517.3(07) Д321

Д.Г. Демьянов

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Учебно-справочное пособие

Челябинск 2003

5

УДК 517.31 (076.5)

Демьянов Д.Г. Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред. С.А. Уфимцева. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. –31 с.

Пособие содержит краткий учебно-справочный материал по отдельным во-просам интегрального исчисления, предусмотренный программой по математике для инженерно-технических специальностей вузов. Рассмотрены основные теоре-тические сведения неопределенного интегрирования, подробно рассмотрено при-менение данной теории на многочисленных примерах, предложены задачи для самостоятельного решения. Материал пособия позволяет выработать практические навыки нахождения первообразных функций, поможет студентам в самостоятельной работе над те-мой: «Неопределенный интеграл».

Одобрено учебно-методической комиссией.

Рецензенты: Клебанов И.И., Саитгараев С.С.

© Издательство ЮУрГУ, 2003.

6

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ……………………..4

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ……………………………………………..5

ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОГО ……....………………...6

ЛИНЕЙНЫЕПОДСТАНОВКИ ……………………………………….………………………7

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КВАДРАТНЫХ ТРЕХЧЛЕНОВ …………………………………….10

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ …………………………………………………………11

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ ……………………………………….13

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ……………………...…………17

ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО БИНОМА …………………………………...18

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Универсальная тригонометрическая подстановка ………………………………………19

Частные тригонометрические подстановки ……………………………………………...21

Интегралы вида sin cosm nx xdx⋅∫ ………………………………………………………...23

Интегралы вида cos cos , sin cos ,ax bxdx ax bxdx⋅ ⋅∫ ∫ sin sinax bxdx⋅∫ ……………………25

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОДСТАНОВОК …………………………………………….25

ПОНЯТИЕ О «НЕБЕРУЩИХСЯ» ИНТЕГРАЛАХ ………………………………………...26

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ……………………………………...27

4

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Основной задачей дифференциального исчисления является задача диффе-ренцирования, т.е. задача нахождения скорости изменения какой-нибудь функ-ции. На практике часто бывает важно решить обратную задачу: зная скорость из-менения функции (по отношению к аргументу), найти эту функцию. Другими словами, нужно найти функцию зная ее производную. Эта операция называется интегрированием. Определим этот термин подробнее.

Первообразной функции ( )f x в интервале ( , )a b называется функция ( )F x , если в каждой точке этого интервала

( ) ( ),F x f x′ = (1)

при этом все первообразные этой функции содержатся в выражении

( ) ,F x C+

где C – произвольная постоянная.

Множество всех первообразных называется неопределенным интегралом функции ( )f x .

Неопределенный интеграл обозначается символом

( )f x dx∫ ,

при этом ( )f x называется подынтегральной функцией, ( )f x dx– подынтеграль-

ным выражением, а −∫ знаком интеграла. Таким образом,

( ) ( ) .f x dx F x C= +∫ (2)

Так как интегрирование представляет собой операцию, обратную диффе-ренцированию, то каждой формуле дифференцирование (1) соответствует форму-ла интегрирования (2). Это дает возможность написать таблицу основных инте-гралов

Таблица основных интегралов

1. 1

, 1.1

nn x

x dx C nn

+

= + ≠ −+∫ 2. ln .

dxx C

x= +∫

3. , 0, 1.ln

xx a

a dx C a aa

= + > ≠∫ 4. .x xe dx e C= +∫

5. sin cos .xdx x C= − +∫ 6. cos sin .xdx x C= +∫

7. 2

ctg .sin

dxx C

x= − +∫ 8.

2tg .

cos

dxx C

x= +∫

5

9. 2

arcsin .1

dxx C

x= +

−∫ 10.2 2

arcsin .dx x

Caa x

= +−∫

11. 2 2

2 2ln .

dxx x a C

x a= + ± +

±∫ 12. 2 2

1ln .

2

dx x aC

x a a x a

−= +− +∫

13. 2

arctg .1

dxx C

x= +

+∫ 14.

2 2

1arctg .

dx xC

x a a a= +

+∫

Неопределенный интеграл обладает следующими основными тремя свойст-вами.

1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функ-ции плюс произвольная постоянная, т.е.

( )( ) ( ) .d f x f x C= +∫

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

( ) ( ) , const.kf x dx k f x dx k= =∫ ∫

3. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .n nf x f x f x dx f x dx f x dx f x dx± ± ± = ± ± ±∫ ∫ ∫ ∫… …

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Под непосредственным интегрированием понимается интегрирование с по-мощью рассмотренных свойств, тождественных преобразований подынтеграль-ной функции и таблицы основных интегралов.

Рассмотрим ряд примеров непосредственного интегрирования.

1. ( )3 23 5 4 .x x x dx− + −∫

Решение. Применяя свойство 2 и 3, получаем

( )4 3

3 2 3 21 23 5 4 3 5 4 3

4 3

x xx x x dx x dx x dx xdx dx C C

− + − = − + − = + − + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2 4

3 23 4

55 4 4 ,

2 4 2

x xC x C x x x C

+ + − + = − + − +

где 1 2 3 43 5 4 .C C C C C= − + −

Обычно при нахождении интегралов, входящих в правую часть, произвольные постоянные не вводят, а приписывают одну постоянную в конце всей выкладки.

6

2. 2

35

3

1 3.

2x dx

x

− ∫

Решение. Раскроем скобки и применяя свойства 2 и 3, получим 2 2 4

3 3 65 5 5 3 153 323

1 3 1 1 3 92 3

2 2 4x dx x x dx x dx x dx

x xx

− − = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − + ∫ ∫ ∫ ∫

2 4 111 16 3 15 559 93

4 2 4 4 111 13 15 5

x x xx dx C− + +

+ = − ⋅ + ⋅ + =− + +∫ 19 1115 53 45 453 .

15 44x x x C− ⋅ + ⋅ +

3. 2

21 1 .

1x dx

x− +

−∫

Решение. Поделим числитель на знаменатель получим два табличных интеграла 9) и 12)

2

2 22

1 1 1 1arcsin ln .2 11 11

x dx dx xdx x Cxx xx

− + −= − + = − + ++− −−∫ ∫ ∫

ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОГО

Метод замены переменного (метод подстановки) применяют к интегралам вида

[ ]( ) ( ) .f x x dxϕ ϕ′⋅∫ (3)

Подведем в этом интеграле множитель ( )xϕ′ под знак дифференциала

[ ] ( )( ) ( ) ;f x d xϕ ϕ∫ (4)

и произведем подстановку в следующем порядке:

1) заменим функцию ( )xϕ буквой t , что приведет к упрощению интеграла (4)

( ) ,f t dt∫

который должен стать «приближенным» к табличному или табличным;

2) вычислить последний интеграл;

3) в полученном ответе произвести обратную замену t на ( )xϕ .

Найти интегралы.

4. 3 21 3 .x x dx− ⋅∫

7

Решение.

( )3 3 33 2 32

2

1 2 21 3 1 .3 33

t xx x dx tdt t C x C

dt x dx

= −− ⋅ = = = + = − +=∫ ∫

5. ( )3

2

arctg.

1

xdx

x+∫

Решение.

( ) ( )4

3 432

2

arctg1arctg arctg .

4 411

t xdx tx t dt C x Cdxdtx

x

=⋅ = = = + = +=+ +

∫ ∫

6. .7

x

xe dx

e +∫

Решение.

( )7ln ln 7 .

7

xxx

x x

t ee dx dt t C e Cte dt e dx

= += = = + = + ++ =∫ ∫

ЛИНЕЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ

Под линейными подстановками понимают два частных случая метода заме-ны переменного.

1. Добавление постоянной под знак дифференциала.

При любом постоянном a будет ( ) ,d x a dx± =

и, наоборот, ( ),dx d x a= ± и потому

( ) ( ) ( ).f x dx f x d x a= ±∫ ∫

Найти интегралы.

7. .7

dxx −∫

Решение. Внесем под знак дифференциала –7.

( 7)

7 ln ln 7 .7 7

d xdx dtt x t C x Cx x t

−= = = − = = + = − +− −∫ ∫ ∫

8. 10 .x dx+∫

Решение.

8

32

3210 10 ( 10) 10 ( 10) .3 32

tx dx x d x t x tdt C x C+ = + + = = + = = + = + +∫ ∫ ∫

9. cos( 6) .x dx+∫

Решение.

cos( 6) cos( 6) ( 6) cos sin sin( 6).x dx x d x tdt t C C x+ = + + = = − + = − +∫ ∫ ∫

10. 16( 17) .x dx+∫

Решение. 1717

16 16 16 ( 17)( 17) ( 17) ( 17) .

17 17xtx dx x d x t dt C C

++ = + + = = + = +∫ ∫ ∫

2. Добавление под знак дифференциала постоянного множителя.

Как известно, если a постоянно, то ( ) .d ax adx= Отсюда при 0a ≠

1 ( ).dx d axa

=

И тогда 1( ) ( ) ( ).f x dx f x d axa

=∫ ∫

Найти интегралы.

11. sin7 .xdx∫

Решение.

( )1 1 1 1sin7 sin7 (7 ) 7 sin cos cos7 .7 7 7 7

xdx xd x t x tdt t C x= = = = = − = −∫ ∫ ∫

12. 2 .cos 5

dxx∫

Решение.

2 2 2

(5 )1 1 1 1tg tg5 .5 5 5 5cos 5 cos 5 cos

d xdx dt t C C xx x t

= = = − + = −∫ ∫ ∫

13. (2 3) .xe dx−∫

Решение. Применим рассмотренные два способа интегрирования одновременно.

9

(2 3) (2 3) 2 31 1 1 1(2 3) 2 3 .2 2 2 2

x x t t xe dx e d x t x e dt e C e C− − −= − = = − = = + = +∫ ∫ ∫

14. 2 .sin (14 5 )

dxx−∫

Решение. Внесем под знак дифференциала разность 14 5x− .

2 2 2

(14 5 )1 1 1 1ctg ctg(14 5 ) .5 5 5 5sin (14 5 ) sin (14 5 ) sin

d xdx dt t C x Cx x t

−= − = − = + = − +− −∫ ∫ ∫

15. 2

.5 3

dx

x−∫

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение к табличному интегралу 10).

( )

( ) ( ) ( )2 2 2 22

31 1 3 3 35 3 5 3 5

d xdx dtt xx x t

= = = = =− − −

∫ ∫ ∫

1 1 3arcsin arcsin .3 3 3 5

t xC C= + = +

Рассмотрим примеры на использование общей формулы (3) метода подстановки.

16. 2

(2 5).

5 8x dx

x x−

− +∫

Решение. Замечая, что в числителе стоит производная знаменателя, полагаем зна-менатель за t .

( ) ( )2

22

5 8(2 5) ln ln 5 8 .

2 55 8

t x xx dx dt t C x x Ctdt x dxx x

= − +− = = = + = − + += −− +∫ ∫

17. tg .xdx∫

Решение. При вычислении интегралов от некоторых тригонометрических функ-ций удобно пользоваться правилом: если в подынтегральном выражении можно выделить множитель sinxdx , то следует применить подстановку, cos ,t x= а если cos ,xdx то sin .t x=

cossintg sin ln ln cos .cos

sin

t xxdx dtxdx dt xdx t C C x

x txdx dt

== = = − = − = − + = −

= −∫ ∫ ∫

10

18. cos .2sin 1

xdxx +∫

Решение.

12

2sin 1cos 1 1 2cos 2sin 1 .

2 2 12sin 1 cos 0,5 2

t xxdx dt tdt xdx C x Cx txdx dt

= += = = = ⋅ + = + +

+ =∫ ∫

19. 4 3 .xe x dx−∫

Решение. Множитель 3x есть “почти” производная от 4x , поэтому

4 4

4

3 3

3

1 1 1 4 .4 4 4

14

x t t x

t x

e x dx dt x dx e dt e C C e

x dx dt

− −

= −= = − = − = − + = −

= −∫ ∫

20. 3 22 .x x dx+ ⋅∫

Решение. 3

32

3 2 2 3322 1

3

21 1 22 3 2 .3 3 9

t xtx x dx dt x dx tdt C x C

x dx dt

= ++ ⋅ = = = = + = + +

=∫ ∫

21. 2

2

(arcsin ).

1

xdx

x−∫

Решение. Т. к. 2

1(arcsin )1

xx

′ =−

, то

2

2 32 2 3

2 21

arcsin(arcsin ) 1(arcsin ) arcsin .3 31 1

dtx

t xx dx tdx x t dt C x Cdtx x −

== ⋅ = = = + = +=− −∫ ∫ ∫

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КВАДРАТНЫХ ТРЕХЧЛЕНОВ

При интегрировании квадратных трехчленов можно установить следующий порядок действий:

1) Выделить полный квадрат (разности или суммы) в квадратном трехчлене.

2) Сделать замену переменной (выражение под знаком квадрата обозначить за t ) и получить табличный интеграл или легко приводимый к табличному.

3) Вычислить интеграл. Чаще всего решаемый интеграл будет сводиться к табличным интегралам вида 10), 11), 12), 14).

11

Найти интегралы.

22. 2 .4 8dx

x x+ +∫

Решение. Выделим из квадратного трехчлена 2 4 8x x+ + полный квадрат.

( )2 2 24 8 2 2 4 4 ( 2) 4x x x x x+ + = + ⋅ ⋅ + + = + +

2 2 2 2

2 1 1 2arctg arctg .2 2 2 24 8 ( 2) 4 2

t xdx dx dt t xC Cdt dxx x x t

= + += = = = + = +=+ + + + +∫ ∫ ∫

23. 2

( 3).

3 4 4

x dx

x x

++ −∫

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат под знаком корня

( ) ( ) ( )22 2 23 14 2

31 1 12 4 44

3 4 4 4 4 2 4 1x x x x x x x + − = − − − = − − ⋅ ⋅ + − − = − − − =

( )2124 1 .x = − −

( )( )

12 1

2122 2 2 21

2

3( 3) ( 3)1 1 1 2 2 23 4 4 1 11

t xtx dx x dx tdtx t dt

x x t tx dx dt

= − + ++ += = = + = = ++ − − −− − =

∫ ∫ ∫ ∫

( )2

2

2 2 2

17 1 7 1 72 1 arcsin4 4 4 4 41 1 1

d tdt dt t t Ct t t

−+ = − + = − ⋅ − + + =

− − −∫ ∫ ∫

21 7 2 13 4 4 arcsin .4 4 2

xx x C−= − + − + +

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Способ интегрирования, называемый «интегрированием по частям» основан на формуле

.udv uv vdu= −∫ ∫

В этой формуле отыскание интеграла udv∫ сводится к отысканию другого инте-

грала vdu∫ . При этом предполагается, что этот интеграл проще исходного (т. е.

он вычисляется непосредственно или методом замены переменного).

Для применения формулы интегрирования по частям к некоторому инте-

гралу ( )f x dx∫ следует подынтегральное выражение ( )f x dx представить в виде

произведения двух множителей u и dv .

12

С помощью рассматриваемого метода легко вычисляются интегралы вида

1. �

( ) sincos

kx

u

dv

eP x kx dx

kx

⋅

∫�����

В этом интеграле ( )P x - некоторый многочлен, constk = ; здесь за u следует обо-

значить многочлен ( )P x , а за dv - остальное ( , sin ,kxe dx kxdx…).

2.

lnarcsin

( )arccosarctgarcctg

dv

u

kxkx

P x dxkxkxkx

⋅

∫ ���

�����

Здесь за dvобозначают ( )P x dv , за u - остальное.

Найти интегралы.

24. ( 1)sin .x xdx+∫

Решение. Данный интеграл соответствует интегралу первого вида, поэтому 1

( 1)sin ( 1)cos cossin cos

u x du dxx xdx x x xdx

dv xdx v dv x

= + =+ = = − + + == = = −∫ ∫∫

( 1)cos sin .x x x C= − + + +

25. ( )2 2 3 ln .x x xdx+ +∫

Решение.

( ) 3

32 2

2 23

1ln2 3 ln 3 ln

32 3 3x

xu x du dx xx x xdx x x x

dv x x v x x

= = + + = = + + − = + + = + + ∫

3 3 22 213 3 ln 3

3 3 3x x xx x dx x x x x dx

x − + + = + + − + + = ∫ ∫

3 3 22 3 ln 3 .

3 9 2x x xx x x x C = + + − − − +

26. 2 .x adx±∫

Решение. Нахождение этого интеграла также можно свести к схеме интегри-рования по частям.

13

22

2 222

xdxu x a du x dxx a dx x x ax a

x adv dx v x

= ± =± ⋅ = = ± −±

±= =∫ ∫

Последний интеграл находим отдельно:

( )22 2

2 2 2 2

x a ax dx x a dxdx dx ax a x a x a x a

± ±= = =± ± ± ±∫ ∫ ∫ ∫

∓∓

2 21lnx a dx a x x a C= ± ⋅ + ± +∫ ∓

Подставим этот результат в исходный интеграл

2 2 2 21ln .x a dx x x a x a dx a x x a C± ⋅ = ± − ± ⋅ ± + ± +∫ ∫

Перенесем искомый интеграл из правой части равенства в левую, получим

2 2 212 lnx a dx x x a a x x a C± ⋅ = ± ± + ± +∫ или

2 2 2ln ,2 2x ax a dx x a x x a C± ⋅ = ± ± + ± +∫ где 1 .

2C

C =

Полученным равенством можно пользоваться как формулой при нахождении по-добных интегралов. Аналогично выводится и другая распространенная формула.

22 2 2 2 arcsin .

2 2x a xa x dx a x C

a− ⋅ = − + +∫

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Рациональной дробью ( )R x называется функция равная частному от деле-ния двух многочленов

1 2 00 1 2

1 20 1 2

( )( ) , , ,

( )

n n nn

m m mn

a x a x a x a xP xR x m N n N

Q x b x b x b x b

− −

− −+ + + += = ∈ ∈+ + + +

…

…

где 0 1 0 1, , , , , , ,n ma a a b b b… … некоторые числа не все равные нулю.

Если n m< , то функцию ( )R x называют пра вил ьной дробью.

Если n m≥ , то ( )R x называют неправильной дробью.

Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена ( )L x

и правильной рациональной дроби ( )( )

r xQ x

, т. е.

( ) ( )

( ) ,( ) ( )

P x r xL x

Q x Q x= +

14

где ( )r x - остаток от деления. Степень многочлена ( )r x меньше степени многочле-на ( ).Q x Таким образом, интегрирование неправильной дроби сводится к интег-

рированию многочлена ( )L x и правильной дроби ( )( )

r xQ x

, т.е.

( ) ( )( ) ,

( ) ( )P x r x

dx L x dx dxQ x Q x

= +∫ ∫ ∫

Любую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму про-

стейших дробей двух видов: ( )2

, , .( )n n

A Mx N n Nx a x px q

+ ∈− + +

Для разложения правильной рациональной дроби ( )( )

r xQ x

на простейшие слагаемые

дроби, нужно

1) Разложить знаменатель ( )Q x на простейшие действительные множители (линейные или квадратичные).

2) Написать схему разложения данной дроби на простейшие слагаемые дроби в следующем виде:

( ) ( )2 2

( ) ( )( ) ( ) ( )

n lm k

r x r xQ x x a x b x px q x cx d

= =− ⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ + +… …

1 2 1 22 2( ) ( ) ( ) ( )

m km k

A BA A B Bx a x bx a x a x b x b

= + + + + + + + +− −− − − −… …

( ) ( )1 1 2 2

2 22 2

n nn

M x NM x N M x Nx px q x px q x px q

++ ++ + + + + ++ + + + + +

… …

( ) ( )1 1 2 2

2 22 2,l l

l

C x DC x D C x Dx cx d x cx d x cx d

++ ++ + + ++ + + + + +

…

где 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , ,A A B B M M N N C C D D… … … … … … некоторые посто-янные называемые неопр еде л енными ко эффициентами .

Найти интегралы.

27. 5 3

4 22 6 1 .

3x x dxx x

+ ++∫

Решение. Выделим из подынтегральной неправильной дроби целую часть, разде-лив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов.

15

5 32 6 1x x+ + 4 23x x+ 5 32 6x x+ 2x 1

⇒ 5 3

4 2 4 22 6 1 12 .

3 3x x xx x x x

+ + = ++ +

Разложим полученную правильную дробь на простейшие слагаемые дроби.

( )4 2 2 22 2

1 1 ,3 33

A B Cx Dxx x x xx x

+= = + ++ ++

освободимся от знаменателей

( ) ( ) ( )2 2 21 3 3Ax x B x Cx D x= + + + + + или

( ) ( ) ( )3 2 2 2 20 0 0 1 3 3 .x x x Ax x B x Cx D x⋅ + ⋅ + ⋅ + = + + + + +

Составим систему уравнений, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях полученного тождества. Такой метод нахождения коэффициентов называется м ет о д н е о п р е д е л е н ны х к о эффи ц и е нт о в .

( )13

4 2 2 2

13

0,0,,0, 1 1 1 .

0,3 0, 3 3 3 3.3 1.

AA CBB DCA x x x x

DB

=+ = =+ =

⇒ ⇒ = − == + + = −=

Подставляя дроби под интеграл и интегрируя, получаем

( ) ( )5 3

4 2 4 2 2 2

2 6 1 1 1 12 23 3 3 3 3

x x dx x dx x dxx x x x x x

+ + = + = + − = + + +

∫ ∫ ∫

2 1 1 arctg .3 3 3 3

xx Cx

= − − +

28. 4 3

32 5 .

9x x dxx x

− +−∫

Решение. Преобразуем неправильную подынтегральную дробь под знаком инте-грала. 4 32 5x x− + 3 9x x− 4 22 18x x− 2 1x − 3 218 5x x− + + 3 9x x− +

218 9 5x x− + 4 3 2

3 32 5 18 9 5 2 1 .

9 9x x x xxx x x x

− + − +⇒ = − +− −

Разложим полученную правильную на простейшие дроби.

2 2

318 9 5 18 9 5 .

( 3)( 3) 3 39x x x x A B C

x x x x x xx x− + − += = + +− + − +−

16

Освободимся от знаменателей

218 9 5 ( 3)( 3) ( 3) ( 3) x x A x x Bx x Cx x− + = − + + + + − . (5)

Найдем неопределенные коэффициенты , A Bи C методом частных значе-ний . Частные значения x выбирают т. о. чтобы множители в правой части тож-дества (5) обращались в нуль. После этого эти значения подставляют в левую и правую части тождества (5) и получают

033

xx

x

==

= −

5 9140 18194 18

ABC

= −==

⇒

59

709979

A

B

C

= −

=

=

4 3 2

3 32 5 18 9 5 5 702 1 2 1

9 9( 3)9 9(x x x xdx x dx x

x xx x x x − + − += − + = − − + + −− − ∫ ∫ ∫

297 5 70 97ln ln 3 ln 3 .9( 3) 9 9 9

)dx x x x x x Cx

+ = − − + − + + ++

29. 2

3 21 .

( 2)x x dxx x

+ −−∫

Решение. Заданная дробь – правильная. Представим ее в виде 2

3 2 2 3 21 .

2( 2) ( 2)x x A B C D E

x xx x x x x+ − = + + + +−− −

2 2 2 2 2 3 31 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) .x x Ax x Bx x C x Dx x Ex+ − = − + − + − + − +

Определим коэффициенты, одновременно применяя метод неопределенных ко-эффициентов и метод частных значений.

4

2

02

xx

x

xx

==

1 4 5 8 0 1 4 41 4 4

CE

A DA B CB C

− === += − += −

⇒

516

145

1658

0

A

B

C

D

E

=== −= −

=

2

3 2 3 21 5 1 5 5

16 16( 2)( 2) 4 8( 2)x x dx dx

x xx x x x

+ − = − − + = −− − ∫ ∫

2

2 25 1 5 5 1 5 5 2ln ln 2 ln .

16 16 8 2 16 28 8 ( 2)x x xx x C C

x xx x x− + −= + − − − ⋅ + = + +− − −

17

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим простейшие интегралы от иррациональных функций, которые выражаются через элементарные функции.

1. Интеграл , , , , pm kqn lR x x x x dx

∫ … , где R - рациональная функция.

Интегралы данного вида вычисляют с помощью подстановки ux t= ,

где U - ( ), , , ,НОК n q l… при этом дробная степень x выразится через целую сте-

пень t , и подынтегральная иррациональная функция преобразуется в рациональ-ную.

Найти интеграл.

30. 41 .x dx

x x++∫

Решение.

( )( )

12

2

11 4 444 4

3 31 4 23

4 4 2сокращаем на

11 1 1 4 44

t

tx tx x tdx dx t dt t dtt tdx t dtx x x x t t

+=+ + += = = ⋅ = ⋅ =+=+ + +

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2

2

2 2 2 2

прибавим и отнимем 1

1 1 14 4 4 11 1 1 1

t tt t tdt dt dtt t t t

+ + −+= = = − + =+ + + +∫ ∫ ∫

2

21

2

12

14 arctg 4 2 4 4arctg 4

1

z ttdt dzt t dz tdt t t

zttdt dz

= += − + = = = − + ⋅ =

+ =∫ ∫

( )24 4arctg 2ln 1t t t C= − + + + = ( )4 44 4arctg 2ln 1 .x x x C− + + +

2. Интеграл более общего вида , ( ) , ( ) , ,( )pm kqn lR x ax b ax b ax b dx

+ + +

∫ … или

( ) ( ) ( ), , , ,

pm kn q lax b ax b ax bR x dx

cx d cx d cx d

+ + + + + +

∫ … приводится к рациональному виду

с помощью аналогичных подстановок:

uax b t+ = или uax b tcx d

+ =+ .

18

Найти интегралы.

31. 2 3 .x dxx

−∫

Решение.

( )2

1 22

2 2

2 32

2 33 3(2 3)2 3 2 2

3 3t

x ttxx t tdtdx dx x dt

x x t tdx tdt

+− =

+ −−− ⋅= = = = = =+ +

=∫ ∫ ∫ ∫

( )2

возвращаемся к переменной

3 6 6 2 32 1 2 arctg 2 2 3 arctg .33 3 3 3

x

t xdt t C x Ct

−= − = − + = − = ++∫

32. 21 1 .xdx

xx+∫

Решение.

( ) ( )2

1 222

2 2

2

1 2,11 1 1 1

1 ,1

x tdtt dxx tx xdx dx

x xx xx

t

+ = = −−+ += = =

=−

∫ ∫

( ) ( )3

2 222

21 2 231

tdt tt t t dt Ct

= − ⋅ ⋅ − = − = − ⋅ + = −

∫ ∫ ( )32 1 .3

xCx+−

ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО БИНОМА

Так называется интеграл вида ( ) pm nx a bx dx+∫ , где , m nи p – любые

рациональные числа (предполагается, что , m nи p не все целые), aи b произ-вольные постоянные, не все равные нулю.

Рассматриваемый интеграл сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:

1) если p – целое, а , m n – дробные, то применяем подстановку sx t= ,

где S – наименьшее общее кратное знаменателей дробей mи n .

2) если p – целое, а 1mn+ – дробное, то применяем подстановку

n sa bx t+ = , где S – знаменатель дроби p .

19

3) если p – дробное, а 1m pn+ + – целое, то применяем подстановку

,n

sn

a bx tx

+ =

где S – знаменатель дроби p .

Найти интеграл.

33 ( )52 33

.1

dx

x x⋅ +∫

Решение. Перепишем интеграл в виде ( )5

2 3 31 ,x x dx−− +∫ здесь

52, 3, 3

m n p= − = = − , а 1 2m pn+ + = − – целое число, что соответствует третьему

случаю. Поэтому

( ) ( )( )

( ) ( )

33

3525 1 1 43 3

2 3 3 3 2 33 3 3 33

42 3 3

1

1 1 1 11

1

x tx

tx x dx x t t t t dtt

dx t t dt

− −− − − −−

−

+ =

+ = = − = − − ⋅ ⋅ − = − = − −

∫ ∫

( ) ( )( )

3 2 3 33 3 3

3 2 233

1 1 2 2 31 1 .2 2 2 1

t t t xt t dt dt t dt t C C Ct t x x

−− −− + += − ⋅ − = = − = − + = − = −− +∫ ∫ ∫

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Универсальная тригонометрическая подстановка

Интеграл (sin ,cos ) ,R x x dx∫

где (sin ,cos )R x x – рациональная функция, зависящая от sinx и cosx , всегда можно привести к интегралу от рациональной функции с помощью универ-сальной тригонометрической подстановки

tg .2x t=

В результате этой подстановки имеем

22

2tg 22sin ,11 tg

2

xtx

x t= =

++

22

22 2

2arctg ,1 tg 12cos , 2 .11 tg 12

x x ttx dtx dxt

t

=− −= = =++ +

20

Тогда 2

2 2 22 1 2(sin ,cos ) , .

1 1 1t t dtR x x dx Rt t t

−= + + + ∫ ∫

С помощью универсальной подстановки очень легко находятся интегралы

вида .sin cos

dxa x b x c+ +∫

Найти интегралы.

34. .4sin 3cos 5

dxx x+ +∫

Решение. Подынтегральная функция рационально зависит от sinx и cosx ; при-меним универсальную тригонометрическую подстановку.

2

2 2 2

2 2

21 2

4sin 3cos 5 2 1 2 8 8 ( 2)4 3 51 1

dtdx dt dtt

x x t t t t tt t

+= = = =+ + − + + +⋅ + ⋅ ++ +

∫ ∫ ∫ ∫

1 1 .2 2 tg

2

C Ct x

− = −+ +

35. .sindx

x∫

Решение. Здесь 1, 0, 0.a b c= = =

2

2

2

12

1

ln ln tg .sin 2

dt

tt

t

dx dt xt C Cx t

+

+

== = + = +∫ ∫ ∫

36. cos1 cos

x dxx+∫ .

Решение.

( ) ( )2

2

2

22

2 2 2 2

2

1

1

1 2cos 2 1 21 11 cos 1 1 1 1

11

t

t

tx dt ttdx dt dt dtx t t t t

t

−

−

+ −−+= ⋅ = = − = − − =+ + + + +++

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2arctg tg .2xt t C x C= − + + = − + +

Универсальная подстановка часто приводит к довольно громоздким рацио-нальным дробям и поэтому в некоторых случаях лучше применять другие триго-нометрические подстановки.

Частные тригонометрические подстановки

21

1. Если (sin ,cos )R x x – четная функция относительно sinxи cosx , т.е.

( sin , cos ) (sin ,cos )R x x R x x− − = − , то применяют подстановку

22 2

1tg , sin , cos , .11 1

t dtx t x x dxtt t

= = = =++ +

С помощью этой подстановки очень легко находятся интегралы вида

( )2 2 2 2, , tg .sin cos sin sin cos cos

dx dx R x dxa x b x c a x b x x c x+ + + +∫ ∫ ∫

Найти интегралы.

37. 2

tg.

1 ctgx

dxx−∫

Решение. Подынтегральная функция рациональна относительно tgx , т.е. отно-

сится к виду ( )tgR x и, учитывая, что 1ctgtg

xx

= получим

43

32 2 4

32

1tg 1 14 ln1 4 41 ctg 1 1 11

4

z tx t dt t dt dzdx dz t dt z Czx t t

t dt dzt

= −= ⋅ = = = = = + =

− + −− =∫ ∫ ∫ ∫

4 41 1ln 1 ln tg 1 .4 4

t C x C= − + = − +

2. Если (sin ,cos )R x x – нечетная функция относительно sinx , т.е.

( sin ,cos ) (sin ,cos )R x x R x x− = − , то применяют подстановку

cossin

x txdx dt

== − или 2

2cos , sin 1 , .

1

dtx t x t dxt

= = − = −−

Найти интегралы.

38. 3

4sin .cos

x dxx∫

Решение. Т.к. ( )3

3

4 4

sin sincos cos

x xx x

−= − то подынтегральная функция нечетна относи-

тельно sinx и тогда

( )3 2 2

4 4 4 2 42 2

cossin sin 1 1 1sin sin cos cos sin 1

x tx x tdx xdx xdx dt dt dtx x t t tx t

= −= ⋅ = = − = − = − == −∫ ∫ ∫ ∫

3 31 1 1 1 .

cos3 3cosC C

t xt x= − + + = − +

22

39. 4 .sin cos

dxx x⋅∫

Решение.

( )2

4 2 44 22 4

подынтегральную дробь на простейшие дроби раскладываем

1 1 1 112( 1) 2( 1)sin cos 11

dt

dx dtt dtt tx x t tt tt t

− −= = = − − − = − +⋅ − − ⋅∫ ∫ ∫ ∫

31 1 1 1 1 cos 1 1 1ln 1 ln 1 ln2 2 2 cos 1 cos 3cos .3

xt t Ct x x x Ct

−− − + + + + = + ++ +

3. Если (sin ,cos )R x x – нечетная функция относительно cosx , т.е.

(sin , cos ) (sin ,cos )R x x R x x− = − , то применяют подстановку

sincos

x txdx dt

== или 2

2sin , cos 1 , .

1

dtx t x t dxt

= = − =−

Найти интегралы.

40. 3

2cos .sin

x dxx∫

Решение. Т.к. 3 3

2 2

( cos ) cos ,sin sin

x xx x

− = − то

3 2 2

2 2 2 2cos 1 sin 1 1 1sincos 1 cos sin sin

x x tt xdx xdx dt dt C tdt xdx tx x t t− − == = = = − = − − = = ∫ ∫ ∫ ∫

21 1 sinsin .sin sin

xC x Cx x

+= − − = −

41. .tg cos2

dxx x∫

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию

( ) ( )2 2 2

1 cos cos .tg cos2 sin cos sin sin 1 2sin

x xx x x x x x x

= =− −

Полученная функция является нечетной относительно cosx , поэтому применяем подстановку sinx t= .

( ) ( ) ( )

2

2

2 2 2

1cos 1

tg cos2 sin 1 2sin 1 2 1 2

dttdx xdx dtt

x x x x t t t t

− ⋅−= = = =

− − −∫ ∫ ∫ ∫

разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби

23

( ) ( )1 1 1 1 1ln ln 1 2 ln 1 2

2 22 1 2 2 1 2dt t t t C

t t t

= + − = − − − + + = − + ∫

2

sinln ln .

cos21 2

t xC C

xt= + = +

−

Интегралы вида sin cosm nx xdx⋅∫ .

Интегралы этого вида находятся особенно просто в четырех случаях:

1. Если m – положительное нечетное число, то применяют подстановку

cosx t= ;

2. Если n – положительное нечетное число, то применяют подстановку

sint x= ;

3. Если mи n – четные и положительные числа, то подынтегральную функцию преобразовывают с помощью формул

( ) ( )2 21 1 1sin cos sin 2 , sin 1 cos2 , cos 1 cos2 ,2 2 2

x x x x x x x⋅ = = − = +

при этом один из показателей может быть равным нулю.

4. Если mи n – отрицательные числа и при этом m n+ – четное число, то при-меняют подстановку

tgt x= . Найти интегралы.

42. 4 2sin cos .x xdx⋅∫

Решение. По условию 4, 2m n= = – четные и положительные числа, это соответ-ствует третьему случаю. Преобразуем подынтегральное выражение так:

4 2 2 2 2 2 2 2 21sin cos sin cos sin (sin cos ) sin sin 2 sin4

x x x x x x x x x x⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ =

1 1 1 1(1 cos4 ) (1 cos2 ) (1 cos2 cos4 cos4 cos2 )4 2 2 16

x x x x x x= ⋅ − ⋅ ⋅ − = − − + ⋅ =

( )1 1 1 1 11 cos2 cos4 (cos2 cos6 ) 1 cos4 cos2 cos6 .16 2 16 2 2

x x x x x x x = − − + + = − − +

Поэтому

( )4 2 1 1 1sin cos 1 cos4 cos2 cos616 2 2

x xdx x x x dx⋅ = − − + =∫ ∫

24

( )1 1 1 1sin 4 sin 2 sin6 .16 4 4 12

x x x x C= − − + +

43. 3 5

.sin cos

dxx x⋅∫

Решение. Здесь 3, 5, 8m n m n= − = − + = − – четное число. Поэтому подынте-гральная функция относится к четвертому случаю.

23 5

3 5

2 2

tg1sin cos 1sin cos sin cos

1 1

dtx t dxdx tx xdx tx x x x

t t

− −= =

+= ⋅ = =⋅ = =

+ +∫ ∫

( ) ( )( )32

3 2 4 6

3 5 2 3 32 22 2

11 1 3 31

1 1

tt dt t t tdt dtt t t

t t

−

− −

+ + + += ⋅ ⋅ = = =++ +

∫ ∫ ∫

43 2

3 21 3 1 33 3ln

2 42tt t dt t t C

tt t = + + + = − + + + + = ∫

2 42

1 3 13ln tg tg tg .2 42tg

x x x Cx

= − + + + +

44. 2 3sin cos .x xdx⋅∫

Решение. Для этой функции 3n = – нечетное число, поэтому применяем подстановку sint x= , предварительно преобразовав подынтегральное выражение.

3 5 3 51 1 1 1sin sin .

3 5 3 5t t C x x C= − + = − +

45. 3

.sin cos

dx

x x∫

Решение. 1 32 2

2m n − −+ = = − есть четное число, поэтому применяем

подстановку tgt x= .

23 42 2 tg .

cos tgsin cos tg cos

dx dx dx dt t C x Cx x tx x x x

= = = = + = +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 3 2 2 2 2sinsin cos sin 1 sin cos 1cost xx xdx x x xdx t t dtdt xdx

=⋅ = ⋅ − = = − ==∫ ∫ ∫

25

Интегралы вида cos cos , sin cos ,ax bxdx ax bxdx⋅ ⋅∫ ∫ sin sinax bxdx⋅∫ .

Рассматриваемые интегралы преобразовывают с помощью формул тригономет-рии

[ ][ ]

[ ]

1cos cos cos( ) cos( ) ,21sin cos sin( ) sin( ) ,2

1sin sin cos( ) cos( ) ,2

ax bx a b x a b x

ax bx a b x a b x

ax bx a b x a b x

⋅ = + + −

⋅ = + + −

⋅ = − + + −

(6)

которые дают возможность произведение тригонометрических функций предста-вить в виде суммы.

46. 2sin sin3 .x xdx⋅∫

Решение. Применим к произведению 2sin sin3x x⋅ формулу (6) предварительно преобразовав его.

2 1 cos2 1 1 1 1 1sin sin3 sin3 sin3 sin3 cos2 sin3 sin5 sin .2 2 2 2 4 4

xx x x x x x x x x−⋅ = ⋅ = − ⋅ = − −

Итак, 2 1 1 1 1sin sin3 sin3 sin5 sin cos3

2 4 4 6x xdx xdx xdx xdx x⋅ = − − = − +∫ ∫ ∫ ∫

1 1cos5 cos .20 4

x x C+ + +

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ПОСМОЩЬЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОДСТАНОВОК

К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:

1) ( )2 2,R x a x dx−∫ - подстановкой sinx a t= ;

2) ( )2 2,R x a x dx+∫ - подстановкой tgx a t= ;

3) ( )2 2,R x x a dx−∫ - подстановкой sin

axt

= .

Найти интегралы.

47. 2

.9

dx

x x −∫

Решение. Применим подстановку 3sin

xt

= , и тогда 23cossin

tdx dtt

= − и заданный

интеграл принимает вид

26

2

22

3cossin

3 9sin sin

1 1 1 3arcsin .3 3 39 9

tt

t t

dtdx dt t C Cxx x

−= = − = − + = − +

− ⋅ −∫ ∫ ∫

48. 21 .x dx

x−∫

Решение. Применим подстановку sinx t= , тогда cosdx xdx= и получим

2 2 2 21 1 sin cos 1 sincossin sin sin

x t t tdx xdx dt dtx t t t− − −= = = =∫ ∫ ∫ ∫

( )см. пример №35

1 tsin ln tg cos .sin 2

t dt t Ct

= − = − +∫

Учитывая, что 2

2 1 cos 1 1cos 1 sin , 2 sint t xt t tg

t x− − −= − = = окончательно полу-

чаем 2 2

21 1 1ln 1 .x xdx x Cx x− − −= − − +∫

49. ( )22

.1

dx

x+∫

Решение.

( ) ( )42

22 2 22

2

tgcos 1 cos2cos cos

21cos cos1 arctg cos

dtx tdx dt t ttdx dt tdt dt

t tx t x t

=+= = = = = = =

+ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1sin 2 ,2 4

t t C= + +

Учитывая, что t arctgx= и 2 2 2

2tg2sin cossin 2sin cos 1 tg

tt ttt t t

= =+ +

получим

( ) ( )2 22

1 arctg .2 11

dx xx Cxx

= + +++∫

ПОНЯТИЕ О «НЕБЕРУЩИХСЯ» ИНТЕГРАЛАХ

Для некоторых непрерывных функций ( )f x , рассмотренных выше, мы

весьма удачно находили их неопределенные интегралы ( )f x dx∫ . Возникает во-

прос, всегда ли это будет так, т.е.: 1) всякая ли непрерывная функция ( )f x имеет неопределенный интеграл и 2) каким способом можно найти этот интеграл, если он существует?

27

Ответом на первый вопрос служит теорема Коши, из которой следует, что для каждой непрерывной функции ( )f x в интервале ( , )a b существует функция ( )F x , производная которой в интервале ( , )a b в точности равна данной функции ( )f x , т.е. ( ) ( ).F x f x′ = Тем самым существует и неопределенный интеграл

( ) ( ) .f x dx F x C= +∫

Что же касается второго вопроса, то в современной математике выбран не-который запас простых функций (которые называют элементарными), и именно через эти функции мы и стараемся выразить встречающиеся нам интегралы. Более того, имеются непрерывные элементарные функции, интегралы, от которых не могут быть выражены с помощью конечного числа элементарных функций. Такие интегралы часто называют «неберущимися». Разумеется, если расширить множество функций, которые мы называем элемен-тарными, то в этом более широком классе функций интеграл «неберущийся» мо-жет оказаться и «находимым». Правда мы не можем предсказать, будет ли (и если да, то как) в дальнейшем расширяться класс элементарных функций.

В заключение приведем несколько интегралов, не являющихся элементар-ными. Это

arctg 3 2sin cos, , , , , 1 , sin .ln

xxe x x dxdx dx dx e dx x dx x dx

x x x x+∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти интегралы. Ответы.

1. ( )2 23 2sin 1 .x x dxx

− + +∫ 3 2cos 2 ln .x x x x C+ + + +

2. 2

2

3

1 .x dxx

+ ∫

52 23 33 .

5 4x x x x C3+ + +

3. 2

2

4 ctg.

cosx

dxx

−∫ 4 tg ctg .x x C+ +

4. 29 .

9 16dx

x+∫ 3 4arctg .4 3

x C+

5. ( )2

2

(1 ).

1

xdx

x x

++∫ ln 2arctg .x x C+ +

28

Интегрирование методом подстановки.

6. ( )tg 5 3 .x dx−∫ 1ln cos(5 3 ) .3

x C− +

7. ln tg.

sin cosx

dxx x∫ 21 ln tg .

2x C+

8. 2cos .x x dx⋅∫ 21sin .2

x C+

9. 2

.9 7

xdx

x−∫ 21 9 7 .7

C x− −

10. ( )2 2

3 .cos 2 7

xdxx +∫ ( )23 2 7 .

4tg x C+ +

11. cos .1 3sin

x dxx+∫ 2 1 3sin .

3x C+ +

12. 2

6 5 .2 3 5 6

x dxx x

−− +∫ 23 5 6 .x x C− + +

13. cos .1 sin

x dxx+∫ ln 1 sin .x C+ +

14. sin 27 cos2 .x xdx⋅∫ sin 27 .

ln 49

x

C+

15. 3

.5 1 ln

dxx x+∫ ( )233 1 ln .

10x C+ +

16. 2

.ctg sin

dxx x⋅∫ 2 ctg .C x−

17. 3

3 .1

x

xe dx

e+∫ ( )31ln 1 .3

xe C+ +

18. 4 ln .x dxx+

∫ ( )32 4 ln .3

x C+ +

19. 4

1010 .

9x dx

x −∫ 5

51 3ln .3 3

x Cx

− ++

20. 2ln ( 1)

.1

xdx

x+

+∫ 31ln ( 1) .3

x C+ +

21. 22 .xx e dx+∫

22 .xe C+ +

22. sin .x dxx∫ 2cos .C x−

29

Интегрирование квадратных трехчленов

23. 2 .2 5dx

x x+ +∫ 1 1arctg .2 2

x C+ +

24. 23 .

2 3

x

x xe dx

e e− −∫ 3 3ln .4 1

x

xe Ce

− ++

25. 2 .6 5dx

x x− +∫ 1 5ln .4 1

x Cx

− +−

26. 2

.1

dx

x x+ +∫ 21ln 1 .2

x x x C+ + + + +

27. 23 1 .

1x dx

x x−

− +∫ ( )23 1 2 1ln 1 arctg .2 3 3

xx x C−− + + +

28. 2

( 3).

3 66 11

x dx

x x

−+ −∫ 21 3 66 11 .

11x x C− + − +

Интегрирование по частям

29. ( )2.xx e dx+∫

3212 ( 1) .

3 2x xx e x e C+ − + +

30. 2 ln( 1) .x x dx⋅ +∫ ( )3 2

31 11 ln( 1) .3 3 3 2

x xx x x C − + − − + +

31. arcsin .x dxx∫ 2 arcsin 2 1 .x x x C+ − +

32. sin .x xdx⋅∫ sin cos .x x x C− +

33. sin .xe xdx∫ ( )sin cos

.2

xe x xC

−+

34. 2ln .xdx∫ ( )ln ln 2 2 .x x x x C− + +

Интегрирование рациональных дробей

35. 3 2

( 8).

4 4x dx

x x x−

− +∫ 2

2

( 2)3 ln .2

xC

x x−+ +−

36. 4 2 .3 2xdx

x x− +∫ 2

22ln .1

x Cx

− +−

30

37. ( )2.

1dx

x x+∫ 2

ln .1

xC

x+

+

38. 5 4

38 .

4x x dx

x x+ −

−∫ 2 53 2

3

( 2)4 ln .

3 2 ( 2)x xx x x C

x−+ + + +

+

39. ( )2

3 2

1.

3 3 1

x dx

x x x

+− + −∫ 2

2 1ln 1 .( 1)

xx Cx

−− − +−

40. 2

2 2 .( 2) ( 4)

x dxx x+ +∫ 1 4 42ln .

2 4 2xC

x x x+− − ++ + +

41. 5 3

4 22 6 1 .

3x x dxx x

+ ++∫ 2 1 1 arctg .

3 3 3 3xx C

x− − +

Интегрирование иррациональных функций

42. 1 .1

x dxx−+∫ 32 ( 1) 4 1 .

3x x C+ − + +

43. 3 3

4.

6x xdx

x−

∫ 9 134 122 2 .27 13

x x C− +

44. 6

7 56 4

1 .x dxx x

++∫ ( )12

6 12

6 12 2ln 24ln 1 .x x Cx x

− + + − + +

45. 2 3 .3xdx

x+−∫ 22 3 11 7 7ln 2 .

3 6 32 3x x x x C

x + − − + − − + −

46. ( )32

6

9.

xdx

x

−

∫ ( )52

5

91 .45

xC

x

−− +

47. 2 2

.9

dxx x −∫

2 9 .9

x Cx− +

48. 2

41 .x dxx+∫

( )32

3

1.

3

xC

x

+−

Интегрирование тригонометрических функций

49. .5 3cos

dxx−∫ ( )1arctg 2 tg .

2 2x C+

50. 2cos 5 .xdx∫ 1 sin10 .2 20x x C+ +

31

51. 4sin .xdx∫ 3 sin 2 sin 4 .8 4 32

x xx C+ + +

52. 4 3cos sin .x xdx⋅∫ 5 71 1cos cos .5 7

x x C− + +

53. 2

sin cos .(3 cos )

x x dxx

⋅+∫ 3ln 3 cos .

3 cosC x

x− + − +

54. .5 sin 3cos

dxx x+ +∫

2tg 12 2arctg .15 15

x

C+

+

55. 2 2 .4cos 3sin

dxx x+∫ 3 3arctg tg .

6 2x C

+

56. 2 .19sin 8sin cos 3

dxx x x− ⋅ −∫

4tg 31 ln .16 4tg 1

xC

x− ++

57. 3

2

sin .1 cos

x dxx+∫ cos 2arctg(cos ) .x x C− +

58. 2 2sin cos .x xdx⋅∫ ( )1 1sin 4 .8 4

x x C− +

59. 7

.cos sin

dx

x x⋅∫ 52 tg 2 tg .5

x x C+ +

60. 3 .cos sin

dxx x⋅∫ 2

1ln tg .2sin

x Cx

− +

61. 2cos2 .cos

x dxx∫ 2 tg .x x C− +

62. 4

6sin .cos

x dxx∫ 51 tg .

5x C+

63. 3 .sin

dxx∫ 2

2

1 1 1ln tg tg .2 2 8 28tg

2

x xCx

− + +

64. sin cos7 .x xdx⋅∫ 1 1cos8 cos6 .16 12

x x C− + +

65. 2cos cos3 .x xdx⋅∫ 1 1 1sin3 sin5 sin .6 20 4

x x x C+ + +

66. 3cos .

sinx xdx

x⋅

∫ ( )21 ctg .2 sin

xC xx

− +