一、引言

库存控制是供应链管理研究的重要环节，1915年Harris

第一次提出经济订购批量模型（EOQ）。EOQ为周期库存模

型的研究奠定了基础，很多学者基于该模型开展了相关研

究。郑惠莉等（2003）提出了需求和采购价均为时变的EOQ

模型，并给出了寻求最佳采购次数及服务水平的算法；张钦

等（2002）给出了基于Stackelberg博弈的EOQ模型。

但上述研究没有考虑“需求不确定”，不符合现实情况。

基于此，学者们开始从“需求不确定”角度进行深入研究。楼

润平等（2008）提出了需求不确定下的安全库存计算公式；钱

存华、苏苗泉（2011）提出了基于累积损伤过程的随机需求下

订购时间间隔模型；徐鹏、王勇（2011）给出了存货质押融资

业务下的经济订货批量模型；蒋昕等（2015）指出存货经济订

货批量“基本模型”理论上已经过时，给出了经济订货批量

“修正的基本模型”。

然而，已有研究没有考虑需求不确定与缺货损失成本这

两种条件同时作用的情况。本文针对需求率不确定条件下单

品种多周期最优订货批量和订货点问题进行研究，并得出通

解，为企业的随机库存管理提供理论依据和方法。

二、模型建立及求解

本文针对某一中小型零售商的单品种商品的多周期条

件下库存管理进行研究。由于较多的外界因素影响，产品需

求存在不确定性（本文假设其服从随机分布）。考虑产品的取

得成本、产品的库存成本及缺货成本，构建库存管理的总成

本为目标函数；通过优化分析，得出该条件下最优订货批量

与最优订货点。本文的模型允许缺货，且上一周期剩余的商

品可储存一个周期后补充到下一周期售出，作为补充下一周

期的商品来匹配需求。

文章涉及的参数说明具体如下：Q表示存货的每次进货

量；RL表示订货点，当库存降到此处时订货；TC表示总成

本；U表示单位产品的购入单价；F1表示订货一次的固定成

本；F2表示固定储存成本；D表示存货的总需求量；Kc表示变

动储存成本；Q'表示平均库存；d'表示需求率，由于客户需求

的不确定性，假设d' ~ u（a，b）均匀分布，a、b为常数；d表示需

求率期望，由 d'决定，这里为（b-a）/2；K表示每次订货的变

动成本；CS表示每缺货一个单位损失费用；LT表示订货提前

期，发出订单后货物到达所需时间。

目标函数为：

TC=F1+TdQ K+TdU+F2+

KC(Q+RL-LTd)2

+

CsTdQ

(bLT-RL)2

2(b - a) （1）

式（1）中：F1+TdQ K+TdU为取得成本，包括订货的固定

成本、订货的变动成本和购置成本；F2+KC(Q+RL-LTd)

2

为产品的库存成本，与存货数量有关，其中包括固定成本和

变动成本；CsTdQ

(bLT-RL)2

2(b - a) 为产品的缺货成本，与缺货量

有关。三者之和，就是周期内成总本TC。

求目标函数的一、二阶偏导数：

∂TC∂Q =-TdKQ2 + KC

2 - CSTd(bLT-RL)2

2Q2(b - a) ； ∂TC∂RL =Kc2 +

需求不确定情况下安全库存的设定决策

【摘要】本文在考虑缺货成本和需求不确定的情况下，建立了以库存成本最低为目标函数、以订货批量与订货点为决

策变量的决策模型；然后通过目标函数求解，证明了该模型为二维凹函数，并给出了最优解；最后，通过数值实例验证了该

模型的有效性。

【关键词】经济订货批量；需求不确定；订货点；安全库存

【中图分类号】F274 【文献标识码】A 【文章编号】1004-0994（2016）33-0101-3

王子豪，朱晓峰

【基金项目】 国家自然科学基金项目“面向大规模定制的复杂产品质量损失增量式模型”（项目编号：71171110）；国

家自然科学基金项目“技术范式转换预警的理论与方法”（项目编号：71473119）

2016.33 财会月刊·101·□

业务与技术□

CsTd(RL- bTL)Q(b- a) 。

；∂2TC∂RL2 =

CSTdQ(b- a) ；

∂2TC∂Q∂RL =-CSTd(RL- bLT)

Q2(b - a)。

求目标函数驻点：

令∂TC∂Q =0，∂TC∂RL =0。得方程组，且Q>0，RL>0，故求得

驻点：

ì

í

î

ïïïï

ïïïï

Q*= 8T2d2KCs

4KcCsTd-K2c(b - a)

RL* =bLT-Kc(b - a)

Cs

2KCs

4KcCsTd-K2c(b - a)

（2）

对驻点进行检验：

因为（ ∂2TC∂Q∂RL）2- ∂2TC∂Q2

∂2TC∂RL2 =- <0，且 ∂2TC

∂Q2

=CSTd

Q(b- a) >0，则目标函数在驻点处取得极小值。因此Q的取

值为Q∗，且RL的取值为RL∗时，TC取得最优解。

三、算例分析与仿真

假设 d' ~ u（0，160），T=100，K=240，Kc=3，Cs=3，LT=4，

因为 F1、F2、U均不影响最优解，所以这里不作讨论。通过计

算得出：Q∗=1134，RL∗=628。

Matlab仿真需求如图1所示。图1中横坐标为时间周期，

纵坐标为在对应时间内的需求率变化。通过仿真结果不难看

出，需求率杂乱没有规则。

图2为累计需求与时间周期的关系，横坐标为时间周期，

纵坐标为累计的需求量。由图2可知，尽管需求率没有特定的

规则，但是可以看出累计需求与时间正相关。这点为我们利

用改进的EOQ来建立模型提供了依据。

应用图 1和图 2数据，建立模型，设期初库存为一定值，

库存量会随着时间而减少，当库存量达到一定值时，提出订

货请求，经过一个订货提前期货物到达。图 3为Q∗=1134、

RL∗=628时的库存仿真变化图，与传统EOQ库存模型不同

的是：库存的下降速率在随机发生变化，在特定的时间库存

量降到零以下，但是在传统的EOQ模型中是不会允许缺货

的。图 3中库存成本仿真结果为 3614。将Q∗=1134、RL∗=628

代入式（1），计算结果为 3865。由于需求的不确定性，可以将

计算结果与仿真结果近似看作相互吻合。

为了模拟现实的决策，本文对订货批量与订货点同时进

行仿真模拟，其他参数不变。用Matlab运行160×160次，计算

出订货批量、订货点与成本的三维图如图4，即成本为订货批

量与点货点的凹图形。得出现实中存在一组与Q∗和RL∗相似

的最优解，为求得最优解提供了可能。

∂2TC∂Q2 = 2TdK

Q3 +CSTd(bLT-RL)2

Q3(b - a)

2T2d2KCS

Q4(b - a)

□业务与技术

□·102·财会月刊2016.33

图 1 周期需求

图 2 累计需求

图 3 库存变化

图 4 成本决策三维图

累计需求

周期

需求率

周期

库存量

周期

变动成本

订货批量订货点

令RL（订货点）不变，控制订货批量，其余参数不变，用

Matlab运行 1600次，计算并画出成本曲线，如图 5。可知成本

为订货批量的凹函数，且订货批量为 1200左右时成本最小。

在订货批量为（400，1200）的区间范围内，成本呈现不断减小

的趋势；在订货批量为（1200，2000）的区间范围内，成本呈现

不断增加的趋势。所以从图5可以得出，企业可以适当调节订

货批量，使其订货批量满足图5中的最优解，则可最大限度地

节约企业的成本。

仍令订货点不变，控制订货批量，改变K（每次订货的变

动成本），其余参数不变，用Matlab运行 1600次，计算并画出

三种不同K的库存成本曲线，如图6所示。从图6中的仿真结

果可以看出：①每次订货的变动成本与总成本呈现正相关关

系，每次订货的变动成本越高，则总成本越高；②每次订货的

变动成本越高，则目标函数的最优解Q∗越大。

令Q订货批量不变，控制订货点，其余参数不变，用Matlab

运行 1600次，计算并画出成本曲线，如图 7所示。从图 7中可

以看出，成本为订货点的凹函数，且在订货点为900左右时成

本最小。在订货点为（400，900）的区间内，成本呈现不断减小

的趋势；在订货点为（900，2000）的区间内，成本呈现不断增

加的趋势。所以从图7中可以得出，企业可以适当地调节订货

点，使其订货点满足图7中最优值，则可到最大限度地节约企

业成本。

图 8中的仿真训练为：控制Q订货批量不变，改变CS缺

货成本并控制订货点变化，其余参数不变。用 Matlab 运行

1600次，得出三种不同缺货成本的库存成本曲线。从图 8可

以看出：①缺货成本与总成本呈正相关关系，缺货成本越高，

则总成本越高；②缺货成本越高，则订货点越高。

四、结语

本文通过研究缺货成本、变动存储成本和订货成本这三

大影响因子，构建基于需求不确定性条件下的库存量设定模

型，从而生成多周期下的总库存成本函数。通过优化分析得

出，在需求不确定下考虑缺货成本的最优订货批量与订货

点，并讨论每次订货的变动成本与订货批量的关系、缺货成

本与订货点的关系。研究结果表明：①需求不确定的库存管

理，存在一对最优的订货批量与订货点，使得库存的总成本

最低，且总成本、订货批量、订货点三者为凹函数；②缺货成

本与订货点呈正相关关系，订货的变动成本与订货批量呈正

相关关系。

主要参考文献：

郑惠莉，达庆利．．一种需求和采购价均为时变的EOQ模

型［J］．．中国管理科学，2003（5）．．

钱存华，苏苗泉．．基于累积损伤过程的随机需求下订购

时间间隔模型［J］．．南京工业大学学报（自然科学版），2011（6）．．

作者单位：南京工业大学经济与管理学院，南京211816

楼润平，薛声家．．两个实用的安全库存公式［J］．．系统工

程，2008（12）．．

蒋昕，单昭祥．．存货决策之经济订货批量模型研究［J］．．

财会月刊，2015（3）．．

2016.33 财会月刊·103·□

业务与技术□

图 5 成本与订货批量曲线图

图 6 订货成本与总成本的关系曲线

图 8 缺货成本与总成本的关系曲线

图 7 总成本与订货点曲线

总成本

订货批量

库存变动成本

订货批量

总成本

订货点

总成本

订货点