Upload
others
View
11
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Лекция 7
Тема: Произведение векторов
• Скалярное произведение векторов, свойства, координатное
выражение.
• Векторное произведение векторов, его свойства и координатное
выражение.
• Смешанное произведение векторов, свойства и координатное
выражение.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Скалярное произведение.
Определение. Скалярным произведением векторов �⃗� и �⃗⃗� называется
число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними:
𝑎⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ �⃗⃗� = |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑
Пр�⃗⃗��⃗⃗� = |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ⇒ �⃗� ⋅ �⃗⃗� = |�⃗�| ⋅ Пр
�⃗⃗��⃗⃗�.
Откуда:
Пр�⃗⃗��⃗⃗� =
�⃗� ⋅ �⃗⃗�
|�⃗�|
Свойства скалярного произведения:
1. �⃗� ⋅ �⃗⃗� = �⃗⃗� ⋅ �⃗� - коммутативность.
Доказательство: �⃗� ⋅ �⃗⃗� = |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = |�⃗⃗�| ⋅ |�⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = �⃗⃗� ⋅ �⃗�
2. 𝜆(�⃗� ⋅ �⃗⃗�) = 𝜆�⃗� ⋅ �⃗⃗� = �⃗� ⋅ 𝜆�⃗⃗� - ассоциативность.
Доказательство: при 𝜆 > 0
𝜆(�⃗� ⋅ �⃗⃗�) = 𝜆|�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = |𝜆�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = (𝜆�⃗�) ⋅ �⃗⃗�.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
3. сabaсba+=+ )( - дистрибутивность.
Доказательство: по определению
�⃗�(�⃗⃗� + с⃗) = |�⃗�| ⋅ Пр�⃗⃗�(�⃗⃗� + 𝑐) = |�⃗�| ⋅ (Пр
�⃗⃗��⃗⃗� + Пр
�⃗⃗�𝑐) =
= |�⃗�| ⋅ Пр�⃗⃗��⃗⃗� + |�⃗�|Пр
�⃗⃗�𝑐 = �⃗� ⋅ �⃗⃗� + �⃗� ⋅ 𝑐.
4. Теорема (критерий перпендикулярности (ортогональности)
векторов). Для того, чтобы два вектора были перпендикулярны,
необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение
равнялось нулю.
�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇔ �⃗� ⋅ �⃗⃗� = 0
Доказательство: если �⃗� ⊥ �⃗⃗�, то 𝜑 = 90° ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0 и
�⃗� ⋅ �⃗⃗� = |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0.
Наоборот, если �⃗� ⋅ �⃗⃗� = 0, то |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0, тогда один из
сомножителей равен нулю.
Если 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 0 ⇒ 𝜑 = 90° и �⃗� ⊥ �⃗⃗�, если |�⃗�| = 0, то �⃗� = 0⃗⃗ и его
направление любое, например, ⊥ �⃗⃗�. Если |�⃗⃗�| = 0, то �⃗⃗� = 0⃗⃗ -
аналогичный случай.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
�⃗�2 = |�⃗�|2
Доказательство: �⃗�2 = �⃗� ⋅ �⃗� = |�⃗�| ⋅ |�⃗�| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 0 = |�⃗�|2.
Для получения выражения для скалярного произведения двух
векторов через их координаты, заметим, что:
𝑖2 = 𝑗2 = �⃗⃗�2 = 1, 𝑖 ⋅ 𝑗 = 𝑖 ⋅ �⃗⃗� = 𝑗 ⋅ �⃗⃗� = 0.
Если �⃗� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧 �⃗⃗�, �⃗⃗� = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧 �⃗⃗�, то
�⃗� ⋅ �⃗⃗� = (𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧 �⃗⃗�)(𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧 �⃗⃗�)𝑥 =
= 𝑎𝑥𝑏𝑥𝑖2 + 𝑎𝑦𝑏𝑦𝑗
2 + 𝑎𝑧𝑏𝑧 �⃗⃗�2 + 𝑎𝑥𝑏𝑦𝑖 ⋅ 𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑦𝑏𝑧𝑗 ⋅ �⃗⃗� =
= 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧.
Окончательно, получим:
�⃗� ⋅ �⃗⃗� = 𝑎𝑥 ⋅ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ⋅ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ⋅ 𝑏𝑧
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Учитывая эту формулу и свойство 4 скалярного произведения,
получаем, что для перпендикулярности двух векторов необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство:
�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇔ 𝑎𝑥 ⋅ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ⋅ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ⋅ 𝑏𝑧 = 0
Из определения скалярного произведения получим формулу для
нахождения косинуса угла между двумя векторами:
𝑐𝑜𝑠 𝜑 =�⃗� ⋅ �⃗⃗�
|�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�|=
𝑎𝑥 ⋅ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ⋅ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ⋅ 𝑏𝑧
√𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦
2 + 𝑎𝑧2√𝑏𝑥
2 + 𝑏𝑦2 + 𝑏𝑧
2
Замечание. Знак 𝑐𝑜𝑠 𝜑 зависит только от знака числителя дроби, т.е.
перпендикулярность векторов, острый или тупой угол между
векторами – все это определяется знаком скалярного произведения.
Если �⃗� ⋅ �⃗⃗� > 0 ⇒ угол между �⃗� и �⃗⃗� острый, �⃗� ⋅ �⃗⃗� < 0 ⇒ этот угол
тупой, �⃗� ⋅ �⃗⃗� = 0 ⇒ �⃗� ⊥ �⃗⃗�.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Пример. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 с вершинами 𝐴(2; 1; −3), 𝐵(3; 3; 4), 𝐶(−5; 1; 7). Найти величину угла ВАС.
Решение:
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (3 − 2; 3 − 1; 4 − (−3)) = (1; 2; 7);
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−5 − 2; 1 − 1; 7 − (−3)) = (−7; 0; 10).
Запишем формулу скалярного произведения:
АВ→ ⋅ АС→ = |АВ→ | ⋅ |АС→ | ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑
АВ→ ⋅ АС→ = 1 ⋅ (−7) + 2 ⋅ 0 + 7 ⋅ 10 = 63,
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √12 + 22 + 72 = √54,
|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−7)2 + 02 + 102 = √149
Тогда
63 = √54 ⋅ √149 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 =63
√54 ⋅ √149⇒
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠63
√54 ⋅ √149
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Векторное произведение.
Определение. Три некомпланарных вектора �⃗�, �⃗⃗� и 𝑐, взятые в
указанном порядке, образуют правую (левую) тройку, с конца
вектора 𝑐 кратчайший поворот от первого вектора �⃗� ко второму
вектору �⃗⃗� виден совершающимся против часовой стрелки (по
часовой стрелке).
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Определение. Векторным произведением вектора �⃗� на вектор �⃗⃗�
называется вектор 𝑐, такой что:
1) вектор 𝑐 перпендикулярен перемножаемым векторам:
𝑐 ⊥ �⃗�, 𝑐 ⊥ �⃗⃗�;
2) векторы �⃗�, �⃗⃗� и 𝑐 образуют
правую тройку;
3) модуль вектора 𝑐 определяется
формулой:
|с⃗| = |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑,
где 𝜑 - угол между векторами �⃗� и �⃗⃗�.
Векторное произведение обозначается �⃗� × �⃗⃗�.
Свойства векторного произведения.
1. �⃗� × �⃗⃗� = −�⃗⃗� × �⃗� - антикоммутативность.
Доказательство: Из определения следует, что векторы �⃗� × �⃗⃗� и
�⃗⃗� × �⃗� имеют одинаковую длину: |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = |�⃗⃗�| ⋅ |�⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 и
противоположные направления.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
2. 𝜆(�⃗� × �⃗⃗�) = (𝜆�⃗�) × �⃗⃗� - ассоциативность.
Доказательство: Пусть 𝜆 > 0, вектор 𝜆(�⃗� × �⃗⃗�) имеет то же
направление, что и вектор �⃗� × �⃗⃗�. Вектор (𝜆�⃗�) × �⃗⃗� при 𝜆 > 0 имеет
то же направление. Длины этих векторов также совпадают:
|𝜆(�⃗� × �⃗⃗�)| = |𝜆| ⋅ |�⃗� × �⃗⃗�| = 𝜆|�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑,
|(𝜆�⃗�) × �⃗⃗�| = |𝜆�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 𝜆|�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑.
Аналогично проводится доказательство для случая 𝜆 < 0.
3. �⃗� × (�⃗⃗� + 𝑐) = �⃗� × �⃗⃗� + �⃗� × 𝑐 - дистрибутивность.
Без доказательства.
4. Теорема (критерий коллинеарности векторов). Для того чтобы
два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы
их векторное произведение равнялось нулю:
�⃗�‖�⃗⃗� ⇔ �⃗� × �⃗⃗� = 0
Доказательство: Если �⃗�‖�⃗⃗�, то 𝜑 = 0° ⇒ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 0 и �⃗� × �⃗⃗� = 0.
Наоборот, если �⃗� × �⃗⃗� = 0, то |�⃗�| ⋅ |�⃗⃗�| ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 0, следовательно, один
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
из сомножителей равен нулю. Если 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 0, то 𝜑 = 0° или 𝜑 = 𝜋 и
�⃗�‖�⃗⃗�, если |�⃗�| = 0, то �⃗� = 0⃗⃗ и его направление – любое, например,
параллельное �⃗⃗�. Если |�⃗⃗�| = 0, то �⃗⃗� = 0⃗⃗ - аналогичный случай.
5. Векторный квадрат равен нулю:
�⃗� × �⃗� = 0 Это свойство является следствием свойства 4.
Геометрический смысл векторного произведения:
Модуль векторного произведения равен площади
параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.
Для получения выражения векторного произведения двух векторов
через их координаты, используют все парные векторные
произведения единичных векторов 𝑖, 𝑗 и �⃗⃗�:
𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = �⃗⃗� × �⃗⃗� = 0,
𝑖 × 𝑗 = �⃗⃗�, 𝑗 × �⃗⃗� = 𝑖, �⃗⃗� × 𝑖 = 𝑗,
𝑗 × 𝑖 = −�⃗⃗�, �⃗⃗� × 𝑗 = −𝑖, 𝑖 × �⃗⃗� = −𝑗.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Тогда
�⃗� × �⃗⃗� = |𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑦 𝑏𝑧
| ⋅ 𝑖 − |𝑎𝑥 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑧
| ⋅ 𝑗 + |𝑎𝑥 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑏𝑦
| ⋅ �⃗⃗� = |𝑖 𝑗 �⃗⃗�𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧
|
�⃗� × �⃗⃗� = |𝑖 𝑗 �⃗⃗�𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧
|
Пример. Найти векторное произведение �⃗� × �⃗⃗� для векторов
�⃗� = 2𝑖 − 3𝑗 + �⃗⃗� и �⃗⃗� = −𝑖 + 𝑗 + 3�⃗⃗�.
Решение:
�⃗� × �⃗⃗� = |𝑖 𝑗 �⃗⃗�2 −3 1−1 1 3
| = 𝑖 |−3 11 3
| − 𝑗 |2 1−1 3
| + �⃗⃗� |2 −3−1 1
| =
= 𝑖(−9 − 1) − 𝑗(6 + 1) + �⃗⃗�(2 − 3) = −10𝑖 − 7𝑗 − �⃗⃗� = (−10;−7;−1).
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Пример. Вычислить площадь треугольника АВС, если 𝐴(1; 1; 1), 𝐵(1; 2; 3), 𝐶(−1; 2; 1).
Решение:
𝑆𝐴𝐵𝐶 =1
2|𝐴𝐵→ × 𝐴𝐶→ |. Так как 𝐴𝐵
→ = (1 − 1; 2 − 1; 3 − 1) = (0; 1; 2),
𝐴𝐶→ = (−1 − 1; 2 − 1; 1 − 1) = (−2; 1; 0), то
𝐴𝐵→ × 𝐴𝐶→ = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�0 1 2−2 1 0
| = 𝑖 |1 21 0
| − 𝑗 |0 2−2 0
| + �⃗⃗� |0 1−2 1
| =
= 𝑖(0 − 2) − 𝑗(0 + 4) + �⃗⃗�(0 + 2) =
= −2𝑖 − 4𝑗 + 2�⃗⃗�.
Тогда |𝐴𝐵→ × 𝐴𝐶→ | = √(−2)2 + (−4)2 + 22 = √4 + 16 + 4 = 2√6 и
𝑆𝐴𝐵𝐶 =1
2⋅ 2√6 = √6.
Пример. Упростить выражение:
𝑗 × 𝑖 + 3𝑗 × �⃗⃗� − 5�⃗⃗� × 𝑖 + (3𝑖 + 5𝑗 − �⃗⃗�) × (𝑖 − 6𝑗 + 5�⃗⃗�).
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Решение: 𝑗 × 𝑖 + 3𝑗 × �⃗⃗� − 5�⃗⃗� × 𝑖 + (3𝑖 + 5𝑗 − �⃗⃗�) × (𝑖 − 6𝑗 + 5�⃗⃗�) =
= −�⃗⃗� + 3𝑖 − 5𝑗 + |𝑖 𝑗 �⃗⃗�3 5 −11 −6 5
| =
= −�⃗⃗� + 3𝑖 − 5𝑗 + 𝑖(25 − 6) − 𝑗(15 + 1) + �⃗⃗�(−18 − 5) =
= −�⃗⃗� + 3𝑖 − 5𝑗 + 19𝑖 − 16𝑗 − 23�⃗⃗� =
= −�⃗⃗� + 3𝑖 − 5𝑗 + 19𝑖 − 16𝑗 − 23�⃗⃗� = 22𝑖 − 21𝑗 − 24�⃗⃗�.
Смешанное произведение.
Определение. Смешанным произведением трех векторов �⃗�, �⃗⃗� и 𝑐 называется число, равное скалярному произведению векторного
произведения первых двух векторов на третий вектор: (�⃗� × �⃗⃗�) ⋅ с⃗.
Найдем выражение для смешанного произведения трех векторов
через их координаты:
(�⃗� × �⃗⃗�) ⋅ с⃗ = |𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑦 𝑏𝑧
| ⋅ 𝑐𝑥 − |𝑎𝑥 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑧
| ⋅ 𝑐𝑦 + |𝑎𝑥 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝑏𝑦
| ⋅ 𝑐𝑧 =
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
= |
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧
|.
Таким образом, смешанное произведение равно определителю
третьего порядка, в строках которого стоят координаты
перемножаемых векторов.
Пользуясь свойствами определителя, можно показать, что:
(�⃗� × �⃗⃗�) ⋅ с⃗ = �⃗� ⋅ (�⃗⃗� × с⃗), т.е. знаки скалярного и векторного произведения в смешанном
произведении можно переставлять.
Поэтому смешанное произведение принято обозначать �⃗��⃗⃗�с⃗:
𝑎⃗⃗⃗ ⃗�⃗⃗�с⃗ = |
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧
|
Свойства смешанного произведения.
1. (�⃗��⃗⃗�с⃗) = (с⃗�⃗��⃗⃗�) = (�⃗⃗�с⃗�⃗�) = −(�⃗⃗��⃗�с⃗) = −(�⃗�с⃗�⃗⃗�) = −(𝑐�⃗⃗��⃗�).
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Чтобы запомнить эти равенства заметим, что при «циклической
перестановке» векторов (вектор передвигается на следующее место, а
последний – на первое) знак не меняется, а при перестановке двух
соседних векторов знак меняется.
2. Геометрический смысл смешанного произведения:
Модуль смешанного произведения равен объему
параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах.
𝑉 = |�⃗��⃗⃗�с⃗|
3. Теорема (критерий компланарности векторов). Для того чтобы
три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их
смешанное произведение равнялось нулю: �⃗��⃗⃗�с⃗ = 0.
|
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧
| = 0.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Пример. В пирамиде 𝐴𝐵𝐶𝐷 с вершинами 𝐴(10,7,1), 𝐵(7,10,0), 𝐶(1,10,7), 𝐷(7,1,17) найти: а) угол между ребрами 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷; б) объем
пирамиды.
Решение.
а) Найдем векторы 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ и 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ в координатах. Напомним, что для этого
следует из координат конца вектора вычесть координаты начала:
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = ( 7 − 10,10 − 7,0 − 1) = (−3,3, −1),
𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ( 7 − 10,1 − 7,17 − 1) = (−3,−6,16).
2516)1()6(3)3()3( −=−+−+−−= ADAB
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √(−3)2 + 32 + (−1)2 = √19,
|𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √(−3)2 + (−6)2 + 162 = √301.
Подставляем в формулу скалярного произведения:
𝐴𝐵→ ⋅ 𝐴𝐷→
= |𝐴𝐵→ | ⋅ |𝐴𝐷→ | ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ⇔ −25 = √19√301 𝑐𝑜𝑠 𝜑,
откуда
𝑐𝑜𝑠 𝜑 = −25
√19√301≈ ~ − 0.330, 𝜑 ≈ 1.907.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
б) Объем пирамиды равен одной шестой от объема параллелепипеда,
построенного на векторах 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ .
Объем параллелепипеда можно вычислить как модуль смешанного
произведения 𝐴𝐵→ ⋅ 𝐴𝐶→ ⋅ 𝐴𝐷→
.
Так как 𝐴𝐶→ = (1 − 10; 10 − 7; 7 − 1) = (−9; 3; 6), то имеем:
𝐴𝐵→ ⋅ 𝐴𝐶→ ⋅ 𝐴𝐷→
= |−3 3 −1−9 3 6−3 −6 16
| =
= −3(48 + 36) − 3(−144 + 18) − (54 + 9) = 63.
Следовательно, 𝑉 =1
6⋅ 63 =
21
2.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.