189

(1تطبيقات التكامل المحدد في الهندسة والميكانيك)

ندرس في هذه المحاضرة بعض تطبيقات حساب التكامالت المحدد في الهندسة والميكانيك ألهميتها الخاصة،

، ومنها حساب مساحة السطوح المستوية المكتوبة بالشكل وتبرز هذه األهمية في التطبيقات العملية المباشرة

الديكارتي، والوسيطي، والقطبي وأيضا حساب أطوال المنحنيات.

حساب مساحة السطوح المستوية -13.1

حساب المساحة باإلحداثيات الديكارتية: -13.1.1

]دالة متصلة على الفترة fإذا كانت نظرية: , ]a b عندئٍذ المساحةA للمنطقةD المحصورة بين منحني

x,الدالة ومحور السينات والمستقيمين a x b :تعطى بالعالقة

( ) (1)b

aA f x dx

:وهنا نناقش الحاالت اآلتية

)ت( إذا كان1 ) 0f x فإن المنحني يكون فوق محور السينات وتكون قيمة التكامل موجبة وهي المساحة

(.1) في الفعلية كما

)( إذا كانت2 ) 0f x فإن المنحني يكون تحت محور السينات وقيمة التكامل تكون سالبة لذلك تعطى

المساحة بالعالقة:

( ) (2)b

aA f x dx

)( إذا كانت3 ) 0f x وبآن واحد( ) 0f x أي المنحني يكون في فترات معينة فوق محور السينات وفي

فترات أخرى تحت محور السينات وقيمة التكامل تأخذ قيم موجبة وسالبة وال تعطي المساحة الفعلية

(2ات تحت المنحني بإشارة موجبة كما في العالقة )المطلوبة لذلك نجمع المساح

cosyأوجد المساحة بين منحني الدالة :)1(مثال x :وبين

1- , 02

x x

.2 ومحور السينات- 3

,2 2

x x

.ومحور السينات

الثالثة عشرالمحاضرة

190

3- 3

2 ,2

x x

2 -4 ت.ومحور السينا , 0x x .ومحور السينات

:الحل

2 2

1 00cos sin 1A xdx x

3

2

2 2

3

22 2cos sin 2 2 2A xdx x A

33

22

2 2

3 cos sin 0 ( 1) 1A xdx x

2 2

4 00cos sin 0 0 0A xdx x

( 3)و (2)و (1) ( إن التكامل يساوي الصفر وهو المجموع الجبري لقيم التكامالت في4نالحظ في الحالة )

العتبار بأن تأخذ بالرغم من أن المساحة لها قيمة غير صفرية وهي مجموع المساحات الثالثة بعد األخذ بعين ا

المساحة التي تقع تحت محور السينات بالقيمة الموجبة وبالتالي المساحة الفعلية

1 2 3 1 2 1 4A A A A

191

المستقيمات:احسب المساحة المحصورة بين :(2)مثال

91

2 2; 0 , 1y x y x

أن: وحدة مربعة، لوجدنا A: إذا رمزنا للمساحة المحصورة بين المستقيمات المفترضة بالرمز الحل

92

9

11

1 9 916

2 2 4 2

xA x dx x

0yاحسب المساحة المحصورة بالمستقيمات :)3(مثال ،1x 3وx وبالمنحني ،

212

y x.

:: تعطى المساحة المحصورة بالمستقيمات السابقة والمنحني السابق، والموضحة بالشكل بالعالقةالحل

وحدة مربعة

32 3 3

11

1 1 13[ ]

2 6 3A x dx x

212

y x

x

y

1 3

xاحسب مساحة القطع الناقص الذي معادلته: :)4( مثال

2 2

2 21

x y

a b

الحل: بما أن القطع الناقص متناظر بالنسبة للمحاور اإلحداثية، لذلك يكفي

.4حساب مساحة الجزء الواقع في الربع األول، وضرب الناتج بـ

x

x

y

aa

b

b

192

الشكل اآلتي:تعطى مساحة القطع الناقص ب 0

4a

A ydx

من معادلة القطع الناقص، نجد:

2 2by a x

a الجزء الواقع في الربع األول((

2 2

04

a bA a x dx

a

sinxبحل هذا التكامل بتغير المتحول بشكل مثلثي، بفرض أن a t:فنجد ،

وحدة مربعة 24

4

b aS ab

a

2لنعالج اآلن طريقة حساب مساحة الشكل الهندسي المحدد بمنحنيين :مالحظة 2( )y f x من األعلى، و

1 1( )y f x من األسفل، وبالمستقيمينx a وx bحيث ،

[ , ]x a b 1 20 ( ) ( )f x f x .

y

A

1A

1B

B

a bx

1( )f x

2 ( )f x

:تعطى المساحة في هذه الحالة بالعالقة

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 3b b b

a a aA f x dx f x dx f x f x dx

193

2yاحسب مساحة السطح المحصور بين المنحيين :)5(مثال x 2وx y.

x

y

A

1

1

، حيث أنه في A(1,1)، وفي النقطة )0,0(إن المنحنيين قطعان مكاف ان يتقاطعان في نقطة األصل :الحل

يكون [0.1]المجال 2x x

عندئذ، يكون:

13

12 3/ 2

00

2 2 1 1( )

3 3 3 3 3

xA x x dx x

3yسطح المحصور بين المنحين احسب مساحة ال :)6(مثال x 2والمستقيمy x.

x

y

3y x 2y x

2y: إن المنحني المفروض يقطع المستقيم الحل x 3في النقاط التي تعطى فواصلها بالمعادلة 2x x ،

0xنجد ومنه 2وx وبسبب تناظر المنحني بالنسبة لنقطة األصل ، يكفي أن نحسب جزء من السطح .

,0]، ومجال التكامل هو 2في الربع األول، ثم نضرب الناتج بـ 32x، حيث [2 x يكون:. في هذا المجال

وحدة مربعة

24

23 2

00

2 (2 ) 2 2(2 1) 24

xS x x dx x

194

yبطريقة مشابهة يمكن حساب مساحة األشكال الهندسية المحدودة بالمستقيمات :)1(مالحظة c ،y d و

0x والمنحني ،( )x y تمر على المجال المعرف والمس[ , ]c d ] وتعطى المساحة في )]8(انظر الشكل .

هذه الحالة بالشكل:

d

cA xdy

، وبالقطع المكافئoyاحسب مساحة الشكل الهندسي المحدد بالمحور :)7( مثال22x y y كما في

:الشكل

y

x

2

: تعطى المساحة المطلوبة بالدستور:الحل

d

cA xdy

في النقطتين oy، فنجد أن المنحني يقطع المحور oyلتحديد مجال التكامل، ندرس تقاطع المنحني مع المحور

0y 2وy اآلتي: . وتصبح المساحة المطلوبة بالشكل

وحدة مربعة

23

2 2

0

8 4(2 ) 4

3 3 3

d

c

yA y y dy y

:حساب المساحة بالصورة البارامترية )الوسيطية( -13.1.2

:عندما يكون المنحني معطى برامتريا )وسيطيا ( بالمعادالت

( ) , ( ) ,x t y t t

( تعطى بالشكل اآلتي:1فإن المساحة المعطاة بالعالقة )

( ) ( ) ( ) 4b

aS f x dx t t dt

195

:أوجد المساحة تحت منحني السيكلوئيد الذي معاددلته الوسيطية: (8)مثال

, 0 2t sin , 1 cosx t t y t

( 4بالتعويض في العالقة ) :الحل

2 22

0 0(1 cos )(1 cos ) (1 cos )A t t dt t dt

2 22

0 0

1 cos2(1 2cos cos ) (1 2cos )

2

tt t dt t dt

2 2 2 2

0 0 0 0

1 12sin sin 2 3

2 4t t t t

احسب مساحة القطع الناقص المعطى بالمعادلتين الوسيطيتين :(9)مثال

sin , cosy b t x a t t

إلى 0من tيكون حساب المساحة في الربع األول عندما تتحول :الحل2

4ونضرب الناتج بـ

22 21

0 0sin . sin sinA b t a t dt ab t dt

2

0

1 cos 2

2 4

t abab dt

14A ومنه: A ab

aإذا أخذنا :مالحظة b r طيا تحصل على المعادلتين الوسيطيتين لدائرة وتكون مساحة الدائرة وسي

. هي2A r

:حساب المساحة بالصورة القطبية )اإلحددثيات القطبية (-13.1.3

)عادلة منحني باإلحداثيات القطبيةتعطى م , )r بالعالقات

( ) ,r r

196

)حيث يمثل الزوج , )r زواج إحداثيات نقطة في المستوي القطبي وكل نقطة تتعين بعدد غير منته من األ

)المرتبة وهو , 2 )r n حيثn عدد صحيح بينما في اإلحداثيات الديكارتية تتعين كل نقطة بزوج

واحد فقط.و مرتب واحد

التي احداثياتها pبفرض أن مبدأ اإلحداثي الديكارتي ينطبق على مبدأ االحداثي القطبي ولننظر إلى النقطة

)الديكارتية هي , )x y والقطبية هي( , )r فنجد أن

cos , sinx y

r r

cos , sinx r y r

ومنه2 2 2x y r أي أن

2 2r x y

وبالعكس وذلك حسب بيةوهذا يعني أنه يمكننا بسهولة االنتقال من اإلحداثيات الديكارتية إلى اإلحداثيات القط

العالقات السابقة.

)تعطى مساحة السطح المحدد بقوس المنحني )r r :بالعالقة

21( ) (5)

2A r d

ية: المعطى بمعادلته القطب القلبي )الكارديوئيد(أوجد المساحة المحددة بالمنحني :(10)مثال

(1 cos ) ; 0 2 ; 0r a a

:( نجد5حسب العالقة ) :الحل2

2 2

0

1(1 cos )

2A a d

2

2 2

0

1(1 2cos cos )

2a d

22

0

1 cos 2(1 2cos )

2 2

ad

22 2

0

3 1 32sin sin 2

2 2 4 2

a a

197

والذي معادلته القطبية بمنحني برنولياحسب المساحة المستوية المحدودة :)11( مثال

2 2 cos2r a ملك الشكل اآلتيوالمنحني ي:

أو .لواحدةنحسب مساحة عقدة واحدة من عقدتي برنولي وتكون المساحة الكلية ضعف مساحة العقدة ا :الحل

14A :أي أن 4نحسب مساحة نصف العقدة الواحدة ونضرب الناتج بـ A.

وحدة مربعة :حيث

2 24 42 2

41 0

0 0

1 1( ) cos2 sin 2

2 2 4 4

a aA r d a d

ومنه2

14A A a .

حساب أطوال المنحنيات:-13.2

بداية، إذا عدنا بمعلوماتنا إلى ما تعلمناه في المرحلة الثانوية، عندما حسبنا طول محيط دائرة، عندها نظرنا

إلى هذا الطول أنه طول مضلع منتظم مرسوم داخل الدائرة، وذلك عندما يزداد عدد أضالع هذا المضلع إلى

الالنهاية.

، ونريد ن، سنعمم هذه المعلومات من أجل حساب طول قوس منحن. فإذا كان لدينا قوس المنحني اآل

قوس بوساطة النقاط nإلى Bو Aحساب طوله، فإننا سنقسم بشكل عشوائي القوس بين النقطتين

)13-الشكل كما في ، ثم نصل بين هذه النقاط، فنحصل على مضلع مرسوم داخل هذا القوس

1).

x

(1-13)لشكل ا

AB

1 2 1, , , nA A A

2A

3A

A

1nA

1A

B

198

x يسعى إلى نهاية محددة، عندما أطول هذه األضالع ينتهي إلى فإذا كان طول الضلع

، أي أن:الصفر، وكانت هذه النهاية ال تتعلق باختيار الضلع فإننا نسمي هذه النهاية بطول القوس

أطول أضالع المضلع. حيث

:تيةحساب طول منحني معطى بمعادلته الديكار-13.2.1

، وكانت ، حيث قوسا منحنيا معطى بالمعادلة الديكارتية ABبفرض :مبرهنة

)6( ، فإن طول هذا القوس يعطى بالعالقة:ومشتقها األول مستمرين في جميع نقاط المجال

لنقاط بوساطة ا ولنقسم القوس x.)13-2(كما في الشكل ليكن الخط البياني للدالة :البرهان

بحيث قسم، ولنفرض أن فواصل هذه النقاط هي على الترتيب nإلى

يكون:

(2-13)الشكل

، وحسب قانون طول قطعة مستقيمة و طول القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين إذا فرضنا أن

تصل بين نقطتين معلومتين، يكون:

، فإن:في جميع نقاط المجال ومشتقها األول مستمرين وبفرض أن الدالة

1 2 1, , nAA A A B

AB

1 2 10

lim , , nAB AA A A B

( )y f x[ , ]x a b( )f x

[ , ]a b

21 [ ( )]b

af x dx

( )y f xAB

1 2 3 1, , , , nA A A A 1 2 3 1, , , , nx x x x

0 1 2 1n na x x x x x b

2A

A 1nA

1AB

y

xa 1x 2x 1nx b

iA1iA

2 2 2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]i i i i i i i i ix x y y x x f x f x

( )f x[ , ]a b

199

وبالتعويض، نجد:

بجمع هذه األقواس، نجد

: أن

إلى وبأخذ نهاية الطرفين، وذلك عندما ينتهي عدد التقسيمات إلى ما النهاية، وعندما ينتهي أطول األضالع

الصفر، نجد أن:

وحسب تعريف التكامل المحدد، نجد أن:

ونصف قطرها الواحد. 0احسب طول محيط دائرة مركزها :(12) لمثا

ونصف قطرها الواحد هي: 0: إن معادلة الدائرة التي مركزها الحل

، ولذلك نالحظ 4. وسوف نحسب محيط ربع الدائرة، ومن ثم نضرب الناتج بـ وهذا يعني أن

أن معادلة ربع الدائرة تأخذ الشكل:

، نجد أن:وحسب المبرهنة السابقة

:، فنجد أننحسب

وبالتالي، يكون طول محيط الدائرة:

1 1 1( ) ( ) ( )( ); ,i i i i i i i if x f x f c x x c x x

2 2 2

1 1 1( ) ( ) ( ) 1 ( )i i i i i i i ix x y y x x f c

2

1

1 1

1 ( )( )n n

i i i i

i i

f c x x

21 ( )b

af x dx

2 2 1x y

21y x

21 ,0 1y x x

12

04 1 y dx

y

200

.aإلى النقطة التي فاصلتها )0,0(من الرأس احسب طول قوس القطع المكافئ :)13( مثال

: إن طول القوس المطلوب يعطى بالعالقة:الحل

:حساب طول منحني معطى بمعادالته الوسيطية-13.2.2

ABرهنة السابقة يمكن تعميمها من أجل حساب طول قوس منحني معطى وسيطيا. فإذا كان المنحني إن المب

:معطى بالمعادالت الوسيطية اآلتية

، فإن الدستور الذي يعطي ، وأن وبفرض أن لهاتين الدالتين مشتقات مستمرة على المجال

يصبح بالشكل اآلتي: ABطول قوس المنحني

)7(

. يمكن استخدام العالقة Bقيمة الوسيط المقابلة لنقطة النهاية ، وAقيمة الوسيط المقابلة لنقطة البداية حيث

السابقة في الحاالت التي يكون فيها المنحني مغلقا كطول قوس الدائرة، أو طول قوس القطع الناقص، وغير ذلك.

، ونصف قطرها الواحد.(0,0)اإلحداثيات احسب طول محيط الدائرة التي مركزها مبدأ :(14) مثال

إن المعادالت الوسيطية للدائرة هي: :الحل

، و

ويكون طول محيط الدائرة:

وحدة طول

2y x

2 2 2

0 0

14 1 4 1 4 2 1 4 ln 2 1 4

4

a a

l y dx x dx a a a a

0 a

1 2[ , ]t t( ) 0t

2

1

2 2t

t tt

x y dt

1t2t

cosx tsiny t0 2t

2 2 2 22 2 2 2

00 0 0sin cos 2t tx y dt t tdt dt t

201

:حساب طول منحني معطى بمعادالته القطبية-13.2.3

بالشكل القطبي: ABلنعالج اآلن الحالة التي يعطى فيها منحني القوس

،

، وAالمقابلة للنقطة قيمة الوسيط ، وا األول مستمران على المجال ومشتقه حيث الدالة

. يمكن التعبير عن العالقات التي تربط اإلحداثيات الديكارتية باإلحداثيات Bقيمة الوسيط المقابلة للنقطة

القطبية بالشكل اآلتي:

، عندئذ، يمكن كتابتها كما يلي:وبما أن

، بالشكل من المنحني المعطى قطبيا بالمعادلة ABطي طول القوس ويصبح الدستور الذي يع

)8( اآلتي:

احسب طول قوس منحني الحلزون اللوغاريتمي: :)15( مثال

.و المحصور بين نصفي القطرين الشعاعيين

إن طول قوس المنحني المطلوب يعطى بالعالقة: :الحل

تمارين محلولة -13.3

احسب مساحة السطح المحصور بين الدائرة :)1( نتمري2 2 4x y px والقطع المكافئ ،

2 2y px.

الحل: إن الدائرة تقطع القطع في النقاط التي تعطى فواصلها بالمعادلة:

2 2 4 2 ; 0x px px x p x

( )r f

( )f [ , ]

cos ; sinx r y r

( )r f ( )cos ; ( )sinx f y f

( )r f

2 2r r d

, 0, 0ar ce a c

202

o x

y

بالنسبة لمحور السينات يكفي أن نحسب مساحة السطح الموجود في الربع األول، ثم نضرب وبسبب تناظر الشكل

0,2]، ويكون مجال التكامل 2الناتج بـ ]p وبمالحظة أن ،24 2px x px :نكتب ،

2

2

0

2 22

0 0

2 4 2

2 4 2 2

p

p p

A px x px dx

px x dx p x dx

من أجل حساب التكامل األول، نفرض أن:

2 2 cos 2 sinx p p dx p d

20أما حدود التكامل، نجد أن: ; 2x x p :بالتعويض، نجد ،

22 2 3\2

0/ 2

2 3

2

44 sin 2

3

44 (1 cos 2 ) 2 ( 2 )

3

p

A p d p x

p d p p

وحدة مساحة

22 213 6 16

23 3

pp p

:أوجد المساحة المحصورة بين المنحنيين :(2)تمرين

2y x 2 وy x

2y نوجد نقاط التقاطع للمنحنيين وذلك بحل المعادلتين :الحل x 2 وy x

203

)فنجد أنه توجد نقطتا تقاطع هما 1,1) ( يكون3وبالتالي حسب العالقة ) (2,4)و:

وحدة مربعة2

22 2 3

11

1 1( 2) 2 4.5

2 3A x x dx x x x

xyاحسب مساحة السطح المحصور بين منحني الدالتين :)3(تمرين e وcosy x 0، والمستقيمينx

/و 2x .

xy e

xنالحظ أن الحل :cosxe x 0]ضمن المجال, / 2]:وتعطى المساحة المطلوبة بالعالقة ،

/ 2/ 2

00

( cos ) [ sin ]x xS e x dx e x

وحدة مساحة / 2 /21 (1 0) 2e e

:أوجد المساحة المحصورة بين المنحنيين :(4)تمرين

2y x 2 وy x

2y نوجد نقاط التقاطع للمنحنيين وذلك بحل المعادلتين :الحل x 2 وy x

)فنجد أنه توجد نقطتا تقاطع هما 1,1) ( يكون3وبالتالي حسب العالقة ) (2,4)و:

وحدة مربعة2

22 2 3

11

1 1( 2) 2 4.5

2 3A x x dx x x x

:أوجد المساحة المحددة بالقطعين المكاف ين :(5)تمرين

2 2y x x و 26y x x

(0,0)و (4,8)إن نقاط التقاطع هي :الحل

204

:والمساحة المطلوبة

وحدة مساحة

44

2 2 3

00

2 64(8 2 ). 4

3 3A x x dx x x

28أوجد المساحة بين القطع :)6(تمرين 2x y y 1والمحور العادي والمستقيمين , 3y y

.

3 32

1 1( ) (8 2 )A g y dy y y dy

3

2 3

1

1 928

3 3y y y

وحدة مساحة

.، حيث احسب طول االستروئيد :)7(مثال

. وهو متناظر بالنسبة للمحاور اإلحداثية، لذلك يكفي (3-13)اني للمنحني هو كما في الشكل : إن الخط البيالحل

.، نجد أن، ومن أجل 4حسابه في الربع األول، وضرب الناتج بـ

(3-13)الشكل

عندئذ، يمكن أن نكتب:

2/3 2/3 2/3y x a 0a

0y x a

a a0

a

a

y

x

205

وبالتالي فإن الطول المطلوب يساوي:

وحدة طول

، الذي يعطى وسيطيا بالمعادلتين اآلتيتين:يد احسب طول االستروئ:)8(مثال

و

تمرين السابق أن هذا المنحني متناظر بالنسبة للمحاور اإلحداثية، لذلك يكفي حسب طول الكما وجدنا في :الحل

0من t، وحتى يتم رسم هذه القطعة، ينبغي أن تتحول 4قطعته الموجودة في الربع األول، ثم نضرب الناتج بـ

عندئذ: .إلى

.احسب طول المنحني :)9(مثال

، وذلك فطول إلى 0من : حتى يتم رسم هذا المنحني المغلق مرة واحدة يكفي أن تتحول الحل

المنحني المطلوب يكون:

2/31/3 1/3 2/3

0

34 6 6

2

a

xa a a a

2/3 2/3 2/3y x a

3cosx a t3siny a t

/ 2

/ 2 / 22 2 2 4 2 2 2 4

0 04 9 cos sin 9 cos sint tx y dt a t t a t tdt

(1 cos )r a

2

206

:، لذلك يمكن كتابة التكامل السابق بالشكل اآلتييغير إشارته في المجال إن الدالة

ررإضافـات مـدرس المقـ

cos / 2[0,2 ]