1. 静矩C

x

y

dA

xC

x

yC

y

O

Ay

Ax

xdAS

ydAS

附录 I 平面图形的几何性质§I1 截面的静矩和形心的位置

2. 形心

A

Axx

A

Ayy

AC

AC

d

d

3. 形心与静矩的关系

AxS

AyS

A

Sx

A

Sy

Cy

Cx

yC

xC

或

图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。

例 I1 求图示半径为 r 的半圆形对其直径轴 x 的静矩及其形心坐标 yC 。

O

C r

x

y

dA

yC

y

dy

解：过圆心 O 作与 x 轴垂直的 y 轴，在距 x 任意高度 y 处取一个与 x 轴平行的窄条， ydyrAd 222

所以 3

0

22

3

22 ryd)yr(yAdyS

r

Ax

3

4

2

322

3 r

/r

/r

A

Sy xC

4 、组合图形的形心与静矩（ 1 ）组合图形的静矩

Ciiyiy

Ciixix

xASS

yASS

（ 2 ）组合图形的形心

i

Cii

i

yC

i

Cii

i

xC

A

xA

A

Sx

A

yA

A

Sy

解：将此图形分别为 I 、 II 、 III三部分，以图形的铅垂对称轴为 y 轴，过 II 、 III 的形心且与 y 轴垂直的轴线取为 x 轴，则

例 I2 求图示图形的形心。

150

y

C

xO

x1

y1

200

10

y C

300

I

II

III

10

mm8.38

)30010(210200

0)30010(2)1505()10200(

i

ii

A

yAy CC

由于对称知： xC=0

1. 极惯性矩：

2. 惯性矩：

Ay

Ax

dAxI

dAyI2

2

Ap dAI 2 为图形对一点的极惯性矩；

x

y

dA

x

y

O

3. 惯性积： 为图形对 x 、 y 一对正交轴的惯性积；

Axy xydAI

分别为图形对 x 、 y轴的惯性矩；

4.① 惯性矩与极惯性矩的关系：xyAAp IIdA)yx(dAI 222

平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。

§I-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积

解：平行 x 轴取一窄长条， 其面积为 dA=bdy ，则

② 惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位： m4 、 cm4 、 mm4 ； ③ 若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；

④ 惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 ⑤ 如将 dA 看成质量 dm ，则 Ix 、 Iy 、 Ip 分别为平面体对 x、 y 、原点的转动惯量。

例 I3 求图示矩形对通过其形心且与边平行的 x 、 y 轴的惯性矩 Ix 、 Iy 和惯性积 Ixy 。

dy

b/2 b/2

x

y

y

h/2

h/2

C

dA

12

32

2

22 bh)ydb(yAdyI

/h

/hAx

12

3hbI y

又因为 x 、 y 轴皆为对称轴，故 Ixy=0 。

同理可得

由于圆形对任意直径轴都是对称的，故 Ix=Iy

注意到 Iρ=Ix+Iy ，得到

例 I4 求图示直径为 d 的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩 Ix 、 Iy 及对圆心的极惯性矩 Iρ 。

d

C

x

y

d

解：首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心 O 为处作宽度为 d 的薄圆环，其面积 dA=2d ，则

32)d2(d

42/

0

22 dAI

d

A

642

1 4dIII yx

一、平行移轴公式1. 公式推导

2. 平行移轴公式

abAII

AbII

AaII

CC

C

C

yxxy

yy

xx

2

2

②b 和 a 是图形的形心 C 在 Oxy 坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。

3. 注意： ①xC 、 yC 轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；

§I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积

n

1ii

n

1ii

n

1ii xyxyyyxx IIIIII ，，

二、组合图形的惯性矩：

Ox

y

C

dA

xC

yC

a

b

y

x

xC

y C

已知： 、 、 ，形心在 xOy 坐标系下的坐标 (a ， b) ，求 Ix 、 Iy 、Ixy

CxICyI

CCyxI

A2

x dAyI A2CC

2A

2C dA)yay2a(dA)ya(

A2CA CA

2 dAydAya2dAa

AaII 2xx C

AbII 2yy C

同理：

CxA2CA CA IdAy0dAyAdA ，，

Axy xydAI A CCCCA CC dA)yxbyaxab(dA)ya)(xb(

A CCA CA CA dAyxdAybdAxadAab

CCyxA CCA CA CA IdAyx0dAy0dAxAdA ，，，

abAIICCyxxy

例 I5 求图示 T 型截面对形心轴的惯性矩。

5

30

5

30

例 I6 已知三角形对底边 (x1 轴 ) 的惯性矩为 bh3/12 ，求其对过顶点的与底边平行的 x2 轴的惯性矩。

b

x1

h

x2

xC

h/3

解：由于 x1 、 x2 轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴 xC 的惯性矩，再求对 x2

轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：

423

2

36

362312323

2

2

3232

1

2

1

bhbhhbhAaII

bhbhhbhAaII

C

C

xx

xx

30

30

55C

C2

C1y 2

2

1 y 1

zC1

zC2

求 T 形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：

i

iiC

C

AyA

y

0z

mm75.23AA

yAyA

21

2211

即截面的形心轴。、 CC zy

再求截面对形心轴的惯性矩：

433

y mm1156012305

12530I

C

42

22Cz1

21Cz

222z1

21zz

mm34530]A)yy(I[]A)yy(I[

)AaI()AaI(I

2C1C

2C1CC

由平行移轴定理得：

yC

z

yC

zC

一、惯性矩和惯性积的转轴公式

1. 公式推导：2. 转轴公式：

222

222

222

11

1

1

cosIsinII

I

sinIcosIIII

I

sinIcosIIII

I

xy

yx

yx

xy

yxyx

y

xy

yxyx

x

3. 注意：是 x 轴与 x1 轴的夹角，由 x 轴逆时针转到 x1

轴时的为正。

§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩

y1=|AC|

dAy1 x1

y1x1

y

x

DE

B

A

C

Ox

y

已知： Ix 、 Iy 、 Ixy 、，求 、 、 。1xI

1yI11yxI

A21x dAyI

1

A2

x dA)sinxcosy(I1

=|AD||EB| =ycosxsin

2yxy

2x sinIcossinI2cosI

A2222 dA)sinxcossinxy2cosy(

利用三角变换，得到 2sin2cos221 xy

yxyxx I

IIIII

同理，利用：x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcos+ysin

2cosI2sin2

III

asinI2cos2

II

2

III

xyyx

yx

xyyxyx

y

11

1

得到

③ 形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；2. 主轴方位：

① 利用主轴的定义—惯性积等于零进行求解；

② 主轴与 x 轴的夹角 : yx

xy

II

Itg

22 0

③ 由上式可求出相差 90o 的 0 ， 0+90o ，分别对应于一对相垂直的主轴 x0 、 y0 ；

二、主惯性轴、主惯性矩1. 主轴的相关概念：

① 主轴 (主惯性轴 )：惯性积等于零的一对正交轴； ② 形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴

② 与主轴方位的对应关系：求 0 时只取主值 |20|≤/2) ，若 Ix>Iy ，则由 x 轴转过 0 到达 x0 轴时，有 ；若 Ix<Iy

，则 。注意， 0 为正值时应逆时针旋转。

maxx II 0

minx II 0

③ 任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。

④ 求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。

3. 主惯性矩大小：

① 2

2

min

max

22 xyyxyx IIIII

I

I

120

10

10

10

70

例 I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩

I

II

IIIIC

x

yy0

x0

0

图形的对称中心 C 为形心，在 C 点建立坐标系 xCy 如图将整个图形分成 I 、 II 、 III 三个矩形，如图整个图形对 x 、 y 轴的惯性矩和惯性积分别为

IIIxIIxIxx IIII

2)1060()560(121060 23

46 mm1008.5

1212010 3

46IIIyIIyIyy mm1084.1IIII 46

IIIxyIIxyIxyxy mm1031.2IIII

426.1II

I22tg

yx

xy0

'2827o

0 minymaxx0

oyx0

IIIIx'2827

xII4/0

00

，，转到主轴

轴逆时针旋转自，，

46

462xy

2yxyx

min

max

mm1064.0

mm1028.6I

2

II

2

II

II形心主惯

性矩大小

例 I8 求图示正方形对过形心的 x1 、 y1 轴的惯性矩和惯性积。 x

y

a

aC

x1

y1

解：由于： 012

4

xyyx Ia

II ， ，

22

221

yx

xy

yxyx

x

IIsinIcos

IIIII

则

同理 ，21

yx

y

III

0

11yxI