เซตจากด

201

8) เซตวาง

9) เซตจากด

10) เซตอนนต

5. เซตตอไปนเซตใดบางทเปนเซตทเทากน

1) A = B

2) D = E

3) F ≠ G

4) Q = H แบบฝกหดท 2

1) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา

1) A ∪ B = { 0,1,2,3,4,5} 2). B ∪A = { 0,1,2,3,4 ,5}

3). A ∩B = { 1,2,3,4 } 4). B ∩A = { 1,2,3,4 }

5). A – B = {0,5} 6). B – A = φ

2). กาหนดให U = { 1,2,3,..,10 }

A = { 2,4,6,8,10 }

B = { 1,3,5,7,9}

C = { 3,4,5,6,7 }

จงหา

9. A ∩ B = { φ }

10. B ∪ C = { 1,3,4,5,6,7,9}

11. B ∩ C = { 3,5,7}

12. A ∩ C = { 4,6}

13. C ′ = { 1,2,8,9,10}

14. AC ∩′ = { 2,8,10 }

15. BC ∩′ = {1,9}

16. ( A = { 1,3,5,7,9}

202

แบบฝกหดท 3

1. จงแรเงาแผนภาพทกาหนดใหเพอแสดงเซตตอไปน

1) B′

2) BA ′∩

3) A′

203

4) BA ∪′

5) BA ′∪′

2. จากแผนภาพทกาหนดให

จงหาคา

1. A′ ={ 6,7,8}

2. ( )′∩ BA = {1,2,3,6,7,8}

3. UBA′ = { 4,5,6,7,8}

4. BA ∩′ = { 6,7,8}

204

ฟตบอล

3. จากแผนภาพ

กาหนดให U , A, B และ A∩B เปนเซตทมจานวนสมาชก 100 ,40,25, และ 6 ตามลาดบ จงเตม

จานวนสมาชกของเซตตาง ๆ ลงในตารางตอไปน

เซต A - B B - A A ∩ B A′ B′ ( A ∪ B

จานวนสมาชก 34 19 6 19 + 41 = 60 34 + 41 = 75 34 + 6 + 19 = 59

4. จากการสอบถามผเรยนชอบเลนกฬา 75 คน พบวา ชอบเลนปงปอง 27 คน ชอบเลนแบตมนตน 34 คน

ชอบเลนฟตบอล 42 คน ชอบทงฟตบอลและปงปอง 14 คน ชอบทงฟตบอลและแบตมนตน 12 คน ชอบ

ทงปงปองและแบดมนตน 10 คน ชอบทงสามประเภท 7 คน จงหาวานกศกษาทชอบเลนกฬาประเภทเดยวม

กคน

วธทา A = เลนฟตบอล 42 คน

B = เลนแบดมนตน 34 คน

C = เลนปงปอง 27 คน

จานวนนกศกษาทชอบเลนกฬาประเภทเดยว = 23 + 17 + 12 = 52 คน

40-6 =34

25-6 =19

6

100-34-6-19 = 41

แบดมนตน

ปงปอง

205

เฉลย บทท 4 การใหเหตผล

แบบฝกหดท 1

จงเตมคาตอบลงในชองวางตอไปน

6) 1, 4, 9, 16, , , 49 , 64, ,

7) 2, 7, 17, , 52 , ,

8) 5, 10, 30, 120, ,

9) 36 = 444444444

45 = 555555555

81 = 999999999

10) 2 + 4 + 6 + 8 + = 30

2 + 4 + + 8 + + 12 =

2 + + + 8 + +12 + 14 =

2 + + + 8 + +12 + 14 + =

25 36 81 100

32 77 107

10

600 3,600

6 10 42

4 6 10 56

4 6 10 72 16

206

แบบฝกหดท 2

1. จงตรวจสอบผลทไดวาสมเหตสมผลหรอไม

1) สมเหตสมผล

2) สมเหตสมผล

3) ไมสมเหตสมผล

4) ไมสมเหตสมผล

5. ไมสมเหตสมผล

แบบฝกหดท 3

1. จงตรวจสอบผลทไดวาสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

1)

ฝนตก

ไมออกนอกบาน

แคทลยา

จากเหตท 1 และ 2 สรปไดวา สมเหตสมผล

207

2)

จากเหตท 1 และ 2 จะเหนไดวา ผลทจะเกดขนมไดหลาย ผลดวยกน สรปไดวา ไมสมเหตสมผล

3)

จะเหนไดวา จากเหตการณทง 3 เหต ผลสรปทไดนน สมเหตสมผล

คนขยนเรยน

คนขยนเรยน

คนขยนเรยน

สมชาย สมชาย

สมชาย

208

4)

จะเหนไดวา จากเหตท 1 และ 2 ผลทไดนน สมเหตสมผล

5.

จะเหนไดวา จากเหตท 1 และ 2 ผลทจะเกดขนมไดหลาย ผลดวยกน สรปไดวา ไมสมเหตสมผล

จานวนบวก จานวนลบ

สตว 2 ขา

สตว 2 ขา

209

เฉลย บทท 5

ตรโกณมต

แบบฝกหดท 1

1. จากรปสามเหลยมมมฉากทกาหนดใหตอไปน จงเขยนความสมพนธของความยาวของรปสามเหลยมมมฉาก

โดยใชทฤษฎบทปทาโกรส และหาความยาวของดานทเหลอ

(1)

วธทา 222 2425 −=a

= 625 – 576

= 49

a = 7

(2)

วธทา 222 912 +=c

= 144 +81

= 225

a = 15

210

2. กาหนด ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ม 090ˆ =C และความยาวของดานทงสาม ดงรป

จงหา 1) sin A , cos A และ tan A

2) sin B , cos B และ tan B

sin A = 135

sin B = 1312

cos A = 1312

cos B = 135

tan A = 125

tan B = 5

12

3. จงหาวาอตราสวนตรโกณมตทกาหนดใหตอไปน เปนคาไซน(sin) หรอโคไซน(cos) หรอแทนเจนต(tan) ของ

มมทกาหนดให

1. sin A

2. Btan

1

3. cos A

4. cos B

B

211

4. กาหนด ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก โดยมมม C เปนมมฉาก มดาน AB = 10 และ AC = 8

จงหา 1 ) ความยาวดาน BC

วธทา 222 810 −=AB A

= 100 - 64

= 36 10 8

a = 6

2) sin A = 106

cos A = 108

B a C

tan A = 86

3) sin B = 108

cos B = 106

tan B = 68

212

5. กาหนดใหรปสามเหลยม ABC โดยมมม C เปนมมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมม A, มม B และ

มม C ตามลาดบ

(1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c B

วธทา BCACA =cot =

a

b c

5

3 b= a

35=b A C

จากทฤษฏบทปทาโกรส AB2 = AC2 + BC2 b

c2 = b2 + a2

= 22 5)35( +

= 2575+

= 100

(2) ถา cos B = 53

และ a = 9 จงหาคา tan A

วธทา

cos a = c

a

c

a=

5

3

5×=∴c

ac = 15

จากทฤษฎบทปทาโกรส

AB2 = AC2 + BC2

หรอ c2 = b2 + a2

152 = 62 + 92

b2 = 225 – 81

= 144

∴b = 12

ดงนน tan A = 4

3

12

9==

b

a

213

แบบฝกหดท 2

1. จงหาคาตอไปน

1) 0000 60cos30cos60sin30sin −

−

21

23

23

21

= 0

2) ( ) ( )2020 60cos60sin +

22

21

23

+

= 1

44

41

43

==+

3) 045tan1−

011 2 =−

2. จงหาคาอตราสวนตรโกณมตตอไปนจากตาราง

1) 020sin = 0.342

2) 038sin = 0.616

3) 050cos = 0.643

4) 052cos = 0.616

5) 077tan = 4.331

6) 089tan = 57.290

3. ให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก มมม C เปนมมฉาก ดงรป

cos B = 1312

sin B = 135

tan B = 125

sec B = 1213

วธทา AB2 = AC2 + BC2

= 52 + 122

= 25 + 144

= 169

AB = B

214

cosec B = 5

13

cot B = 5

12

4. จงหาคา a, b หรอ c จากรปสามเหลยมตอไปน

(1)

จาก c

3230cos 0 =

c

3223=

c = 43

232=

×

จาก ca

=030sin

42

1 a=

22

41=

×=a

ดงนน a = 2 และ c = 4

(2)

215

จาก 8

45sin 0 b=

82

1 b=

242

8==b

จาก ab

=045tan

a

241 =

a = 24

ดงนน a = 24 และ 24=b

(3)

จาก DCB ˆ ม DCB ˆ = 090

BDCD

=045sin

232

1 CD=

32

23==CD

BCCD

=045tan

a31 =

a =3

216

จาก ABC ม BCA ˆ = 090

ABBC

=060sin

c3

23=

323×

=c

32=c

ABAC

=060cos

322

1 b=

2

321×=b

3=b

ดงนน a = 3 , 3=b และ 32=c

217

แบบฝกหดท 3

1. ตนไมตนหนงทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสนตรงทลากผานปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทามม 30

องศา กบเงาของตนไม จงหาความสงของตนไม

218

2. วนยตองการหาความสงของเสาธงโรงเรยน จงทามมขนาด 45 องศา เพอใชในการเลงไปทยอดเสาธง ถา

ในขณะทเลงนนเขามองไปทยอดเสาธงไดพอด เมอกาวไปอยทจดซงอยหางโคนเสาธง 16 เมตร วนยมความสง

160 เซนตเมตร จงหาวาเสาธงสงประมาณกเมตร

219

3. จดพลขนไปในแนวดง โดยกาหนดจดสงเกตการณบนพนดนหางจากตาแหนงทจดพล 1 กโลเมตร ในขณะท

มองเหนพลทามม 60 องศา กบพนดน พลขนไปสงเทาใด และอยหางจากจดสงเกตการณเปนระยะทางเทาใด

220

เฉลย บทท 6

การใชเครองมอและการออกแบบผลตภณฑ

แบบฝกหดท 1

1. กาหนดมมสเหลยมมมฉากดงรป

ก. ผนผา

ข. 90 องศา

ค. แนวทแยง

ง. สามเหลยม BDE 2 รปประกอบกบเปน สเหลยม BDEG

2. จงเขยนรปคลของทรงสามมตตอไปน

221

222

3. จงเขยนรปทรงสามมตจากมมมองภาพดานบน ภาพดานหนา ภาพดานขางทกาหนดให

223

แบบฝกหดท 2

1. ใหเขยนภาพทเกดจากการเลอนขนานจากรปตนแบบและทศทางทกาหนดให ก. ข.

2. ใหเขยนภาพการเลอนขนานโดยกาหนดภาพตนแบบ ทศทางและระยะทางของการเลอนขนานเอง

ก.

ข.

A

C

B

A B

C D

224

3.

A(-

B(-

C A/(2,-

B/(1,-

C

X

Y

0

A/

B/

D/(-

D

C/

C

X

Y

0

A

B

ภาพ พกดของตาแหนงทกาหนดให

3)- , 5(C ′

) 3- , 5-(A′ ) 5- , 3-(B′

2)- , 0(C ′

225

แบบฝกหดท 3

คาชแจง จงพจารณารปทกาหนดใหแลว

- เขยนรปสะทอน

- เขยนเสนสะทอน

- บอกจดพกดของจดยอดของมมของรปสามเหลยมทเกดขนจากการสะทอน

- บอกจดพกดบางจดบนเสนสะทอนทได

Ä

226

แบบฝกหดท 4

1.

ใหเตมรปสามเหลยม CBA ′′′ ท

เกดจากการหมนสามเหลยม ABC

เพยงอยางเดยว โดยหมนทวนเขม

นาฬกา 90๐ และใชจด (0 , 0)

เปนจดหมน

Y

X

C

B

0

227

2.

ใหเตมรปสเหลยม O/X/Y/Z/ ทเกด

จากการหมนสเหลยม OXYZ

เพยงอยางเดยว โดยหมนทวนเขม

นาฬกา 270๐ และใชจด (0 , 0)

เปนจดหมน

Y

X

Y X

Z

228

3.

ใหเตมสวนของเสนตรง BA ′′ ท

เกดจากการหมนสวนของเสนตรง

AB เพยงอยางเดยว โดยหมนตาม

เขมนาฬกา 90๐ และใชจด (-2, -2)

เปนจดหมน

Y

X 0

B

229

4.

ใหเตมรปสามเหลยม CBA ′′′ ท

เกดจากการหมนสามเหลยม ABC

เพยงอยางเดยว โดยหมนทวนเขม

นาฬกา 90๐ และใชจด (-4 , -2)

เปนจดหมน

Y

X

C

B

0

230

เฉลย

บทท 7 สถต

แบบฝกหดท 1

1. จงเขยนขอมลสถตทเกยวของกบบคคลในครอบครว เชน เพศ อาย สถานภาพ อาชพ

ตอบ

2. จงยกตวอยางขอมลเชงคณภาพและเชงปรมาณมาอยางละ 5 ชนด

อายเฉลยของคนในครอบครว 45.2 ป อาชพ : รบราชการ, ลกจาง, ทางานอสระ

ตอบ

2. จานวนบตรในครอบครว

ขอมลเชงปรมาณ 1. จานวน รถยนตในกรงเทพมหานคร

3. นาหนกเฉลยของนกศกษา กศน.บานแพว

4. จานวนคนงานแยกตามเงนเดอน

5. จานวนของผเขารวมประชมทมอาย 20 ไปขนไป

ขอมลเชงคณภาพ 1. สถานภาพของผเขารวมอบรม

2. รายชอจงหวดทมนกศกษาทเขาสอบ

3. โรคทมผปวยมารกษามากทสดในเดอนมกราคม 54 3 ลาดบ

4. กลมเลอดของคนในโรงงาน

5. ศาสนาครสตทคนในประเทศไทยนบถอ

3. จงพจารณาวาขอมลตอไปนเปนขอมลเชงคณภาพ และขอมลเชงปรมาณ

- พนกงานในรงงานแหงหนงถกสอบถามถงสขภาพรางกายในขณะปฏบตงาน

คณภาพ ปรมาณ

เปน ขอมลเชงคณภาพ เพราะคาตอบจะไมใหตอบออกมาเปนตวเลข

- นกศกษาจานวนหนงทถกสอบถามถงคาใชจายในการไปพบกลมทหองสมด

คณภาพ ปรมาณ

เปน ขอมลเชงปรมาณ เพราะคาใชจายเปนขอมลทางตวเลข สามารถนามาเปรยบเทยบกนได

4. ขอมลปฐมภมตางจากขอมลทตยภมอยางไร จงอธบายและยกตวอยาง

ตอบ

ขอมลทตยภมเปนขอมลเกบจากแหลงขอมลทมการเกบรวบรวมไวกอนแลว

ขอมลปฐมภมเปนขอมลทเราตองเกบ หรอสารวจจากแหลงทเปนขอมลโดยตรง ฯลฯ

231

5. ขอมลตอไปนควรใชวธใดในการรวบรวม (ตอบไดหลายคาตอบ)

1 สารวจ สมภาษณ ใชแบบสอบถาม

ตอบ

2 สารวจ สมภาษณ ใชแบบสอบถาม

3 ใชแบบสอบถาม ขอมลจากสาธารณสขชมชนไปชงนาหนกเดกในหมบานทละคน

4. แบบสอบถาม ทดลอง

5 ขอมลจากสาธารณสข

6. จงบอกขอดขอเสยของการเกบรวบรวมขอมลโดยวธการตาง ๆ

ตอบ

2. ไดขอมลเชงลก

ขอด 1. ถกตองแมนยา

3. ความสมบรณครบถวนของขอมล

4. ตรงความตองการของผใช

ขอเสย

1. ตองใชเวลา

2. มคาใชจายเปนปจจบน

3. การเกบขอมลอาจบนทกคาดเคลอน

7. ขอมลการสารวจอาย ( ป ) ของคนงานจานวน 50 คนในโรงงานอตสาหกรรมแหงหนงเปนดงน

27 35 21 49 24 29 22 37 32 49

33 28 30 24 26 45 38 22 40 46

20 31 18 27 25 42 21 30 25 27

26 50 31 19 53 22 28 36 24 23

21 29 37 32 38 31 36 28 27 41

กาหนดความกวางของอนตรภาคชนเปน 8

232

1. จงสรางตารางแจกแจงความถ

คะแนน รอยขด ความถ

16 – 23 //// //// 9

24 – 31 //// //// //// //// // 22

32 – 39 //// //// 10

40 – 47 //// 5

48 – 55 //// 4

2. จงหาขดจากดชนทแทจรงและจดกงกลางชน

คะแนน ความถ ขดจากดบน ขดจากดลาง จดกงกลางชน

16 – 23 9 23.5 15.5 19.5

24 – 31 22 31.5 23.5 27.5

32 – 39 10 39.5 31.5 33.5

40 – 47 5 47.5 40.5 43.5

48 – 55 4 55.5 47.5 51.5

3. จงหาความถสะสม ความถสมพทธ และความถสะสมสมพทธ

คะแนน ความถ ความถ

สมพทธ

ความถสะสม ความถสะสม

สมพทธ

16 – 23 9 0.18 9 0.18

24 – 31 22 0.44 31 0.62

32 – 39 10 0.2 41 0.82

40 – 47 5 0.1 46 0.92

48 – 55 4 0.08 50 1

4. จงหาพสยของขอมลชดน

53 – 18 = 35

5. จงหาจานวนคนงานทมอายตากวา 45 ป

44 คน

233

แบบฝกหดท 2

1. จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมของนาหนกเดก 20 คน ซงมนาหนกเปนกโลกรม ดงน

32 60 54 48 60 52 46 35 60 38

44 48 49 54 47 48 44 48 60 32

คาเฉลย 95.4720

959==x

มธยฐาน 32 32 35 38 44 44 46 47 48 48 48 48 49 52 54 54 60 60 60 60

ตาแหนงของมธยฐาน = 5.102

1=

+N

= 48

ฐานนยม 48 และ 60

2. ตารางแสดงรายไดพเศษตอวนของลกจางในสานกงานแหงหนง

รายได (บาท) จานวน (f) จดกลาง (x) fx ความถสะสม

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 - 169

170 – 174

1

2

34

25

10

5

3

142

147

152

157

162

167

172

142

294

5168

3925

1620

835

516

1

3

37

62

72

77

80

∑ = 80f ∑ = 500,12fx

1. คาเฉลยเลขคณต ( x ) = ∑∑

f

fx

= 80

500,12

= 156.25

รายไดพเศษตอวนเฉลย 156.25 บาท

234

2. มธยฐาน : 402

80

2==

N∴ มธยฐานอยในขน 155 – 159

อนตรภาคชนทมมธยฐานอยคอ 155 – 159

จากสตร

−

+=∑

fm

flN

iLoMd2

เมอ N = 80 , i = 50, Lo = 154.5 , ∑ = 37lf , fm = 25

∴ 10.15525

374056.154 =

−

+=Md

มธยฐานของรายไดพเศษตอวนมคาเปน 155.10 บาท

3. ฐานนยม : ฐานนยมอยในชน 150 – 154

จากสตร

++=

21

1

dd

diLoMo

เมอ Lo = 149.5, d1 = 34 – 25 = 9, d2 = 34 – 2 = 32, I = 5

∴ 5.150329

955.149 =

++=Mo

ฐานนยมของรายไดพเศษตอวน มคาเปน 150.5 บาท

235

แบบฝกหดท 3

1. กาหนดใหวา จานวนคนไข (คนไขใน) ของโรงพยาบาลอาเภอแหงหนงในป 2545 และ 2546 ซงไดมาก

จากการสารวจของโรงพยาบาลเปนดงน พ.ศ. 2545 มเพศชาย 4,571 คน หญง 3,820 คน ป 2546 มเพศ

ชาย 5,830 หญง 4,259 คน จงนาเสนอขอมล

ก. ในรปบทความ

ผลจากการสารวจจานวนคนไขในโรงพยาบาลแหงหนง ในป 2545 และ 2546 มดงน

ป 2545 มจานวนคนไข ทงหมด 8,391 แบงเปน ชาย 4,571 คน หญง 3,820 คน และในป 2546 มจานวน

ทงหมด 10,089 คน แบงเปน ชาย 5,830 หญง 4,259 คน

ข. ในรปบทความ / ขอความกงตาราง

ผลจากการสารวจจานวนคนไขในโรงพยาบาลแหงหนง ในป 2545 และ 2546 มดงน

พ.ศ. 2545 มเพศชาย 4,571 คน หญง 3,820 คน

พ.ศ. 2546 มเพศชาย 5,830 หญง 4,259 คน

2. จากขอมลทนาเสนอในรปตาราง รอยละของนกศกษาระดบมธยมศกษาตอนตนของสถาบนการศกษาแหง

หนง ไดผลการเรยนใน 4 วชาหลกในป 2546 มดงน

หมวดวชา ระดบผลการเรยน

4 3 2 1 0

คณตศาสตร

ภาษาไทย

วทยาศาสตร

สงคมศกษา

4.49

5.82

4.82

9.04

9.51

12.14

11.23

16.60

22.88

26.55

23.50

29.10

43.58

41.18

39.81

34.75

16.28

13.10

19.91

9.09

รวม 84.55 13.67

จากตารางจงตอบคาถามตอไปน

1. หมวดวชาใดทนกศกษาไดระดบผลการเรยน 4 มากทสดและไดระดบ 0 นอยทสดและคดเปน

รอยละเทาไร

ตอบ

นอยทสด คอวชาสงคมศกษา คดเปนรอยละ 9.09

วชาทไดระดบผลการเรยน 4 มากทสด คอวชาสงคมศกษา คดเปนรอยละ 9.04 และไดระดบ 0

236

2. นกศกษาสวนใหญไดระดบผลการเรยนใด ตอบ

3. ระดบผลการเรยนทนกศกษามจานวนมากทสดไดรบ

ผลการเรยน 1

ตอบ

4. ระดบผลการเรยนทนกศกษามจานวนนอยทสดไดรบ

ผลการเรยน 1 วชาคณตศาสตร

ตอบ

5. กลาวโดยสรปถงผลการเรยนของสถาบนแหงนเปนอยางไร

ผลการเรยน 4 วชาคณตศาสตร

ตอบ

6. ตารางแสดงปรมาณผลตยางพาราของประเภทตาง ๆ ในป พ.ศ. 2544 และป พ.ศ. 2545 ดงน

สถาบนแหงนนกศกษาสวนใหญจะมระดบผลการเรยนอยท เกรด 1 และเกรด 2 ทกวชา วชาทม

นกศกษาสอบไมผาน (ไดเกรด 0) มากทสด คอ คณตศาสตร รองลงมาเปนวทยาศาสตร ภาษาไทย และสงคม

ศกษา

ประเทศ ปรมาณการผลต ( ลานตน )

ป 2544 ป 2545

มาเลเซย

อนโดนเซย

ไทย

เวยดนาม

ลาว

2.5

3.0

2.0

1.5

1.0

3.0

4.0

3.5

2.0

1.5

จงเขยน

1. แผนภมแทงแสดงการเปรยบเทยบการผลตยางพาราของประเทศตาง ๆ ในป 2544

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

มาเลเซย ไทย ลาว

ยางพารา

237

2. แผนภมแทงแสดงการเปรยบเทยบการผลตยางพาราของประเทศตาง ๆ ในป 2544 และในป 2545

00.5

11.5

22.5

33.5

4

มาเลเซย ไทย ลาว

พ.ศ.2544พ.ศ.2545

3. แผนภมวงกลมแสดงการเปรยบเทยบการผลตยางพาราของแตละประเทศในป 2544

มาเลเซยอนโดนเซยไทยเวยดนาม ลาว

4. จงเขยนกราฟแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสตวนาจดและสตวนาเคมทจบไดตงแต พ.ศ. 2540 ถง พ.ศ.

2546

พ.ศ. ปรมาณทจบได ( พนตน )

สตวนาจด สตวนาเคม

2540

2541

2542

2543

2544

2545

2546

1,550

1,529

1,395

2,068

1,538

1,352

1,958

130

141

159

161

122

147

145

238

กราฟแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสตวนาจดและสตวนาเคมทจบไดตงแตพ.ศ. 2540 – 2546

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

2540 2542 2544 2546

สตวนาจดสตวนาเคม

แบบฝกหดท 4

1. การเลอกขอมลมาใชประกอบการตดสนใจตองอาศยหลกการใดบาง

1. เชอถอได

2. ครบถวน

3. ทนสมย

2. ขอมล ตางกบ สารสนเทศ อยางไร จงอธบายพรอมยกตวอยางประกอบดวย

ขอมล หมายถง ขอเทจจรง หรอเหตการณทเกยวของกบสงตาง ๆ เชน บคคล สงของ

สถานท ฯลฯ ขอมลเปนเรองเกยวกบเหตการณทเกดขนอยางตอเนอง ขอมลตองถกตองแมนยา ครบถวนขนอย

กบผดาเนนการทใหความสาคญของความรวดเรวของการเกบขอมล

สารสนเทศ เกดจากการนาขอมล ผานระบบการประมวลผล คานวณ วเคราะหและแปลความหมายเปน

ขอความทสามารถนาไปใชประโยชนได

239

เฉลย บทท 8

ความนาจะเปน

แบบฝกหดท 1

1. โยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครง จงหาจานวนทเหรยญจะขนหนาตางๆ โดยวธเขยนแผนภมตนไม

2. ในการทดสอบวชาคณตศาสตร ประกอบดวย โจทยแบบปรนย 4 ตวเลอก จานวน 5 ขอ โจทยแตละขอม

คาตอบทถกตองเพยงหนงตวเลอกเทานน แลวจานวนวธการตอบคาถามทเปนไปไดทงหมดมกวธ

ม 4 ×4 ×4 ×4 ×4 = 1,024 วธ

3. มนกเรยน 5 คน ยนเขาแถวเพอซออาหารกลางวนของรานหนง จงหาวาจานวนวธทยนเขาแถวทแตกตางกน

มทงหมดกวธ

ตอบ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 วธ

4. มชาย 6 คน หญง 5 คน ตองการจดคแขงขนระหวางชาย 1 คน หญง 1 คนในการแขงขนกฬาแทนนสม

จานวนทงหมดกวธ

ตอบ 6 × 5 = 30 วธ

5. เพอน 3 คน นดกนไปรบประทานอาหารเยนทภตตาคารและ ซอของทหางสรรพสนคา โดยเลอกทจะไป

รบประทานอาหารและซอของ ซงมภตตาคาร 5 แหง และมหางสรรพสนคา 4 แหง ทงสามคนนจะมวธเลอก

กระทาดงกลาวไดทงหมดกวธ

ตอบ 5 × 4 = 20 วธ

240

6. บรษทแหงหนงเปดรบสมครพนกงานเขาทางาน โดยพจารณาจากเงอนไขคอ เพศชาย หญงระดบอายม 6

ระดบ และมสาขาวชาชพ 10 ประเภท แลวบรษทนจะมวธการจาแนกผสมครไดทงหมดกวธ

ตอบ ม 2 X 6 X 10 = 60 วธ

7. จากการสมภาษณรบคนเขาทางานจานวน 8 คน จะมวธจะคดเลอกไดพนกงานหนงคนจากผเขาสมภาษณ

ทงหมด

ตอบ 8 วธ

8. จงเขยนแผนภาพตนไมเพอแสดงผลทเกดขนจากการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 4 ครง จงหาจานวนวธท

แตกตางกนในการโยนเหรยญครงน โดยท

1. ไมมหนาหวเลย 2. มหนาหวเพยง 1 ครง

3. มหนาทง 2 ครง 4. มหนาหวเพยง 3 ครง

5. มหนาหว 4 ครง

ตอบ

1 (T,T,T,T) = 1 วธ 2. (H,T,T,T),(T,H,T,T),(T,T,H,T),(T,T,T,H) = 4 วธ

3. (H,H,T,T),(H,T,H,T),(H,T,T,H),(T,H,H,T)(T,H,T,H) (T,T,H,H) = 6 วธ 4. (H,H,H,T)(H,H,T,H) (H,T,H,H) (T,H,H,H) = 4 วธ 5. (H,H,H,H) = 1 วธ

ครงท 1 ครงท 2 ครงท 3 ครงท 4 เหตการณ

241

แบบฝกหดท 2

2. จากการทดลองสมตอไปน จงเขยนแซมเปลสเปซและเหตการณทสนใจในการทดลองนนๆ

(1) ไดหวสองเหรยญจากการโยนเหรยญสองอนหนงครง

ผลทเกดขนทงหมด (H,H) , (H,T) ,(T,H) ,(T,T)

เหตการณทสนใจ = (H,H) = 41

(2) ไดผลรวมของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 2 หรอ 6 จากการโยนลกเตาสองลกหนงครง

ผลทเกดขนทงหมด {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

เหตการณทสนใจ = (1,1) (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) ,(5,1)

(3) หยบไดสลากหมายเลข 5 หรอ 6 หรอ 7 หรอ 8 จากสลาก 10 ใบซงเขยนหมายเลข 1 ถง 10

กากบไว

ผลทเกดขนทงหมด 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

เหตการณทสนใจ = 5, 6, 7, 8

(4) ไดนกเรยนทถนดมอซายในหองเรยนททานเรยนอย

ตอบ อยในดลยพนจของผสอน

(5) ไดสลากทมรางวลจากการจบสลากทประกอบดวยสลากทมรางวล 3 ใบ และไมมรางวล 7 ใบ

ผลทเกดขนทงหมด รางวลท ถ1, ถ2, ถ3, ผ1, ผ2, ผ3, ผ4, ผ5, ผ6, ผ7

เหตการณทสนใจ คอโอกาสทถกรางวล = ถ1, ถ2, ถ3

(6) ไดคาตอบจากครอบครว 3 ครอบครววามจกรเยบผาใชทงสามครอบครว

ผลทเกดขนทงหมด มมม, มมไม, มไมม, มไมไม, ไมมม, ไมมไม, ไมไมม, ไมไมไม

เหตการณทสนใจ คอมเครองซกผาทง 3 ครอบครว มมม

(7) ไดลกบอลสขาว 2 ลก สดา 1 ลก ในการหยบลกบอลทละลกแบบไมใสคน 3 ลก จากกลองซง

บรรจลกบอลสขาว 3 ลก และสดา 2 ลก ให ข แทนบอลสขาว และ ด แทนบอลสดา

ผลทเกดขนทงหมด คอ ขคข, ขขค, ขคข, ขคค, คขข, ดขด, ดดข

เหตการณทสนใจ คอ ขคข, ขขค, ขคข, คขข

(8) ไดแตมทเหมอนกนหรอไดแตม 2 จากลกเตาลกใดลกหนงในการทอดลกเตาพรอมกนสองลก

242

ผลทเกดขนทงหมด {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

เหตการณทสนใจ = (1,1) (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) ,(6,6)

(9) ไดหวและแตมทมากกวา 4 จากการโยนเหรยญหนงเหรยญและทอดลกเตาหนงลก หนงครง

ผลทเกดขนทงหมด (H,1) ,(H,2), (H,3),(H,4),(H,5),(H,6)

(T,1) ,(T,2), (T,3),(T,4),(T,5),(T,6)

เหตการณทสนใจ = (H,5),(H,6)

(10) ไดสทชอบคอ สฟาหรอสชมพจากการสอบถามนางสาวสชาดาถงสของกระดาษเชดหนาท

ชอบสองสจากสทงหมด 5 ส คอ ขาว ฟา ชมพ เขยว และเหลอง

ผลทเกดขน ขาว, ฟา, ชมพ, เขยว, เหลอง

เหตการณทสนใจ ฟา, ชมพ

1. ถา S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Ε1 = { 0, 2, 4, 6, 8 }

Ε2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 }

Ε3 ={ 2, 3, 4, 5 }

และ Ε4 = { 1, 6, 7 }

จงหาสมาชกของ S ทอยในเหตการณตอไปน

(2) Ε1 Ε3 = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8,} (2) Ε1 Ε2 = { }

(3) Ε′3 = {0, 1, 6, 7, 8, 9} (4) ( ) ΕΕΕ′ 243 = {1}

(5) ( )′Ε3S = {0, 1, 6, 7, 8} (6) ( ) Ε′Ε′Ε′ 321 = { }

2. จากเหตการณ Ε1 , Ε2 , Ε3 ในขอ 2 จงเขยนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแสดงเหตการณตอไปน

(1)Ε1 Ε′2 = {0, 2, 4, 6, 8}

(2) ( )′ΕΕ 21 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

(3) ( ) ΕΕΕ 231

243

3. ในการสารวจอายของผปวยแผนกเดก (อายไมเกน 15 ป ) ของโรงพยาบาลแหงหนง

ถา Ε1 เปนเหตการณทผปวยมอายตงแต 1 ถง 9 ป

Ε2 เปนเหตการณทผปวยมอายนอยกวา 5 ป

และ Ε3 เปนเหตการณทผปวยมอายมากกวา 9 ป

จงหา (1)Ε1 Ε2 เปนเหตการณทผปวยมอายนอยกวา 9 ป

(2) Ε1 Ε2 เปนเหตการณทผปวยทอายตงแต 1 ป ถงอายนอยกวา 5 ป

(3) ( ) ΕΕΕ 231 เปนเหตการณทผปวยมอายตงแตเกดจนตาย

(4) Ε2 Ε3 เปนเหตการณทผปวยอายนอยกวา 5 ป และอายมากกวา 9 ป

5 ในการจบสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซงมเลข 0 ถง 9 กากบอย ถาสนใจเลขทเขยนกากบไวในสลากใบทจบ

ได โดยให

Ε1 เปนเหตการณทเลขทเขยนกากบไวเปนจานวนค

Ε2 เปนเหตการณทเลขทเขยนกากบไวเปนจานวนค

Ε3 เปนเหตการณทเลขทเขยนกากบไวเปนจานวนเฉพาะ

Ε4 เปนเหตการณทเลขทเขยนกากบไวเปนจานวนทหารดวย 3 ลงตว

จงเขยนเหตการณตอไปนในรป Ε1 , Ε2 , Ε3 หรอ Ε4 พรอมทงแจกแจงสมาชกเมอ

(5) เลขทเขยนกากบไวเปนจานวนคหรอคหรอจานวนเฉพาะ

Ε = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

(6) เลขทเขยนกากบไวเปนจานวนเฉพาะทหารดวย 3 ลงตว

Ε = { 3 }

(7) เลขทเขยนกากบไวไมเปนจานวนค และไมเปนจานวนทหารดวย 3 ลงตว

Ε = {0, 2, 4, 6, 8} {1, 2, 4, 5, 7, 8}

(8) เลขทเขยนกากบไวเปนจานวนคทเปนจานวนเฉพาะหรอจานวน

Ε = { }

244

แบบฝกหดท 3

1. ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนของเหตการณ และสรปถงโอกาสทจะเกดขนวามมาก

หรอนอยเพยงใด

1. ไดแตม 4

E แทนเหตการณทโยนลกเตา 1 ลก หงายแตม 4

167.06

1)( ==EP

เหตการณนมโอกาสเกดขนนอยมาก

4. ไดแตมค

E แทนเหตการณทโยนลกเตา 1 ลกไดแตมค

2

1

6

3)( ==EP

เหตการณนมโอกาสเกดขนและไมเกดขนเทา ๆ กน หรอมโอกาสเกดรอยละ 50%

5. ไดแตมมากกวา 4

E แทนเหตการณทโยนลกเตา 1 ลก ไดแตมมากกวา 4

33.03

1

6

2)( ===EP

เหตการณนมโอกาสเกดนอย

6. ไดแตมนอยกวา 7

E แทนเหตการณทโยนลกเตา 1 ลก ไดแตมนอยกวา 7

16

6)( ==EP

เหตการณนมโอกาสเกดขนแนนอน

7. ไดแตมมากกวา 0

E แทนเหตการณทโยนลกเตา 1 ลก ไดแตมมากกวา 0

16

6)( ==EP

8. ไดแตมมากกวา 6 หรอเปนแตมค

E1 แทนเหตการณทโยนลกเตา 1 ลก ไดแตมมากกวา 6 หรอแตมค

E2 แทนเหตการณทโยนลกเตา 1 ลก ไดแตมค

5.02

1

6

3)( 21 ===EEP

เหตการณนมโอกาสเกดขน 50%

245

7. ไดแตมมากกวา 3 และเปนแตมค

E1 แทนเหตการณทโยนลกเตา 1 ลก ไดแตม > 3

E2 แทนเหตการณทโยนลกเตา 1 ลก ไดแตมค

166.06

1)( 21 ==EEP

เหตการณนมโอกาสเกดขนนอยมาก

2. ทอดลกเตา 2 ลกสองครง ความนาจะเปนทจะไดแตมรวมเปน 7 ในครงแรกและไดแตมรวมเปน 10 ใน

ครงท 2 เทากบเทาใด

E1 แทนการทอดลกเตา 2 ลก ไดแตมรวมเปน 7

E2 แทนการทอดลกเตา 2 ลก ไดแตมรวมเปน 10

166.06

1

36

2

36

3)( 21 ==×=EEP

เหตการณนมโอกาสเกดนอยมาก

3. ชางกอสรางกลมหนงม 10 คน ประกอบดวย ชางปน 6 คน และชางไม 4 คน ถาตองการเลอกชาง 7 คน

จากกลมน ความนาจะเปนทจะไดชางปน 4 คน และชางไม 3 คน เทากบเทาใด

4. กลองใบหนงบรรจหลอดไฟสแดง 6 หลอดซงเปนหลอดด 4 หลอและหลอดไฟสนาเงน 4 หลอด ซงเปน

หลอดด 2 หลอด ในการสมหยบหลอดไฟครงละ 1 หลอด 2 ครง แบบไมใสคน ความนาจะเปนทจะได

หลอดไฟสเดยวกน และเปนหลอดดทงสองครง มคาเทากบเทาใด

5. กลองใบหนงมลกบอลสแดง 3 ลก และสขาวจานวนหนง โดยทจานวนวธการหยบลกบอล 2 ลก เปนลก

บอลสเหมอนกน เทากบ 9 ถาสมหยบลกบอลพรอมพน 2 ลก แลวความนาจะเปนทจะไดลกบอลสขาวทง 2

ลกเทากบเทาใด

246

เฉลย บทท 9

การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ

แบบฝกหดท 1

1. ศภางคไดรบเงนเดอน ๆ ละ 9,000 บาท กาหนดเวลาทางานตามปกตวนละ 8 ชวโมง

ดงนน ศภางคจะมรายไดวนละ 30

9,000 = 300 บาท

และศภางคมรายไดชวโมงละ 8

300 = 37.50 บาท

2.

เดอนธนวาคม

อาทตย จนทร องคาร พธ พฤหส ศกร เสาร

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31

เดอนธนวาคม สภาพไดรบคาจางในวนทางาน 19 วน

และมสทธไดรบคาจางในวนหยดตามปกต 3 วน

และไดคาจางวนละ 370 บาท

ดงนน สภาพไดรบคาจางเดอนธนวาคม = (19 + 3) × 370

= 8,140 บาท

247

3.

เดอนสงหาคม

อาทตย จนทร องคาร พธ พฤหส ศกร เสาร

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31

ธดามรายไดเดอนละ 12,000 บาท ทางานวนละ 8 ชวโมง

คาจางทไดรบชวโมงละ = 308

12,000

× = 50 บาท

ธดามสทธไดรบคาจางในวนหยดทกประเภท จงไดรบคาจาง เมอมาทางานในวนหยดตามประเพณ

อก 1 เทา ทางานในวนหยดตามประเพณ 1 วน ๆ ละ 8 ชวโมง

ดงนน ทางานในวนหยดคดเปน 8 ชวโมง

ธดาไดรบคาจางในวนหยด = 1 ×50 × 8

= 400 บาท

ทางานวนเสาร ซงเปนวนหยดประจาสปดาห จะไดรบคาทางานในวนหยด 2 เทา ของคาจางใน

วนทางาน

ทางานวนเสาร 4 วน ๆละ 3 ชวโมง = 4 × 3

= 12 ชวโมง

ดงนน จะไดรบคาจางในวนเสาร = 2 ×50 ×12

= 1,200 บาท

จะไดรบคาทางานในวนหยดทงสน = 400 + 1,200

= 1,600 บาท

และจะไดรบคาจางทงหมดของเดอนสงหาคม = 12,000 + 1,600

= 13,600 บาท

248

4.

บญชแสดงรายรบ – รายจายของ...................................

ใน 1 สปดาห

วน เดอน ป รายการรบ จานวนเงน

วน เดอน ป รายการจาย จานวนเงน

บาท สต. บาท สต.

6 พ.ย. 54 รบเงนคาจางจากการ

ทางาน 1 สปดาห

วนละ 300 บาท เปนเงน

2,100 - 6 พ.ย. 54

7 พ.ย. 54

8 พ.ย. 54

9 พ.ย. 54

10 พ.ย. 54

11 พ.ย. 54

12 พ.ย. 54

คารถประจาทาง

คาอาหาร

คารถ

คาอาหาร

คาโทรศพท

คารถ

คาอาหาร

คานา คาไฟฟา

คารถ

คาอาหาร

คารถ

คาอาหาร

คาหนงสอ

คารถ

คาอาหาร

คาเสอผา

คารถ

คาอาหาร

คาโทรศพท

44

120

44

120

100

44

120

150

44

100

44

110

50

44

150

299

44

115

50

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

รวมรายรบ 2,100 - รวมรายจาย 1,792 -

ยอดคงเหลอยกไป 308 -

249

5. คานายหนาในการขาย = 45,000100

30×

= 13,500 บาท

ดงนน อญชลไดเงนคานายหนา 13,500 บาท

6. เงนปนผลตอหนของหนปรมสทธ = อตราเงนปนผล × มลคาหนปรมสทธ

= 5% × 160

= 160100

5×

= 8 บาท

แตพจมานมหนปรมสทธทงหมด 1,500 หน

ดงนน พจมานจะไดเงนปนผลทงสน = 8 × 1,500 = 12,000 บาท

7. สภทราไดดาเนนการ ดงน

1. สมกลมตวอยางวยรน จานวน 50 คน

2. สอบถามกลมตวอยางทง 50 คน เรองสของขวดบรรจแชมพไดขอสรปดงน

ส ความถ

สฟา

สชมพ

สขาว

15

32

3

รวม 50

3. เนองจากเปนการสารวจความนยมของกลมตวอยาง ถาเปนคาสถตทใช คอ คาฐานนยม (Mode)

จากแบบฝกหด คาฐานนยม คอ สชมพ เพราะกลมตวอยางนยมมากทสด (ความถ = 32)

4. นาขอมลจากขอ 2 มานาเสนอโดยใชแผนภมแทง

0

5

10

15

20

25

30

35

สฟา สชมพ สขาว

สฟา

สชมพ

สขาว

250

8. วธทา นายศกดมเงนไดพงประเมน = 25,000 × 12 = 300,000 บาท

หก คาใชจายไดรอยละ 40 ของเงนไดพงประเมนแตไมเกน 60,000 บาท

คาใชจาย 300,000100

40× = 120,000 บาท

แตคาใชจายของนายศกดคานวณได 120,000 บาท แตสามารถหกไดแค 60,000 บาทเทานน

หก คาลดหยอน

ผมเงนได 30,000 บาท

คาเบยประกนชวต 50,000 บาท

คาเบยประกนสขภาพของมารดานายศกด 20,000 บาท

รวมหกคาลดหยอนได = 30,000 + 50,000 + 20,000 = 100,000 บาท

เงนไดสทธของนายศกด = เงนไดพงประเมน – (หกคาใชจาย + หกคาลดหยอน)

= 300,000 – (60,000 + 100,000)

= 140,000 บาท

ตามตารางอตราการเสยภาษเงนไดบคคลธรรมดา

เงนได 0 – 150,000 บาท ไมตองเสยภาษเงนได

∴ นายศกดไมตองเสยภาษ เพราะมเงนไดสทธ 140,000 บาท ไดรบการยกเวนภาษ แตตองยนแบบ

แสดงรายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา (ภ.ง.ด. 91)

9. วธทา พนทแผนไวทลทใชโฆษณา = กวาง × ยาว

= 0.9 × 1.8 = 1.62 ตารางเมตร

คาจดทา = 1.62 × 250 = 405 บาท

∴ จะตองจายเงนทงหมด = คาจดทา + คาออกแบบ

= 405 + 500 = 905 บาท

251

คณะผจดทา

ทปรกษา

1. นายประเสรฐ บญเรอง เลขาธการ กศน.

2. ดร.ชยยศ อมสวรรณ รองเลขาธการ กศน.

3. นายวชรนทร จาป รองเลขาธการ กศน.

4. ดร.ทองอย แกวไทรฮะ ทปรกษาดานการพฒนาหลกสตร กศน.

5. นางรกขณา ตณฑวฑโฒ ผอานวยการกลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผเขยนและเรยบเรยง

1. นายไชโย มวงบญม ขาราชการบานาญ

2. นางสาวกรณา ตตยรตนาภรณ ขาราชการบานาญ

ผบรรณาธการ และพฒนาปรบปรง

1. นายชมพล หนสง ขาราชการบานาญ

2. นายไชโย มวงบญม ขาราชการบานาญ

3. นางสาวสรนธร นาคคม สานกงาน กศน. จ.สมทรสาคร

4. นางสาวบบฮารา สะมท สานกงาน กศน. จ.สมทรสาคร

5. นายสรพงษ มนมะโน กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

6. นางพรทพย กลารบ ขาราชการบานาญ

คณะทางาน

1. นายสรพงษ มนมะโน กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

2. นายศภโชค ศรรตนศลป กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

3. นางสาววรรณพร ปทมานนท กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

4. นางสาวศรญญา กลประดษฐ กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

5. นางสาวเพชรนทร เหลองจตวฒนา กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผพมพตนฉบบ

นางสาวเพชรนทร เหลองจตวฒนา กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผออกแบบปก

นายศภโชค ศรรตนศลป กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

252

คณะผพฒนาและปรบปรงครงท 2 ทปรกษา

1. นายประเสรฐ บญเรอง เลขาธการ กศน.

2. ดร.ชยยศ อมสวรรณ รองเลขาธการ กศน.

3. นายวชรนทร จาป รองเลขาธการ กศน.

4. นางวทน จนทรโอกล ผเชยวชาญเฉพาะดานพฒนาสอการเรยนการสอน

5. นางชลพร ผาตนนนาท ผเชยวชาญเฉพาะดานเผยแพรทางการศกษา

6. นางอญชล ธรรมวธกล หวหนาหนวยศกษานเทศก

7. นางศทธน งามเขตต ผอานวยการกลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

ผพฒนาและปรบปรงครงท 2

1. นางจารพร พทธวรยากร ศนยเทคโนโลยทางการศกษา

2. น.ส.วรวรรณ เบญจนรตน ขาราชการบานาญ สานกงาน กศน.

3. นางพรรณทพา ชนชชวาล กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

4. น.ส.เบญจวรรณ อาไพศร กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน

5. นางสาวปยวด คะเนสม กลมพฒนาการศกษานอกโรงเรยน