О

1/

Martin GardnerAHA! INSIGHT

Scientific American. Inc./W. H. Freeman «nd CompanySan Francisco 1978

Мартин Гарднер

ЕСТЬ ИДЕЯ!

Перевод с английского

Ю. А. ДАНИЛОВА

МОСКВА «МИР» 1982

ББК 22.1Г 20УДК 51-8

Гарднер М.20 Есть идея!: Пер. с англ./Перевод Данило-

ва Ю. А. —М.: Мир, 1982.—305 с, ил.

Книга известного американского популяризатора науки Map*тниа Гарднера, посвященная поиску удачных идей для решений за-дач из области комбинаторики, геометрии, логики, теории чисел иигр со словами.

Рассчитана на самый широкий круг читателей.

Редакция научно-популярнойи научно-фантастической литературы

© 1978 by Scientific American, Ino»© Перевод на русский язык, «Мнр», 1982

Мартин Гарднер «ЕСТЬ ИДЕЯ!»

Старший научный редактор А. Ю, КирнйМладший научный редактор М. В. СурововаХудожник Л. М. МуратоваХудожественный редактор Л. Е. БезрученковТехнический редактор Е. С. ПотапенковаКорректор К- Л. Водяннцкая

ИБ № 2829.

Сдано в набор 18.06.81. Подписано к печати 04.И.81. Формат 84Х1081/,,.Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая.Объем 4,75. Усл. печ. л. 15,96. Усл. кр.-отт. 16,36. Уч.-иад л. 13,34.Изд. № 12/1630. Тираж 100 000 экз. Зак. 1184. Цеиа 70 к»

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2.

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена ТрудовогоКрасного Знамени Ленинградского объединения „Техническая книга" им.Евгении Соколовой Союзполмграфпрома при Государственном комитете СССРпо делам издательств, полиграфин и книжной торговли. 198052, г. Ленинград,Л-52, Измавловскнй проспект, 29.

От переводчика

Причудливая логика научного открытия далекаот логики формальной, а обстоятельства, сопутствую-щие прорыву на более высокую ступень познания,далеко не всегда соответствуют важности момента.Скрытая работа мысли происходит не только, в тишикабинета, у чертежной доски и в рабочее время,но и в самой, казалось бы, неподходящей обстановке,и малейшего толчка извне иногда бывает достаточно,чтобы сумерки ожидания осветились яркой вспышкоймгновенного озарения и разрозненные фрагментызагадочной мозаики сложились в единую картину.

Кто не слышал о яблоке Ньютона, о паутинке,подсказавшей конструкцию сказочно легкого подвес-ного моста, об Эйнштейне, лихорадочно делающемвыкладки на обратной стороне подвернувшегося подруку старого конверта? Из воспоминаний Пуанкаремы знаем, что долго не дававшееся ему доказатель-ство важной теоремы из теории автоморфных функ-ций неожиданно было найдено, когда он занес былоногу на ступеньку автобуса. Из воспоминанийП. С. Александрова мы узнаём о том, как П. С. Уры-сон решил задачу, поставленную перед ним Д. Ф. Его-ровым: дать топологическое определение линии л ло-верхности. После двух месяцев напряженных раз-мышлений П. С. Урысон «проснулся с готовым,окончательным и всем теперь хорошо известнымопределением размерности. Произошло это в деревнеБурково, вблизи Болшево, на берегу реки Клязьмы...В то же утро, во время купания в Клязьме,П. С. Урысон рассказал мне [П. С. Александрову]]свое определение размерности и тут же, во времяэтото разговора, затянувшегося на несколько часов,набросал план всего построения теории размерностис целым рядом теорем, бывших тогда гипотезами, закоторые неизвестно было как взяться и которые за-тем доказывались одна за другой в течение последу-ющих месяцев».

Проблемам психологии творческого акта в мате-матике посвящена обширная литература, созданнаятрудами Ж- Адамара и А. Пуанкаре, Д. Гильбертаи Дж. фон Неймана, Г. Харди и Д. Пойа, а такжемногих других математиков, философов и психоло-гов. Теперь она пополнилась книгой Мартина Гард-нера «Есть идея!»

Замечательный американский популяризатор, быв-ший до недавнего времени бессменным редакторомраздела «Математические игры» в журнале Scienti-fic American, M. Гарднер во многом определил лицосовременной занимательной математики, наполнив ееновым содержанием и максимально приблизив к ма-тематике серьезной. Книга «Есть идея!» выдержанав лучших, подлинно «гарднеровских» традициях. Ееотличает тщательный и умелый подбор материала,яркая занимательность формы, доступность и под-линная популярность, насыщенность новыми поста-новками задач, призванными пробудить творческиесилы читателя, стимулировать его к самостоятельнойработе, приобщить к радости открытия нового.

М. Гарднер не следует ни одному из своих пред-шественников. Он не предлагает читателю схемыправдоподобных рассуждений, подкрепленных инте-реснейшими примерами индуктивных умозаключенийиз математического творчества Леонарда Эйлера, какД. Пойа, не делится своими соображениями о приро-де математики и математических доказательств, какГ. Вейль и Дж. фон Нейман, не углубляется в пси-хологию математического открытия, как Ж. Адамари А. Пуанкаре. М. Гарднер учит читателя тому, чему,казалось бы, невозможно учить: высокому искусствунешаблонного, или, как предпочитает говорить самГарднер, «нелинейного» мышления, учит не расска-зом, а показом, давая пищу не только уму, но и серд-цу, вовлекая в игру, заставляя решать удивительныепо красоте задачи, предлагая увлекательные темыдля дальнейших размышлений.

Можно надеяться, что для нашего читателя встре-ча с новой книгой М. Гарднера станет таким жепраздником, какими были встречи с его предыдущи-ми книгами.

Ю. Данилов

Предисловие

«Творческий акт имеет малообщего с логикой или рацио-нальными рассуждениями.Вспоминая обстоятельства, прикоторых их озарила блестящаяидея, математики нередко от-мечали, что вдохновение неимело прямого отношения ктому, чем они в это время за-нимались. Иногда озарение на-ступало в тот момент, когдачеловек ехал в транспорте,брился илн размышлял о чем-ннбудь другом. Творческийпроцесс нельзя по желанию до-вести до наивысшей точки илипродлить самыми радужнымипосулами. Ои проистекает осо-бенно успешно, когда разумпредается праздности и вооб-ражение свободно расправляеткрылья.»

Моррис КлайнScientific American,

март 1955 г.

Психологи-экспериментаторы любят рассказыватьисторию об одном профессоре, который изучал спо-собность шимпанзе решать задачи. В центре комнатык потолку достаточно высоко, чтобы обезьяна, под-прыгнув, не могла достать его, был подвешен банан.В комнате не было ничего, кроме нескольких ящиковиз-под фруктов, разбросанных как попало. Тест за-ключался в том, чтобы проверить, догадается лишимпанзе составить из ящиков пирамиду в центрекомнаты, взобраться на вершину пирамиды и схва-тить банан.

Обезьяна тихо сидела в углу, наблюдая за тем,как экспериментатор расставляет ящики по комнате.

Она терпеливо ждала, пока профессор не оказалсяпосредине комнаты, и, когда тот проходил под бана-ном, внезапно вспрыгнула ему на плечи и, оттол-кнувшись от него, взмыла в воздух, схватила банани была такова.

Мораль этой юмористической истории понять не-трудно: задача, которая кажется нам трудной, можетИметь неожиданно простое решение. Обезьяна могларуководствоваться природным инстинктом или нако-пленным опытом, но главное в том, что она сумеланайти прямое решение задачи, которое ускользнулоот вттшгтгя профессора.

Суть математики — непрестанный поиск все болеевроетьих «пособ©в доказательства теорем и решениязадач. Мережко первое доказательство какой-нибудьтеоремы требует Ц'ел-ой статьи объемом в 50 страницубористого текста, доступного лишь посвященным.A че^еа несколько лет другому математику, бытьможет даже менее знаменитому, приходит в головублестящая идея, позволяющая упростить и сократитьдоказательство настолько, что оно умещается в не«скольких сягрш&х.

Озаренья такег© рода, приводящие к кратким,изящным- рептентпш, привлекали и продолжают при-влекать внимание психологов. Наступают они вне-

запно, как гром ереди ясного неба, Широкой изве-стностью, пользуется история о том, как ирландскийматематик Уильям Роуэн Гамильтон, возвращаяськак-то вечером домой, изобрел на мосту кватернио-ны. Он внезапно понял, что в арифметической сис-теме коммутативный закон отнюдь не обязательно'должен, выполняться. Рассказывают, что эта мысльнастолько поразила Гамильтона, что он остановилсяна мосту как вкопанный и нацарапал основные фор-мулы алгебры кватернионов на каменных перилах,«Высеченные в камне», эти формулы и Польше укра-шают исторический мост.

Что именно происходит в мозгу творческой лично-сти, когда на нее нисходит озарение? Этого не знаетпока никто. Озарение, взлет, интуитивное постижениеистины — процесс довольно загадочный, не поддаю-щийся попыткам расчленить его на составные частии воспроизвести при помощи ЭВМ, Современные

8

ЭВМ решают задачи, автоматически шаг за шагомвыполняя огромнее количество операций в соответ*ствии с командами, записанными в программе. Лишьневероятные скорости, с которыми ЭВМ выполняютэлементарные операции, позволяют современнымЭВМ решать некоторые задачи, остающиеся непо-сильными для человека, так как решение таких задачпотребовало бы от него несколько тысяч лет безоста-новочных вычислений.

Внезапное озарение, творческий взлет разума,перед которым, как при вспышке молнии, открывает-ся простой и короткий путь к решению задачи, посамой своей природе выделяется на фоне общего тем-на развития. Как показали последние исследования,личности с особо сильной склонностью к такого родаозарениям обладают средним уровнем развития иникакой корреляции между высоким уровнем разви-тия и способностью интуитивно постигать истину,по-видимому, не существует. Человек может обла-дать высоким I. Q.*, измеряемым по обычнымтестам, и более чем скромными способностями к не-стандартному мышлению. С другой стороны, люди,не блещущие в остальном особыми талантами, могутобладать весьма ярко выраженной способностьюк озарению. Например, Эйнштейн не отличался осо-бенно глубокими познаниями в математике, и егооценки и в гимназии, и в цюрихском Политехникумеоставляли желать много лучшего. Тем не менеевзлеты творческой фантазии, которые привели егок созданию общей теории относительности, былинастолько мощными, что полностью революционизи-ровали физику.

В этой книге перед вами предстанет тщательноподобранная система задач, которые кажутся труд-ными и действительно трудны, если пытаться решатьих традиционными методами. Но стоит лишь вамизбавиться от оков традиционного мышления и вос-парить до высот озарения, как перед вами откроются

* О тестах интеллектуальных способностей (I.Q.) см., на-пример, в книге: Айзенк Г. Проверьте свои способности. — М.:Мир, 1972.

9

простые и ясные решения. Не следует особо огор-чаться, если сначала задачи будут упорно не подда-ваться решению. Не заглядывайте в ответ до техпор, пока вам не удастся самостоятельно решить за-дачу. Постепенно вы постигнете дух оригинального,«нелинейного» мышления и, возможно, с удивлениемпочувствуете, что озарение стало нисходить на васчаще, чем прежде. Если это произойдет, то довольноскоро вы обнаружите, что ваше умение находитьнестандартные решения оказывается полезным вомногих ситуациях, с которыми вы сталкиваетесь в по-вседневной жизни. Предположим, например, чтотребуется подтянуть ослабевший винт. Нужно ли не-пременно отправляться за отверткой или можно с ус-пехом обойтись оказавшейся под рукой мелкой моне^той?

Немалое удовольствие вы получите, предлагая за-дачи из нашего сборника своим друзьям и знакомым.Во многих случаях они будут долго размышлять надпредложенной вами задачей, пока наконец не при-знают себя побежденными, а задачу безнадежнотрудной. Когда же вы покажете им, что задача ре-шается очень просто, они, без сомнения, получатбольшое удовольствие. Не исключено, что озарениякаким-то образом связаны с удовольствием, получае-мым от игры. Тот, кто умеет находить нестандартныерешения, при встрече с головоломкой или труднойзадачей испытывает радость, сравнимую с той, кото-рая знакома любителям бейсбола или шахмат. Духигры, по-видимому, предрасполагает к озарениям,позволяющим находить оригинальные решения.

Способность к нестандартному мышлению отнюдьне обязательно коррелирует с быстротой соображе-ния. Тугодумы могут получать удовольствие от зада-чи ничуть не меньше тех, кто схватывает все на лету,и при поиске неожиданных решений могут оказатьсясильнее «скородумов». Возможно, что удовольствие,получаемое при нестандартном решении задачи, по-будит кого-нибудь к более глубокому изучению тра-диционных методов решения. Эта книга предназна-чена для любого читателя, наделенного чувствомюмора и способностью понимать задачи.

10

Несомненно, существует тесная взаимосвязь междуозарениями и творческой деятельностью в науке,искусстве и любой другой области человеческой дея-тельности. Великие революции в науке почти всегдабыли и будут следствием неожиданного интуитивногопостижения истины. Что такое наука, как не систе-матические попытки ученых решать те трудные зада-чи, которые поставила перед ними природа? Природабросает вызов любознательности ученого, которыйпытается понять, как именно и почему происходитв природе то или иное явление. Ни изнурительныйметод проб и ошибок, которым Эдисон подбиралподходящий материал для волоска своей электриче-ской лампы, ни даже дедуктивные рассуждения, опи-рающиеся на соответствующие знания, во многихслучаях не позволяют решить задачу. Решение, какправило, открывается неожиданно, и его по правуможно было бы назвать решением типа «Эврика».Восклицание «Эврика!» («Нашел!») заимствованонами из древней легенды о том, как Архимед, сидяв ванне, открыл способ, позволяющий определить,сколько золота утаили мастера при изготовлениикороны царя Сиракуз.,Рассказывают, будто Архимедтак обрадовался своему открытию, что выскочил изванны и, забыв об одежде, бросился бежать по ули-це, крича: «Эврика! Эврика!»

Собранные в книге задачи разделены на шестькатегорий: комбинаторные, геометрические, теорети-ко-числовые, логические, процедурные и словесные.Это категории не взаимоисключающие, они неизбеж-но перекрываются, и задачи, отнесенные намик одной из них, можно было бы включить и в дру-гие. Каждую задачу мы стремились облечь в формукакой-нибудь забавной истории, чтобы создать у чи-тателя приятное настроение и тем самым вовлечьего в игру. Мы надеялись, что такое настроение поз-волит читателю с большей легкостью отринуть уста-новившиеся, стандартные способы решения задач.Всякий раз, когда вам случится решать новую зада-чу, мы настоятельно рекомендуем обдумать ее со всехсторон, сколь бы странными и причудливыми никазались иные подходы, вместо того чтобы напраснотратить время на длинное и громоздкое решение.

11

К каждой задаче с замечательными иллюстрация-ми канадского графика Джима Глена мы я^исово-купили несколько замечаний. В них речь .идет о ха-рактере задач и показывается, как во многих слу-чаях рассмотренная нами игровая ситуация связанас важными аспектами современней математики.В некоторых случаях мы предоставляем читателювозможность испытать свои силы на еще не решен-ных задачах.

Стремясь облегчить поиск нестандартных реше-ний, мы хотим обратить внимаяве читателя на сле-дующие вопросы, которые иногда могут служить сво-его рода путеводными нитями и позволяют хотя быприблизительно систематизировать возможные иод-ходы:

1. Нельзя ля свести задачу к более простомуслучаю?

2. Нельзя ли преобразовать задачу к изоморфнойзадаче, легче поддающейся решению?

3. Не существует ли для решения задачи какого-нибудь простого алгоритма?

4. Нельзя ли для решения задачи применить ка-кую-нибудь теорему из другой области математики?

5. Можно ли проверить правильность полученногорешения на наглядных примерах иля контрпри-мерах?

6. Какие аспекты задачи несущественны для ре-шения и лишь отвлекают ваше виимаяяе?

Не будет преувеличением сказать, что в нашевремя многие склонны поддаваться все более силь-ному искушению сводить решение всех математиче-ских задач к составлению программ для ЭВМ. Со-временная быстродействующая ЭВМ, проделав ис-черпывающий перебор всех возможных случаев ме-тодом проб и ошибок, действительно может решитьату или иную задачу за считанные доли секунды илиза несколько секунд, но на составление хорошейпрограммы и ее отладку потребуется несколько часовили дней. Составление программы также не всегдасводится к стандартным операциям и требует своихозарений. Но удачная идея может привести к реше-нию задачи и без обращения к ЭВМ и сделать из-лишним составление программы,

12

Было бы печально, если бы блага НТР оказалина человечество растлевающее влияние и оно интел-лектуально обленилось бы настолько, что утратилобы способность к творческому мышлению. Главнаяцель предлагаемой вниманию читателя подборкизадач и состоит в том, чтобы предоставить ему ши-рокие возможности для оттачивания и развития спо»собности находить нестандартные решения.

Мартин Гарднер

Глава 1

Комбинаторные находки

НЕОЖИДАННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧНА СОСТАВЛЕНИЕ И ПЕРЕЧИСЛЕНИЕКОМБИНАЦИЙ

Комбинаторный анализ, или комбинаторика, зани-мается изучением способов составления комбинацийиз предметов. Пожертвовав самую малость общ-ностью, комбинаторный анализ можно определитькак раздел математики, который занимается изуче-нием способов объединения по заранее заданнымправилам элементов в множества и свойств возни-кающих при таком объединении множеств.

Например, наша первая задача сводится к уста-новлению способов объединения в множества разно-цветных шариков. Требуется найти наименьшие мно-жества шариков, удовлетворяющие определеннымусловиям. Во второй задаче речь идет о способахустановления очередности встреч между участникамитурнира по настольному теннису, разыгрываемого поолимпийской системе (важный аналог этой задачивстречается при автоматической сортировке данных).

В комбинаторном анализе часто требуется найтичисло всех возможных способов объединения пред-метов в множества по определенным правилам.С проблемой перечисления, как принято называтьэту разновидность комбинаторных задач, мы позна-комим читателя при подсчете числа различных мар-шрутов, которыми Сьюзен может следовать в школу.В нашем случае объединяемые элементы пред-ставляют собой прямолинейные отрезки маршрутов,

И

проходимые по строкам или столбцам матрицы. По-скольку подсчет маршрутов связан с рассмотрениемгеометрических фигур, мы вступаем в область ком-бинаторной геометрии.

Комбинаторные аспекты присущи всем разделамматематики, и не удивительно поэтому, что читательобнаружит комбинаторные задачи во всех без исклю-чения главах иашей книги. Так, существует комбина-торная теория чисел, комбинаторная топология, ком-бинаторная логика, комбинаторная теория множестви даже, как мы увидим в последней главе, посвящен-ной словесным играм, комбинаторная лингвистика.Особенно важную роль комбинаторика играет в тео-рии вероятностей: без подсчета всех комбинацийнельзя было бы найти распределение вероятностей.Много задач по теории вероятностей собрано в книгеУитворта «Выбор и случай»*. Слово «выбор» в заго-ловке книги указывает на ее комбинаторный аспект.

Самая первая задача в нашей книге также имеетнепосредственное отношение к теории вероятностей:ведь, в ней требуется указать комбинацию цветныхшариков, которая с полной гарантией (то есть с веро-ятностью, равной 1) позволила бы удовлетворитьопределенным требованиям. Читая нашу книгу, не-трудно убедиться в том, что из простых вопросово перечислении способов объединения предметов потому или иному признаку возникает поистине без-брежное море вероятностных задач. Перечислениемаршрутов, по которым Сьюзен могла бы следоватьв школу, тесно связано с треугольником Паскаля итеми применениями, которые он находит при реше-нии элементарных задач теории вероятностей.

Число комбинаций, дающих решение данной ком-бинаторной задачи, очевидно, может быть равнонулю, единице, любому конечному числу и дажеобращаться в бесконечность. Например, нечетноечисло ни одним способом невозможно представитьв виде суммы двух четных чисел. Число 21 предста-вимо в виде произведения двух простых чисел одними только одним способом. Число 7 представимо в видесуммы из двух целых положительных чисел тремя

* Whitworth W. A. Choice and Chance. London, 1901.

15

различными способами (слагаемые каждой из трехдопустимых комбинаций нанесены на противополож-ные грани игральной кости). Существует бесконечномного пар четных чисел, сумма которых четна.

Найти «доказательство невозможности», то е€тьдоказать, что не существует ни одной комбинациис требуемыми свойствами, в комбинаторном анализезачастую бывает чрезвычайно трудно. Например,лишь недавно удалось, доказать, что для правильнойраскраски стран на плоской карте достаточно четы-рех красок. «Проблема четырех красок» долгое времяоставалась знамекитой нерешенной задачей комбина-торной топологии. Решить ее, то есть найти «доказа-тельство невозможности», удалось лишь после тою,как была составлена специальная, необычайно слож-ная программа, для ЭВМ.

С другой стороны, мневие комбинаторные задачи,для которых найти «доказательство невозможности»на первый взгляд кажется необычайно трудным де-лом, при правильном подходе решаются легко и. прсн-сто. В задаче «Упрямые плитки» мы увидим, какпростая «проверка на четность» сразу же приводитк доказательству неразрешимости задач, найти кото-рое другим путем было бы нелегко.

Вторая задача о непригодных пилюлях вскрываеткомбинаторный характер рассуждений, связанныхс использованием различных систем счисления. Какбудет показано, и сами числа, и их цифровая записьв позиционной системе счисления зависят от некото-рых комбинаторных правил. Более того, любое де-дуктивное умозаключение, будь то в математике илив формальной логике, оперирует с комбинацией сим-волов, выстроенных в «строку» по определенным пра-вилам. Эти правила позволяют решить, допустима лита или иная строка символов в рассматриваемойтеории или недопустима. Именно поэтому отец ком-бинаторики Лейбниц называл искусство строитьумозаключения комбинаторным искусством — arscombinatoria.

Жевательная резинка

Миссис Джонс не повезло: ееблизнецы заметили автоматдля продажи разноцветныхшариков жевательной резинкипрежде, чем миссис Джонсуспела миновать его.Первый близнец. Мама, купимне жевательную резнику!Второй близнец. И мне, и мне!Я хочу шарик такого же цве-та, как у Билли.

Автомат был почти пуст. Пред-угадать, какого цвета шарнквыпадет, если опустить в щельавтомата монету в 1 пенс, не-возможно. Сколько одиопеисо-вых монет придется пригото-вить миссис Джонс, чтобы изкупленных шариков заведомоможно было выбрать 2 шари-ка одного и того же цвета?

Потратив 6 пенсов, миссисДжонс заведомо могла бы из-влечь из автомата 2 красныхшарика; 4 пенса ушли бы на«добывание» 4 белых шариков,а 2 пенса— иа 2 красных ша-рика. Израсходовав 8 пенсов,миссис Джонс заведомо полу-чила бы 2 белых шарика. Сле-довательно, миссис Джонс не-обходимо приготовить 8 цен-тов. Правильно?

Нет, не верно! Если бы пер-вые два шарика, выкатившие-ся из автомата, были разногоцвета, третий шарнк непремен-но совпал бы по цвету с од-ним из них. Следовательно,миссис Джонс необходимо при-готовить всего лишь 3 пенса.

17

Предположим теперь, что в ав-томате осталось 6 красных,4 белых и 5 синих шариков.Сможете ли вы подсчитать,сколько монет в 1 пенс сле-дует приготовить миссис Джонс,чтобы среди выкатившихся изавтомата шариков заведомонашлось 2 шарика одного нтого же цвета?

По-вашему, ей хватит 4 цен-тов? А что вы скажете о бед-ной миссис Смит, которая без-успешно пыталась отвлечь отавтомата для продажи жева-тельной резинки внимание сво-ей тройни?

На этот раз в автомате нахо-дились 6 красных, 4 белыхшарика и лишь 1 синий шарик.Сколько монет достоинством в1 пенс следует приготовитьмиссис Смит, чтобы среди куп-ленных шариков заведомо бы«ли 3 шарика одного цвета?

J СИНИ|Й[ tКРАСНЫЙ D белый

Сколько центов?

Вторая задача о шариках жевательной резинкилишь незначительно отличается от первой. Идея ре-шения второй задачи по существу та же: первые тришарика могут быть разного цвета (например, одиншарик может быть красным, один синим и один бе-лым). Это наименее благоприятный случай, так какк достижению желаемого результата ведет самаядлинная последовательность испытаний. Четвертый

18

шарик заведомо совпадает по цвету с одним,из трехпервых шариков. Итак, чтобы 2 шарика оказалисьодного и того же цвета, необходимо купить 4 шари-ка. Следовательно, миссис Джонс следует пригото-вить 4 цента.

Обобщение на случай п множеств шариков (каж-дое множество составляют шарики одного цвета)очевидно: если имеется п множеств шариков, то сле-дует быть готовым к тому, что придется купитьп + 1 шариков (чтобы 2 шарика заведомо были од-ного и того же цвета).

Третья задача потруднее двух предыдущих. У мис-сис Смит не близнецы, а тройня. В автомате нахо-дятся б красных, 4 белых шарика и 1 синий шарик.Сколько монет достоинством в 1 цент должна при-готовить миссис Смит, чтобы среди шариков, выдан-ных автоматом, заведомо были 3 шарика одного цвета?

Как и прежде, начнем с рассмотрения наименееблагоприятного случая. Миссис Смит может получитьиз автомата 2 красных, 2 белых шарика и 1 синийшарик, то есть всего 5 шариков. Шестой шарик дол-жен быть либо красным, либо белым и, следова-тельно, подходить по цвету к ранее выпавшим изавтомата либо 2 красным, либо 2 белым шарикам.Значит, миссис Смит должна приготовить 6 центов.Если бы синих шариков в автомате было не меньшедвух, то в наименее благоприятном случае миссисСмит могла бы сначала извлечь из автомата по 2шарика каждого цвета, и, чтобы получить 3 шарикаодного и того же цвета, ей непременно понадобилсябы седьмой шарик.

«Неожиданное» решение — это своего рода «про-зрение», позволяющее оценить длину серии испытанийв наименее благоприятном случае. Ту же задачуможно было бы решить и более сложным способом:обозначить каждый из 11 шариков «своей» буквой,выписать все возможные варианты выдачи шариковиз автомата и установить, в каком случае длинацепочки испытаний до появления трех шаров одногоцвета имеет наибольшую длину. Но при таком реше-нии потребовалось бы перебрать 111 = 39 916 800 по-следовательностей всех возможных исходов испыта-ний. Если мы условимся не различать шары одного

19

цвета, то и тогда при таком подходе пришлось быперебрать 2310 последовательностей возможных ис-ходов.

Обобщение задачи на случай, когда требуетсяопределить наименьшее число монет, при котором извыданных автоматом шаров заведомо можно выбратьk шариков одного цвета, приводит к следующемурешению. Если имеются шары п цветов (шаровкаждого цвета не меньше k), то для получения kшаров одного цвета необходимо выбрать не болееn(k— 1 ) + 1 шаров. Читателю доставит удовольствиесамостоятельно исследовать, что произойдет в томслучае, если шаров одного или нескольких цветовбудет меньше k.

Задачи этого типа можно промоделировать нетолько на автоматах для продажи жевательной ре-зинки, но и многими другими способами. Например,сколько карт необходимо вытащить из колоды в52 листа, чтобы 7 карт заведомо были одной масти?Здесь п = 4, k = 7, и наша формула дает ответ?4 ( 7 - 1)+ 1 = 2 5 .

Мы рассмотрели лишь очень простые комбинатор*ные задачи, но и они приводят к интересным и труд-ным вопросам теории вероятностей. Например, каковавероятность извлечь 7 карт одной масти, если вывытаскиваете из колоды, не возвращая, п карт, гдеп — любое число от 7 до 24? (Вероятность извлечь7 карт одной масти, очевидно, равна 0, если из ко-лоды вытащить менее 7 карт, и равна 1, если выта-щить более 24 карт). Как изменятся вероятности,если мы условимся возвращать каждую извлеченнуюкарту и тщательно тасовать колоду перед тем, каквытягивать из нее очередную карту? Более трудныйвопрос: каково математическое ожидание (среднеепо длинной серии испытаний) числа карт, которыенеобходимо извлечь (с возвратом или без возврата)из колоды, чтобы k из них заведомо были одноймасти?

Турнир по настольному теннису

Пять членов клуба лгобвтелейнастольнгоо тенниса среднейшколы .им. Милларда Филморарешили провести между собойтурнир по олимпийской сис-теме.

Тренер составил таблвду розя-грыша турнира, снабдив ееследующими пояснениями.Тренер. Пять — число нечетное,поэтому в первой круге одинучастник туретра свободен отигры. Еще .один участник сво-боден от игры во втором кру-ге. Такие ибразен, всего затурнир будет сыграно 4 пар-тии.

На следующий год в спертив»кый клуб записалось 37 школь-ников. Тренер снова составилтаблицу розыгрыша турнира,постаравшись свести до мини-мума число участников, кото-рые переходят в следующийкруг без игры. Сколько пар-тий было сыграно за весь тур-нир на этот раз?

Как, вы еще не сосчитали?А ведь задана решается про-сто! В каждой партии проиг-равший ныбывает, а посколь-ку дли того, чтобы определитьпобедителя, следует исключитьвсех участников, кроме одно-го, то за весь турнир должносостояться 36 партий. Не прав-да ли, все очень просто?

f ^ --—л

V «S ИГ*В

/щ.„—•*——'

)п,л

21

Сколько участников турнира перейдутв следующий круг без игры?

Если вы пытались решить задачу о турнире понастольному теннису «в лоб», составляя различныеварианты таблиц розыгрыша турнира с 37 участника-ми, то, должно быть, заметили, что независимо отспособа составления таблицы число участников,переходящих в следующий круг без игры, всегдаравно 4. В общем случае число участников, для ко-торых в очередном круге не хватает партнера, естьфункция от числа п всех участников турнира. Катеустановить, сколько участников вынуждены будутперейти в следующий круг без игры?

При заданном п число участников, остающихсябез партнера, можно определить следующим образом.Вычтем из п наименьшую степень числа 2, котораябольше или равна п. Полученную разность запишемв двоичной системе. Число единиц в двоичной записии будет равно числу участников турнира, вынужден-ных перейти в следующий круг без игры из-за не-хватки партнера. В нашей задаче мы вычтем 37 из64 (то есть из 2 6) и получим разность, равную 27.Десятичное число 27 в двоичной системе имеет вид11011. Поскольку в его записи 4 единицы, то за весьтурнир без игры в следующий круг перейдут 4 игро-ка. Обоснование этого алгоритма для определениячисла участников, которым не хватает партнера, мыпредоставляем читателю в качестве интересногоупражнения.

Описанный в задаче тип турнира иногда называ-ют «игрой на вылет». Он аналогичен алгоритму, кото-рый вычислители, работающие на современных ЭВМ,используют для нахождения наибольшего элементав множестве из п элементов: наибольший элементнаходят, сравнивая попарно элементы множества иотбрасывая при очередном сравнении тот из двухэлементов, который не больше другого. Как мы ужезнаем, чтобы найти наибольший элемент, достаточнопроизвести ровно п — 1 попарных сравнений. Приавтоматической сортировке сравнивать можно нетолько по 2, но и по 3, 4 и т. д. элемента.

22

Автоматическая сортировка играет важную рольв вычислительной математике и в информатике. Ейпосвящено немало книг. Каждый из нас без труданазовет длинный перечень примеров примененияавтоматической сортировки. Подсчитано, что пример-но четверть машинного времени в научных и в тех-нических расчетах затрачивается на решение задач,связанных с сортировкой данных.

Стаканчики профессора Квиббла

Как-то раз продавец прохла«дительных напитков Барнипредложил двум покупателямследующую задачку.

Барни. Перед вами 10 бумаж-ных стаканчиков, расставлен»ных в ряд. В первые 5 ста-канчиков я наливаю кинки-колу, остальные 5 стаканчиковостаются пустыми. Можно липереставить 4 стаканчика так,чтобы пустые и полные ста-канчики чередовались?

Барни. Правильно! Стоит лишьпереставить второй стаканчикс седьмым, а четвертый с де-вятым, как задача будет р&шена.

Разговор Барни с покупателя-ми услышал проходившиймимо профессор Квиббл, боль-шой любитель неожиданныхрешений, который счел необ-ходимым вмешаться.Проф. Квиббл. Переставлять4 стаканчика совсем не обяза-тельно. Я берусь решить за-дачу, переставив лишь 2 ста-канчика. Как, по-вашему, этовозможно?

24

Проф. Квиббл. Мое решениепроще простого. Я беру вто-рой стаканчик и переливаю егосодержимое в седьмой, а со-держимое четвертого стакан-чика — в девятый.

1 U W U 1 U W U 1 U

Глубокая мысль

Хотя предложенное профессором Квибблом шу-точное решение основано на неоднозначном толкова-нии слова «переставить» (означающего не только«поменять местат», как полагал Барни, но и «по-ставить по-другому», чем и воспользовался профессорКвиббл), исходная задача не столь тривиальна, какложет показаться. Рассмотрим, например, аналогич-ную задачу для случая, когда из 200 стаканчиков,выстроенных в ряд, в первые 100 налита кинки-кола,а 100 остальных оставлены пустыми. Сколько парстаканчиков следует поменять местами, чтобы пустыеи полные стаканчики чередовались?

Поскольку следить за 200 стаканчиками довольнотрудно, разберем сначала ту же задачу при мень-ших значениях п, где п—число полных (или пустых)стаканчиков, и попытаемся подметить общую законо-мерность. Стаканчики можно «моделировать» фиш-ками двух цветов, игральными картами, выложенны-ми на столе рубашкой либо вверх, либо вниз, моне-тами и тому подобными предметами, наделеннымикаким-нибудь «двузначным» признаком. При п = 1для решения задачи не требуется переставлять ниодной пары стаканчиков. При п = 2 решение очевид-но и сводится к перестановке одной пары стаканчи-ков. Возможно, вы удивитесь, когда узнаете, что прип = 3 чередование пустых и полных стаканчиков до-стигается перестановкой одной пары стаканчиков. Ещенемного усилий, и вам откроется довольно простаяобщая закономерность. При четном п для решения

25

задачи требуется поменять местами я/2 пар, а принечетном п соответственно (п—1)/2 пар ста-канчиков. Следовательно, если имеется 100 пустыхи 100 полных стаканчиков, то задачу можно решить,переставив 50 пар стаканчиков.

При этом вы сдвинете с места 100 стаканчиков.Предложенное профессором Квибблом шуточное ре-шение позволяет вдвое уменьшить число стаканчи-ков, сдвигаемых с места.

Существует одна классическая головоломка, очень,похожая на только что рассмотренную нами задачу,но несколько более трудную. Начнем с 2п предметов,выстроенных в ряд. Пусть по-прежнему п предметов,составляющих первую половину ряда, будут одноготипа, а п предметов, составляющих вторую половинуряда, будут другого типа. (Как и прежде, их можно«моделировать» стаканчиками, фишками, игральнымикартами и т. п.) Требуется переместить предметытак, чтобы предметы одного типа чередовалисьс предметами другого типа, но в отличие от преды-дущей задачи слову «переместить» придается строгоопределенное значение. На этот раз слово «переме-стить» означает, что любые два соседних предметаразрешается, не изменяя их последовательности,изъять из ряда и пристроить к любому свободномуконцу (после одного или нескольких ходов ряд мо-жет распасться на несколько звеньев).

Вот как это делается, например, при п = 3:

XXX000Z000ZZХ00 X0X

ХОХ0Х0

Как выглядит общее решение? При п = 1 реше-ние тривиально. При п = 2 задача, как нетрудновыяснить, неразрешима. При всех п > 2 головоломкадопускает решение не менее чем за п ходов.

Найти решение при п = 4 не-так-то просто, ипоиск его, несомненно, доставит вам немало удоволь-ствия. Может быть, вам удастся сформулироватьалгоритм решения головоломки за п ходов прилюбом п > 3.

26

Не меньший вызов любознательному читателютаят в себе многие необычные варианты той же го-ловоломки. Приведем лишь некоторые из них.

1. Правила перемещения пар остаются теми жеза одним исключением: если пара образована пред-метами различных типов, то перед тем, как при-строить ее к свободному концу, последовательностьпредметов в паре следует изменить. Например, пере-мещая две фишки, первая из которых (левая) крас-ная, а вторая (правая) черная, их необходимо по-менять местами, после чего первой станет черная,а второй красная фишка, и лишь после этого при-страивать к свободному концу. При 8 фишках суще-ствует решение в 5 ходов. При 10 фишках 5 ходовтакже оказывается достаточно. Общее решение не-известно. Может быть, вам удастся найти его.

2. Правила такие же, как в исходной задаче,но фишек одного цвета на 1 меньше, чем другого,то есть фишек одного цвета п, а фишек другогоп+ 1. Доказано, что при любом п задачу можно ре-шить за п2 ходов, причем это число минимально.

3. Имеются фишки трех различных цветов. Парысоседних фишек перемещаются по обычному правилус тем, чтобы фишки каждого цвета оказались вы-строенными подряд. При п = 3 (всего 9 фишек)существует решение в 5 ходов. И в этом, и во всехпредыдущих вариантах головоломки предполагается,что после последнего перестроения фишки стоятв ряд «сомкнутым строем» (без пробелов). Если рядможет содержать пробелы, то существует необычноерешение всего лишь в 4 хода.

Напрашиваются и другие варианты головоломки.Насколько известно, их никто ранее не предлагал иуж конечно не решал. Например, в каждом из при-веденных нами вариантов головоломки за один ходможно перемещать не по две, а по три (и более) со-седние фишки.

Что произойдет, если на первом ходу переместитьфишку, на втором — 2 фишки, на третьем — 3 фиш-

ки и т. д.? Если в ряд выстроены п фишек одногоцвета и затем п фишек другого цвета, то всегда липравильного чередования цветов можно добиться зап ходов?

Дороги, которые мы выбираем

Маленькая Сьюзеи в большомзатруднении. Дело в тол, чтопо дороге в школу ее то идело подстерегает скверныймальчишка Станки,Станки. Эй, Сьюзен] Можно,я пойду с тобой?Сьюзен. Нет, очень тебя про-шу, уйди!

Сьюзен. Я придумала, что маеделать. Буду ходить в школукаждое утро другой дорогой.Тогда Станки ни за что не до-гадается, где меня можно под-стеречь.

На этой карте показаны всеулицы между домам Сьюзен иее школой. Направляясь в шко-лу по иамечениому маршруту,Сьюзен идет либо строга навосток, либо на юг.

Здесь вы видите Сьюзеи, иду-щую в школу по другой до-роге. Разумеется, ей не хоте-лось бы удаляться от школы.Сколькими способами можнодобраться от дома Сьюзен дошколы?

28

Сьюзен. Хотела бы я знать,сколько различных дорог ве-дет от моего дома к школе.Подумаем! Сосчитать их, дол-жно быть, не просто. Впро-чем... Есть идея! Сосчитать до-роги тасем не трудно! Оченьдаже престо!Какая, идея пришла в головуСьюзен?

Вот как она рассудила.Сьюзен. У того перекрестка,возле которого я живу, по-ставлено на карте число 1:выйти из дома я могу лишьодним способом. У перекрест-ков, расположенных в одномквартале к востоку и к югу отдома, я поставлю по 1, пото-му что до каждого из нихможно добраться только од-ним способом.

Сьюзен. У этого перекрестка япоставлю число 2, так как кнему от моего дома ведут2 различные дороги.Тут Сьюзен стало ясно, чточисло у каждого перекресткаравно либо ближайшему чис-лу (если оно одно), либо сум-ме двух ближайших чисел.

Сьюзен. Еще четыре перекрест-ка пометила числами. Скорозакончу.Не поможете ли вы Сьюзен?Не подскажете ли ей, сколькоразличных дорог ведет от еедома к школе?

29

Сколько путей?

Три перекрестка на ближайшей вертикали справаследует пометить (сверху вниз) числами 1, 4, 9,а два перекрестка на следующей вертикали — числа-ми 4 и 13. Число 13, стоящее на карте у самогоправого нижнего перекрестка, показывает, что Сью-зен может выбрать кратчайшую дорогу в школу 13различными способами.

Придуманный Сьюзен метод действительно приво-дит к простому и эффективному алгоритму для опре-деления числа кратчайших путей, ведущих от ее домак школе. Если бы Сьюзен попыталась вычертить всепути, чтобы затем пересчитать их, то решение ока-залось бы весьма громоздким, а при большом числеулиц просто необозримым. Вы сможете лучше оце-нить эффективность предложенного Сьюзен алгорит-ма, если вычертите все 13 путей.

•1 1

, / / / /7 / / /

Чтобы проверить, насколько глубоко вы усвоилиалгоритмы Сьюзен, попробуйте нарисовать сети улиц,

30

имеющие другие конфигурации, и подсчитать числократчайших путей, ведущих из точки А в точку В.Четыре задачи этого типа представлены на рис. /.Решать их можно по-разному, например, воспользо-ваться комбинаторными формулами, но все методынесколько сложнее алгоритма Сьюзен.

Чему равно число кратчайших путей, по которымладья может перейти из одного углового поля нашахматной доске в другое, диагонально противопо-ложное? Эта задача легко решается, если каждомуполю на шахматной доске приписать по числу также, как Сьюзен приписывала числа перекресткам накарте города. Ладья ходит только по горизонтали ивертикали. Следовательно, кратчайший путь излюбой клетки в любую другую состоит в преодоле-нии разделяющего клетки расстояния по горизонталии по вертикали. Если числа расставлены верно (см.рис. 2), то они указывают число кратчайших путей,

i

ШЖ\

Ч

36.2110

3510

530

35

«62126

те

462

1П6

£50

ведущих из нижнего угла в любое поле. Например,поле в правом верхнем углу помечено числом 3432.Следовательно, ладья может перейти с поля, стоя-щего в левом нижнем углу доски на диагональнопротивоположное поле 3432 кратчайшими путями.

31

Разрезав шахматную доску по диагонали и по-вернув половину, мы получим треугольник, изобра-женный на рис. 3. Числа, стоящие в клетках любогоряда, указывают число кратчайших путей, ведущих

в них из самой верхней клетки. Расставленные вклетках числа образуют знаменитый арифметическийтреугольник Паскаля, и это не удивительно: алго-ритм для подсчета числа кратчайших путей, ведущихот вершины, в точности совпадает с процедурой по-строения треугольника Паскаля. Этот изоморфизмпозволяет считать исходную головоломку прологомк изучению необычайно разнообразных и красивыхсвойств треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля позволяет находить бино-миальные коэффициенты (то есть коэффициенты прилюбом члене разложения (а-\-Ь)п, где п — любоецелое число) и решения многих задач элементарнойтеории вероятностей. Заметим, что на рис. 3 числократчайших путей, ведущих из вершины треугольни-ка в самую левую или самую правую клетку ниж-него ряда, равно 1 и что по мере приближенияк середине ряда число кратчайших путей возрастает.Возможно, вам случалось видеть одно из устройств,действие которых основано на свойствах треугольни-ка Паскаля: по наклонной доске, в которую в шах-матном порядке вбиты колышки, скатываются шари~ки и скапливаются в отсеках под колышками ниж-него ряда. Распределение шариков имеет формуколоколообразной кривой, а число шариков в каждомотсеке пропорционально соответствующему биноми*

32

альному коэффициенту, потому что число кратчай-ших путей, ведущих в каждый отсек, в точностисовпадает с определенным биномиальным коэффи-циентом.

Алгоритм, предложенный Сьюзен, как нетруднопонять, остается в силе и для трехмерных сетей,в которых ячейки («кварталы») имеют форму прямо-угольных параллелепипедов. Представьте себе кубс длиной ребра 3 единицы, разделенный на 27 еди-ничных кубов. Будем считать его пространственнойшахматной доской и в угловую «клетку» поместимладью, которая может двигаться параллельно любо-му из ребер куба. Сколькими способами ладью мож-но перевести кратчайшим путем в клетку, располо-женную на другом конце диагонали куба?

Перепутали

\'•>34S6

;

А

АААос

в

в4DС

" f tВА

соСв4АС

" 1

ос

вОАОD

34

В одном родильном доме почьему-то недосмотру перепута-ли карточки с именами 4 мла-денцев. У двух детей оказа-лись их карточки, а карточкиостальных двух малюток бы-ли разложены неправильно.Сколько существует различныхвариантов путаницы?

Подсчитать число вариантовсовсем нетрудно, если соста-вить таблицу. Оказывается,что карточки с именами 2 де-тей из 4 можно перепутатьлишь 6 различными способами.

Предположим теперь, что по-сле того, как карточки перепу-тали, у трех детей .оказалиськарточки с их именами, а од-ному младенцу досталась кар-точка с чужим именем. Сколь-ко вариантов путаницы суще-ствует в этом случае?

Как бы вы стали решать этузадачу? Составили бы табли-цу? А может быть, у вас естьидея, как решить эту задачупроще?

«Птичка в клетке»

Многим кажется, что ответить на вопрос задачидовольно трудно. Те, кто так думает, ошибочно пола-гают, будто перепутать карточки так, чтобы 3 мла-денцам из 4 достались карточки с их именами, мож-но многими способами. Но стоит лишь обратитьсяк принципу.«птичка в клетке» и сформулировать за-дачу несколько иначе, как ответ сразу становитсяочевидным. Предположим, что перед нами 4 клеткии на каждой из них укреплена карточка с названиемодного из 4 предметов. Если 3 предмета попалив клетки со своими названиями, то четвертому пред-мету не остается ничего другого, как попасть в клет-ку, к которой прикреплена карточка с его названием.Таким образом, мы имеем дело лишь с однимвариантом: каждый из 4 предметов оказываетсяв своей клетке.

Во многих книгах по занимательной математикевстречается следующая задача, в которой речь идетлишь о 3 предметах. На столе расставлены 3 закры-тые коробки. В одной из них находятся 2 монеты по5 центов, в другой — 2 монеты по 10 центов ив третьей — 1 пятицентовая и 1 десятицентовая мо-нета. На крышках коробок написано: 10 центов;15 центов и 20 центов, но ни одна из надписейне соответствует содержимому коробки. Предполо-жим, что из коробки с надписью «15 центов» (на-помним, что надпись не соответствует содержимомукоробки) извлекли 1 монету и положили на столперед коробкой. Можно ли, взглянув на эту монету,сказать, какие монеты находятся в каждой из 3 ко-робок?

Как и в предыдущей задаче, многих вводит в за-блуждение кажущаяся неоднозначность выбора: онидумают, будто существует довольно много вариантоврешения, тогда как на самом деле задача допускаетединственное решение. Монета, извлеченная из ко-робки с надписью «15 центов» (не соответствующейсодержимому), может быть монетой достоинствомлибо в 5 центов, либо в 10 центов. Если извлеченамонета достоинством в 5 центов, то в коробке перво-начально находились 2 монеты по 5 центов. Если

35

извлечена монета достоинством в 10 центов, то в ко-робке первоначально находились 2 монеты по10 центов. И в том и в другом случае содержи-мое остальных двух коробок восстанавливается одно*значно. Нетрудно видеть, что ие соответствующиесодержимому каждой коробки надписи оставляютлишь 2 варианта распределения монет по: коробкам.После того как из коробки с ложной надписью«15 центов» извлечена 1 монета, один вариант ис-ключается, и остается единственный допустимыйвариант, соответствующий правильному решению.

Иногда встречается несколько более сложнаяразновидность той же задачи. Содержимое всех трехкоробок требуется определить, извлекая наименьшеечисло монет (из любой коробки). Единственное ре-шение задачи состоит в том, чтобы из коробкис надписью «15 центов» извлечь 1 монету. Можетбыть, вам удастся придумать более сложные вариан-ты задачи: в одной коробке могут находиться более2 монет, да и самих коробок может быть более 3.

С задачей о младенцах тесно связано немало дру-гих задач на сообразительность, так же, как и ис-ходная задача, приводящих к элементарной теориивероятностей. Например, если карточки с именамимладенцев перемешаны наугад, то какова вероят-ность, что у всех 4 младенцев окажутся карточкис их именами? С какой вероятностью у всех 4 мла-денцев карточки не будут соответствовать их име-нам? Какова вероятность, что по крайней мереу 1 младенца окажется карточка с его именем?Какова вероятность, что ровно у 1 младенца окажет-ся карточка с его именем? Какова вероятность», что.по крайней мере у 2 младенцев окажутся карточкис их именами? Какова вероятность, что ровноу 2 младенцев окажутся карточки с их именами?Какова вероятность, что не более чем у 2 младенцевокажутся карточки с их именами? И так: далее;

Вопрос о «по крайней мере одном» — независимоот того, о чем идет речь,— один из классическихвопросов занимательной математики. Довольно частоего облекают в форму задачи об п посетителях ре-сторана, сдавших шляпы в гардероб. Рассеянныйгардеробщик выдал посетителям номера наугад,, ни-

36

мало не заботясь о том, кому достанется номерок отшляпы — ее владельцу или кому-нибудь другому.Какова вероятность, что по крайней мере один посе-титель получит свою шляпу? Оказывается, что привозрастании п эта вероятность быстро стремитсяк 1— (1/е), то есть немногим больше Уг. Здесь е—-знаменитая иррациональная константа (число Эйле-ра), равная 2,71828... В задачах теории вероят-ностей она встречается так же часто, как число лв геометрических задачах.

Стаканы профессора Кеиббла

У профессора Квиббла имеет-ся для вас задача-голово-ломка.Проф. Квиббл. Возьмите 3 ста-ллна для сбивания молочногококтейля и попробуйте разло-жить по иим 11 монет так,чтобы в каждом стакане чис-ло монет было нечетным.

Проф. Квиббл. Задачка не изтрудных, ие так ли? И реше-ний она допускает много. На-пример, в один стакаи можноположить 3 монеты, в дру-гой— 7 монет, а в третий —1 монету.

Проф. Квиббл. А сумеете лиьы разложить по хем же 3 ста-канам 10 монет так, чтобы чи-сло монет в каждом стаканебыло нечетным? Сделать этоможно, хотя и не просто!

Проф. Квиббл. Надеюсь, вы неотступили перед трудностями?Вам нужно было лишь дога-даться вставить один стаканв другой. После этого уже со-всем нетрудно разложить мо-неты так, чтобы в каждомстакане оказалось нечетное чи-сло монет.

Подмножества Квиббла

Счастливая идея, позволяющая сразу же решитьголоволомку проф. Квиббла, сводится к тому, чтоодни и те же монеты могут одновременно находить-ся более чем в одном стакане. На языке теории мно-жеств решение задачи допускает следующее описа-ние: имеется два множества монет, одно из которыхсодержит 7 элементов, а другое — 3 элемента, при-чем в последнем множестве выделено подмножество,содержащее 1 элемент. Наглядно полученное реше-ние можно изобразить в виде следующей диаграммы:

Найти все остальные решения мы предоставляемчитателю. Додуматься до 10 решений, одно из кото-рых предложил проф. Квиббл, не составит особоготруда, но найти еще 5 решений (всего существует15 решений задачи) не так-то просто: необходимо«озарение».

После того как вам удастся найти все 15 реше-ний, попробуйте обобщить задачу, варьируя числомонет, стаканов и отличительные особенности числамонет, разложенных по стаканам.

Основная идея «счастливой находки», позволив-шей решить задачу проф. Квиббла (элементы како-го-то множества принадлежат другому множеству ипри подсчете учитываются дважды), встречается вомногих известных головоломках и парадоксах. При-ведем лишь одну из таких задач, носящую шуточныйхарактер.

После тогсг как один школьник пропустил целуюнеделю занятий, его навестил учитель. Школьникпринялся объяснять, почему ему некогда ходитьв школу.

39

— Я сплю 8 часов в сутки. Это составляет 8 X*X 365 = 2920 часов в году, или, так как в сут»ках 24 часа, 2920 : 24 (около 122) суток.

По субботам и воскресеньям школа не работает,что составляет за год 104 дня.

60 дней в году приходятся на летние каникулы.На завтрак, обед и ужин у меня уходит 3 часа

в день, то есть 3 X 365 = 1095 часов, или 1095 : 24(около 45 суток) в год.

По крайней мере 2 часа в день мне необходимыдля отдыха, что составляет 2 X 365 = 730 часов, или730:24 (около 30 суток) в год.

Школьник выписал названные им числа в стол*бец и просуммировал:

На сон 122Субботы и воскресенья 104Летние каникулы 60Завтраки, обеды и ужины 45Отдых 30

Итого 361 день

— Видите,— продолжал школьник,— у меня оста-ется всего-навсего 4 дня в год на болезни, а о празд-никах я и не говорю!

Учитель внимательно проверил все выкладки,но не смог обнаружить в них ошибки. Проверьтеэтот парадокс на своих приятелях. Многие из нихсумеют найти ошибку? А ошибка кроется в том, чтонекоторые подмножества дней года сосчитаны болееодного раза: множества, на которые школьник раз^бил 365 дней в году, перекрываются (пересекаются)так же, как множества монет в стаканах проф. Квиб-бла.

Как поджарить ромштексы?

На лужайке перед домом мис-тер Джонсон соорудил неболь-шую плиту, иа которой заодин час можно поджарить2 ромштекса. Его жена и дочьБетси очень проголодались нхотят поесть как можно ско-рей. Как быстрее всего под-жарить 3 ромштекса?

Мистер Джонсон. Чтобы под-жарить с двух сторон 1 ром-штекс, требуется 20 мин (по10 мин на каждую сторону).Значит, за 20 мин можно при-готовить 2 ромштекса. Еще20 мин мне понадобится, что-бы поджарить третий ром-штекс, поэтому всего на при-готовление 3 ромштексов при-дется затратить 40 мин.

Бетси. Папочка, ромштексыможно поджарить гораздо бы-стрее! Я только что придума-ла, как можно сэкономить10 мин.Какая удачная мысль позво-лила Бетси сократить приго-товление обеда на 10 мин?

Чтобы объяснить предложен-ное Бетси решение, обозначимромштексы Л, В и С, а их"стороны—цифрами 1 и, 2. Запервые 10 мин следует поджа-рить стороны А{ и В\,

f

Отложим ромштекс В в сто-рону и поджарим за следую-щие 10 мин стороны Л 2 и С1.К концу 20-й минуты ромштексА будет готов.

Еще через 10 мин поджарятсястороны В2 и С2. Таким об-разом, на приготовление всех3 ромштексов уйдет всего30 мин, что и утверждалаБетси.

Общая стратегия

Рассмотренная нами простая комбинаторная зада-ча относится к одному из разделов современной ма-тематики, известному под названием «исследованиеопераций». На ее примере хорошо видно, что еслисерию операций необходимо произвести в кратчай-ший срок, то оптимальная последовательность опера-ций может оказаться не вполне очевидной. Последо-вательность, которая на первый взгляд кажетсяоптимальной, в действительности может допускатьсущественное усовершенствование. В нашей пробле-ме удачная мысль сводится к тому, что после того,как ромштекс поджарен с одной стороны, отнюдь необязательно тотчас же поджаривать его с другойстороны.

Как обычно, рассмотренная нами простая задачадопускает не одно обобщение. Например, условиязадачи можно варьировать, изменяя число ромштек-сов, которые можно одновременно поджаривать наплите, число ромштексов, которые требуется поджа-рить, или то и другое одновременно. Другой подходк обобщению задачи состоит в увеличении числа сто-

42

рон, с которых требуется «обжарить» тот или инойпредмет. Например, кому-нибудь может понадобить-ся окрасить со всех сторон в красный цвет п кубов,окрашивая за один раз по одной грани k кубов.

Исследование операций находит применение прирешении практических задач в торговле, промышлен-ности, военном деле и многих других областях чело-веческой деятельности. Чтобы по достоинству оце-нить решение даже столь простой задачи, как рассмо-тренная нами задача о наиболее быстром способе•приготовления 2 ромштексов, рассмотрим следующийвариант.

Из длинного списка хлопотливых домашних делмистеру и миссис Джонс осталось выполнить трипункта:

1) произвести уборку на первом этаже (у семей-ства Джонсов имеется 1 пылесос, на уборку первогоэтажа уходит 30 мин);

2) подстричь газон перед домом (у семействаДжонсов имеется 1 машинка для стрижки газона,на выполнение этого задания необходимо затратить30 мин);

3) накормить и уложить спать ребенка (на этотакже требуется затратить 30 мин).

Как следует распределить обязанности супругамДжонс, чтобы завершить все работы по дому в крат-чайший срок? Если предположить, что мистер и мис-сис Джонс работают одновременно, то трудно удер-жаться от искушения дать ответ: «На выполнение3 пунктов программы у супругов Джонс уйдет60 мин». Но если одну из работ, например уборкупервого этажа, разделить на 2 равные части и вы-полнение второй половины отложить (как в задачес поджариванием ромштексов) до завершения дру-гой работы, то на выполнение намеченной програм-мы у супругов Джонс уйдет лишь 3/4 времени (по«равнению с первым вариантом), или 45 мин.

А вот более хитроумная задача на исследованиевпёраций: требуется как можно быстрее обжаритьс двух сторон 3 ломтика хлеба и каждый из нихс одной стороны намазать маслом. В нашем распоря-жении имеется тостер устаревшей модели с дверца-ми на пружинках справа и слева. Тостер вмещает

43

одновременно 2 ломтика хлеба и поджаривает ихтолько с одной стороны. Чтобы поджарить тостыс двух сторон, необходимо открыть дверцы и пере-вернуть ломтики на другую сторону.

Чтобы положить ломтик хлеба в тостер, требует-ся затратить 3 с. Еще 3 с уходит на то, чтобы вынутькаждый ломтик из тостера, и 3 с требуется для того,чтобы повернуть ломтик на другую сторону, не вы-нимая его из тостера. Каждую из этих опе-раций необходимо производить двумя руками. Этоозначает, что ли одну из них нельзя выполнить одно-временно над двумя ломтиками хлеба. Кроме того,пока мы кладем ломтик хлеба в тостер, вынимаемего оттуда или переворачиваем, его нельзя намазатьмаслом. Ломтик хлеба поджаривается с одной сто-роны за 30 с. Намазать ломтик хлеба маслом можноза 12 с.

Каждый тост требуется намазать маслом толькос одной стороны. Намазывать маслом неподжарен-ную сторону запрещается. Ломтик хлеба, поджарен-ный и намазанный маслом с одной стороны, можноснова положить в тостер, чтобы поджарить с другойстороны. Сразу после включения тостер нагреваетсядо рабочей температуры. Сколько времени потре-буется, чтобы поджарить с двух сторон 3 ломтикахлеба и каждый из них намазать маслом?

Нетрудно спланировать все операции так, чтобы3 ломтика поджаренного хлеба с маслом были гото-вы за 2 мин. Но 9 с можно сэкономить, если вамудастся набрести на следующую счастливую идею:ломтик хлеба можно поджарить с одной стороны недо конца, затем вынуть из тостера и дожарить поз-же. При таком подходе время на приготовление3 ломтиков поджаренного хлеба с маслом удаетсясократить до 114 с. Но даже для тех, кому удаетсяподобрать ключ к решению, составление оптималь-ного графика выполненных операций остается далеконе легкой задачей. Что же касается бесчисленныхпроблем на составление самых эк&номичных после'довательностей операций в различных областях чело-веческой деятельности, то они требуют для своего ре-шения сложных математических методов, обращенияк ЭВМ и современной теории графов.

Упрямые плитки

Площадка перед домом мисте-ра Брауна выложена 40 квад-ратными плитками. Со време-нем некоторые плитки тресну-ли, н мистер Браун решил по-крыть площадку заново.

Ои отправился в магазин ивыбрал новые плитки, которыеимели форму прямоугольников,составленных из двух квадра-тов размером; в старую- плитку.Владелец магазина. Скольковам нужно плиток, мистерБраун?Мистер Браун. Мне нужно по-крыть 40 квадратов. Думаю,что 20 плиток будет доста-точно.

Но' когда м-р Браун попытал-ся вымостить площадку новы-ми плитками, то ничего хоро-шего из этого не получилось.Как он ии старался, уложитьплитки так, чтобы они покры-ли всю площадку, это ему неудалось.

Бетси. Что случилось, папа?Чём ты так озабочен?М-р Браун. Никак не могууложить эти проклятые плит-ки! Как ни бьюсь, два квадра-та остаются непокрытыми.С ума можно сойти!

45

Дочь мистера Брауна начер-тила план площадки, раскра-сила квадраты в шахматномпорядке и в течение несколь-ких минут внимательно раз-глядывала свой рисунок.

Бетси. Есть идея! Я поняла,почему у тебя ничего не по-лучается, папа! Все дело втон, что каждая новая плиткадолжна накрывать один белыйи одни черный квадрат.Какое отношение это имеет кделу? Что Бетси имеет в ви-ду?

На плане площадки 21 черныйквадрат и 19 белых квадра-тов. Следовательно, после то-го, как уложено 19 новых пли-ток, 2 черных квадрата неиз-менно остаются непокрытыми,и покрыть их одной новойплиткой невозможно. Един-ственный способ выйти из за-труднения — расколоть новуюплитку на два квадрата.

Проверка на четность

Дочь мистера Брауна нашла способ покрытьплощадку прямоугольными плитками, воспользовав-шись рассуждением, известным под названием «про-верка на четность». Мы говорим о двух числах, чтоих четность одинакова, если они либо оба четны,либо оба нечетны. Если одно число четно, а другоенечетно, то говорят, что их четность различна, С norдобными ситуациями неоднократно приходится стал-киваться в комбинаторной геометрии.

46

В нашей задаче два квадрата одного цвета обла-дают одинаковой четностью, а четность двух квадра-тов различных цветов различна. Прямоугольнаяплитка покрывает только квадраты различной четно-сти. Бетси доказала, что если 19 прямоугольныхплиток уложить на площадке перед домом, то 2оставшихся квадрата можно было бы покрыть по-следней прямоугольной плиткой, если бы их четностьбыла одинаковой. А поскольку четность двух остав-шихся квадратов всегда одинакова, то покрыть ихпоследней плиткой невозможно. Следовательно, по-крыть площадку перед домом новыми плитками так-же невозможно.

Проверка на четность в самых различных вари-антах лежит в основе доказательств многих теорем«несуществования» в математике. Кто не помнит,например, знаменитое доказательство иррациональ-ности числа +Ji , предложенное Евклидом. Иррацио-нальность -у/2 Евклид доказывает от противного, тоесть сначала предполагает, что число л/2 рациональ-ное и его можно представить в виде несократимойдроби с целым числителем и знаменателем. Числи-тель и знаменатель этой дроби не могут быть обачетными, так как тогда дробь не была бы несокра-тимой. Следовательно, либо они оба нечетны, либоодин из них четен, а другой нечетен. Затем Евклиддоказывает, что и в том, и в другом случае дробь,которая была бы равна д/2 , не существует. Иначеговоря, числитель и знаменатель дроби, которая бы-ла бы равна V2~» не могли бы быть ни одинаковой,ни различной четности. Но все дроби подразделяют-ся на два непересекающихся класса: к одному отно-сятся дроби с числителем и знаменателем одинако-вой четности, к другому принадлежат дроби с чис-лителем и знаменателем различной четности. Следо-вательно, число д/2 непредставимо в виде дробис целым числителем и знаменателем, то есть ирра-ционально.

Теория покрытия одних плоских фигур другимиизобилует задачами, в которых доказать несущество-вание решения было бы трудно, если бы не проверкана четность. Задача, с которой столкнулся мистер

47

Браун, чрезвычайно проста, поскольку в ней речьидет о покрытии площадки плитками в форме ко-стей домино — простейших нетривиальных полимино.(Каждая «кость» полимино составлена из квадратов,примыкающих друг к другу по целой стороне).Предложенное Бетси доказательство неразрешимостизадачи применимо к любой фигуре из единичныхквадратов, у которой после раскрашивания квадра-тов в шахматном порядке клеток одного цвета оказы-вается по крайней мере на одну больше, чем клетокдругого цвета.

В рассмотренной нами задаче площадку перед до-мом можно рассматривать как прямоугольник раз-мером 6 X 7 единиц с двумя недостающими клеткамиодного цвета. Если из прямоугольника вырезать2 клетки одного цвета, то ясно, что покрыть 20 ко-стями домино 40 остальных клеток невозможно.С исходной задачей тесно связан следующий ееинтересный вариант: всегда ли 20 костями доминоможно покрыть прямоугольник размером 6 X 7 еди-ниц, из которого вырезаны 2 клетки разного цвета?Проверка на четность не позволяет доказать нераз-решимость новой задачи, но это отнюдь не означает,будто бренные останки прямоугольника всегда мож-но покрыть 20 костями домино. От перебора всехфигур, возникающих при удалении из прямоуголь-ника размером 6 X 7 единиц двух клеток разногоцвета, следует заранее отказаться, так как их слиш-ком много, что затрудняет анализ задачи. Не суще-ствует ли простое доказательство разрешимости за-дачи, позволяющее разом охватить все прямоуголь-ники размером 6 X 7 с двумя недостающими клетка-ми разного цвета?

Такое доказательство, простое и изящное, .дей-ствительно существует. Идею его предложил РальфГомори. Оно также использует проверку на четность.Предположим, что прямоугольник размером ,6. X 7деликом заполнен замкнутой дорожкой ширинойв 1 клетку (рис. 4). Если удалить 2 клетки разногоцвета, то, где бы они ни были расположены в прямо-угольнике, замкнутая дорожка распадется на двечасти, каждая из которых состоит из четного числаклеток, цвета которых чередуются. Ясно, что каждый

48

4

-

d

• 1

такой отрезок дорожки можно выложить костямидомино. Следовательно, задача всегда допускает ре-шение. Может быть вам захочется испытать свои си-лы и,применить остроумную идею Гомори к доказа-тельству разрешимости аналогичных задач .для пря-моугольников других размеров и форм, из которыхвырезано более двух клеток.

Теория «покрытия» — обширный раздел комбина-торной геометрии, интерес к которому все возра-стает. Области, которые требуется покрыть, могутбыть любой формы, конечными или бесконечными.Форма фигур, которыми требуется покрыть заданнуюфигуру, варьируется от задачи к задаче. Иногдатребуется покрытие не конгруэнтными фигурами,а фигурами нескольких различных форм. .Доказа-тельство несуществования решения таких задачнередко удается получить, раскрасив клетки покры-ваемой фигуры специальным образом в несколькоцветов.

•Трехмерным аналогом домино служит кирпич раз-мером 1 X 2 X 4 единиц. Такими кирпичами нетруд-но .заполнить ящик размером 4 X 4 X 4 единиц (за-полнение пространственных тел принято называтьупаковкой). Можно ли заполнить кирпичами ящикразмером 6 X 6 X 6 единиц? Решение-этой задачианалогично решению задачи о покрытии площадкинеред домом мистера Брауна. Представим себе, чтоящик разделен на 27 кубиков размером 2 Х2 Х2единиц. Раскрасим кубикн в шахматном порядке

49

в нерный и белый» цвет («шахматная доска» при этомполучится не обычная, а трехмерная). Подсчитав,сколько черных и белых кубиков вмещает ящик, мыобнаружим, что кубиков одного цвета на 8 больше,чем кубиков другого.

Независимо от того, как расположен кирпич вну-три ящика, он всегда покрывает столько же белыхкубиков, сколько и черных. Но кубиков одного цветав ящике на 8 больше, чем кубиков другого цвета. Не-зависимо от того, как расположены в ящике первые26 кирпичей, в нем всегда остается еще 8 кубиководного цвета. Покрыть их двадцать седьмым кирпи-чом невозможно. Доказать то же утверждение, пере-бирая все возможные случаи упаковки ящика, былобы чрезвычайно трудно.

Теория упаковки кирпичей — лишь небольшойфрагмент теории упаковки в трехмерном простран-стве. Проблемам этой теории, среди которых имеет-ся немало нерешенных, посвящена обширная и всевозрастающая литература. Многие из задач относят-ся к рациональному выбору стандартной упаковкипромышленных товаров, хранению товаров на скла-де и т. д.

Четность играет важную роль и в физике элемен-тарных частиц. В 1957 г. два американских физикакитайского происхождения, Ли Цзундао и ЯнгЧжэньнин, получили Нобелевскую премию за теоре-тическое предсказание несохранения четности. Ихзнаменитая работа носит слишком специальный ха-рактер, чтобы мы могли разобрать ее здесь, но со-хранение четности можно продемонстрировать напримере одного замечательного фокуса с монетами.

Наберите пригоршню монет и, бросив ее на стол,сосчитайте, сколько монет выпало вверх гербом.Если число гербов окажется четным, мы скажем, чтогербы имеют «четную четность». Если число гербовна столе окажется нечетным, мы скажем, что гербыимеют «нечетную четность». Выбрав наугад две мо-неты, переверните их и повторите эту операциюсколько угодно раз (выбирая пары монет каждыйраз наугад). Вы обнаружите удивительную законо-мерность: независимо от того, сколько пар монетперевернуто, четность гербов остается неизменной.

50

Если сначала она была нечетной, то она останетсянечетной, а если была четной, то останется четной.

Сохранение четности гербов лежит в основе остро-умного фокуса с монетами. Повернувшись спинойк столу, на котором разложены монеты, попроситекого-нибудь перевернуть наугад сколько угодно пармонет и, выбрав любую монету по своему усмотре-нию, накрыть ее рукой. Повернувшись лицом к столуи взглянув на монеты, вы можете безошибочно ска-зать, как лежит закрытая рукой монета — вверх иливниз гербом. Секрет фокуса очень прост. Преждечем отвернуться от стола, вы пересчитываете монеты,лежащие вверх гербом, и запоминаете, какое чис-ло — четное или нечетное — получилось. Переворачи-вание любого числа пар монет не изменяет четностичисла гербов. Поэтому повернувшись к столу, вылишь пересчитываете заново монеты, лежащие вверхгербом, и узнаете, как лежит закрытая рукой моне-та — гербом вверх или вниз.

Фокус можно показывать и по-другому. Пусть вашпомощник закроет рукой не одну, а две монеты. Высможете безошибочно сказать, лежат ли они обевверх гербом или «решкой», или же одна монета ле-жит гербом вверх, а другая — гербом вниз. Анало-гичные проверки на четность лежат в основе многиххитроумных карточных фокусов.

Проф. Квиббл и его домашние животные

Перед вами снова проф.Квиббл.Проф. Квиббл. У меня- естьдля вас новая головоломка.Сколько у меня домашних жи-вотных, если все они, кромедвух, собаки, все оии, кромедвух, кошки и все они, кромедвух, попугаи?

Ну как, решили?

У проф. Квиббла всего 3 до-машних животных: собака,кошка и попугай. Все они,кроме двух, собаки, все они,кроме двух, кошки, и все они,кроме двух, попуган.

Один за «всех» и «все» за одного

Эту задачу-головоломку, кажущуюся на первыйвзгляд неприступной, легко решить «в уме», если по*нять, что слово «все» может относиться и к одному-единственному животному. Требуемое решение мыполучаем в простейшем случае, когда имеется 1 со-бака, 1 кошка и 1 попугай. Однако решение задачиполезно представить в алгебраическом виде.

52

Пусть х — число собак, у — число кошек, г — чис-ло попугаев, а п — общее число животных. Тогдаусловия задачи позволяют записать следующую сис-тему из 4 уравнений:

Решить ее можно многими стандартными спосо-бами. Из первых трех уравнений видно, что х = у == г. Так как п = х + 2 и п = Зх (из последнегоуравнения), то х-\-2 = 3*, откуда х = 1 , и мы полу-чаем полный ответ задачи: x = y = z— 1.

Поскольку х, у и z в таких задачах принимают,как правило, целые положительные значения (ктостанет .держать у себя треть кошки или четверть по-пугая?), то задачу о домашних животных проф. Квиб-бла можно отнести к так называемым диофантовымзадачам. Так принято называть задачи, сводящиесяк решению алгебраических уравнений в целых чис-лах. Иногда диофантовы уравнения не имеют реше-ний или допускают только одно решение. Суще-ствуют также диофантовы уравнения, имеющие болееодного решения и даже бесконечно много решений.Вот, например, еще одна несколько более труднаядиофантова задача о трех видах домашних живот-ных, также сводящаяся к решению системы линей-ных уравнений.

Корова стоит 10 долларов, свинья — 3 доллара,а овца — 50 центов. Фермер купил по крайней мере1 корову, 1 свинью и 1 овцу, израсходовав на покуп-ку всего 100 долларов. Сколько и каких животныхон купил?

Пусть х — число коров, у — число свиней и г —число овец. Тогда условия задачи можно записатьв виде двух уравнений:

* + z/ + z = 100.

Умножив правую и левую часть первого уравне-ния на 2, избавимся от двойки в знаменателе, после

63

чего вычтем из первого уравнения второе. Тем са-мым мы исключим z и получим «укороченное» урав-нение

19JC + 5 Z / = 1 0 0 .

Какие целочисленные значения могут приниматьх п у? Один из способов получить ответ на этот воп-рос состоит в том, чтобы преобразовать уравнение,оставив в левой части только член с наименьшимкоэффициентом при неизвестном: Ьу = 100—19*.Разделив обе части уравнения на 5, получим у == (100—19*)/5. Разделим теперь 100 и 19* на 5, вы-делив заведомо целую часть и дробный остаток(если он существует):

у = 20 — Зх — 4х/5.

Ясно, что выражение 4*/5 должно принимать це-лочисленные значения. Следовательно, х должен бытькратен 5. Наименьшее кратное 5 равно 5, что соот-ветствует j = l и (если вернуться к любому из двухисходных уравнений) г = 94. При остальных значе-ниях х, кратных 5 (и больших 5), у принимает отри-цательные значения. Значит, наша задача допускаетединственное решение: фермер купил 5 коров,1 свинью и 94 овцы.

Варьируя цены на коров, свиней и овец, можносамостоятельно открыть многие премудрости элемен-тарной теории диофантовых уравнений. Предполо-жим, например, что коровы продаются по 4 доллара,свиньи — по 2 доллара и овцы — по 7з доллара заголову. Сколько животных купил фермер на 100 дол-ларов, если известно, что он купил по крайней мере1 корову, 1 свинью и 1 овцу? Эта задача допускает3 решения. А что можно сказать, если корова стоит5 долларов, свинья — 2 доллара и овца — 50 центов?Оказывается, что в этом случае решения не суще-ствует.

Теория диофантовых уравнений представляет со-бой обширный раздел теории чисел, имеющий бес-численные применения во многих областях науки итехники. Одна из знаменитых задач на решение дио-фантовых уравнений известна под названием вели-кой (или последней) теоремы Ферма. В ней требует-

54

ся найти при любух целых положительных п > 2решение в целых числах уравнения je"+«/rt —.zn

(при п = 2 эти решения называются пифагоровымитройками; существует бесконечно много пифагоровыхтроек, начиная с 32 + 42 = 52). Великая теоремаФерма — наиболее известная из нерешенных проблемтеории чисел. До сих пор никому еще не удалось нинайти хотя бы одно решение уравнения хп -\- уп == 2" в целых числах (при п > 2), ни доказать, чтотакого решения не существует.

Небольшой переполох в аптеке

Как-то раз в аптеку достави«ли 10 флаконов лекарства.В каждом флакоие по 1000 пи-люль. Не успел провизор мис-тер Уайт расставить флаконына полке, как почтальон при-нес телеграмму.

Мистер Уайт читает телеграм-му управляющей аптекой миссБлек.Мистер Уайт. Срочно. Воздер-житесь от продажи лекарства.По ошибке фармацевта в од-ном из флаконов каждая пи-люля содержит на 10 мг ле-карства больше допустимойдозы. Просьба незамедлитель-но вернуть флакон с повышен-ной дозой лекарства.

Мистер Уайт встревожился.Мистер Уайт. Нечего сказать,повезло! Теперь мне придетсябрать по пилюле из каждогофлакона и взвешивать. Весе-ленькое занятие!

Тяжело вздохнув, мистер Уайтхотел было приступить к не-ожиданно свалившейся на не-го работе, как мисс Блек оста-новила его.Мисс Блек. Минуточку! Взве-шивать 10 раз совсем не нуж-но! Достаточно произвести1 взвешивание.Каким образом при помощи1 взвешивания можно устано-вить, в каком флакоие пилю-ли содержат повышенную до-зу лекарства?

56

Идея мисс Блек состояла втом, чтобы взять 1 пилюлю изпервого флакона, 2 пилюли извторого флакона, 3 пилюли изтретьего флакона, ..., 10 пи-люль из десятого флакона...

...положить 55 отобранных пи-люль на одну чашу весов ивзвесить их. Предположим, чтопилюли весили бы 5510 мг,или на 10 мг больше, чем сле-дует. Тогда мисс Блек заклю-чила бы, что среди отобранныхпилюль имеется 1 пилюля сповышенной дозой лекарства,а ровно 1 пилюля была извле-чена из первого флакона.

Если бы вес 55 пилюль ока-зался на 20 мг больше нормы,то это означало бы, что средиотобранных пилюль имеются2 пилюли с повышенной дозойлекарства. Их можно было из-влечь только из второго фла-кона. Так мисс Блек сумелапонизить число взвешиванийдо 1. Меньше не бывает!

Большой переполох в аптеке

Через 6 месяцев в аптеку до-ставили еще 10 флаконов то-го же лекарства. И на этотраз не успели распаковать ко-робку с флаконами, как поч-тальон принес телеграмму сизвещением о том, что иа этотраз фармацевт допустил бо-лее серьезную ошибку.

В посылке могло оказаться от1 до 10 флаконов с пилюлями,каждая из которых на 10 мгтяжелее нормы. Мистер Уайтб ы л в н е с е б я о т H D O C T H .

Мистер Уайт. Что делать, миссБлек? Ваш метод, который по-зволил нам так блестяще вый-ти из затруднения в прошлыйраз, неприменим!Мисс Блек задумалась.

Мисс Блек. Вы правы, мистерУайт. Но если слегка модифи-цировать мой метод, то припомощи 1 взвешивания и наэтот раз можно определить, вкаких флаконах пилюли содер-жат повышенную дозу лекар-ства.Что имела в виду мисс Блек?

Как определить непригодные пилюли?

По условиям первой задачи на взвешивание пи-люль все более тяжелые пилюли находятся в одномфлаконе. Взяв из различных флаконов различноечисло пилюль (проще всего вз-ять из каждого фла-кона число пилюль, равное его номеру), мы устано*вим взаимно-однозначное соответствие между мно-жеством номеров и множеством" флаконов.

Чтобы решить вторую задачу, необходимо вос-пользоваться последовательностью, которая бы сопо-ставляла каждому флакону отличный от другихномер и обладала бы еще одним дополнительнымсвойством: сумма членов любой ее подпоследова->тельности должна быть отличной от суммы членов лю-бой другой ее подпоследовательности. Существуют литакие последовательности? Да, существуют. Приме-ром может служить хотя бы геометрическая прогрес-сия со знаменателем 2 и первым членом 1:1, 2, 4, 8,16 Все члены этой последовательности —степени числа 2, причем показатель возрастаетот 0 с единичным шагом. Именно эта последова-тельность лежит в основе двоичной системы счис-ления.

Решение задачи состоит в том, чтобы, выстроивфлаконы в ряд, взять 1 пилюлю из первого флакона,2 пнлюли из второго флакона, 4 пилюли из третьегофлакона и т. д., затем собрать все отобранные пилю-ли и взвесить. Предположим, что пилюли оказалисьна 270 мг тяжелее, чем нужно. Так как каждая пи-люля с повышенной дозой лекарства тяжелее нор-мальной на 10 мг, то, разделив 270 на 10, мы полу-чим 27 — число более тяжелых пилюль.

Запишем число 27 в двоичной системе: ПОИ.Двоичные разряды, в которых стоят единицы, гово-рят нам, какие степени числа 2 в сумме дают двоич-ное число 11011 (или десятичное число 27): 1, 2, 8и 16. Единицы стоят в первом, втором, четвертом ипятом двоичных разрядах. Следовательно, непригод-ные пилюли с повышенным содержанием лекарстванаходятся в первом, втором, четвертом и пятом фла-конах.

59

Двоичная система счисления находит столь шире-»кое применение именно потому, что каждое положи-тельное целое число можно представить в виде сум-мы степеней числа 2 единственным способом. Бездвоичной системы счисления в наши дни немыслимаработа ЭВМ. Немалую роль двоичная система играетво многих областях прикладной математики. Почет-ное место отведено двоичной системе и в заниматель-ной математике.

Вот простой карточный фокус, который позволитвам удивить и позабавить ваших друзей. Хотя внеш-не он ничем не напоминает задачу об отысканиифлаконов с непригодными пилюлями, и задача, ифокус по существу «двоичны» — в основе их лежитдвоичная система счисления.

Пусть кто-нибудь из зрителей тщательно перета-сует колоду карт. Положив ее в карман, попроситевашего помощника назвать любое число от 1 до 15,после чего, сунув руку в карман, достаньте карты,значения которых в сумме равны названному числу(туз считается равным 1).

Секрет фокуса прост. Вы заранее кладете в кар-ман туз, двойку, четверку и восьмерку. Определитьна глаз недостачу четырех карт в колоде невозмож-но, и ваши зрители будут пребывать в уверенности,что вы попросили перетасовать полную колоду.Перетасованную колоду вы подкладываете под четы-ре карты, уже лежащие в кармане. После того какчисло названо, вы мысленно представляете его в видесуммы степеней числа 2 (например, если названочисло 10, то вы мысленно разлагаете его в сумму8 + 2 = 1 0 ) и, сунув руку в карман, достаете двойкуи восьмерку.

На том же двоичном принципе построены и кар-точки «для чтения мыслей на расстоянии». На рис. /из гл. 3 показаны 6 карт, позволяющие безошибочноотгадывать любое задуманное число от 1 до 63. По-просите кого-нибудь, задумав любое число в этомдиапазоне (например, свой возраст), отобрать ивручить вам все карточки, на которых оно встречает-ся, и вы немедленно назовете задуманное число.Секрет этого фокуса также прост: вы просто сумми-руете степени числа 2, стоящие в левом верхнем

60

углу каждой таблицы. Например, если были отобра-ны и вручены вам таблицы С и F, то вы суммируе-те числа 4 и 32 и узнаете, что было задумано чис-ло 36.

По какому принципу выбраны числа на каждойкарточке? Каждое число, имеющее в двоичной запи-си единицу в первом разряде справа, заносится в та-блицу А. Следовательно, в эту таблицу вписаны всенечетные числа от 1 до 63. В карточку В заносятсявсе числа, имеющие в двоичной записи единицу вовтором разряде справа, в карточку С — все числа,имеющие единицу в третьем разряде справа и т. д.Заметим, что число 63 в двоичной системе записы-вается как 111111, то есть имеет единицы во всехшести разрядах, и поэтому встречается на всех ше-сти карточках.

Иногда фокусники придают этому фокусу налеттаинственности, окрашивая карточки в различныецвета и запоминая, какой цвет соответствует той илииной степени числа 2. Пусть, например, краснаякарточка означает 1, оранжевая — 2, желтая — 4,зеленая — 8, голубая — 16 и фиолетовая — 32 (мывыбрали 6 цветов радуги по порядку, пропустив си-ний). Фокусник становится в дальнем конце комнатыи просит кого-нибудь из зрителей отложить в сто-рону карточки, на которых встречается задуманноечисло. По цвету отложенных карточек фокусник безпромедления может назвать задуманное число.

Распиленный браслет

Однажды юная Глория из Ар-канзаса отправилась в Кали-форнию. Ей необходимо былоснять на неделю номер в гос-тинице.

Портье в гостинице встретилее весьма нелюбезно.Портье. Могу предложить толь-ко номер за 20 долларов всутки. Плата наличными.Глория. Простите, сэр, у менянет при себе денег. Есть толь-ко этот золотой браслет. Каж-дое из его 7 звеньев стоит до-роже 20 долларов.

Портье. Так и быть, давайтесюда ваш браслет.Глория. Не торопитесь. Я по-прошу какого-нибудь ювелирараспилить браслет и буду от-давать вам по 1 звену в день,а к концу недели, когда мнепришлют из дому деньги, от-дам браслет в починку.

После долгих споров,, портьесогласился. Но перед Глорией,встала задача: как распилить1

браслет?

Глория. Торопиться не следует.Ведь ювелир потребует с меняплату за каждое распиленноеи вновь запаянное звено брас-лета.

Поразмыслив, Глория поняла,что ей вовсе не нужно распи-ливать все звенья, посколькуотдельные части браслета мож-но комбинировать так, чтобычисло оставшихся у портьезвеньев каждый раз соответ-ствовало плате за номер.Сколько звеньев вы бы при-казали распилить на местеГлории?

Достаточно распилить лишьодно-едииствеиное звено: тре-тье с любого конца цепи. Бра-слет распадется на 3 частидлиной в 1 звеио, 2 звена и4 звеиа. Отдавая их в необхо-димой комбинации портье иполучая предыдущие, Глориясможет оставлять у портьекаждый день на 1 звеио боль-ше, чем накануне.

Решающее звено

Чтобы решить эту задачу, необходимо принять вовнимание два соображения. Во-нервых, понять, чтонаименьший набор отрезков золотой цепочки, позво-ляющий оставить у портье любое число звеньев от 1до 7, состоит из 3 отрезков длиной в 1, 2 и 4 звена.&ак МЫ уже знаем из решения предыдущей задачи,эти числа — не что иное, как последовательные сте-пени числа 2, положенные в основу двоичной систе-мы счисления.

63

Во-вторых, необходимо понять, что разделитьбраслет на части длиной в 1, 2 и 4 звена можно рас-пилив одно-единственное звено.

Задача допускает обобщение на случай, когдабраслет или цепочка состоят более чем из 7 звеньев.Например, пусть у Глории имеется с собой золотаяцепочка из 67 звеньев, которую необходимо распи-лить с той же целью, что и злосчастный браслет,—для уплаты за проживание в гостиничном номере от1 до 67 суток по 1 звену за сутки. Оказывается, чтов этом случае достаточно распилить лишь 3 звена.Вы знаете, какие именно? Может быть, вы можетепредложить общий метод решения задачи, позволяю-щий распиливать минимальное число звеньев цепипроизвольной длины?

Интересный вариант этой задачи возникает в томслучае, если первоначально концы n-звенной цепочкисоединены так, что цепочка превратилась в замкну-тую петлю. Например, предположим, что у Глорииесть золотая цепочка из 79 звеньев. Сколько звеньевнеобходимо распилить, чтобы Глория могла оплатитьот 1 до 79 суток пребывания в гостинице из расчетапо 1 звену за сутки?

Глава

Геометрические находки

НЕОЖИДАННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧО ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ И ФИГУРАХ

Геометрия занимается изучением свойств тел ифигур, хотя такое определение настолько широко,что почти лишено смысла. Так, оно позволяет счи-тать геометром члена жюри любого конкурса красо-ты, поскольку тот судит о «свойствах тел и фигур»,хотя под телами и фигурами он понимает нечтоиное, чем геометр. Когда о какой-нибудь линии кто-либо замечает, что она необычайно изящна или вы-разительна, то, хоть речь идет о кривой, то естьобъекте, действительно изучаемом в геометрии, самовысказывание относится скорее к области эстетики,чем к математике.

Попробуем уточнить, что такое геометрия, и опре-делим ее с помощью такого понятия, как симметрия.Под симметрией принято понимать такое преобразо-вание фигуры, которое оставляет фигуру неизменной.Например, буква Н симметрична относительно пово-рота на 180°. Это означает, что если букву Н повер-нуть на 180° (поставить «вверх ногами»), то онаперейдет в фигуру, неотличимую от буквы Н в исход-ном положении (разумеется, при условии, если пере-кладина в букве Н находится строго посредине).Слово «AHA», стоящее на обложке этой книги, обла-дает зеркальной, или двусторонней симметрией: еслиприставить к нему справа или слева зеркало, то зер-кальное отражение слова будет неотличимо от ори-гинала.

65

Любой раздел геометрии можно определить какнауку о свойствах фигур, не изменяющихся приопределенных преобразованиях симметрии. Напри-мер, евклидова геометрия на плоскости занимаетсяизучением свойств, остающихся неизменными (ин^вариантных) при движении фигуры по плоскости, по-воротах, зеркальных отражениях и равномерных сжа-тиях и растяжениях. Аффинная геометрия занимает*ся изучением свойств, инвариантных относительно«перекашивания» фигуры. Проективная геометрияизучает свойства, инвариантные относительно прое-цирования. Топология имеет дело со свойствами, ко-торые сохраняются неизменными, когда фигура пре-терпевает сколь угодно сильные искажения без раз-рывов и склеиваний, аналогичные деформациям фи-гуры, изготовленной из гибкого, растяжимого ипрочного материала.

Хотя геометрические мотивы встречаются во всехглавах нашей книги, в этой главе мы собрали задачи,в которых геометрический аспект имеет явное пре-имущество перед всеми остальными. При отборепредпочтение отдавалось таким задачам, которые принадлежащем подходе (и «везении») допускают про-стые и ясные решения. Первая же задача — о раз-резании сыра — отчетливо показывает, как теснопереплетаются даже в простейших задачах «сферывлияния» самых различных разделов математики: ееможно рассматривать как задачу по планиметрии,стереометрии, комбинаторике, теории чисел. В этойже задаче нетрудно усмотреть и зачатки исчисленияконечных разностей.

«Пасутся кони на другом поле», как ни странно,—«топологическая задача. Метод нитей и пуговиц по-зволяет свести ее к задаче о точках на простойзамкнутой кривой. Форма замкнутой кривой для ре-шения задачи не имеет ни малейшего значения —••важны лишь топологические свойства кривой. Мыприводим решение задачи для случая, когда точкирасположены на окружности, но с тем же успехом мымогли взять кривую, образующую периметр квадратаили треугольника.

Следующие две задачи («Невиданный меч» и«Пари на полюсе») снова выводят нас из плоскости

66

в евклидову геометрию трехмерного пространства.При взгляде на маршруты полетов невольно вспоми-нается другая знаменитая задача о путях — задачао четырех черепахах. На ее примере мы видим, чтоиногда простые идеи позволяют избежать примене-ния несравненно более сложных методов математи-ческого анализа. Задача об искусном землемереРэнсоме возвращает нас на плоскость и знакомит стакими главами евклидовой геометрии, как теорияразрезаний и разбиений. Задачи на разбиение зе-мельных участков относятся к так называемой ком-бинаторной геометрии плоскости. Задача мисс Ев-клид о разрезании куба принадлежит к комбинатор-ной геометрии пространства.

Задача о ковровом покрытии для кольцевого ко-ридора и ее трехмерный аналог — задача о просвер-ленной насквозь сфере — могут служить прекрасны-ми примерами того, как некая величина, которая, ка-залось бы, должна изменяться в зависимости от зна-чений других параметров, в действительности при-нимает лишь одно значение. Кто мог бы ожидать,что при просверливании в сфере сквозного цилиндри-ческого канала заданной длины объем оставшейсячасти сферы при постоянной длине канала не зави-сит ни от радиуса сферы, ни от диаметра канала?Впервые столкнувшись с теоремой о таком удиви-тельном постоянстве, математик выразит свое изум-ление и почти заведомо скажет: «Красивый резуль-тат!»

Что именно имеют в виду математики, называятеорему или формулу красивой, точно не известно.Красота в их понимании каким-то образом связана снеожиданной простотой, но сколь ни трудно объяс-нить, в чем состоит эстетическая привлекательностьматематического утверждения, все математики умеютотличать красивую теорему или изящное доказатель-ство с такой же легкостью, с какой мы отличаемкрасавицу от дурнушки. Геометрия, изучающаяобъекты, доступные не только мысленному взору, нон непосредственному созерцанию, необычайно бога-та красивыми теоремами и доказательствами. Неко-торые из них вы встретите в этой главе,

67

Как разделить головку сыра

Кухня в ресторане «У Джо»оставляет желать лучшего, за-то выбор сыров у Джо от-менный.

Цилиндрическая головка сыратаит в себе немало интерес-ных задач на разрезание. Про-ведя лишь 1 прямолинейныйразрез, ее нетрудно разделитьна 2 одинаковые части.

Два прямолинейных разрезапозволяют разделить головкусыра на 4 одинаковые части,а 3 прямолинейных разреза —на 6 равных частей.

Однажды официантка Рози по-просила Джо разрезать сыр на8 одинаковых частей.Джо. Хорошо, Рози. Сделатьэто совсем нетрудно. Я разде-лю сыр на 8 одинаковых час-тей четырьмя прямолинейнымиразрезами.

Подавая сыр иа стол, Розивдруг поняла, что Джо могдействовать и более экономно:чтобы разделить головку на8 одинаковых частей, доста-точно провести лишь 3 прямо-линейных разреза.Как это сделать?

Три разреза?

Рози пришло в голову, что цилиндрическая го-ловка сыра представляет собой не плоскую фигуру,а тело, которое можно разрезать по горизонтальнойплоскости, проходящей через его центр. На рис. 1

111J11t

11>

показано, как тремя разрезами разделить сыр на 8одинаковых порций. В этом решении предполагает-ся, что все три разреза проведены одновременно.Если же разрезы проводить последовательно, одинза другим, и перед каждым разрезом переставлятькуски сыра наиболее удобным образом, то тремяразрезами сыр можно разрезать по-другому (так,как он разрезан^на подносе в руках Рози): для этогоодин из двух кусков, получившихся после первогоразреза, нужно поставить на другой, провести ещеодин разрез, взять одну из «двухэтажных» половин,поставить на другую и провести третий разрез.После третьего разреза головка сыра окажется раз-деленной на 8 одинаковых порций.

Решение Рози столь просто, что кажется почтитравиальным, и тем не менее оно может служить хо-

69

решим введением в серию важных задач на разреза-ние, теОрйя которых связана с исчислением конечныхразностей, а многие доказательства проводятся мето-дом Математической индукции. Конечные разностислужат мощным средством получения формул общихчленов числовых последовательностей. Интерес кчисловом последовательностям неуклонно возрастает,что объясняется по крайней мере двумя причинами:во-первых, тем, что числовые последовательностивстречаются во многих числовых задачах, и, во-вто-рых, быстротой, с которой ЭВМ позволяют произво-дить цад числовыми последовательностями любыедействия.

Изобретенный Рози первый метод разрезаниясыра (без перекладывания кусков) состоит в прове-дении прямолинейных или, лучше сказать, плоскихр а з р е з у проходящих через центр верхнего основа-ния готовки сыра, плоского, как у круглого пирога.Выяснцм, какие числовые последовательности можетпорождать разрезание верхней поверхности сыраnpHMbiHjHj пересекающимися в центре (ясно, что п од-новрем е н н о проведенных разрезов позволяют разде-лить cbjp н е более чем на 2п кусков).

Мо% н о Л и считать, что In — максимальное числочастей, на которые п прямых, проходящих через однуточку, ^огут разделить любую плоскую фигуру, огра-ниченную простой замкнутой кривой? Нет: нетруднопостроить невыпуклую фигуру (например, такую, какна рис, 2), которую одной прямой можно разделитьна з н а ч и т е л ь н о большее число частей. А можно ли

70

построить фигуру, которую одной прямой можнобыло бы разделить на любое конечное число кон-груэнтных частей? Если да, то какими свойствамидолжен обладать периметр фигуры, чтобы одной пря-<мой от нее можно было отсечь п конгруэнтныхчастей?

Задача о разрезании пирога или сыра становитсяеще более интересной, когда линии разреза не пере-секаются в одной точке. Нетрудно видеть, что начи-ная с и = 3 при таком способе разрезания исходныйкруг будет распадаться более чем на 2п частей (поканас не интересует, будут ли эти части конгруэнтны-ми или равновеликими). На рис. 3 показано, каким

образом достигается максимальное число частейпри числе разрезов п, равном 1, 2, 3 и 4 (круг де-лится соответственно на 2, 4, 7 и 11 частей).

Числа 2, 4, 7 и 11 образуют отрезок известной по-следовательности с общим членом, задаваемымформулой

п(п-\) , ,2 г 1 .

где п — число разрезов. Полагая п = 0 , 1, 2, ,..,9,получаем первые десять членов последовательности:

71

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, .... Первые разностиравны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., вторые разностиравны 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 Постоянство вторыхразностей основательно подкрепляет нашу догадку отем, что общий член этой последовательности квад-ратичен по п.

Мы говорим о догадке потому, что формула, полу-чаемая при помощи конечных разностей, может ока-заться «ограниченно применимой» — порождать лишьчасть членов бесконечной последовательности. При-менимость формулы «конечно-разностного происхож-дения» ко всем без исключения членам числовой по-следовательности каждый раз необходимо доказыватьособо. В случае круглого пирога такое доказатель-стве действительно существует. Его нетрудно найти,если воспользоваться методом математической ин-дукции.

После этих замечаний, носящих сугубо предвари-тельный характер, вы достаточно вооружены, чтобысмело вступить на неизведанную территорию и про-ложить по ней десятки увлекательных маршрутов всамых разных направлениях, многие из которых при-водят к необычным числовым последовательностям,формулам и доказательствам методом математиче-ской индукции. Определить максимальное числочастей, на которые можно разделить:

1) подковообразный пирог п прямыми;2) головку сыра в форме шара или цилиндра п

плоскими разрезами;3) пирог п круговыми разрезами, проводимыми

специальным ножом;4) пирог, испеченный в форме кольца (с круг-

лым отверстием посредине) п прямыми;5) бублик (тор) п плоскими разрезами.Во всех этих задачах предполагается, что разрезы

проводятся одновременно. Как изменятся ответы,если будет разрешено проводить разрезы последо-вательно и после каждого разреза перекладыватьобразовавшиеся куски?

Невидимые размеры

В центре городского парка на->ходится, круглая площадка дляигр. Магистрат вознамерилсяустроить на этой площадкебассейн в форме ромба.

Мэр города Дорис Райт, рас-смотрев представленные архи-тектором проекты, высказаласвое мнение.Мэр Райт. Мне нравится вотэтот проект бассейна, облицо-ванного красным кафелем. Ка-кова длина каждой стороныромба?

Вопрос мэра поставил в тупикархитектора Фрэнка ЛойдаРонга.Мистер Ронг. Сейчас прикину.Расстояние от А до В равно5 м, а расстояние от В до С —4 м. По этим данным можнонайти длину стороны BD, на-пример вычислить ее по теоре-ме Пифагора.

Мистер Ронг приступил былок вычислениям, как вдруг до-стопочтенную . миссис Райт осе-нило.Мэр Райт. Есть идея! Длинастороны бассейна — ровно 9 м,Тут и считать нечего.

ГТ

73

Мистер Ронг. Вы абсолютноправы!

Что позволило мэру и архи-тектору с такой легкостью иай«ти длину стороны бассейна?

Диагональ и радиус

Миссис Райт заметила, что каждая сторона бас-сейна совпадает с диагональю некоего прямоуголь-ника, другая диагональ которого равна радиусукруглой площадки для игр. Диагонали прямоуголь-ника равны. Следовательно, длина стороны бассейнаравна радиусу круглой площадки для игр. А по-скольку этот радиус составляет 5 + 4 = 9 м, т о йдлина каждой стороны бассейна равна 9 м. ТеоремаПифагора не понадобилась.

Вы сможете лучше оценить все остроумие догад-ки миссис Райт, если Попытаетесь вычислить длинустороны бассейна более традиционным способом.Если вы захотите воспользоваться только теоремойПифагора и подобием треугольников, то решение по-лучится чрезмерно громоздким. Известная из плани-метрии теорема о пересекающихся хордах, гласящая,что произведение длин отрезков, на которые точкапересечения делит хорды, одинаково для всех хорд,пересекающихся в данной точке, позволяет несколькосократить решение. Применяя эту теорему, вы вы-

74

числите высоту прямоугольного треугольника (со-ставляющего четверть бассейна), равную ^56. Затемпо теореме Пифагора, зная два катета, вы найдетегипотенузу, равную 9 м.

С задачей о бассейне, так изящно решенной мис-сис Райт, тесно связана знаменитая задача о водя-ной лилии, встречающаяся в одном из произведенийЛонгфелло. Когда стебель лилии стоит вертикально,цветок ее на 10 см возвышается над поверхностьюозера. Если лилию оттянуть в сторону, не даваястеблю провиснуть, то цветок ее коснется воды вточке, отстоящей на 21 см от того места, в которомвыходил из воды прямостоящий стебель. Какова глу-бина озера в том месте, где растет лилия?

Задачу Лонгфелло нетрудно решить, если начер-тить схему, изображенную на рис. 4. По существу этасхема ничем не отличается от проекта бассейна, пред-ставленного архитектором Ронгом. Требуется опреде-лить длину отрезка х. Как и задачу о длине стороны

бассейна, задачу о лилии можно решить разнымиспособами. Но если воспользоваться теоремой о пере-секающихся хордах, то ответ получается особеннолегко и быстро.

А вот еще одна замечательная задача о бассейне,трудная с виду, но легко решаемая, если сообщить,в чем ее изюминка. Дельфин находится у западногокрая круглого бассейна в точке А, проплывает попрямой 12 м и упирается «носом» в край бассейнав точке В, Повернувшись, он проплывает по прямой

75

в другом направлении 5 м и снова касается краябассейна в точке С, диаметрально противоположнойточке А. Какое расстояние пришлось бы преодолетьдельфину, если бы он из точки А поплыл прямо вточку С?

Задача о дельфине решается легко и просто, есливоспользоваться теоремой о том, что любой вписан-ный угол, опирающийся на диаметр окружности,—прямой, и заметить, что угол ABC именно такой угол.Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 5 ми 12 м. Следовательно, гипотенуза равна 13 м. Мо-раль всех этих задач ясна: во многих случаях геомет-рическую задачу можно решить до смешного просто,если вовремя вспомнить соответствующую теоремуевклидовой геометрии.

Пасутся кони на другом поле

На заседании шахматного клу-ба мистер Бишоп предложилследующую задачу.Мистер Бишоп. Как поменятьпозиции черных и белых ко-ней за наименьшее число хо-дов?

Один из членов клуба сделал2 первых хода так, как пока-зано на диаграмме. Переста-вить белых коней в верхниеуглы доски, а черных — в ниж-ние он сумел за 24 хода.

Другому члену клуба удалосьрешить задачу мистера Бишопаза 20 ходов.

Но никому нешить задачу18 ходов, покаФанни Фиш.

удавалось ре-менее чем за

не появилась

с

<м>/8Н

)77

Мисс Фиш. Есть идея! Я знаю,как решить задачу за 16 хо-дов, и могу доказать, что еенельзя решить за меньшее чи-сло ходов.

Прежде чем приступить к объ-яснению, Фанни начертила диа-грамму, иа которой отрезкамипрямых изображены возмож-ные ходы каждого коия.

Мисс Фиш. Представьте себе,что отрезки прямых — это ни-ти, а восемь клеток нанизанына иих, как бусины, и их мож-но расположить по окружно-сти.

Мисс Фиш. Каждый ход надоске соответствует вполнеопределенному ходу на окруж-ности. Чтобы поменять пози-ции коией, их необходимо пе-реместить по окружности, дви-гая в одном направлении.

78

Мистер Бишоп. Вы совершен-но правы, Фаннн. Чтобы пе-рейти иа новую позицию, каж-дый из 4 коией должен совер-шить по 4 хода. Таким обра-зом, задачу можно решить за16 ходов, а более экономногорешения не существует.

Фанни заменила одного из бе-лых коней красным и задалачленам шахматного клуба но-вую задачку: как поменятьместами белого и красного ко-ня за наименьшее число хо-дов?Как, по-вашему, почему Фаиииулыбалась, предлагая эту за-дачку?

Шахматные кони и звездчатые фигуры

Фанни решила шахматную задачу, сведя ее к изо-морфной задаче, допускавшей простое (хотя и дале-ко не тривиальное!) решение. Поставленную Фаннизадачу можно решить тем же методом. Соединив ни-тями клетки, занятые конями, и развернув получив-шееся «ожерелье» в окружность, мы увидим, чтокони нанизаны на нити в следующем порядке: чер-ный, черный, красный, белый. Фанни улыбалась, таккак понимала, что переставить красного и белого ко-ней невозможно: они следуют друг за другом в не-изменном порядке, потому что ни один конь не можетперепрыгнуть через другого коня, если они оба дви-жутся по кругу (в любом направлении) и обгон за-прещен. Понятно ли вам почему?

При движении по окружности по часовой стрел-ке белый конь всегда следует непосредственно закрасным. Если бы белый и красный кони могли по-меняться полями, которые они занимали на доске ссамого начала, то порядок следования был бы изме-нен на обратный и красный конь двигался бы по кругу

79

непосредственно за белым. Ясно, что такое пере-строение невозможно. Действительно, оно означалобы, что один из коней (либо белый, либо красный)перепрыгнул через двух черных коней. Сведя мини-шахматную задачу к топологической задаче о распо-ложении четырех точек на простой замкнутой кри-вой, мы получили возможность весьма просто дока-зать, что решения исходной задачи не существует.Получить доказательство «несуществования» другимспособом было бы чрезвычайно трудно. Попробуйте,и вы убедитесь в этом сами. •

Вам понравилась задача о перестановке шахмат-ных коней? Вот еще одна такая задача, по трудностидаже превосходящая обе предыдущие. Рассмотримпозицию на шахматной доске 3 X 4 , изображеннуюна рис. 5. Как и прежде, трех черных и трех белыхконей требуется поменять местами так, чтобы белые

*

4

7

а.

*

ft.1—MIь

ftL—11г

кони оказались на верхней горизонтали, а черныезаняли нижнюю горизонталь, причем выполнитьперестановку за наименьшее число ходов.

В этом случае, как видно на рис. 6, изоморфныйграф более сложен. Этот граф представляет собойдиаграмму, на которой показаны все возможныеходы коней, Предположив, что вершины нашего гра-

80

фа — пуговицы или бусины, а ребра — нити, мы об-наружим, что развернуть его в окружность, как впредыдущей задаче, невозможно, но наш граф из ни-тей и пуговиц нам удастся уложить так, как показа-но на рис. 7. Числа на этом рисунке соответствуютномерам клеток на рис. 4 и 5.

7 1

И 7

Ясно, что задача о перестановке шахматных ко-ней на этом графе изоморфна исходной задаче, норешается несравненно легче. Удастся ли вам найтиминимальное решение в 18 ходов?

Метод нитей и пуговиц позволяет проанализиро-вать одну старинную игру. Для нее нам понадобится

81

особая «доска» — звездчатый граф, изображенныйна рис. 8, и семь монет или небольших фишек.

8

Игра состоит в следующем. Положив монету налюбую вершину графа, вы можете сдвинуть ее вдольчерной ломаной линии (ребер графа) в любую дру-гую вершину. После того как ход закончен, прика-саться к монете и перемещать ее в другую вершинузапрещается.

Затем вы кладете вторую монету на любую не-занятую вершину графа и передвигаете ее вдоль ре-бер в любую другую незанятую вершину. Так выпродолжаете действовать до тех пор, пока все семьмонет не займут свое место на вершинах графа.

Очень скоро вы обнаружите, что расставить всесемь монет удается, если действовать по тщательнопродуманному плану: малейшая небрежность приво-дит к позиции, не позволяющей достичь в игре успе-ха. Не могли бы вы указать, каких правил следуетпридерживаться при расстановке и перемещении мо-нет, чтобы вам неизменно сопутствовал успех?

Звездчатый граф можно полностью «раскрыть»подобно графам в двух первых задачах о перестанов-ке шахматных коней, его удается развернуть в ок-ружность. После того как это сделано, семь монетнетрудно расположить на окружности и проанализи-ровать, как они могут двигаться. Справиться с этойзадачей можно многими способами. Одна из наибо-лее простых выигрышных стратегий состоит в том,

82

чтобы делать любой ход первой монетой, а все сле-дующие монеты ставить и передвигать всегда так,чтобы по окончании хода они заняли вершину, кото-рую занимала в исходном положении предыдущаямонета.

Предложите сыграть в эту игру своим друзьям.Лишь очень немногие из них смогут расставить всесемь монет, даже если вы один раз быстро продемон-стрируете им, как следует играть,

Невиданный меч

Присмотритесь повнимательнеек этой картинке. Что худож-ник нарисовал неправильно?

Взгляните на меч в руке ры-царя: его невозможно вло-жить в ножны.

Эти два меча (если только онине имеют утолщений) можновложить в ножны соответству-ющей формы. Можете ли выпридумать еще какую-нибудьформу для меча и парных емуножен?

Вам пришла в голову мысльперейти от плоских кривых кпространственным? Оказывает-ся, помимо двух традиционныхформ мечей, вкладывающихся виожиы, тем же свойством об-ладают только мечи, выкован-ные в форме винтовой линии.

Незаменимая кривая

Винтовая линия играет важную роль в современ^ной науке,-особенно в биологии и физике элементар-ных частиц. Молекулы ДНК имеют форму винтовойлинии. В отличие от своих одно- и двумерных двою-родных сестер — прямых и окружностей — винтоваялиния обладает «закрученностью», то есть можетбыть правой и левой. Прямая и окружность неотли-чимы от своих зеркальных отражений, но отличитьвинтовую линию от ее зеркального отражения не со-ставляет ни малейшего труда. В зеркале винтоваялиния, по выражению Алисы из Зазеркалья (ЛьюисКэрролл), «идет наоборот».

Существует множество примеров винтовых линийв природе и в повседневной жизни. Винтовая линияпо традиции считается правой, если она закручивает-ся по часовой стрелке по мере удаления от вас. Вин-ты, болты и гайки, как правило, имеют правую на-резку. Винтовые лестницы, стебли сахарного трост-ника, пружины, волокна в канатах и кабелях истружки могут закручиваться как вправо, так ивлево.

К числу примеров встречающихся в природе вин-товых линий относятся рога многих животных, рако-вины морских моллюсков, гигантский зуб нарвала,ушная раковина человека, пуповина. В мире расте-ний винтовая линия встречается в строении стеблей,побегов, усиков, семян, цветов, шишек, листьеви т. д. Взбираясь на вершину дерева или спускаясьс нее, белка описывает винтовую линию. Вылетая изпещеры, летучие мыши также движутся по винтовымлиниям. Винтовые линии, навитые на конус, можнобез труда обнаружить в таких атмосферных явле-ниях, как вихри или смерчи. Вода, стекая в ракови-не, также закручивается в воронку, сотканную извинтовых линий. Много других примеров винтовыхлиний вы найдете в книге М. Гарднера «Этот пра-вый, левый мир» *.

Правильная винтовая линия — это кривая, нави-тая на круговой цилиндр под постоянным углом к

* Гарднер М. Этот правый, левый мир. — М.: Мир," 1967.

85

образующим (напомним, что образующими называ-ются прямые на поверхности цилиндра, параллель-ные его оси). Пусть ф — угол, под которым винто-вая линия пересекает образующие цилиндра. При0 = 0° винтовая линия, как нетрудно видеть, вырож-дается в прямую, а при Ф = 90° — в окружность.Аналитически в этом можно удостовериться, еслизаписать параметрические уравнения винтовой ли-нии и проварьировать входящий в них угол •& от ИГдо 90°. И прямая, и окружность — предельные фор-мы более общей пространственной кривой, получив-шей название винтовой линии. Правильная винтоваялиния — единственная пространственная кривая по-стоянной кривизны. Этим и объясняется, почемумечи, вкладывающиеся в ножны, можно изготовитьтолько в форме правильной винтовой линии (что вы-глядело бы несколько необычно) и двух ее предель-ных случаев — прямой и-окружности.

Проекция винтовой линии на плоскость, перпенди-кулярную ее оси, имеет форму окружности. Спроеци-ровав винтовую линию на плоскость, параллельнуюоси, мы получим синусоиду. В этом нетрудно убедить-ся, если снова воспользоваться параметрическимиуравнениями кривой. Многие свойства синусоидыможно изучать по ее близкой родственнице — винто-вой линии.

В этой связи мы хотим рассказать одну забавнуюисторию-задачу, допускающую (при надлежащемподходе) очень простое решение. Внутри цилиндриче-ской башни высотой 100 м ходит лифт. Снаружи баш-ни имеется винтовая лестница, образующая с верти-калью постоянный угол •& = 60°. Диаметр башни 13 м.

Однажды мистер и миссис Пицца поднялись налифте на смотровую площадку, расположенную навершине башни. Их сын Томато Пицца предпочелидти наверх пешком. Когда он добрался до смотро-вой площадки, вид у него был не блестящий.

— Не мудрено, что ты устал, сынок,— заметилмистер Пицца.— Ведь тебе пришлось проделать вчет-веро больший путь, чем нам, и все пешком.

— Ты ошибаешься, папа,— ответил Том.— Я про-шел лишь вдвое больший путь, чем вы проехали.

Кто прав; Том или его отец?

86

Кое-кто склонен думать, будто для того, чтобывычислить длину винтовой лестницы, необходимознать диаметр башни. В действительности информа-ция о диаметре башни совершенно лишняя!

Дело в том, что винтовую лестницу можно развер*Hyib в гипотенуау прямоугольного треугольника сострым углом 30° и высотой 100 м, а гипотенузатакого треугольника вдвое больше высоты (катета,лежащего против угла 30°), Следовательно, правбыл Том.

Убедиться в этом вы можете, развернув какую-нибудь картонную трубку. Возможно, исход экспери-мента несколько удивит вас: вы увидите, что длинашва (винтовой линии, как бы навитой на трубку) независит от диаметра цилиндра, в который скрученпрямоугольный треугольник.

Пари на полюсе

Знаменитый игрок Дэи, попрозвищу Ставлю Доллар, си-дел в баре со своим другомДиком, по профессии пилотом.

Дэн. Дик, ставлю доллар, чтоты не сможешь решить про-стой задачки. Самолет проле-тает 100 км, держа курс наюг, затем 100 км иа восток и100 км на север, после чегооказывается в исходной точкеОткуда он вылетел?

Дик. Принимаю пари, Дэн. За-дачка твоя давно известна. Са-молет вылетел с Северного по-люса.Дэн. Правильно. Держи дол-лар. Ставлю еще доллар, чтоты ни за что не догадаешься,откуда еще мог вылететь са-молет.

Дик погрузился в размышле-ния.

88

Дик. Другой точки, кроме Се-верного полюса, нет и быть неможет, и я берусь доказатьэто. Предположим, что само-лет вылетает из точки, распо-ложенной между Северным по-люсом и экватором.

Дик. Ясно, что в этом случаеконечная точка маршрута неможет совпадать с исходной.Если же самолет вылетает източки, расположенной на эк-ваторе, то конечная точка мар-шрута оказывается примерно в100 км от исходной точки.

Дик. Если же самолет выле-тает из точки, расположеннойв южном полушарии, то конеч-ная точка будет отстоять отисходной более чем на 100 км.

Дэн. Может, ты хочешь поспо-рить иа 2 доллара, что само-лет не мог вылететь ниоткуда,кроме Северного полюса?Дик принял пари и проиграл.Почему?

ЕСТЬ ИДЕЯ!

•f/

Предположим, что самолетстартовал из точки, располо-женной на параллели А, от-стоящей на расстояние 116 кмот Южного полюса, и проле-тел к югу 100 км.

Пролетев 100 км на восток,ои совершит полный оборотвокруг Южного полюса. Про-летев затем 100 км на север,ои непременно вернется в ис-ходиую точку.

Дик. Ты прав, вот твои 2 дол-лара.Дэн. Ставлю еще доллар, что,по-твоему, я не смогу указатьдругих мест на земном шаре,вылетев откуда и пролетевсначала 100 км на юг, затеи100 км на восток и 100 км насевер, самолет сможет вернуть-ся в исходную точку. Под«другими местами» я понимаюточки, не лежащие на парал-лели А и не совпадающие сСеверным полюсом.

Дик. Тогда ставлю 50 долла-ров, что таких точек на зем-ном шаре нет.

90

Бедный Дик снова проиграл.Какую важную идею он упус-тил из виду?

Откуда вылетать?

Заключая второе пари, Дик упустил из видувесьма важное обстоятельство: точка, откуда выле-тает самолет, может быть выбрана так близко отЮжного полюса, что, пролетев 100 км на восток, онопишет вокруг полюса не один оборот, как в преды-дущем решении, а два полных оборота. Так возни-кает новая параллель, все точки которой служат ре-шениями исходной задачи. Аналогичным образомсамолет может вылететь из любой точки еще мень-шей окружности и, держа курс на восток, совершитьтри, четыре и т. д. оборота вокруг полюса. При лю-бом целом положительном п можно указать соответ-ствующую параллель, вылетев из любой точки кото-рой и держа курс на восток, самолет совершит поборотов вокруг полюса. Следовательно, точки, изкоторых может вылететь самолет, заполняют беско-нечно много параллелей, стягивающихся к полюсу,

А вот еще одна навигационная задача, связаннаяс замечательной кривой на сфере — локсодромой,или линией постоянного курса. Самолет вылетает източки, расположенной на экваторе, и берет курс насеверо-восток. Где закончится его полет, если запа-сы горючего можно считать неограниченными? Како-ва длина маршрута и как он выглядит?

Возможно, вы удивитесь, когда узнаете, чтомаршрут полета имеет вид спирали, пересекающейвсе меридианы под одним и тем же углом и закан-чивающейся на Северном полюсе. Такую кривую пра-вильнее было бы рассматривать как винтовую линию,навитую на сферу, стягивающуюся к Северному

91

полюсу и успевающую описать вокруг полюса беско-нечно много витков. Если самолет условно принятьза точку, то маршрут, хотя и успевает совершитьбесконечно много оборотов вокруг полюса, имеет ко^нечную длину, которая поддается вычислению. Сле-довательно, поддерживая в полете постоянную ско-рость, самолет достигнет Северный полюс за конечноэвремя.

При нанесении на плоскую карту форма локсо-дромы искажается в зависимости от выбора карто-графической проекции. На меркаторской проекции,известной по карте мира, локсодрома переходит впрямую. Именно поэтому меркаторская проекция на-ходит столь широкое применение в решении навига-ционных задач. Если судно или самолет следуют по-стоянным курсом, то, чтобы проложить его на кар-те, достаточно провести прямую.

А что произойдет, если самолет, взлетев с Север-ного полюса, возьмет курс на юго-запад? Эта задачаобратна предыдущей. Полет, как и прежде, будетпроисходить по локсодроме, но сказать, где призем-лится самолет в конце пути, мы не можем. В этомможно легко убедиться, обратив время: из какой быточки, расположенной на экваторе, ни вылетел само-лет, он, двигаясь вспять, неизменно окажется на Се-верном полюсе. Если же самолет, достигнув экватора,пересечет его и будет лететь тем же курсом, то лок-содрома стянется к Южному полюсу.

При проецировании на плоскость, касательную кполюсу (и параллельную плоскости экватора), локсо-дрома переходит в равноугольную, или логарифмиче^скую, спираль. Эта спираль пересекает радиус-векторпод постоянным углом.

Задача о четырех жуках, входит в сокровищницузанимательной математики. Она также связана с по-строением маршрутов и логарифмической спиралью,но допускает неожиданно простое решение, избавля-ющее от необходимости производить утомительныевыкладки. Вы познакомитесь с ней, прочитав неболь-шой рассказ о семействе Пицца и их любимцах —четырех черепашках.

Том Пицца, тренер и художественный руководи-тель черепашек, выдрессировал своих питомцев так,

92

что Абнер (Л) всегда полз к Берте, Берта (В) — кЧарлзу, Чарлз (С) — к Далиле (D) и Далила— кАбнеру. Однажды он расставил черепашек по угламквадратной комнаты так, что они образовали верши-ны квадрата ABCD, включил секундомер и принялсянаблюдать за тем, что произойдет.

— Интересно получается, сынок,— сказал мистерПицца. — Каждая черепашка ползет прямиком к сво-ему соседу справа. Все черепашки движутся с одинако-вой скоростью и поэтому в любой момент времени на-ходятся в вершинах некоторого квадрата (рис. 9).

— И квадрат этот все время поворачивается иуменьшается,— добавил Том.— Смотри! Видишь?Черепашки сошлись в центре!

Предположим, что каждая черепашка ползет спостоянной скоростью 1 см/с и что комната, где онинаходятся, имеет форму квадрата со стороной 3 м.Через сколько времени черепашки встретятся вцентре комнаты? (Каждую черепашку мы условно"принимаем за точку.)

Мистер Пицца попытался было решить задачу,интегрируя по траектории черепашки, и уже достализ кармана программируемый микрокалькулятор по-следней модели, как вдруг миссис Пицца вос-кликнула:

— Не нужно никакой высшей математики, Пеп-пероне! Задача решается очень просто! Черепашкивстречаются в центре комнаты через 5 мин,

93

Какая идея пришла в голову миссис Пицца?Рассмотрим каких-нибудь двух черепашек, распо-

ложенных в двух соседних вершинах квадрата, на-пример Абнера и Берту. В каждый момент Бертадвижется под прямым углом к Абнеру, ползущему кней, так как Абнер всегда ползет к Берте, а Бертавсегда ползет к Чарлзу. Именно поэтому черепашкивсе время находятся в вершинах квадрата. Посколь-ку Берта никогда не ползет к Абнеру и не уползаетот него, то ее движение не увеличивает и не умень-шает разделяющее их расстояние и при подсчетевремени движением можно пренебречь. Дело обстоиттак, как если бы Берта оставалась в своем углу ком-наты, а Абнер полз к ней вдоль стенки.

В этом и состоит ключ к решению задачи. Криво-линейный путь Абнера должен совпадать по длинесо стороной начального квадрата, а так как эта сто-рона равна 300 см и Абнер ползет со скоростью1 см/с, то он доползет до Берты за 300 с, или 5 мин.То же можно сказать и о всех остальных черепаш-ках. Следовательно, все черепашки встречаются вцентре комнаты по истечении 5 мин.

При помощи микрокалькулятора можно построитьтраектории черепашек — кривые, описываемое вер-шинами вращающегося и одновременно сжимающего-ся квадрата, если нанести на диаграмму последова-тельные положения вершин через определенные про-межутки времени. Результат такого рода выкладокпредставлен на рис. 10.

10

94

Можете ли вы обобщить задачу на случай, когдав исходной позиции точки расположены в вершинахлюбого правильного многоугольника? Начните сравностороннего треугольника, затем перейдите кправильному пятиугольнику и т. д. Можете ли выуказать общую формулу, позволяющую по известнойдлине стороны исходного многоугольника вычислятьдлину пути? Что произойдет в предельном случае,когда бесконечно много точек (черепашек) начинаютдвигаться по направлению к своим соседям справа(или слева) и вершин многоугольника с бесконечнымчислом сторон? Встретятся ли они когда-нибудь?Предположим теперь, что исходные многоугольникинеправильные. Что произойдет, например, если четы-ре черепашки займут исходные позиции в вершинахпрямоугольной, а не квадратной комнаты?

Предположим, что черепашки Тома Пиццы послевстречи в центре комнаты расползаются, причемкаждая из них движется по прямой от своего соседаслева? Можно ли утверждать, что черепашки непре-менно расползутся по углам комнаты?

Экономия на спичках

Однажды Мабель вздумалапоказать проф. Квибблу голе-воломку ЕЗ спичек.Мабель. Нужно построить че-тыре одинаковых по размеруквадрата, передвинув только2 спичка Ломать спичку, укла-дывать их по две или так, что-бы они пересекались, не раз-решается.

Проф. Квиббл. Ваша голово-ломка, милая Мабель, извест-на давным-давно. Чтобы ре-шить ее, нужно передвинутьвот эти 2 спички.

Затем проф. Квиббл отложил4 спички, после чего на столеосталось 12 спичек.Проф. Квиббл. Попробуйте со-ставить из этих 12 спичек6 единичных квадратов (состороной, равной длине спич-ки).Сколько Мабель ни билась,решить головоломку проф.Квиббл а ей так и не удалось.Не МОГЛЕ бы вы помочь Ма-бель?

Игры со спичками

Мабель упустила из виду одно важное обстоя-тельство: ставя задачу, проф. Квиббл не говорил,что спички должны оставаться на плоскости. Еслиже выйти из плоскости в трехмерное пространство,то из 12 спичек можно составить 12 ребер куба, укоторого, как известно имеется 6 квадратных гра-ней. Мы видим, что ключ к решению спичечной го-

96'

ловоломки проф. Квиббла аналогичен идее, позво-лившей Рози по-новому разрезать головку сыра.

Более известен другой вариант той же задачи, вкотором из 6 спичек требуется составить 4 одинаковыхравносторонних треугольника. Решение состоит втом, чтобы из 6 спичек построить каркас правильно-го тетраэдра.

А вот еще 6 «спичечных» задач на сообразитель-ность. Удастся ли вам их решить?

I. Передвинув как можно меньше спичек, составь-те квадрат.

2. Уберите.как можно меньше спичек так, чтобыоставшиеся спички образовали 4 равностороннихтреугольника таких же размеров, как и 8 треуголь-ников в исходной конфигурации, и нигде не торчалисвободные концы.

^

97

3. Передвинув как межно меньше спичек, заставь*те рыбку плыть в противоположную сторону.

4. Передвинув как можно меньше спичек, заставь-те поросенка повернуться в противоположнуюсторону.

5. Передвинув как можно меньше спичек, извле-ките вишенку из бокала. «Пустой» бокал не обяза-тельно должен стоять на иожке: он может лежать набоку. Передвигать вишенку запрещается.

6. Передвинув как можно меньше спичек, извле-ките олнву из бокала для коктейля. Как и в пре-дыдущей задаче, пустой бокал не обязательно дол-жен стоять. Передвигать оливу запрещается.

Поместив решения этих забавных головоломок,мы бы только испортили вам удовольствие. Сооб-щаем лищь, что первую задачу можно решить, пере-двинув 1 спичку, вторую — убрав 4 спички, третью,четвертую и пятую — передвинув соответственно 3,2 и 2 спички, шестую — не передвинув ни однойспички,

98

Хитроумные разбиения

Рэнсом — землемер, которыйспециализируется в разбиенииучастков самой причудливойформы на конгруэнтные части.

Однажды его попросили раз-делить вот такой участок на4 одинаковые части. Как этосделать?

Разделить участок можно един-ственным способом — так, какпоказано иа рисунке.

В следующий раз Рэнсому по-надобилось разделить на4 конгруэнтные части участок,имевший форму равнобочнойтрапеции. Сделать это былонелегко.

99

Однако Рэнсом не отступилперед трудностями и сумелнайти единственное решение.

Разделить на 4 конгруэнтныечасти квадратный участок длятакого специалиста, как Рэн-сом, было сущей забавой, нокогда его попросили разделитьквадратный участок на 5 кон-груэнтных частей, он стал втупик.

Рэнсом. Как же это сделать?Ведь должно же существоватькакое-то решение... Есть идея!Все ясно!Не могли бы вы сказать, какРэнсом решил разделить квад*ратный участок?

Рэнсом. Мой метод до смеш-ного прост и позволяет делитьквадрат на любое число кон-груэнтных частей.

100

Задачи на разрезание

Если хотите позабавиться, предложите своимдрузьям решить три задачи Рэнсома. В двух первыхзадачах участки в форме угла и равносторонней трапе»ции удается разбить на 4 одинаковые части — умень-шенные копии исходного участка. Эти решения кос-венно наводят на мысль о том, что и квадрат долженбыть разбит на 5 частей довольно причудливой фор-мы, так как его нельзя разделить на 5 квадратов.

Предложенное Рэнсомом простое решение прихо-дит в голову очень немногим. Можно доказать, чтоквадрат можно разделить на 5 конгруэнтных частейтолько так, как это сделал Рэнсом, и никак иначе.

Если вашприятель «попадется» на третьей задаче,вам удастся поймать его вторично, задав ему четвер-тую задачу, тесно связанную с предыдущей. Преждевсего покажите ему, как поле, изображенное нарис. //, можно разделить на 4 конгруэнтные части,

101

и спросите, можно ли это поле разделить на 3 кон-груэнтные части?

После нескольких попыток ваш друг скорее всегопризнает себя побежденным и преисполнится уверен-ности, что ему досталась необычайно трудная зада-ча. Каково же будет его удивление, когда он узнает,что эта задача допускает неожиданно простое реше-ние, аналогичное предложенному Рэнсомом разбие-нию квадрата на 5 конгруэнтных частей. Это реше-ние приведено на рис. 12. Как и в случае квадрата,метод позволяет производить разбиение поля на лю-бое число конгруэнтных частей.

Задачи, которые вриходится решать землемеруРэнсому и ресторатору Джо, относятся к одному изувлекательнейших разделов занимательной ыатема-тики, называемому иногда теорией разбиений. Ихнеожиданны* решения могут нодеказать, как следуетбраться за многие практические задачи геометрии наплоскости и в пространстве. Две первые задачи Рэн-сома представляют особый интерес, поскольку в каж-дой из них участок делится на меньшие участки, по-вторяющие по форме исходный- Фигуры, которыеможно без просветов и наложений, как плитками, вы-мостить уменьшенными их копиями (репликами),принято называть реп-плитками.

На рис. 13 показано еще несколько реп-плиток.Можете ли вы разрезать каждук> из них на несколь-ко конгруэнтных частей, повторяющих по форме ис-ходную фигуру? Располагай мы неограниченным за-пасом реп-плиток любой формы, из них можно былобы построить непериодическое разбиение плоскости.Например, рассмотрим Г-образную фигуру, «реп-плиточность» которой доказал, решив первую зада-чу, Рэнсом. Сложенные вместе, четыре такие фигурыобразуют новую Г-образную фигуру, которая в 4 разабольше исходной. Из четырех новых фигур в своюочередь можно составить еще большую Г-образнуюфигуру. Этот процесс можно продолжать сколь угод-но долго и выложить Г-образными фигурами всевозрастающих размеров бесконечную плоскость. Не-ограниченно долго можно продолжать не только со-ставление все более крупных Г-образныя реп-плиток,

102

но и разрезание их на все более мелкие фигуры.О pen-плитках мы знаем немного. Все известные

pen-плитки помимо непериодического разбиения плос-кости порождают еще и периодическое разбиениеплоскости, то есть позволяют выложить ими всюплоскость так, что, подвергая фундаментальную об-ласть узора только параллельным переносам без по-воротов и отражений, ею можно покрыть всю плос-кость. Существует ли pen-плитка, порождающаятолько непериодическое разбиение плоскости? Этоттрудный вопрос теории разбиений остается пока безответа.

Еще меньше известно об объемных реп-плитках.К числу их заведомо принадлежит куб, так как из8 кубов можно составить 1 куб большего размератак же, как из 4 квадратов можно сложить 1 квад-рат побольше. Можете ли вы назвать еще какие-нибудь объемные реп-плитки?

Если конгруэнтные части по форме не должны по-вторять составленную из них фигуру, то ВОЗМОЖНОСТИдля придумывания задач-головоломок расширяются*Например, Т-образная фигура на рис. 14 составлена

из 5 квадратов. Ее невозможно разрезать на четыреТ-образные фигуры, но, может быть, вам удастся раз-бить ее на 4 конгруэнтные фигуры какой-нибудь дру-гой формы?

Разрезание плоскости фигуры даже на две конгру«энтные части может оказаться трудной задачей. Нарис. 15 вы видите несколько фигур, на которых можетеиспытать силу своего геометрического воображения.

103

J5

Решения (способы раэрезания) приведены в концекниги.

Еще один интересный класс задач на разрезаниеобразуют задачи на разрезание одного заданногомногоугольника на наименьшее число частей любойформы, из которых можно составить другой задан-ный многоугольник. Например, на сколько частейдостаточно разрезать квадрат, чтобы из них можнобыло составить равносторонний треугольник? (На4 части.) Наиболее полно теория разбиений и веськруг вопросов, связанных с разрезанием, изложен вкниге Гарри Линдгрена «Занимательные задачи наразрезание» *.

* Лиидгрен Г. Занимательные задачи на разрезание. — М.:Мир, 1977.

Мисс Евклид и ее кубики

Мисс Евклид поставила иа ка-федру большой деревянныйкуб.Мисс Евклид. Сегодня я про-веду с вами контрольную. Я за-дам вам всего 3 вопроса обэтом кубе.

Мисс Евклид. Этот куб можнораспилить на 64 единичныхкуба. Для этого требуется про-вести 9 разрезов.

Мисс Евклид. Если бы передкаждым разрезом части кубаразрешалось бы переклады-вать, то можно было бы огра-ничиться 6 разрезами. Мойпервый вопрос к вам: как до-казать, что число разрезов неможет быть меньше 6?

Пока класс трудился над от-ветом на первый вопрос, миссЕвклид провела на двух гра-нях куба диагонали, проходя-щие через общую вершину.Мисс Евклид. Мой следующийвопрос: чему равен угол меж-ду этими двумя диагоналями?

106

Прежде чем задать свой тре-тий вопрос, мнсс Евклид по-ложила на верхнюю грань ку-ба линейку.Мисс Евклид. Как с помощьюэтой линейки проще всего из-мерять длину диагонали ку-ба АВ?На сколько вопросов мисс Ев-клид вы смогли бы ответить?Я смог ответить на 2 из 3 воп-росов.

Каверзные задачи

Решение задачи 1. Докажем, что куб 4 X 4 X 4невозможно разрезать на 64 кубика менее чем 6плоскими разрезами (при условии, что после каждо-го разреза части куба разрешается перекладывать).Рассмотрим для этого любой из 8 внутренних кубиков.Ни один из внутренних кубиков не имеет «готовых»граней, которые бы совпадали с гранями большогокуба. Следовательно, каждую из 6 граней вну-треннего куба необходимо выделить, для чего тре-буется провести 1 плоский разрез. Поскольку ни однаплоскость не может выделить более одной граникуба, то число разрезов, которые необходимо про-вести, чтобы высечь все 6 граней куба, должнобыть не меньше 6.

Существует ли общий метод, позволяющий распи-лить любой прямоугольный параллелепипед с цело-численными длинами ребер на единичные кубы приминимальном числе разрезов (части параллелепипе-да разрешается переставлять)? Да, такой метод су-ществует и заключается в следующем. Рассмотрим3 разных куба, длины ребер которых равны длине,ширине и высоте параллелепипеда. Для каждогокуба определим минимальное число разрезов, кото-рые необходимо провести, чтобы разделить его наслои единичной толщины. Для этого проведем плос-кий разрез перпендикулярно ребру куба через целуюточку, расположенную как можно ближе к середвнёребра (если в длине ребра укладывается четное чис-ло единиц, то распил делит ребро пополам; если жев длине ребра укладывается нечетное число единиц,

107

то распил проходит на расстоянии половины единицыдлины от середины ребра), переложим полученныечасти и будем повторять всю процедуру до тех пор,пока весь куб не распадется на слои единичной тол-щины. Сумма трех минимумов (по одному для каж-дого ребра) даст нам ответ задачи.

Например, чтобы распилить на единичные кубикипрямоугольный параллелепипед 3 > < 4 Х 5 , необхо-димо провести 7 плоских разрезов: 2 для ребра 3,2 для ребра 4 и 3 для ребра 5. Доказательство этогоалгоритма было впервые опубликовано в журналеMathematics Magazine в 1952 г.

Решение задачи 2. Задача решается просто, еслисообразить, что на еще одной грани куба можно про-вести третью диагональ, соединяющую концы диаго-налей, проведенных мисс Евклид (рис. 16).

Три диагонали образуют равносторонний тре-угольник. Так как каждый из углов равносторонне-го треугольника равен 60°, то и угол между прове-денными мисс Евклид диагоналями равен 60°,

Вторая задача мисс Евклид допускает изящноеобобщение. Предположим, что мисс Евклид провелана поверхности куба две прямые, соединяющие сере-дины Л, б и С трех ребер (рис. 17). Чему равенугол ABC между этими прямыми?

Решение задачи находим по аналогии с предыду-щим решением. Прежде всего соединим отрезкамипрямых середины ребер на четырех остальных граняхтак, чтобы все шесть отрезков образовали замкнутую

108

ломаную. Ясно, что все шесть отрезков имеют одина-ковую длину и углы между любыми двумя смежнымиотрезками также одинаковы. Следовательно, если бынам удалось доказать, что все шесть вершин лома-ной лежат в одной плоскости, то мы могли бы утвер-ждать, что наша шестизвенная замкнутая ломанаяимеет форму правильного шестиугольника. Доказатьнужное нам утверждение нетрудно, но в его справед-ливости вы можете убедиться экспериментально, рас-пилив деревянный' куб на две половинки вдоль плос-кости, проходящей черкез середины шести ребер.

То, что поперечное сечение, делящее куб на двеполовины, может иметь форму правильного шести-угольника, неожиданно и в какой-то мере противоре-чит интуиции. Ну, а коль скоро мы знаем, что двепроведенные мисс Евклид линии являются двумясмежными сторонами правильного шестиугольника,то найти угол между ними не составляет никакоготруда: он равен 120°.

Рис. 17 наводит на мысль о еще одной интереснойзадаче. Предположим, что муха хочет проползти поповерхности куба из точки А в точку С. Можно лисчитать путь, образованный отрезками АВ и ВС,кратчайшим?

Эту задачу легко и просто решит тот, кто дога-дается, что кратчайший путь из точки А в точку Вна поверхности куба можно найти, если две смежныеграни куба развернуть так, чтобы их плоскости сов-пали: кратчайшим будет отрезок прямой, соединя-ющий на развертке точки Л и С. Развернуть две

109

смежные грани куба так, чтобы плоскости их сов-пали, можно двумя способами, выбрав либо переднююи верхнюю грань, либо переднюю и правую грань,поэтому при решении задачи необходимо соблюдатьосторожность. В первом случае мы получаем путьдлиной д/2~, во втором — путь длиной V2.5 .Следо-вательно, на рис. 17 изображен кратчайший путь наповерхности куба из Л в С.

Решение задачи 3. Разумеется, длину диагоналикуба можно определить, измерив линейкой длину реб-ра и дважды применив теорему Пифагора. Но диаго-наль куба можно измерить линейкой гораздо болеепростым способом. Поставив куб на край стола, от-мерим отрезок, равный по длине ребру куба, и кон-цы отрезка пометим, после чего сдвинем куб надлину ребра вдоль края стола (рис. 18). Расстояниеот А до В в точности равно диагонали куба, и егоможно измерить линейкой.

Как вы стали бы измерять радиус большого шара,если бы у вас под рукой была только линейка, дли-на которой составляет 2/з от диаметра шара? Одиниз простых способов состоит в том, чтобы запачкатьшар сажей или губиой помадой и прижать его к сте-не так, чтобы на стеие в точке касания осталась от-метка. Измерив линейкой расстояние от пола до от-метки, вы определите радиус шара. Можете ли выпредложить аналогичные методы, позволяющие припомощи какого-нибудь ухищрения измерить высотуконуса или пирамиды? Можете ли вы точно измеритьрадиус цилиндрической трубы, если под рукой у васимеется только плотницкий угольник?.

ПО

По ковровой дорожке

Ковровое покрытие для коль-цевого коридора в здании но-вого аэропорта было порученоизготовить компании, возглав-ляемой мистером Тэком.

Увидев план коридора, мистерТэк решил, что над ним под-шутила, я разгневался: един-ственным размером, указаннымна чертеже, была дляна хор-ды, касательной к внутреннейстене коридора.

Мистер Тэк, Уберите чертеж,чтобы я его больше не видел!Как, скажите на милость, ясмогу представить смету иаковровое покрытие, если мнеие известна площадь коридо-ра? Посоветуюсь-ка я с моимдизайнером мистером Шарпом.

Мистер Шарп, искусный гео-метр, выслушал мистера Тэкаспокойно.Мистер Шарп. Длина этой хор-ды, мистер Тэи, — единствен-ный размер, который мне ну-жен. Я подставлю его в из»вестиую мне формулу н узнаюплощадь коридора.

Мистер Тэк с минуту удив»леиао смотрел на мистераШарпа, а потом улыбнулся.Мистер Тэк. Благодарю вас,мистер Шарп, я могу назватьвам площадь коридора и безэтого. Знаете ли вы, как мис»тер Тэк сумел определить пло-щадь кольцевого коридора?

Удивительная теорема

Мистер Тэк рассуждал следующим образом. Ми-стер Шарп пользуется заслуженной репутацией ис-кусного и сведущего геометра, поэтому, если он го-ворит, что у него есть формула, позволяющаявычислять площадь кольца по длине хорды, каса-тельной к внутренней окружности, то она у негодействительно есть. Если длина хорды, касательнойк внутренней окружности, будет оставаться равной100 м, то, как бы ни изменялись радиусы внешней ивнутренней окружностей, по формуле мистера Шарпаплощадь кольца должна оставаться неизменной.

Далее мистер Тэк спросил себя, что произойдет,если радиус внутреннего кольца уменьшится донуля — своего минимального значения. Кольцо вэтом случае превратится в круг, а хорда длиной100 м станет диаметром круга. Площадь круга рав-на я-502 кв. м « 7854 км. м. Следовательно, еслипредположить, что формула мистера Шарпа суще-ствует, то площадь кольца также должна быть рав-на 7854 кв. м.

В общем случае кольцо имеет такую же площадь,как круг с диаметром, равным длине наибольшего от-резка прямой, который только умещается в кольце.Эту удивительную теорему нетрудно доказать, есливоспользоваться формулой для площади круга.

Трехмерный аналог этой задачи звучит так: най-ти объем отрезка толстостенной цилиндрической тру-бы, если помимо его длины известна длина самогодлинного отрезка, который только умещается на од-ном из торцов трубы (рис. 19). Этот отрезок соответ-

112

ствует касательной в двумерной задаче, и, зная егодлину, мы без труда находим площадь поперечногосечения трубы. Умножив площадь сечения на длинуотрезка трубы, найдем его объем.

Менее очевидным трехмерным аналогом задачи оплощади кольца является следующая красивая зада-ча. Через центр шара просверлено сквозное ци-линдрическое отверстие. Длина канала 6 см. Чемуравен объем оставшейся части сферы? И в этом слу-чае кажется, что ответить на вопрос задачи, невоз-можно: слишком скудны сведения, которыми мы рас-полагаем. Однако исходя из совершенно элементар-ных соображений, можно показать, что оставшаясячасть сферы имеет такой же объем, как сплошнаясфера, диаметр которой равен длине просверленногоканала.

Как и в предыдущем случае, ответ задачи мы по-лучаем сразу же, как только предположим, что зада-ча разрешима! Действительно, если решение задачисуществует, то объем части сферы, оставшейся послепросверливания сквозного отверстия, не должен за-висеть от диаметра отверстия. Устремим поэтомудиаметр отверстия к наименьшему значению — нулю.Отверстие при этом сжимается в прямую — дааиетрсплошной сферы. Следовательно, объем оставшейсячасти сферы равен 4/з-Я"33 куб, см = 36л куб. см.

Торт для именинницы

Обед шел к концу. МистерДжонс сидел за столом вместес женой, десятилетним сыноми семилетней дочерью Сьюзен.

Был день рождения Сьюзен, имиссис Джонс испекла неболь-шой квадратный торт 20 см XX 20 см и толщиной 5 см,обильно покрытый глазурьюсверху и с четырех сторон.

Мистер Докот. Замечательныйторт! Всем хватит. Первый ку-сок торта я отрежу для Сью-зен. Ей сегодня исполнялось7 лет, и я отступлю на 7 емот углон я нроведу разрезычерез центр.

Кусок получился причудливойформы, н Сьюзен, квторой оадостался, пожаловалась.Сьюзен, Пава, ты отрезал мнемаленький кусочек, меньшечетверти! Даже если ты отре-зал мне четверть торта, тоглазури иа ней маловато!

Брат Сьюзен придерживалсядругого мнения.Брат. Какая ты жадина, Сью-зен! Мне кажется, что папаотрезал тебе слишком много.Не мешало бы тебе кое с кемподелиться излишками.

Мистер Джонс. Вы оба за-блуждаетесь. Сьюзен получиларовно четверть торта и ровночетверть глазури.Не могли бы вы объяснить,прав ли мистер Джонс?

Чтобы убедиться в правотемистера Джойса, достаточнопродолжить линии разрезов зацентр до пересечения с проти-воположными сторонами тор-та. Продлив каждый разрез,вы тотчас же убедитесь, чтоони делят торт на четыре кон-груэнтные части.

Как разрезать праздничный пирог?

Задача о разрезании пирога легко обобщается сквадрата на другие правильные многоугольники.Предположим, например, что торт или праздничныйпирог испечены в форме равностороннего треуголь-ника и разрезы проведены под углом 120° изцентра (рис. 20). Ясно, что каждый кусок составляеттреть пирога. В этом нетрудно убедиться, если про-вести штриховую линию. Если пирог испечен в формеправильного пятиугольника, то, проведя из центрадва разреза под углом 72°, мы отрежем от пирога

115

го

одну пятую. Если пирог имеет форму правильногошестиугольника, то, чтобы отрезать от него однушестую, необходимо провести из центра два разрезапод углом 360° : 6 = 60°. Тот же метод обобщаетсяи на правильные многоугольники с большим числомсторон, хотя угол между разрезами не всегда выра-жается целым числом градусов.

Разрезание квадрата на 4 конгруэнтные частидругой формы долгое время было одной из излюблен-ных задач на разрезание. Если, разрезав картонныйквадрат на 4 части так, как показано на рис. 21, выпредложите кому-нибудь из своих знакомых соста-вить квадрат из четвертушек, то, как правило, вашприятель сочтет задачу трудной. После того как онуспешно справится с ней, попросите его составить изтех же четвертушек два квадрата.

Последняя задача в отличие от предыдущих носитнесколько жульнический характер: решить ее вашприятель сможет лишь в том случае, если догадает-ся, что одним из двух квадратов служит отверстие всередине другого квадрата (рис. 22). Размеры отвер-стия зависят от угла, который линия разреза состав-ляет со стороной исходного квадрата. Если этот уголравен 90°, то отверстие исчезает. Если угол равен45°, то отверстие достигает наибольших размеров.

Глава о

Находки в мире чисел

НЕОЖИДАННЫЕ РЕШЕНИЯАРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Говоря об арифметике, разные люди вкладываютв это понятие различное содержание. Мы будем по-нимать под арифметикой все, что так или иначе свя-зано с изучением свойств целых чисел и операцийсложения, вычитания, умножения и деления, произво-димых над числами.

Когда-то, на заре человечества (точную дату неможет назвать ни один антрополог), первобытныелюди открыли, что предметы можно считать и ре-зультат счета не зависит от того, в каком порядкесосчитаны предметы. Например, если вы приметесьсчитать двух овец по пальцам, то результат будетодним и тем же независимо от того, с какой овцы выначнете считать и будете ли вы загибать пальцы смизинца или с большого пальца. У вас всегда полу-чится 2, а если вы сосчитаете две овцы, а потом ещеодну, то у вас всегда получится 3.

Такие арифметические теоремы, как «2 -f 1 = 3»,созревали и становились достоянием умов на протя-жении нескольких столетий. Если бы мы могли про-крутить назад пленку, на которой была бы запечат-лена история человечества, то вряд ли нам удалосьнайти какой-то век, о котором можно было бы с уве-ренностью сказать: «Именно тогда человечество от-крыло арифметику». Маленькие дети овладевают по-нятием числа так же постепенно и незаметно, В один

118

прекрасный день ребенок может впервые заявитьизумленным родителям: «Один плюс один — два», носмысл этого утверждения ясен малышу задолго дотого, как он выскажет свою первую арифметическуютеорему.

Все истинные теоремы арифметики следуют непо-1

средственно из аксиом и определений числовой систе-мы, но это отнюдь не означает, будто истинность илиложность любого арифметического утверждения лег-ко распознается на слух. Если кто-нибудь скажет, чтопри умножении 12 345679 на 9 получается 111 111 111,вы можете не верить ему до тех пор, пока сами неумножите одно число на другое. Существуют арифме-тические теоремы, которые просто сформулировать,но так трудно доказать, что никто пока не знает,верны ли они. Примерам таких утверждений можетслужить знаменитая гипотеза Гольбаха: всякое чет-ное число больше 2 представимо в виде суммы двухпростых чисел. Никому до сих пор не удалось ни до-казать ее, ни построить контрлример.

В этой главе мы рассмотрим несколько задач очислах, допускающих неожиданно простые решения,додуматься до которых не так-то просто. При выборезадач мы отдавали предпочтение таким, которые привсей элементарности служили бы ступенькой, позво-ляющей читателю подняться на более высокую сту-пень арифметики, получившей название теории чи-сел. Например, рассказ-задача «Разбитые грампла-стинки» вводит в круг простейших идей диофантоваанализа — решения уравнений в целых числах. Дру-гая задача «Один лишний» познакомит вас с важнымпонятием наименьшего общего кратного и интерес-ным фокусом, основанным на замечательной «китай-ской теореме об остатках».

Дихотомия (последовательное разбиение множе-ства на 2 части), играющая важную роль в вычисли-тельной технике и теории автоматической сортиров-ки данных, лежит в основе задачи об угадывании но-мера телефона Элен и позволяет читателю войти вкруг вопросов, связанных с двоичной системой счис-ления. Принцип «птичка в клетке», известный такжепод названием принципа Дирихле, позволяет доказы-вать многие важные факты из теории чисел. Мы

119

используем его для доказательства двух забавныхутверждений: о бумажных долларах и о числе волосна голове человека. Свойство двух целых чисел бытьвзаимно простыми (не иметь общих делителей, кромеединицы) позволяет доказать, что, за исключением12 часов, часовая, минутная и секундная стрелки ча-сов никогда не совпадают (обычно это вычислениедоказывают, проделывая довольно громоздкие вы-кладки).

Задача о счете по бутылкам легко решается, есливоспользоваться понятием сравнения по модулю, изаставляет вспомнить о знаменитой задаче ИосифаФлавия, которую можно удивительно наглядно про-демонстрировать при помощи колоды игральных карт.

Хотя задачи, собранные в этой главе, математикисочли бы тривиальными, открываемые ими направле-ния для исследований в теории чисел далеко не три-виальны и не могут не поражать изяществом и идей-ным богатством древнейшей из всех дедуктивныхсистем — системы, оперирующей с символами, обо-значающими знакомые всем числа.

Разбитые грампластинки

Больше всего на свете Боб нЭлен любили всякого рода го-ловоломки. Особенно им нра-вилось ставить в тупик другдруга и своих друзей каверз-ными вопросами.

МАГАЗИНголоволомок

npflfFa КВИБЬПА

Однажды, когда Боб и Эленпроезжали мимо магазинагрампластинок, Боб задал Эленвопрос.Боб. Ты все еще собираешьпластинки с джазовой музы-кой?

«рИРМАГРАМЗАПИСИ

« ВЕСТЕРН»/-^.

Элен. Нет, половину всех пла-стинок и еще полпластинки яподарила Сьюзен.

с ДНЕМ рождения,сьюзи!

Элен. Половину оставшихсяпластинок и еще полпластинкия подарила Джо.

121

Элен. После этого у меня оста-лась одна пластинка. Я пода-рю ее тебе, если ты скажешь,сколько пластинок было у ме-ня в коллекции до того, какя начала ее раздавать.

Боб не сразу смог решить за-дачу, так как ие мог понять,зачем Элен понадобилось да-рить друзьям половинки плас-тинок.

Внезапно его осенила блестя-щая мысль, и он поиял, чтони одна пластинка ие быларазбита на половники. Бобответил на вопрос Элей, и таподарила ему последнюю пла-стинку из своей коллекция.Какая мысль пришла Бобу вголову?

Половинки целого

Неужели вы попались в ловушку и не подумали,что половина чего-то и 7г могут оказаться целымчислом? Если да, то, должно быть, попытались ре-шить задачу, ведя счет на половинки грампластинок,и, запутавшись вскоре в вычислениях, оставили за-тею как безнадежную. Неожиданно простым решениеполучается, если догадаться, что половина от нечет-ного числа и еще половина равны целому числу.

По словам Элен, у нее после того, как она пре-поднесла свой второй подарок, осталась 1 пластинка,

122

Значит, до того, как она подарила часть своих пла-стинок Джо, у нее должны были остаться 3 пластин-ки. Половина от 3 составляет %, а 3/2 + '/г = 2,поэтому Элен подарила Джо 2 нластинки, после чегоу нее осталась 1 пластинка. Продолжая решать зада-чи «задним ходом», нетрудно установить, что снача-ла у Элен было 7 пластинок и что 4 пластинки онаподарила Сьюзи.

Разумеется, задачу можно было бы решать иалгебраически. Составление и решение соответству-ющего уравнения — превосходное упражнение поэлементарной алгебре. Удивительно, что такая про-стая задача приводит к такому сложному уравнениюз

V2 + 2) Л 12J —*•Новые головоломки того же типа мы получим,

варьируя параметры задачи. Предположим, напри-мер, что Элен каждый раз дарит кому-нибудь поло-вину своих пластинок и еще полпластинки, проделы-вает это не дважды, а трижды и остается не с однойпластинкой, а без единой пластинки. Сколько пласти-нок было у нее сначала? Возможно, вам покажетсястранным, что ответ остается прежним — 7 пласти-нок, но удивительного здесь ничего нет: в третий разЭлен дарят последнюю оставшуюся у нее пластинку.А сколько пластинок было у нее сначала, если онадарит каждый раз половину своих пластинок и ещеполплаетияки и проделывает эту процедуру 4 раза,после чего у нее остается 1 пластинка? А если Элендарит пластинки & раз? Какого рода последователь-ность порождают возникающие в этой серии задаччисла?

Долю, которую составляют отобранные для оче-редного подарка пластинки, также можно изменять*Предположим, что Элен отдает каждый раз третьсвоих пластинок и еще треть нластинки и после того,как она преподносит 2 подарка, у иее остается 3пластинки. Сколько пластинок было у Элен сначала?Существует ли решение задали в том случае, еслипроцедуру усечения коллекции на одну треть и ещетреть пластинки Элен повторяет трижды, после чего

123

у нее остаются 3 пластинки? Варьируя параметры за-дачи (число подарков, долю, которую составляютотобранные для очередного подарка пластинки, ичисло оставшихся у Элен пластинок), вы обнаружите,что решение существует не всегда, то есть не всегдавозникает необходимость дарить часть пластинки.При каких ограничениях в задачах этого типа необ-ходимость дарить пластинки «частями» вообще от-падает?

Доля, которую осколки «разбитой» пластинки со-ставляют от целого, может варьироваться от подаркак подарку. Вот, например, задача, в которой эта доляне остается постоянной.

Один мальчик с увлечением занимался разведе-нием золотых рыбок, потом это занятие ему надоелои он решил продать всех своих рыбок. Свое решениеон осуществил в 5 этапов:

1. Продал половину всех своих рыбок и ещеполрыбки.

2. Продал треть оставшихся рыбок н еще третьрыбки.

3. Продал четверть оставшихся рыбок и еще чет-верть рыбки.

4. Продал пятую часть оставшихся рыбок и ещеодну пятую рыбки.

После этого у него осталось 19 рыбок. Разумеется,с золотыми рыбками он обращался бережно и ему ив голову не приходило делить рыбку на части. Сколь-ко рыбок было у мальчика сначала? Ответ: 101 рыб-ка, но решить эту задачу не так просто, как предыду-щие. Попробуйте и вы убедитесь в этом сами.

А вот еще одна разновидность задач того же типа.У одной дамы было в сумочке несколько купюр

достоинством в 1 доллар каждая. Других денег у неес собой не было.

1. Половину денег дама израсходовала на покуп-ку новой шляпки, а 1 доллар заплатила за освежа-ющий напиток.

2. Зайдя в кафе позавтракать, дама израсходова-ла половину оставшихся у нее денег и еще 2 долла-ра заплатила за сигареты.

3. На половину оставшихся у нее денег она купи-ла книгу и по дороге домой зашла в бар и заказала

124

коктейль за 3 доллара, после чего у нее остался1 доллар. Сколько долларов было у нее первоначаль-но, если предположить, что ей ни разу не пришлосьразменивать долларовые купюры?

Ответ приведен в конце книги.Заметим, что во всех вариантах в условиях зада-

чи непременно говорится, сколько грампластинок, зо-лотых рыбок или купюр остается у действующеголица по окончании всех перипетий. Во многих слу-чаях ответ задачи можно получить и без такой ин-формации, но для этого пришлось бы решать в целыхчислах некоторые неопределенные уравнения. Наибо-лее известная задача такого рода легла в основу рас-сказа американского писателя Бена Эймса Уильямса«Кокосовые орехи».

Действие рассказа происходит на острове, на ко-торый после кораблекрушения попадают 5 человек и1 обезьяна. Первый день они собирают кокосовыеорехи. Ночью один из людей просыпается и решаетзабрать причитающуюся ему долю орехов. Он раскла-дывает орехи на 5 одинаковых кучек, отдает лишнийорех обезьяне и, спрятав свою долю, укладываетсяснова спать.

Вскоре просыпается другой товарищ по несчастьюи проделывает то же самое: раскладывает орехи на5 одинаковых кучек, отдает оставшийся орех обезья-не и, спрятав свою долю, укладывается снова спать.Затем по очереди просыпается третий, четвертый ипятый невольный обитатель острова, и каждый де-лает то же, что и первые два. Утром вся пятерка де-лит оставшиеся орехи на 5 равных частей. На этотраз ни одного лишнего ореха не остается.

Сколько кокосовых орехов было собрано перво-начально?

Задача допускает бесконечно много решений. На-именьшее из них — 3121 орех. Решить задачу неочень просто.

Коль скоро мы заговорили о кокосовых орехах, яхочу предложить вам одну задачу, которую можнорешить сразу. При расчистке джунглей было собра-но 25 кокосовых орехов, обезьяна стащила все оре-хи, кроме 7, Сколько орехов осталось? Ответ: не 18.

Лохнесское чудовище

O'J I "5 II ИВМ6РЫ-i—ТАСГ ИПОЖЕЯАИИ»

" ш ЗАКАЗЧИКА

Боб. Лохнесское чудовшце име-ет в длину 20 м и еще поло-вину своей длины. Чему равнаего длина?

Элен. Дай подумать. Двадцатьи половина от двадцати — ито-го тридцать. Значит, лохнес-ское чудовище имеет в длину30 м.

УВЕДИТЕЛЬИО ПРОШУБОЛЬШЕ МЕНЯ НСКОРМИТЬ ЯУЖЕДОС-тиг длины 2 0 м иПОЛОВИНЫ СВОЕЙПОЛНОЙ Д Л И Н Ы

Боб. Не узиаю тебя, Элен!Твой ответ противоречит усло-вию задачи, а ты этого не за-мечаешь. Как может лохнес-ское чудовище иметь в длинуи 20 м и 30 м одновременно?

Элен. Ты прав, я ошиблась.Условие задачи означает, чтодлина лохнесского чудовищаравна сумме 20 м и половиныего длины. Теперь мне всестало ясно.Чему, по-вашему, равна длиналохнесского чудовища?

126

Половина длины?

По словам Боба, лохнесское чудовище имеет вдлину 20 м и еще половину своей длины, то есть дли-на чудовища равна сумме 2 слагаемых: 20 м и поло-вины длины чудовища. Разделите мысленно длину чу~довища пополам. Если вся длина равна сумме 2 сла-гаемых, из которых одно равно половине длины, адругое 20 м, то на 20 м приходится другая половинадлины. Следовательно, полная длина составляет 40 м.

Задача Боба допускает простое алгебраическоерешение: если х — полная длина лохнесского чудо-вища, то

х = 20 + х/2.

Теперь вы убедились, что задача, предложеннаяБобом, до смешного проста. Интересно, как быстровам удастся справиться со следующим ее вариантом.Кирпич иа одной чаше весов уравновешен на другойчаше 3Д кирпича и гирей в 3/4 кг. Чему равна мас-са кирпича?

Задача о лохнесском чудовище показывает, какважно точно понять, что именно спрашивается, пре-жде чем пытаться ответить на вопрос. Если перваяинтерпретация задачи приводит к противоречию, толибо на вопрос невозможно ответить, либо вы не-правильно поняли постановку задачи.

Один лишний

Однажды, гуляя по парку. Боби Элей увидели школьный ду-ховой оркестр, готовящийся кпараду.

Оркестр был выстроен в ко-лоииу по четыре, а один пар-нишка, несчастный Спиро, за-мыкал шествие, бредя внестроя. Одинокая фигура, мая-чившая сзади, по мнению ди-рижера, портила общее впечат-ление от оркестра.

Чтобы избавиться от нее, ди-рижер приказал музыкантамперестроиться в колонну лвтри, но несчастный Спироопять остался единственнымзамыкающим.

Даже когда музыканты разби-лись на пары, Спнро все равноостался без партнера.

Хотя это было не ее дело,Элен подошла к дирижеру.Элен. Позвольте мне дать вамодин совет?Дирижер. Мне сейчас не до,вас, милая девушка! И безтого голова идет кругом.

Элен. Хоть вы и не очень веж-ливы, я все равно скажу вам,что нужно делать. Перестройтемузыкантов в колонну по пять!Боб. Я как раз собиралсяпредложить то же самое!Когда оркестр перестроили вколонну по пять, все шеренгиоказались заполнены.Сколько музыкантов было воркестре?

Как восстановить все число по остаткам

Элен просто пересчитала всех музыкантов в ор-кестре и обнаружила, что число их кратно 5. Но какможете вы, не видя всего оркестра, определить,сколько в нем музыкантов?

Сделать это можно следующим образом. ПустьN — число музыкантов в оркестре. Мы знаем, чтопри делении на 2, 3 и 4 оно дает остаток 1 (живымвоплощением остатка служит Спиро, в одиночествемарширующий вслед за оркестром). Наименьшеечисло, обладающее этим свойством, на 1 больше наи-меньшего общего кратного (НОК.) чисел 2, 3 и 4, тоесть числа 12. Рассмотрим теперь все числа, крат-ные 12. Увеличив любое из них на 1, мы получимчисло, которое при делении на 2, 3 и 4 дает оста-ток 1.

Когда оркестр перестраивается в колонну по 5,то остаток равен 0. Следовательно, N делится на ббез остатка. Решением задачи служат числа, кратныеб, которые встречаются в последовательности

13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97, 109, 121, 133, 145, ...

129

Поскольку число 145 слишком велико для школь-ного оркестра, то N равно либо 85, либо 25. Име-ющаяся у нас информация не позволяет отдать пред-почтение какому-нибудь из этих двух чисел.

Хорошим вариантом предыдущей задачи можетслужить следующая задача. При перестроениях ор-кестра в колонну по два, три и четыре в последнейшеренге каждый раз недостает одного человека, апри построении в колонну по пять все шеренги ока-зываются заполненными. Сколько музыкантов в ор-кестре? На этот раз мы должны выписать последова-тельность чисел, которые на 1 меньше кратных две-надцати и делятся на 5 без остатка: 35, 95, 155, ...

Следующий, более трудный вариант задачи при-надлежит известному американскому мастеру голово-ломок Сэму Лойду. По традиции в день св. Патрикачлены ирландской общины проводят в Нью-Йоркеторжественное шествие. В тот год, о котором рас-сказывается в новелле Сэма Лойда, Великий маршалордена св. Патрика безуспешно пытался выстроитьучастников шествия в колонну по 10, 9, 8, 7, б, 5, 4,3 и 2 человека, но каждый раз в последней шеренгенедоставало одного человека. Суеверные участникишествия решили даже, что среди них незримо витаетдух скончавшегося незадолго до дня св. Патрика хро-мого Кейси, без которого не обходилось ни одно ше-ствие. Вконец отчаявшись, Великий маршал прика-зал участникам шествия построиться в колонну поодному. Сколько людей приняло участие в шествии,если ирландская община в Нью-Йорке насчитывалав ту пору не более 7000 человек? Задача Сэма Лой-да — прекрасный пример на нахождение НОК не-скольких чисел. НОК чисел 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 и2 равно 2520. Вычтя из этого числа скончавшегося отпневмонии хромого Кейси, мы узнаем, что в шествииприняло участие 2519 человек.

Не следует думать, будто решение задачи стане*вится сложнее оттого, что остатки при делении наразличные числа не совпадают. В качестве примера,подтверждающего необоснованность подобных опасе-ний, мы приведем старинную задачу-головоломку,прототип которой встречается в древнеиндийскихтрактатах по арифметике VII в.

130

Старушка несла на базар корзину яиц. Испугав-шись пронесшейся мимо лошади, она выронила изрук корзину, и часть яиц разбилась. На вопрос, мно-го ли яиц было в корзине, старушка ответила, чтоне сильна в арифметике и точное число яиц назватьне может. Правда, потом она все-таки вспомнила,что когда пересчитывала яйца парами, тройками,четверками и пятерками, у нее оставались лишниеяйца (1, 2, 3 и 4 соответственно). Сколько яиц ста-рушка несла на базар?

На первый взгляд кажется, что эта задача на-много труднее предыдущих. В действительности жеона ничем не отличается от первой части нашей вто-рой задача, так как остаток от деления каждый разна единицу меньше делителя. Решается она таким жеспособом: нужно найти НОК чисел 2, 3, 4, 5 и вы-честь из него единицу.

Задача действительно становится более трудной,если разность между делителем и остатком зависитот делителя. Если у вас есть микрокалькулятор, выможете на досуге показать своим друзьям забавныйфокус.

Фокусник садится в кресло спиной к аудитории.Кто-нибудь из зрителей задумывает любое число небольше 1000, делит задуманное число на 7, 11 и 13,называя каждый раз вслух остаток от деления.

Чтобы не задерживать аудиторию, все вычисле-ния зритель может производить на микрокалькулято-ре. Остаток от деления проще всего находить по сле-дующему рецепту: произвести деление, вычесть изполученного частного целую часть, а дробную умно-жить на делитель, после чего округлить произведе-ние до ближайшего целого числа.

Фокусник, зная лишь три остатка, может отгадатьзадуманное число. Для этого он достает из карманасвой микрокалькулятор и производит вычисления последующей «тайной» формуле, которую можно запи-сать на небольшом клочке бумаги и приклеить кпередней панели микрокалькулятора:

715а+ 3646 +924с1001

где а, Ь и с — остатки от деления задуманного числана 7, 11 и 13. Задуманное число равно остатку от де-ления числителя формулы на знаменатель,

131

Секрет формулы раскрывается просто. Первыйкоэффициент равен наименьшему кратному произве*дения be, которое на единицу больше числа, кратно»го а. Найти такое число можно по определенным пра-вилам, но когда делители а, & и с не слишком велики,как в нашем случае, то проще всего действовать пря-мым подбором: выписать кратные произведения be(143, 286, 429, 572, 715, ...) и найти среди них то,которое при делении на а дает остаток 1. При а = 7таким кратным является число 715.

Аналогичным образом вычисляются и остальныекоэффициенты. Второй коэффициент равен наимень-шему кратному произведения ас, которое на единицубольше числа, кратного Ь, а третий коэффициент ра-вен наименьшему кратному произведения ab, котороена единицу больше числа, кратного с. В знаменате-ле формулы стоит просто произведение abc. Поль-зуясь этим алгоритмом, вы можете заготовить «тай-ную» формулу для любого набора взаимно простыхчисел (то есть чисел, не имеющих общих делителей,кроме единицы). Сами числа не обязательно должныбыть простыми.

Доказательство формулы для общего случая тре-бует знания так называемой теории вычетов и заме-чательной теоремы, известной под названием «ки-тайской теоремы об остатках». Она играет важнуюроль в доказательстве многих нетривиальных теоремтеории чисел и решении многих научных проблем.

В качестве упражнения попробуйте вывести«тайную» формулу для упрощенного варианта тогоже фокуса, восходящего к Сунцзу, китайскому мате-матику, жившему в 1 в., одному из тех ученых, вчесть которых теорема об остатках получила назва-ние китайской. Задумывать разрешается любое числоот 1 до 105. Делить задуманное число следует на 3,5 и 7. «Тайная» формула оказывается в этом случаестоль простой, что после некоторой тренировки высможете проделывать все необходимые вычисления«в уме».

Глаза и ноги

Прежде чем закончить своюпрогулку, Боб и Элен решилизаглянуть в зоопарк. В одномвольере они увидели жирафови страусов.

Выйдя из зоопарка, Боб обра*тился к Элен.Боб. Ты не пересчитала жира-фов и страусов?Элен. Нет, а сколько их было?Боб. Сосчитай сама. Всего устраусов и жирафов было80 глаз и 44 ноги.

Злен сразу сообразила: 30 глазозначает, что в вольере было15 животных.

Элен. Я могла бы перебратьэсе возможные случан от6 жирафов И 15 страусов до15 жирафов и 0 страусов, иоi этом нет-надобности.

В 1 КОРОБКЕ ГНЕ БОЛЕЕ /

15 животных//

линияСБОРКИ

СТРАУСОВПЛАН

1 3 3

Элен. Если бы все 15 живот-ных ходили на 2 ногах, товсего у них было бы 30 ног.

Элен. Но ты, Боб, сказал, чтоу 15 животных 44 ноги, поэто-му 14 ног «лишних». Они мо-гут принадлежать только жи-рафам. Значит, в вольере 7 жи-рафов.

Боб. Все правильно! А раз ввольере 7 жирафов, то страу»сов должно быть 8.

Двуногие и четвероногие

Идея, позволившая Элен найти решение задачи,проста, но, может быть, вам хочется проверить ответалгебраически? Сходится ли ваш ответ с тем, котеьрый получился у Элен?

А вот забавная головоломка, придуманная по об-разу и подобию предыдущей задачи, но требующаядля решения иного подхода. На арене небольшогоцирка выступает группа наездников. Если пересчи-тать участников номера (лошадей и всадников) по

134

головам и ногам, то всего наберется 18 голов и50 ног. Кроме того, в зверинце при цирке содержат-ся дикие животные. Если пересчитать их по головами ногам, то получится 11 голов и 20 ног. Среди нихчетвероногих вдвое больше, чем двуногих. Скольконаездников и лошадей выступает в цирке и сколькодиких животных содержится в его зверинце?

Вы без особого труда найдете, что в цирке высту-пают 11 наездников на 7 лошадях. Но когда вы по-пытаетесь определить число диких животных, то, ксвоему удивлению, получите отрицательное число.

Удастся ли вам решить задачу самостоятельно, незаглядывая в конец книги?.

Столкновение на полном ходу

Когда друзья дошли до тогоместа, где стояла спортивнаямашина Боба, он предложилподвести Элей к дому, куданедавно переехали ее роди-тели.

По дороге Боб придумал дляЭлен хорошую задачк у-

Боб. Видишь вой тот грузовиквпереди? Он гонит вовсю, иоя постараюсь его догнать.

Боб. Предположим, что грузо-вик делает 65 км/ч, а я еду соскоростью 80 км/ч.

136

Боб. Предположим также, чтомы находимся сейчас в1500 н от грузовика.

Боб. Если шофер грузовика ия будем выдерживать каждыйсвою скорость и я не сверну,мы заведомо врежемся в гру-зовик. Вот тебе и задачка,Элен: на каком расстоянии отгрузовика мы будем за 1 миндо столкновения?

Элен. Ты мог бы придуматьзадачку потруднее. За 1 миндо столкновения нас будетразделять 250 м.Элен не ошиблась. Не можетели вы объяснить, каким обра-зом оиа сумела так быстрорешить задачу?

От конца к началу

Разумеется, задачу можно решать алгебраически,хотя решение получается довольно громоздким. Эленпридумала неожиданный ход, позволивший получитьответ, не прибегая к алгебре: она догадалась, чтозадачу можно решать от конца к началу!

Грузовик развивает скорость 65 км/ч, а Бобедет со скоростью 80 км/ч. Следовательно, Боб дви-жется относительно грузовика со скоростью 15 км/ч,или 15 000 м/ч, что составляет 250 м/мин. Значит,

137

sa минуту до столкновения легковая машина, в кото-рой едут Боб и Элен, находится в 250 м позади гру-зовика.

Мы знаем также, что, когда Боб закончил рас-сказывать Элен задачу, их автомашина находилась в1,5 км позади грузовика, но эта информация не нуж-на для решения задачи: ответ получается одним итем же независимо от начального расстояния междумашинами.

Следующие две классические головоломки такжерешаются «обратным ходом».

1. Два космических корабля сближаются, дви-гаясь по прямой навстречу друг другу. Один корабльлетит со скоростью 8 км/мин, другой — со скоростью12 км/мин. Предположим, что в некоторый моментвремени корабли находятся на расстоянии ровно5000 км друг от друга. На каком расстоянии онибудут находиться друг от друга за 1 мин до столкно-вения?

В этой задаче так же, как и в предыдущей, ответне зависит от начального расстояния между кораб-лями. Оно лишь вводит людей в заблуждение, по-скольку те начинают думать, будто задачу нужно ре-шать, следя за тем, как уменьшается со временемрасстояние между кораблями. Задача решается лег-ко и просто, если понять, что корабли сближаютсясо скоростью 20 км/мин и, следовательно, за 1 миндо столкновения они будут находиться на расстоянии20 км друг от друга.

2. Некоему специалисту по молекулярной биоло-гии удалось вывести редкую разновидность бактерий.Ежечасно каждая бактерия делится на 3 части, при-чем каждая часть мгновенно достигает размероввзрослой бактерии и час спустя претерпевает деле-ние на 3 части.

Ровно в полдень биолог положил 1 бактерию встерильный контейнер с питательной средой. К пол-ночи контейнер оказался наполненным бактериямидо отказа. Когда контейнер наполнился на однутреть?

Как и предыдущие задачи, эта головоломка ре-шается «обратным ходом»; ясно, что на одну треть

138

контейнер заполнился к 11 часам вечера, за час дополуночи.

А теперь мы предлагаем вам проверить свою со-,образительность на новом замечательном вариантепоследней задачи. Все условия остаются прежними,за исключением одного: ровно в полдень биолог по-ложил в стерильный контейнер с питательной средойне одну, а три бактерии. Когда наполнится контей-нер? Ответ приведен в конце книги.

Загадочная покупка

Когда друзья доехали до до-ма, где жили родители Элен,она вручила отцу сверток.Элен. Здесь то, что ты соби-рался купить для дома, па-

Мистер Браун. Спасибо, дочка!А сколько- это стоило?

Элен. Пятьсот стоили 3 дол-лара.Мистер Браун. 3 доллара? Зна-чит, по 1 доллару за штуку.Элен. Правильно, папочка.Что, по-вашему, Элен купилав подарок отцу?

Плата поштучно

Возможно, вы догадались, что слово «пятьсот»может иметь 2 значения: число пятьсот и 3 цифры500, написанные подряд. Если одна цифра стоит1 доллар, то 3 цифры стоят 3 доллара: Элен купилатри цифры для номера дома, в котором живут ееродители.

Эта задача-шутка наглядно показывает, что в по-исках решения иной раз бывает полезно перечитатьусловия задачи.

140

Как отгадать номер телефона?

Боб. Кстати, Элен, ты до сихпор не дала мне номер своегонового телефона.

Элен. Ты знаешь, мы уговори-лись не сообщать его никому,но для тебя я готова нару-шить уговор. Можешь задатьмне любые 24 вопроса о но-мере телефона, на которыеможно ответить «да» или«нет», и я отвечу на иих.

Боб. Помилуй, Элен! Семи-значных телефонных номеровпочти 10 млн. Как я смогу от-гадать один из них, задав все-го 24 вопроса?Элен. Подумай хорошенько,Боб, и я уверена, что ты су-меешь отгадать мой телефон-ный номер.

Боб не обманул ожиданийЭлен и вскоре действительнопридумал простой способ, по-зволяющий отгадывать любойсемизначный телефонный но-мер, задавая не более 24 воп-росов. Придумав такой способ,вы сможете испытать его насвоих друзьях и знакомых.

141

Дихотомия, или разбиение на две части

Боб догадался, что с помощью вопросов, допуска-ющих ответы «да» и «нет», выделенный элемент мно-жества лучше всего искать, придерживаясь следу-ющей стратегии. Если множество содержит четноечисло элементов, то его следует разделить на дверавные части, содержащие одинаковое число элемен-тов. Если множество содержит нечетное число эле-ментов, то его следует разделить на две части так,чтобы они как можно меньше отличались по числуэлементов. После того как множество разделено надве части, следует спросить, указывая на одну изних, содержится ли в ней выделенный элемент. Полу-чив ответ и выбрав ту из двух частей, которая содер-жит выделенный элемент, надлежит повторить всюпроцедуру сначала. После конечного числа шагов(зависящего от числа элементов в исходном множе-стве) останется подмножество, содержащее тольковыделенный элемент — тот самый, который требова-лось найти.

Чтобы найти выделенный элемент в множестве из2 элементов, достаточно задать 1 вопрос, отвечать накоторый можно только «да» или «нет». В множествеиз 4 элементов выделенный элемент будет найден за2 таких вопроса, в множестве из 8 элементов — за3 вопроса, в множестве из 16 элементов — за 4 воп-роса и т. д. В общем случае п вопросов, допускающихответы типа «да» или «нет», достаточно, чтобы найтивыделенный элемент в множестве из 2" элементов.

В задаче о телефонном номере 24 вопроса позво-ляют отгадать любое число от 1 до 2 2 4 = 16 777 216,что больше 9 999 999 — «наибольшего» из семизнач-ных телефонных номеров. Двадцати трех вопросовможет не хватить, так как число 2 2 3 = 8 388 608 мень-ше некоторых семизначных телефонных номеров.

Прежде всего Бобу нужно спросить у Элен: «Но-мер твоего телефона больше 5 000 000?» Ответ наэтот вопрос позволит Бобу отбросить половину номе-ров и тем самым вдвое сузить круг дальнейших поис-ков. Продолжая дихотомию, он заведомо «попа-дет» в номер телефона Элен, задав не более 24 воп-росов.

142

Большинство людей с трудом верят, что с по-мощью 24 вопросов, допускающих ответы «да» или«нет», можно отгадать любое число от 1 до 16 777 216,поскольку не сознают, как быстро возрастают членыгеометрической прогрессии со знаменателем 2. Имен-но этот чрезвычайно быстрый рост позволяет сравни-тельно легко отгадывать, любое задуманное слово,задавая тому, кто его задумал, только вопросы, до-пускающие ответы «да» или «нет». Если вы достаточ-но поднаторели в дихотомии, то, хотя задуманноеслово может означать что угодно, обычно его можноотгадать, задавая менее 20 вопросов.

Описанную нами процедуру отгадывания семи-значного номера телефона специалисты по вычисли-тельной технике называют алгоритмом двоичной сор-тировки. На том же принципе основан остроумныйфокус с отгадыванием чисел. Необходимый реквизитсостоит из 6 карточек, показанных на рис. /.

t\Г

33

49

3"

19

35

51

5

21

37'

53

t

23

39

55

9

25

41

57

1\

27

43

59

13

29

45

Ы

15

31

47

£3

2

1В

34

50

3

19

35

51

S

22

38

54

7

23

39

55

ю

26

42

58

11

27

5Э

14

30

а£2

153147£3

20зеЫ

В2f3/53

6223854

723*3955

12:28!44US

1329'4561

Н

30

46

ег

1531it63

8244056

9254157

10264255

\\27'435Э

12

га4460

132945£1

14304662

\Ъ

31

47*

63

16*

24

48

ъе>

\7254957

16265058

19275159

20285260

21295361

22305462

233155£3

32404856

33414957

34425058

35435159

364452£0

37455361

3844546?

39if55"ез

143

Пусть кто-нибудь из зрителей задумает любоечисло от 1 до 64. Вручив ему карточки, попроситеотобрать те из них, на которых стоит задуманное имчисло, и вернуть их вам. Получив карточки, вы сразуже называете задуманное число.

Секрет фокуса открывается просто: вы суммируетечисла, стоящие в верхнем левом углу возвращенныхвам карточек. Их сумма равна задуманному числу.

Карточки построены по системе, которая станетясной, если все числа от 1 до 63 записать в двоич-ной системе, как это показано на рис. 2. Числа слева

ДЕСЯТИЧНАЯ* ЗАПИСЬ

01

гэ45Ь

7

8

9

Ю1112131415161718IS2Q2122

га2425262728293031

ДВОИЧНАЯ

г» 24 г»

000000601

ЗАПИСЬ

г»

11110000111100001I1100001111

г1

1!0011001100110о11001100110011

г°01о101010101010101о1010101010t01

десягичнмглт»

ьг3334S53637заээ404142434445464748495051зг53S45336575653СОЫ6263

ДМИЧНАЯ ЗАПИСЬ

2*1

111

2«00000000000000001111111111111111

г5

00000000

1100000000

г2

000о1111000011110000111100001111

21

001100110011001]0011.001100110011

2»0> ,о1 !о•1 *010101010101010

0101010101

записаны в десятичной системе. Справа от каждогочисла указано, как оно записывается в двоичнойсистеме. Шесть чисел вверху таблицы означают сте-пени числа 2, участвующие в двоичной записи чисел*

144

На рис. / в левой верхней карточке выписаны(в десятичной системе) все числа, у которых в по-следнем столбце их двоичной записи стоит единица.На карточке внизу справа выписаны все числа, у ко-торых единица стоит в первом столбце их двоичнойзаписи. Аналогичным образом устроены и остальныекарточки.

Карточки для отгадывания чисел можно состав-лять на основе не только двоичной, но и любой дру-гой системы счисления. Например, с помощью рис. 3можно составить карточки для отгадывания любого

ЦЕСЯТИЧИАЯЗАПИСЬ

*IZ345Ь78Э

1011121314151617161Э

го21гггзг4Z526

ТР(

3

з 1

11t

г2ггz22г2

вичь

з1

1112г2000111222000111г22

1АЯ:ь

3°1г01г01г01г01г01201г01г0iг

числа от 1 до 26 на основе троичной системы. Надкаждым столбцом справа указана соответствующаястепень числа 3 (именно она должна стоять в левомверхнем углу карточки). Если в столбце стоит еди-ница, то число вписывается в нужную карточку одинраз. Если в столбце стоит двойка, то число вписы-вается в карточку дважды. .

145

Три карточки для отгадывания любого числа от1 до 26, составленные на основе этого правила, при-ведены на рис. 4.

1г-2>

45-5

76-810

11-1113

14-U16

17-1719

20-2022

21-2325

26-26

3к5

6-S7-7в-а,121314

15-1516- 1617-17

212223

*24 - 2425-252Ь-26

Э101112'\У.14.151617

16-1819-132 0 - 2 021-2122-?2гэ-2124-242 5 2 526-26

Пусть кто-нибудь задумает любое число от 1 до26. Попросите его отобрать карточки с задуманнымчислом и, возвращая их вам, назвать, сколько разоно встречается на каждой из них. При суммирова-нии ключевые числа тех карточек, на которых заду-манное число встречается дважды, необходимоудвоить.

Возможно, вы захотите расширить набор с трехдо шести троичных карточек. Как мы уже знаем,шесть двоичных карточек позволяют отгадывать лю-бое число от 1 до 63. Шесть троичных карточек по-зволяют отгадывать любое число от 1 до 728. Теперьуже вам ясно, каким образом можно составить кар-точки для отгадывания чисел на основе системы счи-сления с любым основанием больше 3. Например,если мы остановим свой выбор на системе счисленияс основанием 4, то одни числа будут встречаться накарточках по одному разу, другие — дважды, атретьи — трижды, и при суммировании вам придетсяодни ключевые числа брать сами по себе (с коэф-фициентом 1), другие — удвоенными, а третьи —>утроенными.

Четверичные карточки показывают, что «троичнаясортировка» в некоторых отношениях превосходитдвоичную. Если мы будем последовательно делитьмножество не на 2, а на 3 части и каждый раз намбудут говорить, какая из частей содержит выделен-ный элемент, то найти его можно, задавая меньше

146

вопросов. Разумеется, сами вопросы становятся бо-лее сложными: если раньше они требовали «двоич-ных» ответов («да» или «нет»), то теперь ответ накаждый вопрос должен быть «троичным».

Необычайные возможности, таящиеся в троичнойсортировке, наглядно демонстрирует следующий кар*точный фокус. Пусть кто-нибудь из зрителей заду-мает любую из З 3 = 27 отобранных вами карт. Сдай-те отобранные карты в три стопки, переворачиваякаждую карту перед тем, как выложить ее на стол,вверх лицом, попросите зрителя указать, в какой изстопок находится задуманная им карта, после чегосложите стопки вместе и повторите всю процедуруеще дважды. Сложив стопки в третий раз, попроситезрителя назвать вслух задуманную карту и, снявверхнюю карту, покажите ее всем зрителям. У вас вруках окажется задуманная карта! Фокус можно по-казывать сколько угодно раз, не опасаясь «осечек» —их нет и быть не может!

Секрет фокуса прост: необходимо лишь всякийраз, когда вы складываете стопки, держа карты вверхрубашкой, стопку с задуманной картой класть поверхостальных. Неукоснительно придерживаясь этого пра-вила, вы будете автоматически производить троич-ную сортировку карт, которая и заставит «всплыть»задуманную карту из глубин.

Нетрудно понять, почему так происходит. Прин-цип здесь тот же, что и при отгадывании телефонногономера, только множество делится каждый раз не надве, а на три равные или почти равные части. Послепервой сдачи задуманная карта оказывается среди9 верхних карт, после второй сдачи она оказываетсяуже среди 3 верхних карт, а после третьей сдачи ока-зывается первой картой сверху. Если вы проделаетевсю процедуру от начала до конца, держа карты внизрубашкой и сдавая их снизу, то сможете наблюдать,как задуманная карта постепенно, в три этапа, спус-кается «на дно» перевернутой мини-колоды. Автома-тическая сортировка элементов различных мно-жеств, основанная на аналогичных принципах, игра-ет важную роль в современной информатике — наукео накоплении, хранении и обработке информации.

147

Унесенная ветром

Боб и Элен решили провестилетние каникулы в лесах шта-та Мэн, где в хижине жилдядюшка Генри.

Чтобы добраться до хижины.Бобу и Элен пришлось нанятьлодку и идти на веслах вверхпо течению.

Разумеется, грести вызвалсяБоб, а Элей села на руль.В 2 часа дня Элей сняла своюновую соломенную шляпку нповесила ее на румпель у се-бя за спиной.

Порывом ветра шляпку уиес-ло, но ни Элен, ни Боб не за-метили, когда это случилось.

Они успели отмахать на вес-лах 3 км вверх по течению,прежде чем Элен вспомнила ошляпке.Элен. Стой1 Где моя новаяшляпка? Должно быть, ее уне-сло ветром.

Делать нечего! Пришлось по-вернуть назад. Боб налег навесла, и некоторое время спус-тя лодка настигла шляпку,плывшую по реке.

Предположим, что лодка все-гда движется по воде со ско-ростью 6 км/ч, а скорость те-чения реки 2 км/ч.В котором часу Боб и Элейдогнали шляпку?

Вам удалось набрести на ка-кую-нибудь идею, позволяю-щую легко и просто решить за-дачу? Хотите верьте, хотитепроверьте, но течение одинако-во сказывается на движениилодки и шляпки, и его воздей-ствием можно пренебречь.

Значит, задачу можно решатьтак, как если бы лодка дви-галась в стоячей воде, Боб иЭлен уплыли от шляпки нарасстояние 3 км, а затем вер-нулись, заметив пропажу. Ихпуть туда и обратно составил6 км.

Так как лодка развивает ско-рость 6 км/ч, то весь путьтуда и обратно Боб и Эленпроделали за ! ч. Следователь-но, когда Элен выудила изводы шляпку, было 3 часадня.

Относительная скорость

Потеряв шляпку, Элен и Боб сначала уплываютот нее вверх по реке, а затем, обнаружив пропажу,пускаются вдогонку за шляпкой вниз по реке. Время,затрачиваемое ими на весь путь туда и обратно (отшляпки и к шляпке), не зависит от скорости теченияреки, потому что шляпка плывет по течению. В другомварианте задачи путь туда и обратно отсчитываетсяне от предмета, плывущего по течению, а от какого-нибудь неподвижного предмета на берегу.

Предположим, что никакого течения в реке нет.Боб и Элен идут на веслах 3 км вверх по реке оттого места, где они взяли напрокат лодку, затем по-ворачивают и возвращаются назад. Весь путь тудаи обратно занимает у них 20 мин.

Предположим теперь, что река, как ей и положе-но, течет от истока к устью со скоростью 2 км/ч,как в нашей задаче. Боб и Элен сначала поднимутсяна веслах на 3 км вверх по реке, а затем снова вер-нутся туда, где взяли напрокат лодку. Сколько вре«.

150

мени им придется затратить на весь путь туда и об-ратно на этот раз: больше или меньше 20 мин?

Трудно устоять перед искушением и не сказать,что время в пути останется прежним (20 мин), пояс-нив свою мысль примерно так: при движении вверхпо реке течение уменьшает скорость лодки ровно настолько, на сколько увеличивает скорость лодки,идущей вниз по реке.

Это рассуждение не верно. Почему?Правильное решение задачи мы получим, приняв

во внимание, что на преодоление 3 км вверх по рекеуходит больше времени, чем на преодоление тех же3 км при движении вниз по реке. Следовательно, те-чение замедляет лодку дольше, чем подгоняет ее, ина путь туда и обратно по проточной воде требуетсябольше времени, чем на тот же путь в стоячей воде.Наш вывод нетрудно проверить, записав соответ-ствующие алгебраические уравнения.

Те же соображения применимы к задачам о само-летах, летящих по ветру и против ветра. Если напреодоление расстояния из Л в В и обратно в без-ветренную погоду самолет затрачивает определенноевремя, то на преодоление того же пути в ветренуюпогоду времени потребуется заведомо больше неза-висимо от того, куда дует ветер: от Л к В или отВ к А.

Не менее известна еще одна хорошая задача наотносительное движение. Девушка садится в послед-ний вагон поезда. Обнаружив, что все места в вагонезаняты, она оставляет в тамбуре тяжелый чемодан ив тот самый момент, когда за окном проплывает фаб-рика детских игрушек «Зайки из байки», отправляет-ся на поиск свободного места, идя размеренным ша-гом, и через 5 мин доходит до первого вагона. Убе-дившись, что свободных мест нигде нет, девушка по-ворачивается и идет назад с той же скоростью. В тотмомент, когда она возвращается к чемодану, за ок-ном мелькает магазин бакалейных товаров «Супы,крупы и ступы», находящийся от фабрики «Зайки избайки» на расстоянии 5 км. С какой скоростью идетпоезд?

Решение этой задачи аналогично решению задачио шляпке Элен, унесенной ветром: знать, с какой

151

скоростью идет девушка по вагонам и какое расстоя-ние ей приходится пройти, совсем не нужно. Путьтуда и обратно она проделывает за 10 мин. Следо-вательно, ее чемодан проезжает 5 км за 10 мин. Зна-чит, поезд идет со скоростью 0,5 км/мин, или 30 км/ч.

А вот малоизвестная задача на относительноедвижение, способная поставить в тупик даже силь-ных математиков. Юноша и девушка участвуют в за-беге на 100 м. К тому моменту, когда девушка пере-секает линию финиша, юноша успевают пробежать95 м, и девушка выигрывает забег с преимуществомв 5 м.

В другом забеге на ту же дистанцию девушка,чтобы уравнять шансы на победу, берет старт в 5 мпозади стартовой черты. Кто выиграет второй забег,если оба спортсмена бегут с такой же скоростью,как и в первом забеге?

Если вы думаете, что оба участника забега пере-секли линию финиша одновременно, то мы настоя-тельно рекомендуем поразмыслить над задачей ещенемного. Может быть, вы все-таки догадаетесь, какправильно решить эту задачу? (Указание: где девуш-ка догонит юношу?)

Еще одна забавная задачка рассказывает о божь-ей коровке, отравленной какими-то химикалиями иутратившей способность ориентироваться в про-странстве. Божья коровка находится на одном концеметровой рейки и хочет доползти до другого конца.Каждую секунду она проползает 3 см вперед и 2 смназад. За сколько времени она доползет до другогоконца рейки? (Те, кто думает, что это произойдетчерез 100 с, ошибаются!)

Финансовые проблемы

Друзья уже почти добралисьдо хижины дядюшки Генри,когда Элен предложила Бобуследующую задачу-головолом-ку.Элен. Что, по-твоему, дороже:копилка, наполненная пяти-долларовыми золотыми моне-тами, или та же копилка, на-полненная десятидолларовымизолотыми монетами?

Боб немного помедлил, но от-ветил правильно и в свою оче-редь задал Элен задачу.Боб. У одного шотландца44 бумажных доллара и10 карманов. Может ли онразложить деньги по карма-нам так, чтобы число долла-ровых купюр во всех карма-нах было различно?

Принцип Дирихле

В копилке, наполненной пятидолларовыми золо-тыми монетами, золота столько же, сколько в копил-ке с десятидолларовыми золотыми монетами, поэтомуобе копилки содержат золота на одну и ту же сумму.

Задача о шотландце, раскладывающем по 10 кар-манам 44 бумажных доллара, гораздо труднее. Выяс-ним, что произойдет, если мы разложим по карманамминимальное число купюр. Даже если мы оставимпервый карман пустым (положив в него чисто сим-волически 0 долларов), а в каждый из следующихкарманов положим на 1 доллар больше, чем в пре-дыдущий, то всего нам понадобится 1 + 2 + 3 + 4 ++ 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 долларов, что больше тех44 долларов, которые были у шотландца. А стоитлишь нам изъять хотя бы один доллар из какого-ни-будь кармана, как в двух карманах долларовых ку-пюр окажется поровну.

153

Основную идею такого рода рассуждений матема-тики называют принципом Дирихле. Мы называлиего также принципом «птичка в клетке». Суть егократко можно сформулировать так: трех птичек не-возможно рассадить по двум клеткам так, чтобы вкаждой клетке оказалось по птичке. А вот еще одинпример занимательной задачи, в решении которойиспользуется принцип Дирихле. Предположим, что вгороде не более 200 000 жителей. Можно ли утвер-ждать, что по крайней мере у двух из них число во-лос на голове одинаково?

Такое утверждение может показаться невероят-ным, но принцип Дирихле убеждает нас в том, чтоответ на этот вопрос должен быть утвердительным.Судите сами. Число волос на голове у человека непревышает 100 000. Если среди жителей города нетдвух людей с одинаковым числом волос на голове, тоодин из них может быть совершенно лысым, у друго-го может расти на голове 1 волос, у третьего 2 воло-са и т, д. Но как только мы дойдем до 100 001-гочеловека, как число волос у него на голове непремен-но окажется таким же, как у кого-то из жителей го-рода. А так как население города составляет около200 000 человек, то среди его жителей найдется около100 000 таких, у которых число волос на голове будетсовпадать с числом волос на голове у кого-то другого!

Часы дядюшки Генри

Едва Элен успела решитьпредложенную Бобом задач*ку, как они дошли до хижи-ны дядюшки Генри. Хижинудядюшка построил своими ру-ками, и в ией не было ниэлектричества, ни телефона, нирадио, ни телевизора.

Дядюшка Генри сразу обра-тился к ним с вопросом.Генри. Который сейчас час?

Элен. У меня часов вообще небыло, а часы Боба мы поте-ряли. А разве у вас нет стен-ных часов?Генри. Часы-то есть, да вотбеда: вчера вечером я забылзавести их. Вы пока побудьтетут, а я схожу в город, узнаю,который час, и заодно раздо-буду чего-нибудь съестного.

Дядюшка Генри отправился всоседний городок и полторачаса провел там в бакалейноммагазине.

15S

Вернувшись домой, дядюшкаГенри сразу же перевел стрел-ки часов.

Элен. Дядюшка, вы уверены,что часы теперь показываютправильное время? Ведь вы неможете знать, сколько временипробыли в пути, если не знае-те, сколько прошли я с какойскоростью.

Генри. Ни к чему все это,Элен! Расстояние от моей хи-жины до городка никто немерил, да и скорость, с кото-рой я хожу, тоже. Знаю лишь,что туда и обратно я шел од-ной и той же дорогой, одними тем же шагом. Этого доста-точно, чтобы правильно поста-вить часы. Я так всегда де«лаю.

Предположим, что дядюшкаГенри завел часы перед тем,как выйти из дома, и часы вбакалейном магазине показы-вают точное время.Каким образом дядюшка Ген-ри ухитряется узнавать точноевремя по возвращении домой?

156

Проверьте ваши часы

Задача решается просто, если догадаться, чтоперед выходом из дома дядюшка Генри мог завестисвои остановившиеся часы и по ним определить,сколько времени его не было дома. Поставить правиль-но стрелки часов дядюшка Генри, разумеется, не мог,так как не знал точное время, но ничто не мешалоему запомнить, сколько было на часах, когда он ухо-дил из дома.

Вернувшись, дядюшка Генри взглянул на часы иузнал, сколько времени ушло у него на дорогу тудаи обратно и на визит в бакалейный магазин. По ча-сам, висевшим в магазине, дядюшка Генри узнал,сколько времени он там пробыл, и вычел это времяиз общей продолжительности своего похода в город.Тем самым дядюшка Генри узнал, сколько временизаняла у него дорога туда и обратно. Поскольку дя-дюшка Генри ходит с постоянной скоростью, то надорогу от городка до дома времени ушло вдвое мень-ше. Прибавив время, которое ушло на обратную до-рогу, к точному времени своего выхода из магазина,которое он установил по висевшим там часам, дя-дюшка Генри узнал точное время своего возвращениядомой и смог перевести стрелки своих часов так, чтоте стали показывать точное время.

Коль скоро мы заговорили о стрелках часов, тонельзя не упомянуть об одном каверзном вопросе, накоторый девять людей из десяти отвечают неправиль-но. Сколько раз от полудня до полуночи часоваястрелка совпадает с минутной? Большинство людейотвечают, что стрелки совпадают 11 раз, хотя в дей-ствительности стрелки совпадают 10 раз. Желающиемогут убедиться в этом, переводя стрелки на своихчасах.

Этот несколько удивительный факт позволяетлегко и просто решить задачу, которая кажется не-разрешимой без использования алгебраических урав-нений. Часы имеют секундную стрелку, соосную счасовой и минутной стрелками. В полдень все 3стрелки сливаются в одну. Успевают ли все тристрелки совпасть еще раз, прежде чем наступитполночь?

167

Выясним сначала, много ли на окружности ци-ферблата найдется точек, в которых часовая стрелкасовпадает с минутной. Казалось бы, что таких точек12, но, как мы уже знаем, в промежуток с 12 часовдня до 12 часов ночи минутная стрелка совпадает счасовой только 10 раз. Поскольку в полдень и в пол-ночь часовая стрелка также совпадает с минутной,то это означает, что всего на окружности циферблатаимеется 11 различных точек, в которых часоваястрелка совпадает с минутной. Как показывают ана-логичные рассуждения, секундная стрелка совпадаетс минутной в 59 различных точках на окружностициферблата. Следовательно, точки совпадения ми-нутной стрелки с часовой разделены И равнымипромежутками времени, а точки совпадения минут-ной стрелки с секундной разделены 59 равными про-межутками времени.

Пусть А — величина любого из 11 промежутков,а В — любого из 59 промежутков (обе величины из-мерены в одинаковых единицах времени).. Если у чи-сел А и В есть общий делитель К, то на окружностициферблата найдется К точек, в которых оба совпа-дения (минутной стрелки с часовой и секунднойстрелки с минутной) происходят одновременно. Ночисла -11 и 59 не имеют общего делителя. Следова-тельно, с полудня до полуночи часовая, минутная исекундн-ая стрелки ни разу не совпадают. Иначе го-воря, все 3 стрелки совпадают только в 12 часов дняи в 12 часов ночи.

А вот две шуточные задачи о часах, на которыхнепременно «даст осечку» кто-нибудь из вашихдрузей.

1) Часы с боем успевают пробить б часов за5 с. За сколько времени они пробьют 12 часов?

2) Дядюшка Генри так устал с дороги, что легспать в 9 часов вечера с намерением встать в 10 ча-сов утра. Перед сном он поставил будильник на 10часов и через 20 мин уже безмятежно спал. Скольковремени успеет поспать дядюшка Генри до звонкабудильника?

Ответы на обе задачи приведены в конце книги.

Истина в вине

В последний день каникул Боби Элен сообщили дядюшкеГенри, что решили поженить»ся.Дядюшка Генри. Рад за вас,мои милые. Нужно отметитьэтот знаменательный день!

Дядюшка Генри достал из по-греба 5 бутылок вина, припа-сенных для торжественногослучая, но тут возникло не-предвиденное затруднение: троеобитателей хижины никак иемогли прийти к единому мне-нию относительно того, какуюбутылку откупорить первой.

Дядюшка Генри. Постойте, язнаю, как решить спор! Вы-строим все бутылки в ряд ипересчитаем их по разработан-ной мной системе. Вот как этоделается: раз, два, три, четы-ре, пять...

Дядюшка Генри. ...шесть, семь,восемь, девять...

Дядюшка Генри. ...десять,одиннадцать, двенадцать, три-надцать . . , Понятно?

Боб. Понятно-то, понятно, иосколько вы еще собираетесьсчитать?Дядюшка Генри. Как вы по-мните, в 1976 г. мы праздно-вали 200-летие независимости.Вот я и досчитаю до 1976 г.

Элен (со стоном). Милый дя-дюшка, на это у вас уйдет еще200 лет. Впрочем, минутку...Есть идея! Считать по бутыл-кам совсем не обязательно!Я могу вам сразу сказать, накакой бутылке окончится счет.

Элен. Число 1976 придется навторую бутылку.Дядюшка Генри ие поверилЭлен и упрямо продолжал пе-ресчитывать бутылки. Через15 мин он досчитал до 1976и убедялся, что счет, как нпредсказывала Элен, окончил-ся на второй бутылке.Дядюшка Генри. Как это тебеудалось, Элен?

160

Не могли бы и вы предложитьспособ, позволяющий безоши-бочно определять, на какой бу-тылке закончится счет, незави-симо от того, до какого числа.мы будем считать?

Арифметика вычетов

Элен догадалась, что утомительного счета на бу-тылках от 1 до 1976 можно избежать, если восполь-зоваться так называемой арифметикой вычетов, илитеорией сравнений. Два числа а и Ъ называются срав-нимыми по модулю с, если при делении на с онидают одинаковые остатки. Число с называется моду-лем сравнения, а остаток от деления любого числана с — вычетом этого числа по модулю с.

Обычные часы могут служить прекрасным приме-ром конечной арифметики вычетов по модулю 12,содержащей 12 чисел. Действительно, вычет числа12 по модулю 12 равен 0 (то есть число 12 сравнимос нулем по модулю 12). Предположим, что на вашихчасах сейчас 12 часов. Сколько будет на ваших ча-сах через 100 часов? Разделив 100 на 12, вы узнаете,что остаток от деления равен 4 (число 100 сравнимос числом 4 по модулю 12). Значит, через 100 часовна ваших часах будет 4 часа.

Теперь вам ясно, что метод дядюшки Генри экви-валентен арифметике вычетов? Единственное отли-чие состоит в том, что каждая из 3 бутылок, стоящихв середине, соответствует двум числам, посколькуэти бутылки приходится считать и слева направо, исправа налево. Счет 8 приходится на вторую бутыл-ку, после чего весь цикл повторяется. Следовательно,метод дядюшки Генри эквивалентен арифметике вы-четов по модулю 8.

Элен оставалось лишь найти вычет числа 1976 помодулю 8, то есть разделить 1976 на 8 и найти оста-ток. Проделав вычисления, Элен получила остаток 0.

161

В арифметике вычетов по модулю 8 число 8 имеетнулевой вычет. Следовательно, счет до 1976 долженокончиться на второй бутылке.

Предположим, что вам захотелось узнать, на ка-кой бутылке кончит считать дядюшка Генри, есливздумает дойти, например, до 12 345 678 987 654 321.Нужно ли для этого делить гигантское число на 8?Нет, если вы сообразите, как избежать утомитель-ной процедуры. Так как число 1000 сравнимо с 0 помодулю 8, то необходимо делить на 8 только 3 по-следних знака — число 321, Проделав деление, выузнаете, что интересующее вас семнадцатизначноечисло сравнимо с 1 по модулю 8. Следовательно,вздумай дядюшка Генри считать до этого числа, онбы закончил счет на первой бутылке.

Варьируя число бутылок, вы будете получать мо-дели конечных арифметик вычетов по другим четныммодулям. Если бутылки считать, как обычно, толькослева направо, то вы получите модель конечнойарифметики вычетов по любому модулю, как четному,так и нечетному.

Со счетом предметов, расположенных по кругу,связана знаменитая задача Иосифа Флавия, поро-дившая обширную литературу и многочисленные ва-рианты. Приведем еще один вариант этой стариннойзадачи в надежде, что он покажется вам забавным.

Давным-давно у одного богатого и могуществен-ного короля была дочь, по имени Жозефина. Никтоне мог сравниться с ней красотой. Сотни юношей изсамых знатных родов тщетно мечтали получить ееруку и сердце. Наконец, Жозефина выбрала десятьиз них, которые нравились ей чуть больше других.Но прошло несколько месяцев, а Жозефина никак немогла решить, на ком из них остановить свой выбор.Король не на шутку встревожился.

— Ты знаешь, моя возлюбленная дочь,— начал ониздалека, обращаясь к дочери,— что через месяцтебе исполнится семнадцать лет, а по старинномуобычаю все принцессы должны выйти замуж прежде,чем достигнут этого возраста.

— Но, папочка,— возразила своенравная Жозе-фина,— как быть, если я не уверена, что Джорджнравится мне больше других?

162

— В таком случае, моя ненаглядная, обычайпредписывает выбирать жениха по особому тайномуритуалу, недоступному разумению непосвященных.Хорошо, что ты мне, наконец, сказала, в чем твоезатруднение. Мы решим его сегодня же, а там и засвадебку!

И король принялся объяснять дочери, как ей над-лежит выбирать жениха в соответствии с требования-ми старинного ритуала.

— Все десять претендентов на твою руку встанутв круг. Ты выберешь любого из -них, назовешь егопервым и отсчитаешь от него по часовой стрелкесемнадцать человек — ровно столько, сколько леттебе вскоре исполнится. Семнадцатому юноше npibдется покинуть круг. Мы отошлем его домой, подаривему в утешение кошелек со 100 золотыми дукатами.

А ты примешься снова считать от 1 до 17, на этотраз .назвав первым юношу, следующего по кругу затем, кто выбыл. Так ты будешь продолжать до техпор, пока из круга не выйдут все претенденты натвою руку, кроме одного. Он-то и станет твоиммужем.

Жозефина нахмурилась и сказала:— Боюсь, как бы мне что-нибудь не напутать,

папочка. Ты не возражаешь, если я возьму десятьзолотых дукатов и немного попрактикуюсь на них?

Король согласился. Жозефина разложила в круг10 дукатов и принялась считать, откладывая каждыйраз семнадцатую монету в сторону, пока не осталсяодин-единственный дукат. Король был в восторге:дочь в совершенстве овладела тайным ритуалом.

Он повелел десятерым претендентам на рукупринцессы собраться в тронном зале. Они выстрои-лись в круг, и Жозефина принялась считать. Она безколебаний назвала первым Персиваля и считала дотех пор, пока в круге не остался только Джордж —тот самый юноша, за которого она тайком давно ре-шила выйти замуж.

Как Жозефина догадалась, с кого ей следует на-чать счет, чтобы он закончился на милом ее сердцуДжордже?

Практикуясь на монетах, Жозефина заметила, чтов круге остается третья монета, если первой назвать

163

ту, с которой она начала счет. Поэтому войдя в кругпретендентов, она уверенно начала счет с Персиваля,после которого третьим стоял Джордж.

Интересным обобщением задачи Иосифа Флавиябыл бы следующий карточный фокус, если бы вамудалось соответствующим образом расположить13 карт пиковой масти. Сумеете ли вы это сделать?

Вот как должен был бы выглядеть этот фокус.В одну руку вы берете стопку карт вверх рубашкой.Отсчитав сверху 1 карту, вы кладете ее на стол иоткрываете. Перед вами туз пик. Затем вы отсчиты-ваете сверху 2 карты, первую подкладываете снизупод стопку карт, которая у вас в руке, а вторуюоткрываете и кладете на стол: перед вами двойкапик. Затем вы отсчитываете сверху 3 карты, подкла-дывая первые две в том же порядке, в каком вы ихснимаете, под стопку карт снизу, а третью карту от-крываете и кладете на стол: перед вами тройка пик.Продолжая счет дальше, вы каждый раз переклады-ваете карты по одной сверху вниз (что эквивалентносчету по кругу в задаче Иосифа Флавия), а послед-нюю открываете и кладете на стол. В итоге на столеоказываются выложенными по порядку все 13 картпиковой масти от туза до короля.

Карты в стопке должны лежать в следующем по-рядке (сверху вниз): туз, восьмерка, двойка, пятерка,десятка, тройка, дама, валет, девятка, четверка, се-мерка, шестерка, король.

Может быть вам покажется, что выстроить такуюпоследовательность удалось лишь методом проб иошибок после многих безуспешных попыток. Вы глу-боко заблуждаетесь: для получения таких последова-тельностей существует очень простой алгоритм. Мно-гие фокусники, разрабатывая трюки такого рода,действительно немало времени проводят в раздумьяхнад тем, как расположить карты, пока внезапная до-гадка не превратит задачу, над решением которойони безуспешно бились не один день, в тривиальную.Удастся ли вам разгадать, как строится последова-тельность в задуманном нами фокусе в духе ИосифаФлавия, прежде чем вы заглянете в ответ, помещен-ный в конце книги.

Глава 4

Логические находки

НЕОЖИДАННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ,ТРЕБУЮЩИХ УМЕНИЯМЫСЛИТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО

В этой главе нас будет интересовать не формаль*ная логика, а задачи, для решения которых не нуж-ны особые познания в математике, но необходимоумение мыслить последовательно. Некоторые изпредлагаемых нами задач напоминают загадки в томсмысле, что содержат умышленно введенные в ихусловия утверждения, способные «сбить с толку» неслишком проницательного читателя, или решения,основанные на игре слов, но в большинстве случаевмы предлагаем вам честную игру — задачи, которыеимеют решение.

В том, как собранные в этой главе различные ло-гические задачи-головоломки относятся к математи»ке, нетрудно усмотреть некую общую тенденцию.Все математические задачи решаются при помощирассуждений, проводимых в рамках некоторой дедук-тивной системы, включающей в себя наряду с дру-гими правилами основные законы логики. Хотя ддярешения любой задачи из этой главы не требуетсязнание формальной логики, тем не менее ведущие крешению неформальные рассуждения по существуимеют много общего с теми, которые проводят мате-матики, физики, химики и биологи, сталкиваясь скакой-нибудь трудной проблемой.

Под «трудной проблемой» мы понимаем здесь за-дачу, подход к решению которой неизвестен. Разу-меется, если алгоритм решения существует, то ни о

165

какой по-настоящему трудной проблеме не можетбыть и речи: достаточно лишь засыпать зерна исход-ных данных и привести в действие жернова алгорит-ма, как мы получим ответ. Например, памятная всемформула корней квадратного уравнения говорит намо том, какие действия и в какой последовательностинеобходимо произвести над коэффициентами уравне-ния, чтобы найти его корни.

И в математике, и в естественных науках интерес-ными задачами, бросающими вызов исследователю,принято считать такие, для решения которых не су*ществует готовых методов. Столкнувшись с такой за-дачей, исследователь долго, а иногда и мучительноразмышляет, перебирая в памяти всю информацию,имеющую хотя бы отдаленное отношение к интересу-ющей его теме, в надежде, что удачная догадка под-скажет нужное решение. Именно поэтому решениезанимательных логических задач служит великолеп-ной тренировкой к решению важных научных проблем.

Некоторые задачи в этой главе связаны с еерьез*ной математикой еще более тесными узами. Напри-мер, задача «В коетюмах одного цвета» и следующаяза ней задача легко решаются табличным методом,аналогичным широко используемому в формальнойлогике методу таблиц истинности. В одной иг этихзадач встречается важное логическое отношение —•так называемая «материальная импликация». В не-числении высказываний (одном из разделов матема-тической логики, имеющем первостепенное значение)'импликацию' принято обозначать знаком тэ или ->.Отношение A ZD В означает, что если А истинно, то Вдолжно быть истинно. Одно из возможных истолко-ваний этого логического отношения (на языке теориимножеств) гласит: все элементы множества В содер-жатся в множестве А.

Слово «индукция» имеет по существу два различ*ных значения. Неполная индукция — это процессвосхождения от частного к общему. Ученый, наблю-дающий частные случаи (например, замечающий, что-некоторые вороны черные), делает общее заключе-ние (о том, что все вороны черные). Это заключениеникогда не носит характер достоверного утвержде-ния: вполне возможно, что на свете существует по*

166

крайией мере одна белая ворона, которая еще не по-падалась на глаза наблюдателю.

Математическая индукция, с которой вы познако-митесь в комментариях к тестам со шляпами в зада-че «Аховы награды», представляет собой совершенноиной процесс, хотя и в математической индукции мыимеем дело с восхождением от частного к общему,охватывающему информацию о бесконечной последо-вательности частных случаев. Математическая индук-ция — неоценимое средство исследования почти вовсех разделах математики.

Большинство задач, собранных в этой главе, посложности и серьезности уступает задаче о шляпах.Тем не менее и они позволят вам отточить свое остро-умие, научат внимательно следить за всякого родасловесными «ловушками», расставленными в услови-ях задачи, и в особенности оценить преимущества не-лредвзятого, широкого поиска возможного подхода крешению задачи. Чем больше подходов вы проанали-зируете, сколь бы причудливыми и экзотическимиони ни были, тем больше шансов у вас на успех.В этом один из секретов всех творчески мыслящихматематиков.

Находчивый шофер

Случилось это в Нью-Йорке.Некая дама остановила таксни попросила отвезти ее домой.

По дороге оиа без умолку бол-тала и довела шофера до край-него исступления.

Шофер. Прошу прощения, ма-дам, но я не слышу ни словаиз того, что вы говорите.Я глух, как телеграфный скТлб,а мой слуховой аппарат, какиазло, сегодня целый день иеработает.

Услышав это, дама смолкла.Но когда она вышла у подъез-да своего дома и машина скры-лась за углом, она вдруг со-образила, что шофер вовсе ивбыл глух.Как дама догадалась, RTO шо-фер ей солгал?

Наблюдательная дама

Ситуация, с которой мы сталкиваемся в историио болтливой даме и шофере такси, типична. Она не-однократно возникает и в повседневной жизни, и внауке: то, что на первый взгляд кажется хаотиче-ским нагромождением фактов или цепочкой логи-чески не связанных поступков, после тщательногоанализа может предстать в ином свете и, как помановению волшебной палочки, вдруг стать ясным ипонятным.

Если вы сразу не поняли, как болтливая дамадогадалась, что глухота шофера такси была мнимой,поставьте себя на место дамы и мысленно проиграЙ4те всю вереницу событий, разыгравшихся с того мо*мента, как дама остановила такси, до того момента,как шофер высадил ее из машины. Что бы вы сдела->ли прежде всего, сев в такси? Назвали водителюадрес того места, куда вам нужно ехать. Но если во-дитель глух, то как бы он узнал, куда вас везти?Расплатившись с шофером, дама вдруг поняла, чтоее обманули: если бы шофер был глухим, то как быон услышал, куда ему следует ехать?

В логических задачах-головоломках, основанныхна реальных или правдоподобных житейских ситуа-циях, многое нередко не договорено и молчаливоподразумевается. Не является исключением и этазадача. Например, глухой водитель вполне бымог «прочитать» адрес по губам пассажира. Такоерешение задачи вполне допустимо и свидетель-ствует о нетривиальности того, кто до него доду-мается.

В истории науки тщательный и всесторонний ана-лиз определенной последовательности событий илиявлений нередко приводил к важным открытиям.Прекрасный тому пример — разгадка языка пчел.Ученых давно интересовало, каким образом рабочаяпчела, вернувшись в улей, сообщает другим рабочимпчелам, где можно взять побольше меда. Карл фонФриш заметил, что пчела-разведчица по возвращенииисполняет на летке замысловатый «танец». Не можетли характер танца быть носителем информации о на-правлении на источник меда и расстоянии от улья

169

до него? Поставив серию изящных экспериментов,Карл фон Фриш доказал, что его догадка верна.

Если вам понравилась задача о шофере такси иболтливой даме, то мы можем предложить вам ещедве задачи о такси.

Пассажир, которому нужно добраться до аэро-порта Кеннеди, садится в такси у отеля «Уолдорф-Астория» в Нью-Йорке. Поскольку городские улицызабиты машинами и почти на каждом перекресткевозникает пробка, такси развивает среднюю скоростьвсего лишь 30 км/ч. Общее время в пути составляет80 мин, и пассажир уплачивает по счетчику соответ-ствующую сумму. В аэропорту в такси садится дру-гой пассажир, которому по удивительному стечениюобстоятельств также нужно добраться до отеля«Уолдорф-Астория». Водитель едет по тому же мар-шруту с той же средней скоростью, но на этот раздорога занимает у него 1 ч 20 мин. Чем объяснить, чтона дорогу туда и обратно уходит различное время?

Большинство людей не сразу сознает, что разли-чие во времени на дорогу от гостиницы до аэропортаи от аэропорта до гостиницы лишь кажущееся:80 мин по продолжительности ничем не отличаютсяот 1 ч 20 мин. Испытав эту незамысловатую задачу-шутку на своих знакомых, вы убедитесь, как частопопадаются в почти не замаскированную «ловушку».

А вот еще задача о такси того же толка.Представьте себе, что вы водитель такси. Ваша

машина окрашена в желтый и черный цвета, и выездите на ней 7 лет. Один стеклоочиститель у маши-ны сломан, карбюратор барахлит. Бак вмещает20 галлонов бензина, но сейчас наполнен лишь натри четверти. Сколько лет водителю такси?

Это задача — еще более «злая» шутка, чем пре-дыдущая, хотя ее условия логически непротиворечи-вы. С самого начала в ней говорится, что вы води-тель такси. Значит, и лет водителю столько же,сколько вам.

В костюмах одного цвета

Избавившись от болтливой да>мы,*Тиофер таксн вздохнул ооблегчением. Следующий рейсбыл несравненно легче: треммолодым парам не терпелосьпоскорее попасть в дискотеку.Одна девушка была в красномкостюме, вторая — в зеленом,третья — в синем. Их партие-ры также были в красном, зе«леном и синем.

Оказавшись во время танцеврядом с девушкой в зеленом,юноша в красном обратился кией.Фрэнк. Не правда ли, Мабель,забавно получается: ни у когоиз нас цвет костюма не совпа-дает с цветом костюма парт-нера.

Можете ли вы с уверенностьюсказать, в костюме какого цве-та был ювоша, танцевавший впаре с девушкой в красном?

Юноша в красном мог танце-вать только с девушкой в си-нем. Девушка в красном немогла танцевать с ним, так кактогда по крайней мере однапара была бы в костюмах од»ного цвета. Девушка в зеле-ном не танцевала с ним (онзаговорил с ней, когда онаоказалась рядом, танцуя скем-то другим).

Аналогичные рассуждения по-казывают, что девушка в зе-леном не могла танцевать сюношами в красном и зеле-ном. Следовательно, она мо-гла танцевать с юношей в си-нем.

Таким образом, девушка вкрасном могла танцеватьтолько с юношей в зеленом.

И синий • КРАСНЫЙ ЦЗЕЛЕНЫИ>

Цвета против цветов

Для большинства людей разобраться во всехтонкостях рассуждений, приводящих к решению за-дачи, дело нелегкое. А догадаться, как решить зада-чу, не понимая до конца, что именно утверждается вкаждом из ее многочисленных условий, попросту не-возможно. Всю информацию удобно представить ввиде квадратной матрицы следующего вида;

к

а

с

к 3

1Т2

Прописные буквы слева означают цвета костю-мов, в которые были одеты юноши: К — красный,3 — зеленый, С — синий. Строчные буквы сверхуозначают цвета платьев, в которые были одеты де-вушки.

Поскольку ни в одной паре костюмы партнеровне были одного цвета, то три комбинации Кк, Зз иСс можно сразу же исключить (клетки, соответ-ствующие этим комбинациям, закрашены).

Юноша в красном оказался во время танцев не-подалеку от девушки в зеленом. Значит, он не тан-цевал в паре с девушкой в зеленом, и мы можемисключить клетку Кз. В ряду К после этого останетсяодна клетка. Значит юноша в красном танцевал сдевушкой в синем. Это обстоятельство мы отметим,поставив «птичку» в клетке Кс, после чего наша таб-лица примет следующий вид:

•ииПоскольку нам уже известно, что девушка в си-

нем танцевала с юношей в красном, то она не моглатанцевать с партнером в зеленом. Следовательно,клетку Зс можно закрасить, после чего во второмряду остается незакрашенной только одна клетка Зк.

173

Значит, юноша в зеленом танцевал с девушкой вкрасном, и в клетке Зк можно поставить «птичку».

И•рУ

••Но если девушка в красном танцевала с юношей

в зеленом, то она не могла танцевать с юношей всинем, что позволяет нам закрасить клетку Ск.В ряду С остается только одна незакрашенная клет-ка Сз. Мы поставим в ней «птичку», означающую,что юноша в синем танцевал с девушкой в зеленом.Задача полностью решена.

<с

А вот более трудная логическая задача по суще-ству того же рода. Решить ее без матричного, илитабличного, метода под силу лишь немногим.

Пол, Джон и Джордж — три звезды «рока». Одиниз них гитарист, другой ударник, третий пианист(разумеется, мы отнюдь не утверждаем, что Пол не-пременно играет на гитаре, Джон на ударных иДжордж на фортепьяно: Пол вполне может быть, на-пример, пианистом, Джордж ударником и т, д.).

1. На запись грампластинки популярной «рок»-музыки ударник хотел пригласить гитариста, но тогоне оказалось в городе: он отбыл на гастроли вместес пианистом.

2. Пианисту платят больше, чем ударнику,3. Полу платят меньше, чем Джону.

174

4. Джордж никогда не слышал о Джоне.На каком инструменте играет каждый из трех му-

зыкантов?Удастся ли вам, построив матрицу 3 X 3 решить

задачу по аналогии с предыдущей?Получив правильное решение, вы узнаете, что

Пол гитарист, Джон ударник, а Джордж пианист.Табличный (или матричный) способ решения ло-

гических задач имеет много общего с решением задачформальной логики при помощи диаграмм Венна,В обоих случаях решение получается последователь-ным исключением недопустимых комбинаций «зна-чений истинности», которое продолжается до тех пор,пока не останется одна-единственная комбинация,отвечающая всем условиям задачи. Как сказал од-нажды Шерлок Холмс доктору Ватсону в рассказе«Знак четырех»: «Если исключить невозможное, тото, что останется, сколь бы невероятным оно нибыло, должно быть истиной».

А вот задача более сложная, чем предыдущие.Она познакомит вас с одним из наиболее важныхдвухместных отношений формальной логики — такназываемой импликацией, или утверждением «Если ...,то...».

В комнате общежития женского колледжа собра-лись однажды все четыре обитательницы. Каждая изних занималась своим делом. Одна студентка заня-лась маникюром, другая расчесывала волосы, третьяприхорашивалась перед зеркалом, а четвертая чи-тала.

1. Мира не занималась маникюром и не читала.2. Мод не прихорашивалась перед зеркалом и не

занималась маникюром.3. Если Мира не прихорашивалась перед зерка-

лом, то Мона не занималась маникюром.4. Мэри не читала и не занималась маникюром.5. Мона не читала и не прихорашивалась.Что делала каждая девушка?Начертить матрицу 4 X 4 для четырех имен и за-

нятий не составит особого труда. Обратите вниманиена то, что каждое из утверждений 1, 2, 4 и 5 позво-ляет закрасить 2 клетки (и исключить из рассмотре-ния соответствующие комбинации имен и занятий).

175

Утверждение 3 — импликация. В нем говорится,что если Мира не прихорашивалась перед зеркалом,то Мона не занималась маникюром. Пусть Л означаетпосылку импликации (утверждение, стоящее после«если»), а В — ее заключение (утверждение, стоящеепосле «то»). Двухместное отношение «если А, то В»ложно, когда А истинно, а В ложно, но ничего не го-ворит нам о значениях истинности утверждения В втех случаях, когда А ложно.

Следовательно, утверждение 3 допускает 3 раз-личные комбинации значений истинности.

1. Мира не прихорашивалась перед зеркалом, иМона не занималась маникюром.

2. Мира прихорашивалась перед зеркалом, иМона не занималась маникюром.

3. Мира прихорашивалась перед зеркалом, иМона занималась маникюром.

После того как вы исключите 8 комбинаций (за-штриховав или закрасив в таблице 8 клеток), запре-щаемых утверждениями 1, 2, 4 и 5, останется прове-рить каждую из 3 пар простых высказываний, содер-жащихся в утверждении 3. Две пары приводят кпротиворечию: приняв их, вы получили бы, что дведевушки занимались одним и тем же. Лишь паравысказываний «Мира прихорашивалась перед зерка-лом, и Мона занималась маникюром» не противоре-чит информации, содержащейся в остальных утверж-дениях. Итак, окончательное решение имеет вид:

Мира прихорашивалась перед зеркалом.Мод читала.Мэри расчесывала волосы.Мона занималась маникюром.Составлять логические задачи такого типа совсем

не трудно. Попробуйте придумать одну-две такие за-дачи сами. Решать такие задачи можно многими спо-собами, например используя алгебраические методы,теорию графов, различного рода логические диаграм-мы и т. д. Возможно, вам удастся изобрести свой соб-ственный метод, не уступающий приведенному намиили даже в чем-то превосходящий его.

Каверзные загадки

Когда музыка смолкла, шес-теро друзей вернулись к сто-лику и принялись рассказы-вать друг другу истории-за-гадки.Сколько из этих загадок высумеете разгадать?

Первым загадал загадку юно-ша в красном.Фрэнк. На прошлой неделе явыключил свет и успел до-браться до постели прежде,чем комната погрузилась втемноту. От выключателя домоей кровати — 3 м.Как это мие удалось?

Юноша в синем всех озадачилвопросом.Генри. Когда тетушка приез-жает ко мне в гости, она все-гда выходит из лифта на5 этажей ниже, чем нужно, иподнимается дальше пешком.Почему тетушка так посту-пает?

Следующий вопрос задал юно-ша в зеленом.Инман. Какое хорошо извест-ное слово начинается иа «ост»,кончается на «в» и имеет всередине «ро»?

-1 /•

-#ст- »о=-_ 6)

477

Девушка в красном рассказа-ла целую историю.Джейн. Однажды поздним ве>чером мой дядюшка читал ин-тересную книгу. Тетушка порассеянности выключила свет,но хотя в комнате стало совсемтемно, дядюшка продолжалчитать как ни в чем не бывалои дочитал книгу до жоица.

Девушка в зеленом удивилавсех другой историей.Мабель. Сегодня утром я уро-нила серьгу в кофе, но хотячашка была полна до краев,я смогла достать серьгу, дажене намочив пальцев.Как это могло быть?

Последнюю загадку загадаладевушка в синем.Лаура. Вчера мой отец попалпод дождь. Ни шляпы, ни зон-та он с собой не взял, укрыть-ся от дождя было негде, и,когда отец добрался до дома,вода с него лилась ручьями,но ни один волос ла головене промок.Как это могло произойти?

Каверзные разгадки

Все шесть каверзных загадок носят шуточный ха-рактер, но из них вы сможете извлечь для себя не-мало поучительного, например прочувствовать, скольпагубно для решения обременять условия задачилишними неявными допущениями и сколь полезнорассматривать все возможности, сколь бы невероят-ными или причудливыми они ни казались. Некоторыеиз величайших переворотов в науке не произошли бы,если бы не нашлись великие умы, усомнившиеся в

178

том, что всем казалось незыблемым. Следующийшаг — гениальная догадка, идущая вразрез с обще-принятым мнением и допускающая возможность того,что всем представляется противоречащим здравомусмыслу. Например, Коперник догадался, что Солнце,а не Земля, находится в центре Солнечной системы,Дарвин догадался, что человечество появилось в ре»зультате длительной эволюции из низших форм жи-вотного мира, а Эйнштейн догадался, что струк-тура пространства описывается неевклидовой гео*метрией.

Шесть приведенных нами каверзных загадокимеют следующие разгадки:

1. При попытке разгадать эту загадку почти всенеходят из лишнего неявного допущения о том, чтодело происходило вечером. В условиях задачи обэтом не говорится ни слова. Добраться до постелипрежде, чем комната погрузилась в темноту, Фрэнкуудалось потому, что он ложился спать днем.

2. При решении этой задачи, как правило, при-нимают неявное допущение о том, что тетушка нор-мального роста. В действительности же тетушка Ген<ри — карлик и не может дотянуться до кнопки тогоэтажа, на котором живет ее племянник.

3. Обычно принимаемое дополнительное ложноедопущение состоит в том, что между буквами ОСТ —РО — В должны стоять еще какие-то буквы. В дей-ствительности речь идет о слове ОСТРОВ.

4. Неявное ложное допущение, из которого исхо-дят при попытке решить эту задачу, состоит в том,что читать можно только глазами. В действитель-ности дядюшка Джейн был слепым и читал наощупь.

5. Ложное допущение состоит в том, что кофе не-пременно должен быть жидким. В действительностиМабель уронила серьгу в чашку, наполненную докраев сухим кофе, и поэтому смогла достать серьгу,не намочив пальцев.

6. Неявное ложное допущение при решении этойзагадки состоит в том, что на голове у отца Лаурыбыли волосы. В действительности он был лыс, ноэто-му ни один волос у него на голове не намок дажепод проливным дождем,

179

На той же идее — ввести в заблуждение, заставивпринять ложное допущение, которое мешает поискуправильного объяснения,— основаны сотни других за-нимательных головоломок. Мы приведем еще шестьиз них:

1. Посетитель ресторана обнаруживает в подан-ной ему официантом тарелке супа дохлую муху.Официант с извинениями принимает тарелку со сто-ла, уносит ее на кухню и возвращается с новой пор-цией супа.

Едва отведав, посетитель подзывает снова офици-анта и с возмущением кричит:

— Как вам не стыдно! Вы подали мне тот же суп,что и в первый раз!

Каким образом посетителю удалось разоблачитьофицианта?

2. Пока океанский лайнер стоял на якоре, миссисСмит чувствовала себя не вполне здоровой и не по-кидала каюты. В полдень иллюминатор у ее койкинаходился на высоте ровно 7 м над уровнем воды.Во время прилива уровень воды поднимается со ско-ростью 1 м/ч. Через сколько времени вода достигнетиллюминатора?

3. Преподобный Сол Луни объявил во всеуслы-шанье, что в определенный день и час он свершитвеликое чудо: в течение 20 мин будет ходить по по-верхности реки Гудзон и не погрузится в воду ни надюйм. В назначенный день при огромном стечениинарода преподобный Сол Луни ступил на воды рекиГудзон и 20 мин спустя вышел на берег, даже незамочив ног. Как ему это удалось?

4. На одном участке двухпутная железная дороганыряет в туннель и сменяется однопутной. Разми-нуться внутри туннеля поездам негде. Однажды ле-том в туннель с одной стороны на полной скоростивлетел поезд. Другой поезд тогда же влетел на пол-ной скорости с другой стороны. Никакого столкнове-ния не произошло. Почему?

5. Беглый преступник шел по дороге в безлюднойместности и вдруг увидел, что навстречу ему катитмашина, битком набитая полицейскими. Преступникпустился наутек, но прежде чем скрыться в лесу,ровно 10 м бежал прямехонько навстречу полицей-

180

ским. Почему он так поступил: из желания выразитьсвое презрение к полиции или у него были для этогоболее основательные причины?

6. Почему доллары 1976 и доллары 1977 ценятсянеодинаково?

Ответы приведены в конце книги. Просим вас незаглядывать в ответы до тех пор, пока вы основа-тельно не поразмыслите над каждым вопросом,

Ограбление века

пЛ НА помощь!

г

182

На следующий день швейцар,подходя к дискотеке, услышалкрики о помощи, доносившие-ся с чердака.

Поднявшись бегом на чердак,он обнаружил управляющегодискотекой в самом бедствен-ном положении: несчастныйбыл обвязан вокруг груди ве«ревкой, свисавшей с потолоч»ной балки, и беспомощно ка-чался в воздухе.Управляющий. Снимите меняпобыстрее и вызовите поли-цию! Дискотеку ограбили!

Когда полицейские прибыли,управляющий сообщил им сле-дующее.Управляющий. Вчера вечеромпосле закрытия в дискотекуворвались двое грабителей.Они взломали кассу, захвати-ли всю выручку, после чегоотвели меня на чердак и под*весили к балке.

Полиция поверила управляю-щему: ведь на чердаке былопусто, хоть шаром покати.Управляющий не мог подве-сить себя к балке сам, так какдо балки было высоко, а встатьему было не на что. Грабителиже воспользовались пристав-ной лестницей, но когда при-шел швейцар, она была задверью.

Каково же было всеобщееизумление, когда несколько не-"дель спустя управляющий быларестован по обвинению в юьсцеиировке ограбления.Каким образом управляющийухитрился без посторонней по*мощи подвесить себя к балке?

Вот как он это сделал. Взо-бравшись по приставной лест-нице, управляющий привязалодни конец веревки к балке,после чего вынес лестницу ипоставил ее снаружи у двери.

Затем он принес приготовлен-ный им заранее большой кубльда.

Взобравшись на лед, он обвя-зал себя свободным концомверевки и принялся терпеливождать.

QO

ЦПридя на следующее утро,швейцар обнаружил управляю-щего висящим в воздухе: ледза ночь растаял, а вода испа-рилась. Хитро придумано, нетак ли?

Недостающие данные

Истории, аналогичные рассказанной нами, леглив основу многих известных детективных рассказов, вкоторых острая наблюдательность и блестящая ин-туиция помогают сыщику раскрыть тайну преступле-ния. Тающий лед — излюбленное средство создателейдетективного жанра. Некто найден заколотым каким-то острым предметом. Где оружие убийцы? Оказы-вается, смертельный удар был нанесен куском льдас острым концом, наподобие сосульки. В запертой из-нутри на защелку комнате обнаружен труп. Хитро-умный убийца, покидая место преступления, подперзащелку куском льда, лед растаял, и защелка запер-ла дверь изнутри.

Классическим рассказом, основанным на загадоч-ной истории этого типа, по праву может считаться«Тайна моста Тор» А. Конан-Доил я. На мосту, ог-ражденном с двух сторон каменным парапетом, об-наружен труп женщины, убитой выстрелом в висок.На месте происшествия никакого оружия не оказа-лось. Шерлок Холмс со свойственной ему проница-тельностью сумел разгадать, каким образом женщи-на сумела совершить самоубийство и избавиться оторужия.

Самоубийца привязала к пистолету длинную бе-чевку, другой конец которой с подвешенным к немутяжелым камнем был перекинут через парапет. Послевыстрела пистолет выпал у нее из руки, и каменьутащил его на дно реки.

Раскрытие Холмсом таинственного убийства намосту, как и многих других преступлений, может

184

служить превосходным примером научного подходак решению проблем. Руководствуясь своей непревзой-денной интуицией, великий детектив прежде всегосоздал теорию, объясняющую исчезновение оружия.Затем он при помощи своего знаменитого Дедуктив-ного метода вывел из своей теории важное след-ствие: пистолет, ударившись о каменный парапет,должен был оставить на нем какую-то отметину.Осмотрев парапет, Шерлок Холмс нашел такую от-метину. Затем он провел следственный эксперимент,подтвердивший, что отметина могла быть оставленаименно оружием. Холмс привязал бичеву к револьве-ру Ватсона, перебросил другой конец ее с подвешен-ным к нему тяжелым камнем через парапет и, стояна том месте, где было совершено самоубийство,выпустил револьвер из рук. Вторая отметина, по видунеотличимая от первой, которую револьвер оставилна парапете, сильно подкрепила теорию ШерлокаХолмса.

Именно так решает свои проблемы и современнаянаука. Сначала создается теория, затем из нее де-дуктивно выводятся следствия, которые можно былобы наблюдать, если бы теория оказалась верной,после чего приступают к поиску экспериментальныхфактов и проверке правильности теории.

Предлагаем вашему вниманию еще одну детектив-ную историю, тайну которой также можно разгадать,придумав достаточно остроумную версию. Некиймистер Джонс найден мертвым за письменным сто-лом в своем кабинете. Причина смерти — пулевое ра-нение в голову. Прибывший на место происшествиядетектив мистер Шемрок Боне среди прочих предме-тов обратил внимание на магнитофон, стоявший настоле. Включив магнитофон, он, к своему удивлению,услышал голос мистера Джонса, сделавший следу-ющее заявление:

— Говорит Джонс. Только что мне позвонилСмит. Сказал, что едет сюда, чтобы пристрелитьменя. Бежать бессмысленно, да и поздно. Если онвсерьез решил осуществить свою угрозу, то через10 мин я буду мертв. Эта запись поможет полициинайти убийцу. Я слышу его шаги на лестнице. Дверьоткрывается...»

185

На этом запись прервалась. Боне выключил маг-нитофон.

•— Может, арестовать Смита? — спросил лейте-нант Вонг, помощник капитана Бонса.

— Нет,— отрезал Боне.— Убежден, что убийствосовершил кто-то другой, умеющий хорошо подражатьголосу Джонса. Запись сделана специально для того,чтобы направить расследование по ложному пути.

Как показали последующие события, Боне ока-зался прав. Что, по-вашему, заставило его заподоз-рить неладное в записи? Попытайтесь ответить наэтот вопрос самостоятельно, не заглядывая в конецкниги,

Аховы тесты

Полиция обратилась за по-мощью к известному специа-листу по решению головоло-мок, профессору психологииАху. Свои необычайно остро-умные решения он назвал «фе*номенами Ах» и предложилмножество тестов, позволяю-щих выявлять «феномены Ах»у испытуемых.

Одни из его тестов осуще-ствляется с помощью двух ве-ревок, свисающих, с потолка впустой комнате.

Проф. Ах. Расстояние междуэтими веревками достаточновелико, поэтому, держась заодну веревку, невозможно до*-тянуться до другой.

Проф. Ах. З'адача состоит втом, чтобы евязать свободныеконцы веренок, не пользуясьничем, кроме ножниц.Справитесь ли вьг с этим тес-том?

Проф. Ах. А вот еще одинтест, который я также оченьлюблю. В центр небольшоговосточного ковра я ставлюоткрытую бутылку пива. Тре-буется достать ее, сняв оковра.

Проф. Ах. К бутылке нельзяприкасаться ни рукой, ии йо-гой, ни любой другой частьютела или каким-нибудь пред-метом. Разумеется, проливатьпиво на ковер также не раз-решается.Если вы не справитесь с этимтестом, может быть, следую-щий тест покажется вам болеепростым.

Проф. Ах. Для этого теста нампонадобится газета. Вы сприятелем должны встать нагазетный лист так, чтобы ниодин из вас не мог прикоснуть-ся к другому. Сходить с га-зеты ие разрешается.Покажите, на что вы способ-ны. Это ваш последний шансуспешно справиться с однимиз тестов проф. Аха.

Когда проф. Ах предложилпоследний тест одной из сту-денток, она не только справи-лась с заданием, но и предло-жила профессору свой тест.Студентка. Уважаемый про-фессор! Не могли бы вы бро-сить теннисный мяч так, что-бы он, пролетев короткое рас-стояние, остановился и началдвигаться в обратном направ-лении?

188

Проф. Ах. Может ли мяч стук-нуться о препятствие?Студентка. Ни в коем случае!Не разрешается также ударятьмяч чем-нибудь или привязы-вать его к чему-нибудь.

После того как проф. Ах при-знал свое поражение, студент-ка показала ему, как решает-ся задача. Решение оказалосьудивительно простым.Проф. Ах. И как я только обэтом не подумал!О чем не подумал проф. Ах?

Аховы решения

Тест с веревками. Думаете, можно выполнить за-дачу, если повиснуть на одной веревке и раскачатьсяна ней, как Тарзан на лиане? Вы ошибаетесь по двумпричинам: во-первых, веревка недостаточно прочна,чтобы выдержать взрослого человека, и, во-вторых,даже если бы веревка не оборвалась под вашим ве-сом, вы все равно не смогли бы дотянуться до дру-гой веревки. Тем не менее картинка дает ключ кправильному решению.

Привязав ножницы к одной веревке, вы можетераскачать их, как маятник. Подтянув другую веревкук маятнику и дождавшись, когда ножницы качнутсянавстречу, вы сможете поймать их и связать обеверевки.

Решение этой задачи требует двух необычныхидей. Необходимо догадаться, во-первых, что веревкиследует раскачать и что, во-вторых, ножницы можноиспользовать в качестве груза маятника, то есть «непо назначению». Трудности, возникающие у людейпри использовании различных устройств и предметов

189

не по назначению, психологи называют специальнымтермином «функциональная ограниченность». Услы-хав о ножницах, мы думаем лишь о том, как разре-зать ими веревку, что, разумеется, не может помочьв решении теста.

Тест с ковром. Поскольку к бутылке нельзя при-касаться ничем, то решить тест сумеет тот, кто дога-дается, что ковер уже касается бутылки и его можнокаким-то образом использовать для того, чтобы сдви-нуть ее, например на пол.

Догадка оказывается верной. Действительно, на-чните скатывать ковер и, когда рулон дойдет до бу-тылки, аккуратно придерживая его за концы, столк-ните им бутылку с ковра, не прикасаясь к ней ничем,кроме свернутого в рулон ковра.

Как и в предыдущей задаче, функциональнаяограниченность блокирует путь к решению. Мы такубеждены, что ковром можно только покрыть пол, иупускаем из виду, что ковром можно столкнуть бу-тылку.

Тест с газетой. Вы сумеете решить тест, если до-гадаетесь, что два человека, стоящие на газетномлисте и разделенные дверью, не могут прикоснутьсядруг к другу. Просуньте под дверь лист газеты,встаньте на него по одну сторону от двери, а вашприятель пусть встанет на него по другую сторону отдвери. Дверь не позволит вам коснуться друг друга,пока вы не сойдете с газетного листа.

Тест с теннисным мячом. Решению теста препят-ствует неявно принимаемое допущение о том, чтомяч нужно бросить горизонтально. В действитель-ности ничто не мешает бросить мяч вертикально.Тогда, поднявшись на определенную высоту, он оста-новится, после чего начнет двигаться обратно.

Другое решение — бросить мяч так, чтобы он ка-тился вверх по склону холма. Такое решение можнобыло бы заранее исключить, потребовав, чтобы мячнаходился в воздухе, но поскольку в условии задачиэто не оговорено, второе решение вполне законно.

Еще несколько тестов. Чтобы помочь вам в разви-тии «феномена Ах», приведем еще пять задач-тестов:

1. Можете ли вы бросить на пол с высоты 1 мкартонную спичку так, чтобы она упала на ребро?

190

2. Рабочие смешивают известь с песком и цемен-том для заделки швов между бетонными блоками вфундаменте здания. В одном из блоков имеется уз-кий прямоугольный канал глубиной 2 м. В этот ка-нал случайно падает вывалившийся из гнезда птенец.Отверстие слишком узко, чтобы в него можно былопросунуть руку, впрочем, достать до дна канала всеравно было бы невозможно. Не могли бы вы пред-ложить простой и надежный способ, позволяющий вцелости и сохранности извлечь птенца из канала вбетонном блоке?

3. К крюку в потолке на нити длиной около 2 мподвешена кофейная чашка. Можете ли вы пере-резать нить ножницами посредине так, чтобы чашкане упала на пол? Держать нить, пока вы ее перере-заете, или чашку запрещается.

4. В плотине недостает одного кирпича. Черезобразовавшуюся брешь размером 5 см X 20 см льет-ся вода. Обнаруживший течь голландец имеет присебе пилу и цилиндрический деревянный шест диа-метром 50 мм. Как ему лучше всего распилить шест,чтобы заткнуть брешь?

5. Нижняя часть винной бутылки имеет формуцилиндра. Высота ее составляет 3/4 высоты бутылки.Верхняя четверть бутылки, состоящая из горлышкаи плавного перехода к нижней части, имеет непра-вильную форму. В бутылку до середины ее налитажидкость. Открывать бутылку запрещается. Можетели вы, пользуясь только линейкой, точно определить,какая часть объема бутылки заполнена жидкостью?

Ответы на эти 5 задач-тестов приведены в концекниги.

Аховы награды

Б Р-я глимИЗДЕЛИЯ

и з ЗОЛОТАИ СЕРЕБРАоси.В1776

Ежегодно по окончании курсалекций по аховым феноменампроф. Ах награждал специаль-но учрежденной им медальюАха наиболее отличившегосяиз своих слушателей. На этотраз на получение медали пре-тендовали 3 кандидата.

Чтобы выбрать наиболее до-стойного из них, проф. Ах ре-шил прибегнуть к тесту. Онусадил всех трех кандидатовна скамью и попросил их за-жмурить глаза.

Проф. Ах. На каждого из вася надену синюю или краснуюшляпу. Прошу не открыватьглаза без моей команды.

Каждому из 3 кандидатов намедаль проф. Ах надел крас-ную шляпу.Проф. Ах. Прошу всех от-крыть глаза. Пусть каждый извас, увидев на ком-нибудькрасную шляпу, поднимет ру-ку. Первый, кто сможет опре-делить, какого цвета шляпа унего на голове, получит ме-даль.

Все трое подняли руки. Черезнесколько минут Джон вско-чил с места.Джен. Ах, я знаю! На мнекрасная шляпа!

Джон. Если бы на мне быласиняя шляпа, то Мери сразубы догадалась, - что на нейкрасная шляпа, так как ина-че нельзя было бы объяснить,почему Барбара подняла руку.

Джон. Барбара рассуждала бытак же, как Мери, и сразу до-гадалась бы, что на ией крас-ная ш^япа, так как иначе нель-зя былЬ бы объяснить, почемуМери нодняла руку.

Джон. А поскольку ни Мери,ни Барбара ие заявили о том,что знают, какого цвета ихшляпы, то их молчание озна-чает одно: красную шляпу онивидят ие только друг на дру-ге, но и иа мне.

Решить эту классическую ло«гическую задачу-головоломкуне составляет особого труда,если речь идет о 3 действую-щих лицах. Но предположим,что их ие. трое, а четверо, иу каждого на голове краснаяшляпа.Как быть в этом случае?

S СИНИЙ Ш КРАСНЫЙ О ЗЕЛЕНЫЙ

Цвет шляпы и математическая индукция

Переход в этой задаче от 3 кандидатов на наградук 4 и последующее обобщение на случай произволь-ного числа кандидатов познакомит вас с весьма важ-ным методом доказательства, известным под назва-нием «метод математической индукции». Этот методприменим лишь в том случае, когда подлежащие до-казательству утверждения можно упорядочить, какступени лестницы. Вы доказываете, что всякоеутверждение истинно, если истинно предыдущее, ипроверяете, что первое утверждение истинно. Но кольскоро оно истинно, то истинны и все остальные ут-верждения: если вы можете ступить на первую сту-пень, то вам удастся подняться по лестнице скольугодно высоко (или: если вы ступаете не на первуюступень, то вам удастся подняться или спуститься налюбую другую ступень).

Предположим, что у проф. Ах особенно отличи-лись и претендуют на награду 4 студента и что оннадел им на головы красные шляпы. Все четвероподняли руки. Предположим, что один из них сумелдогадаться, какого цвета шляпа у него на голове,чуть раньше других. Победитель (или победительни-ца) рассуждает так:

— Предположим, что у меня на голове синяяшляпа. Тогда все три моих товарища видят, что онасиняя. Значит, каждый из них видит по 2 красныешляпы и жаждет узнать, какого цвета шляпа на го-лове у него самого. Но именно-в такой ситуации на-*

194

ходились действующее лица в предыдущей задаче,когда ахову награду оспаривали лишь 3 кандидата.Одни из них догадался, что у него на голове .краснаяшляпа.

Но никто из моих соперников не заявляет, что унего на голове красная шляпа, хотя прошло уже до-статочно много времени, чтобы каждый мог, не торо-пясь, тщательно обдумать свои умозаключения. При-чина молчания может быть только одна: все онивидят, что у меня на голове красная шляпа. Следова-тельно, мое исходное предположение ложно. Значит,у меня на голове красная шляпа.

Это рассуждение (принесшее своему автору за-служенную награду) допускает обобщение на слу-чай п кандидатов. Если число претендентов на аховунаграду равво 5, то самый умный из них увидитперед собой 4 красные шляпы и вскоре поймет, чтолюбой из его соперников может рассуждать так, какрассуждал победитель в состязании 4 кандидатов, и,следовательно, определить цвет своей шляпы. А по-скольку все соперники не торопятся заявлять, что уних на головах красные шляпы, то причина подобнойсдержанности может быть только одна: все они видятперед собой по 4 красные шляпы. «Значит,— заклю-чил свои рассуждения самый умный из 5 кандида-тов,— у меня на голове должна быть красная шляпа».Аналогичные рассуждения применимы в случае лю-бого числа претендентов на ахову награду. Самыйумный нз я кандидатов всегда может свести задачук предыдущему случаю, который в свою очередь сво-дится к предыдущему и т. д., пока задача не сведетсяк уже решенной задаче о 3 претендентах на аховунаграду,

В свази с рассмотрением задачи в общем случаевозникает интересный вопрос относительно того,наскольк© хорошо она определена и не содержит лиона в своих условиях чрезмерный произвол, исклю-чающий возможность однозначного ответа. При какихпредположениях задача в общем случае допускаетоднозначный ответ? Обязательно ли предполагать,что быстрота, с которой соображает каждый из ппретендентов на ахову награду, может служить егоотличительным признаком, то есть всех претендентов

195

можно упорядочить но быстроте, с которой они ду-мают? Нужно ли предполагать, что с увеличением пвозрастает продолжительность времени, в течениекоторого претендент на награду успевает прийти кзаключению о цвете своей шляпы? Предположим,что число претендентов на ахову награду возрослодо 100 человек. Верно ли утверждение о том, что поистечении достаточно продолжительной паузы самыйумный из них заявит, что у него на голове краснаяшляпа, затем с некоторым запозданием к аналогич-ному выводу придет второй по сообразительности изпретендентов, затем третий и так далее до тех пор,пока последний тугодум (из лучших студентовпроф. Аха) не поймет, что у него на голове краснаяшляпа?

Классическая задача о шляпах (или колпаках)существует во множестве вариантов. Вот один изних, отчетливо показывающий, насколько усложня-ется задача, если шляпы на головах действующихлиц могут быть трех или более различных цветов.Предположим, что из 5 белых, 2 красных и 2 чер-ных шляп выбраны какие-то 5 шляп и надеты наголовы 5 людей. Если все шляпы белые, то какимобразом один из великолепной пятерки, более сооб-разительный, чем остальные, догадается, что у негона голове белая шляпа?

Особым изяществом отличается следующий ва-риант исходной задачи с шляпами 2 цветов и 3действующими лицами, позволяющий исключить всенедомолвки и неоднозначности, присущие задаче вее традиционной постановке. Предположим, что троелюдей сидят на стульях в затылок друг другу икаждый смотрит только прямо перед собой. Сидящийсзади видит шляпы обоих людей, сидящих перед ним.Сидящий посредине видит шляпу только того, ктосидит перед ним, а сидящий впереди не видит передсобой ни одной шляпы. (Все трое как бы страдаютпрогрессирующей слепотой, причем сидящий сзадивидит лучше двух остальных, а сидящий впередиполностью ослеп.)

Судья соревнования на сообразительность выби-рает 3 шляпы из 3 белых и 2 черных шляп. Сидя-щие зажмуривают глаза и открывают их по коман*

196

де. лишь после того, как им на головы .наденутшляпы, а лишние шляпы уберут.

Судья спрашивает сидящего сзади, знает ли онцвет своей шляпы и получает отрицательный ответ.Сидящий посредине на тот же вопрос отвечает такжеотрицательно.

Когда же судья спрашивает у сидящего впереди,знает ли тот цвет своей шляпы, то получает ответ:«Знаю, у меня на голове белая шляпа». Какимобразом сидящий впереди отгадал цвет своей шляпы?

Он рассуждал следующим образом: «Сидящийсзади ответит судье утвердительно лишь в том слу-чае, если он видит 2 черные шляпы. Поскольку навопрос судьи он ответил отрицательно, то это озна-чает, что по крайней мере одна из двух шляп, кото-рые он видит, не черная. Предположим, что у меняна голове черная шляпа. Тогда сидящий на среднемстуле видит черную шляпу и, услышав, что соседсзади на вопрос судьи ответил отрицательно, дога-дается, что у него самого на голове должна , бытьбелая шляпа, так как в противном случае соседсзади видел бы 2 черные шляпы и на вопрос судьиответил бы утвердительно. Следовательно, если бы уменя на голове была черная шляпа, то сидящийпосредине на вопрос судьи ответил бы утвердительно.Но он ответил отрицательно. Значит, он видит передсобой белую шляпу у меня на голове. Отсюда я за-ключаю, что мое исходное предположение ложно иу меня на голове белая шляпа».

Как и предыдущий вариант, эта задача такжелегко обобщается методом математической индукциина случай п людей «с прогрессирующей слепотой»,сидящих в затылок друг другу на п стульях. Судьяобходит всех участников состязания на сообразитель-ность и каждому по очереди задает один и тот жевопрос: «Знаете ли вы, какого цвета шляпа у васна голове?», причем первый спрашивает того, ктосидит . сзади, потом сидящего перед ним и т. д.Запас шляп состоит из п белых и п — 1 черныхшляп. Рассмотрим случай п = 4. Сидящий впереди«слепой» знает, что если шляпа черная, то троесидящих сзади него видят ее и знают, что средидоставшихся им шляп черных не более двух. Тем

197

самым задача сводится к предыдущей. Если на во-прос судьи сидящий сзади и тот, кто сидит непосред*ственно перед ним, ответили бы отрицательно, тосидящий непосредственно за «слепым» ответил быутвердительно, как и в предыдущем случае. А по-скольку он отвечает утвердительно, то «слепой»отбрасывает свое первоначальное предположение какложное и заключает, что его шляпа должна бытьбелой. Математическая индукция позволяет распро-странить доказательство на случай п человек. Еслина вопрос судьи все, кроме «слепого» отвечают отри-цательно, то у всех п на головах должны красовать-ся белые шляпы.

Теперь мы уже достаточно подготовлены и кболее трудному варианту. Предположим, что тремучастникам состязания на сообразительность судьяраздает шляпы, выбирая их в любом наборе из3 белых и 2 черных шляп. Участников состязаниясудья опрашивает в том же порядке, что и прежде.Будет ли кто-нибудь из них на вопрос судьи всегдаотвечать утвердительно? Предоставляем вам возмож-ность самостоятельно решить эту задачу и доказать,что ее можно обобщить на случай п человек ип белых и п — 1 черных шляп. Кое-кто из участни-ков на вопрос судьи всегда будет отвечать утверди-тельно. Первый, кто всегда отвечает судье утверди-тельно,— это первый из тех, кто сам носит белуюшляпу и не видит ни одной белой шляпы передсобой.

Шляпы двух цветов эквивалентны шляпам, про-нумерованным двоичными числами 0 и 1. Во многихзадачах такого типа цвета шляп отличаются боль-шим разнообразием (одну из таких задач мы рас-смотрели) и разобраться в них легче, если каждыйцвет заменить соответствующим натуральным чис-лом. Рассмотрим, например, следующую игру для2 лиц/

Судья выбирает любую пару последовательныхнатуральных чисел. Кружочек с одним из этих чиселсудья приклеивает на лоб одному игроку, а кружочексо вторым числом — на лоб другому игроку. Каждыйигрок видит число на лбу у другого, но не видитчисла у себя на лбу,

198

Судья по очереди спрашивает у каждого из участ-ников, знает ли тот, какое число у него на лбу, дотех пор, пока кто-нибудь из них не назовет число усебя на лбу. Методом математической индукцииможно доказать, что если большее из 2 чисел равноп, то один участник игры ответит «да» п илип — 1 раз. Доказательство этого утверждения начи-нается с рассмотрения простейшего случая: чисел 1и 2. Человек с числом 2 на лбу отвечает «да» напервый или на второй вопрос (в зависимости оттого, к кому из двух участников игры судья обра-тится прежде), так как, видя на лбу у партнерачисло 1, он сразу же заключает, что у него самогона лбу число 2.

Рассмотрим теперь случай, когда выбраны числа2 и 3. На первый вопрос человек с числом 3 на лбуответит «нет», потому что у него на лбу могло быстоять и число 1, и число 3. Затем он может рас-суждать так: «Предположим, что у меня на лбучисло 1. Тогда мой партнер, у которого на лбучисло 2, на вопрос судьи ответил бы «да» (какв предыдущем случае). Следовательно, если он отве-тит «нет», то это будет означать, что у меня на лбустоит число 3, а не I». И когда судья задаст игрокус числом 3 на лбу свой вопрос вторично, тот ответит«да». Так же как в задачах со шляпами, это рассуж-дение обобщается на случай любых двух последова-тельных натуральных чисел.

Для полного решения задачи необходимо лишьзнать, в каких случаях игрок ответит «да» наn-й вопрос и в каких на (п—1)-й вопрос. Исследо-вав задачу до конца, вы убедитесь в том, что этозависит от двух причин: во-первых, от того, кому изигроков судья задает первый вопрос, и, во-вторых,от четности числа п.

Более тонкое обобщение задачи было исследованонедавно знаменитым математиком из Кембриджскогоуниверситета Джоном Хортоном Конуэем. Вот чгооно собой представляет. Каждому из п участниковигры на лоб приклеивается кружок с номером. Номе-ра могут быть любыми неотрицательными целымичислами. Сумма всех этих чисел равна одному изk чисел (k^.n), выписанных на доске, среди которых

199

нет двух одинаковых. Все участники игры по 'пред-положению обладают безграничной мощью интел-лекта и отличаются абсолютной честностью. Каждыйучастник игры видит все номера, кроме своего, ивсе числа на доске.

Первого из участников игры спрашивают, можетли он назвать свой номер. Если он отвечает «нет»,то тот же вопрос задают второму и так далеепо кругу до тех пор, пока один из участниковне ответит «да». Конуэй утверждает (хотя это ка-жется невероятным), что рано или поздно кто-то изучастников непременно ответит «да»,

Нелегкий выбор

Проезжая через небольшой го-родок по дороге в Лас-Вегас,Джон обнаружил в своей ав-томашине неисправность. Оста-вив машину в ремонтной мас-терской, он решил пойтн под-стричься.

В городке было всего две па-рикмахерских. Одна из иихпринадлежала Биллу, другаяДжо.

Эаглян.ув.-через- витрииу в па-рикмахерскую Билла, Джон пе-редернулся от отнращения.Джон. Какая ужасная грязь!На зеркалах толстый слойлвшг, на полу валяются воло-сы, владельцу парикмахерскойне мешало бы побриться, да иподстрижен он кое-как.

Джои перешел на другую сто-рону улицы и решил попытатьсчастья у Джо.

Заглянув сквозь витрину в па-рикмахерскую Джо, Джон уви-дел иную картину.Джок. Совсем другое дело!На зеркалах ни пылники, полчисто подметен, н сам Джо ак-куратно подстрижен.

Но в парикмахерскую Джонаш Джон так и не зашел. Онпредпочел подстричься в гряз-ной парикмахерской у Билла.Почему?

Кому отдать предпочтение?

Ни один парикмахер не стрижет сам себя. По-скольку в городке, где вынужден был остановитьсяДжон, всего 2 парикмахерских, то каждый из парик-махеров вынужден стричься у своего конкурента.Джон мудро рассудил, что ему лучше подстричьсяу парикмахера-грязнули, потому что именно он такаккуратно подстриг владельца парикмахерской, бли-ставшей чистотой и порядком.

А вот еще одна задача, очень близкая по духупредыдущей. Два горняка после долгого трудовогодня в шахте поднялись на поверхность. У одного изних лицо было чистым, у другого запорошено уголь-ной пылью. У выхода с шахтного двора горняки по-желали друг другу спокойной ночи. Горняк с чистымлицом прежде, чем отправиться домой, вытер лицоносовым платком. Горняк с лицом, запорошеннымугольной пылью, отправился домой в таком виде,как был. Можете ли вы объяснить их не совсемобычное поведение?

В кресле у парикмахера

Парикмахера Билла вряд ликто-нибудь мог назвать мол-чуном. Едва Джон уселся вкресло, как Билл принялсяболтать без умолку.Билл. Должно быть, вы нездешний, сэр? Люблю стричьнездешних!

Билл. По мне, так лучше под-стричь двух нездешних, чемодного здешнего!Джон. Почему?

Билл. Потому, что за двестрижки я заработаю вдвоебольше, чем за одну стрижку!

Джон. Ловко вы меня пойма-ли! Попробую расквитаться свами. Дней 10 назад баскет-больная команда нашего кол-леджа выиграла встречу сосчетом 76:40, хотя ни одинбаскетболист не забросил ниодного мяча.Как вы это объясните?

ХОЗЯЕВА

2 0 3

Ко>гда Билл, перебрав Hfeiсколько варнавтЬв ответа, при-знал себя побежденным. Джоивсе объяснил.Джок. В баскетбольной коман-де нашего колледжа нет ииодного баскетболиста. В нейодни баскетболистки: нашакоманда женская.

Удивительные разгадки

Все задачи в этом разделе носят шуточный ха-рактер и основаны на неоднозначности языка. А вотеще 8 задач «с подвохом».

1. Миллиардер Говард Юз, известный своимиэксцентрическими выходками, назначил приз в пол-миллиона долларов тому из гонщиков, чья машинапридет к финишу последней. В состязании вызвалисьучаствовать 10 гонщиков, но необычные условия сму-щали даже признанных ассов трека.

— Как нам вести гонку? — спросил один изних.— Каждый из нас захочет выиграть, мы будемехать все медленнее и медленнее, и такая, с позво-ления сказать, гонка никогда не кончится!

Вдруг один из гонщиков воскликнул:— Я знаю, как провести гонку!Что он придумал?2. Можете ли вы сделать так, чтобы обыкновен-

ная спичка горела под водой?3. Преступник отправился с женой в кинотеатр,

где шел вестерн с драками, лихими погонями и оглу-шительной пальбой. Улучив момент, когда на экра-не завязалась такая перестрелка, что у зрителей ло-пались барабанные перепонки, он выстрелом в голо-ву убил свою жену. Затем он вместе с трупом женывыбрался из кинотеатра, причем его никто не оста-новил. Как ему удалось это сделать?

4. Профессор Квиббл утверждает, что может по-ставить бутылку в центре комнаты и вползти в нее.Правда ли это?

204

5. Знаменитый предсказатель Урия Фуллер бе-рется с уверенностью предсказать счет любого бас-кетбольного матча до того, как тот начнется. В чемсекрет этих безошибочных предсказаний?

6. Житель небольшого городка за сравнительнокороткий срок зарегистрировал брак более 20 раз.Каждый раз в брак вступала другая женщина. Темне менее Житель, о котором идет речь, не развелсяни с одной из 20 с лишним женхЦин и не стал мно-гоженцем. Как вы это объясняете?

7. «Эта редкая птица,— заверил покупательницупродавец зоомагазина,— повторяет каждое слово,которое услышит». Через неделю разгневанная поку-пательница вернула птицу в магазин, заявив, что тане произнесла ни слова. Тем не менее продавец нелгал. Объясните, как это может быть?

8. Наполовину пустая бутылка заткнута пробкой.Можете ли вы опорожнить бутылку, не разбивая ееи не вытаскивая пробку?

Ответы на все вопросы приведены в конце KHHFH.

Убийство в Солнечной долине

В тот день, когда Джон прп-ехал з Лас-Вегас, утренниевыпуски газет поместили напервых полосах сообщение опрофессиональном игроке, под-визавшемся в казино Лас-Ве-гаса, и -его жене. Супруги от-правились в горы покататьсяна лыжах...

...и жеяа лала жертвой не-счастного случая. Во времякатания даа сорвалась в про-пасть. Единственным свидете-лем ее гибели был муж.

Узнав из газет о несчастномслучае, клерк из туристскогоагенства в Лас-Вегасе позво-нил в полицейское управлениештата Айдахо. Игрок был аре-стован по подозрению в убий-стве своей жены.

Репортерам местных газетклерк поведал удивительнуюисторию.Клерк. Я не знаком ни с иг-роком, ни с его женой и неподозревал о злом умысле,пока не прочитал в газетах онесчастном случае в горах.Почему клерк счел необходи*мым позвонить в полицию?

206

Клерк вспомнил, что игрок ку-пил себе билет до Солнечнойдолины туда и обратно, а же-не только туда.

Билет в один конец

Сумеете ли вы разгадать еще две загадочныеистории?1<ак и в нашумевшей истории об убийствев Солнечной долине, их тайну невозможно раскрыть,если придерживаться определенного алгоритма илидействовать по какому-то заранее намеченному пла-ну, в то время как удачная догадка быстро приводитк ответу.

1. По автостраде, ведущей к Сан-Франциско, мча-лась автомашина. За рулем был отец» а рядомс ним восседал малолетний сынишка. Чтобы избе-жать столкновения с неожиданно затормозившеймашиной, которая шла впереди, отец резко свернулв сторону, машина потеряла управление и врезаласьв ограждение. Отец не пострадал, а у малыша ока-залась сломана нога. Скорая помощь доставила ихобоих в ближайшую больницу. Когда мальчикаввезли на каталке в операционную, дежурный хи-рург побледнел и воскликнул:

— Я не смогу оперировать этого мальчика! Ведьэто мой сын!

Как вы это объясните?2. Следующая история заимствована нами из

сборника задач-головоломок Дж. Гамова и М. Стер-на. Действие происходит во время второй мировойвойны в оккупированном немцами Париже. В гости-ничном лифте поднимаются четверо: нацистскийофицер в форме, француз, сражающийся в одной изгрупп Сопротивления, молодая девушка и дамапреклонного возраста. Все четверо не знакомы другс другом.

207

Внезапно выключают электроэнергию» Лифа1, оста-навливается, и . кабина погружается в кромешнуютьму. В наступившей тишине раздается звук поце-луя и вслед за ним звонкая пощечина. Через секун-ду вспыхивает свет. У нацистского офицера под гла-зом красуется внушительный синяк, которого раньшене было.

Престарелая дама подумала:— Так ему и надо! Как я рада, что современные

девушки умеют постоять за себя!Девушка подумала:— Какие странные вкусы у этих бошей! Вместо

того чтобы, поцеловать меня, он, должно быть, попы-тался поцеловать старуху или этого симпатичногомолодого человека. Мне этого в жизни не понять!

Нацистский офицер подумал:— Что произошло? Я стоял тихо, никого не тро-

гал. Может быть, француз попытался в темноте по-целовать девушку, а она по ошибке ударила меня?

И только француз знал, что произошло на самомделе. А вы не догадались, что случилось в лифте?

Ответы помещены в конце книги. Попробуйтеразгадать обе загадочные истории самостоятельно, а,потом проверьте ваши решения.

Оцени у - фонтана

В один из дней "Джон, с удоб-ством расположившись в крес-ле, читал юмористические за-метки в местной газете, каквдруг в холл вбежала хоро-шенькая девушка.

Она стремглав бросилась кфонтанчику с питьевой водойи, сделав большой глоток, также стремительно скрылась.

Через несколько минут онавновь появилась, стремительноподбежала к фонтанчику исделала еще один глоток. Наэтот раз за ней по пятам крал-ся мужчина довольно странно-го вида.

В стене за фонтанчиком былозеркало. Когда девушка под-няла голову и увидела, что унее за спиной в угрожающейпозе с огромным кинжалом вруке стоит мужчина, она гром-ко вскрикнула. ''•

Джои упал в обморок.

Если бы ои не поторопился,его глазам предстала бы не-ожиданная сцеиа: мужчинаопустил руку с кинжалом, об-нял девушку за плечи, и оникак BE в чем. не бывало весе-ло рассмеялись.Что произошло в холле гости-ницы?

Видение в зеркале

Странное поведение девушки объясняется оченьпросто: ее мучила икота, а мужчина пытался испу-гать ее (как вы должно быть знаете, по весьма рас-пространенному поверью, вспуг — лучшее средствоот икоты).

Предоставляем вам последний шанс проверитьвашу способность находить оригинальные, неожидан-ные решения логических задач. Сначала мы пред-лагаем вам практическую задачу на «исследованиеопераций», а затем — задачу, которая решается сов-сем просто, если не обременять ее дополнительныминеявными допущениями.

1. Клеопатра держала свои бриллианты в шка-тулке с выдвигающейся верхней крышкой. Чтобыворы не могли похитить сокровища, в шкатулкевместе с драгоценностями она держала небольшуюзмейку, аспида, укус которой смертелен.

Однажды по недосмотру дворецкого раб осталсяна считанные минуты один в спальне, где царица

210

хранила свои драгоценности, и ухитрился похититьбесценные камин, не вынимая змею из шкатулки,не прикасаясь к ней, не усыпляя ее и не воздействуяна нее катогаи-либо другими способами. Раб дей-ствовал голыми руками. Кража была совершена закакие-то мгновения. Когда раб тайком покинулцарскую опочивальню, всё в ней было по-прежнему,если не считать, что в шкатулке не хватало несколь-ких бриллиантов. Каким хитроумным способом рабих похитил?

2. У некой дамы не было при себе лицензии направо вождения автомашины. Она не остановиласьна железнодорожном переезде, хотя шлагбаум былопущен и, не обращая внимания на знак односторон-него движения, двинулась в противоположном на-правлении и остановилась лишь миновав три квар*тала. Все это происходило на глазах полисмена, ко-торый, однако, не счел необходимым задержатьдаму. Почему?

Ответы на эти загадки приведены в конце книги.

Глава О

Процедурные находки

НЕОЖИДАННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧНА ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИИ

С появлением современных ЭВМ слово «алго-ритм» прочно вошло в математический лексикон.Означает оно процедуру решения, состоящую измножества шагов, выполняемых в строго определен-ной последовательности. Если требуется разделитьодно большое число на другое, то найти частное вампомогает алгоритм деления. ЭВМ не умеет решатьзадачи самостоятельно: программисту приходитсякаждый раз составлять точный перечень тех дейст-вий, которые необходимо произвести, чтобы получитьрешение. Искусство программирования для ЭВМсводится главным образом к искусству построенияэффективных алгоритмов. Мы говорим об искусстве,а не о технике программирования потому, что таин-ственные озарения, удачные догадки и интуиция иг-рают решающую роль в создании хороших алгорит-мов.

Под хорошим мы понимаем алгоритм, позволяю-щий решать задачу в кратчайшее время. Эксплуата-ция ЭВМ и содержание обслуживающего персоналаобходится в изрядную сумму, поэтому. хороший (эф-фективный) алгоритм дает немалую экономию.Существует даже быстро развивающаяся областьсовременной математика, называемая исследованиемопераций, которая только тем и занимается, чтоищет наиболее эффективные способы решения слож-ных задач.

212

Хотя в этой главе собраны процедурные задачизанимательного характера, они позволят вам легкои приятно познакомиться со многими глубокимиматематическими понятиями. Например, первая за-дача позволит вам составить весьма .ясйое представ-ление о том, что имеют ввиду математики, когда тол-куют об изоморфизме двух, казалось бы, не связан-ных между собой задач: игра в 15, в которой таксилен мистер Ярмар, оказывается структурно-изо-морфной знаменитой игре в «крестики-нолики».В свою очередь эта весьма популярная игра изо-морфна хитроумной игре в слова, изобретенной ка-надским математиком Лео Мозером, и еще однойигре на «дорожной сети». Все эти игры обладаютстратегиями, основанными на использовании одногоиз наиболее древних комбинаторных курьезов —магического квадрата 3X3. г

Вы познакомитесь также с законом Архимеда(в задаче о взвешивании священного гиппопотама),с нерешенной задачей о справедливом разделе.(в задаче о распределении домашних обязанностей),с некоторыми классическими комбинаторными зада-чами (в комментариях к задаче о краже веревкис колокольни) и с важными задачами теории графов(в задаче о ленивом искателе любовных приклю-чений).

Теория графов занимается изучением различныхмножеств точек (вершин), соединенных линиями(ребрами). Многие практические задачи исследова-ния операций допускают моделирование на графах.Некоторые из таких задач допускают изящные реше-ния, например задача о построении минимальногодерева, решаемая при помощи алгоритма Крускала.С задачей о минимальном дереве тесно связана ещеодна задача — так называемая задача о деревеШтейнера. Общее решение ее пока не известно. Де-ревья Штейнера находят многочисленные приложе-ния, поэтому специалисты по теории графов ведутвесьма интенсивный поиск эффективных алгоритмовпостроения таких деревьев на ЭВМ.

Задача Штейнера принадлежит к числу так назы-ваемых ЛГР-полных задач. Эти задачи неразрешимыв том смысле, что эффективные алгоритмы их решений

213

не известны и, возможно, не существуют. Напри-мер, даже при использовании лучшего из известныхалгоритмов построения дерева Штейнера для п точеквремя, затрачиваемое на решение, с увеличением пвозрастает экспоненциально. Даже при сравнительнонебольшом числе точек (порядка нескольких сотен)на построение дерева Штейнера лучшее решениеможет быть найдено... через несколько миллионовлет! Вот что значит экспоненциальный рост.

Между Л^Р-полными задачами существует удиви-тельная взаимосвязь: если бы для решения одной изних удалось построить эффективный алгоритм, но онбыл бы применим и ко всем остальным задачам, аесли бы удалось доказать, что для решения какой-тоиз задач эффективного алгоритма не существует, тоэто означало бы отсутствие эффективного алгоритмадля решения и всех остальных задач. Математикиподозревают, что в случае J/P-полных задач мыимеем дело со второй альтернативой. Ведется широкийпоиск эффективных алгоритмов, позволяющих нахо-дить не оптимальное дерево Штейнера, а дерево, до-статочно близкое к оптимальному.

В этой главе чаще, чем в других, упоминаютсяпоследние результаты исследований, проводимыхлучшими умами современной математики.

Игра в 15 на новый лад

Когда иа -окрание городка от*крывается ярмарка, всех отмала до велика охватывает ра-достное возбуждение (говоряо всех, я имею в виду «всех,кроме коров»).

В этом году в одном из па-вильонов ярмарки желающиемогли сыграть в новую игру,которая так и называется —«игра в 15».

Мистер Ярмар. Рад привет-ствовать вас! Добро пожало-вать к нам! Правила игры в15 очень просты. Мы с вамипо очереди ставим по монетена эти числа от 1 до 9. Ктоходит первым, безразлично.

Мистер Ярмар. Вы отмечаетесвои ходы центами, я отмечаю

-Свои ходы серебряными долла-рами. Выигрывает тот, ктопервым накроет своими моне-тами 3 числа, дающие в сум-мее 15. Выигравший забираетвсе монеты, выложенные настол.

215

Посмотрим, как играют в 15.Первый ход — дама ставитцент на 7. Поскольку цифра 7накрыта, ставить иа нее вдальнейшем нельзя ; ни, .долла-ры, ни центы. То же можносказать н обо всех, остальныхцифрах: ии одну из них нель-зя накрывать монетами дваж-ды, будь то центы или дол-лары.

Мистер Ярмар ставит долларна 8.

Дама делает второй ход нставит цент на 2. Если ейудастся поставить цент'на 6,она выиграет.

Мистер Ярмар, желая воспре-пятствовать выигрышу партне-ра, ставит доллар на 6. Он вы-играет, если ему удастся по-ставить доллар на !,•

216

Дама замечает угрозу и бло-кирует мистеру Ярмару путьк выигрышу, ставя цент на 1.

Мистер Ярмар с усмешкой ста-вит доллар на 4. Дама заме-чает, что- если он следующимходом поставит доллар на 5,то выиграет, и отрезает емуэтот путь к выигрышу.

Дама ставит цент на 5.

Но мистер Ярмар ставит дол-лар на 3 н выигрывает, таккак 8 + 4 + 3 = 15. Дама про-играла свои 4 цента.

217

Мэру города игра в 15 оченьпонравилась. Пронаблюдав заигрой в течение почти целогодня, он пришел к убеждению,что мистер Ярмар придержи-вается тайной беспроигрышнойстратегии.

Всю ночь напролет мэр пытал-ся разгадать, в чем состоиттайная стратегия мистера Яр-мара.

Внезапно мэра озарила пора-зительная по простоте идея.Мэр. Я так и знал, что долж-на быть какая-то система! У до-верчивых простаков, надею-щихся заполучить серебряныедоллары мистера Ярмара, нетни шанса на выигрыш.

•Какая идея осенила мэра? Немогли бы вы саиостоятельиоразработать беспроигрышнуюстратегию для игры в 15?

2)8

Старые добрые «крестики-нолики»!

Выигрышную стратегию указать нетрудно, еслидогадаться, что игра в 15 мистера Ярмара математи-чески эквивалентна игре в «крестики-нолики». Уста-новить эквивалентность нам поможет ло-шу — маги-ческий квадрат 3X3, впервые открытый в древнемКитае.

Чтобы в полной мере оценить изящество этогомагического квадрата, выпишем прежде всего всевозможные тройки однозначных чисел (попарно неравных и отличных от нуля)', которые в суммедают 15. Существует 8 таких троек:,

1. + 5 + 9 = 1 5 ,1 + 6 + 8 = 1 5 ,2 + 4 + 9 = 1 5 ,

5 + 8 = 1 5 ,6 + 7 = 1 5 ,

3 + 5 + 7 = 1 5 ,4 + 5 + 6 = 1 5 .

Теперь присмотримся повнимательнее к един-ственному магическому квадрату 3X3:

2 9 47 5 36 1 8

Если считать, что каждое число вписано в еди-ничный квадрат (составляющий 1/9 от квадрата3X3), то можно выделить 8 троек единичных квад-ратов, лежащих: на одной прямой: 3 горизонтали,3 вертикали и 2 диагонали. Каждая из прямых соот-ветствует одной из троек чисел, дающих в сумме 15.Следовательно, любой набор из 3 чисел, обеспечива-ющий победу в игре мистера Ярмара, соответствуетлибо горизонтали, либо вертикали, либо диагоналимагического квадрата.

Нетрудно видеть, что любая партия в 15 эквива-лентна партии а «крестики-нолики», разыгрываемойна магическом квадрате. У мистера Ярмара имеетсямагический квадрат, начерченный на листке бумаги,

219

в который он тайком поглядывает. Хотя существуетединственный квадрат ло-шу, но его можно повер-нуть четырьмя разнуми способами л,..если угодно,подвергнуть зеркальному отражению. Любая из 8разновидностей магического .квадрата- может слу-жить тайным ключом к гроссмейстерской стратегиипри игре в 151 ,

Играя с посетителем павильона в 15, мистер Яр-мар мысленно играет с ним в «крестики-нолики» намагическом квадрате. Если игра в «крестики-нолики»происходит по всем правилам, то партия в 15 кон-чается вничью. Но легковерные посетители павильо-на, вздумавшие сразиться с мистером Ярмаром в 15,лишены огромного преимущества, так как не созна-ют, что в действительности играют в «крестики-ноли-ки». Это облегчает задачу мистеру Ярмару, и онподстраивает своим партнерам каверзы и ловушки,вынуждая их делать ходы, ведущие к его выигрышу.

Чтобы разобраться, как действует мистер Ярмар,рассмотрим подробно партию, изображенную на кар-тинках. Ходы приведены на диаграммах, показанныхна рис. /. Даже если мистер Ярмар ходит вторым(ставит нолики), то на шестом ходу он может по-

ставить даме западню, которая обеспечит ему выиг-рыш на восьмом ходу независимо от того, как имен-но пойдет дама на седьмом ходу. Всякий, кто умеетиграть на гроссмейстерском уровне в «крестики-нолики», взяв на вооружение магический квадрат,станет непобедимым игроком в 15.

Понятие изоморфизма (математической эквива-лентности) — одно из важнейших в математике.Во многих случаях трудная задача легко решается,если ее удается свести к изоморфной уже решеннойзадаче. По мере того как математика разрастаетсявглубь и вширь, она становится все более единой,все более упрощается по мере открытия все новыхи новых изоморфизмов. Например, найденное в1976 г. решение знаменитой проблемы четырех кра-сок позволило доказать десятки других важных ги-потез в иных разделах математики, которые былиизоморфны проблеме четырех красок.

Чтобы помочь вам глубже разобраться в сущно-сти такого фундаментального понятия, как изомор-

220

1-й ход

о4-й *од

X

X

о

X

X

о

о

оZ-й ход;

7-й ход

О

5-й ход

X

С)

о

8-й «>Д

о

X

X

о

о

о6-й!

221

физм, рассмотрим следующую игру в слова, Берется9 слов:

БУСЫХЛЕББАНЯПЛУГСНЕГГАТЬУРОНОРЕХМАРС

Двое игроков по очереди вычеркивают по одномуслову, помечая каждый сделанный ход своими ини-циалами или условным значком. Выигрывает тот,кому первым удастся вычеркнуть три слова, име-ющие общую букву. Пройдет немало времени, преж-де чем игроки поймут, что и на этот раз они играютв добрые старые «крестики-нолики». Изоморфизмигр нетрудно установить, если вписать слова в клет-ки таблички, расчерченной для игры в «крестики-нолики» (рис. 2). Как нетрудно проверить, общая

БУСН

ХЛЕБ:

БАНЯ

Плур

СНЕГ

ГАТЬ

УРОН

ОРЕ\

МАРС.

буква имеется лишь у трех слов, расположенных погоризонталям, вертикалям и диагоналям. Тем самымдоказано, что играть в слова означает по существуиграть в «крестики-нолики», и наоборот (или в 15),

Попробуйте подобрать другие 9 слов для игры.Разумеется, отнюдь не обязательно играть именно в

222

слова родного языка. С тем же успехом можно вое*пользоваться и абстрактными символами, как этосделано на рис. 3.

•is +

^ DД

•г- П

+

+ Д

jj о

if Д

-r +

Еще лучше играть во все эти игры, записав сло-ва, знаки или цифры на 9 карточках. Разложив кар-точки на столе исписанной стороной вверх, игрокимогут по очереди брать по одной карточке дотех пор, пока одни из них не выиграет.

Разобравшись в изоморфизме игры в 15, «кре-стики-нолики» и игры в слова, приступим к новойигре — на дорожной сети. В нее играют на картедорог, изображенной на рис. 4.

Между восемью городами проложены дороги.Вооружившись цветными карандашами (один игрокпусть выберет красный карандаш, а другой — си-ний), игроки по очереди закрашивают по одной до-роге (каждую дорогу необходимо закрашивать цели-ком). Обратите внимание, что некоторые дороги про-ходят через города не обрываясь. В таких случаяхзакрашивать дорогу нужно не только до ближай-шего города, а на всем ее протяжении. Выигрываеттот, кому первым удастся закрасить три дороги, ве-дущие в один и тот же город. На первый взгляд ка-жется, что новая игра не имеет ни малейшего отно-шения к трем уже рассмотренным нами играм,В действительности же и она изоморфна игре в«крестики-нолики»!

223

4

Чтобы установить изоморфизм, достаточно пере-нумеровать дороги так, как показано на рис. 4.Каждая дорога соответствует клетке магическогоквадрата, помеченной тем же числом. Каждый го-род на карте соответствует горизонтали, вертикалиили диагонали в магическом квадрате. Как и в пре-дыдущих случаях, изоморфизм полный. Всякий, ктоумеет на гроссмейстерском уровне играть в «крести-ки-нолики», не будет знать горечи поражений и вновой игре.

На рис. 5 изображен один из 880 различных (непереходящих друг в друга под действием поворотови отражений) магических квадратов 4 X 4 . Постоян-ная этого квадрата (сумма чисел, стоящих на любойгоризонтали, вертикали и диагонали) равна 34.Может ли такой квадрат служить ключом для бес-проигрышной игры в 34, то есть игры, в которой иг-роки по очереди выбирают число от 1 до 16 (ни одночисло не разрешается выбирать дважды) до тех пор,пока у одного из игроков не наберется четыре чис-ла, дающие в сумме 34. Изоморфна ли игра в 34игре в «крестики-нолики» на магическом квадрате,

224

изображенном на рис. 5? Нет, не изоморфна! По-чему?

7

2

Э

12

13

3

6

1

5

10

15

IU

11

5

4

Можно ли так изменить правила игры в «крести-ки-нолики», чтобы победную комбинацию образовы-вали четыре клетки, не лежащие на одной горизон-тали, вертикали или диагонали, и утраченный изо-морфизм был восстановлен?

Как взвесить гиппопотама

Так уж повелось, что бремязабот о священном гиппопота-ме нес на своих плечах вождьплемени, собственноручно кор-мивший и всячески ублажав-ший своего подопечного.

Каждый год в день своегорождения вождь, прихватив ссобой лодку сборщика пода-тей и священного гиппопотама,отправлялся вверх по реке вте места, где стояла хнжина,возведенная специально длясбора дани.

Племя платило вождю дань—-столько золотых слитков, сколь»ко требовалось, чтобы уравно-весить священного гиппопота-ма. На чашу огромных весовставили священное животноен уравновешивали его грудойслитков золота на другой ча-ше.

Однажды вождь племени такраскормил священного гиппо-потама, что весы не выдер-жали непомерной тяжести исломались. На починку их по-требовалось бы несколько дней.Над торжественной церемониейсбора дани навнсла угрозасрыва.

226

Вождь племени был вне себяот ярости. Он вызвал сборщи-ка податей.Вождь. Я не желаю ждать.Золото мне нужно сегодня ировно столько, сколько веситсвященный гиппопотам. Еслиты не придумаешь, как отме-рить нужное количество золо-та до захода солнца, я при-кажу отрубить тебе голову.

Несчастный сборщик податейот страха почти "перестал что-либо соображать. Лишь огром-ным усилием воли ему уда-лось собраться с мыслями.

После нескольких часов напря-женных размышлений ему при-шла в голову блестящаямысль. Вы не догадываетесь,что именно он придумал?

Как и все гениальное, предло-женный им выход из создав-шегося положения был необы-чайно прост. Сборщик пода-тей ввел священного гиппопо-тама на пустую лодку вождяи отметил снаружи на бортулодки уровень, до которого тапогрузилась в воду.

;ТЬ ИДЕЯ.1у«Л

2 2 7

Затем он свел гиппопотама наберег и принялся нагружатьлодку золотыми слитками. Такон трудился до тех пор, покалодка не погрузилась в водупо сделанную ранее отметку,после чего с полным основа-нием доложил вождю, что весгруды золота в лодке равенвесу священного гиппопотама.

Эврика!

По закону Архимеда, плавающее тело вытесняетобъем воды, масса которого равна массе тела. Следо-вательно, если священного гиппопотама ввести налодку, то та погрузится в воду, вытеснив количествоводы, масса которой равна массе гиппопотама.

А вот еще одна задача на близкую тему. Предпо-ложим, что лодка плавает в достаточно малом бас-сейне, где уровень воды можно точно измерить. Свя-щенного гиппопотама свели на берег, лодку нагру-зили эквивалентной по массе грудой золотых монети на стенке бассейна отметили уровень воды.

Предположим, что мы принялись швырять моне-ты одну за другой за борт лодки на дно бассейна.Глубина погружения лодки в воду при этом умень-шается. А что произойдет с уровнем воды в бассей-не? Будет он подниматься или опускаться?

Даже физики иногда затрудняются ответить наэтот вопрос. Одни полагают, что уровень воды в бас-сейне не изменится. Другие утверждают, будто уро-вень воды в бассейне поднимается из-за того, что уто-нувшие монеты вытеснят какой-то объем воды. И те,и другие заблуждаются.

Чтобы разобраться, в чем корень ошибки, необ-ходимо снова вернуться к закону Архимеда. Каждоеплавающее тело, вытесняет объем воды, масса кото-рого равна массе тела. Золото гораздо тяжелее воды,поэтому объем воды, вытесняемой нагруженной золо-том лодкой, гораздо больше объема самого золота.Когда же золото оказывается на дне бассейна, тооно вытесняет лишь объем воды, равный своему

228

собственному объему. Поскольку этот.объем гораздоменьше объема, который вытесняет лодка, груженнаязолотом, то уровень воды в бассейне понизится.

Физик Дж. Гамов однажды привел яркий пример,поясняющий решение нашей задачи. Некоторые звез-ды состоят из вещества в миллионы раз более плот-ного, чем вода. Кубический сантиметр такого веще-ства весит не одну тонну. Если швырнуть его за бортлодки, он опустится на дно бассейна и вытеснитлишь 1 см3 воды, то есть ничтожно малое количе-ство, поэтому вода в бассейне опустится. Ситуацияс золотом точно такая же, только вода в бассейнеопустится гораздо меньше.

Итак, мы отправили все золото на дно бассейнаи отметили уровень воды на борту лодки. Предполо-жим, что гиппопотаму захотелось искупаться. Послетого как он войдет в бассейн, уровень воды подни-мется на 2 см. На сколько придется поднять отметкуна борту лодки?

Представьте, что вы пьете прямо из бутылкикинки-колу и хотите оставить ровно половину объемавсей бутылки. Отмерить нужное количество жидко-сти нетрудно: пейте до тех пор, пока поверхностьжидкости в наклоненной вами бутылке не дойдет дотого места, где стенки бутылки встречаются с до-нышком.

А вот аналогичная задача, требующая иного ре-шения. В бутыль неправильной формы из прозрач-ного стекла налит концентрированный раствор кис-лоты. На стенках бутылки имеются 2 отметки: однасоответствует 10 л кислоты, другая — 5 л.

Кто-то отлил немного кислоты, отчего уровень еев бутыли стал чуть ниже отметки 10 л. Вамтребуется отлить для опыта ровно 5 л кислоты. Кис-лота слишком опасная и летучая, чтобы ее можнобыло переливать в другие мерные сосуды. Как легкои просто отмерить ровно 5 л кислоты?

Одно из решений состоит в том, чтобы, бросаяв бутыль стеклянные шарики (или шарики из любо-го другого материала, не разъедаемого кислотой),довести уровень кислоты до отметки 10 л, после чегоотливать кислоту до тех пор, пока ее уровень в бу-тыли не сравняется с отметкой 5 л.

Как распределить домашние обязанности

Мистер и миссис Джонс толь»ко что поженились. У каждогоиз них есть постоянная рабо-та, и они решили распреде-лить между собой и обязан-ности по дому.

Стремясь к честному распре»делению обяэанвостей по дому,супруги Джонс составили пе-речень всех работ по дому ианеделю.Востер. Я беру на себя поло-вину обязанностей, дорогая.Остальные обязанности предо-ставляю тебе.

Жанет: Прошу прощения, Бас-тер, но, по-моему, ты распре-делил обязанности нечестно.Мне ты оставил всю грязнуюработу, а себе взял то, чточище и полегче.

С этими словами миссис Джонсвзяла список обязанностей подому и отметила те работы,которые бы ей хотелось взятьна себя. Ее муж не согласил-ся с новым распределениемобязанностей.Жанет. Если ты думаешь, чтоя буду делать всю грязную ра-боту, то ты просто сошел сума.

Пока супруги пререкались, вдверь позвонили. Это пришламать миссис Джонс.Миссис Смит. Из-за чего дра-ка, голубки? Ваши крикислышны на лестнице.

Выслушав доводы Бастера иего жеиы, миссис Смит улыб-нулась.Миссис Смит. Я нашла велико-лепное решение. Сейчас я по-кажу вам, как распределитьобязанности по дому, чтобы выоба остались довольны.

Миссис Смит. Пусть один извас разделит перечень обязан-ностей на 2 части, каждую изкоторых он бы охотно взял насебя, а другой выберет себелюбую половину. Тогда обя-занности будут распределены всоответствии с желаниями каж-дого из вас, не так ли?

Но год спустя, когда мисспсСмит переехала к молодоже-нам, ситуация несколько ослож-нилась. Миссис Смит охотносогласилась взять иа себятреть обязанностей по дому,но все трое никак не моглипридумать, как справедливоразделить между собой обя-занности. Не взялись бы вы импомочь?

-Честный раздел

Задача о честном разделе, с которой столкнуласьчета Джонсов, в книгах по занимательной матема-тике обычно фигурирует, как задача о разделе пиро-га между двумя людьми, каждый из которых хотелбы заполучить не меньше половины.

Эту задачу мы решили, а вот задача о честномразделе пирога между тремя людьми, каждый изкоторых хотел бы заполучить не менее трети пирога,осталась нерешенной.

Она допускает следующее решение. Один из лю-бителей пирога медленно ведет большим ножом надпирогом. Пирог может быть любой формы. Вестинож нужно так, чтобы доля пирога по одну сторонуножа непрерывно возрастала от нуля до максимума.Как только любой из трех участников раздела со-чтет, что по одну сторону ножа осталась треть пиро-га, он произносит вслух: «Режь!» Тот, кто держитнож, немедленно отрезает кусок пирога и отдаеттому, что подал команду. Если команду «Режь!»подадут одновременно двое или даже трое любите-лей пирога, отрезанный кусок вручается любому изних.

Двое остальных вполне удовлетворены кускомпирога, доставшимся им на двоих: ведь этот кусоксоставляет не менее 2/3 от всего пирога. Задача оразделе этого куска сводится к предыдущей задачео честном разделе между двумя претендентами ирешается, если один режет, а другой выбирает.

Метод честного раздела допускает очевидноеобобщение на случай п участников. Один из участ-ников ведет ножом над пирогом. Первый, кто подасткоманду «Режь!», получает первый кусок (есликоманду подадут сразу несколько человек, отрезан-ный кусок достается одному из них по жребию).Затем процедура повторяется с п—1 остальнымиучастниками. Так продолжается до тех пор, пока неостанутся 2 участника. Последняя порция пирогаделится между ними по принципу «я режу, ты вы-бираешь», или, если угодно, при помощи все той жеуниверсальной процедуры: один ведет ножом надпирогом, и каждый может скомандовать «Режь!»,

232

если сочтет, что по одну сторону ножа осталось неменее '/г порции, доставшейся им на двоих. Общеерешение задачи о справедливом разделе может слу-жить прекрасным примером доказательства, прово-димого при помощи метода математической индук-ции. Ясно, что тот же алгоритм справедливого разде-ла применим и к задаче о распределении домашнихобязанностей между п обитателями квартиры, неоставляющем ни у кого ни малейшего повода длянеудовольствия.

Математик из Кембриджского университетаДжон X. Конуэй рассмотрел задачу о справедливомразделе при гораздо более жестких требованиях.Традиционный алгоритм позволяет каждому участ-нику получить долю, которую тот считает не меньшепричитающейся ему. Существует ли алгоритм, прикотором каждый участник будет также пребывать вуверенности, что никому из остальных не достанетсябольше, чем ему самому? Поразмыслив, вы поймете,что при числе участников больше трех традиционныйалгоритм не дает такой уверенности. Конуэй и дру-гие нашли решение задачи для случая, когда числоучастников с обостренным чувством справедливостиравно трем. Для большего числа участников реше-ние, насколько известно, пока не найдено.

Воздушный акробат

В звоннице средневековойцеркви сохранились две бес-ценные веревки, за которыезвонари раскачивали колоко-ла. Обе веревки проходят че-рез небольшие отверстия в по-толке комнаты звонарей. По-толок очень высокий. Расстоя.ние между отверстиями 25 см,а диаметр каждого из них та-ков, что веревки свободно про-ходят сквозь них.

Тони, бывший акробат, возна-мерился похитить веревки —отрезать от каждой из них ку-сок побольше.

Тони. Как назло, колокола насамом верху звонницы запер-ты на семь запоров. Проник-нуть можно только в комнатузвонарей.

Тони. Придется залезть по ве-ревкам и отрезать от каждойиз них кусок побольше. Жаль,до потолка здесь так высоко,что если я отрежу больше тре-ти видимой части веревки, тоупаду и сломаю себе шею.

Тони размышлял довольно дол-го, пока, наконец, не приду-мал, как похитить обе верев-ки почти целиком.Что бы вы сделали на егоместе?

Решение Тони было весьмаостроумным. Прежде всего оисвязал свободные концы вере-вок. Затем залез по одной изних (обозначим ее А) под са-мый потолок.

Повиснув под потолком на ве-ревке А, Тони перерезал ве-ревку В примерно на полмет-ра ниже потолка и свисающийиз отверстия остаток связал впетлю.

Продев в петлго руку, Тоннповие на веревке В и перере-зал веревку А под самым по-толком, приняв все меры пред-осторожности, чтобы отрезан-ных кусок веревки А ие упалиа пол. Затем он продел ве-ревку А сквозь петлю н при-иялся протягивать ее, пока на-верху ие оказалясь связанныеконцы веревок А и В.

После этого Тони слез по сло-женной вдвое веревке, выдер-нул ее из петлн и ушел, уно-ся с собой всю веревку А ипочти всю веревку В.А как бы вы это сделали?

Манипуляции с веревкой

Задачу, о которой вы узнали, прочитав рассказо дерзком похитителе веревок, нельзя считать строгоопределенной, поэтому и решений у нее может бытьнесколько. Возможно, что приведенное нами решениенаиболее «практично», но вы заведомо сумеете пред-ложить еще несколько других вариантов, которымимог бы воспользоваться вор. Не исключено, что вашерешение окажется лучше.

Например, похититель мог бы завязать на верев-ке В так называемую колышку — специальный узел,используемый моряками и альпинистами для времен-ного укорочения снасти (рис. 6). Повиснув на верев-ке В, он мог бы обрезать веревку А под потолком(и дать ей упасть на пол), после чего перерезать ве-ревку В в точке X. Всем альпинистам хорошо извест-но, что узел будет держать, пока вор не соскользнетпо веревке В вниз. Дернув за веревку В, он распус-тит колышку и получит почти всю веревку В, за ис-ключением небольшого ее куска под самым по-толком.

Другое возможное решение. Похититель взбирает-ся наверх по веревке А. Ухватившись одной рукойза веревку В и вися на веревке А, он начинаетперерезать волокно за волокном веревку Л, пока непочувствует, что та вот-вот оборвется. Затем он стя-гивает обе веревки вместе и вися на двух веревкаходновременно, начинает перерезать веревку В подсамым ̂ потолком так же, как он перерезал веревку А,и спускается по двум веревкам вниз. Каждая из ве-ревок в отдельности не выдержала бы его веса, но

236

с половинной нагрузкой веревки справляются благо-получно. Очутившись на полу, вор сильным рывкомобрывает веревки по месту надреза.

Третий способ предполагает, что отверстия в по-толке достаточно велики. Сначала похититель связы-вает свободные концы веревок А и В у пола. Затемвзбирается по веревке А, перерезает веревку В подпотолком и проталкивает ее длинный конец в отвер-стие для веревки В, пока тот не покажется из отвер-стия для веревки А, после чего начинает протягиватьверевку В до тех пор, пока ее конец не окажется упола, а узел — под потолком у отверстия для верев-ки В. Ухватившись у самого потолка за веревку В,продернутую сквозь отверстие для веревки А, инижнюю часть веревки А, подтянутую теперь к по-толку, похититель перерезает верхнюю часть верев-ки А (торчащую из отверстия для веревки А) какможно выше и, спустившись по двойной веревке,сдергивает ее на пол.

А вот более хитроумный вариант предыдущегорешения. Свободные концы веревок остаются не свя-занными. Похититель взбирается по веревке Л,перерезает веревку В, проталкивает ее длинный ко-нец сквозь отверстие для веревки В и вытягивает

237

его из отверстия для веревки А, после чего захлесты-вает его вокруг веревки В и завязывают узлом(рис. 7). Повиснув на веревке В, похититель перере-зает веревку А и привязывает конец ее к узлу. Спус-тившись по веревке В, он тянет за веревку А, верев-ка В проскальзывает сквозь петлю и падает вниз.

7 А /.'-•

Еще один вариант. Похититель взбирается по ве-ревке А и завязывает петлю на верхней части верев-ки В. Повиснув на этой петле, он перерезает верев-ку А, проталкивает ее конец сквозь отверстие дляверевки А и вытягивает его из отверстия для верев-ки В, после чего привязывает к петле. Повиснув надвух веревках, он перерезает веревку В под потол-ком над петлей, спускается по двум веревкам внизи, потянув за веревку В, сдергивает их вниз.

Некоторые из приведенных выше решений прак-тически не осуществимы: если бы похититель взду-мал воспользоваться любым из них, то колокола за-звонили бы и он был бы пойман с поличным. Одноиз достоинств самого первого решения состоит в том,что похититель осторожно натягивая веревку В,прежде чем повиснуть на ней, мог бы избежатьлишнего шума (колокол В при соблюдении всехмер предосторожности не зазвонил бы). Прежде чемвлезть по веревке• А, похитителю также следовалобы осторожно натянуть ее.

Во многих классических процедурных задачах,аналогичных задачам о переправах, фигурирует пере-брошенная через блок длинная веревка, к каждому

238

концу которой прикреплено по корзине. Льюис Кэ«рролл очень любил следующий вариант такой задачи.

Пленная королева вместе со своим сыном и до-черью заточены в каморке на самом верху высокойбашни. Снаружи у их окна прикреплен блок, черезкоторый перекинута веревка. На каждом концеверевки висит по корзине. Вес обеих корзин совер-шенно одинаков. Верхняя корзина, находящаясякак раз против окна темницы, пустая, в нижнейкорзине, достающей до земли, лежит камень массой30 кг, служащий противовесом.

Блок сильно заржавел и вращается со скрипомдостаточно медленно для того, чтобы спуск в корзи-не был безопасен для каждого, чья масса "превышаетмассу противовеса не более чем на б кг. При боль-шей разности масс удар о землю может причинитьтяжкие увечья. Разумеется, если одна корзина под-нимается, то другая опускается.

Масса королевы 78 кг, масса ее дочери 66 кг имасса сына 36 кг. Укажите простейший, то есть со-стоящий из наименьшего числа шагов, алгоритм по-бега. Корзины достаточно велики, чтобы вместитьлибо 2 людей, либо одного человека и камень. Припобеге августейшим пленникам никто не помогает,и они не могут помочь себе, потянув за веревку.Иначе говоря, блок действует только в том случае,если масса в одной корзине превосходит массу вдругой корзине.

Простейшее решение легко найти, если восполь-зоваться «аналоговым устройством»: написать массына отдельных карточках и подвигать их вверх ивниз. Вам не удастся организовать побег всех трехузников менее чем за 9 шагов. Вот как выглядит наи-более экономичный алгоритм побега:

1. Сын вниз, камень вверх,2. Дочь вниз, сын вверх.3. Камень вниз.4. Королева вниз, камень и дочь вверх.5. Камень вниз.6. Сын вниз, камень вверх,7. Камень вниз.8. Дочь вниз, сын вверх.9. Сын вниз, камень вверх,

239

Задачи этого типа иногда усложняются введениемживотных, которые не могут самостоятельно влезатьв корзины и вылезать из корзин. Льюис Кэрроллпредлагает следующий вариант предыдущей задачи.На вершине башни вместе с королевой находилисьне только ее сын, дочь и груз, но и свинья массой24 кг, собака массой 18 кг и кошка массой 12 кг.Спускать четвероногих нужно с теми же предосто-рожностями, что и людей, но теперь кто-нибудь не-пременно должен быть и наверху и внизу, чтобыкласть животных в корзины и доставать их оттуда.

Удастся ли вам построить алгоритм побега коро-че 13 шагов? В обеих задачах тому, кто последнимвыйдет из корзины, следует поторапливаться, иначеон рискует получить по голове падающим противо-весом!

Катастрофа на острове

Орвилл поставил свою маши-ну на берегу небольшого озе-ра.Орвилл. Какой ровный берег!Для запуска моей радиоуправ-ляемой авиамодели лучшегоместа не найти. Ни тебе де-ревьев, ни скал. Единственноедерево — на островке посредиозера.

Орвилл хотел было заставитьмодель облететь вокруг дере-ва, но не рассчитал расстоя-ние. Модель врезалась в де«рево и упала на землю.

Орвилл не на шутку встрево-жился. Оставлять модель наострове не хотелось: слишкоммного сил и средств было из-расходовано на нее. Озеробыло глубоким, а плавать Ор-вилл не умел. В багажнике ма-шины у Орвилла на всякийслучай хранилась веревка, дли-на которой на несколько мет-ров превышала поперечникозера в самой широкой части,но как воспользоваться верев-кой Орвилл не знал.

И вдруг Орвилла осенила про-стая и в то же время остроум-ная идея.Орвилл. Делать нечего, при-дется намокнуть, зато модельбудет спасена.Как Орвилл достал свою мо-дель?

Стоит подумать, прежде чем пускаться вплавь

Орвилл достал свою модель следующим остроум-ным способом. Он подогнал свою автомашину к са-мому краю воды и привязал к переднему бамперудлинную веревку. Держась за свободный конец ве-ревки, он обошел дважды вокруг озера, отчего ве-ревка обвилась вокруг ствола дерева, и, как следует,натянув веревку, привязал свободный конец к бам-перу. Получилась подвесная дорога: двойная верев-ка, натянутая между деревом на острове и бамлеромавтомашины на берегу. Держась за веревку, Орвиллдобрался до острова и, захватив модель, благополуч-но вернулся на берег.

В другой старинной головоломке речь идет о том,как, используя подручные средства, перебраться ссуши на остров, который расположен в центре квад-ратного озера (рис. 8). Путешественнику необходимопобывать на острове. Плавать он, как и Орвилл, неумеет. На берегу путешественник нашел две одина-

8

242

ковые доски, но каждая из них слишком коротка инемного не достает до острова.

Как, пользуясь двумя досками, путешественникможет попасть на остров? Решение показано нарис. 9.

Обобщим классическую задачу: предположим, чтопутешественник нашел на берегу несколько досок.Сможет ли он добраться до острова, если доски ока-жутся более короткими, чем в классической голово-ломке?

С тремя досками вы справитесь довольно легко,построив мост, изображенный на рис. 10. Но найтирешение с 5 или 8 короткими досками несравненнотруднее. На рис. // изображен мост, построенныйиз 8 досок.

В идеализированной постановке остров вырож-дается в точку, доски заменяются отрезками прямых,а для «перекрытия» достаточно касания. Представимсебе, что мы располагаем неограниченным запасомодинаковых «досок». Предельный случай показан нарис. 12. Если озеро имеет форму квадрата со сторо-ной, равной 2 единицам длины, то каждая доска

12

(даже если их у нас бесконечно много) не можетбыть короче д/2"/2- Доказать это можно с помощьютеоремы Пифагора.

Попытайтесь решить ту же задачу в идеализиро-ванной постановке для «озер», имеющих какую-нибудь другую форму, например круглых или мно-гоугольных.

Ленивый донжуан

ск.Г

т-

Джек считал Себя величайшимв мире сердцеедом. Ои решилснять квартиру в Вашингтоне.

В этом городе у него жилитри приятельницы, и он ре-шил поселиться как можноближе ко всем трем.

На плане города Джек отме-тил те места, где живут егоприятельницы.Джек. Я бы хотел поселитьсяв таком месте, откуда былобы удобно добираться до всехмоих приятельниц, то есть что-бы сумма расстояний от моегодома до тех мест, где живутони, была бы минимальной.

Джек прикидывал так и этак,но все было безуспешно: най-ти нужную точку никак не уда-валось. Вдруг ему пришло вголову неожиданное и иростоерешение.Джек. Есть идея! Теперь язиаю, как легко и просто вы*брать, где мне поселиться,

244

Джек мысленно опрашивалсвоих приятельниц, как бы ониотнеслись к тому или иномуего «переселению» и те «голо-совали» либо за, либо против.Для начала Джек выбрал накарте точку в достаточно ра-зумном месте и «переселился»на 1 квартал к востоку от нее.

Джек. Анпта и Банни прого-лосовали бы за такое пересе-ление, так как я перебралсябы поближе к иим, а Викапроголосовала бы против. Нов расстоянии я выиграл быбольше, чем проиграл, поэтомуя подчинюсь мнению, за кото-рое подано большинство голо-сов.

Всякий раз, когда большин-ство голосов было за очеред-ное переселение, Джек оста-вался на новом Месте, а еслибольшинство голосов было про-тив, возвращался на старое.Наконец, он достиг точки, изкоторой нельзя было перемес-титься ии в одну сторону, что-бы девушки ие проголосовалипротив. Там ои и решил по-селиться.

К его радости, квартирная пла-та в выбранном месте былаему по карману. Но через не-делю Баини переекала на но-вую квартиру в 7 кварталахот своего прежнего дома.

(

Kg

U

J

—(A

\1

V

л)

J

J245

СРОЧНАЯСДАЧА

КВАРТИРВНАЕМ

Джек. Жаль, но придется пе-реезжать на новую квартиру.Но когда Джек достал плангорода, то, к своему . уднвле»иию, обнаружил, что можетоставаться на месте.Как это может быть?

Алгоритм с голосованием

Если Банни переедет на 7 кварталов к востокуот того места, где жила раньше, то ее переезд ни-как не скажется на выборе резиденции Джека,Более того, Банни могла бы переехать сколь угоднодалеко на восток, и место, выбранное для своейквартиры Джеком, по-прежнему оставалось бы оп-тимальным.

Эффективность алгоритма с голосованием высможете лучше оценить, применив к более обширнойтерритории с прямоугольной планировкой, на кото-рой отмечено более трех точек. Вы обнаружите, чтоалгоритм Джека позволяет быстро находить положе-ние точки х, сумма расстояний от которой до всехотмеченных точек минимально, если число отмечен-ных точек нечетно. Почему алгоритм перестает ра-ботать при четном числе точек? Причина довольноясна: при четном числе отмеченных точек не исклю-чен «ничейный» исход голосования, а как толькоголоса разбиваются поровну, алгоритм не срабаты-вает.

Попробуйте самостоятельно ответить на следую-щие вопросы:

1. Не могли бы вы предложить эффективныйалгоритм, действующий при четном числе отмечен-ных точек?

2. При каких условиях перемещение одной илинескольких отмеченных точек не сказывается на по-ложении точки JC?

3. Изменится ли алгоритм с голосованием, еслимы вздумаем учесть ширину улиц?

246

4. Изменится ли алгоритм, если точка х и отме-ченные точки могут не располагаться на пере-крестках?

5. Применим ли алгоритм с голосованием в томслучае, если сеть улиц образована прямыми, идущи-ми в самых разных, а не только в двух взаимно пер-пендикулярных направлениях?

6. Останется ли алгоритм в силе, если улицыбудут кривыми или зигзагообразными?

Хотя алгоритм с голосованием применим к любымсетям, на «чистой» плоскости без выделенной сетион сразу утрачивает силу, и это понятно: по чистойплоскости мы можем перемещаться в любом направ-лении, не придерживаясь заданных маршрутов. Об-щая задача ставится так. На плоскости заданы пточек. Требуется найти такую точку х, чтобы суммакратчайших расстояний от нее до заданных точекбыла минимальной. Рассмотрим, например, три го-рода А, В я С. Где следовало бы построить аэропорт,чтобы суммарная протяженность воздушных марш-рутов из него в эти города была минимальной? Ясно,что если бы речь шла о длине автомобильных марш-рутов, связывающих некоторую точку на карте с го«родами А, В и С, то ответ был бы другой. Иначе п>воря, идеальное место для аэропорта может не сов*падать с идеальным местом для автобусной станции.

Ответ, основанный на довольно сложных геомет-рических соображениях, гласит: идеальным местомдля строительства аэропорта была бы такая точкана карте, в которой лучи, проведенные к трем горо-дам, образовывали бы между собой углы в 120°.Если бы число городов возросло до четырех, причемгорода располагались в вершинах выпуклого четы-рехугольника, то аэропорт выгоднее всего было быпостроить в точке пересечения диагоналей. Доказатьэто утверждение совсем не трудно. Общая задача(найти точку х, сумма кратчайших расстояний откоторой до п заданных точек плоскости минимальна)более трудная.

Может быть, вам удастся придумать простое ме-ханическое устройство (аналоговую вычислительнуюмашину), позволяющее быстро находить положениеточки х для трех заданных точек на плоскости?

247

Пусть .плоскость изображает плоскость стола. В каж-дой из заданных точек просверлим в крышке столаотверстие. Затем пропустим через эти отверстия поверевочке, верхние концы веревочек свяжем в одинузел, а к нижним подвесим одинаковые грузики.Равные силы, действуя на веревочки, заставят их«проголосовать» за жителей трех населенных пунк-тов, и узел расположится в точке х. Наша аналого-вая машина основана на использовании изоморфиз-ма между математической структурой задачи иструктурой физической модели.

Усложним теперь исходную задачу. Предположимтеперь, что в точках Л, В и С находятся не населен-ные пункты с одинаковым количеством жителей, атри дома, причем в доме А живут 20 школьников, вдоме В — 30 школьников и в доме С — 40 школьни-ков. Все дети ходят в одну школу. Где следует вы-строить школу, чтобы свести до минимума суммурасстояний, проходимых всеми детьми?

Если дети идут в школу по улицам города,то можно воспользоваться алгоритмом с голосова-нием, считая, что каждый ребенок обладает однимголосом. Он позволяет довольно быстро указать,где именно следует построить школу. Но если тридома возведены в чистом поле и школьники могутидти в школу по прямой, то как следует усовершен-ствовать нашу аналоговую вычислительную машину,чтобы и эта задача была ей под силу?

Нужно взять грузики с массами, пропорциональ-ными числу детей в каждом доме. Положение узлапокажет, где именно следует построить школу.

Сработает ли наше аналоговое устройство, еслив одном доме учеников окажется больше, чем в двухдругих домах, вместе взятых, например, если20 школьников живут в доме А, 30 школьников —•в доме В и 100 школьников — в доме С? Да, срабо-тает: грузик весом в 100 единиц будет тянуть своюверевочку до тех пор, пока узел не совместится с от-верстием С. Это означает, что школу следует по-строить в точке С!

Будет ли наше аналоговое вычислительноеустройство работать также безотказно при числеточек больше трех? Попробуйте придумать такое

248

расположение четырех точек, при котором нашеустройство даст заведомо неверный результат. Ука-зание: что произойдет, если четыре точки располо-жены в вершинах невыпуклого четырехугольника?

Изучением систем точек (вершин), соединенныхлиниями (ребрами), занимается теория графов —обширный и быстро развивающийся раздел совре-менной математики. Существуют десятки теоремтеории графов, позволяющие находить минимальныепути. Одни задачи, связанные с отысканием мини-мальных путей, давно решены, другие ожидаютсвоего решения. Примером знаменитой решеннойзадачи может служить следующая.

На плоскости заданы п точек. Требуется соеди-нить их отрезками прямых так, чтобы суммарнаяпротяженность сети была наименьшей. Добавлятьновые вершины к заданным запрещается. Сеть, ко-торую требуется построить, естественно назвать ми-нимальным деревом. Можете ли вы предложить алго-ритм для построения минимального дерева?

Алгоритм Крускала (названный в честь Джозе-фа Б. Крускала, который впервые предложил его)позволяет свести построение минимальной сети кследующим этапам.

Определить расстояния между любыми двумяточками и расположить все расстояния в порядкевозрастания (напомним, что расстоянием междудвумя вершинами в графе называется число ребер,ведущих из одной вершины в другую). Кратчайшеерасстояние равно 1, затем идет расстояние 2 и т. д.Если два расстояния одинаковы, то безразлично,какое из них считать первым. Соединить отрезкамипрямых все точки, расстояние между которыми рав-но 1. Затем соединить отрезками прямых все точки,расстояние между которыми равно 2, 3, 4, 5 и т. д̂Никогда не проводить отрезок, замыкающий цикл.Если проведенная линия замыкает цикл, отброситьсоответствующую пару точек и перейти к рассмотре-нию точек, разделенных следующим по величине рас-стоянием. Проделав все эти операции, мы получим ми^нимальное дерево, соединяющее все заданные точки.

Минимальные деревья обладают интереснымисвойствами. Например, все рёбра пересекаются

249

только в вершинах, причем в одной вершине пересе-кается не более 5 ребер.

Минимальные деревья отнюдь не обязательносовпадают с кратчайшей сетью, соединяющей п то-чек. Напомним, что дополнять сети новыми верши-нами не разрешается. Если снять запрет на новыевершины, то сети могут стать короче. В качествепростого примера достаточно рассмотреть четыревершины единичного квадрата. Минимальное деревосостоит из любых трех сторон квадрата (рис. 13,слева). Предположим, что разрешается вводить но-вые вершины. Существует ли тогда сеть короче 3,соединяющая четыре вершины?

Большинство людей считает, что минимальнуюсеть образуют две диагонали квадрата (рис. 13, по-средине), но это не верно. Правильное решение изо-бражено на рис. 13, справа. Суммарная длина двухдиагоналей квадрата равна 2 ^ 2 « 2 , 8 2 . . . Сум-марная длина сети на правом рисунке меньше, онаравна лишь 1 -f- -у/3 та 2,73...

Общая. задача о построении минимальной сети,соединяющей п заданных точек на плоскости (приусловии, что разрешается вводить новые вершины),известна под названием задачи Штейнера. Она ре-шена лишь в отдельных частных случаях. Эффектив-ный алгоритм, позволяющий определять положение«точек Штейнера» (новых вершин) минимальногодерева Штейнера, соединяющего п заданных точекплоскости, не известен. Задача Штейнера имеет мно-гочисленные приложения в технике — от элементовмикросхем, используемых в ЭВМ, до прокладкикратчайших сетей железных дорог, воздушных марш-рутов, телефонных линий и любых других видовтранспорта и связи.

Хирурги и инфекция

В чаще тропических джунглейрасположен госпиталь, в кото-ром работают три хирурга;Джонс, Смит и Робисон.

Вождь местного племени по-ступил в госпиталь по подо-зрению в опасном инфекцион-ном заболевании, требовавшемнеотложного хирургическоговмешательства. Ввиду особойсложности операции, ее долж-ны были проводить, сменяядруг друга, все три хирурга.При осмотре вождя они моглизаразиться и стать носителямиинфекции.

Каждый хирург оперирует втонких резиновых перчатках.Если он болен, то инфициру-ется внутренняя поверхностьперчаток, соприкасающаяся сего руками. Если болен вождь,то инфицируется наружная по-верхность перчаток.

Перед самым началом опера-ции в комнату, где хирургимыли руки, вбежала старшаясестра мисс Клини.Мисс Клини. У меня для васплохие новости, уважаемыеэскулапы.

Мисс Клини. У нас осталисьтолько ДВР пары стерильныхперчаток: одна пара белых иодна пара синих.

Доктор Джонс. Только две па-ры? Если я оперирую первым,то обе . стороны моих перча-ток могут оказаться заражен-ными. После Смита, если онСудет оперировать вторым,окажутся зараженными обестороны другой пары перчаток,и Робисону не в чем будетоперировать.

Вдруг лицо доктора Смитапросветлело.Доктор Смит. А что если янадену две пары перчаток —синие поверх белых. Одна сто-рона каждой пары инфициру-ется, а другая останется сте-рильной.

Джонс быстро схватил мысльколлеги.Доктор Джонс. После вас янадену синие перчатки стернль-иой стороной внутрь, а Роби-сои, вывернув, наденет белыеперчатки стерильной сторонойвнутрь. При этом каждый изнас избежит опасности зара-зиться.

252

Сестра Клини. А о вожде выне подумали? Ведь если кто-нибудь из вас является носи-телем инфекции, то вы може-те заразить вождя во времяоперации.

Справедливое замечание мед-сестры повергло хирургов взамешательство. Что делать?И тут мисс Клини осенило.Сестра Клини. Я придумала,как вам втроем оперироватьвождя, не подвергая ни себя,ни его риску заражения.

Никто нз трех врачей так ине смог ничего предложить, иокогда мисс Клиии объяснила,в какой последовательностинадлежит надевать и вывора-чивать перчатки, все согласи-лись, что ее план действитель-но обеспечивает полную без-опасность и вождя и хирургов.Как предложила действоватьмисс Клини?

Щ СИНИЙ1 D БЕЛЫЙ,

Снаружи и внутри

Прежде чем объяснять великолепный выходиз затруднительного положения, предложенныймисс Клини, постараемся основательно разобратьсяв первом варианте решения, исключавшем опасностьзаражения только для хирургов.

Пусть Б1 — внутренняя, а Б2 — наружная сторо~на белых перчаток, С1 — внутренняя, а С2 — наруж-ная сторона синих перчаток,

253

Доктор Смит надевает обе пары перчаток: сна-чала он натягивает белые перчатки, а поверх нихсиние. Сторона Б1 инфицируется, так как соприка-сается с руками доктора Смита, сторону С2 можетинфицировать вождь. После операции Смит снимаетобе пары перчаток. Доктор Джонс надевает синиеперчатки стерильной стороной С1 внутрь, а докторРобинсон выворачивает белые перчатки наизнанку инадевает их стерильной стороной Б2 внутрь.

Переходим теперь к описанию процедуры, пред-ложенной мисс Клини.

Доктор Смит по-прежнему надевает 2 пары пер-чаток. Стороны Б1 и С2 могут оказаться после опе«рации инфицированными, но стороны Б2 и С1 останут-ся стерильными.

Доктор Джонс надевает синие перчатки сторонойС1 внутрь.

Доктор Робисон выворачивает белые перчаткинаизнанку и надевает их стороной Б2 внутрь. Поверхбелых перчаток он натягивает синие перчатки сторо-ной С2 наружу.

Во всех трех случаях вождя капается только сто-рона С2 синих перчаток, поэтому он не подвергаетсяопасности заразиться от кого-нибудь из хирургов.

Насколько известно, общий случай этой задачиникогда не рассматривался, хотя он и небезынтере-сен для любителей занимательной математики. При-ведем его для тех, кто захочет испытать свои силы:сколько перчаток необходимо заготовить хирургиче-ской сестре, чтобы при самом жестком режиме эконо-мии полностью исключить возможность зараженияхирургов и пациентов, если известно, что п хирургампредстоит прооперировать k пациентов?

Глава О

Словесные находки

НЕОЖИДАННЫЕ РЕШЕНИЯРАЗЛИЧНОГО РОДА ЗАДАЧ О БУКВАХ,СЛОВАХ И ПРЕДЛОЖЕНИЯХ

Математики любят играть в слова. Например, всерьезной книге Ф. Хараря и Э. Палмера «Перечис-ление графов» * мы встречаем примечание: «Ридсообщил Райту, что и он, и Райт допустили ошибку.Затем Рид и Райт, чтобы исправить положение ве-щей, указали в совместной работе на допущеннуюранее ошибку. Возможно, что все это выгляделонесколько иначе, ибо Райт утверждает, что он пер-вый написал Риду». Примеров можно было бы при-вести так много, что они могли бы составить целуюкнигу.

Нетрудно понять, почему математикам нравятсятакие шутки. Слова представляют собой не что иное,как комбинации букв, составленных в определенномпорядке, так же как предложения — линейные после-довательности слов, составленные в соответствии сформальными правилами синтаксиса. Таким образом,многое родиит лингвистику с комбинаторной матема-тикой. Словесные квадраты по своей структуре ана-логичны магическим квадратам. Знаки препинанияв предложении соответствуют математическим симво-лам (скобкам, плюсам, минусам и т. д.), вводящим«пунктуацию» в алгебраические предложения.

* Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — М.: Мир,1977, С. 29.

255

Все эти (и многие другие) приятные аналогиимежду языком и математикой собраны в последней,шестой главе нашей книги. Палиндромы — слова илифразы, которые читаются одинаково от начала кконцу и от конца к началу,— аналогичны палиндром-ным числам. Как мы увидим, в теории чисел суще-ствует известная «гипотеза о палиндромных числах»,не доказанная и не опровергнутая. О палиндромныхпростых и составных числах, являющихся квадрата-ми и кубами, доказано немало интересных теорем.Другие головоломки в этой главе связаны с разбие-нием слов на части, во многом напоминающим раз-биение чисел на суммы.

Если буквы рассматривать как геометрическиефигуры, то мы сразу же вступаем в область необыч-ных геометрических задач и головоломок. Мы уви-дим, каким образом эти задачи связаны с существо-ванием двух важных разновидностей операции сим-метрии: симметрии относительно поворота на 180°и зеркальной симметрии. Мы обнаружим, что некото-рые слова и даже целые предложения выдерживаютповорот на 180°, и некоторые цифры на индикаторемикрокалькуляторов переходят в буквы латинскогоалфавита.

Буквы не обязательно считать жесткими и нерас-тяжимыми. Если мы будем рассматривать их не какгеометрические фигуры, сохраняющие форму при по-воротах и отражениях, а как топологические фигуры,которые можно изгибать, сжимать, растягивать, какрезиновые жгуты, то перед нами откроется еще однаобширная область занимательных задач, с решениемкоторых вам также предстоит познакомиться. Имен-но в этих задачах вы увидите «за работой» простей-шие топологические понятия.

Наконец, вам предстоит встреча с задачами, свя-занными с важными понятиями математической ло-гики. Простейшая задача о высказывания, противо-положном высказыванию «не в», познакомит вас сосвойствами отрицания и правилами обращения с от-рицательными величинами в алгебре. Многие из на-ших шуточных задач становятся понятными, если вычетко осознаете, что говорить о словах и предложе-ниях живого языка можно, лишь построив язык

256

следующего, более высокого уровня, который логикиназывают метаязыком.

Мы умышленно стремились сделать заключитель-ную главу нашей книги самой легкой и заниматель-ной. Может быть, вас удивляет, почему для словес-ных забав и игр вообще,нашлось место в книге позанимательной математике? По существу мы ужеответили на ваш недоуменный вопрос. Дело, разу-меется, не в том, что математики любят играть вслова или что лингвистике присущи определенныекомбинаторные аспекты. Мы хотели лишь показать,что даже игра в слова может приоткрыть передвами неожиданные и важные аспекты серьезнойматематики,

Проф. С. О. Слог

Перед вами знаменитый мате»,матик проф. Сэм О. Слог.

Проф. Слог ведущий н авторпопулярной телевизионной про-граммы «Состязание любите-лей слова». Гости этой пере-дачи, которым удается пра-вильно ответить на вопросыпроф. Слога, получают цен-ные призы.

Проф. Слог. Игра в слова име-ет много общего с математи-кой. Символами служат бук-вы и слова, а правила грам-матики позволяют отличать до-пустимые комбинации от недо-пустимых.

Проф. Слог. Позвольте привес-ти несколько примеров. Какаянадпись по своему значениюпротивоположна известной над-писи «Не входить»?

Проф. Слог. Какое слово из11 букв все выпускники йель-ского университета пишут не-правильно?

Проф. Слог. Вы, конечно, ус-пешно справились с этими дву-мя заданиями. Надписи «Невходить» противоположна позначению надпись «Входить».Слово «неправильно» все вы-пускники Иельского универси-тета так и пишут: неправиль-но. А сейчас позвольте пред-ставить вам нашего первогогостя.

|У."."

Не не

Попросите кого-нибудь назвать действие, проти-воположное действию «не входить», и вы, как пра-вило, услышите в ответ: «Выходить». Между темдействию «не входить» противоположно его отрица-ние «не не входить», то есть «входить». Два минусадают плюс и в арифметике, и в формальной логике.Приведем несколько примеров, подтверждающих этоправило.

1 . * = ( 7 - 3 ) - [ ( - 4 + 1 ) Р .2. Заголовок из газеты «Нью-Йорк тайме» от

б мая 1965 г.: «Албания выступает против отменызакона о запрете контроля над рождаемостью».

3. Известный специалист по математической логи-ке А. Н. Уайтхед однажды поблагодарил докладчиказа то, что тот «изложил весьма темный предмет небез ясности».

4. Молодой человек получает письмо от своейподруги: «Должна сказать, что мои слова о том, чтоя всерьез подумываю о том, чтобы передумать, не

259

следует принимать всерьез. Я и не думаю переду-мывать».

5. Преподаватель математики: «Не могу не заме-тить, что мне так и не удалось объяснить вамсмысл отрицания, поэтому я не стану утомлять васповторением».

Студент: «Я понял все, что вы сказали, и призна-телен вам за вашу готовность перейти к новомуматериалу».

6. Иногда в нарушение правила двойное отрица-ние употребляется для усиления отрицания. Вотнесколько примеров:

Не вздумайте не сказать мне, что за сплетниона распускает.

Никому не запрещается не прибегать к двойнымотрицаниям.

Небезупречное поведение.7. Профессор логики упомянул во время лекции

о том, что, насколько ему известно, ни в одном есте-ственном языке два утверждения никогда не озна-чают отрицание. Из задних рядов раздается сарка-стический голос: «Ну, ну!»

Вопрос о слове «неправильно» ставит людей втупик потому, что они воспринимают это слово какнаречие, относящееся к глаголу «пишут», а не каксамо слово «неправильно». В современной семантикелюбой вопрос о слове или предложении относится ктак называемому «метаязыку», в то время как сло-во и предложение принадлежат к предметному-, илиобъектному, языку. Чтобы отличить эти два языка,утверждения и слова объектного языка принято за-ключать в кавычки. Например, кавычки позволяютизбавиться от неоднозначности (или по крайней мереуменьшить ее) в вопросе, заданном проф. Слогом:«Какое слово из 11 букв все выпускники Йельскогоуниверситета пишут «неправильно»? При смешениидвух уровней языка нередко возникает путаница.Приведем несколько примеров.

Как — вы — думаете была кличка этой лошади.Я, Ли, китайский математик.Можете ли вы объяснить, что означает следую-

щая фраза: «То то означает совсем не то, что яимею в виду».

Мистер Ши Ли Хой

Проф. Слог пригласил мистераШи Ли Хоя на передачу, кактолько увидел в телефонномсправочнике номер его теле-фона. Заметили ли вы что-ни-будь необычное в английскомнаписании имени и фамилиимистера Ши Ли Хоя и номереего телефона?

Если перевернуть рисунок«вверх ногами», то английскоенаписание имени и фамилиимистера Ши Ли Хоя переходитв номер его телефона н на-оборот.

L € e t i p !337 ЗЗЦ5"

ee s h o i|ОЧ- 3 3 7 З Э Ц Г

Цифры и буквы

Цифры на индикаторе микрокалькулятора, еслиих считывать в перевернутом виде, очень напомина-ют по своим очертаниям несколько стилизованныебуквы латинского алфавита. Именно на этом осно-ваны шуточные задачи, решаемые с помощью микро-калькуляторов и снискавшие в последнее времяширокую известность.

Первая из этих шуток, с которой, по-видимому,и началось увлечение подобными задачами, облеченав форму рассказа об одном эпизоде арабо-израиль-ской войны. Мы приводим вариант этой задачи,предложенной автором многотомного «Искусствапрограммирования для ЭВМ» Дональда Э. Кнута:337 арабов и 337 израильтян сражаются на участкепустыни, имеющем форму квадрата со стороной8424 м. Кто выиграет от этого? Чтобы ответить навопрос, возведем в квадрат числа 337 и 8424 и, про-суммировав их, получим: 71077 345. На индикаторе

261

микрокалькулятора это число, если считывать его вперевернутом виде, напоминает название известнойнефтяной компании SHELL OIL.

О числах, переходящих в слова при считыванииих в перевернутом виде с индикатора микрокальку-лятора, написаны целые книги. В следующей таблич-ке показано, какую строчную или прописную буквулатинского алфавита напоминает, если ее рассматри-вать в перевернутом виде, каждая из 10 цифр:

01

г3н

0IZЕh

5fiп1

8

3

S

g

L

вb

Пользуясь этой таблицей, вы сможете без трудапридумать несколько задач-шуток, решением которыхбудут числа, переходящие при считывании их с ин-дикатора в перевернутом виде в соответствующиеслова. Десятичной запятой (или точкой) можно раз-делять два слова.

Вот несколько хороших задач-шуток (в скобкахрядом с каждым ответом указан русский перевод}.

1. Как называется столица штата Айдахо? (4 XX 8777 — Бойсе.)

2. Что сказал астронавт, впервые ступив на по-верхность Луны? (13527 : 3 — Боже!)

3. Чем больше берешь, тем больше остается.Что это такое? (V13719616 — дыра.).

4. Бутылка виски «Бурбон» стоит в Чикаго 8 дол-ларов. Что предпочитают любители спиртного в Ню-Йорке? (8X4001— выпивку.)

5. Что сказал доктор Ливингстон, когда Стэнли,разыскав его в дебрях Африки, спросил: «ДокторЛивингстон, если я не ошибаюсь?» ((18X4) : 3-j-+ 3 — междометие, выражающее крайнее изумле-ние.)

6. Существуют ли аналогичные шутки, использу-ющие слова не только английского, но и других язы-ков с латинским алфавитом? (Прибавьте единицук предыдущему ответу.)

262

Неуловимые буквы «Г»

Проф. Слог. Мистер Ши ЛиХой, предлагаю вам первуюзадачу. Приз — 5 долларов.Перед вами 24 спички. Може-те ли вы, сняв со стола 13 спи-чек, сложить из оставшихсясто «г»?

Мистер Ши Ли Хой. Еще Кон-фуций говорил, что если за-дачу нельзя решить, ее следу-ет поцеловать и оставить в по-кое.Проф. Слог. Вы рано сдаетесь,мистер Хой. Помните: мы иг-раем в слова, и сто «г» длябольшей ясности можно про-читать вслух.

Мистер Ши Ли Хой. Я ужеприкидывал и так, н этак.Сложить 100 букв <г» нз24 спичек невозможно: не хва-тит спнчек.

Проф. Слог. Ваше время ис-текло. Жаль, что вы забылио слове «стог» — оно читается,как «сто «г»».

J

(

v

/ •

гггггг гГ ГА

4

\

ГГг

\

гр

Ггг

т№

FR1V t

fV

Арифметические каламбуры

Головоломка, которая оказалась не под силу ми«стеру Ши Ли Хою, решается просто, если догадать-ся, что сто «г» может означать не сто букв «г», аодно слово «стог».

А вот еще один вариант той же головоломки. Егорешение требует иной догадки. Спички сложены также, как и прежде. На этот раз требуется взять20 спичек так, чтобы осталось 8. Решение — циф~ра 8 — выглядит так:

Если две предыдущие головоломки со спичкамипокажутся вашим друзьям слишком легкими, пред-ложите им следующий, более трудный вариант.Спички разложены так же, как и прежде. Требуетсявзять 13 спичек так, чтобы осталось 8. На этот разнужно догадаться, что из спичек можно сложитьарифметическое выражение, значение которогоравно 8.

Существует бесчисленное множество других голо-воломок со спичками, палочками, карандашами, со-ломинками и аналогичными предметами. Предлагаемвам и вашим друзьям еще две задачи. Составьте из12 спичек следующее арифметическое «равенство»:

Требуется превратить его в настоящее равенствоили неравенство, взяв или переложив одну спичку.

264

Задача допускает много решений. Приведем лишь 4из них:

*Т*

Разложите теперь спички так, как показано нарисункк

I

Устройте с друзьями состязание: кто сумеет про*читать в этих трех фигурках больше слов? Кто оста-нется с носом?

Мини-кроссворд проф. 9Слога

г-1

3

5'•ч\

по ГОРИ»ОИТ»ЯИ: по ВЕРТИКАЛИ:1.ГИМИЧ6СКИЙ WSM6HT *. СРВДН6Е П«ЖДУ

уЗ.лее жи,.м5. город в "РРГ

***

Проф. Слог. Справившись онашим следующим заданием,мистер Ши Ли Хой, вы вынг-раете приз в 20 долларов. Пе-ред вами простой кроссворд.В нем всего 3 слова по гори-зонтали и 2 по вертикали. Вамдается 3 мин, чтобы решитьего.

За 3 мин мистер Ши Ли Хойсумел отгадать лишь первоеслово по горизонтали.Мистер Ши Ли Хой. Мие оченьжаль, профессор, но я не мо-гу придумать больше ни сло-ва!

Проф. Слог. Поверьте, мне то-же очень жаль, мистер Ши ЛиХой. Вы ие заметили, что всетри слова по горизонтали пи-шутся одинаково, хотя и от-личаются по значению.

Проф. Слог. А теперь, покамы ожидаем нашего следую-щего гостя, небольшое зада-ние для наших телезрителей.Не можете ли вы так пере-ставить буквы в трех словах«ВОЛОС НА ЛОКОН», чтобыполучилось слово «КОЛОН-НА»?

Магические квадраты и анаграммы

Кроссворды с полным основанием можно отнестик числу комбинаторных задач: ведь речь идет о со-ставлении пересекающихся последовательностей сим-волов. Современные ЭВМ обладают достаточно боль-шой памятью, чтобы вместить все слова любого есте-ственного языка, и ничто не мешает нам, по край-ней мере в принципе, составить программы, которыебудут весьма успешно разгадывать кроссворды. Мож-но написать и такие программы, которые сами будутсоставлять кроссворды.

Большинство кроссвордов имеют «дырочки» —черные клетки или пробелы, разделяющие слова.В самых древних кроссвордах, не утративших своегопервозданного вида, «дырочек» не было (так жекак их нет в нашем шуточном кроссворде). Словарасполагались, образуя так называемый «словесныйквадрат». Вот, например, как выглядит такой сло-варь 4-го порядка (из четырехбуквенных слов):

ПУСКУЗОРСОДАКРАБ

Четыре слова («пуск», «узор», «сода» и «краб»)можно прочитать и по горизонтали, и по вертикали.Если по горизонтали стоят одни слова, а по верти-кали другие, то словесный квадрат называетсядвойным:

ИГЛАКРУГРАПААДАТ

Чем выше порядок, тем труднее составлять словес-ные квадраты, как простые, так и двойные. Попро-буйте самостоятельно составить несколько словесныхквадратов 4-го порядка. Если вы успешно справитесьс этим заданием, попытайтесь составить квадраты5-го и 6-го порядка. Построить квадраты 7-го и ещеболее высокого порядка чрезвычайно трудно. Знато-кам и ценителям удавалось изредка составлять сло-весные квадраты 8-го, 9-го и 10-го порядков, но при

267

этом почти всегда приходилось использовать необыч-ные, странно звучащие слова.

Последний вопрос проф. Слога (как из букв,входящих в слова «ВОЛОС НА ЛОКОН», составитьслово «КОЛОННА») относится к так называемыманаграммам — составлению новых слов или фраз избукв, входящих в какое-нибудь другое слово илипредложение (решение приведено в конце книги).Существует множество анаграмм самого забавногосвойства, например:

ШАМОТ - ТОМАШМАРС —СРАМ

ОКОРОК — РОКОКО

Может быть, вам удастся придумать примеры иполучше.

В старину анаграммы использовались для закреп-ления приоритета учеными, не торопившимися потем или иным соображениям раскрывать суть своегооткрытия. Например, Галилей сообщил об открытиифаз Венеры в анаграмме: «Наес immature a me jamfrustra leguntur. О. V.», означавшей: «Этого отменя хотят слишком рано и напрасно». И лишь впо^следствии дал правильную расшифровку анаграммы:«Cynthya figuras aemulatur mater атогшц» (}гМатьлюбви [Венера] подражает видам Цинтии [Луны]»},

Мари Вирам

Следующим гостем проф. Сло-га была Мари Вирам. Что не-обычного в ее имени?

Может быть, эта реклама винпоможет вам. Надпись на ре-кламе обладает тем же свой-ством, что и имя Мари Вирам.

«Золото лоз» и «Мари Ви-рам» — палиндромы, то естьнадписи, которые читаютсяодинаково в обе стороны: отначала к концу и от конца кначалу.

Ада

Можете ли вы привести другие примеры имен ифамилий, обладающих палиндромнои симметрией?(Это не так просто, как кажется.) Вот несколькопримеров: Анна, Тим Смит, Нелла Аллен, Тит.

269

Загадочные картинки

Проф. Слог. Добро пожало-вать к нам в студию, Мари!Эти картины имеют самое не-посредственное отношение квашему первому заданию. Накаждой из них изображено ка-кое-нибудь известное матема-тическое понятие. Разумеется,я имею в виду не «портрет», аскорее «скрытое изображение».

Проф. Слог. Позвольте мне по-яснить, что я имею в виду, напримере. На этой картине изо-бражено число п.Мари. Кажется, я начинаю по-нимать, в чем дело. Официантподает, хотя и не очень веж-ливо, на стол пирог, и в пер-вом слоге слова «пирог» скры-то «изображение» числа я.

Проф. Слог. Совершенно вер-но. А вот перед вами 3 кар-тинки-загадки. За каждую от-гадку вы получаете приз в10 долларов. Начнем с первойкартинки. Что это?Мари. Мне кажется, я отгада-ла. На этой картинке изобра-жен «полли ном», то есть «по-лином», или «многочлен».

Проф. Слог. Правильно! А чтоизображено на второй кар-тинке?Мари. На ней изображена па-ра редких животных «бола».Значит, в этой картинке скры-то «изображение» параболы?

870

Проф. Слог. Против этоготрудно что-нибудь возразить,Мари. Посмотрим, как высправитесь с последней кар-тинкой.Мари. Это совсем просто. Пе«ред яами «радикал».

БИССЕКТРИСА

СЛОЖЕ

НИЕ

У.МНОЖЕНИЕ

ПРЩЕПЬНАЯг*Ь ПОНЕНТА

нижнийИНДЕКС

ПЕ РИ ОД

По во

Т0 р

сЕЧ

ПЕРЕНИЕ

(ИЦА

Рисуночное письмо

Загадочные картинки, в которых по определеннымправилам «зашифровано» Какое-нибудь слово, назы-ваются ребусами. Попробуйте придумать ребусы длянескольких математических терминов.

В близком родстве с ребусами состоит другаяразновидность «рисуночного письма» — так называ-емые пиктограммы, изображающие то, что означает?слово. Сущность пиктограмм отчетливо ясна из при-водимых нами примеров (рис. / ) . Пиктограммы^новый, еще совсем юный вариант традиционных ре-бусов, успевших изрядно состариться.

Пиктограммы, передающие образно смысл слов,давно стали неотъемлемой частью современной рек-ламы и плаката. Шрифты и надписи несут добавоч-ную смысловую нагрузку, «рисуя» то, о чем долженговорить зрителю плакат (рис. 2). Художники неред-ко используют этот прием при создании обложки.Пиктограммы находят так>ке широкое применение вдорожных знаках, придавая им большую выразитель-ность.

Британский плакат о вреде курения.

«Сумасшедшие» предложения

Проф. Слог. Следующее зада-ние, дорогая Мари, посложнее.Вы должны сказать мие, чтозамечательного вам удастся за-метить в трех надписях, кото-рые я в^м покажу. За каж-дую отгадку вы получаете призв 20 долларов.

Проф. Слог. Вот первая над-пись. Прочитайте ее внима-тельно н, пожалуйста, оставь-те в покое мои уши. Не щеко-чите их перышком!Мари. Не могу! Вы так умныи хороши собой, что я влюби-лась в вас по уши.

Проф. Слог. Никакие объясне-ния в любви не помогут вамполучить приз.Мари. Я все равно получу его,так как справилась с зада-нием. Первая надпись палин-дром, как и мое имя, она чи-тается одинаково в обе сто-роны.

Проф. Слог. Очень хорошо,дорогая Марн. А что вы ска-жете об этой надписи? *

/ • ты сыт?голод долог.Я ЕМ ЗМЕЯ

V ~

• Знание английского языка для выполнения этого задания необязательно. — Прим. перев.

273

Я БЫ САМ ВСЕХ. ^ \МАКАК УДИВИЛ

Мари. Позвольте взглянуть.Так! Это—почти палиндром, ноие совсем. Минуточку! Пеня-ла! Эта надпись читается оде»иаково в прямом и в перевер-нутом (вверх ногами или, ес-ли угодно, вииз головой) по-ложении.

Проф. Слог. Вы снова правы,.Мари! Переходим к цоследне»му заданию.

Мари., Я заметила закономер-ность. Каждое слово в этойнадписи на 1 букву длиннеепредыдущего.

Проф. Слог. Великолепно! Вотеще 20 долларов, которые вывыиграли. Что вы собираетесьделать с этими деньгами?Мари. Приглашу вас сегедияпоужинать со мной, а затемпокажу вам свою коллаадоословарей.

274

Проф. Слог. Согласен. До ско-рой встречи, Мари! А теперь,дорогие телезрители, пека нашследующий гость еще не при-шел, мы воспользуемся сво-бодной минутой, чтобы предло-жить вашему вниманию ещеодну словесную; »адачку.

Проф. Слог. Какое слово из5 букв все выпускники Гар-вардского университета произ^иосят плохо?

Еще немного о палиндромах

Тысячи замечательных палиндромов известны навсех основных языках. Придумать палиндром не тактрудно, попробуйте и вы убедитесь в этом сами. Вотнесколько известных примеров палиндромов на рус-ском языке: «Кирилл лирик», «Ты сыт?», «Аргентинаманит негра», «Я не реву — уверен я».

В классических палиндромах единицей служатбуквы. Но можно составить и «крупноблочные» па-линдромы, в которых единицами будут целые слова.Два замечательных примера таких палиндромов при-надлежат Дж. А. Линдону:

1. «You can cage a swallow, can't you, but youcan't swallow a cage, can you?» («Вы можете по-садить ласточку в клетку, но проглотить клетку выне можете, не так лл?>)

2. «Girl bathing on Bikini, eyeing boy, finds boyeyeing bikini on bathing girl» («Девушка, купающаясяна острове Бикини и украдкой поглядывающая на мо«лодого человека, видит молодого человека, не отры«вающего глаз от бикини на купающейся девушке»),

275

Существуют • поэмы, которые читаются одинаковоот начала к концу и от конца к началу либопо строкам, либо целииом.

Палиндромы — аналоги того, что математики на-зывают двусторонней, или билатеральной, симметри-ей. Тела людей и многих животных обладают двусто-ронней симметрией. Многие творения человеческихрук также обладают двусторонней симметрией, на-пример кресла, кофейные чашки и тысячи другихпредметов. Любые фигуры и тела, обладающие дву-сторонней симметрией, при отражении в зеркалепереходят в себя. В этом и проявляется аналогиямежду билатеральной и палиндромной симметрией,при которой последовательность символов остаетсянеизменной, если очередность символов изменить напротивоположную.

Говоря о символах, мы имеем в виду не толькобуквы, но и цифры. Числовой палиндром — это чис-ло, которое читается одинаково слева направо исправа налево. Одна знаменитая гипотеза в теориичисел так и называется — «гипотеза о палиндромах».Возьмем любое число в десятичной системе счисле-ния, вывернем его «наизнанку», записав от конца кначалу, и сложим оба числа. То же самое проделаемс суммой и будем повторять всю процедуру до техпор, пока не получим палиндром. Например, число68 порождает палиндром в 3 шага:

, 68+ 86,154М51,605

"""бОб

1111

Гипотеза о палиндромах состоит в том, что неза-висимо от того, какое число выбрано, после конечно-го числа шагов вы непременно получите палиндром.

Никто не знает, верна ли Зта гипотеза. Доказано,что для двоичной системы и всех систем счисленияс основанием, равным любой степени двойки, этагипотеза не верна. Для систем счисления с другими

2 76

основаниями доказать гипотезу о палиндромах покане удалось.

Наименьшее десятичное число, которое можетслужить контрпримером, опровергающим гипотезуо палиндромах, равно, по-видимому, "196.

Математики проделали на ЭВМ сотни тысячшагов, но получить палиндром так и не удалось,хотя никем не доказано, что он никогда не появится.

Математики исследовали также простые числа-палиндромы (которые делятся на 1 и на самихсебя). Многие считают, что существует бесконечномного простых чисел-палиндромов, но эта гипотезатакже пока не доказана. Высказывалось предполо-жение и о том, что существует бесконечно многотаких пар чисел-палиндромов, как, например, 30103и 30203, в которых средние цифры отличаются на 1,а все остальные цифры совпадают.

Простое число-палиндром должно иметь нечеткоечисло знаков: каждое палиндромное число с четнымчислом знаков кратно 11 и, следовательно, не можетбыть простым. Можете ли вы доказать, что палинд-ромное число с четным числом знаков всегда делит-ся на 11? (Указание: число делится на 11, если раз-ность между суммой цифр, стоящих в разрядах счетными номерами, и суммой цифр, стоящих в раз-рядах с нечетными номерами, кратна 11.)

Много палиндромов среди квадратов, напримерП Х П = 121. Квадраты оказываются палиндрома-ми гораздо чаще, чем выбранные наугад целые чис-ла. То же можно сказать и о кубах. Более того,если куб — палиндром, то можно почти с уверен-ностью сказать, что и кубический корень из неготакже будет палиндромом (например, И X И XX И = 1331). Поиск палиндромов среди четвертыхстепеней, проведенный с помощью ЭВМ, пока не дални одного палиндрома, корень четвертой степени изкоторого не был бы также палиндромом. Поиск палин-дромов среди пятых степеней пока оказался безус-пешным. Высказана гипотеза, согласно которой несуществует чисел-палиндромов вида хк при k > 4.

Надпись на плакате «NOW NO SWIMS ON MON»(«Никто не плавает теперь по понедельникам») —самый длинный из известных текстов, обладающих

277

симметрией относительно поворота на 180°. Существвует довольно много примеров отдельных слов,обладающих такой симметрией либо в рукописном,либо в печатном веде. На рис. 3 вы видите некоторыеиз них.

NOONbunqжтм

Предложение «Я бы сам всех макак удивил»можно было бы сравнить со снежным комом: каж-дое следующее слово на одну букву ддиявее преды-дущего, слова увеличиваются в размерах, как свеж-иый ком, катящиеся по склону. Существуют я болеедлинные предложения такого типа. Удается ли вампридумать несколько таких вредложешй.?

Ответ на последний вопрос проф. Слога: все вы-пускники Гарвардского университета яроизносят«плохо» слово «плохо» sa 5 (букв. Не!грудно орвду-мать и другие вопросы того же шла.

Мистер Неку Рите

Следующим гостем телепере-дачи «Состязание любителейслова» был президент сигарет-ной компании из Хакеттстау-на (штат Нью-Джерси) мис-тер Неку Рите. Почему проф.Слогу так понравилось имя но-вого гостя?

Если по-другому разбить имяи фамилию гостя, то- получится«Не курите». Для президентасигаретной компании имя, чтои говорить, весьма подходя-щее!

Дом от дыха

Хотя наш рассказ-загадка в картинках мо-жет показаться тривиальным, он показывает, чтопробел как элемент алфавита имеет первостепенноезначение для правильного понимания предложений.Пробелы между словами играют такую же роль, какскобки, пробелы и т. п. в математических выраже-ниях. Смысл математического выражения нередкоможно сильно изменить, «передвинув» одну-ё^цин-ственную скобку подобно тому, как сдвиг пробелапочти до неузнаваемости изменил привычный призыв«НЕ КУРИТЕ».

Значения многих слов изменяются, если ввестипробел. Например, «штукатурка» превратится в сло-восочетание «штука турка», а «прохвост» — в без-обидное «про хвост».

В старые времена, когда основным видом транс-1

порта была лошадь, на улице одного американского

279

городка над коновязью красовалась вывеска:Д ЛЯЛОШ АДЕИИМ УЛОВ

Можете ли вы, расставив по-другому пробелы,расшифровать таинственную надпись?

Близка по духу и другая игра в слова, известнаяеще нашим дедушкам и бабушкам: в предложениискрыто какое-то имя или географическое название,которое требуется найти. Например, название какогоштата таится в следующем предложении: «Едвасмолкли голоса, как кто-то восторженно воскликнул:«Аи, да хор! Молодцы!»

Нетрудно видеть, что подчеркнутые буквы обра-зуют название американского штата Айдахо. Попро-буйте теперь обнаружить название одной из частейсвета в предложении, взятом,- должно быть, из ка-кого-то фантастического романа: «За стеклом иллю-минатора в резком свете прожектора, слезившемглаза, зияла пасть глубоководного чудовища».

Столь же легко замаскировать и математическиетермины. Например, название хорошо известноговсем геометрического термина спрятано в предложе-нии: «Изящный кувшин был выкован из мед-i, а наручке мастер выгравировал свои инициалы».

Существуют и всевозможные усложненные вари-анты. Например, одно предложение может бытьскрыто в другом, вполне осмысленном. Для проявле-ния «скрытого изображения» часть букв необходимозачеркнуть. Особого искусства требует составлениетройной фразы с «двойным дном», в которой осмыс-ленные предложения образуют все буквы, зачеркну-тые буквы и буквы, оставшиеся после зачеркивания.Приведем арифметический аналог такой тройнойфразы: 1 5 + 1 1 = 2 6 . Последние цифры порождаютра.венство 5 + 1 = 6 , после их вычеркивания остает-ся равенство 1 + 1 = 2 . Возможно, вам удастся при-думать более сложные примеры.

Прямые люди

Проф. Слог. Ваше первое за^дание, мистер Рите, связано сэтой таблицей, на которой вы-писаны четыре имени. Приз зауспешное выполнение зада-ния — 6 коробок превосходныхкубинских сигар.

Проф. Слог. Проведя 3 линии,мы "легко можем разделитьтаблицу на 4 графы так, что-бы в каждой из них было впи-сано только 1 имя. Нельзя лидобиться того же с помощью2, а не 3 линий?Мистер Рите молча попыхивалсигарой, пока его время не ис-текло.Мистер Рите. Этого сделатьнельзя!

Проф. Слог. Вы заблуждае-тесь, мистер Рите. Задача ре-шается очень просто. Должнобыть, сигарный дым затуманилясность вашего мышления.

ГЕРМАНИАН«РРЕДЛ У И З АИЗАБЕЛЬ

Честно и прямо

Задача проф. Слога решается сразу, стоит лишьдогадаться, что каждое имя можно разбить на двечасти, а из «осколков», комбинируя их • в другихсочетаниях, составить те же четыре имя.

Идея разбиения на части прямыми встречается иво многих других головоломках. Обычно речь идет

281

о том, чтобы несколькими прямыми разделить туили иную картинку на части, каждая из которыхсодержала бы лишь одну деталь. Типичная голово-ломка такого рода изображена на рис. 4. Можете ливы провести 3 прямые так, чтобы каждый кружококазался отрезанным от всех остальных? Решениеоказывается неожиданно простым, если догадаться,что части, на которые рассекают квадрат 3 прямые,не обязательно должны быть прямоугольниками ичто 3 прямыми квадрат можно разделить на 7 час-тей.

4

г

4

б211

ъ\

282

10,•ю

ь

5 5 °

if1I

9 10- 7

4

Интересные варианты той же идеи возникают,если вместо кружков взять числа4 Требуется разде-

ДО

лить квадрат прямыми на части так, чтобы в каж-дой части числа обладали каким-нибудь общим отли-чительным свойством. Свое искусство в решении за-дач этого типа вы можете испытать на следующейголоволомке (рис 5). Требуется провести 4 прямыетак, чтобы они разделили квадрат на 11 частейи сумма чисел в каждой части была равна 10, Ре-шение этой задачи приведено в конце книги.

Невразумительное объявление

широкий ВыборСПИРТНЫХ HMKKOtДЛЯ ДЕТЕЙ ИМЕЕТ'СЯ ЛИМОНАД ИМОРОЖЕНОЕ

•ШИРОКИЙ вЫИРнс п и р т н ы х H M I H T W X !

дпя детей имкт-СЯ ЛИИОНАДИмороженое!

Проф. Слог. Даю вам ещеодин шанс выиграть 6 коро-бок сигар. В одном городке навитрине небольшой гостиницыс рестораном красовался та-кой плакат.

Проф. Слог. Но когда несовер-шеннолетние юнцы зашли вресторан и потребовали спирт-ные напитки, их вышвырнуливон.

Проф. Слог. По словам вла-дельца гостиницы, художник,написавший плакат, пропустилдва восклицательных знака.Расставьте их так, чтобы текстплаката обрел тот смысл, ко-торый хотел вложить в негохозяин гостиницы, человекстрогих правил и безупречнойрепутации.

Мистер Рите не справился и сэтим заданием. Проф. Слогупришлось самому расставитьвосклицательные знаки.

Знаки и знаки препинания

Во многих старинных сборниках забав и развле-чений можно найти примеры фраз, смысл которыхсущественно зависит от того, как расставлены знакипрепинания. Вспомним хотя бы знаменитый примерс телеграммой «КАЗНИТЬ НЕЛЬЗЯ ПОМИЛО-ВАТЬ». От того, где должна стоять пропущеннаятелеграфистом точка, зависит судьба осужденного.

Головоломки этого типа также имеют многочис-ленные арифметические аналоги. Взять хотя бы сле-дующее неверное равенство:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 100.

Как сделать его верным, изменив «пунктуацию»в левой части (то есть расставив по-другому плюсыи минусы и, возможно, убрав или добавив пробелымежду цифрами)? Одно из возможных решений, ис-пбльзующее только три знака, имеет вид:

123 — 45—67 + 89=100.

Другое решение потребовало больше плюсов илишь один минус:

1 + 2 + 3 — 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100.Существует всего лишь девять решений:

123 — 45 — 67 + 89=100,123 + 4 — 5 + 67 — 89 = 100,123 + 45 — 67 + 8 - 9 = 100,123 — 4 — 5 — 6 - 7 + 8 — 9 = 1 0 0 ,12 — 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + 8 9 = 100,12 + 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 89 = 100,1 + 2 3 - 4 + 5 + 6 + 7 8 - 9 = 100,1 + 2 + 34 — '5 -; 67 - 8 + 9 = 100,12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 1 0 0 ,1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100,

1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100.

Ту же задачу можно поставить несколько иначе,если потребовать, чтобы цифры шли не в порядкевозрастания, а в порядке убывания. Если исключить(как мы делали в предыдущей, задаче) случай, когда

.285

знак минус стоит перед первым числом, то задачадопускает всего 15 решений:

98 — 76 + 54 + 3 + 21 = 100,9 - 8 + 7-6-1-54-32+ 1 = 100,9 8 - 7 — 6 - 5 — 4 + 3 + 21 = 100,9 — 8 + 7 + 65 — 4 + 3 2 - 1 = 100,9 - 8 + 76 — 5 + 4 + 3 + 21 =»10О,9 8 - 7 + 6 + 5 + 4 - 3 - 2 - 1 = 100,98 + 7 — 6 + 5 — 4 + 3 - 2 - 1 « = 100,98 + 7 + 6 - 5 — 4 - 3 + 2—1 = 100,98 + 7 - 6 + 5 —4 - 3 + 2 + 1 = 100,98 — 7 + 6 + 5 — 4 + 3 — 2 + 1 = 100,98 — 7 + 6 — 5 + 4 + 3 + 2—1 = 100,98 + 7 — 6 — 5 + 4 + 3 — 2 + 1 = 100,98 — 7 — 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100,9 + 8 + 76 + 5 + 4 — 3 + 2—1 = 100,9 + 8 + 76+ 5 - 4 + 3 > 2 + 1 = 100.

Если мы условимся ставить минус и перед первымчислом, то появится 3 новых решения в том случае,когда цифры расположены в порядке убывания, и од-но новое решение, когда цифры расположены в по-рядке возрастания:

- 9 + 8 + 76 + 5 - 4 + 3 + 21 = 100,— 9 + 8 + 7 + 65 — 4 + 3 2 + 1 = 100,— 9 — 8 + 76 — 5 + 43 + 2 + 1 = 100,- 1 + 2 - 3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9=100.

Разумеется, знаки «пунктуации» не обязательноограничивать плюсами и минусами, а сумму, стоя-щую в правой части равенства, числом 100. Суммаможет быть равна, например, двум последним циф-рам текущего года или любому другому числу, какоевам больше нравится.

Можете ли вы расставить, знаки так,, чтобы леваячасть «равенства»

1 - 2 - 3 + 4 ^ 5 + 6 = 5действительно стала равно 9?

Ответ приведен в конце книги,

зав

Загадочные знаки

Проф. Слог. А теперь, мистерРите, мы покажем вам три за-гадочные надписи. В каждойиз них зашифровано какое-тослово. Раскройте тайный смысллюбой из надписей, и вы полу-чите сигары. Вот первая над-пись. Каков ее тайный смысл?

Мистер Рите. Не зиаю. Не мо-гу сказать. А что в ней за-шифровано?Проф. Слог. Ваше имя -г- Не-ку. Таинственные символы по-лучены при отражении букв отгоризонтальной прямой, как отповерхности озера.

Проф. Слог. Может быть, раз-гадать эту иадлись вам будетлегче?

Слушая объяснения проф. Сло-га, мистер Рите только крутилголовой.Проф. Слог. Каждый символбыл нолучен из соответствую-щей буквы при отражении отвертикальной прямой, проходя-шей слева от буквы. Не прав-да ли, все очень просто?Мистер Ptaie. Мне это заданиесовсем не кажется простым.

ИЖ1ГШ)

387

Проф. Слог. Не будем спорить.Вот последнее ваше задание.У вас еще есть шанс получитьсигары.

Мистер Рите не смог н с этимзаданием справиться. Когда жепроф. Слог провел по жирнойаерте над надписью и под ней,оказалось, что в ией "1>ылоскрыто слово «курите».

Занимательно о симметрии

В первой серии загадочных знаков буквы НЕКУотражены от оси симметрии, проходящей через ихоснования. Заметим, что некоторые буквы при такойоперации переходят в себя (например, буквы Н, Еи К, обладающие горизонтальной осью симметрии).

Во второй серии каждый загадочный знак полу-чен при отражении букв РИТЕ относительно верти-кальных осей симметрии. Заметим, что такие буквы,как Т и О (не входящая в имя и фамилию мистераРите), при отражении относительно вертикальныхпрямых переходят в себя (они обладают вертикаль-ной осью симметрии). Буква О, обладающая и вер-тикальной, и горизонтальной осью симметрии, не из-меняется при отражениях в зеркале, поставленном,как перпендикулярно, так и параллельно строке.Возьмите зеркало и выясните, какой симметрией об-ладают все буквы алфавита, как строчные, так ипрописные.

Можете ли вы придумать слово, которое бы неизменялось при отражении в зеркале, параллельном

288

строке? Отражение в зеркале, поставленном парал-лельно строке, выдерживает в числе многих, напри-мер, слово «ОКНО». А существуют ли слова, способ-ные выдержать отражение в зеркале, приставленномсбоку перпендикулярно строке? Да, одним из много-численных примеров может служить слово «ТОПОТ».

Любая плоская фигура, обладающая по крайнеймере одной осью симметрии, совместима со своимзеркальным отражением, хотя последнее может бытьповернуто под некоторым углом. Любое геометри-ческое тело, обладающее плоскостью симметрии, так-же совместимо со своим зеркальным отражением.Глядя в зеркало, мы видим своих двойников именнопотому, что наше тело обладает плоскостью симмет-рии, которая делит его от макушки до пят.

Наши зеркальные головоломки допускают много-численные вариации. Например, что это такое?

П S2 63 М S Э6 V7Угадать, что это такое, еще труднее:

хх УУВ последней головоломке проф. Слога буквы

КУРИТЕ замаскированы совершенно иначе. Глазстремится уловить какую-то закономерность в очер-таниях черных фигурок и не обращает внимания набелые зазоры между ними, хотя именно эти зазорыимеют форму букв, которые выглядят, как на нега-тиве. Увидеть слово без вертикальных черных полос,ограничивающих его сверху и снизу, довольно трудно.Попытайтесь замаскировать аналогичным образомдругие слова.

Золотой твитт

Гг*

Проф. Слог. Жаль, что сига*ры вам не достались, мистерРите. Но вы вели себя такспортивно н не падали духомпри неудачах, что я хочу вру-чить вам этот позолоченный«твитт».

Мистер Рите.. Благодарю вас,профессор. А что означает ело*во «твитт»?Проф. Слог. Нет ли у вас ка-кого-нибудь заветного жела-ния, мистер Рите?

Мистер Рите. Есть, конечно!Я всегда мечтал научиться ле-тать на самолете.Проф. Слог. Вот ваша иечтаи сбылась! Ваш «твитт» ашляпе! Всего доброго, мастерРите! Спасибо за то, что смо-гли выбраться к нам!

Проф. Слог. Пока наш следу-ющий гость готовятся к выхо-ду, я хочу предложить вам,дорогие телезрители, неболь-шую задачку. Этот подарок япослал своей доброй знакомойна день рождения. Не моглибы вы назвать, какого сортаторт я выбрал для нее?

290

'Дези Норт

Последним гостем передачибыла мисс Дези Норт. Как,по-вашему, почему проф. СлогПригласил ее принять участиев телепередаче?

Буквы в имени и фамилии'Дези Норт расположены в ал-фавитном порядке. Такое встре-чается ие слишком часто. Рас-кройте телефонный справоч-ник, в вы убедитесь, что фами-лии, в которых все буквы идутв алфавитном порядке, ветре'чаются редко.

Август

Найти имена, в которых все буквы расположеныв алфавитном порядке, как, например, в имени АВ-ГУСТ, не легко. А можете ли вы привести пример ка-кого-нибудь слова, состоящего a t менее чем из б—7букв, которые были бы расположены в алфавитномпорядке? Коротких слов такого типа довольно много,например, туф, бинт, абвер • т. д., но найти длинныеслова значительно труднее.

291

Загадочные последовательности

АБВГДЕЖЗИЙКЛМНОП

РСТУФРЩЧШЩЬЫЬЭЮЯ

А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П \РСТУРХЦЧШЩЬЫЬЭКЗЯ

Проф. Слог. Мисс Норт, Вампредстоит решить 3 задачки.Решив правильно первую зада-чу, вы получите в качествеприза купальный костюм, зарешение второй задачи — су-мочку. Наконец, правильно ре-шив третью задачу, вы стане-те обладательницей норковогоманто.

Проф. Слог. Итак, первая за»дача. Художник нарисовал од-ни буквы более жирно, чемдругие. По какому признакуон разделил алфавит на жир-ные и тонкие буквы?

Мисс Норт с минуту молчаразглядывала надпись.Мисс Норт. Эврика! У жирныхбукв по крайней мере одинэлемент искривлен, а тонкиебуквы составлены из отрезковпрямых.

Проф. Слог. Вы выиграли ку-пальный костюм, мисс Норт.Постарайтесь выиграть и су-мочку. По какому признакубуквы этого алфавита разде-лены на жирные и тонкие?

292

Мисс Норт. Посмотрим. Так,это не кривые и не отверстия,не глухие и звонкие соглас-ные. Что же за признак? Стоп!Все понятно! Жирные буквытопологически эквивалентны.Все они получены непрерывнойдеформацией отрезка прямой.

Проф. Слог. Великолепно,Дези! Еще немного усилий, инорковое манто ваше! Вы дол-жны вычеркнуть шесть буквтак, чтобы оставшиеся буквыобразовали имя и фамилию из-вестного английского поэта.

Мисс Норт немного подумалаи нашла ключ к решению за-дачи. Вычеркнув «Ш-Е-С-Т-ЬБ-У-К-В», она получила над-пись: Джон Мильтон.

Мисс Дезн Норт так обрадо-валась полученным призам, чтона прощание обняла и крепкопоцеловала ироф. Слога.

АБВГДЕЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ

ШДЕЖСОТНЬМЭИНЛАЬКГ

$Sl

Топология алфавита

В первой задаче буквы алфавита разделены на ос*нове геометрических различий между прямыми икривыми (жирно обведены буквы, содержащие кри-волинейные элементы). Во второй задаче буквыразделены по топологическому признаку (жирно об«ведены буквы алфавита, топологически эквива*лентные отрезку прямой, не имеющие точек самопе-ресечения и незамкнутые).

Представим себе, что заглавные буквы сделаныиз упругого материала и их можно сжимать, растя»гивать и даже выводить из плоскости и переносить вдругое место. Две буквы называются топологическиэквивалентными, если их можно перевести друг вдруга такими непрерывными деформациями (разре-зать буквы или склеивать их не разрешается). По-пробуйте разбить все буквы алфавита на классы то-пологически эквивалентных букв.

Например буквы Е и Т топологически эквивалент-ны, но ни одна из них не эквивалентна буквам X иК, хотя последние эквивалентны друг другу. Анало-гичным образом можно классифицировать не толькозаглавные, но и строчные буквы, цифры и любыедругие знаки. Производя классификацию печатныхбукв, необходимо учитывать, что в различных типог-рафских гарнитурах буквы могут отличаться поформе.

Слова прощания

Проф. Слог. Дорогие телезри-тели! Прежде чем мы расста-немся, я хотел бы задать вам3 задачки. Задача первая: ка-кое слово из 7 букв станетдлиннее, если 2 его последниебуквы заменить другими?

Вторая задача: какие 3 словаиз 4 букв заканчиваются на.«ети»?

Третья, и последняя, задача:в маком слове сто «н»?

1 !I a. »

1• г

•

f 7

В т и» * а *

Проф. Слог. Наша передачаподошла к концу, уважаемыелюбители слова. Благодарювас за внимание. До нашейвстречи на следующей неделев то же время по той же про-грамме! Всего вам доброго!

Последние слова

Ответы на последние вопросы проф. Слога:1. «Длинный» становится «длиннее», если две

последние буквы заменить на «ее».2. На «ети» оканчиваются такие четырехбук-

венные слова, как «дети», «сети» и «нети» (быть"«в нетях»).

3. В слове «стон» сто «н».А вот еще несколько задач того же типа:1. Перед вами слово АЙВА. Какую букву следу-

ет добавить к нему, чтобы получилось название од-ного из штатов США?

2. Какое слово здесь «инородно»?ДЯДЮШКАРОДИЧМАТЬСЕСТРАОТЕЦТЕТУШКА

3. Что означают эти буквы:О Д Т Ч ?

4. Что здесь написано:JJO ОйД А ' Д ?

Ответы и решения

Глава 2. Геометрические находкиХитроумные разбиения. Задачи на разрезание.

У

29 7

Глава £ Нахвдкц в мире чмеел

Разбитые грампластинки. Половники целого.

42 доллара.

Глаза и ноги. Двуногие и четвероногие.

Решить задачу сумеет тот, кто догадается, что унекоторых животных вообще нет ног — речь идет озмеях. После этого ответ получается легко и просто:в зверинце цирка 4 четвероногих животных, 2 дву-ногих и 5 змей.

Столкновение на полном ходу.От конца к началу.

Вы думаете, что контейнер наполнится втрое бы-стрее, чем прежде, а именно за 12/3 = 4 часа?Если вы действительно так думаете, то заблуждае-тесь: новая задача сводится к предыдущей.

В исходном варианте задачи число бактерий вконтейнере достигает 3 к концу первого часа — в на-шем новом варианте 3 бактерии оказываются в кон-тейнере в момент, когда начинается отечет времени.Следовательно, если в исходной задаче контейнернаполнился за 12 часов, то в новом варианте задачион наполнится на 1 ч быстрее, то есть за 11 ч.

Часы дядюшки Генри. Проверьте ваши часы.

Если часы успевают пробить 6 ударов за 5 с, тоинтервал между отдельными ударами составляет 1 с.Следовательно, 12 ударов часы пробьют за 11 с.

Дядюшка Генри успеет проспать 40 мин.

Истина в вине. Арифметика вычетов.

Как и две предыдущие задачи, эта головоломкалегко решается, если догадаться обратить последо-вательность операций. Возьмите всю стопку отобран-ных карт в левую руку и держите вверх, рубашкой.Найдите короля и подложите под стопку снизу. За-тем найдите даму (12 очков), подложите под стоп-ку снизу и, отсчитав снизу 12 карт, перенесите их в

298

том же порядке, в каком они лежали в стопке, сни-«зу наверх. Найдите валета (11 очков), подложите его.под стопку снизу, я, отсчитав Л карт снизу, перене-сите их наверх Эта процедура, которую необходимопродолжать, пока вы не дойдете до туза, представля-ет собой не что иное, как обращение процедуры Ио-сифа Флавия. Закончив манипуляции, вы получитестопку с картами, разложенными в нужном порядке.

«Счет» Иосифа Флавия не обязательно ограничи-'вать последовательными числами. Описанная намипроцедура позволяет подготовить стопку карт длясчета Флавия с произвольными числами, расположен-ных в каком угодно порядке!

Продемонстрировать это можно с помощью сле-дующего карточного фокуса, для которого нам пона-добиться та же стопка из 13 карт пиковой масти.Вместо того чтобы считать, будем называть побуквам каждую карту, перенося по одной картесверху вниз на каждой букве. Карты в стопке долж-ны. быть уложены в следующем порядке {сверху-вниз): дама, четверка, туз, восьмерка, король, двой-ка, семерка, пятерка, десятка, валет, тройка, шестер-ка, девятка. Вы произносите Т — У — 3, перенося поодной карте сверху вниз на каждой букве. На букве3 вы поворачиваете карту вверх лицом и показывае-те всем, что это туз. Отложив туз в сторону, вы про-износите затем Д — В — А и продолжаете так до техвор, пока не назовете вслух по буквам все 13 карт.

Начальное расположение карт в стопке получает-1

ся с помощью уже описанной нами процедуры обр.а-\щения последовательности операций. Эта же про-Ацедура позволяет подготовить для демонстрации фо^куса полную колоду в 52 листа даже в том случае,1

если вы будете произносить название каждой картыпо буквам полностью, например, Т — У — 3 — П —И — К , и показывать их зрителям в заранее объяв-ленной последовательности мастей, например в по-следовательности: пики, черви, трефы и бубны.

«Счет» Иосифа Флавия как процедура обладаеттакой общностью, что позволяет произносить по бук-вам любые слова, например названия знаков зодиа-ка, -фамшнш .знаменитостей и т. д. Процедура обраще-ния последовательности операций позволяет вам в

29»

любом случае подготовить колоду к безотказнойдемонстрации фокуса: какие бы слова в»» ни выбра-ли, с последней буквой каждого слова у вас в рукахнеизменно будет оказываться нужная карта.

Глава 4. Логические находкиКаверзные загадки. Каверзные разгадки.

1. Посетитель ресторана успел посолить суп преж-де, чем заметил муху.

2. Вода никогда не достигнет иллюминатора, таккак вместе с приливом поднимается и судно.

3. Река Гудзон покрылась льдом у берега, и нанего-то и ступил преподобный Сол Луни.

4. Один поезд влетел в туннель с одной стороны,а через час, когда первый поезд был уже далеко, втуннель с противоположной стороны на полной ско-рости влетел другой поезд.

5. Когда показалась полицейская машина, бег-лый преступник находился у конца большого моста.Прежде чем попытаться скрыться в лесу, ему при-шлось пробежать 10 м по мосту навстречу полиции.

6. Потому, что сумма в 1977 долларов на 1 дол-лар больше суммы в 1976 долларов.

Ограбление века. Недостающие данные.

Если вам когда-нибудь приходилось иметь дело скассетным магнитофоном, то вы поймете, что еслибы Джонс остановил запись, когда Смит вошел вкомнату, то лента не была бы перемотана. Истинныйубийца несколько раз прослушал запись, чтобы убе-диться в правдоподобности звучания, а затем совер-шил роковую ошибку, перемотав ленту.

Аховы тесты. Аховы решения.

1. Чтобы картонная спичка упала на ребро, еенужно согнуть посредине.

2. Нужно осторожно подсыпать песок в канал дотех пор, пока он не наполнится доверху.

3. Сделайте на нити небольшую петлю, завязавее у основания, после чего перережьте петлю сбоку.

4. Отрезок шеста длиной в 20 см имеет продоль-ное сечение в форме прямоугольника 20 см X 5 см, и,

300

следовательно, им можно плотно заделать брешь вплотине.

5. Измерьте линейкой внутренний диаметр бутыл-ки и уровень жидкости в ней. Столб жидкости имеетформу цилиндра, поэтому объем его вычисляется безтруда. Переверните затем бутылку. Находящийсяв ней воздух образует другой цилиндр, объем которо-го вы также легко измерите. Сумма объемов даствам полный объем бутылки, после чего не составитникакого труда вычислить, какую часть объема зани-мает жидкость.

В кресле у парикмахера.Удивительные разгадки.

1. Сообразительный гонщик предложил всем участ-никам заезда обменяться машинами, после чего гон-ка проходила, как обычно: по условию, приз выигры-вал тот, чья машина придет последней. О том, чтобыгонщик был последним на финише, ничего не гово-рилось.

2. Достаточно поднести горящую спичку снизу кстакану с водой.

3. Действие происходило в кинотеатре, где зри-тели смотрят картины, не вылезая из своих машин.

4. Для этого проф. Квибблу достаточно выйти вдругую комнату и, встав на четвереньки, «вползти»обратно.

5. До начала встречи счет всегда бывает 0 :0 .6: Человек работал в городском магистрате в от-

деле регистрации бракосочетаний.7. Редкая птица была глухой.

Убийство в Солнечной долине.Билет в один конец.

1. Дежурный хирург был матерью мальчика.2. Француз поцеловал свою собственную руку,

после чего ударил нацистского офицера.

Сцена у фонтана. Видение в зеркале.

1. Раб Клеопатры перевернул шкатулку вверхДном и чуть сдвинул крышку ровно настолько, чтобыиз нее выкатились несколько бриллиантов.

2. Дама шла пешком.

301

Глава в. Словесные находки

Мини-кроссворд проф. Слога.Магические квадраты и анаграммы.

,Ответ на вопрос проф. Квиббла: из букв, образую-щих слова «волос на локон», можно составить слова«слово колонна».

Прямые люди. Честно и прямо-

2

4

Q

0

\\

2

1

ft

\ 2

? \

1

1

6

Kb

0!

/

0

\

9У

J

чto,

с

stу

'' 1

\

4

34

\

На рисунке показаны 11 частей, на которые 4 пря-мые делят квадрат, изображенный на рис. 5 в гл. 6,

Невразумительное объявление.Знаки и знаки препинания.

1— (2 — 3 + 4 - 5 ) + 6 = 9.

Слова прощания. Последние слова.1. Букву О. Слово АЙВА превратится в название

штата Айова.2. Все слова, кроме слова «родич», указывают на

пол своего «носителя».3. Это — первые буквы слов один, два, три, чеч

тыре.4« «Подвода», «надой».

зоз

Литература

Глава 1. КОМБИНАТОРНЫЕ НАХОДКИ

Общие сведенияВиленкни Н. Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969.Виленкин Н. Я- Популярная комбинаторика. — Мл Наука, 1975.

Игровые головоломкиДьюденн Г. Э. 520 головоломок, — Мл Мир, 1975, о. 184—188.Треугольник ПаскаляГарднер М. Математические иовеллы. — Мл Мир, 1974, гл. 17,Проверка на четностьГарднер М. Математические досуги. — М.: Мир, 1972, гл. 32.Определение фальшивых монет взвешиваниемЯглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация. — M.JНаука, 1973.

Фигуры полиминоГоломб С. В. Полимино. — М.: Мир, 1975.

Глава 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НАХОДКИ

Общие сведенияКокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — Мл Наука, 1966.

Исчисление конечных разностейГарднер М. Математические досуги. — Мл Мир, 1972, гл. 7.

Игровые головоломкиДьюдеин Г. Э. 520 головоломок. — Мл Мир, 1975, с. 184—188.

Винтовая линияГарднер М. Математические досуги. —Мл Мир, 1972, гл. 26.

Реп-плиткиГардиер М. Математические досуги. — Мл Мир, 1972, гл. 24.

Задачи на разрезаниеЛандгрен Г. Занимательные задачи на разрезание. — Мл Мир,1977.

Разрезание кубаГарднер М. Математические головоломки н развлечения.— M.SМир, 1971, гл. 3,

303

Глава 3. НАХОДКИ В МИРЕ ЧИСЕЛ

Общие сведенияОре О. Приглашение в теорию чисел. — М.: Наука, 1980.Мартышка и кокосовые орехиГарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.(Мир, 1971, гл. 24.

Китайская теорема об остаткахСерпинский В. О решении уравнений в целых числах. — M.JФизматгиз, 1961, с. 16—17.

Карточки для угадывания чиселГарднер М. Математические чудеса и тайны. — М.: Наука, 1964.Задачи на движениеДьюдени Г. Э. 520 головоломок. — М.: Мир, 1975.

Задачи с часамиДьюдени Г. Э. 520 головоломок. — М.: Мир, 1975.

Глава 4. ЛОГИЧЕСКИЕ НАХОДКИ

Общие сведенияВизам Д;, Герцег Я- Игра и логика. — М.: Мир, 1975.Визам Д., Герцег Я- Многоцветная логика. — М.: Мир, 1978.

Глава 5. ПРОЦЕДУРНЫЕ НАХОДКИ

Общие сведенияКнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, Т. 1. Основныеалгоритмы. — М.: Мир, 1976.

Магические квадратыГуревич Е. Я. Тайна древнего талисмана. — М.: Наука, 1969.Задача о честном разделеВизам Д., Герцег Я- Многоцветная логика. — М.: Мир, 1978.

Глава 6. СЛОВЕСНЫЕ НАХОДКИ

Общие сведенияФолсом Ф. Книга о языке. — М.: Прогресс, 1974.

Оглавление

От переводчика 5

Предисловие 7

Глава 1. КОМБИНАТОРНЫЕ НАХОДКИ 14Неожиданные решения на составление и перечисле-ние комбинаций

Глава 2. Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К И Е НАХОДКИ С5Неожиданные решения задач о геометрических телах ифигурах

Глава 3. НАХОДКИ В МИРЕ ЧИСЕЛ 118Неожиданные решения арифметических задач

Глава 4. Л О Г И Ч Е С К И Е НАХОДКИ 165Неожиданные решения' задач, требующих умения мыслитьпоследовательно

Глава б. П Р О Ц Е Д У Р Н Ы Е НАХОДКИ 212Неожиданные решения задач на исследование операций

Глава 6. СЛОВЕСНЫЕ НАХОДКИ 255Неожиданные решения различного рода задач о буквах,словах и предложениях

Ответы и решения 297

Литература 303