解析 II (Analysis II)

授業資料（ 4/10,17 日分）

• 本資料では、教科書の内容に沿って、意味や背景説明、補足事項、関連・発展事項などについて記す。

• 練習問題や立ち入った説明などは、別途 テキスト資料を web に掲載する。

• 数式などはすべてを再掲はしないので、教科書記述と併用して読むこと。

第４章：級数（概要）

• 級数とは何か（定義・実例）• 級数の収束・発散

一般的な収束条件、具体的・特殊な例

• 整級数（ベキ級数）多項式（整式）の項数を∞にしたもの

• 関数列・関数項級数（可能な範囲で取り上げる） 2

コーシー列（ pp.139-141 ）

• 数列　　　　　　　　 がコーシー列：（十分先のほうでは）数列の要素同士が互いにいくらでも近くにある、ということ。– 参考：　収束列の場合には、数列の要素が

ある特定の点（極限値）にいくらでも近い。

• 目的：　数列がコーシー列であることと、それが収束するかしないかとの関係

3

,,, 210 aaa

コーシー列（２）

• 比較する要素同士は、添字がどんなに離れていてもよい。

• よくある間違い– 隣どうしの項だけしか見ない： ×– 問題： 　　　　　　　　　　　　であっ

ても、数列自体は発散する例を示せ。 4

|,||,||,|

:||100

200010001000001001000100 aaaaaa

aaL mn

はなら　例：

|| 1 nn aa

0||lim 1 nn aa

コーシー列（３）• 「収束列はコーシー列である」 (4.1.2)

これは当たり前。問題はこの逆：

• 「コーシー列は収束列である」 (4.1.3)– つまりコーシー列なら極限が存在するということ– これは実数の基本的な性質（実数の完備性）の反映

である。– また実数の完備性を表現する１つの方法でもある。– 与えられた数列が収束するか否かの判定方法を与え

てもいる（ただし極限値がわかるとは限らない）。

5

参考：　実数の完備性• 実数全体の集合には「隙間（穴）がな

い」、ということ。– 本によっては「実数の連続性」と書いてある

ものもあるが、「完備性」のほうが適切。– 参考：「稠密（ちゅうみつ）」：どんな狭い

間隔をとっても、その間に必ず集合の要素が存在。

– 稠密性と完備性とは一見似ているが、別物。例えば有理数全体の集合は稠密だが完備ではない（いくらでも隙間がある：無理数のところ）

6

参考：　実数の完備性（２）

• （互いに同等な）表し方は多数ある。– 有界数列には収束部分列が存在 (2.2.3)– 有界な単調数列は収束する (2.2.4)– 有界な集合には上限が存在する (3.1.9)– コーシー列は収束列である (4.1.3)

(Cauchy, Cantor)– 　　　　　　　　　　　　　　　　で　　　　　　

　　　なら　　　　　の共通極限が存在する (Weierstrass)

– 「デーデキントの切断」 (Dedekind)実数の分割は上端・下端の一方のみ存在する 7

012210 bbbaaa

nn ba ,0)lim( nn ab

参考：　実数の完備性（３）

• 数学としては、前スライドに掲げた完備性の諸性質を論じるのが本筋だが、この授業では立ち入らない。

• しかしこれらの性質は、具体的な応用においても重要！– 特に数列・級数の収束の判定

例：• 正項級数が一定値を超えないなら収束 (2.2.4)• 交項級数の収束 (4.1.19)

8

参考：三角不等式について

• (4.1.2) ～ (4.1.4) の証明でも使われている三角不等式は、極限を扱う場合の基本的な証明手段の１つ。

• 原型：２次元以上のベクトルのノルム（長さ）でも成り立つ。

• 実際の使用は次の形が多い。　9

|||||| baba

|||||| cbbaca

級数とは (series)• 数列　　　　　　　　　 の要素の形式的な和：

– 定義については様々な問題や議論があるが、ここでは立ち入らない。

• 部分和：

級数の和（定義）：

• 級数を部分和数列とは別個に考えるのは、各項を独立して扱うのが重要かつ簡単なことが多いから。　 10

,,, 210 aaa

0

210n

nn aaaaa

k

nnk aS

0

sasSn

nkk

0

lim のとき

級数とは（２）• 和の定義 (4.1.6) の意味

– 収束しない（発散する）場合には無限和は存在しない！コーシー以前の大問題：（これは (4.1.6) に基づけば発散する。）

– （一般には）和をとる順序は変えられない！（有限和の場合には自由に変えられた）• 順序を変えると和が変わってしまう場合があ

る。• それどころか、順序を変えて任意の値に収束さ

せることもできる！（参考： p.148 コメント）–順序を自由に変えられる場合もある。

(4.1.23)

11

?1111

級数とは（３）： （ 4§2 以降の内容）• 級数の項 an が変数 x を含むとき、形式

的には x を変数とする関数と見なせる。（関数（項）級数）– 例：　整級数、三角級数（フーリエ級数）– 一般に関数級数は、変数の値に応じて収束・

発散が分かれる。

• 関数級数は、多様な関数を統一的に表し、分析したり、関数値の具体的な計算など、多様で重要な用途を持つ。 12

数学として扱うには

• 数列・級数はちゃんと収束するか？• どういう場合に収束するか？• どれぐらい速く収束するか？• 収束する値は何か？

　などについての厳密な考察（定義・証明）が必要になる。

13

なぜ級数か• 様々な数値、関数の値を計算する最も

基本的な手段。–計算機における関数ライブラリ等

• 関数を表すもっとも基本的な、また多くの場合唯一の手段。– 超幾何級数等

• 特定の関数の性質を調べる、一群の関数の性質を一般的に調べる手段。　　⇒　（複素）関数論

14

級数の収束

• 数列の場合もそうだが、特に級数の場合、– 収束するかどうかの判定と、– 実際の極限値（級数の和）を求めることとは別問題。

• 収束自体は比較的簡単に示せても、実際の極限値を求めるのが難しい場合が多い。（場合によっては未解決問題）

• したがって収束判定の方法が重要となる。 15

　　 　　例： ゼータ関数：6

)2(1

)(2

1

nsn

s

級数の収束（２）• 基本は部分和数列 {Sn} が収束すること。⇒ Sn に数列の収束の判定方法を用いればよい。　　　しかし！　（次スライド参照）

• 特殊な場合については個別に判定条件が考えられる。– 正項級数– 交項級数（交代級数）– 絶対（値）収束級数⇔　条件収束級数

• 級数の和（収束値）を具体的に求めるのは困難。実際に解けるのは、いくつかの既知な場合に帰される場合のみ（等比級数など）。

16

級数の収束：一般の場合

• 部分和数列 {Sn} の収束を調べればよい。– しかしそれができるのは、 Sn が簡単な式で

表される（つまり一般項がわかる）ような場合に限られる。　　　例：

• 収束の必要条件：　数列の項が０に収束(4.1.7) 　　　（十分条件ではない。）

• コーシー列であることの言い換え (4.1.9)17

1

11

1

11

)1(

1

11

nkkkkS

n

k

n

kn

正項級数（１）• 正項級数の部分和は単調増加• したがって上に有界なら収束 (2.2.4)

– どのような n でも　　　　　　　　　が成り立つ A を見つければよい

– (4.1.12) ：上から収束数列（優級数）で押さえる

• また収束するなら絶対値収束 (4.1.21~3)– 収束判定や極限値の計算で、項の順番を自由

に入れ替えてよい。18

AaSn

kkn

1

正項級数（２）

• 項別情報による収束判定 (4.1.13)（ダランベール、コーシー）– 「急速に」収束する級数には有効：

必ずしも使い道が広くはない• 積分近似による収束判定 (4.1.15)

– うまく積分式で近似でき、その積分計算が簡単にできれば有効な方法

– 多くの場面で使われる（ n! の漸近展開等）

19

正項級数（３）：　極限値の評価• 単調増加なので、部分和 Sn は極限値の

下からの評価（過小評価）を与える• 上からの評価は直接には得られない

（個別に工夫する必要がある）– したがって部分和による過小評価も、どれぐ

らい真値に近いかは直接にはわからない

20

交項級数（交代級数）　(4.1.18)• an （の絶対値）が単調減少して 0 に

収束するなら、和が存在する (4.1.19)a0 0≧ （したがって a1 0, ≦ a2 0, ...≧ ）なら、

のように奇数項は単調増加、偶数項は単調減少して共通極限に収束する。

– したがって、収束判定だけでなく、極限値の評価も上下から評価できる

21

024212531 SSSSSSSS nn

参考：ゼータ関数 (4.1.16)

• ゼータ関数：• s が実数のとき、 s>1 なら収束、 s≤1 なら発散• s が偶数の場合には具体的な表現式は知られて

いるが、奇数の場合はほとんどわかっていない。 ζ(3) は無理数であることは知られているが、具体的な表現式は未解決問題。

• s を複素数に拡張した複素ゼータ関数は、数学最大の未解決問題である「リーマン予想」と直接関係している。 22

sss

nsn

s3

1

2

1

1

11)(

1

　

収束の速さ（半分復習）

• （教科書 2.3.5 (p.60), 2.5.5 (p.79), 「無限大・無限小の比較」 2.5.11 (p.83) ）– 以下の話は関数の場合だけでなく、数列・級数

に対しても当てはまる。

• 一般に であっても、両関数が同じように収束していくとは限らない。

• 収束の「速さ」の違いをどう表すか。 23

dxgxfcxgxfxxaxax

)(lim)(lim)(lim)(lim や　

収束の速さ（２）

• 一般に lim f (x), lim g(x) が存在するとき（ ±∞ も含む：極限値は必ずしも同じでなくてよい）：

– (1) ： f (x) は g(x) より収束が遅い： f (x)≫g(x)

– (3) ： f (x) は g(x) より収束が速い： f (x)≪g(x)

– (2) ： f (x) と g(x) は同程度の速さ： f (x)～ g(x)

24

は定数）　 　

　 　

　 　

AAxg

xf(

)3(0

)2(

)1(

)(

)(lim

収束の速さ（３）• f (x) ～ g(x) 　のとき、

f (x)=o(g(x)), g(x)=o(f (x))などとも書く。（記法は本により異なる）

• o(...) の中は、よく知られた関数を書くのが普通。これにより収束速度が比較できる　例：　 x→0 のとき、

　　　これは x が十分小さいとき、左辺が右辺で近似できることも表す。

25

)(111

1 232 xoxxxxx

整級数　（ pp.150~163 ）

• 変数 x の多項式の無限級数版。

• ベキ（冪・巾）級数とも言う。• テイラー展開は典型的な整級数の例。

• 整級数の真価は、 x を複素変数として扱った複素関数の世界に行かないとわからない。– 整級数で表せる複素関数を「正則関数」という。

正則関数は複素解析の中心的存在。 26

n

nnxaxaxaa

0

2210

整級数（２）

• 整級数のもっとも基本的な性質：収束域・収束半径の存在。 (4.2.3) ～(4.2.7)

• 整級数　　　　　に対し、あるが存在して、 |x|<r なら収束、 |x|>r なら発散（ r=∞ の場合はすべての x で収束）|x|=r のときは場合による。 (4.2.21) 27

n

nnxa

0

)0( rr

収束半径の求め方• 一般には (4.2.7) による。

– これらは級数の収束についてのダランベール、コーシーの判定法 (4.1.13) の応用

– ダランベールの判定法の場合、 an=0 となる場合が無数にあるとそのままでは使えない。

– しかし例えば n が偶数のとき an=0 なら、奇数項についてだけ考えればよい。

– コーシーの判定法にはそういう問題はないが、計算はこちらの方が面倒。

• テイラー級数などで、あらかじめ収束半径がわかっている関数から導くほうが実用的。 28

参考：　収束半径について

• 整級数は、複素数の範囲で考えないと真価がわからない。複素整級数は、複素関数論の中核を占める極めて重要な存在

• 複素数の世界で考えると、次の定理が成り立つ。– 整級数 　　　　　の収束半径が r なら、

|z|=r の円上で、級数が発散する点（特異点）が必ず存在する。

29

n

nnza

0

テイラー展開

• 与えられた関数 f (x) に対し、整級数：　

　　　　　　が収束するなら、これを f (x) の　　　　　　（ x=0 での）テイラー展開という。

• 一般に x=a でのテイラー展開は：

• x=0 でのテイラー展開を「マクローリン展開」と呼ぶこともある。　

• 基本関数のテイラー展開 (4.2.14) は覚えておくとよい　　 30

n

n

n

xn

f

0

)(

!

)0(

n

n

n

axn

af)(

!

)(

0

)(

テイラー展開（２）• テイラー展開は関数を整級数として表す。

したがって有限項の部分和は多項式で表され、関数の近似値を与える

• 多項式なので、加減乗除だけで計算できる• したがって関数値を具体的に計算する方法とし

て、実用的にも理論的にも極めて重要！• ただし、収束速度については関数によりかなり

の違いがある。– 遅い場合には加速法などの工夫が必要– 実際のインプリメントでは、あらかじめ計算した表

を用意するなど、様々な工夫がなされる。 31

例

• sin 1 (=0.8414...) を求める。

• e (=2.71828...) を求める。

32

!5

1

!3

11...8416.01sin...8414.0

!7

1

!5

1

!3

11

!7!5!3sin

753

めることで：第３項、４項までを求

xxx

xx

　 （下からの評価）から順にとして、

e

nx

xxxxxex

...,71825.2...,71805.2...,71666.2

51!5!4!3!2

15432

テイラー展開（３）

• 関数の和・差のテイラー展開は、テイラー展開の和・差

– 収束半径は、２つの収束半径の小さい方• 積についても同様だが、整級数の形に

整理するのは面倒33

n

n

nn

n

n

nn

n

n

xn

gfxgxf

xn

gxgx

n

fxf

0

)()(

0

)(

0

)(

!

)0()0()()(

!

)0()(,

!

)0()( 　 のとき

テイラー展開（４）：　関数の合成• g(x) が x の整式なら　　　　　　　　　

　に対し

が成り立つ。– ただし、整級数　　　　　　の形に直すに

は、項を適当に整理する必要がある。– もとの級数の収束半径が r なら　　　　　

　で収束するのだから、 ( ) ☆ は　　　　　　　で収束する 34

n

n

n

xn

fxf

0

)(

!

)0()(

)()}({!

)0())((

0

)(

☆n

n

n

xgn

fxgf

n

nnxa

0

rx ||0rxg |)(|0

前スライドの例• 　

• 　　　　　　　　　　　　　　　　　で x→x2 とすると

項別積分して：

• これは円周率計算などで用いられる– x=1 でも収束し、

（ライプニッツ・グレゴリーの公式：収束は遅い）35

rxn

fxf

xxg n

nn

n

2,!2

)0(

22)(

0

)(

収束半径なら

32

0

1)1(1

1xxxx

x n

nn

642

0

22

1)1(1

1xxxx

x n

nn

75312

)1(arctan

753

0

12 xxxxx

nx

n

nn

7

1

5

1

3

111arctan

4

テイラー展開（５）• 一般のテイラー展開：• 例：

• この収束半径は• これにより、 f (x) がテイラー展開で

表せる範囲を広げていける（＝解析接続）

36

n

n

n

axn

afxf )(

!

)()(

0

)(

16

)1(

8

)1(

4

)1(

2

1

2

)1()(

2

1

!

)1(

)1(

!)(

)1|(|11

1)(

32

01

1

)(

1)(

32

0

xxxxxf

n

f

x

nxf

xxxxxx

xf

nn

n

n

n

nn

n

n

　したがって

だから

)13(2 x

多項式（整式）、２項定理

• f (x) が多項式（整式）なら、展開式がそのままテイラー展開– ２項定理はその具体例　（収束半径は∞）

– f (x) で x=y+a と置いて y で整理すれば、 y=a でのテイラー展開になる

37

kn

k

knkn

kn

k

kn xaCx

k

faxxf

00

)(

!

)0()()(

kn

k

kk

n

kk

kn

kk y

k

afayaxaxf

0

)(

00 !

)()()(

一般の２項定理　 (4.2.19)

• ２項定理の n を自然数でなく、任意の実数としたもの

– α が自然数でなければ収束半径は 1– これを用いて様々な関数が表せる

–ニュートンの微積分研究は、この一般の２項定理が中心的役割を果たしている 38

!

)1()1(,)1()(

0 n

nCxCxxf n

n

kn

等々2

2

1

1,1),1(

1

1),2/1(1

xx

xx

項別微分・積分

• 収束半径内では（一定の条件のもとで）項別に微分・積分できる。　 (4.2.17)–普通の関数については可能

– 一般の関数列の項別積分については (4.3.9), (4.3.10), (4.3.15) 参照

– 項別微分についてはもっと条件が面倒になる

• 収束円上での収束　 (4.2.21): 省略39

数列・級数の計算：　 Excel• 図のように B 列に n,

D 列に部分和を計算する式を入れる

• n は関数 row() を使って作ると扱いやすい

• D 列では上のセルと左のセルの和をとる• C 列に数列の項 an を計算する式を入れる• あとは 5行の内容を必要なだけコピーする

40

数列・級数の計算：　 Matlab (1)• 部分和を作る• n の値のベクトル nvec を作る

– n = 10; nvec = (1:n)’; % 縦ベクトル• 数列 a(n) を作る。　例： a(n) = 1/n^2

– an = 1./nvec.^2;

• 和を計算する– sum(an)

41

数列・級数の計算：　 Matlab (2)• 部分和列も作る（前スライドの続き）

– Sn = zeros(n, 1); Sn(1) = an(1);– for k=2:n; Sn(k) = Sn(k-1) + an(k); end;– [nvec Sn]

• symbolic モードで記号計算– syms n;– symsum(1/n^2, n, 1, inf); % inf は ∞ の意味

42