Embed Size (px)
Citation preview
Лекция 5
Тема: ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Однородная система линейных алгебраических уравнений
Пусть дана однородная система линейных уравнений:
=+++
=+++
=+++
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
(1)
или в матричной форме: ОXA = .
Однородная система всегда совместна, так как существует тривиальное решение:
0...21 ==== nxxx .
Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет
• единственное (тривиальное) решение тогда и только тогда, когда ранг
матрицы системы равен числу неизвестных: nAr =)( ;
• хотя бы одно нетривиальное решение (а на самом деле, бесконечное
множество нетривиальных решений) тогда и только тогда, когда ранг
матрицы системы меньше числа неизвестных: nAr )( .
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Замечание. Если число уравнений однородной системы меньше числа
неизвестных ( nm ), то система имеет нетривиальные решения.
Теорема. Если число уравнений однородной системы равно числу неизвестных
( nm = ), то нетривиальные решения существуют тогда и только тогда, когда
определитель системы 0== A .
Определение. Частным решением СЛАУ будем называть матрицу-столбец
значения неизвестных
=
0
0
2
0
1
0
...
nx
x
x
X , при подстановке которого в соответствующее
СЛАУ матричное уравнение, получается тождество.
Определение. Совокупность всех частных решений СЛАУ называется общим
решением системы.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Определение. Решения 1 , 2 ,…, n называются линейно зависимыми, если
существуют такие константы 1 , 2 ,…, n что выполняется следующее равенство:
Onn =+++ 2211
при условии, что среди коэффициентов i есть хотя бы один, не равный нулю.
Если же указанное выше равенство возможно лишь при
условии 021 ==== n , то система решений 1 , 2 ,…,
n называется линейно независимой.
Пусть ранг матрицы системы однородной СЛАУ равен r ( rAr =)( ).
Значит, есть хотя бы один минор порядка r , который не равен нулю.
Это - базисный минор. При этом все миноры, порядок которых выше r , равны
нулю или не существуют.
Если коэффициенты при r переменных совместной СЛАУ образуют базисный
минор матрицы системы А, то эти r переменных называют базисными.
Остальные rn − переменных - свободными.
Решение СЛАУ, в котором все свободные переменные равны нулю,
называется базисным.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Свойства решений однородной СЛАУ:
1. Сумма решений однородной СЛАУ (1) также является ее решением.
2. Произведение решения однородной СЛАУ (1) на любое число также является
решением этой системы.
Доказать свойства самостоятельно, используя матричную запись системы (1).
Замечание. Любая линейная комбинация решений однородной СЛАУ также
является решением однородной системы.
Теорема. Если ранг матрицы системы однородной СЛАУ равен r , то такая СЛАУ
имеет rn − линейно независимых решений: 1 , 2 ,…, rn− .
Определение. Любая совокупность rn − линейно независимых решений
однородной СЛАУ называется фундаментальной системой решений
(ФСР) данной СЛАУ.
Фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная
система может иметь разные фундаментальные системы, состоящие из rn −
линейно независимых решений.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПОАЛГЕБРЕ ИГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Теорема (об общем решении однородной системы). Если решения 1 , 2 ,…, rn−
образуют фундаментальную систему решений, то общее решение однородной
СЛАУ имеет вид:
rnrnOO CCCX −−+++= 2211 ,
где 1С , 2С ,…, rnС − – произвольные постоянные.
Таким образом, любое решение однородной линейной системы (1) является
линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений.
Рассмотрим неоднородную СЛАУ:
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
(2)
или в матричной форме: BXA = .
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Свойства решений неоднородной СЛАУ:
1. Сумма некоторого частного решения однородной системы (1) и некоторого
частного решения неоднородной системы (2) является частным решением
неоднородной системы (2).
Действительно, если X - частое решение системы (1), Y - частое решение
системы (2), то BBOYAXAYXA =+=+=+ )( .
2. Разность двух частных решений неоднородной системы (2) является частным
решением однородной системы (1).
Если X и Y - частные решения системы (2), то
OBBYAXAYXA =+=−=− )( .
Теорема (об общем решении неоднородной системы). Общее решение
неоднородной системы (2) представляет собой сумму общего решения
соответствующей однородной системы (1) и частного решения системы (2):
ЧОООН XXX +=
Если решения 1 , 2 ,…, rn− образуют фундаментальную систему решений, то
общее решение неоднородной СЛАУ имеет вид:
ЧrnrnOН XCCCX ++++= −− 2211 ,
где 1С , 2С ,…, rnС − – произвольные постоянные.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Пример 1. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для
системы уравнений:
{
3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 + 2𝑥4 + 7𝑥5 = 0,6𝑥1 + 4𝑥2 + 7𝑥3 + 4𝑥4 + 5𝑥5 = 0,3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 − 11𝑥5 = 0,6𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 4𝑥4 − 13𝑥5 = 0.
Решение:
~
180600
180600
90300
72523
~
134146
112123
54746
72523
2I-III - IIIII - IV
−−
−−
−−
−
−−=
A
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
−− −−−
30100
72523~
00000
00000
90300
72523
~3)(:II2IIIV
2IIIII
Ранг матрицы коэффициентов 2)( =Ar , а количество неизвестных равно 5.
Следовательно, система уравнений имеет бесчисленное множество решений.
Запишем эквивалентную систему:
=+
=++++
.03
,072523
53
54321
xx
xxxxx
В качестве базисных неизвестных выбираем переменные 1x и 3x , тогда
свободными будут 2x , 4x и 5x .
Выразим базисные через свободные:
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
−=
+−−=
.3
,3
8
3
2
3
2
53
5421
xx
xxxx
Запишем решение
=
=
−=
=
+−−=
.
,
,3
,
,3
8
3
2
3
2
55
44
53
22
5421
xx
xx
xx
xx
xxxx
Общее решение системы можно записать в виде:
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
−+
−
+
−
=
=
1
0
3
03
8
0
1
0
03
2
0
0
0
13
2
542
5
4
3
2
1
xxx
x
x
x
x
x
X .
Фундаментальной системой решений исследуемой однородной системы
являются матрицы-столбцы:
−
=
0
0
0
13
2
1 ,
−
=
0
1
0
03
2
2 ,
−=
1
0
3
03
8
3 .
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Проверка:
=
−
−
−−=
0
0
0
0
0
0
0
0
13
2
134146
112123
54746
72523
1A ,
=
−
−
−−=
0
0
0
0
0
0
1
0
03
2
134146
112123
54746
72523
2A ,
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
=
−
−
−−=
0
0
0
0
0
1
0
3
03
8
134146
112123
54746
72523
3A .
Тогда общее решение системы имеет вид:
−+
−
+
−
=
1
0
3
03
8
0
1
0
03
2
0
0
0
13
2
321 CCCXОО ,
где 1С , 2С и 3С - произвольные действительны числа.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
Пример 2. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для
системы уравнений:
{
6𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 + 4𝑥5 = 5,4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 3𝑥5 = 4,4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 + 𝑥5 = 0,2𝑥1 + 𝑥2 + 7𝑥3 + 3𝑥4 + 2𝑥5 = 1.
Решение:
( ) ~
1
4
2
1
23712
20200
141300
11112
~
1
0
4
5
23712
12324
32124
43236
2IV-IIII - III
II - I
−−
−−−
=
BA
~
12
2
24
1
72000
10100
144000
11112
~
0
2
2
1
12600
10100
141300
11112
~6III-IV13IIIII
IIV2:III
−
−
−
−−
−−
−−− +
−
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
−−
−−
+
12
2
1
72000
10100
11112
~
12
2
0
1
72000
10100
00000
11112
~2IVII
.
Тогда 3)()( == BArAr , а количество неизвестных равно 5. Таким образом,
система имеет бесчисленное множество решений.
Запишем эквивалентную систему:
=+
−=−
=++++
.1272
,2
,12
54
53
54321
xx
xx
xxxxx
В качестве базисных неизвестных выбираем переменные 1x , 3x и 4x , тогда
свободными будут 2x и 5x .
Выразим базисные через свободные:
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
+−=
−=
−+−=
.62
7
,2
,2
3
4
3
2
1
54
53
521
xx
xx
xxx
Запишем решение
=
+−=
−=
=
−+−=
.
62
7
,2
,2
3
4
3
2
1
55
54
53
22
521
xx
xx
xx
xx
xxx
Общее решение системы можно записать в виде:
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
−
−
+
−
+
−
=
=
0
6
2
02
3
12
71
04
3
0
0
0
12
1
52
5
4
3
2
1
xx
x
x
x
x
x
X или
−
−
+
−
+
−
=
0
6
2
02
3
12
71
04
3
0
0
0
12
1
21 ССXОН ,
где 1С и 2С - произвольные действительны числа.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
−
+
−
=
12
71
04
3
0
0
0
12
1
21 ССXОО ,
−
−
=
0
6
2
02
3
ЧX
Фундаментальной системой решений соответствующей однородной системы
являются матрицы-столбцы:
−
=
0
0
0
12
1
1 ,
−
=
12
71
04
3
2 .
Проверка:
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
=
−
=
0
0
0
0
0
0
0
12
1
23712
12324
32124
43236
1A ,
=
−
=
0
0
0
0
12
71
04
3
23712
12324
32124
43236
2A .
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
ВXA Ч =
=
−
−
=
1
0
4
5
0
6
2
02
3
23712
12324
32124
43236
Ответ:
−
−
+
−
+
−
=
0
6
2
02
3
12
71
04
3
0
0
0
12
1
21 ССXОН ,
где 1С и 2С - произвольные действительны числа.
РТУ-МИРЭА
КАФЕДРА ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА-
2
ЛЕКЦИИ
ПО АЛ
ГЕБРЕ И
ГЕОМЕТРИИ
ГОРШУНОВА Т
.А.
