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カメラの内部パラメータ
１．カメラの焦点距離
画像センサーの１画素の横・縦幅はそれぞれ
wミリ,hミリとすると，画素の単位で表す画像上の点の座標(x,y)をミリ単位の座標 に変換できる。
（１）
カメラのレンズの焦点距離はfミリ，３次元点の座標は(X,Y,Z)（単位はミリ）とすると、画像上のその点の像の座標
（２）
),( mm yx
hyywxx
m
m
ZYfyZXfx
m
m
１．カメラの焦点距離（続き１）
式（１）より、画像上の画素単位で表す点の座標
（３）
式（３）に式（２）を代入すると
（４）
hyywxx
m
m
ZY
hfy
ZX
wfx
１．カメラの焦点距離（続き２）
式（４）の中の，f/w, f/hは，画素の横幅、縦幅を単位で表す焦点距離である。それぞれ次のように表すと
（５）
式（４）は次のようになる。
（６）
hffwff
h
w
ZYfyZXfx
h
w
１．カメラの焦点距離（続き３）
一方，理想的なピンホールカメラの投影式は
（７）
なので、画像上の像と理想的なピンホールカメラ上の像との関係は次のようになる。
（８）
XYyZXx
i
i
ih
iw
yfyxfx
２．画像の原点の位置
デジタル画像の画像座標系の原点の位置は、一般的に、画像中心（光軸と画像平面との交点）と同じではない。
画像上の像の座標を （画素）とし、画像中心の座標を 画素とすると、画像中心を原点とする像の座標は、
（９）
式８と式９を統合すると、
（１０）
),( cc yx
yc
xc
oyyoxx
),( yx oo
yihc
xiwc
oyfyoxfx
練習問題１：
レンズの焦点距離＝５０mm，イメージセンサの大きさ＝36ｘ24ミリ，画像の原点は、イメージセンサの左下の角で、画像中心はイメージセンサの中心とする。イメージセンサの画素数＝3072x2048画素とする。このカメラの投影式と、画像上の像と理想のピンホールカメラの像との関係を求めなさい。
同次座標：実数を分数で表わす表現法
1次元の座標：
２次元の座標： 注意：二つの分数の
分母が共通である。
３次元の座標：
WX
WXx
WYX
WYWX
yx
WZYX
WZWYWX
zyx
同次座標表現の同値関係
仮に、ある2次元座標の同次座標表現を p とする。
すると、pの2次元座標xとyは次のようになる。
では、pをk倍(k≠0)にしたもの の2次元座標は？
これは、pの2次元座標と同じである。
WYWX
yx
WYX
p
kWkYkX
WYX
kkp
WYWX
kWkYkWkX
yx
同次座標表現の同値関係（続き）
つまり、 pはある2次元座標の同次座標表現であれば、pをk倍にしたもの(kp)が表す2次元座標はpと同じである。
二つの同次座標aとbが表す2次元座標は等しければ、 a とbは同値といい、 aとbの関係を同値関係といい、次のように表記する。
pと kp(k≠0)は同じ2次元座標を表すので、
pp k~
ba ~
同次座標による無限遠の表現
2次元の点
W=0の時
(X,Y,0)は通常の3次元の点であり、通常の光線を定義してい
る。
TWYXp
O X
Y
W (=Z)
x
yW=1
(X, Y, 0)
しかし、 (X,Y,0)はW=1平面と平行しているので、有限の交差
点は存在しないために、
その光線と対応している有限の画素が存在しない。
従って、このような光線あるいは同次座標は、2次元平面上の有限の点として解釈できないが、
それは「空想的な点」あるいは、ある方向で無限遠に後退して点と見なすことができる。
)0,,(),,(lim~1,,lim00
YXWYXWY
WX
WW
2次元の直線の「座標」：
2次元平面上の直線は次のように表すことができる。
（１）
同次座標表現を用いて上記の式を書き換えると、
（２）
この式をベクトルの形で表すと、
（３）
式（３）は、二つのベクトル(a,b,c)と(X,Y,W)が互いに垂直
（直交）していることを表す。
つまり、直線は「点」と同様に、一つの３次元（要素）のベクトルで表すことができる。
0),,(),,( WYXcba
0 cbyax
0 cWbYaX
直線の方程式（式３）の幾何学解釈：
平面の法線：
ベクトル(a,b,c)と垂直し、原点を通るすべての直線は一つ
の平面を形成する。その平面上の点は
を満たす。その平面とT=1の平面との交差線も上記の式で表
すことができる。
0),,(),,( TYXcba
O X
Y
W
x
y
(a,b,c)
(X,Y,W)
aX+bY+cW =0
ax+by+c=0
W=1
0),,(),,( WYXcba
無限遠直線
もし、(a,b,c)は(0,0,1)であれば、特別な直線 W=0 が得られ、
それは「無限遠点」のみを含む。その直線は無限遠にある直
線と呼ばれる。
3次元空間における同次座標表現
3次元の点が4個の同次座標で表すことができる
そして、「無限遠にある平面」W=0を追加して、その平面は
すべての方向の「空想な無限遠点」(X,Y,Z,0)を含む。
これ（同次座標表現）は一見無駄のように見えるが、3次元の視覚の再構築には自然の形で表現することができるので、よく勉強する価値がある。
1,,,~),,,(~),,,(
WZ
WY
WXWZYXWZYX
同次座標の利点
１．平面の方程式２次元空間内の直線を表す方法と同様に、3次元空間内の
平面は二つのベクトルの内積で表すことができる：平面の方程式： ax+by+cz+d=0
0 P
WZYX
P
二つの4次元ベクトルとPを次のように定義すると、平面
の方程式は非常に簡潔な形になる。
dcba
2次元の平行移動変換：
点P(x,y)をX方向にa,Y方向にbを移動させる変換の（非同次
座標表現）式：
byyaxx
''
TYX
ba
TYX
1001001
'''
練習：
上記の変換は、点Pの同次座標表現の列ベクトルに下記の
行列を掛けることと等価であることを示しなさい。
2次元の回転変換：
点P(x,y)を反時計まわりにを回転する変換の（非同次座標
表現）式：
cossin'sincos'
yxyyxx
TYX
TYX
1000cossin0sincos
'''
練習：
上記の変換は、点Pの同次座標表現の列ベクトルに下記の
行列を掛けることと等価であることを示しなさい。
byxyayxx
cossin'sincos'
練習：
点Pを反時計まわりにを回転してから、X方向にa, Y方向にbを移動する変換行列を（同次座標表現で）書きなさい。
O o
yY
X
Z
x
Z=1
I=(x,y)
投影中心 投影面
P=(X, Y, Z, W)
ピンホールカメラモデルの投影式（同次座標表現）
Pの3次元座標： 同次座標 Iの2次元座標 ：同次座標
WZWYWX
///
p
ZYZX
WZWYWZWX
yx
I
////
ZYX
WZYX
ピンホールカメラモデルの投影式（同次座標表現）
Iの同次座標： Pの同次座標：
ZYX
I
WZYX
P
PI
010000100001
従って、Pの像Iの同次座標は次の式で表現できる
ピンホールカメラモデルの投影式（続き）
ピンホールカメラモデルの投影式を次のようになる。
010000100001
pM
上の式の中の行列を次のように表現すると、
PI
010000100001
PMI p
焦点距離 のピンホールカメラの投影式
~1
y
xPMf
f
ZYX
ff
ZYfXf
ph
w
h
w
h
w
1000000
1000000
ZYfyZXfx
h
w
とすると、投影式は次のようになる
1f
1000000
h
w
f ff
M
ZYfXf
I h
w
f
PMMI pff
yh
xw
oZYfy
oZXfx
1001001
y
x
c oo
M
焦点距離 画像の中心が原点と異なる場合の投影式1f
~1
y
x
ZYX
ff
oo
ZZoYfZoXf
h
w
y
x
yh
xw
1000000
1001001
Z
ZoYfZoXf
I yh
xw
fcとすると、投影式は次のようになる
PMMMI pfcfc
1000
0
yh
xw
fci ofof
MMMとすると、投影式は次のようになる
PMI ifc
或いは
この式の中の は、カメラの内部パラメータ
が集約している。従って、行列 はカメラの
「内部パラメータ行列」という。
yh
xw
oZYfy
oZXfx
カメラの内部パラメータ行列
WZYX
ofof
ZZoYfZoXf
yh
xw
yh
xw
010000100001
1000
0
PMMI pi
1000
0
yh
xw
i ofof
M
カメラの投影変換は次の式で表現できる
iM
練習問題２：
練習問題１で求めたカメラの投影式から、そのカメラの内部パラメータ行列を求めなさい。
参考：練習問題１は次の通りである。
練習問題１
レンズの焦点距離＝５０mm，イメージセンサの大きさ＝36ｘ24ミリ，画像の原点は、イメージセンサの左下の角で、画像中心はイメージセンサの中心とする。イメージセンサの画素数＝3072x2048画素とする。このカメラの投影式と、画像上の像と理想のピンホールカメラの像との関係を求めなさい。
